高中数学竞赛讲义不等式的证明新人教A版

合集下载

高考数学不等式的证明(一)课件新人教版

分析法：要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程
例1、已知a,b∈R,求证: a2+b2+1>ab+a
例2、设 a 0,b 0, 求证
(
a
2
)
1 2
(b
2
)
1 2
1
a2
1
b2.
b
a
例3已知
a,b,x,y R且 1 1 , x y求证 x y
ab
xa yb
例4、设x>0,y>0且x≠y,求证
1
1
x3 y3 3 x2 y2 2
综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。证明时要注意字母是否为正和等号成立的条件。
(1)若 a 0,b 0, 则 a2 b2 a b a=b时取等号。
ab
(2) a,b R, a2 b2 2ab 当且仅当 a b时取等号
练习: 若a、b、c是不全相等的正数，
求证：
lg
a
b
lg
c
b
lg
a
c
lg
a
lg
b
lg
c
2
2
2
【课堂小结】
不等式的比较法、综合法、分析法合称三
种基本方法，是最常用的方法
比较法：①比差法：要证a>b，只须证a-
b>0。 ②比商法：要证a>b且b>0，只须证
a
1
b
综合法：证明时要注意字母取值范围和等号成立的条件
(3)a,b同号, a b 2 当且仅当a b时取等号
ba
分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程

不等式的证明2课件新人教A版必修5课件

一、复习回顾：
1、比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法，用比较法证明不等式的步骤是：
作差—变形—判断符号要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。
2、综合法
利用已经证明过的不等式(如均值不等式及其变形式)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做综合法.
综合法的思路是“由因导果”，即从已知出发，不断地用必要条件来代替前面的不等式，直到推导出要证明的不等式。

二、分析法证明不等式：
从求证的不等式出发，分析寻找使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为判定这些条件是否具备的问题。如果最后能够肯定这些条件都已具备,那么就可以断定所求证的不等式成立。这种证明方法通常叫做分析法。

例1. 求证：. 3 7 2 5
证明：因为 3 7 和2 5 都是正数，
当
a

b
时，a
b

m m

a; b
当 a

b
时，a
b

m m

a; b
证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困难。例如，在例2中我们很难想到从”21<25“入手。

在不等式的证明中，分析法占有重要位置。我们常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程。这是解决数学问题的一种重要思想。
bm b
证明： ∵ a, b, m 都是正数，为了要证明 a m a
只需证明 (a m)b a(b m) b m b
即 ab bm ab am
即 bm am
因此，只需证明 b a
因为b a 成立，

高考数学一轮复习不等式选讲-2不等式的证明课件理新人教A版

第十四章
不等式选讲
第2课时
不等式的证明
考纲下载了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法．请注意！不等式的证明是中学数学的难点，主要考查比较法和综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要涉及基本不等式和不等式的性质，多属中档题．
高考考点预览
■ ·考点梳理· ■ 1．比较法 (1)作差比较法
■ ·考点自测· ■ 1. [2012·辽宁模拟]设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s 与t的大小关系是( A．s≥t C．s≤t ) B．s>t D．s<t
答案：A
解析：∵s－t＝a＋b2＋1－a－2b＝b2－2b＋1＝(b －1)2≥0，∴使|a|＋|b|>1成立的一个充分不必要条件是( A．|a＋b|≥1 C．b<－1 ) 1 1 B．|a|≥ 且|b|≥ 2 2 D．a≥1
答案：C
解析：由于A、B、D均可推导得|a|＋|b|≥1，仅C答案由b<－1得|b|>1，即得|a|＋|b|≥|b|>1，但由|a|＋|b|>1，推不出b<－1，故b<－1是|a|＋|b|>1成立的充分不必要条件，应选C.
x y z 3．P＝＋＋ (x>0，y>0，z>0)与3的大 x＋1 y＋1 z＋1 小关系是( A．P≥3 C．P<3 ) B．P＝3 D．P>3
a b a 2 a b＝a 证明： b 2 ＝(b) 2 ，（ab） 2
ab
a b
a－ b
b－ a
－
＋
aab 当a＝b时，( ) 2 ＝1. b
－
a－ b a a a2b 当a>b>0时，b>1， >0，则(b) >1. 2

新人教A版版高考数学一轮复习选修不等式选讲不等式的证明教案文

一、知识梳理１．基本不等式定理１：设a，b∈R，则a２＋b２≥２ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理２：如果a，b为正数，则错误!≥错误!，当且仅当a＝b时，等号成立．定理３：如果a，b，c为正数，则错误!≥错误!，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理４：（一般形式的算术—几何平均不等式）如果a１，a２，…，a n为n个正数，则错误!≥错误!，当且仅当a１＝a２＝…＝a n时，等号成立．２．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．常用结论基本不等式及其推广１．a２≥0（a∈R）．２．（a—b）２≥0（a，b∈R），其变形有a２＋b２≥２ab，错误!错误!≥ab，a２＋b２≥错误!（a＋b）２.３．若a，b为正实数，则错误!≥错误!.特别地，错误!＋错误!≥２．４．a２＋b２＋c２≥ab＋bc＋ca.二、教材衍化求证：错误!＋错误!<２＋错误!.证明：错误!＋错误!<２＋错误!⇐（错误!＋错误!）２<（２＋错误!）２⇐１0＋２错误!<１0＋４错误!⇐错误!<２错误!⇐２１<２４．故原不等式成立．一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）比较法最终要判断式子的符号得出结论．（）（２）综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．（）（３）使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．（）答案：（１）×（２）√（３）×二、易错纠偏错误!不等式放缩不当致错.已知三个互不相等的正数a，b，c满足abc＝１．试证明：错误!＋错误!＋错误!<错误!＋错误!＋错误!.证明：因为a，b，c>0，且互不相等，abc＝１，所以错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误! <错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!，即错误!＋错误!＋错误!<错误!＋错误!＋错误!.用综合法、分析法证明不等式（师生共研）（２0１9·高考全国卷Ⅰ）已知a，b，c为正数，且满足abc＝１．证明：（１）错误!＋错误!＋错误!≤a２＋b２＋c２；（２）（a＋b）３＋（b＋c）３＋（c＋a）３≥２４．证明：（１）因为a２＋b２≥２ab，b２＋c２≥２bc，c２＋a２≥２ac，又abc＝１，故有a２＋b２＋c２≥ab＋bc＋ca＝错误!＝错误!＋错误!＋错误!.当且仅当a＝b＝c＝１时，等号成立．所以错误!＋错误!＋错误!≤a２＋b２＋c２.（２）因为a，b，c为正数且abc＝１，故有（a＋b）３＋（b＋c）３＋（c＋a）３≥３错误!＝３（a＋b）（b＋c）（a＋c）≥３×（２错误!）×（２错误!）×（２错误!）＝２４．当且仅当a＝b＝c＝１时，等号成立．所以（a＋b）３＋（b＋c）３＋（c＋a）３≥２４．错误!用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提．充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．１．若a，b∈R，ab>0，a２＋b２＝１．求证：错误!＋错误!≥１．证明：错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝错误!—２ab.因为a２＋b２＝１≥２ab，当且仅当a＝b时等号成立，所以0<ab≤错误!.令h（t）＝错误!—２t，0<t≤错误!，则h（t）在（0，错误!]上递减，所以h（t）≥h（错误!）＝１．所以当0<ab≤错误!时，错误!—２ab≥１．所以错误!＋错误!≥１．２．（一题多解）（２0２0·宿州市质量检测）已知不等式|２x＋１|＋|２x—１|<４的解集为M.（１）求集合M；（２）设实数a∈M，b∉M，证明：|ab|＋１≤|a|＋|b|.解：（１）当x<—错误!时，不等式化为—２x—１＋１—２x<４，即x>—１，所以—１<x<—错误!；当—错误!≤x≤错误!时，不等式化为２x＋１—２x＋１<４，即２<４，所以—错误!≤x≤错误!；当x>错误!时，不等式化为２x＋１＋２x—１<４，即x<１，所以错误!<x<１．综上可知，M＝{x|—１<x<１}．（２）法一：因为a∈M，b∉M，所以|a|<１，|b|≥１．而|ab|＋１—（|a|＋|b|）＝|ab|＋１—|a|—|b|＝（|a|—１）（|b|—１）≤0，所以|ab|＋１≤|a|＋|b|.法二：要证|ab|＋１≤|a|＋|b|，只需证|a||b|＋１—|a|—|b|≤0，只需证（|a|—１）（|b|—１）≤0，因为a∈M，b∉M，所以|a|<１，|b|≥１，所以（|a|—１）（|b|—１）≤0成立．所以|ab|＋１≤|a|＋|b|成立．放缩法证明不等式（师生共研）若a，b∈R，求证：错误!≤错误!＋错误!.【证明】当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．当|a＋b|≠0时，由0＜|a＋b|≤|a|＋|b|⇒错误!≥错误!，所以错误!＝错误!≤错误!＝错误!＝错误!＋错误!≤错误!＋错误!.错误!在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有：（１）变换分式的分子和分母，如错误!＜错误!，错误!＞错误!，错误!＜错误!，错误!＞错误!上面不等式中k∈N＋，k＞１．（２）利用函数的单调性．（３）真分数性质“若0＜a＜b，m＞0，则错误!＜错误!”．[注意] 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．设n是正整数，求证：错误!≤错误!＋错误!＋…＋错误!<１．证明：由２n≥n＋k>n（k＝１，２，…，n），得错误!≤错误!<错误!.当k＝１时，错误!≤错误!<错误!；当k＝２时，错误!≤错误!<错误!；…当k＝n时，错误!≤错误!<错误!，所以错误!＝错误!≤错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!＝１．所以原不等式成立．反证法证明不等式（师生共研）设0<a，b，c<１，求证：（１—a）b，（１—b）c，（１—c）a不可能同时大于错误!.【证明】设（１—a）b>错误!，（１—b）c>错误!，（１—c）a>错误!，三式相乘得（１—a）b·（１—b）c·（１—c）a>错误!，１又因为0<a，b，c<１，所以0<（１—a）a≤错误!错误!＝错误!.同理：（１—b）b≤错误!，（１—c）c≤错误!，以上三式相乘得（１—a）a·（１—b）b·（１—c）c≤错误!，与１矛盾．所以（１—a）b，（１—b）c，（１—c）a不可能同时大于错误!.错误!利用反证法证明问题的一般步骤（１）否定原结论．（２）从假设出发，导出矛盾．（３）证明原命题正确．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a，b，c>0．证明：１设a<0，因为abc>0，所以bc<0．又由a＋b＋c>0，则b＋c>—a>0，所以ab＋bc＋ca＝a（b＋c）＋bc<0，与题设矛盾．２若a＝0，则与abc>0矛盾，所以必有a>0．同理可证：b>0，c>0．综上可证a，b，c>0．[基础题组练]１．设a＞0，b＞0，若错误!是３a与３b的等比中项，求证：错误!＋错误!≥４．证明：由错误!是３a与３b的等比中项得３a·３b＝３，即a＋b＝１，要证原不等式成立，只需证错误!＋错误!≥４成立，即证错误!＋错误!≥２成立，因为a＞0，b＞0，所以错误!＋错误!≥２错误!＝２，（当且仅当错误!＝错误!，即a＝b＝错误!时，“＝”成立），所以错误!＋错误!≥４．２．求证：错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＜２．证明：因为错误!＜错误!＝错误!—错误!，所以错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＜１＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝１＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝２—错误!＜２．３．（２0２0·蚌埠一模）已知函数f（x）＝|x|＋|x—３|.（１）解关于x的不等式f（x）—５≥x；（２）设m，n∈{y|y＝f（x）}，试比较mn＋４与２（m＋n）的大小．解：（１）f（x）＝|x|＋|x—３|＝错误!f（x）—５≥x，即错误!或错误!或错误!解得x≤—错误!或x∈∅或x≥8．所以不等式的解集为错误!∪[8，＋∞）．（２）由（１）易知f（x）≥３，所以m≥３，n≥３．由于２（m＋n）—（mn＋４）＝２m—mn＋２n—４＝（m—２）（２—n）．且m≥３，n≥３，所以m—２>0，２—n<0，即（m—２）（２—n）<0，所以２（m＋n）<mn＋４．４．（２0２0·开封市定位考试）已知函数f（x）＝|x—１|＋|x—m|（m>１），若f（x）>４的解集是{x|x<0或x>４}．（１）求m的值；（２）若正实数a，b，c满足错误!＋错误!＋错误!＝错误!，求证：a＋２b＋３c≥9．解：（１）因为m>１，所以f（x）＝错误!，作出函数f（x）的图象如图所示，由f（x）>４的解集及函数f（x）的图象得错误!，得m＝３．（２）由（１）知m＝３，从而错误!＋错误!＋错误!＝１，a＋２b＋３c＝（错误!＋错误!＋错误!）（a＋２b＋３c）＝３＋（错误!＋错误!）＋（错误!＋错误!）＋（错误!＋错误!）≥9，当且仅当a＝３，b＝错误!，c＝１时“＝”成立．５．（２0２0·原创冲刺卷）已知定义在R上的函数f（x）＝|x＋１|＋|x—２|＋（x—１）２的最小值为s.（１）试求s的值；（２）若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝s，求证：a２＋b２＋c２≥３．解：（１）f（x）＝|x＋１|＋|x—２|＋（x—１）２≥|x＋１|＋|２—x|≥|（x＋１）＋（２—x）|＝３，即f（x）≥３．当且仅当x＝１，且（x＋１）（２—x）≥0，即x＝１时，等号成立，所以f（x）的最小值为３，所以s＝３．（２）证明：由（１）知a＋b＋c＝３．故a２＋b２＋c２＝（a２＋１２）＋（b２＋１２）＋（c２＋１２）—３≥２a＋２b＋２c—３＝２（a＋b＋c）—３＝３（当且仅当a＝b＝c＝１时，等号成立）．6．设不等式—２＜|x—１|—|x＋２|＜0的解集为M，a，b∈M.（１）证明：错误!＜错误!；（２）比较|１—４ab|与２|a—b|的大小．解：（１）证明：记f（x）＝|x—１|—|x＋２|＝错误!由—２＜—２x—１＜0解得—错误!＜x＜错误!，即M＝错误!，所以错误!≤错误!|a|＋错误!|b|＜错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.（２）由（１）得a２＜错误!，b２＜错误!，因为|１—４ab|２—４|a—b|２＝（１—8ab＋１6a２b２）—４（a２—２ab＋b２）＝（４a２—１）（４b２—１）＞0，故|１—４ab|２＞４|a—b|２，即|１—４ab|＞２|a—b|.[综合题组练]１．（２0２0·江西八所重点中学联考）已知不等式|ax—１|≤|x＋３|的解集为{x|x≥—１}．（１）求实数a的值；（２）求错误!＋错误!的最大值．解：（１）|ax—１|≤|x＋３|的解集为{x|x≥—１}，即（１—a２）x２＋（２a＋6）x＋8≥0的解集为{x|x≥—１}．当１—a２≠0时，不符合题意，舍去．当１—a２＝0，即a＝±１时，x＝—１为方程（２a＋6）x＋8＝0的一解，经检验a＝—１不符合题意，舍去，a＝１符合题意．综上，a＝１．（２）（错误!＋错误!）２＝１6＋２错误!＝１6＋２错误!，当t＝错误!＝４时，（错误!＋错误!）２有最大值，为３２．又错误!＋错误!≥0，所以错误!＋错误!的最大值为４错误!.２．（２0１9·高考全国卷Ⅲ）设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝１．（１）求（x—１）２＋（y＋１）２＋（z＋１）２的最小值；（２）若（x—２）２＋（y—１）２＋（z—a）２≥错误!成立，证明：a≤—３或a≥—１．解：（１）由于[（x—１）＋（y＋１）＋（z＋１）]２＝（x—１）２＋（y＋１）２＋（z＋１）２＋２[（x—１）（y＋１）＋（y＋１）（z＋１）＋（z＋１）（x—１）]≤３[（x—１）２＋（y＋１）２＋（z＋１）２]，故由已知得（x—１）２＋（y＋１）２＋（z＋１）２≥错误!，当且仅当x＝错误!，y＝—错误!，z＝—错误!时等号成立．所以（x—１）２＋（y＋１）２＋（z＋１）２的最小值为错误!.（２）证明：由于[（x—２）＋（y—１）＋（z—a）]２＝（x—２）２＋（y—１）２＋（z—a）２＋２[（x—２）（y—１）＋（y—１）（z—a）＋（z—a）（x—２）]≤３[（x—２）２＋（y—１）２＋（z—a）２]，故由已知得（x—２）２＋（y—１）２＋（z—a）２≥错误!，当且仅当x＝错误!，y＝错误!，z＝错误!时等号成立．因此（x—２）２＋（y—１）２＋（z—a）２的最小值为错误!.由题设知错误!≥错误!，解得a≤—３或a≥—１．。

高中数学竞赛专题精讲14不等式的证明(含答案)

14不等式的证明不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛和高考的热门题型. 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性分类罗列如下：不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质：（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性）（3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>（4）*).(,0N n b a b a b a nn nn ∈>>⇒>>对两个以上不等式进行运算的性质.（1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad dbc a cd b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：（1）.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤ （2）.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或（3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）.（4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.例题讲解1．,0,,>c b a 求证：.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++2．0,,>c b a ，求证：.)(3c b a cb a abc c b a ++≥3．：.222,,,333222222abc ca b bc a b a c a c b c b a c b a R c b a ++≤+++++≤++∈+求证4．设*21,,,N a a a n ∈ ，且各不相同，求证：.32131211223221n a a a a n n ++++≤++++ .5．利用基本不等式证明.222ca bc ab c b a ++≥++6．已知,0,,1≥=+b a b a 求证：.8144≥+b a7．利用排序不等式证明n n A G ≤8．证明：对于任意正整数R ，有.)111()11(1+++<+n n n n9．n 为正整数，证明：.)1(131211]1)1[(111----<++++<-+n nn n n nn n课后练习1.选择题(1)方程x2-y2=105的正整数解有( ).（A）一组（B）二组（C）三组（D）四组(2)在0,1,2,…，50这51个整数中，能同时被2，3，4整除的有（）. （A）3个（B）4个（C）5个（D）6个2．填空题（1）的个位数分别为_________及_________.(2)满足不等式104≤A≤105的整数A的个数是x×104+1，则x的值________.(3)已知整数y被7除余数为5,那么y3被7除时余数为________.(4)求出任何一组满足方程x2-51y2=1的自然数解x和y_________.3.求三个正整数x、y、z满足.4．在数列4，8，17，77，97，106，125，238中相邻若干个数之和是3的倍数，而不是9的倍数的数组共有多少组？5．求的整数解.6．求证可被37整除.7．求满足条件的整数x，y的所有可能的值.8．已知直角三角形的两直角边长分别为l 厘米、m 厘米，斜边长为n 厘米，且l ，m ，n 均为正整数，l 为质数.证明：2（l+m+n ）是完全平方数.9.如果p 、q 、、都是整数，并且p ＞1，q ＞1，试求p+q 的值.课后练习答案1.D.C.2.(1)9及1. (2)9. (3)4.(4)原方程可变形为x 2=(7y+1)2+2y(y-7),令y=7可得x=50.3.不妨设x≤y≤z,则,故x≤3.又有故x≥2.若x=2,则,故y≤6.又有,故y≥4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z 无整数解.若x=3,类似可以确定3≤y≤4,y=3或4,z 都不能是整数. 4.可仿例2解.5. 分析：左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换．．的方法. 略解：ca a c bc c b ab b a 2,2,2223222≥+≥+≥+同理；三式相加再除以2即得证. 评述：（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.如n n x x x x x x x x x +++≥+++ 2112322221，可在不等式两边同时加上.132x x x x n ++++再如证)0,,(256)())(1)(1(32233>≥++++c b a c b a c b c a b a 时，可连续使用基本不等式.（2）基本不等式有各种变式如2)2(222b a b a +≤+等.但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1.6.8888≡8(mod37),∴88882222≡82(mod37).7777≡7(mod37),77773333≡73(mod37),88882222+77773333≡(82+73)(mod37),而82+73=407,37|407,∴37|N.7.简解:原方程变形为3x2-(3y+7)x+3y2-7y=0由关于x的二次方程有解的条件△≥0及y为整数可得0≤y≤5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4).8.∵l2+m2=n2,∴l2=(n+m)(n-m).∵l为质数,且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l2,n-m=1.于是l2=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l2-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l2+2l+1=(l+1)2.即2(l+m+1)是完全平方数.9.易知p≠q,不妨设p＞q.令=n,则m＞n由此可得不定方程(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.例题答案：1. 证明：abc a c ca c b bc b a ab 6)()()(-+++++)()()()2()2()2(222222222≥-+-+-=-++-++-+=b a c a c b c b a ab b a c ac c a b bc c b a.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++∴评述：（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明ca bc ab c b a ++≥++222时，可将22b a +)(ca bc ab ++-配方为])()()[(21222a c c b b a -+-+-，亦可利用,222ab b a ≥+ca a c bc c b 2,22222≥+≥+，3式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获证.2.分析：显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法.不等式关于c b a ,,对称，不妨+∈---≥≥R c a c b b a c b a ,,,则，且cb b a ,， ca都大于等于1..1)()()()(3333333333232323≥⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅==---------------++c a c b b a b c a c c b a b c a b a b a c c a b c b a c b a cb a ca cb b a ccbbaacbaabc c b a评述：（1）证明对称不等式时，不妨假定n 个字母的大小顺序，可方便解题. （2）本题可作如下推广：若≥=>na naai a a a n i a 2121),,,2,1(0则.)(2121na a a n na a a +++（3）本题还可用其他方法得证。

(完整版)高中数学竞赛讲义(九)──不等式

(11)
(12)
a>b>0, nCN+=an>bn;⑻a>b>0, nCN+=^^>^/^;
a>0, |x|<aQ -a<x<a, |x|>a= x>a或x<-a;
a, b€ R,则|a|-|b| < |a+b| <|a|+|b|;
a, bC R,贝U (a-b)2a2+b2> 2ab;
x, y, z € R+,则x+y>2*/^, x+y+z—刊Q电
-|b| w b与师以-（|a|+|b|） wa+bq|嘛|雄|a+b| < |a|-+ |b|T面再证（10）的左边，
|a|=|a+b-b| w |a+b|+回所以|a|-|b| w |a+b所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12）
为x+y-2而=（质-6）'>0,所以x+yP历，当且仅当x=y时，等号成立，再证另
工工
… …x+y —f+e一耳+沙，原不等式成立。
(6)放缩法，即要证A>B,可证A>C1, 01>C2,---,Cn-1>Cn, Cn>B(nCN+).
1 +--i--+,+---《厘(用主2).
例8求证：2 3 2*-1
【证明】
因为r: 2而=白+疝+疯>3^c~o~h=3狙瓦，所以原不等式成立。
1
例4已知实数a, b, c满足0<awbwc2,求证：。。一切却一右)8(1-浦

高中数学第二册上：6.3不等式的证明(一)优秀课件新人教A版

作差法注意事项: 1.当不等号左右两边有公因式或者可以配方时用作差法； 2.步骤分三步:作差,变形,判断．
返回

作商法的理论基础:
当a,b都为正数时:
a b
a b
1
a b
a b
1
a b
a b
1

例3.比较255和522的大小
证明:
255 522
25 52
11 11

32 25
11
111
1,
255 522.

作商法注意事项: 1.当不等号左右两边次数比较高或者不确定的时候用作商法. 2.步骤分三步:作商,变形,判断.

练习:
1.已知: b a 0, m 0,
求证: a m a . (作差) bm b
a3 b3 a2b ab2.

例3. 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一
半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路
程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，问
甲、乙两人谁先到达指定地点．
解：设总路程为S ，甲、乙两人走完这段路程所用的时
间分别为t1 ，t2，依题意有：
2.已知 a, b均为正数,试比较
aabb与abba的大小 (作商) ．

家庭作业: 习题6.3 1,2

3 2
2

3

x

3 2
2

3 4

3 4

0,
x2 3 3x.

高中数学竞赛均值不等式讲义

⾼中数学竞赛均值不等式讲义均值不等式1.均值不等式知识点1: ⼆元均值不等式可以推⼴到n 元，即：设,,,123a a a a n 为n 个⾮负实数，则12na a a n+++≥123a a a a n ====）.如何证明?知识点2: 设,,,123a a a a n 为n 个⾮负实数,n Q, 12nn a a a A n+++=,n G =, 12111n nnH a a a =++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成⽴当且仅当123a a a a n ====) 更⼀般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=11()ni i a nαα=∑,特别的,我们有:lim ()n f G αα→=，11()()ni i a f nααα==∑为关于α的增函数.知识点3:重要结论 (1)222,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++(2) ()2,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5),,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++(6) 222;2a a a b b a b b-≥-+≥(a,b,c>0)(7) 2222221()()3a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0)(8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则2111n ni i i ia n a ==?≥∑∑(当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++知识点4:加权平均值不等式已知12+...1(0,1,2.,,,)n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥.均值不等式的使⽤前要注意两个⽅⾯,⼀个是观察题⽬中不等式证明⽅向,另外⼀个是取等条件，根据这些信息,相应去选择均值不等式的技巧、模型，不断尝试，最终解决问题。

【全程复习方略】(广西专用)高中数学 6.2不等式的证明配套课件理新人教A版

(2)思路分析法的思路是“执果索因”.也就是从求证的不等式出发，不断地使用充分条件代替前面要证的不等式，直到找出已知的 (或已经证明过成立的)不等式.分析法适用于从条件入手很难得到条件与结论的关联的不等式证明问题. (3)表现形式
“要证……只要证……”.
【即时应用】
(1)思考:分析法与综合法有怎样的关系？
2.综合法 (1)定义不等式的性质推导出所要证利用某些已经证明过的不等式和_____________ 明的不等式成立，这种证明方法叫综合法. (2)思路综合法的思路是“由因导果”.也就是从已知的不等式出发，不断地使用必要条件代替前面的不等式，直到得出要证明的不
等式.综合法适用于从条件入手比较容易得到条件与结论的关
(2)作商比较法，它的依据是：若a＞0，b＞0，则 a ＞b ab＞1⇔_______ ab=1⇔_______ a=b a ＜b ab＜1⇔________ 1 的大小．它在证明基本步骤是：作商——变形——判断商与__ 幂、指数不等式中经常用到．
(1)比较下列各组数(式)的大小. ①x2+1______2x; ②log23______log34.
【解析】(1)∵0＜a＜1,0＜b＜1,且a≠b, ∴a2+b2＞2ab,a+b＞ 2 ab . ∵0＜a＜1,0＜b＜1, ∴a(a-1)＜0，b(b-1)＜0, ∴a(a-1)+ b(b-1)＜0.故a2+b2＜a+b. (2)∵a＞b＞1,∴Q＝ 1 lg (ab)＝ lg ab ＜ lg a＋b ＝R,又P＝
lga lgb ＜
lga＋lgb ＝Q,∴P＜Q＜R. 2
2
2
答案：(1)a+b
(2)P＜Q＜R

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

§14不等式的证明不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛和高考的热门题型.证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性分类罗列如下：不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据.对一个不等式进行变形的性质：（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性）（3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>（4）*).(,0N n b a b a b a nn nn ∈>>⇒>>对两个以上不等式进行运算的性质.（1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad dbc a cd b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：（1）.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤ （2）.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或（3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）.（4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.例题讲解1．,0,,>c b a 求证：.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++2．0,,>c b a ，求证：.)(3c b a c b a abc c b a ++≥3．：.222,,,333222222abc ca b bc a b a c a c b c b a c b a R c b a ++≤+++++≤++∈+求证4．设*21,,,N a a a n ∈ ，且各不相同，求证：.32131211223221na a a a n n ++++≤++++ .5．利用基本不等式证明.222ca bc ab c b a ++≥++6．已知,0,,1≥=+b a b a 求证：.8144≥+b a7．利用排序不等式证明n n A G ≤8．证明：对于任意正整数R ，有.)111()11(1+++<+n n n n9．n 为正整数，证明：.)1(131211]1)1[(111----<++++<-+n nn n n nn n例题答案：1. 证明：abc a c ca c b bc b a ab 6)()()(-+++++)()()()2()2()2(222222222≥-+-+-=-++-++-+=b a c a c b c b a ab b a c ac c a b bc c b a.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++∴评述：（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明ca bc ab c b a ++≥++222时，可将22b a +)(ca bc ab ++-配方为])()()[(21222a c c b b a -+-+-，亦可利用,222ab b a ≥+ca a c bc c b 2,22222≥+≥+，3式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获证.2.分析：显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法.不等式关于c b a ,,对称，不妨+∈---≥≥R c a c b b a c b a ,,,则，且cb b a ,， ca都大于等于1..1)()()()(3333333333232323≥⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅==---------------++c a c b b a b c a c c b a b c a b a b a c c a b c b a c b a cb a ca cb b a ccbbaacbaabc c b a评述：（1）证明对称不等式时，不妨假定n 个字母的大小顺序，可方便解题. （2）本题可作如下推广：若≥=>na naai a a a n i a 2121),,,2,1(0则.)(2121na a a n na a a +++（3）本题还可用其他方法得证。

因abbab a b a ≥，同理c a a c b c c b a c a c c b c b ≥≥,，另cbacbac b a c b a ≥，4式相乘即得证.（4）设.lg lg lg ,0c b a c b a ≥≥≥≥≥则例3等价于,lg lg lg lg a b b a b b a a +≥+类似例4可证.lg lg lg lg lg lg lg lg lg a c b b c a a c c b b a c c b b a a ++≥++≥++事实上，一般地有排序不等式（排序原理）：设有两个有序数组n n b b b a a a ≤≤≤≤≤≤ 2121,，则n n b a b a b a +++ 2211（顺序和）n j n j j b a b a b a +++≥ 2121（乱序和）1111b a b a b a n n n +++≥- （逆序和）其中n j j j n ,,2,1,,,21 是的任一排列.当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号成立.排序不等式应用较为广泛（其证明略），它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序数组的积的形式.如c c b b a a a c c b b a c b a R c b a ⋅+⋅+⋅⇔++≥++∈+222222333,,,时cc b b a a a c c b b a c b a a c c b b a a c c b b a 111111;222222222222⋅+⋅+⋅≥⋅+⋅+⋅⇔++≥++⋅+⋅+⋅≥.3.思路分析：中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明.不妨设a b c c b a c b a 111,,222≥≥≥≥≥≥则，则bc a b c a 111222⋅+⋅+⋅（乱序和）c c b b a a 111222⋅+⋅+⋅≥（逆序和），同理b c a b c a 111222⋅+⋅+⋅（乱序和）cc b b a a 111222⋅+⋅+⋅≥（逆序和）两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组abac bc c b a 111333≥≥≥≥及，仿上可证第二个不等式. 4.分析：不等式右边各项221ia i a i i ⋅=；可理解为两数之积，尝试用排序不等式. 设n n a a ab b b ,,,,,,2121 是的重新排列，满足n b b b <<< 21，又.131211222n>>>>所以223221232213232n b b b b n a a a a n n ++++≥++++.由于n b b b ,,21是互不相同的正整数，故.,,2,121n b b b n ≥≥≥ 从而n nb b b b n 121132223221+++≥++++ ，原式得证. 评述：排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式，,22a b b a b a ⋅+⋅≥+.3222333abc ab c ac b bc a ca c bc b ab a a c c b b a c b a =⋅+⋅+⋅≥⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅≥++5.思路分析：左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换．．的方法.ca a c bc c b ab b a 2,2,2223222≥+≥+≥+同理；三式相加再除以2即得证.评述：（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.如n n x x x x x x x x x +++≥+++ 2112322221，可在不等式两边同时加上.132x x x x n ++++ 再如证)0,,(256)())(1)(1(32233>≥++++c b a c b a c b c a b a 时，可连续使用基本不等式.（2）基本不等式有各种变式如2)2(222b a b a +≤+等.但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1. 6. 思路分析：不等式左边是a 、b 的4次式，右边为常数81，如何也转化为a 、b 的4次式呢. 要证,8144≥+b a 即证.)(81444b a b a +≥+评述：（1）本题方法具有一定的普遍性.如已知,0,1321≥=++i x x x x 求证：3231x x +.3133≥+x 右侧的31可理解为.)(313321x x x ++再如已知0321=++x x x ，求证：3221x x x x ++013≤x x ，此处可以把0理解为2321)(83x x x ++，当然本题另有简使证法.（2）基本不等式实际上是均值不等式的特例.（一般地，对于n 个正数),,21n a a a调和平均nn a a a nH 11121+++=几何平均n n n a a a G 21⋅= 算术平均na a a A nn +++=21平方平均222221nn a a a Q +++=这四个平均值有以下关系：n n n n Q A G H ≤≤≤，其中等号当且仅当na a a === 21时成立. 7. 证明: 令),,2,1(,n i G ab nii ==则121=n b b b ，故可取0,,21>n x x x ，使得111322211,,,,x x b x x b x xb x x b n n n n n ====-- 由排序不等式有：n b b b +++ 21=13221x x x x x x n +++ （乱序和）nn x x x x x x 1112211⋅++⋅+⋅≥ （逆序和） =n ，.,2121n n n n n n G na a a n G a G a G a ≥+++≥+++∴即评述:对na a a 1,,1,121 各数利用算术平均大于等于几何平均即可得，n n A G ≤. 8. 分析:原不等式等价于111)11(1++<++n n n n ，故可设法使其左边转化为n 个数的几何平均，而右边为其算术平均..111121)11()11(1)11()11()11(111++=++=+++<⋅++=++++n n n n n n n n n n n n n个评述:（1）利用均值不等式证明不等式的关键是通过分拆和转化，使其两边与均值不等式形式相近.类似可证.)111()11(21++++<+n n n n （2）本题亦可通过逐项展开并比较对应项的大小而获证，但较繁.9.证明:先证左边不等式nn n n n n nn 1312111)1(131211]1)1[(11++++<-+⇔++++<-+⇔ n n n n n +++++<+131211)1(1nn n n )11()131()121()11()1(1++++++++<+⇔(*)1342321n n n n n +++++<+⇔.1134232134232n n n nn n n n +=+++++>+++++∴ （*）式成立，故原左边不等式成立. 其次证右边不等式11)1(131211--⋅--<++++n n n n n1)11()311()211(11)131211(111--++-+-<⇔-++++-<⇔---n n n n n n nn n ⇔ 11322111--+++<-n n n n n （**）（**）式恰符合均值不等式，故原不等式右边不等号成立.。

高中数学竞赛讲义 不等式的证明 新人教A版

高考数学 不等式的证明(一)课件 新人教版