多元函数积分概念与性质2011

o
t= y2
1 1 1 −t 1 −t 1 1 −t 1 1 = ∫ te dt = − te − ∫ e dt = − 6 3e 3 02 6 0 0
注意：在例 中 比法2简便 注意：在例2中，法1比法 简便，在例 中，由于 比法 简便，在例3中 被积函数中含有 e
z = f ( x , y ) ≥ 0,
(x , y ) ∈ D
b x x o a
ϕ1( x)
D
为顶面的曲顶柱体的体积为
V = ∫∫ f ( x, y) dσ
D
y
ϕ2 ( x)
而该体积也可用定积分的方法求得: 而该体积也可用定积分的方法求得 轴作平行于yoz坐标面 任取 x ∈ [a , b ] ，过 x 轴作平行于 坐标面 的平面，此平面与曲顶柱体之交为一曲边梯形， 的平面，此平面与曲顶柱体之交为一曲边梯形， 设其面积为 A ( x ) ，则
∫
Ω
f ( M)dΩ = Ω的质量
积分存在的条件和性质. 三. 积分存在的条件和性质 必要条件: 上可积， 上有界。 必要条件 f 在Ω上可积，则f 在Ω上有界。
1.线性性质： 线性性质： 线性性质
Ω
∫ [af ( M ) + bg( M )]dΩ = a ∫
∫
f ( M )dΩ =
Ω
f ( M )dΩ + b∫ g( M )dΩ
近似 ： 任取 (ξ i , η i ) ∈ ∆ σ i 则以 ∆σ i 为底的小曲顶柱 体体积: 体体积
z
，
z= f (x, y)
∆v i ≈ f (ξ i ,η i )∆σ i
n
o x
求和： 求和： V ≈ ∑ f (ξ i ,η i ) ∆ σ i
i =1
D
∆σ i
y
取极限： 取极限：区域中任意两点距离的最大值称为该 区域的直径， 区域的直径，记 d = max{∆σ i 的直径} 则：
D
k =1
Ω
Σ
∫
L
ds = 曲线 L 的长度 .
D
为底,以 当 f ( x , y ) ≥ 0 时，∫∫ f ( x, y) dσ = 以D为底 以 为底
z = f ( x, y)
为顶的曲顶柱体的体积； 为顶的曲顶柱体的体积；
数量函数积分的物理应用之一： 数量函数积分的物理应用之一：
的密度函数时， 当函数 f 为几何形体 Ω 的密度函数时，
f (x , y ) ≥ 0
，但实际上上公式对
∫∫ f ( x, y) dσ
D
= ∫∫ f ( x, y) dxdy
D
= ∫ dx∫
a
b
ϕ2 ( x )
ϕ1 ( x )
f ( x, y)dy
y
ϕ2 ( x)
y
ϕ2 ( x)
D o a
ϕ1 ( x ) b
D x o a
ϕ1 (x ) b
x
元 （直角坐标系中面积微 dσ = dxdy）
∫ ∫
L
f ( x , y ) ds = lim
d→0
∑
n
k =1
f (ξ k , η k ) ∆ s k
n
L
f ( x , y , z ) ds = lim
d→0
∑
k =1
f (ξ k , η k , ζ k ) ∆ s k
L称为积分路径。 称为积分路径。 称为积分路径 对面积的曲面积分）： 第一型曲面积分 （对面积的曲面积分）：
ψ 2 ( y)
c o
x
o
x c
y
D2 D1
o
D3
x
∫∫ f ( x , y ) dxdy
D
=
∫∫ f ( x , y ) dxdy + ∫∫ f ( x , y ) dxdy + ∫∫ f ( x , y ) dxdy
D1 D2 D3
例 1 计算
∫∫ xydxdy
D
D : x 2 + y 2 ≤ 1 , x ≥ 0, y ≥ 0
− y2
积分. ，只能先对x积分 因此， 只能先对 积分 因此，
在把二重积分化为二次积分时， 在把二重积分化为二次积分时，选择恰当的积分 次序是非常重要的，而要计算二重积分， 次序是非常重要的，而要计算二重积分，关键的 是要化为二次积分。 是要化为二次积分。 作出积分域，并改变积分次序： 例4 作出积分域，并改变积分次序：
Y -型区域：任一平行 x 轴的直线与 的边界 型区域： 轴的直线与D的边界 型区域 的交点至多只有两个。 的交点至多只有两个。
∫∫ f ( x, y) dxdy = ∫
D
d
c
dy∫
ψ2 ( y)
ψ1 ( y )
f ( x, y)dx
ψ 2 ( y)
y d
ψ 1 ( y)
y
d D
ψ 1 ( y)
D
Ω
2.可加性 可加性
Ω Ω1
∫
f ( M )dΩ +
Ω2
∫
f ( M )dΩ
无公共内点。 其中Ω = Ω 1 U Ω 2 , 且Ω 1与Ω 2 无公共内点。
3.积分不等式 积分不等式 若 ∀M ∈ Ω , f ( M ) ≤ g ( M ), 则
Ω
∫
f ( M )d Ω ≤
Ω
∫
g ( M )d Ω
特别地， 特别地，有
D x=2
yx = 1
1
(2, 1 ) 2
x
先对x后对 后对y积分 法二 先对 后对 积分
y
y=x
(1 , 1 )
(2, 2)
∫∫
D
x dxdy 2 y
2
D x=2
yx = 1
1 (2, ) 2
=
∫
1
1 2
dy ∫ 1
2
y
2 2 x x dx + ∫ dy ∫ 2 dx 2 1 y y y
2
2
o
1
第1节 多元数量函数积分的 概念和性质
将一元函数积分学中的“分割、近似、求和、 将一元函数积分学中的“分割、近似、求和、 取极限”思想推广，运用到多元函数情形。 取极限”思想推广，运用到多元函数情形。
两个实例： 一. 两个实例： 1.曲顶柱体的体积 曲顶柱体的体积 曲顶柱体： 平面上的闭区域D为底 曲顶柱体：以XOY平面上的闭区域 为底， 平面上的闭区域 为底， 的边界曲线为准线，母线平行于Z 以D 的边界曲线为准线，母线平行于 轴的 柱面为侧面， 为顶的空间立体. 柱面为侧面，并以z=f(x,y) 为顶的空间立体 如何求此曲顶柱体的体积V？微元法思想 如何求此曲顶柱体的体积 ？微元法思想. 分割： 分割： 把 D 任意分成 n 个小区域 ∆σ 1 , ∆σ 2 ,L, ∆σ n (同时用 ∆ σ i 表示第 i 个小区域的面积），分别 个小区域的面积）， ），分别 同时用 轴的柱面， 以 ∆σ i 的边界为准线作母线平行于 z 轴的柱面， 个小的曲顶柱体。 则原曲顶柱体分成了 n 个小的曲顶柱体。
V = ∫ A( x )dx
a b
而 A( x ) = ∫
b
ϕ2 ( x) ϕ1 ( x )
f ( x , y )dy z
∴V = ∫∫ f ( x, y) dσ = ∫ [∫
a D 记 b a
ϕ2 ( x )
ϕ1 ( x )f (Fra bibliotekx, y)dy]dx
= ∫ dx∫
ϕ2 ( x )
ϕ1( x) b x 的二次积分(累次积分 先y后x的二次积分 累次积分 后 的二次积分 累次积分)
V = lim ∑ f (ξ i ,η i )∆σ i
n d →0 i =1
1≤ i ≤ n
2. 质量： 质量： 设有一物体对应于空间曲面Σ ,ρ(x,y,z) 为密度 设有一物体对应于空间曲面Σ 函数(连续） 函数 连续）， 现要求该物体的质量 m。 连续 。 分割： 任意分成n 分割：把Σ任意分成 小块 ∆ A i (i = 1 , L , n ) ，
解
由于 e
− y2
的原函数不能用初等函数表示， 的原函数不能用初等函数表示， y
y 2 − y2
0
故不能先对y积分 故不能先对 积分
∫∫ x e
D
2 − y2
dxdy = ∫ dy ∫ x e
0
y 2
1
dx
1
D 1 1 x
=∫ e
0
1
− y2
dy ∫
0
1 1 3 − y2 x dx = ∫ y e dy 3 0
∫
Ω
f ( M )dΩ，即
∫
Ω
f ( M )dΩ = lim ∑ f (M k )∆Ω k
d →0 k =1
n
其中Ω称为积分域， 称为被积函数 被积函数， 其中Ω称为积分域，f 称为被积函数，f(M)d Ω 积分域 称为被积式 积分微元。 被积式或 称为被积式或积分微元。 几种具体的类型： 几种具体的类型： 二重积分； 二重积分； ∫∫ f ( x , y ) d σ = lim
Ω
∫
f ( M ) d Ω = f ( P ) ⋅ ( Ω 的度量 )
第2 节
二重积分的计算
直角坐标系中二重积分的计算： 一. 直角坐标系中二重积分的计算： 由二重积分的几何意义知： 由二重积分的几何意义知：以 xoy 平面上的 区域 D = {( x , y ) a ≤ x ≤ b , ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x )} 的边界为准线， 的边界为准线，母线平行于 z z 轴的柱面为侧面， 为底面 为底面， 轴的柱面为侧面，D为底面，曲 面