带电粒子在磁场中的多解问题
磁场-专题-带电粒子在磁场中运动问题特例
专题:带电粒子在磁场中运动问题特例要点一 带电粒子在有界匀强磁场中运动的极值问题即学即用1.如图所示,匀强磁场的磁感应强度为B ,宽度为d ,边界为CD 和EF .一电子从CD 边界外侧以 速率v 0垂直匀强磁场射入,入射方向与CD 边界间夹角为θ.已知电子的质量为m ,电荷量为e , 为使电子能从磁场的另一侧EF 射出,求电子的速率v 0至少多大? 答案)cos 1(θ+m Bed要点二 洛伦兹力多解问题即学即用2.如图所示,在x <0与x >0的区域中,存在磁感应强度大小分别为B 1与B 2的匀强磁场,磁场方 向均垂直于纸面向里,且B 1>B 2.一个带负电荷的粒子从坐标原点O 以速度v 沿x 轴负方向 射出,要使该粒子经过一段时间后又经过O 点,B 1与B 2的比值应满足什么条件？ 答案),3,2,1(112⋅⋅⋅=+=n n n B B题型1 磁场最小面积问题【例1】在xOy 平面内有许多电子（质量为m ,电荷量为e ）,从坐标原点O 不断以相同大小的速度v 0沿不同的方向射入第一象限,如图所示.现加上一个垂直于xOy 平面的磁感应强度为B 的匀强磁场,要求这些电子穿过该磁场后都能沿平行于x 轴正方向运动,试求出符合条件的磁场最小面积. 答案20)(22πeBm v - 题型2 带电粒子在有界磁场中的运动【例2】核聚变反应需要几百万度以上的高温,为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应）,通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）.如图所示,环状匀强磁场围成的中空区域中的带电粒子只要速度不是很大,都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内.设环状磁场的内半径R 1=0.5 m ,外半径R 2=1.0 m ,磁场的磁感应强度B =1.0 T ,若被束缚的带电粒子的荷质比q/m =4×107C/kg ,中空区域内带电粒子具有各个方向的速度.试计算:（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场,不能穿越磁场的最大速度. （2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度. 答案 （1）1.5×107m/s（2）1.0×107m/s题型3 程序法的应用【例3】两平面荧光屏互相垂直放置,在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x 轴 和y 轴,交点O 为原点,如图所示.在y >0,0<x <a 的区域有垂直于纸面向里的匀强磁 场,在y >0,x >a 的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场,两区域内的磁感应强度大小均为B .在O 点处有一小孔,一束质量为m 、带电荷量为q （q >0）的粒子沿x 轴经小孔射入磁场,最后打在竖直和水平荧光屏上,使荧光屏发亮.入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值.已知速度最大的粒子在0<x <a 的区域中运动的时间与在x >a 的区域中运动的时间之比为2∶5,在磁场中运动的总时间为7T /12,其中T 为该粒子在磁感应强度为B 的匀强磁场中作圆周运动的周期.试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）. 答案 2a ≤x ≤2（1+33）a 0<y <2a1.如图所示,直线边界MN 上方有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B ,磁场区域足够大. 今有质量为m ,电荷量为q 的正、负带电粒子,从边界MN 上某点垂直磁场方向射入,射入时 的速度大小为v ,方向与边界MN 的夹角的弧度为θ,求正、负带电粒子在磁场中的运动时间. 答案 带正电粒子:2m （π-θ）/qB 带负电粒子:qBm2 2.如图中虚线MN 是一垂直纸面的平面与纸面的交线,在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为 B 、方向垂直纸面向外的匀强磁场.O 是MN 上的一点,从O 点可以向磁场区域发射电荷量为+q 、 质量为m 、速率为v 的粒子,粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向,已知先后射入的两个 粒子恰好在磁场中给定的P 点相遇,P 到O 点的距离为L ,不计重力和粒子间的相互作用. （1）求所考察的粒子在磁场中的轨道半径. （2）求这两个粒子从O 点射入磁场的时间间隔.答案 （1）vv m qBLqB m qBm 2arccos4)2( 3.（2009·丽江质检）如图所示,在真空中坐标xOy 平面的x >0区域内,有磁感强度B = 1.0×10-2T 的匀强磁场,方向与xOy 平面垂直.在x 轴上的P （10,0）点,有一放射源, 在xOy 平面内向各个方向发射速率v =1.0×104m/s 的带正电的粒子,粒子的质量为m = 1.6×10-25kg ,电荷量为q =1.6×10-18C ,求带电粒子能打到y 轴上的范围.答案 -10 cm ≤y ≤103 cm4.在边长为2a 的△ABC 内存在垂直纸面向里的磁感强度为B 的匀强磁场,有一带正电荷量q ,质量为m 的粒子从距A 点3a 的D 点垂直AB 方向进入磁场,如图所示,若粒子能从 AC 间离开磁场,求粒子速率应满足什么条件及粒子从AC 间什么范围内射出. 答案v <-m aqB )32(3≤maqB3 AC 间距A 点（23-3）a ～3a 的范围1.如图所示,MN 为两个匀强磁场的分界面,两磁场的磁感应强度大小的关系为B 1=2B2.一带电 荷量为+q 、质量为m 的粒子从O 点垂直MN 进入磁感应强度为B 1的磁场,则经过多长时间 它将向下再一次通过O 点（ ） A .1π2qB mB .2π2qB mC .)(π221B B q m+D .)(π21B B q m+答案 B2.如图所示,长为L 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B ,板间距离也为L , 板不带电.现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力）,从左边极板间中点处垂直 磁感线以速度v 水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可采用的办法是（ ） A .使粒子的速度v <mqBL4 B .使粒子的速度v >mqBL45C .使粒子的速度v >mqBLD .使粒子的速度mqBL 4<v <m qBL 45答案 AB3.如图所示,水平导线中有电流I 通过,导线正下方的电子初速度的方向与电流I 的方向相同,则 电子将（ ）A .沿路径a 运动,轨迹是圆B .沿路径a 运动,轨迹半径越来越大C .沿路径a 运动,轨迹半径越来越小D .沿路径b 运动,轨迹半径越来越小答案 B4.如图是电视机中显像管的偏转线圈示意图,它由绕在磁环上的两个相同的线圈串联而成, 线圈中通有如图所示方向的电流.当电子束从纸里经磁环中心向纸外射来时（图中用符 号“· ”表示电子束）,它将（ ） A .向上偏转B .向下偏转C .向右偏转D .向左偏转答案 A5.三个速度大小不同的同种带电粒子,沿同一方向从如图所示的长方形区域的匀强磁场上边缘射入强磁场,当它们从下边缘飞出时对入射方向的偏角分别为90°、60°、 30°,则它们在磁场中的运动时间之比（ ）A .1∶1∶1B .1∶2∶3C .3∶2∶1D .1∶2∶3答案 C6.如图所示,在屏MN 的上方有磁感应强度为B 的匀强磁场,磁场方向垂直纸面向里.P 为屏 上的一小孔,PC 与MN 垂直.一群质量为m 、带电荷量为-q 的粒子（不计重力）,以相同的速率v ,从P 处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域.粒子入射方向在与磁场B 垂直的平面内,且散开在与PC 夹角为θ的范围内.则在屏MN 上被粒子打中的区域的长度为（ ）A .qB m v2B .qBm θcos 2v C .qBm )sin 1(2θ-vD .qBm )cos 12θ-v(答案 D7.一个带电粒子,沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场,粒子的一段径迹如图所示,径迹上的每 一段都可近似看做圆弧.由于带电粒子使沿途的空气电离,粒子的能量逐渐减小（带电荷量不 变）,从图中情况可以确定（ ）A .粒子从a 到b ,带正电B .粒子从b 到a ,带正电C .粒子从a 到b ,带负电D .粒子从b 到a ,带负电 答案 B8.如图所示,在x 轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场,一个不计 重力的带电粒子从坐标原点O 处以速度v 进入磁场,粒子进入磁场时的速度方向垂直 于磁场且与x 轴正方向成120°角,若粒子穿过y 轴正半轴后在磁场中到x 轴的最大距 离为a ,则该粒子的荷质比和所带电荷的正负是（ ）A .aB23v,正电荷 B .aB2v,正电荷 C .aB23v,负电荷 D .aB2v,负电荷 答案 C9.（2009·鹤岗质检）我国第21次南极科考队在南极观看到了美丽的极光.极 光是由来自太阳的高能量带电粒子流高速冲进高空稀薄大气层时,被地球磁 场俘获,从而改变原有运动方向,向两极做螺旋运动,如图所示.这些高能粒子 在运动过程中与大气分子或原子剧烈碰撞或摩擦从而激发大气分子或原子,使其发出有一定特征的各种颜色的光.地磁场的存在,使多数宇宙粒子不能达到地面而向人烟稀少的两极偏移,为地球生命的诞生和维持提供了天然的屏障.科学家发现并证实,向两极做螺旋运动的这些高能粒子的旋转半径是不断减小的,这主要与下列哪些因素有关（ ）A .洛伦兹力对粒子做负功,使其动能减小B .空气阻力做负功,使其动能减小C .靠近南北两极的磁感应强度增强D .太阳对粒子的引力做负功答案 BC10.如图所示,在x ＞0、y ＞0的空间中有恒定的匀强磁场,磁感强度的方向垂直于xOy 平面 向里,大小为B .现有一质量为m 电荷量为q 的带电粒子,在x 轴上到原点的距离为x 0的 P 点,以平行于y 轴的初速度射入此磁场,在磁场作用下沿垂直于y 轴的方向射出此磁场.不 计重力的影响.由这些条件可知（ ）A .不能确定粒子通过y 轴时的位置B .不能确定粒子速度的大小C .不能确定粒子在磁场中运动所经历的时间D .以上三个判断都不对答案 D11.如图所示,一个质量为m 、电荷量为q 的正离子,从A 点正对着圆心O 以速度v 射入半径 为R 的绝缘圆筒中.圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度的大小为B .要使离子 与圆筒内壁碰撞多次后转一圈仍从A 点射出,求正离子在磁场中运动的时间t .（设离子与圆 筒内壁碰撞时无能量和电荷量损失,不计离子的重力） 答案1πtanπ)1(+-n R n v （n ≥2） 12.如图所示,空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场.左侧匀强电场的场强大小为E 、 方向水平向右,电场宽度为L ;中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B ,方向垂直纸面向 外;右侧区域为垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度也为B .一个质量为m 、电荷量为q 、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O 点由静止开始运动,穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后,又回到O 点,然后重复上述运动过程.求: （1）中间磁场区域的宽度d .（2）带电粒子从O 点开始运动到第一次回到O 点所用时间t . 答案 （1）qBmqE mL qmEL B 3π72)2(621+13.（2009·商丘质检）如图所示,L1和L 2为距离d =5.0 cm 的两平行虚线,L 1上方和L 2下 方都是垂直纸面向里的磁感应强度均为B =0.20 T 的匀强磁场,A 、B 两点都在L 2上.质 量m =1.67×10-27kg 、电荷量q =1.60×10-19C 的质子,从A 点以v 0=5.0×105m/s 的速度与L 2成30°角斜向上射出,经过上方和下方的磁场偏转后正好经过B 点,且经过B 点时的速度方向也斜向上.求:（结果保留两位有效数字） （1）质子在磁场中运动的半径. （2）A 、B 两点间的最短距离. （3）质子由A 运动到B 的最短时间. 答案 （1）2.6 cm（2）17.3 cm（3）3.3×10-7s。
带电粒子在匀强磁场中的运动
带电粒子在磁场中运动的多解问题
• 运动的重复性形成多解 带电粒子在磁场中运动时，由于某些因素的 变化，例如磁场的方向反向或者速度方向 突然反向，往往运动具有反复性，因而形 成多解。
例题
• 一个带电粒子，沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场，粒子的一段径 迹如图4所示，径迹上的每一小段可近似看成圆弧．由于带电粒子使 沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小（带电量不变）．从图中可以 确定 [ ]
• 在真空中，半径为r=3×10-2m的圆形区域内， 有一匀强磁场，磁场的磁感应强度为B=0.2T， 方向如图所示，一带正电粒子，以初速度 v0=106m/s的速度从磁场边界上直径ab一端a 点处射入磁场，已知该粒子荷质比为 q/m=108C/kg，不计粒子重力，则（1）粒子 在磁场中匀速圆周运动的半径是多少？（2） 若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入 射时粒子的方向应如何（以v0与Oa的夹角θ表 示）？最大偏转角多大？
• 问如何变化？ 3、受力如何变化？ 4、轨迹是什么形状?
轨迹平面
与磁 因为带电粒子的初速度和所受洛伦兹力的方 场垂 向都在跟磁场方向垂直的平面内，没有任何 直 作用使粒子离开这个平面 不变 因为洛伦兹力总是跟粒子的运动方向垂直,所 以洛伦兹力不对粒子做功，粒子的速度大小 不变
2、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期和运动速率无关。
例题2：如图所示，一束带正电的相同的粒子垂直 磁场边界自O点射入匀强磁场中后分成了3束，其运 动轨迹如图，粒子运动方向与磁场方向垂直，不计 粒子的重力作用，已知OA=OC/2=OD/3，则这三束粒 子的速率之比 v︰ v2 ︰ v3 =＿＿＿＿＿ 1
例题
• 如图所示，在y＜0的区域内 存在匀强磁场，磁场方向垂 直于xy平面并指向纸面外， 磁感强度为B.一带正电的粒 子以速度v0从O点射入磁场， 入射方向在xy平面内，与x轴 正向的夹角为θ，若粒子射出 磁场的位置与O点的距离为l， 求该粒子的电量和质量之 比.
带电粒子在磁场中的运动分析
速度方向与x轴正方向夹角为60°.求:
(1)磁场的磁感应强度. (2)电子在磁场中运动的时间.
(3)磁场区域圆心O1的坐标.
解析
该题为带电粒子在有边界磁场区域中的圆周运动.
看似复杂,但解题的关键还是在找圆心,同学们只要根据 运动电荷在有界磁场的出入点的速度方向垂线的交点, 确定圆心的位置,然后作出轨迹和半径,根据几何关系找 出等量关系,求解飞行时间从找轨迹所对应的圆心角的 方面着手,题目便迎刃而解.
越磁场,则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切,轨迹如图
最大速度为v1=1.5×107 m/s.
(2)当粒子以v2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且
轨道与外圆相切时,则以v2速度沿各方向射入磁场区 的粒子都不能穿出磁场边界,如图所示. R2 R1 由图知r2= =0.25 m 2 2 v2 由Bqv2=m 得
4×107 C/kg,中空区域内带电粒子具有各个方向的速
度.试计算:
(1)粒子沿环状磁场的半径方向射入磁场,不能穿越磁场
的最大速度.
(2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度. 解析 所示. 由图知r12+R12=(R2-r1)2,解得 r1=0.375 m 2 v1 由Bqv1=m 得 r1 Bqr1 v1 = =1.5×107 m/s m 所以粒子沿环状的半径方向射入磁场,不能穿越磁场的 (1)要使粒子沿环的半径方向射入磁场,且不能穿
qBL A.使粒子的速度v< 4m B.使粒子的速度v> 5qBL 4m qBL C.使粒子的速度v> m qBL 5qBL D.使粒子的速度 v 4m 4m 解析 由左手定则判得粒子在磁场中向
高三物理“带电粒子在磁场中的圆周运动”解析
高三物理“带电粒子在磁场中的圆周运动”解析处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，其本质是平面几何知识与物理知识的综合运用。
重要的是正确建立完整的物理模型，画出准确、清晰的运动轨迹。
下面我们从基本问题出发对“带电粒子在磁场中的圆周运动”进行分类解析。
一、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的基本型问题找圆心、画轨迹是解题的基础。
带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛仑兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。
【例1】图示在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁场的磁感应强度为B；一带正电的粒子以速度V0从O点射入磁场中，入射方向在xy平面内，与x轴正方向的夹角为θ；若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L。
求①该粒子的电荷量和质量比；②粒子在磁场中的运动时间。
分析：①粒子受洛仑兹力后必将向下偏转，过O点作速度V0的垂线必过粒子运动轨迹的圆心O’；由于圆的对称性知粒子经过点P时的速度方向与x轴正方向的夹角必为θ，故点P作速度的垂线与点O处速（也可以用垂径定理作弦OP的垂直平分线与点O处速度的垂线的交点也为圆心）。
度垂线的交点即为圆心O’由图可知粒子圆周运动的半径由有。
再由洛仑兹力作向心力得出粒子在磁场中的运动半径为故有，解之。
②由图知粒子在磁场中转过的圆心角为，故粒子在磁场中的运动时间为。
【例2】如图以ab为边界的二匀强磁场的磁感应强度为B1＝2B2，现有一质量为m带电+q的粒子从O 点以初速度V0沿垂直于ab方向发射；在图中作出粒子运动轨迹，并求出粒子第6次穿过直线ab所经历的时间、路程及离开点O的距离。
（粒子重力不计）分析：粒子在二磁场中的运动半径分别为，由粒子在磁场中所受的洛仑兹力的方向可以作出粒子的运动轨迹如图所示。
带电粒子在匀强磁场中的运动知识小结
带电粒子在匀强磁场中的运动（知识小结）一．带电粒子在磁场中的运动（1）带电粒子在磁场中运动时，若速度方向与磁感线平行，则粒子不受磁场力，做匀速直线运动；即 ① 为静止状态。
② 则粒子做匀速直线运动。
（2）若速度方向与磁感线垂直，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力起向心力作用。
（3）若速度方向与磁感线成任意角度，则带电粒子在与磁感线平行的方向上做匀速直线运动，在与磁感线垂直的方向上做匀速圆周运动，它们的合运动是螺线运动。
二、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动1．运动分析：洛伦兹力提供向心力，使带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．(4)运动时间： (Θ 用弧度作单位 )1．只有垂直于磁感应强度方向进入匀强磁场的带电粒子，才能在磁场中做匀速圆周运动．2．带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速率的大小有关，而周期与速率、半径都无关．三、带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动(往往有临界和极值问题)(一)边界举例:1、直线边界（进出磁场有对称性）规律：如从同一直线边界射入的粒子，再从这一边射出时，速度与边界的夹角相等。
速度与边界的夹角等于圆弧所对圆心角的一半，并且如果把两个速度移到共点时，关于直线轴对称。
2、平行边界（往往有临界和极值问题）（在平行有界磁场里运动，轨迹与边界相切时，粒子恰好不射出边界）3、矩形边界磁场区域为正方形，从a 点沿ab 方向垂直射入匀强磁场：若从c 点射出，则圆心在d 处若从d 点射出，则圆心在ad 连线中点处4.圆形边界（从平面几何的角度看，是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。
）特殊情形：在圆形磁场内,沿径向射入时，必沿径向射出一般情形：磁场圆心O 和运动轨迹圆心O ′都在入射点和出射点连线AB 的中垂线上。
或者说两圆心连线OO ′与两个交点的连线AB 垂直。
（二）求解步骤：（1）定圆心、（2）连半径、（3）画轨迹、（4）作三角形．（5）据半径公式求半径，2．其特征方程为：F 洛＝F 向． 3．三个基本公式： (1)向心力公式：qvB ＝m v 2R ； (2)半径公式：R ＝mv qB ； (3)周期和频率公式：T ＝2πm qB ＝1f ； 222m t qB m qB T θππθπθ==⨯=⨯v L =t再解三角形求其它量；或据三角形求半径，再据半径公式求其它量（6）求时间1、确定圆心的常用方法：(1)已知入射方向和出射方向(两点两方向)时，可以作通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－6甲所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心．(2)已知入射方向和出射点的位置时(两点一方向)，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图3－6－6乙所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心．(3)两条弦的中垂线(三点)：如图3－6－7所示，带电粒子在匀强磁场中分别经过O 、A 、B 三点时，其圆心O ′在OA 、OB 的中垂线的交点上．(4)已知入射点、入射方向和圆周的一条切线：如图3－6－8所示，过入射点A 做v 垂线AO ，延长v 线与切线CD 交于C 点，做∠ACD 的角平分线交AO 于O 点，O 点即为圆心，求解临界问题常用到此法．(5)已知入射点，入射速度方向和半径大小2．求半径的常用方法 ：由于已知条件的不同，求半径有两种方法：一是：利用向心力公式求半径；二是：利用平面几何知识求半径。
磁场临界极值多解
yx 固安一中高三年级一轮复习物理学案主编阚亚梅审稿李志臣一：带电粒子在磁场中的运动例1：如图，在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一个不计重力的带负电粒子从坐标原点O处以某一速度进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子穿过y轴正半轴,x轴正半轴后的穿出点距离原点O的最大距离为L，（粒子质量为m，电量为q）求：（1）该粒子在磁场中运动的速度多大？（2）该粒子在磁场中运动的时间为多少？（3）若粒子的速度方向不变，大小增加，则粒子射出磁场的位置与0点的距离是否变化？磁场中运动的时间是否变化？（4）若该磁场的上边界与x轴的距离为d，欲使该粒子不从磁场的上边界穿出，该粒子速度的取值范围？（5）若使x轴上方磁场的左右边界与y轴距离均为d/2 ，欲使该粒子能从右边界射出，该粒子速度的取值范围？（6）若使x轴上方磁场的左右边界与y轴距离均为d/2，粒子在磁场中运动的最长时间时多少？在这种情况下，粒子将从什么范围射出磁场？（总结：在速度方向不变的情况下，只是大小变化，圆的大小变化——伸缩圆）例2：如图，真空室内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在原点O有一个离子源向各个方向发射出质量为m、电量为q的正离子，速度都为v，对那些在xy平面内运动的离子，求：（1）在磁场中可能到达的最大x？最大y？（2）轨迹圆的圆心轨迹是什么曲线？（3）离子可能经过的区域范围？（4）若在x轴的上方（y≥0）内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，离子源仅向x轴上方的各个方向发射质量为m、电量为q的正离子，速度仍为v，画出轨迹圆的圆心轨迹？粒子可能经过的区域范围？（总结：在速度大小不变的情况下，只是方向变化，圆的大小不变化，只是圆的位置变化——旋转圆）变式训练1：在y>0的区域内存在匀强磁场，磁场垂直于xOy平面向外，原点O处有一离子源，沿各个方向射出速率相等的同价负离子，对于进入磁场区域的离子，它们在磁场中做圆周运动的圆心所在的轨迹可用下图给出的四个半圆中的一个来表示，其中正确的是()变式训练2：如图:所示，在x轴上方的空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.许多相同的离子，以相同的速率v，由O点沿纸面向各个方向(y>0)射入磁场区域．不计离子所受重力，不计离子间的相互影响．图中曲线表示离子运动的区域边界，其中边界与y轴交点为M，边界与x轴交点为N，且OM＝ON＝L.由此可判断()A．这些离子是带负电的B．这些离子运动的轨道半径为LC．这些离子的比荷为qm＝vLBD．当离子沿y轴正方向射入磁场时会经过N点图1图22二： 带电粒子在磁场运动的临界与极值问题1：借助半径R 和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析的临界和极值问题例1 如图1所示，一带正电的质子以速度v 0从O 点垂直射入，两个 板间存在垂直纸面向里的匀强磁场．已知两板之间距离为d ，板长 为d ，O 点是板的正中间，为使质子能从两板间射出，试求磁感应 强度应满足的条件(已知质子的带电荷量为e ，质量为m )．变式训练2：如上图所示，一足够长的矩形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B 的匀强磁场，在ad 边中点O ，垂直于磁场射入一速度方向跟ad 边夹角θ＝30°、大小为v 0的带正电粒子．已知粒子质量为m ，电荷量为q ，ad 边长为L ，ab 边足够长，粒子重力不计，求：(1)粒子能从ab 边上射出磁场的v 0大小范围； (2)如果带电粒子不受上述v 0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间．（3）如果带电粒子受上述v 0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间．变式训练 3 如图所示，有一个正方形的匀强磁场区域abcd ，e 是ad 的中点，f 是cd 的中点，如果在a 点沿对角线方向以速度v 射入一带负电的带电粒子，恰好从e 点射出，则 ( )A ．如果粒子的速度增大为原来的二倍，将从d 点射出B ．如果粒子的速度增大为原来的三倍，将从f 点射出C ．如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强度变为原来的二倍，也将从d 点射出D ．只改变粒子的速度使其分别从e 、d 、f 点射出时，从e 点射出所用时间最短例2：如图3所示，ABC 为与匀强磁场垂直的边长为a 的等边三角形，磁场垂直纸面向外，比荷为e m的电子以速度v 0从A 点沿AB 方向射入，欲使电子能经过BC 边，则磁感应强度B 的取值应为( )A ．B >3mv 0ae B ．B <2mv 0aeC ．B <3mv 0aeD ．B >2mv 0ae1变式训练：可控热核聚变反应堆产生能的方式和太阳类似，因此，它被俗称为“人造太阳”．热核反应的发生，需要几千万度以上的高温，然而反应中的大量带电粒子没有通常意义上的容器可装．人类正在积极探索各种约束装置，磁约束托卡马克装置就是其中一种．如图15所示为该装置的简化模型．有一个圆环形区域，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，已知其截面内半径为R 1＝1.0 m ，磁感应强度为B ＝1.0 T ，被约束粒子的比荷为q /m ＝4.0×107 C/kg ，该带电粒子从中空区域与磁场交界面的P 点以速度v 0＝4.0×107 m/s 沿环的半径方向射入磁场(不计带电粒子在运动过程中的相互作用，不计带电粒子的重力)．(1)为约束该粒子不穿越磁场外边界，求磁场区域的最小外半径R 2；(2)若改变该粒子的入射速度v ，使v ＝33v 0，求该粒子从P 点进入磁场开始到第一次回到P点所需要的时间t .2：．时间的极值问题例1：如图所示，边界OA 与OC 之间分布有垂直纸面向里的 匀强磁场，边界OA 上有一粒子源S .某一时刻，从S 平行于 纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的 重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同， 经过一段时间有大量粒子从边界OC 射出磁场．已知∠AOC ＝60°，从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于T /2(T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的 时间可能为 ( )A.T 3B.T 4C.T 6D.T 8 例2：如图所示，半径为r ＝0.1 m 的圆形匀强磁场区域边界跟y 轴相切于 坐标原点O ，磁感应强度B ＝0.332 T ，方向垂直纸面向里．在O 处有 一放射源，可沿纸面向各个方向射出速率均为v ＝3.2×106 m/s 的α粒 子．已知α粒子质量m ＝6.64×10－27kg ，电荷量q ＝3.2×10－19C ，不计α粒子的重力．求α粒子在磁场中运动的最长时间．例4abxy3. 面积的极值问题例1：在图甲中，带正电粒子从静止开始经过电势差为U 的电场加速后，从G 点垂直于MN 进入偏转磁场，该偏转磁场是一个以直线MN 为上边界、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，带电粒子经偏转磁场后，最终到达照相底片上的H 点，如图甲所示，测得G 、H 间的距离为d ，粒子的重力可忽略不计．图10(1)设粒子的电荷量为q ，质量为m ，求该粒子的比荷qm；(2)若偏转磁场的区域为圆形，且与MN 相切于G 点，如图乙所示，其他条件不变．要保证上述粒子从G 点垂直于MN 进入偏转磁场后不能打到MN 边界上(MN 足够长)，求磁场区域的半径R 应满足的条件．例2：一带电质点，质量为m 、电荷量为q ，以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中的第1象限所示的区域。
5洛伦兹力(3)临界问题(广)
直边界射入磁场，已知MA=d，∠PMN45º，离子的质量为m、带电荷量为q、要
使离子不从MP边射出，离子进入磁场的速度最大不能超过多少？
P
几何关系求出半径r，即可求v
B
mv
qBr
由r
可得：v
qB
m
v0
M
O
A
N
例、如图，若电子的电量e，质量m，与边界成60º射入磁
强度B应满足的条件。
5d
v0
d
思考:
1.假设磁场是无界的,各电子的运动轨迹怎样?
mv
半径相等的圆
r
qB
所有运动轨迹的圆心在一条直线上
2. 磁场较小时，轨迹半径较大。哪个电子最
有可能从右侧飞出? 最上面的电子
3.当磁场很大,运动半径较小，哪个电子最
有可能从左侧飞出? 依然是最上面的电子
综上所述，不管B取什么值，在同一磁场中的电子的运动轨迹
r2－r2cos60º= d
d
总结:粒子以相同大小，不同方向的速度进入磁场之后的运动轨迹如何?
它们的圆心位置有什么特点?
①当同种粒子的射入速度大小确定，而方向不
确定时，所有轨迹圆是一样的，半径都为R，只
y
既然是不确定解的问题，
vB
那么看一下不确定的原因是什么？
B
R
O
当电性为正粒子时，进入磁场，其发生向左偏
2
的圆周运动。
当电性为负粒子时，进入磁场，其发生向右偏
的圆周运动。
mv0
2 m
°
OB
t
2 = 60
1
透析带电粒子在匀强电场中的多解问题及成因
浅谈带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题及成因太和中学物理组 潘正海摘要：带电粒子在匀强磁场中的运动是高中物理电磁学的重点内容之一，它所涉及的内容较多，难度较大，特别是多解问题，尤其复杂，对学生来说是个难点，本文就阐述了带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题及成因，并就例题分析提出了自己的一点感想，以便更好的掌握和解决该问题提供一个参考。
关键词：带电粒子，多解性，周期性，临界状态。
引言：在匀强磁场，带电粒子受到洛伦兹力作用而做匀速圆周运动，由于带电粒子电性的不确定、电荷量多少的不确定、磁场方向的不确定、临界状态的不唯一、以及运动的周期性都会导致多解、下面通过例题加以分析。
一、带电粒子电性不确定形成的多解众所周知，自然界中的带电粒子只有两种，一种带正电，另一种带负电，由于很多题目没有告诉带电粒子的电性，那么在解题时就要考虑带电粒子的正负不同情况，从而带来了问题的多解性。
【例1】如图1所示，第一象限范围内有垂直于xoy 平面的匀强磁场，磁感应强度为B ，质量为m ，电荷量为q 的带电粒子在xoy 平面里经原点O 射入磁场中，初速度为v 0与x 轴夹角为θ=60º，试分析计算：（1）带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？ （2）带电粒子在磁场中运动时间多长？× × × × × × × × × × × × × × × ×yx图1图2θ1Oy xO 1AO 2BR Rθ2θ1 v 0解析 若带电粒子带负电，进入磁场后做顺时针方向的匀速圆周运动，圆心为O 1，粒子向x 轴偏转，并从A 点离开磁场。
若带电粒子带正电，进入磁场后做逆时针方向的匀速圆周运动，圆心为O 2，粒子向y 轴偏转，并从B 点离开电场。
不论粒子带何种电荷，其运动轨道半径均为qBmv R 0=。
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带电粒子在磁场中多解问题
一、运动的往复性形成多解
如图甲中所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示．有一束正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场．已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周
，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，期与磁感应强度变化的周期都为T
不计离子所受重力．求：
的大小；
①.磁感应强度B
的可②.要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v
能值．
二、磁场方向不确定形成多解
一个质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面，作用在负电荷上的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（）
A．4qB/m B. 3qB/m C. 2qB/m D.qB/m
三、临界状态不唯一形成多解
长为L的水平极板间，有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m、电量为q的正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以初速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，求初速度v的范围．
四、电性不确定形成多解
如图，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，要使粒子不能从边界NN′射出，粒子入射速率v的最大可能是（）
A. qBd/m
B.()m qBd
22+ C.qBd/m D.()m qBd 22-。