非线性分数阶微分方程边值问题三个正解的存在性

分数阶微分方程边值问题解的存在性和唯一性

收稿日期：2020-06-28作者简介：吴怡敏（1997-），女，广东省梅州市人，硕士生.分数阶微分方程边值问题解的存在性和唯一性吴怡敏（闽南师范大学数学与统计学院，福建漳州363000）摘要：运用Schauder 不动点定理和压缩映射原理,本文研究了一类含P (t )项的R -L 型分数阶脉冲微分方程边值解的存在性和唯一性,得出并证明了解决该边值问题存在性和唯一性的充分条件,并给出实例验证所得结论的可行性.关键词：分数阶；脉冲微分方程；不动点定理；压缩映射原理中图分类号：O175.6文献标志码：A文章编号：2095-7122（2021）01-0044-04Existence and uniqueness of solutions for boundary value problems of fractional differential equationsWU Yimin(School of Mathematics and Statistics,Minnan Normal University ，Zhangzhou ，Fujian 363000，China)Abstract:Using Schauder ’s fixed point theorem and the principle of compressionmapping,this paper studies the existence and uniqueness of boundary value solutions for a class of Fractional-order R-L differential equation containing p(t),obtains and proves sufficient conditions to solve the existence and uniqueness of the boundary value problem,and gives an example to verify the feasibility of the conclusions.Key words:fractionalorder;impulsive differential equation;fixed point theorem;compression mapping principle第34卷第1期2021年3月闽南师范大学学报（自然科学版）Journal of Minnan Normal University （Natural Science ）Vol.34Ｎｏ．1Mar.2021分数阶微分方程在自动控制、航天技术、信号识别、生物数学、物理学、力学等领域应用广泛[1-3].相比于整数阶导数,分数阶导数为描述过程的记忆性和遗传性提供了极好的工具[4].方程中含有函数p (t ),会给研究工作带来一定的困难.文献[5]中给出并证明了几类含p (t )项的整数阶微分方程解的存在性和唯一性,但对于含p (t )项的分数阶脉冲微分方程解的研究还未给出.受文献[5]启发,构造如下Riemann -Liouville 分数阶脉冲微分方程：ìíîïïïï[]p (t )D αy (t )′=f (t ,y (t )), t ∈[0,1]\t k ,k =1,2,⋯,m ,Δy|t =t =I k [y (t -k )],ΔD α0y (t )|t =t =J k [y (t -k )],ΔD α-10y (t )|t =t =R k [y (t -k )]D α0y (0)=η, D α-10y (1)=D α-20y (0)=0,, （1）其中,D α0是保持下限为0不变的Riemann -Liouville 分数阶导数；1<α<2；(t ,y (t ))∈Ω,Ω=[0,1]×R ;f ∈C [Ω,R ]⋂L 1[Ω,R ];η∈R ;D α-20=I 2-α0,其中I 2-α0是2-α阶的R -L 型分数阶积分；J =[0,1],0=t 0<t 1<⋯<t m +1=1;I k 、J k 、R k ∈C (R ,R ),k =1,2,⋯,m ;p (t )∈C 1(J ,R +)；Δy|t =t =y (t +k )-y (t -k ),y (t +k )和y (t -k )分别是y (t k )的右极限和左极限,且y (t -k )=y (t k ),此外ΔD α0y (t )|t =t 和ΔD α-10y (t )|t =t 也有类似的定义.1预备知识引理1[1]设[a ,b ](-∞<a <b <+∞)是R 上的有限区间,那么α∈R +阶Riemann -Liouville 分数阶积分定义为:I αa y (t )=1Γ(α)∫at (t -s )α-1y (s )d s ,t >a其中,Γ(α)为Gamma 函数,右端积分在R +(R +={}x|x >0,x ∈R )上逐点有定义.当a =0时,I αa 一般省略下标,记为I α.引理2[1]函数f :[a ,+∞)→R 的α∈R +阶Riemann -Liouville 分数阶导数定义为:D αa f (t )=1Γ(n -α)(d dt)n ∫at(t -s )α-1f (s )d s ,t >a其中,当α≠N +时,n =[α+1],[α]表示α的整数部分；当α=N +时,n =α.右端在R +上逐点有定义.引理3[2]设α>0,如果f ∈L 1([a ,b ],R N )且I n -αf ∈AC n ([a ,b ],R N ),那么等式I α(D αf (t ))=f (t )-∑j =1nf (n -j )n -α(α)Γ(n -j +1)t α-j在[a ,b ]上几乎处处成立,其中n 是大于或等于α的最小整数.2主要结果考虑分段连续函数空间PC (J,R )={}y :J →R|y (t )在t ≠t k 处连续,t =t k 处左连续;PC (J ,R )是Banach空间,范数 y PC =sup t ∈J||y (t ).记PC ∂(J ,R )={}y :D ∂0y (t )∈PC (J ,R )(∂=α,α-1)，赋范数 y PC ∂=m a x{ y PC , D ∂0y PC },显然,PC ∂(J ,R )是Banach 空间.引理4[3]如果α>0,β>0,那么I αt β-1=Γ(β)Γ(α+β)t α+β-1,t ≥0.引理5设y ∈PC 2(J ,R )，I 2-αy ∈AC 2(J ,R )且1<α<2,那么是式（1）的解当且仅当y (t )=[∑0<t<tI k [y (t -k)]t 2-αk-∑0<t<tR k [y (t -k )]Γ(α)t k ]tα-2-1Γ(α)∫01H (t ,s )g (s )d s其中H (t ,s )=t α-1-(t -s )α-1Χ(t ,s ),Χ(t ,s )={1 0≤s ≤t ≤10 0≤t ≤s ≤1,g (s )=1p (t ){}p (0)η+∫0s f (u ,y (u ))d u +∑0<t <tp (t k)J k[y (t -k)].引理6假设：1）I k [y (t -k )]、J k [y (t -k )]、R k [y (t -k )]∈C [R ,R ]满足：I k[y (t -k)]≤β y (t -k), J k[y (t -k)]≤γ y (t -k), R k[y (t -k)]≤θ y (t -k)；2） f (t ,y (t ))≤M 1 y (t )；3）p 0=min {}p (t ):t ∈[0,1]>0；4）m a x t ∈[0,1]∑0<t<tp (t k )=a >0；m a x t ∈[0,1]∑0<t<tt k =b >0.定义算子T :PC [J ,R ]→PC [J ,R ]，且Ty (t )=[∑0<t<tI k [y (t -k)]t 2-αk-∑0<t<tR k [y (t -k )]Γ(α)t k ]tα-2-1Γ(α)∫01H (t ,s )g (s )d s ,t ∈[0,1]吴怡敏：分数阶微分方程边值问题解的存在性和唯一性第1期45则T 是全连续算子.证明i )由f 、J k 、p (s )的连续性知g (s )连续,由I k 、R k 、H 连续得Ty 连续.ii )对∀λ>0,令B λ={}y ∈PC (J ,R ): y ≤λ.那么对∀y ∈B λ,t ∈[0,1],有||g (s )≤d ，其中d =1p 0{}p (0)η+M 1λ+γλa ,则Ty (t )=[∑0<tk<tI k [y (t -k)]t2-αk-∑0<tk<tR k [y (t -k )]Γ(α)t k ]t α-2-1Γ(α)∫1H (t ,s )g (s )d s ≤βλb +θλΓ(α)b +d Γ(α+1)，故T (B λ)一致有界.iii )对∀y ∈B λ,t 1,t 2∈[0,1]且t 1<t 2，则||(Ty )(t 2)-(Ty )(t 1)≤βλb ||t α-22-t α-21+θλΓ(α)b ||t α-22-t α-21+dΓ(α)[∫01||(t2-s )α-1-(t 1-s )α-1ds +||t α-22-t α-21],显然当t 1→t 2时,不等式右端趋于0,即(Ty )(t 1)→(Ty )(t 2),故T (B λ)为等度连续集.由Arzele -ascoli 定理知,T 全连续.定理1对引理６中的定义的有界集B λ={}y ∈PC (J ,R ): y ≤λ,记M (β,θ,γ)=[γa +(βΓ(α+1)+θα)p 0b ],当λ≥p (0)ηp 0Γ(α+1)-M 1-M (β,θ,γ)时,式（1）在[0,1]上至少有一个解.证明由于||Ty (t )≤β y (t -k)∑0<t k <t t 2-αkt α-2+θ y (t -k )Γ(α)∑0<t k <t t k tα-2+dΓ(α)∫01sα-1d s ≤βλb +θλΓ(α)b +dΓ(α+1),易知 Ty (t )≤λ,故T (B λ)是PC (J ,R )中的一个列紧子集,由Schauder 不动点定理知T 在[0,1]中至少存在一个不动点y ∈B λ，因此式（1）在[0,1]上至少有一个解y ∈B λ.定理２假设：1)I k 、J k 、R k 满足I k(x )-I k(y )≤β x -y , J k(x )-J k(y )≤γ x -y , R k(x )-R k(y )≤θ x -y ；２) f (t ,x )-f (t ,y )≤M 1 x -y 且当m a x{}M 1+mM (β,θ,γ)p 0Γ(α+1)≤1时,式（1）在[0,1]存在唯一的解.证明对∀x ,y ∈PC (J ,R ),有(Tx )(t )-(Ty )(t )≤βb k m x -y +θb k m Γ(α) x -y +1Γ(α)∫01H (t ,s )1p (s ){}M 1 x -y +γa km x -y d s ≤{}m (βb k +θb k Γ(α))+M 1+γa k m Γ(α)∫01H (s ,s )1p (s )d sx -y ≤{}m (βb k +θb kΓ(α))+M 1+γa k mp (0)Γ(α)∫01sα-1d sx -y ≤由条件知上式满足Banach 压缩映像原理,T 在PC (J ,R )上存在唯一不动点，故式（1）在[0,1]上有唯一闽南师范大学学报（自然科学版）2021年{}M 1+mM (β,θ,γ)p (0)Γ(α+1)∫01sα-1d sx -y .46解.3实例例1考虑如下分数阶脉冲微分方程边值问题：ìíîïïïïïïïïïïïïïï[cos tD 320y (t )]′=1100y (t )cos t ,t ∈[0,1]\12,Δy|t =12=1100y (12)sin æèççççççöø÷÷÷÷÷÷11+y 2(12),ΔD 320y|t =12=150y (12)cos æèççççççöø÷÷÷÷÷÷11+y 2(12),ΔD 120y|t =12=1100y (12)sin æèççççççöø÷÷÷÷÷÷11+y 2(12)+150y (12)cos æèççççççöø÷÷÷÷÷÷11+y 2(12),D 320y (0)=13,D 120y (1)=D -120y (0)=0,（2）其中t 1=12,显然y (t )=0是式（2）的平凡解.证明由于 I 1≤1100 y (12), J 1≤150 y (12),R 1≤3100y (12)； f (t ,y (t ))≤1100 y (t )；故β=1100,γ=150,θ=3100,M 1=1100且p 0=cos1；b =12,b =12；满足引理6的条件,当λ≥p (0)ηp 0Γ(α+1)-M 1-M (β,θ,γ)≈0.846时满足定理1的条件,故式（2）在[0,1]中至少存在一个解.显然式（2）满足条件定理2的条件,且||||||||M 1+mM (β,θ,γ)p 0Γ(α+1)≈0.452<1，故由定理2知式（2）在[0,1]存在唯一的解.参考文献：[1]KILBAS A,SRIVASTAVA H,TRUJILLO J.Theory and application of fractional differential equations[M].Amsterdam:ElsevierB V,2006.[2]郑祖麻.分数阶微分方程的发展和应用[J].江苏师范大学学报(自然科学版),2008,26(2):1-10.[3]白占兵.分数阶微分方程边值问题理论及应用[M].北京:中国科学技术出版社,2013.[4]徐梦瑞.几类分数阶微分方程边值问题与上下解方法的研究[D].济南:济南大学,2019.[5]王密.脉冲微分方程的解及其应用[D].湖南:湖南大学,2010.[6]张恭庆,林源渠.泛函分析讲义(上册)[M].北京:北京大学出版社,1987.[7]赵以葛.分数阶微分方程边值问题解的存在性[D].济南:济南大学,2011.[8]李庭乐,贾梅,刘锡平,等.分数阶脉冲泛函微分方程积分边值问题解的存在性[J].吉林大学学报(理学版),2020,58(2):261-270.[9]李耀红,张海燕.一类Caputo 分数阶脉冲微分方程Cauchy 问题解的存在性[J].阜阳师范学院学报(自然科学版),2020,37(1):25-27.[10]LIU X p,JIA M.Existence of solutions for the integral boundary value problems of fractional order impulsive differentialequations[J].Mathematical Methods In The Applied Sciences,2016,39(3):475-487.[11]ZHAO K.Impulsive boundary value problems for two classes of fractional differential equation with two different Caputofractional derivatives[J].Mediterranean Journal of Mathematics,2016,13(3):1033-1050.[12]傅希林,闫宝强,刘衍胜.脉冲微分系统引论[M].北京:科学出版社,2005.[13]郭大钧.非线性泛函分析[M].济南:山东科学技术出版社,2004.[责任编辑：钟国翔]吴怡敏：分数阶微分方程边值问题解的存在性和唯一性第1期47。

三阶边值问题的3个正解的存在性

三阶边值问题的3个正解的存在性
张立新
【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2011(034)004
【摘要】三阶微分方程起源于应用数学、物理学等不同学科领域中,有着广泛的应用背景和重要的理论作用.考虑三阶三点边值问题,证明了线性边值问题有唯一解且其解用格林函数表示,当非线性项f满足一定增长条件时,利用Avery -Peterson不动点定理得到了上述边值问题至少有3个正解的存在性结果.
【总页数】5页(P466-470)
【作者】张立新
【作者单位】北京联合大学基础部,北京100101
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.一类含一阶导数的三阶边值问题正解的存在性 [J], 赵娇
2.一类带积分边界条件的三阶边值问题正解的存在性 [J], 李雯婧
3.奇异三阶三点边值问题正解的存在性及多解性 [J], 武若飞
4.非线性三阶三点边值问题多个正解的存在性 [J], 张瑞燕
5.非线性微分方程三阶三点边值问题正解的存在性 [J], 武晨
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分数阶微分包含三点边值问题解的存在性

２０１１年，文献［４］研究了带有三点边值条件的分数阶微分方程：
。
＋
对于赋范空间（，Ｉｌ・ｌ１），令
Ｐ。（Ｘ）＝｛Ｙ ∈Ｐ（）：Ｙ是紧的｝，
（）＝｝ｌ， ∈Ｐ（）：Ｙ是紧凸的｝．
１弓ｌ言禾口弓Ｉ理
分数阶微分方程起源于物理学、人口动力学和
值情形．结果包含非线性项是凸和非凸２种情形．利用不动点定理研究带有边值条件问题的分数阶
经济学等研究领域，是人们理解现实世界数学模型
间．考虑：Ｐ（）× Ｐ（）一Ｒｕ｛ｏ。｝定义如下：
（Ａ，Ｂ）＝ｍａｘ｛ｓｕｐｄ（ｎ，Ｂ），ｓｕ￣ｄ（Ａ，ｂ）｝，
Ｈ（０）＝ｕ（０）＝０，３ｕ（卵）：Ｍ（１），（１）其中，０＜７７＜１，０＜卢＜＿１，＿ＣＯｏ＋是Ｃａｐｕｔｏ分数阶导
的重要工具 ¨ ｊ．因此，分数阶微分方程的研究受到数学工作者的广泛关注］．
微分包含（２）的解的存在性．本文用到分数阶微分方程理论和多值映射理论Ｉ９．为方便起见，给出证明主要结果所用
的一些常规记号．
是一个广义度量空间川Ｊ．
Ｄ；＋Ｙ（ｔ）ＥＦ（ｔ，Ｙ（ｔ）），ｔ∈ （０，１）， ∈（２，３］，

一类非线性三点边值问题正解的存在性

一一
｛∈
［，］ｌｌ＜ｄ）０１：ｌｌ．
其中寺＜叩１０ａ１，满足：＜，＜＜，
厶。
１引理设定
引理１［设Ｘ为Ｂｎｃａａｈ空间，ｎ为Ｘ的一个
（）Ｈ。，∈ Ｃ［，３× ［，。）［，Ｃ）；（０１Ｏ＋。，Ｏ＋ × ）。
（）一（）￡（）一删（）（Ｏ１，）一０，（）＝０１（）３（）４
Ｂ（）２ＶＰ１（）存在惟一非平凡正解的充分条件．
本文所研究的空间为Ｂｎｃａａｈ空间ｃｏ１，［，３其中范数为ｌＩ＝ｍａ（）ＩＩｌＵｘｌ￡．
（）在ｔＨ，存。∈ ［，］使得ｆｔ，）≠ ０Ｏ１，（。０．
文献［— ］１４以及其中所引用参考文献对非线性边值问题正解的存在性作了大量的研究．在文献［３
—
有界开子集，且 ∈ｎ，Ｆ：若ｎ— Ｘ为一个全连续算子，：么存在Ｕ∈ 则要及＞１使得Ｆ（一Ａ，）ｘ，
Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ｂｙｕｓｎｇｔｒｙ — ＳｃａｅｏｉｅｒａｔｒａｉｅａｄｔｒｅｔｅｆＧｒｅｕ — ｉｈｅＬｅａｈｕｄｒｎｎｌｎａｌｅｎｔｖｎｈｅｐｏｐｒｉｓｏｅｎｆｎｃｔｏｉｎ，ａｄｃｓｄｅｉｇｔｒｐｅｔｆｎｌｎｅｒｔｏｏｕａｙｓｔｕｆｃｅｏｉｉｏｎｏｎｉｒｎｈｅｐｏｒｙｏｏｎｉａｉｙｏｎｓｍｅｂｎｄｒｅ，ａｓｆｉｉｎｔｃｎｄｔｏｎｆｒ

非线性分数阶微分方程边值问题正解的唯一性

郑凤霞
（四川文理学院数学与财经学院，四川达州６３５０００）
［摘要］利用一混合单调算子的不动点定理，研究了非线性分数阶微分方程边值问题正解的唯一性．结论不仅保证了正解的存在唯一性，而且能够构造出一迭代序列去逼近此解。
（关键词］分数阶微分方程；边值问题；正解；唯一性；一混合单调算子；不动点定理
引理１．１给定ｈ∈ｃ［ｏ，１］且３＜ ≤４，分数阶微分方程
｛ｆｏｇ＋Ｍ（ｔ）＝ｔ，（ｔ），（ｔ）３），＜０＜ ≤ ｔ４＜１，（１）
，
』Ｄ）＝（），ｏ＜＜，
收稿日期：２０１３一ｏ９ — ２５基金项目：四川文理学院校级科研项目，项目编号：２０１２Ｚ００５Ｙ。作者简介：郑风霞（１９８５一），女，土家族，湖北恩施人，四川文理学院助教，硕士，研究方向：应用数学。１０８
１
－－￣０；
２主要结果
ｔ（１一ｔ），Ｖｔ，ｓ∈ （０，１）．
ＪＯｌ
（４）
我们利用引理１．３研究非线性分数阶微分方程边值问题（０．１），并得到关于其正解存在唯一性的新结果。
在本文中，我们所讨论的空间是Ｂａｎａｃｈ空间
一
称为标准的＞０阶Ｒｉｅｍａｎｎ — Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶积
分，等式的右端在［Ｏ，＋ａ。）有定义，其中Ｆ（）表ａｍｍａ函数。文献［８］利用非线性ｌｅｒａｙ— ｓｃｈａｕｄｅｒ选择定示Ｇ定义１．２ｌ２对于定义在［０，＋∞）上的函数理，锥上的不动点定理等研究了非线性分数阶微，（），表达式分方程边值问题：

非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解

非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解非线性分数阶p-laplacian方程边值问题是指求解一个具有非线性分数阶p-laplacian算子的边值问题，其中p是一个正实数，它的形式如下：$$\begin{cases}(-\Delta)^{\frac{p}{2}}u=f(x,u) & \text{in}\\Omega \\ u=g(x) & \text{on}\ \partial\Omega\end{cases}$$其中，$\Omega$是一个有界域，$f(x,u)$是一个非线性函数，$g(x)$是边界条件，$(-\Delta)^{\frac{p}{2}}u$是p-laplacian算子，它的定义为：$$(-\Delta)^{\frac{p}{2}}u=\nabla\cdot(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$$求解非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解，可以采用函数空间的方法，即将问题转化为一个有界线性系统，然后求解该系统的解。

首先，我们将上述问题转化为一个有界线性系统，即：$$\begin{cases}Au=F & \text{in}\ \Omega \\ u=g & \text{on}\\partial\Omega\end{cases}$$其中，$A$是一个线性算子，它的定义为：$$Au=(-\Delta)^{\frac{p}{2}}u-f(x,u)$$$F$是一个函数，它的定义为：$$F=-f(x,g)$$接下来，我们可以采用Galerkin方法求解上述线性系统，即：$$Au_n=F_n$$其中，$u_n$是一个有限维的函数空间，它的定义为：$$u_n=\sum_{i=1}^{n}c_i\phi_i$$其中，$\phi_i$是一组基函数，$c_i$是一组系数，它们的定义为：$$c_i=\int_{\Omega}u\phi_i\,dx$$最后，我们可以将上述线性系统转化为一个矩阵形式，即：$$A_{ij}c_j=F_i$$其中，$A_{ij}$是一个矩阵，它的定义为：$$A_{ij}=\int_{\Omega}\phi_iA\phi_j\,dx$$最后，我们可以采用数值方法求解上述矩阵形式，从而得到非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解。

几类边值问题解的存在性与多重性

几类边值问题解的存在性与多重性非线性泛函分析是现代数学中一个既有深刻理论意义又有广泛应用价值的研究方向.它的研究成果和方法在计算数学、控制理论、最优化理论、动力系统等诸多领域有着广泛的应用,尤其是它所建立的各类不动点定理可以广泛应用于各种非线性微分方程、积分方程和其他类型的方程研究.其中,非线性微分方程边值问题作为有广泛应用背景的数学研究领域,一直是微分方程理论和非线性泛函分析应用研究的重要课题.在过去的几十年,各种阶数的各类非线性整数阶微分方程、差分方程以及时标轴上的动力方程满足两点边值、多点边值、积分边值甚至非线性边值等边值条件的问题得到广泛的研究.尤其是整数阶微分方程的边值问题由于其重要的理论价值和明确的物理背景,一直备受许多研究者的关注,取得了非常丰富的研究成果.分数阶微分方程在控制论、扩散和传输、粘弹性力学、信号处理和非牛顿流体力学等诸多领域得到逐步的应用,已经引起国内外数学及自然科学界的高度重视.对非线性分数阶微分方程的研究受到很大的关注,尤其是数值计算和数值解,成为国际热点研究方向之一本文主要利用非线性泛函分析的锥理论、不动点理论、Krasnosel’skii-Zabreiko不动点定理等首先研究了四类非线性微分方程的边值问题解的存在性和多解性.最后,利用单调迭代结合上下解方法研究了一类非线性分数阶微分方程的非线性边值问题极限解的存在性和唯一性,并引入了解的迭代算法和数值计算方法.全文共分六章.第一章简要介绍了非线性泛函分析的历史背景、非线性微分方程边值问题的研究现状,给出本文相关的一些基本概念以及文中多次用到的相关定理等背景知识.第二章研究了如下整数阶高阶脉冲微分方程的积分边值问题正解的存在性、多解性其中(?)u(t)dα(t)和(?)u(t)dβ(t)分别是α和β关于u的Riemann-Stieltjes积分.通过转化为等价积分方程获得该问题的Green函数,利用Green函数的性质构造一个锥.然后,考虑没有脉冲项条件下相关线性积分算子的第一特征值,在与该特征值有关的最优非线性项增长条件下,运用锥上的Krasnosel’skii-Zabreiko 不动点定理获得该问题正解的存在性.第三章研究了如下带有脉冲效应的二阶p-Laplacian微分方程的Robin边值问题正解的存在性和多解性通过考虑没有脉冲项条件下相关线性积分算子的第一特征值获得最优非线性项控制条件,在此条件下,借助Krasnosel’skii-Zabreiko不动点定理和Jensen不等式获得该问题正解和多正解的存在性结果.第四章讨论了如下二阶差分方程边值问题系统正解的存在性和多解性其中重点研究非线性项f和9的耦合行为以及在该行为下的解的存在性问题.在两个非线性项通过凹凸函数来刻画的较强耦合条件下,利用Jensen不等式、相关线性算子的第一特征值和锥上的Krasnosel’skii-Zabreiko 不动点定理获得至少存在一个和两个正解的结果.第五章研究了如下时标轴上四阶p-Laplacian动力方程边值问题的正解的存在性、多解性在非线性项f次线性增长和超线性增长的条件下,利用经典的利用Guo-Krasnosel’skii不动点定理和Leggett-Williams不动点定理,获得了两个和三个正解的存在性结果.第六章研究了如下带p-Laplacian算子的分数阶微分方程的非线性边值问题极限解以及解的迭代数值算法这里在不要求非线性项单调的条件下,通过构造一致收敛到真解的上下解迭代序列,论证了该问题的极限解的存在性和唯一性,然后给出了解的迭代算法和数值计算方法,并通过一个例子说明了算法的可行性,同时也给出了相关的误差以及逼近解的图形.综上所述,在以上问题的解的存在性研究中,通过构造一个相关的线性边值问题的积分算子,获得它的第一特征值,把这个特征值结合Jensen不等式和p-Laplacian算子的性质来获得最优的不等式估计,从而得到非线性项的最优控制条件,在此条件下利用Krasnosel’skii-Zabreiko 不动点定理获得正解和多正解的存在性结果.在对分数阶微分方程的非线性边值问题的研究中,在没有通常的非线性项单调的假定下证明了极限解的存在和唯一性,并引入一致收敛于真解的迭代算法和数值算法,也通过实例验证了该方法的有效性和可行性,这是本部分的创新之处.同时也说明了通过单调迭代结合上下解方法求解该类边值问题的可行性,相关的误差估计也表明该方法是行之有效的.因此,这是一个新的计算带p-Laplacian算子的分数阶微分方程的数值方法,丰富了上下解方法的应用以及分数阶非线性微分方程的数值研究.通过对以上问题的深入研究,在较弱的条件下获得了一些新的深刻的结果,这些结果大都已经发表在国外重要的学术期刊上.。

非线性差分方程边值问题正解的存在性与多重性的开题报告

非线性差分方程边值问题正解的存在性与多重性的开题报告一、研究背景差分方程是离散数学中的基本概念，而非线性差分方程则在生产生活各领域有着广泛的应用。

非线性差分方程的研究不仅扩充了离散动力学的研究范围，而且也拓展了应用领域。

然而，非线性差分方程边值问题的正解是否存在以及存在的多重性一直是该领域的热点问题。

因此有必要进行深入研究。

二、研究内容1.非线性差分方程的定义与性质研究。

2.分析非线性差分方程边值问题的正解存在性方法。

3.研究非线性差分方程边值问题存在多重解的情形。

4.探讨一些存在多重解的非线性差分方程的应用。

三、研究方法1.文献资料法：查阅各种文献资料，阅读相关文献材料，并系统地总结和归纳相关研究成果。

2.数学建模法：通过建立相关数学模型来探究非线性差分方程边值问题的正解存在性及多重性等问题。

3.数值模拟法：通过计算机程序模拟非线性差分方程的特征值，利用软件来实现模拟计算。

四、预期成果1.对非线性差分方程的性质进行了深入了解。

2.对非线性差分方程边值问题正解存在性进行了探讨，提出了一定的结论。

3.研究了非线性差分方程边值问题存在多重解的情况，探讨其应用。

4.提出一些存在多重解的非线性差分方程的应用实例。

五、研究意义本研究对于推进非线性差分方程的研究，加深对其性质和特点的理解和认识，提高非线性差分方程领域的学术水平。

同时对生产生活中的应用也有重要意义，可以为相关领域的理论研究和实际应用提供一定的参考。

六、研究方案1.搜集并阅读相关文献，对已有的研究成果进行总结归纳。

2.建立非线性差分方程的数学模型，采用不同的方法进行求解和分析。

3.采用MATLAB等软件进行数值模拟，验证理论分析的正确性。

4.总结分析结果，撰写论文并进行答辩。