2014-2015期末——鼓楼区试卷【录入：刘璐 审核：海燕】

2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．一只不透明的袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为（）A．B．C．D．2．已知矩形纸片ABCD中，AB=1，如图，剪去正方形ABEF，得到的矩形ECDF与矩形ABCD相似，则AD的长为（）A．2 B．C．D．3．已知：⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为1cm，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．2cm或4cm4．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，商场采取降价措施，假设一定范围内，衬衫单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果销售这批衬衫每天盈利1250元，设衬衫单价降了x元，根据题意，可列方程（）A．（40﹣x）（20+2x）=1250 B．（40﹣2x）（20+x）=1250C．（40+x）（20﹣2x）=1250 D．（40+2x）（20﹣x）=12505．如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，矩形BCDE的边DE与⊙O相切，BE=3，则矩形BCDE的面积是（）A．18 B．9 C．18D．96．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（1，﹣1）和（﹣2，1），下列关于此二次函数的叙述，正确的是（）A．当x=0时，y的值小于﹣1 B．当x=﹣3时，y的值大于1C．当x=5时，y的值等于0 D．当x=1时，y的值大于1二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．已知，则=．8．二次函数y=x2+2x﹣5的图象的顶点坐标是．9．已知一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1•x2=．10．已知，△ABC的重心G到BC边中点D的距离是2，则BC边上的中线长是．11．将二次函数y=2x2﹣4x+3的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象的表达式是．12．如图，在▱ABCD中，E是BC边上的一点，且BE：EC=2：1，延长AE交DC延长线于点F，则AB：DF=．13．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2y ﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3则当x=1时，y的值为．14．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．15．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AC、BD交于点E，若CD：AB=1：2，△ABE的周长为8，则△CDE的周长为．16．一张圆心角为45°的扇形纸片按如图方法剪成一个边长为1的正方形，正方形的四个顶点分别在扇形的半径和弧上，那么这个扇形纸片的面积是．三、解答题（共11小题，满分88分）17．（1）解方程（组）①x2+10x+21=0；②（2）利用（1）中解方程（组）使用的方法，可求得方程组的解为．18．（1）根据表1中甲、乙两组数据，完成表2．表1A B C D E F G H甲 5 5 6 6 6 6 7 7乙 3 3 3 6 7 8 8 10表2平均数中位数众数方差甲 6 6 6乙 6 6.5（2）根据表中，回答下列问题：①若项目A～H表示某品牌薯片的8种口味，甲数据表示一天内这8种口味的薯片销售情况，那么作为商家，应该关心表2中的；②若项目A～H表示某公司8位业务员，乙数据表示他们某一个月的销售额，那么作为第9位业务员，想让自己的销售额达到中等以上水平，应该关心表2中的；③若甲、乙表示的两位射击运动爱好者，项目A～H表示8次射击练习中他们命中的环数，那么教练想从中选出一位参加比赛，应选择哪一位？为什么？19．从某班4名团员中随机抽取2名参加学校团员竞赛，这4名团员中有3名男生和1名女生，求抽到两名男生的概率．20．如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后（剩下的部分做成一个）容积为90立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面积的长比宽多4米，求矩形铁皮的面积．21．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2．（1）用直尺和圆规作△ABC的内切圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求∠BOC的度数和⊙O的半径．22．如图，夜晚路灯下，小明在点D处测得自己影长DE=4m，在点G处测得自己影长DG=3m，E、D、G、B在同一条直线上，已知小明身高为1.6m，求灯杆AB的高度．23．请用二次函数的知识进行解释，在所有周长相等的矩形中，正方形面积最大．24．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，=，过点C作CE⊥AD延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC=3，AC=4，求CE和AD的长．25．如图是我们熟悉的“勾股树”，图中的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中∠ACB=∠A1C1B1=∠A2C2B2=90°，正方形①和②的面积比、正方形③和④的面积比均为1：2．（1）求证：△A1B1C1∽△A2B2C2；（2）若△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2的面积分别标记为S、S1、S2，猜想S、S1、S2之间的关系，并说明理由．26．某种药物有三种不同的配方，如图，三条抛物线表示这三种配方在给药量相同的情况下，每毫升血液中的含药量y（微克）随时间x（小时）的变化情况，这种药物每毫升血液中的含药量大于9微克，则会发生中毒，小于5微克，则没有疗效．（1）药厂会旋转该药品的第种配方（填写序号即可），你的理由是．（2）根据图象，求出（1）中选择的配方的有效时间是多长？（3）如果加大给药量，（1）中选择的配方对应的抛物线的形状不变，但位置发生变化，那么该配方的最大有效时间是小时．27．【学习新知】定义：直角三角形的三个顶点分别在矩形的三条边上，并且这个三角形把矩形分割得到若干个三角形，若其中两个三角形均与这个直角三角形相似，我们就把这个直角三角形叫做这个矩形的内接相似直角三角形．【解决问题】矩形ABCD中，AB=4，AD=8，△EFG的三个顶点E、F、G分别在AD、DC、BC上．（1）如图，点E与点A重合，∠EFG=90°．①求证：△EDF∽△FCG；②若△EFG是矩形ABCD的内接相似直角三角形，求DF的长；（2）若△EFG是矩形ABCD的内接相似直角三角形，且它的三个顶点与矩形各顶点都不重合，求DF的长．2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．（2分）（2014秋•南京期末）一只不透明的袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】由一只不透明的袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵一只不透明的袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外都相同，∴搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为：=．故选A．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2．（2分）（2014秋•南京期末）已知矩形纸片ABCD中，AB=1，如图，剪去正方形ABEF，得到的矩形ECDF与矩形ABCD相似，则AD的长为（）A．2 B．C．D．【考点】相似多边形的性质．【专题】计算题．【分析】设AD=x，根据正方形的性质得AF=AB=EF=1，则FD=x﹣1，在根据相似多边形的性质得到DF：AB=EF：AD，即（x﹣1）：1=1：x，然后解方程即可得到AD的长．【解答】解：设AD=x，∵四边形ABEF为正方形，∴AF=AB=EF=1，∴FD=x﹣1，∵矩形ECDF与矩形ABCD相似，∴DF：AB=EF：AD，即（x﹣1）：1=1：x，整理得x2﹣x﹣1=0，解得x1=，x2=（舍去），即AD的长为．故选D．【点评】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比；对应角相等；对应边的比相等；相似多边形面积的比等于相似比的平方．也考查了等腰直角三角形．3．（2分）（2014秋•南京期末）已知：⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为1cm，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．2cm或4cm【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线和圆相切的数量关系，可得点O到l的距离为1cm，可向上或向下平移，使l与⊙O相切，即可得出答案．【解答】解：如图，当l与圆第一次相切时，平移的距离为3﹣1=2cm；当l移动到l″时，平移的距离为3﹣1+2=4cm；故选D．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系以及平移的性质，是基础知识要熟练掌握．4．（2分）（2014秋•南京期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，商场采取降价措施，假设一定范围内，衬衫单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果销售这批衬衫每天盈利1250元，设衬衫单价降了x元，根据题意，可列方程（）A．（40﹣x）（20+2x）=1250 B．（40﹣2x）（20+x）=1250C．（40+x）（20﹣2x）=1250 D．（40+2x）（20﹣x）=1250【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】销售问题．【分析】由题意，可设衬衫的单价应下降x元．则每天可售出（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元．再根据相等关系：每天的获利=每天售出的件数×每件的盈利；列方程即可．【解答】解：设每件应降价x元/m3，根据题意，得（40﹣x）（20+2x）=1250．故选A．【点评】考查了一元二次方程的应用，找到题目的相等关系：每天的获利=每天售出的件数×每件的盈利；是解答本题的关键，注意判断所求的解是否符合题意．5．（2分）（2014秋•南京期末）如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，矩形BCDE的边DE与⊙O相切，BE=3，则矩形BCDE的面积是（）A．18 B．9 C．18D．9【考点】切线的性质．【分析】连接OB、OC，作OF⊥ED，交BC于G，根据已知求得∠OBC=30°，OG=OB=OF，BG=BC，进而求得OB=6，根据勾股定理求得BG，即可求得BC，最后根据矩形的面积公式即可求得．【解答】解：连接OB、OC，作OF⊥ED，交BC于G，∵△ABC是⊙O的内接等边三角形，∴∠ABC=60°，∠OBC=30°，∵OF⊥ED，∴OF是圆O的半径，OG⊥BC，∴OG=OB=OF，BG=BC，∴GF=OG，∵GF=BE=3，∴OB=OF=6，∴BG==3，∴BC=2BG=6，∴矩形BCDE的面积=3×6=18．故选C．【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的性质和矩形的性质，熟练掌握和运用这些性质是解题的关键．6．（2分）（2014秋•南京期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（1，﹣1）和（﹣2，1），下列关于此二次函数的叙述，正确的是（）A．当x=0时，y的值小于﹣1 B．当x=﹣3时，y的值大于1C．当x=5时，y的值等于0 D．当x=1时，y的值大于1【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】数形结合．【分析】根据抛物线与y轴的交点位置对A进行判断；根据二次函数的性质，当x=﹣2时，y=1，则x=﹣3时，y＞1，于是可对B进行判断；根据图象，当x=5时，不能确定函数值等于0，则可对C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对D进行判断．【解答】解：A、抛物线与y轴的交点在x轴下方，且在点（1，﹣1）上方，所以x=0时，﹣1＜y＜0，所以A选项错误；B、当x=﹣3时，y＞1，所以B选项正确；C、当x=5时，不能确定函数值等于0，所以C选项错误；D、当x=1时，y=﹣1，所以D选项错误．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．（2分）（2014秋•南京期末）已知，则=．【考点】比例的性质．【分析】根据比例的性质，可用x表示y，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：由，得3（3x﹣4y）=2（x﹣2y）．化简，得y=x．==，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质，分式的性质．8．（2分）（2014秋•南京期末）二次函数y=x2+2x﹣5的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣6）．【考点】二次函数的性质．【分析】将函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．【解答】解：∵y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6，∴二次函数y=x2+2x﹣5的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣6）．故答案为：（﹣1，﹣6）．【点评】本题考查了二次函数的性质，将函数解析式整理成顶点式形式求解更简便．9．（2分）（2011•来宾）已知一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1•x2=﹣2．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=即可得到答案．【解答】解：∵一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1•x2==﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．10．（2分）（2013•长宁区二模）已知，△ABC的重心G到BC边中点D的距离是2，则BC 边上的中线长是6．【考点】三角形的重心．【分析】根据三角形重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍求解即可．【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD=4；∴AD=AG+GD=6，即BC边上的中线长是6．故答案为：6．【点评】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．11．（2分）（2014秋•南京期末）将二次函数y=2x2﹣4x+3的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象的表达式是y=2（x+2）2或y=2x2+8x+8．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】首先将原式转化为顶点式，进而利用二次函数平移规律进而求出即可．【解答】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，∴抛物线y=2x2﹣4x+3先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，平移后的函数关系式是：y=2（x+2）2或y=2x2+8x+8．故答案为：y=2（x+2）2或y=2x2+8x+8．【点评】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．12．（2分）（2014秋•南京期末）如图，在▱ABCD中，E是BC边上的一点，且BE：EC=2：1，延长AE交DC延长线于点F，则AB：DF=2：3．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的对边相等，得△ABE∽△FCE，AB=CD，由相似三角形的对应边成比例来求AB：DF的值．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴△ABE∽△FCE，∴AB：FC=BE：EC=2：1，∴AB：DF=AB：（AB+CF）=2：3，故答案是：2：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质．三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边，对顶角相等等隐含条件．13．（2分）（2013•如皋市校级模拟）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2y ﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3则当x=1时，y的值为﹣27．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】首先观察表格可得二次函数y=ax2+bx+c过点（﹣4，3）与（﹣2，3），则可求得此抛物线的对称轴，然后有对称性求得答案．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c过点（﹣4，3）与（﹣2，3），∴此抛物线的对称轴为：直线x==﹣3，∴横坐标为：x=1的点的对称点的横坐标为：x=﹣7，∴当x=1时，y=﹣27．故答案为：﹣27．【点评】此题考查了二次函数的对称性．此题难度不大，注意抛物线上对称的两点的纵坐标相等．14．（2分）（2012•资阳）关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是k＜且k≠0．【考点】根的判别式．【专题】方程思想．【分析】根据一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，知△=b2﹣4ac＞0，然后据此列出关于k的方程，解方程即可．【解答】解：∵kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=1﹣4k＞0，且k≠0，解得，k＜且k≠0；故答案是：k＜且k≠0．【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式．解题时，注意一元二次方程的“二次项系数不为0”这一条件．15．（2分）（2014秋•南京期末）如图，点A、B、C、D在⊙O上，AC、BD交于点E，若CD：AB=1：2，△ABE的周长为8，则△CDE的周长为4．【考点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【分析】根据圆周角定理得出∠A=∠D，∠B=∠C，根据相似三角形的判定推出△ABE∽△DCE，根据相似三角形的性质得出=，代入求出即可．【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠A=∠D，∠B=∠C，∴△ABE∽△DCE，∵CD：AB=1：2，∴==2，∵△ABE的周长为8，∴△CDE的周长为4，故答案为：4．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理的应用，解此题的关键是根据相似三角形的性质得出==2，难度适中．16．（2分）（2014秋•南京期末）一张圆心角为45°的扇形纸片按如图方法剪成一个边长为1的正方形，正方形的四个顶点分别在扇形的半径和弧上，那么这个扇形纸片的面积是π．【考点】勾股定理；圆的认识．【分析】先求出扇形的半径，再根据面积公式求出面积．【解答】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=1，由勾股定理得：OD==，∴扇形的面积是=π；故答案是：π．【点评】本题考查了正方形性质，勾股定理，扇形的面积公式的应用，解此题的关键是求出扇形的半径，题目比较好，难度适中．三、解答题（共11小题，满分88分）17．（9分）（2014秋•南京期末）（1）解方程（组）①x2+10x+21=0；②（2）利用（1）中解方程（组）使用的方法，可求得方程组的解为，．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解二元一次方程组；高次方程．【分析】（1）①分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；②把②代入①得出关于x的方程，求出x的值，代入②求出y即可；（2）把②代入①得出关于x的方程，求出x的值，代入②求出y即可．【解答】解：（1）①x2+10x+21=0，（x+3）（x+7）=0，x+3=0，x+7=0，x1=﹣3，x2=﹣7；②把②代入①得：2x+3（x﹣1）=2，解得：x=1，把x=1代入②得：y=1﹣1=0，所以方程组的解为；（2）把②代入①得：x2+10（x﹣1）+31=0，解得：x1=﹣3，x2=﹣7，代入②得：y1=﹣4，y2=﹣8，所以方程组的解为，，故答案为：，．【点评】本题考查了解一元二次方程和解二元二次方程组的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，把二元二次方程组转化成一元二次方程，难度适中．18．（7分）（2014秋•南京期末）（1）根据表1中甲、乙两组数据，完成表2．表1A B C D E F G H甲 5 5 6 6 6 6 7 7乙 3 3 3 6 7 8 8 10表2平均数中位数众数方差甲 6 6 6 0.5乙 6 6.53 6.5（2）根据表中，回答下列问题：①若项目A～H表示某品牌薯片的8种口味，甲数据表示一天内这8种口味的薯片销售情况，那么作为商家，应该关心表2中的众数；②若项目A～H表示某公司8位业务员，乙数据表示他们某一个月的销售额，那么作为第9位业务员，想让自己的销售额达到中等以上水平，应该关心表2中的中位数；③若甲、乙表示的两位射击运动爱好者，项目A～H表示8次射击练习中他们命中的环数，那么教练想从中选出一位参加比赛，应选择哪一位？为什么？【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．【分析】（1）按照众数、中位数、方差的求法，可得乙组的中位数是6.5，众数是3，方差为0.5；甲组的方差是0.5；（2）根据统计量的意义，结合数据，逐一选择得出答案即可．【解答】解：（1）表2平均数中位数众数方差甲 6 6 6 0.5乙 6 6.5 3 6.5（2）①若项目A～H表示某品牌薯片的8种口味，甲数据表示一天内这8种口味的薯片销售情况，那么作为商家，应该关心表2中的众数；②若项目A～H表示某公司8位业务员，乙数据表示他们某一个月的销售额，那么作为第9位业务员，想让自己的销售额达到中等以上水平，应该关心表2中的中位数；③若甲、乙表示的两位射击运动爱好者，项目A～H表示8次设计练习中他们命中的环数，那么教练想从中选出一位参加比赛，应当选择甲，因为甲的方差比乙的小，发挥稳定．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的计算方法及意义．19．（6分）（2014秋•南京期末）从某班4名团员中随机抽取2名参加学校团员竞赛，这4名团员中有3名男生和1名女生，求抽到两名男生的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到两名男生的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽到两名男生的有6种情况，∴抽到两名男生的概率为：=．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．（7分）（2014秋•南京期末）如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后（剩下的部分做成一个）容积为90立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面积的长比宽多4米，求矩形铁皮的面积．【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】设矩形铁皮的宽为x米，则长为（x+4）米，无盖长方体箱子的底面长为（x+4﹣4）米，底面宽为（x﹣4）米，根据运输箱的容积为90立方米建立方程求出其解即可．【解答】解：设矩形铁皮的宽为x米，则长为（x+4）米，由题意，得x（x﹣4）×2=90，解得：x1=9，x2=﹣5（舍去），所以矩形铁皮的长为：9+4=13米，矩形铁皮的面积是：13×9=117（平方米）．答：矩形铁皮的面积是117平方米．【点评】本题考查了长方体的体积公式的运用，矩形的面积公式的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时由无盖长方体箱子的容积为90立方米建立方程是关键．21．（6分）（2014秋•南京期末）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2．（1）用直尺和圆规作△ABC的内切圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求∠BOC的度数和⊙O的半径．【考点】作图—复杂作图；三角形的内切圆与内心．【分析】（1）作出△ABC的角平分线的交点就是O，然后作OD⊥BC于点D，以O为圆心，以OD为半径作圆即可；（2）根据内心是角平分线的交点，利用三角形的内角和定理求解．【解答】解：（1）如图所示：⊙O就是所求的圆；（2）∵在直角△ABC中，∠A=30°，∴∠ABC=60°，又∵O是△ABC的内心，∴∠OBC=∠ABC=30°，∠OCB=∠ACB=45°，∴∠BOC=180°﹣30°﹣45°=105°．∵在直角△ABC中，∠A=30°，∴AB=2BC=4，AC===2．∴⊙O的半径是：=﹣1．【点评】本题考查了尺规作图，三角形的内心是三角形的角平分线的交点，到三角形的三边的距离相等．22．（8分）（2014秋•南京期末）如图，夜晚路灯下，小明在点D处测得自己影长DE=4m，在点G处测得自己影长DG=3m，E、D、G、B在同一条直线上，已知小明身高为1.6m，求灯杆AB的高度．【考点】相似三角形的应用．【专题】计算题．【分析】先证明△ECD∽△EAB，利用相似比得到=，即=，再证明△DFG∽△DAB，利用相似比得到=，即=，于是得到=，可解得BG=9，然后利用=求AB的长．【解答】解：∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB，∴=，即=，∵FG∥AB，∴△DFG∽△DAB，∴=，即=，∴=，解得BG=9，∴=，∴AB=6.4（m），即灯杆AB的高度为6.4m．【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．23．（8分）（2014秋•南京期末）请用二次函数的知识进行解释，在所有周长相等的矩形中，正方形面积最大．【考点】二次函数的应用．【分析】设长方形的周长为l，长为x，则宽为，长方形的面积S=x•=﹣（x﹣）2+，根据二次函数的性质即可得出结论．【解答】解：∵设长方形的周长为l，长为x，则宽为，∴长方形的面积S=x•=﹣（x﹣）2+，∵当x=时，S最大=，此时矩形的宽为，即此时为正方形．【点评】本题考查的是二次函数的应用，熟知二次函数的最值问题是解答此题的关键．24．（9分）（2014秋•南京期末）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，=，过点C作CE⊥AD延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC=3，AC=4，求CE和AD的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OC，OA=OC，则∠OCA=∠OAC，再由已知条件，可得∠OCE=90°；（2）由CE是⊙O的切线，得∠DCE=∠CAE=∠CAB，从而求得△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得．【解答】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵=∴DC=BC，∴∠BAC=∠CAD，∴∠OCA=∠CAD，∴OC∥AE，∵∠E=90°∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵CE是⊙O的切线，∴∠DCE=∠CAE=∠CAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠E，∴△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，∴==，=∵BC=3，AC=4，∴AB=5，CD=3，∴=，=，=∴CE=，ED=，AE=，∴AD=AE﹣ED=．【点评】考查了切线的判定定理和勾股定理，三角形相似的判定和性质，都是基础知识要熟练掌握．25．（8分）（2014秋•南京期末）如图是我们熟悉的“勾股树”，图中的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中∠ACB=∠A1C1B1=∠A2C2B2=90°，正方形①和②的面积比、正方形③和④的面积比均为1：2．（1）求证：△A1B1C1∽△A2B2C2；（2）若△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2的面积分别标记为S、S1、S2，猜想S、S1、S2之间的关系，并说明理由．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】（1）根据面积之比可得===，再加上夹角相等可得△A1B1C1∽△A2B2C2；（2）根据面积之比设A1C1=x，C1B1=x，A2C2=y，C2B2=y，然后表示出S、S1、S2，再根据三者的面积可得S1•S2=S2．【解答】（1）证明：∵正方形①和②的面积比、正方形③和④的面积比均为1：2，∴===，∵∠A1C1B1=∠A2C2B2=90°，∴△A1B1C1∽△A2B2C2；（2）解：∵正方形①和②的面积比、正方形③和④的面积比均为1：2，∴设A1C1=x，C1B1=x，A2C2=y，C2B2=y，∴S1=•x x=x2，S2=•y y=y2，A1B1=x，A2B2=y，∴S1•S2=x2y2，S=xy，∴S1•S2=S2．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，以及勾股定理，关键是正确表示出S、S1、S2．26．（10分）（2014秋•南京期末）某种药物有三种不同的配方，如图，三条抛物线表示这三种配方在给药量相同的情况下，每毫升血液中的含药量y（微克）随时间x（小时）的变化情况，这种药物每毫升血液中的含药量大于9微克，则会发生中毒，小于5微克，则没有疗效．（1）药厂会旋转该药品的第②种配方（填写序号即可），你的理由是这种药物每毫升血液中的含药量最高时小于9微克，且在高于5微克时持续一段时间．．（2）根据图象，求出（1）中选择的配方的有效时间是多长？（3）如果加大给药量，（1）中选择的配方对应的抛物线的形状不变，但位置发生变化，那么该配方的最大有效时间是6小时．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据“这种药物每毫升血液中的含药量最高时小于9微克，且在高于5微克时持续一段时间”进行解答；（2）令y=5，解出x，求出x之间的距离即可；（3）当图象最高点上升至9时，配方的有效时间最长．此时令y=5，解出x，求出x之间的距离即可．【解答】解：（1）药厂会旋转该药品的第②种配方（填写序号即可），你的理由是：这种药物每毫升血液中的含药量最高时小于9微克，且在高于5微克时持续一段时间．（2）设②的解析式为y=a（x﹣3）2+7，把（0，3）代入解析式得a（0﹣3）2+7=3，解得a=﹣，函数解析式为y=﹣（x﹣3）2+7，当y=5时，﹣（x﹣3）2+7=5，解得x1=3+，x2=3﹣；可知（1）中选择的配方的有效时间是x1﹣x2=3小时．（3）当图象最高点上升至9时，配方的有效时间最长．则函数解析式化为y=﹣（x﹣3）2+9，当y=5时，﹣（x﹣3）2+9=5，解得x1=6，x2=0②，该配方的最大有效时间为x1﹣x2=6小时．故答案为②；这种药物每毫升血液中的含药量最高时小于9微克，且在高于5微克时持续一段时间；6．【点评】本题考查了二次函数的应用．熟悉二次函数最值得求法，熟悉二次函数的性质，熟悉二次函数的性质是解题的关键．27．（10分）（2014秋•南京期末）【学习新知】。