二次函数水平检测试题(B)
湘教版九年级数学下册单元测试(一) 二次函数(B卷)
湘教版九年级数学下册单元测试(一) 二次函数(B 卷)(时间：45分钟 总分值：100分)一、选择题(每题3分，共30分)1．抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是(C)A ．直线x ＝12B ．直线x ＝－12C ．y 轴D ．直线x ＝2 2．将二次函数y ＝x 2－2x ＋3化为y ＝(x －h)2＋k 的方式，结果为(D)A ．y ＝(x ＋1)2＋4B ．y ＝(x ＋1)2＋2C ．y ＝(x －1)2＋4D ．y ＝(x －1)2＋2 3．假定函数y ＝axa 2－2a －6是二次函数且图象启齿向上，那么a ＝(B)A ．－2B ．4C ．4或－2D ．4或3 4．顶点为(5，1)，外形与函数y ＝13x 2的图象相反且启齿方向相反的抛物线是(A) A ．y ＝－13(x －5)2＋1 B ．y ＝－13x 2－5 C ．y ＝－13(x －5)2－1 D ．y ＝13(x ＋5)2－1 5．二次函数y ＝(x －2)2＋3是由二次函数y ＝x 2怎样平移失掉的(A)A ．向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度B ．向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度C ．向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度D ．向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度6．假定二次函数y ＝x 2－mx ＋1的图象的顶点在x 轴上，那么m 的值是(D)A ．2B ．－2C ．0D ．±2 7．假定二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x ＝－1，那么使函数值y>0成立的x 的取值范围是(D)A ．x<－4或x>2B ．－4≤x≤2C ．x≤－4或x≥2D ．－4<x<28．学校航模组设计制造的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h ＝－t 2＋24t ＋1.那么以下说法中正确的选项是(D)A ．点火后9 s 和点火后13 s 的升空高度相反B ．点火后24 s 火箭落于空中C ．点火后10 s 的升空高度为139 mD ．火箭升空的最大高度为145 m9．当ab ＞0时，y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象大致是(D)AB C D 10．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标区分为－1和3，那么以下结论正确的选项是(D)A ．2a －b ＝0B ．a ＋b ＋c ＞0C ．3a －c ＝0D ．当a ＝12时，△ABD 是等腰直角三角形 二、填空题(每题4分，共24分)11．假定函数y ＝x 2＋2x －m 的图象与x 轴有且只要一个交点，那么m 的值为－1．12．假设点A(－2，y 1)和点B(2，y 2)是抛物线y ＝(x ＋3)2上的两点，那么 y 1＜y 2(填〝＞〞〝＝〞或〝＜〞)．13．函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝3时，函数取最大值4，当x ＝0时，y ＝－14，那么函数表达式为y ＝－2(x －3)2＋4．14．某游览社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．游览社对超越30人的团给予优惠，即游览团的人数每添加一人，每人的单价就降低10元．当一个游览团的人数是55人时，这个游览社可以取得最大的营业额．15．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A ，B(m ＋2，0)，与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c)，那么点A 的坐标是(－2，0)．16．如图，在平面直角坐标系中，P 是抛物线y ＝－x 2＋3x 上一点，且在x 轴上方，过点P 区分向x 轴、y 轴作垂线，失掉矩形PMON.假定矩形PMON 的周长随点P 的横坐标m 增大而增大，那么m 的取值范围是0＜m≤2.三、解答题(共46分)17．(10分)：如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A(2，0)，B(4，0)，且过点C(0，4)．(1)求出抛物线的表达式和顶点坐标；(2)请你求出抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1.5个单位长度后抛物线的表达式． 解：(1)依据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－3，c ＝4. ∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－3x ＋4. ∵y＝12x 2－3x ＋4＝12(x －3)2－12， ∴顶点坐标为(3，－12)． (2)抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1.5个单位长度后抛物线的表达式为y ＝12x 2＋1. 18．(10分)有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如下图的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数y ＝ax 2＋bx 来表示．大棚在空中上的宽度OA 为8米，距离O 点2米处的棚高BC 为94米． (1)求该抛物线的函数关系式；(2)假定借助横梁DE 建一个门，要求门的高度不低于1.5米，那么横梁DE 的宽度最多是多少米？解：(1)由题意可得，抛物线经过(2，94)，(8，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧64a ＋8b ＝0，4a ＋2b ＝94. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－316，b ＝32.∴y＝－316x 2＋32x. (2)由题意可得：当y ＝1.5时，1.5＝－316x 2＋32x ， 解得x 1＝4＋22，x 2＝4－2 2.故DE ＝|x 1－x 2|＝|4＋22－(4－22)|＝4 2.即横梁DE 的宽度最多是42米．19．(12分)如图，矩形ABCD 的两边长AB ＝18 cm ，AD ＝4 cm ，点P ，Q 区分从A ，B 同时动身，P 在边AB 上沿AB 方向以2 cm/s 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以1 cm/s 的速度匀速运动，当一点抵达终点时，另一点也中止运动．设运动时间为x s ，△PBQ 的面积为y(cm 2)．(1)求y 关于x 的函数表达式，并写出x 的取值范围；(2)求△PBQ 的面积的最大值．解：(1)∵S △PBQ ＝12PB·B Q ， PB ＝AB －AP ＝18－2x ，BQ ＝x ，∴y＝12x(18－2x)， 即y ＝－x 2＋9x(0<x≤4)．(2)由(1)知y ＝－x 2＋9x ，∴y＝－(x －92)2＋814. ∵当0＜x≤92时，y 随x 的增大而增大，而0<x≤4， ∴当x ＝4时，y 最大＝20，即△PBQ 的最大面积是20 cm 2.20．(14分)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象与x 轴交于点B(－2，0)，点C(8，0)，与y 轴交于点A.(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的表达式；(2)衔接AC ，AB ，假定点N 在线段BC 上运动(不与点B ，C 重合)，过点N 作NM∥AC，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求N 点的坐标；(3)衔接OM ，在(2)的结论下，求OM 与AC 的数量关系．解：(1)将点B ，C 的坐标区分代入y ＝ax 2＋bx ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋4＝0，64a ＋8b ＋4＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，b ＝32.∴二次函数的表达式为y ＝－14x 2＋32x ＋4. (2)设点N 的坐标为(n ，0)(－2＜n ＜8)，那么BN ＝n ＋2，CN ＝8－n.∵B(－2，0)，C(8，0)，∴BC＝10.在y ＝－14x 2＋32x ＋4中，令x ＝0，那么y ＝4. ∴A(0，4)，OA ＝4.∴S △ABN ＝12BN·OA＝12(n ＋2)×4＝2(n ＋2)． ∵MN∥AC，∴AM AB ＝NC BC ＝8－n 10.∴S △AMN S △ABN ＝AM AB ＝8－n 10， ∴S △AMN ＝8－n 10S △ABN ＝15(8－n)(n ＋2)＝－15(n －3)2＋5. ∵－15＜0，∴当n ＝3时，即N(3，0)时，△AMN 的面积最大． (3)当N(3，0)时，N 为BC 边的中点．∵MN∥AC，∴M 为AB 边中点．∴OM ＝12AB. ∵AB＝OA 2＋OB 2＝25，AC ＝OC 2＋OA 2＝45，∴AB＝12AC.∴OM＝14AC.。
二次函数经典测试题及答案解析
二次函数经典测试题及答案解析一、选择题1．如图，ABC ∆为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意．【详解】根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，∴选项B 符合题意，选项A 不合题意．故选B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．0＜t ＜5B ．﹣4≤t ＜5C ．﹣4≤t ＜0D ．t ≥﹣4【答案】B【解析】【分析】先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解；【详解】解：∵对称轴为直线x ＝2，∴b ＝﹣4，∴y ＝x 2﹣4x ，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4，∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5，∴﹣4≤t ＜5；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ）A ．原数与对应新数的差不可能等于零B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为m ，则新数为21100m ， 设新数与原数的差为y 则2211100100y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵10100-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，21100m m -+＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．故答案选：D ．【点睛】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．4．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b+＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝222ax bx +，且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤【答案】D【解析】【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【详解】解：抛物线的开口向下，则a ＜0；抛物线的对称轴为x=1，则-2b a=1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0；由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值∴+a b ＞2am bm +（故③正确）：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误）由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误）⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=211ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0∵1x ≠2x∴a(x 1+x 2)+b=0∴x 1+x 2=2b a a a-=-=2 （故⑤正确） 故选D ．考点：二次函数图像与系数的关系.5．已知抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ，将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，若四边形''ABA B 为矩形，则c 的值为（ ）A ．32-B ．3C ．32D ．52【答案】D【解析】【分析】先求出A(2，c-4)，B(0，c)，'(24),'(0)A c B c ---，，，，结合矩形的性质，列出关于c 的方程，即可求解．【详解】∵抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ， ∴A(2，c-4)，B(0，c)，∵将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，∴'(24),'(0)A c B c ---，，，， ∵四边形''ABA B 为矩形，∴''AA BB =，∴[][]2222(2)(4)(4)(2)c c c --+---=，解得：52c =． 故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键．6．将抛物线y ＝x 2﹣4x +1向左平移至顶点落在y 轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y ＝﹣3和x 轴围成的图形的面积S （图中阴影部分）是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】【分析】B ，C 分别是顶点，A 是抛物线与x 轴的一个交点，连接OC ，AB ，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO 的面积.【详解】抛物线y ＝x 2﹣4x +1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y 轴上,此时顶点B(0,-3)，点A 是抛物线与x 轴的一个交点，连接OC ，AB ，如图，阴影部分的面积就是ABCO 的面积，S=2×3=6；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键．7．在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12x 的图象上有三点（x 1，m ）、（x 2，m ）、（x 3，m ），则x 1+x 2+x 3的结果是（ ） A ．3122m -+ B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D【解析】【分析】 根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果．【详解】 解：如图，在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12x 的图象上有三点A （x 1，m ）、B （x 2，m ）、C （x 3，m ），∵y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）∴抛物线的对称轴为直线x ＝m+1， ∴232x x +＝m+1， ∴x 2+x 3＝2m+2，∵A（x1，m）在直线y＝﹣12x上，∴m＝﹣12x1，∴x1＝﹣2m，∴x1+x2+x3＝﹣2m+2m+2＝2，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想画出函数图形．8．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A5B 453C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】【详解】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM．∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA=12OA=2．由勾股定理得：DE=5．设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．∴BF OF CM AMDE OE DE AE==，，即BF x CM2x2255-==，，解得：()52x5BF?x CM22-==，．∴BF+CM=5．故选A．9．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(﹣1，3)，与x轴的交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为()①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m＜n；②c＝a+3；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】试题分析：由抛物线与x 轴有两个交点，可知b 2-4ac ＞0，所以①错误；由抛物线的顶点为D （-1，2），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，所以②正确；由抛物线的顶点为D （-1，2），可知a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线x=2b a=-1，可得b=2a ，因此a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；由于当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选C ．考点：二次函数的图像与性质10．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】【分析】【详解】 解：∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x ﹣1，和x 轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x 轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a ﹣2b+c ＞0，∴4a+c ＞2b ，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c ＜0，∴2a+2b+2c ＜0，∵b=2a ，∴3b ，2c ＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a ﹣b+c 的值最大，即把（m ，0）（m≠0）代入得：y=am 2+bm+c ＜a ﹣b+c ，∴am 2+bm+b ＜a ，即m （am+b ）+b ＜a ，∴④正确；即正确的有3个，故选B ．考点：二次函数图象与系数的关系11．如图，已知()4,1A --，线段AB 与x 轴平行，且2AB =，抛物线2y x mx n =-++经过点()0,3C 和()3,0D ，若线段AB 以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t （秒）.若抛物线与线段AB 有公共点，则t 的取值范围是（ ）A ．010t ≤≤B ．210t ≤≤C ．28t ≤≤D ．210t <<【答案】B【解析】【分析】 直接利用待定系数法求出二次函数，得出B 点坐标，分别得出当抛物线l 经过点B 时，当抛物线l 经过点A 时，求出y 的值，进而得出t 的取值范围；【详解】解：（1）把点C （0，3）和D （3，0）的坐标代入y=-x 2+mx+n 中，得，23330n m n =⎧⎨-++=⎩解得32n m =⎧⎨=⎩∴抛物线l 解析式为y=-x 2+2x+3，设点B 的坐标为（-2，-1-2t ），点A 的坐标为（-4，-1-2t ），当抛物线l 经过点B 时，有y=-（-2）2+2×（-2）+3=-5，当抛物线l 经过点A 时，有y=-（-4）2+2×（-4）+3=-21，当抛物线l 与线段AB 总有公共点时，有-21≤-1-2t≤-5，解得：2≤t≤10．故应选B【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关于t 的不等式是解题关键．12．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画，下列结论错误的是( )A ．斜坡的坡度为1: 2B ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．当小球抛出高度达到7.5m 时，小球距O 点水平距离为3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直线的交点，判断A 、C ；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B ；求出当7.5y =时，x 的值，判定D ．【详解】解：214212y x x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得，1100x y =⎧⎨=⎩，22772x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 72∶7=1∶2，∴A 正确； 小球落地点距O 点水平距离为7米，C 正确；2142y x x =- 21(4)82x =--+， 则抛物线的对称轴为4x =，∴当4x >时，y 随x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势，B 正确，当7.5y =时，217.542x x =-， 整理得28150x x -+=，解得，13x =，25x =，∴当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为3m 或5m ，D 错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．13．一次函数y=ax+b 与反比例函数y=c x在同一平面直角坐标系中的图象如左图所示，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据题中给出的函数图像结合一次函数性质得出a ＜0，b ＞0，再由反比例函数图像性质得出c ＜0，从而可判断二次函数图像开口向下，对称轴：2b x a =-＞0，即在y 轴的右边，与y 轴负半轴相交，从而可得答案.【详解】解：∵一次函数y=ax+b 图像过一、二、四，∴a ＜0，b ＞0，又∵反比例 函数y=c x图像经过二、四象限， ∴c ＜0，∴二次函数对称轴：2b x a=-＞0， ∴二次函数y=ax 2+bx+c 图像开口向下，对称轴在y 轴的右边，与y 轴负半轴相交， 故答案为B.【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y 轴的交点坐标等确定出a 、b 、c 的情况是解题的关键．14．已知抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点．下列结论：①4c <；②当1x =时，y 有最小值2c -；③方程22420x x c -+-=有两个不等实根；④若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则52c =；其中正确的结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】B【解析】【分析】根据“抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点”即可判断①③；根据抛物线的对称轴为直线x=1即可判断②；根据等腰直角三角形的性质，用c 表达出两个交点，代入抛物线解析式计算即可判断④．【详解】解：∵抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点，∴2242x x c -+=有两个不相等的实数根，即22420x x c -+-=有两个不相等的实数根，故③正确，∴1642(2)0c ∆=-⨯⨯->，解得：4c <，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向上，∴当x=1时，2y c =-为最小值，故②正确；若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则顶点（1，c-2）到直线y=2的距离等于两交点距离的一半，∵顶点（1，c-2）到直线y=2的距离为2-（c-2）=4-c ，∴两交点的横坐标分别为1-（4-c ）=c-3与1+（4-c ）=5-c∴两交点坐标为（c-3,2）与（5-c,2），将（c-3,2）代入224y x x c =-+中得：22(3)4(3)2c c c ---+= 解得：72c =或4c = ∵4c <，∴72c =，故④错误， ∴正确的有①②③，故选：B ．【点睛】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数与方程之间的联系．15．已知二次函数2()y x h =-- (h 为常数),当自变量x 的值满足25x ≤≤时,与其对应的函数值y 的最大值为-1,则h 的值为( )A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或6【答案】B【解析】分析：分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况考虑：当h ＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h ＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．详解：如图，当h ＜2时，有-（2-h ）2=-1，解得：h 1=1，h 2=3（舍去）；当2≤h≤5时，y=-（x-h ）2的最大值为0，不符合题意；当h ＞5时，有-（5-h ）2=-1，解得：h 3=4（舍去），h 4=6．综上所述：h 的值为1或6．故选B ．点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况求出h 值是解题的关键．16．如图1，△ABC 中，∠A ＝30°，点P 从点A 出发以2cm /s 的速度沿折线A →C →B 运动，点Q 从点A 出发以vcm /s 的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x （s ），△APQ 的面积为y （cm 2），y 关于x 的函数图象由C 1，C 2两段组成，如图2所示，有下列结论：①v ＝1；②sin B ＝13；③图象C 2段的函数表达式为y＝﹣13x2+103x；④△APQ面积的最大值为8，其中正确有（）A．①②B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】A【解析】【分析】①根据题意列出y＝12AP•AQ•sin A，即可解答②根据图像可知PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10，再代入即可③把sin B＝13，代入解析式即可④根据题意可知当x＝﹣522ba时，y最大＝2512【详解】①当点P在AC上运动时，y＝12AP•AQ•sin A＝12×2x•vx＝vx2，当x＝1，y＝12时，得v＝1，故此选项正确；②由图象可知，PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10，当P在BC上时y＝12•x•（10﹣2x）•sin B，当x＝4，y＝43时，代入解得sin B＝13，故此选项正确；③∵sin B＝13，∴当P在BC上时y＝12•x（10﹣2x）×13＝﹣13x2+53x，∴图象C2段的函数表达式为y＝﹣13x2+53x，故此选项不正确；④∵y＝﹣13x2+53x，∴当x＝﹣522ba时，y最大＝2512，故此选项不正确；故选A．【点睛】此题考查了二次函数的运用，解题关键在于看图理解17．下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝2ax+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的大致图象．正确的（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而得到结论．【详解】令ax2+（a+c）x+c=ax+c，解得，x1=0，x2=-ca，∴二次函数y=ax2+（a+c）x+c与一次函数y=ax+c的交点为（0，c），（−ca，0），选项A中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，故选项A不符题意，选项B中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y=ax+c中a＞0，c＜0，两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B不符题意，选项C中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项D符合题意，选项D中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y=ax+c中a＞0，c＜0，故选项C不符题意，故选：D．【点睛】考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC的中点时，PQ的长为（）A．2 B．4 C．3D．3【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为33x＝2，y＝3P、Q运动的速度，即可求解．【详解】解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC3a，设P、Q同时到达的时间为T，则点P的速度为3aT，点Q的速度为3aT，故点P、Q的速度比为33故设点P、Q的速度分别为：3v3，由图2知，当x＝2时，y＝3P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝3＝3，y＝12⨯AB×BQ＝12⨯6v3v＝3v＝1，故点P、Q的速度分别为：33AB＝6v＝6＝a，则AC＝12，BC＝3如图当点P在AC的中点时，PC＝6，此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ3＝3CQ＝BC﹣BQ＝33＝3，过点P作PH⊥BC于点H，PC ＝6，则PH ＝PC sin C ＝6×12＝3，同理CH ＝3，则HQ ＝CH ﹣CQ ＝333，PQ 22PH HQ +39+3，故选：C ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．19．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()1,2，将抛物线21322y x x =-+沿坐标轴平移一次，使其经过点P ，则平移的最短距离为（ ）A ．12B ．1C ．5D ．52【答案】B【解析】【分析】先求出平移后P 点对应点的坐标，求出平移距离，即可得出选项．【详解】 解：21322y x x =-+=()215322x --， 当沿水平方向平移时，纵坐标和P 的纵坐标相同，把y=2代入得：解得：x=0或6，平移的最短距离为1-0=1；当沿竖直方向平移时，横坐标和P 的横坐标相同，把x=1代入得：解得：y=12-， 平移的最短距离为152=22⎛⎫--⎪⎝⎭， 即平移的最短距离是1，故选B.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能求出平移后对应的点的坐标是解此题的关键．20．在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；根据二次函数的对称轴在y 左侧，a ，b 同号，对称轴在y 轴右侧a ，b 异号，以及当a 大于0时开口向上，当a 小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y 轴于正半轴，常数项为负，交y 轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．【详解】解：由方程组2y ax bx y bx a⎧=+⎨=-⎩得ax 2＝−a ， ∵a ≠0∴x 2＝−1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B ．A ：二次函数开口向上，说明a ＞0，对称轴在y 轴右侧，则b ＜0；但是一次函数b 为一次项系数，图象显示从左向右上升，b ＞0，两者矛盾，故A 错；C ：二次函数开口向上，说明a ＞0，对称轴在y 轴右侧，则b ＜0；b 为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b ＜0，两者相符，故C 正确；D ：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D 错．故选C ．【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．。
二次函数测试题及答案
二次函数测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是二次函数的一般形式？A. y = 2x + 1B. y = x^2 + 3x + 2C. y = 3x^3 - 5D. y = 4/x答案：B2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为（h, k），那么h的值为：A. -b/2aB. -b/aC. b/2aD. b/a答案：C3. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的对称轴方程是：A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -2答案：A4. 如果二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，那么a的值：A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 可以是任意实数答案：A5. 二次函数y = -x^2 + 4x - 3的顶点坐标是：A. (1, 2)B. (2, 1)C. (3, 0)D. (3, 4)答案：C6. 二次函数y = 3x^2 - 6x + 5的图象与x轴的交点个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C7. 二次函数y = x^2 - 4x + 4的最小值是：A. 0B. 4C. -4D. 1答案：A8. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的图象开口方向是：A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案：A9. 二次函数y = -x^2 + 2x + 3的图象与y轴的交点坐标是：A. (0, 3)B. (0, -3)C. (0, 5)D. (0, -5)答案：A10. 二次函数y = 5x^2 - 10x + 8的图象与x轴的交点坐标是：A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (1, 0)D. (-1, 0)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且经过点（2, 0），则a的值至少为______。
答案：02. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的顶点坐标是（______, ______）。
2023年春学期苏科版九年级数学下册第五章【二次函数】检测卷附答案解析
2023年春学期九年级数学下册第五章【二次函数】检测卷一、单选题1．抛物线y ＝﹣2（x ﹣3）2﹣4的顶点坐标是（）A ．（﹣3，4）B ．（﹣3，﹣4）C ．（3，﹣4）D ．（3，4）2．下列二次函数的图象经过原点的是（）A ．y=x 2+1B ．y=x 2+xC ．y=（x+1）2D ．y=x 2-2x+13．用绳子围成周长为10（m ）的矩形，记矩形的一边长为x （m ），面积为S （m 2）．当x 在一定范围内变化时，S 随x 的变化而变化，则S 与x 满足的函数关系是（）A ．一次函数关系B ．二次函数关系C ．反比例函数关系D ．正比例函数关系4．把抛物线y=2x 2向下平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A ．y=2x 2+1B ．y=2x 2-1C ．y=()22x 1+D ．y=()22x 1-5．若A （﹣3，y 1），21B ,y 2⎛⎫⎪⎝⎭，C （2，y 3）在二次函数y ＝x 2+2x+c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．y 2＜y 1＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 3＜y 2＜y 16．下列函数：①y=-x ；②y=2x ；③1y x=-；④y=x 2.当x<0时，y 随x 的增大而减小的函数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．若将抛物线y=x 2平移，得到新抛物线2(3)y x =+，则下列平移方法中，正确的是（）A ．向左平移3个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移3个单位8．一次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1．下列结论：①abc>0；②若(−3，y 1)，(4，y 2)在抛物线上，则y 1<y 2；③当−1<x<3时，y<0时；④8a+c>0．其中正确的有（）A ．①②B ．①④C ．①③④D ．②④9．已知：抛物线y 1=x 2+2x-3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线y 2=x 2-2ax-1（a>0）与x 轴交于C 、D 两点（点C 在点D 的左侧），在使y 1>0且y 2≤0的x 的取值范围内恰好只有一个整数时，a 的取值范围是（）A ．0<a≤34B ．a≥34C ．34≤a ＜43D ．34<a≤4310．对于函数y==ax 2-（a+1）x+1，甲和乙分别得出一个结论：甲：若该函数图象与x 轴只有一个交点，则a=1；乙：方程ax 2-（a+1）x+1=0至少有一个整数根．甲和乙所得结论的正确性应是（）A ．只有甲正确B ．只有乙正确C ．甲乙都正确D ．甲乙都不正确二、填空题11．校运动会铅球比赛时，小林推出的铅球行进的高度y （米）与水平距离x （米）满足关系式21251233y x x =-++，则小林这次铅球推出的距离是米.12．在二次函数y=-x 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表．x -3-2-112345y-14-7-22mn-7-14则m-n 的值为．13．如图，已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点A（－2，6）和B （8，3），则能使y 1＜y2成立的x的取值范围．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线21:2C y x =-+和抛物线22:2C y x x =+相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），P 是抛物线22:2C y x x =+上AB 段的一点（点P 不与A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交抛物线21:2C y x =-+于点Q ，以PQ 为边向右侧作正方形PQMN ．设点P 的横坐标为m ，当正方形的四个顶点分别落在四个不同象限时，m 的取值范围是．三、计算题15．已知抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1与x轴相交于A、B两点，且AB＝2，求m的值．16．求二次函数y=x2+4x﹣5的最小值．四、作图题17．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．五、解答题18．如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积为y，试写出y与x的函数表达式．19．如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数．20．已知二次函数y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），其中点A的坐标为（﹣1，0），AB＝4.求该二次函数的表达式.21．如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数．六、综合题22．据环保中心观察和预测：发生于甲地的河流污染一直向下游方向移动，其移动速度v（千米/小时）与时间t（小时）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，根据物理知识：梯形OABC在直线l左侧部分的面积表示的实际意义为t（小时）内污染所经过的路程S（千米），其中0≤t≤30．（1）当t＝3时，则S的值为；（2）求S与t的函数表达式；（3）若乙城位于甲地的下游，且距甲地171千米，试判断这河流污染是否会侵袭到乙城？若会，求河流污染发生后多长时间它将侵袭到乙城；若不会，请说明理由．23．某商场经营某种品牌童装，进货时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低0.5元，就可多售出10件.（1）当销售单价为58元时，每天销售量是件.（2）求销售该品牌童装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）若商场规定该品牌童装的销售单价不低于57元且不高于60元，则销售该品牌童装获得的最大利润是多少？答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由抛物线的顶点式y=-2（x-3）2-4可得：该抛物线的顶点坐标为（3，-4），故答案为：C.【分析】二次函数y=a(x-k)2+h（a≠0）的图象的顶点是（k，h），依此解答即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：A、当x=0时，y=x2+1=1，则此二次函数的图象不经过原点，A不符合题意；B、当x=0时，y=x2+x=0，则此二次函数的图象经过原点，B符合题意；C、当x=0时，y=（x+1）2=1，则此二次函数的图象不经过原点，C不符合题意；D、当x=0时，y=x2-2x+1=1，则此二次函数的图象不经过原点，D不符合题意.故答案为：B.【分析】二次函数图象过原点，即（0，0）在函数图象上，因此把x=0代入选项四个解析式求出对应的函数值，若y=0，则可判断这个二次函数图象经过原点.3．【答案】B【解析】【解答】解：∵矩形周长为10m，一边长为x m，∴另一边长为：（10-2x）÷2=5-x（m），∴S=x（5-x）=-x2+5x.故答案为：B.【分析】结合矩形对边相等，将另一边长表示出来，再根据面积=长×宽，建立出S与x的关系式，即可判断.4．【答案】B【解析】【解答】解：∵抛物线y=2x2向下平移1个单位，∴y=2x2-1.故答案为：B.【分析】对于二次函数y=a(x+h)2+k，根据抛物线的平移规律：即左右平移在h后左加右减，上下平移在k后上加下减即可求出结果.5．【答案】A【解析】【解答】解：对称轴为直线x＝﹣221 ＝﹣1，∵a＝1＞0，∴x＜﹣1时，y随x的增大而减小，x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴y2＜y1＜y3．故答案为：A．【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可．6．【答案】B【解析】【解答】解：一次函数y ＝－x 中k ＜0，∴y 随x 的增大而减小，故本选项正确；∵正比例函数y ＝2x 中，k ＝2，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故本选项错误；∵反比例函数1y x＝中，k ＝－1＜0，∴当x ＜0时函数的图象在第二象限，此时y 随x 的增大而增大，故本选项错误；∵二次函数y ＝x 2，中a ＝1＞0，∴此抛物线开口向上，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故本选项正确.故答案为：B.【分析】一次函数的比例系数k ＜0的时候，y 随x 的增大而减小，当比例系数k ＞0的时候，y 随x 的增大而增大，从而即可判断①、②；反比例函数的比例系数k ＜0的时候，图象的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大，比例系数k ＞0的时候，图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；函数y=x 2的二次项系数大于0对称轴是y 轴，图象开口向上，在对称轴左侧，即当x<0时y 随x 的增大而减小，从而即可一一判断得出答案.7．【答案】A【解析】【解答】解：抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0），因为点（0，0）向左平移3个单位长度后得到（-3，0），所以把抛物线y=x 2向左平移3个单位得到抛物线y=（x+3）2.故答案为：A.【分析】先确定抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0），然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况.8．【答案】B【解析】【解答】解：①抛物线开口向上，则a ＞0，抛物线与y 交于负半轴，则c ＜0，x=-2ba=1，即b=-2a ，则b ＜0，∴abc ＞0，故①符合题意；②∵（-3，y 1）离对称直线x=1的距离为1-（-3）=4，（4，y 2）离对称直线x=1的距离为4-1=3，∴点（-3，y 1）离对称轴要比点（4，y 2）离对称轴要远，又∵抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，4＞3，∴y 1＞y 2，故②不符合题意；③观察图象，抛物线与x 轴的一个交点为−1<x<0，∴当−1<x<3时，y 不一定小于0；故③不符合题意；④当x=-2时，y ＞0，则4a-2b+c ＞0，∵b=-2a ，∴8a+c ＞0，所以④符合题意；综上，正确的有①④，故答案为：B ．【分析】①抛物线开口向上，则a ＞0，抛物线与y 交于负半轴，则c ＜0，对称轴为x=-2ba=1，即b=-2a ，则b ＜0，可得abc ＞0，故正确；②由抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，故②错误；③根据抛物线的对称性及与x 轴的一个交点为−1<x<0，可知当−1<x<3时，y 不一定小于0；④当x=-2时，y=4a-2b+c ＞0，由b=-2a 可得8a+c ＞0，故正确.9．【答案】C【解析】【解答】由题意可知()22210y x ax a =-->的对称轴为(0)x a a =>可知对称轴再y 轴的右侧，由2123y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）可知当10y >时可求得31x x -或 使1200y y >≤且的x 的取值范围内恰好只有一个整数时∴只要符合将2x =代入()22210y x ax a =-->中，使得20y ≤，且将3x =代入()22210y x ax a =-->中使得20y >即22−4−1≤09−6−1>0求得解集为：3443x ≤<故答案为：C【分析】利用抛物线y 2=x 2-2ax-1可求出其对称轴为直线x=a ，利用a 的取值范围可知对称轴再y 轴的右侧；同时可知当x ＜-3和x ＞1时y 1＞0；再根据y 1>0且y 2≤0的x 的取值范围内恰好只有一个整数，可得到x=2时y 2≤0，当x=3时y 2＞0，分别将其代入y 2的函数解析式，可得到关于a 的不等式组，然后求出不等式组的解集.10．【答案】B【解析】【解答】解：甲：当a=0时，y=-x+1，∴当y=0时，x=1，即函数图象与x 轴交于点（1，0），∴甲结论不正确，乙：当a=0时，-x+1=0，∴x=1；当a≠0时，ax 2-（a+1）x+1=（x-1）（ax-1）=0，解得x=1或x=1a，∴方程ax 2-（a+1）x+1=0至少有一个整数根.故答案为：B.【分析】甲：当a=0时，函数y=-x+1，此时函数图象与x 轴只有一个交点为（1，0），即可判断甲的结论；乙：当a=0时，-x+1=0，解得根为1，当a≠0时，ax 2-（a+1）x+1=（x-1）（ax-1）=0，解得根为1或1a，据此即可判断乙结论.11．【答案】10【解析】【解答】解：令y=0∴21251233x x -++=0∴x 2−8x−20=0解得：x 1=10，x 2=−2(舍去)∴小林这次铅球推出的距离是10米.故答案为：10.【分析】令y=0，求出x 的值，进而可得小林这次铅球推出的距离.12．【答案】3【解析】【解答】解：由表可得，（-1，-2）和（1，2）在二次函数y=-x 2+bx+c 图象上，∴1212b c b c --+=-⎧⎨-++=⎩，整理，解得21b c =⎧⎨=⎩，∴二次函数解析式为y=-x 2+2x+1，∴当x=2时，m=-4+4+1，解得m=1，当x=3时，n=-9+6+1，解得n=-2，∴m-n=1-（-2）=3.故答案为：3.【分析】由表可得，（-1，-2）和（1，2）在函数图象上，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将x=2和x=3分别代入即可计算出m 和n 的值，从而求出m-n 的值.13．【答案】−2＜x ＜8<8<p=""><8<>【解析】【解答】解：∵二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）与一次函数y 2＝kx ＋m （k≠0）的图象相交于点A （−2，6），B （8，3），∴结合图象，能使y 1＜y 2成立的x 的取值范围是：−2＜x ＜8，故答案为：−2＜x ＜8，【分析】根据两函数交点坐标得出，能使y 1＜y 2成立的x 的取值范围即是图象y 2在图象y 1上面是x 的取值范围，即可得出答案．14．【答案】11704m +-<<【解析】【解答】解：若正方形的四个顶点分别落在四个不同象限，则P 点在第三象限，Q 点在第二象限，M 点在第一象限，N 点在第四象限，∵点P 的横坐标为m ，P 是抛物线22:2C y x x =+上AB 段的一点∴2(,2)P m m m +，0m <，由题意可知Q 点和P 点横坐标相同，∴2(,2)Q m m -+，若Q 在Q 点在第二象限，则220m -+>，解得02m <<，或02m <<（舍），∴()22222222PQ m m m m m =-+-+=--+，即2222QM PN PQ m m ===--+，∴M 、N 的横坐标都为()2222222m m m m m +--+=--+，∵M 点在第一象限，N 点在第四象限，∴2220m m --+>，当2220m m --+=时，解得11174m -=-，21174m =-，因此11711744m +--<<-时2220m m --+>，又∵0m <，∴11704m -<<，故答案为：11704m +-<<．【分析】若正方形的四个顶点分别落在四个不同象限，则P 点在第三象限，Q 点在第二象限，M 点在第一象限，N 点在第四象限，由点P 的横坐标为m ，通过解析式可表示点P 、Q 的坐标，即可表示PQ 的长，通过正方形的边长相等可表示N 点的横坐标，通过象限内点的坐标特点求解即可．15．【答案】解:令0y =,则()()2121=0m x m x -+--解关于x 的方程得11x =-，211x m =-设()10A -，,1(01B m -）∵2AB =∴(10B ，）或(30B -，）∴111m =-或131m =--解得12m =,223m =,经检验12m =,223m =是分式方程的根.∴m 的值为2或23.【解析】【分析】令y=0，求关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+（m-2）x-1=0的解，即为点A 、B 的横坐标，再根据AB=2求得m 的值即可．16．【答案】解：y=x 2+4x ﹣5=（x+2）2﹣9，则二次函数y=x 2+4x ﹣5的最小值为﹣9【解析】【分析】直接利用配方法得出二次函数顶点式，进而得出二次函数最值．17．【答案】解：列表得：x ﹣2-1012y=2x 282028y=2x 2+193139【解析】【分析】利用二次函数的对称性先列表，再描点，然后用圆滑的曲线连接即可。
二次函数测试题及答案
二次函数测试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是二次函数的一般形式？A. y = x + 2B. y = x^2 + 3x + 1C. y = 2x^3D. y = 1/x答案：B2. 二次函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的顶点坐标是：A. (-b, a)B. (-b/a, c)C. (-b/2a, 4ac - b^2/4a)D. (-b/2a, 4ac + b^2/4a)答案：C3. 如果二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与x轴有两个交点，那么a、b、c之间的关系是：A. b^2 - 4ac > 0B. b^2 - 4ac < 0C. b^2 - 4ac = 0D. b^2 - 4ac ≠ 0答案：A二、填空题4. 二次函数y = -3x^2 + 6x - 5的顶点坐标是______。
答案：(1, -2)5. 如果二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，那么a的值是______。
答案：> 0三、解答题6. 已知二次函数y = 2x^2 - 4x + 3，求其图像与x轴的交点。
解：令y = 0，得到方程2x^2 - 4x + 3 = 0。
通过求解这个方程，我们可以得到x的值。
首先计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 2 * 3 = 16 - 24 = -8。
因为Δ < 0，所以这个二次方程没有实数解，即二次函数的图像与x轴没有交点。
7. 已知二次函数y = 3x^2 + 6x - 5，求其图像的对称轴。
解：二次函数y = ax^2 + bx + c的对称轴是x = -b/(2a)。
将a= 3, b = 6代入公式，得到对称轴为x = -6 / (2 * 3) = -1。
四、应用题8. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 0.5x^2 - 100x + 1000，其中x表示产品的数量。
二次函数测试题
二次函数测试题一、选择题1. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标是：A. (0, 0)B. (a, b)C. (-b/2a, 4ac - b^2/4a)D. (b, -c/a)2. 给定二次函数y = x^2 - 6x + 9，该函数的对称轴是：A. x = 1B. x = 3C. x = -3D. x = 63. 若二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的图像与x轴交于两点A和B，点A的横坐标为1，求点B的横坐标。
A. -1B. 3C. 5D. 74. 二次函数y = -x^2 + 4x - 3的最小值是：A. -3B. 1C. 2D. 55. 一个抛物线的顶点为(2, 3)，且经过点(0, 1)，该抛物线的方程可能是：A. y = -x^2 + 4x - 3B. y = x^2 - 4x + 3C. y = -2x^2 + 4x + 3D. y = 2x^2 - 4x - 3二、填空题6. 已知二次函数y = 3x^2 - 5x + 2，其顶点的横坐标为_______。
7. 若二次函数y = -2x^2 + 8x - 5的图像与y轴交于点C，求点C的纵坐标。
8. 给定二次函数y = x^2 + 2x + 1，若其图像与x轴有一个交点，求该交点的坐标。
9. 二次函数y = -3x^2 + 6x + 5的图像的最大值是_______。
10. 一个开口向上的抛物线，其对称轴为直线x = -2，且经过点(1, 4)，顶点坐标为(-2, 1)，该抛物线的方程是_______。
三、解答题11. 已知二次函数y = 2x^2 - 4x - 5，求：(1) 该函数的顶点坐标；(2) 该函数在x轴上的交点坐标；(3) 该函数的图像的对称轴方程。
12. 一个二次函数的图像经过三个点：(-1, 6)，(0, 3)，(2, 1)。
求该二次函数的解析式。
13. 一个抛物线的顶点坐标为(3, -2)，且经过点(5, 10)，求该抛物线的方程。
第22章 二次函数 人教版数学九年级上册单元闯关双测B卷(含答案)
第二十二章二次函数（测能力）——2023-2024学年人教版数学九年级上册单元闯关双测卷【满分：120】一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.二次函数的图象经过点，则代数式的值为( )A.0B.-2C.-1D.22.已知二次函数，其中，，则该函数的图象可能为( )A. B.C. D.3.在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的解析式为( )A. B.C. D.4.已知二次函数，当时，y的最小值为-2，则a的值为( )A.或-3B.3或-3C.或D.或35.若抛物线与抛物线关于直线x=1对称,则m m,n的值分别为( )A.m=―11,n=―2B.m=1,n=―23C.m=1,n=2 D.m=1,n=―236.如图，抛物线，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，下列结论不正确的是( )A.B.C.D.关于x的方程的另一个根在-2和-1之间7.2022年新冠病毒变异株奥密克戎来势汹汹，为了更好地让顾客做好防护，某商场销售一款升级版的KN95口罩，市场信息显示，销售这种口罩，每天所获的利润y（元）与售价x（元/个）之间关系式满足，第一天将售价定为16元/个，当天获利132元，第二天将售价定为20元/个，当天获利180元.则这种口罩的成本价是多少元/个？（单位利润=售价-成本价）( )A.10B.12C.14D.158.已知抛物线, 将抛物线向左或向右平移与x轴交于A,B两点 (A在B 的左侧), 与y轴交于点C. 若的面积等于 6 , 则平移的方式有几种( )A. 1B. 2C. 3D. 49.将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线与这个新图象有3个公共点，则b的值为( )A.或-12B.或2C.-12或2D.或-1210.己知二次函数的部分图象如图所示,对称轴为直线,有以下结论:①;②;③若t为任意实数,则有;④当图象经过点时,方程的两根为,,则,其中,正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4二、填空题（每小题4分，共20分）11.如图所示，A，B分别为图像上的两点，且直线垂直于y轴，若，则点B的坐标为__________.12.如图，有一座拱桥，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，在正常水位时水面AB的宽为，如果水位上升达到警戒水位时，那么水面CD的宽是.如果水位以的速度上涨，那么达到警戒水位后，再过__________h水位达到拱桥桥洞最高点O.13.如图，点，平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D.直线，交于点E，则DE的长为______.14.抛物线(a为整数)与直线如图所示，抛物线的对称轴为直线，直线与抛物线在第四象限交于点D，且点D的横坐标小于3，则a的最大值为_________.15.如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接MA，MC，AC，则当的周长最小时，点M的坐标是___________.三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）16.（8分）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分.（3）观察函数图象，写出两条函数的性质.（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有__________个交点，所以对应的方程有_________个实数根；②方程有__________个实数根.17.（8分）商店以每件40元的价格购进一种商品，经市场调查发现：在一段时间内，该商品的日销售量y（件）与售价x（元/件）成一次函数关系，其对应关系如表.（2）求售价为多少时，日销售利润w最大，最大利润是多少元.（3）该商店准备搞节日促销活动，顾客每购买一件该商品奖m元，若在日销售量不少于68件时的日销售最大利润是1360元，且日销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系式，求m的值.（每件的销售利润=售价-进价）18.（10分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数.（2）已知关于x的二次函数和，其中的图象经过点.若与为“同簇二次函数”，求函数的表达式，并求出当时，的最大值.19.（10分）如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线与x 轴交于A,B 两点, 与 y轴交于点, 顶点为.(1)求抛物线的表达式;(2)将抛物线绕原点O旋转得到抛物线, 抛物线的顶点为, 在抛物线上是否存在点M, 使 ? 若存在, 请求出点M的坐标; 若不存在, 请说明理由.20.（12分）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点G是射线OD上一个动点，过点G作交射线OC于点E，以OE，OG为邻边作矩形EOGF.(1)如图1，当点F在线段DC上时，求证：；(2)若，，直线AD与直线GF交于点H，将沿直线AD翻折得到.①求CF的最小值；②当是等腰三角形时，求OG的长.21.（12分）如图，已知抛物线与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧.（1）若抛物线过点，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使的值最小，直接写出点H的坐标.答案以及解析1.答案：B解析：把代入，得，即.故选B.2.答案：C解析：方法一：，，故A，D选项不正确；当时，，，对称轴在y轴左侧，故B选项不正确；当时，，，对称轴在y轴右侧，故C选项正确.故选C.方法二：，，可令，，则函数为，由此可知抛物线与y轴交于点，故排除选项A，D.令，则对称轴为直线，选项B不成立.故选C.3.答案：A解析：由抛物线知，抛物线顶点坐标是.由抛物线知，，该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是，该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的解析式为.故选A.4.答案：A解析：，对称轴为直线，开口向上，①当时，，此时函数在处取得最小值为-2，，解得，②当时，，此时函数的最小值在顶点处，即，，，解得或(舍去)，③当时，，此时函数在处取得最小值为-2，，解得(舍去).综上a 的值为-3或.故选A.5.答案：D 解析:由抛物线可知抛物线M 的对称轴为直线x =―轴于点(0,―5),抛物线的对称轴为直线x =――62=3,∵抛物线y =x 2+(3m ―1)x ―5与抛物线关于直线x =1对称,∴12(―3m ―12+3)=1,解得m =1,∴点(0,―5)关于直线x =1对称的点(2,―5)在抛物线上,∴把点(2,―5)代入得―5=4―12―n +1,解得n =―2,故选D.6.答案：C解析：抛物线开口向下，.抛物线的对称轴为直线，故，，.故B 选项正确.抛物线交y 轴于正半轴，，.故A 选项正确.抛物线的对称轴为直线，当时，，当时，，即.故C 选项不正确.抛物线的对称轴为直线，抛物线与x 轴的一个交点在点和之间，抛物线与x 轴的另一个交点在点和之间，关于x的方程的另一个根在-2和-1之间.故D选项正确.7.答案：A解析：由题意知：当时，；当时，代入中，得，解得：，，当每天利润为0元时，售价即为成本价.令，解得：，，由题意可知38不符合条件，，这种口罩的成本价是10元/个；故选A.8.答案：C解析：,抛物线交x轴于点，, 交y轴于点. 将抛物线向左或向右平移后, 与x 轴交于点A,B,与y轴交于点C, 且的面积等于6，. 由平移的性质可知, 将抛物线向左或向右平移时,抛物线与 x轴的两个交点之间的距离不变 (关键点), ，，点C 的纵坐标为 3 或 -3 . 设抛物线沿x 轴向左平移的距离为个单位长度, 则平移后抛物线的解析式为, 当时, 解得. 当时, 解得或(不合题意,舍去), 共有 3 种平移方式, 故选C.9.答案：A解析：如图所示，过点B的直线与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到A、B之间的抛物线只有C一个公共点时，直线与新抛物线也有三个公共点.令，解得：或6，即点B坐标.当一次函数过点B时，将点B的坐标代入，得，解得.将一次函数与二次函数表达式联立得：，整理得：，，解得：.综上，b的值为或，故选A.10.答案：B解析:抛物线开口向上,,抛物线的对称轴为直线,,抛物线与y轴的交点在x轴下方,,,①错误.由图象可得时,,②正确.由图象可得时,y取最小值,,即,③正确.抛物线对称轴为直线,抛物线与直线的两个交点关于直线对称,图象经过,图象经过,方程的两根为,,,,,④不正确.故选:B.11.答案：解析：，抛物线对称轴为直线，，点B横坐标为，将代入得，点B坐标为.故答案为：.12.答案：4解析：如图，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为.因为抛物线关于y轴对称，，，且水位上升到达警戒水位，所以设点，点，由题意，得解得所以.当时，，，故再过水位达到拱桥桥洞最高点O.13.答案：2解析：，轴点A、C的纵坐标相同，解得，点，轴，点D的横坐标与点C的横坐标相同为2，，点D的坐标为，，点E的纵坐标为4，，解得：，点E的坐标为，，故答案为：2.14.答案：-2解析：抛物线的对称轴为直线，，.观察题图可知，当时，拋物线上对应的点在直线上对应的点的下方，，将代入，解得.又a为整数，a的最大值为-2. 15.答案：解析：如图，易知点A与点B关于抛物线的对称轴对称，连接CB交抛物线的对称轴于点M，则点M即所求点.令，解得或3.令，则，故，，，所以抛物线的对称轴为直线.设直线BC的解析式为，则解得故直线BC的解析式为.当时，，所以点.16.解析：（1）把代入，得，所以.（2）如图所示.（3）①函数的图象关于y轴对称；②当时，y随x的增大而增大.（答案不唯一）（4）①3；3；②217.答案：（1）（2）当售价是70元/件时，日销售利润w最大，最大利润是1800元（3）解析：（1）设y关于x的函数关系式为，由题意得解得故y关于x的函数关系式是.（2）日销售利润，故当售价是70元/件时，日销售利润w最大，最大利润是1800元.（3）由题意得，，日销量利润.，.，w关于x的函数的图象所在的抛物线开口向下，对称轴为直线.，w随x的增大而增大，当时，w取得最大值，最大值为，，.18.答案：（1），.（2）函数的图象经过点，，解得..与为“同簇二次函数”，可设，则.由题意知，函数的图象经过点，，..当时，的最大值为.19.答案： (1)(2) 或解析：(1) 抛物线的顶点为,可设抛物线表达式为.将点代入, 解得,抛物线的表达式为(2),,,关于原点中心对称,,记旋转后点A的对应点为, 则的坐标为, 如图,连接,.,四边形是平行四边形,过点作直线的平行线l,则l与的交点即为点M.易求得,,点M的坐标为或.20.答案：(1)见解析；(2)①；②；解析：(1)证明：四边形EOGF是矩形，，，，四边形GEFD是平行四边形，四边形GECF是平行四边形，，，；(2)①设，则，，，令，由于抛物线开口向上，当，，即；②a：若，则M在GF的垂直平分线上，显然不成立；b：若，设，则，令MG与AD交于N，由翻折而得，N为MG中点，且，，，在中，，，，，，解得：，；c：若，则F在MG的垂直平分线上，显然不成立，综上所述，.21.（1）答案：解析：将代入抛物线解析式得：，解得：；（2）答案：①②解析：①由（1）抛物线解析式，当时，得：，解得：，，点B在点C的左侧，，，当时，得：，即，；②由抛物线解析式，得对称轴为直线，根据C与B关于抛物线对称轴直线对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，设直线BE解析式为，将与代入得：，解得：，直线BE解析式为，将代入得：，则.。
中考复习40分钟小测验18 二次函数(B卷)(含答案解析)
二次函数(B卷)综合检测（40分钟60分）一、选择题(每小题5分,共20分)1.抛物线y=－2x2+1的对称轴是()A.直线x=B.直线x=－C.y轴D.直线x=22.已知抛物线y=ax2－2x+1与x轴没有交点,那么该抛物线的顶点所在的象限是()A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限3.(2013·毕节中考)将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度所得的图象关系式为()A.y=(x－1)2+3B.y=(x+1)2+3C.y=(x－1)2－3D.y=(x+1)2－34.(2013·临沂中考)如图,正方形ABCD中,AB=8cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C两点同时出发,以1cm/s的速度沿BC,CD运动,到点C,D时停止运动.设运动时间为t(s),△OEF的面积为S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为()二、填空题(每小题5分,共15分)5.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在二次函数y=(x－1)2+1的图象上,若x1>x2>1,则y1y2(填“>”“=”或“<”).6.当x=时,二次函数y=x2+2x－2有最小值.7.(2013·衢州中考)某果园有100棵橘子树,平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种x棵橘子树,果园橘子总个数为y个,则果园里增种棵橘子树,橘子总个数最多.三、解答题(共25分)8.(12分)(2013·鞍山中考)某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售,每月能卖出3万件;若按每件6元的价格销售,每月能卖出2万件,假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系.(1)试求y与x之间的函数关系式.(2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少?【探究创新】9.(13分)对于二次函数y=ax2+bx+c,如果当x取任意整数时,函数值y都是整数,那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如:y=x2+2x+2).(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的关系式.(不必证明)(2)请探索:是否存在二次项系数的绝对值小于的整点抛物线?若存在,请写出其中一条抛物线的关系式;若不存在,请说明理由.答案解析1.【解析】选C.对称轴x=0,所以对称轴是y轴.2.【解析】选D.∵抛物线y=ax2－2x+1与x轴没有交点,∴(－2)2－4a×1<0.解得:a>1,y=ax2－2x+1=a(x－)2+,所以顶点坐标为(,),∵a>1,∴>0,>0,即顶点的横坐标和纵坐标都是正数,所以顶点在第一象限.3.【解析】选A.将抛物线y=x2向右平移1个单位所得直线关系式为y=(x－1)2;再向上平移3个单位为y=(x －1)2+3.4.【解析】选B.作OM⊥BC于点M,ON⊥CD于点N,则OM∥AB.又OA=OC,∴BM=MC,OM=AB=4cm,同理ON=4cm,∴△OEF的面积为S=S△BCD－S△OBE－S△ODF－S△CEF=×8×8－t×4－×(8－t)×t－(8－t)×4=t2－4t+16(0≤t≤8),∴图象为自变量的取值为0≤t≤8且开口向上的抛物线.5.【解析】由y=(x－1)2+1可知其对称轴是x=1,抛物线的开口向上,所以当x>1时,y随x的增大而增大,所以若x1>x2>1,则y1>y2.答案:>6.【解析】y=x2+2x－2=x2+2x+1－3=(x+1)2－3,由a=1>0,所以当x=－1时,二次函数y=x2+2x－2有最小值－3.答案:－17.【解析】由题意得y=(100+x)(600－5x),化简得y=－5x2+100x+60000,由二次函数的性质得当x=－=10时,y有最大值,所以果园里增种10棵橘子树,橘子总个数最多.答案:108.【解析】(1)由题意,可设y=kx+b,把(5,30 000),(6,20 000)代入得:解得所以y与x之间的关系式为:y=－10 000x+80 000.(2)设利润为W,则W=(x－4)(－10 000x+80 000)=－10 000(x－4)(x－8)=－10 000(x2－12x+32)=－10 000[(x－6)2－4]=－10 000(x－6)2+40 000所以当x=6时,W取得最大值,最大值为40 000元.答:当销售价格定为6元时,每月的利润最大,每月的最大利润为40 000元.9.【解析】(1)如y=x2+x,y=－x2－x+8.(只要写出一个符合条件的函数关系式即可)(2)不存在二次项系数的绝对值小于的整点抛物线.假设存在符合条件的抛物线,则对于y=ax2+bx+c, 当x=0时,y=c,当x=1时,y=a+b+c,由整点抛物线定义知:c为整数,a+b+c为整数,∴a+b必为整数.又当x=2时,y=4a+2b+c=2a+2(a+b)+c是整数,∴2a必为整数,从而a应为的整数倍.∵a≠0,∴|a|≥,∴不存在二次项系数的绝对值小于的整点抛物线.。
浙教版九年级数学上册 第一章 二次函数单元检测B卷(含答案)
第一章二次函数单元检测B卷学号________姓名____________总分_____________一、选择题（共12小题）1、二次函数y=x2+2x+3的定义域为（）A、x＞0B、x为一切实数C、y＞2D、y为一切实数2、当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（）3、已知二次函数的图象经过点（1，10），顶点坐标为（﹣1，﹣2），则此二次函数的解析式为（）A、y=3x2+6x+1B、y=3x2+6x﹣1C、y=3x2﹣6x+1D、y=﹣3x2﹣6x+14、已知二次函数y=﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y=a（x﹣h）2+k的形式，结果是（）A、y=﹣（x﹣1）2﹣2;B、y=﹣（x﹣1）2+2;C、y=﹣（x﹣1）2+4D、y=﹣（x+1）2﹣45、如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y=x2（x≥0）和抛物线C2：y=（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x 轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（）A、B、C、D、20），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确的个数是（）A、4个B、3个C、2个D、1个7、如图，将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'、若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A、B、C、D、8、如图，抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点、则下列结论：①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2其中正确结论的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个9、如图抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB=OC，下列结论：①2b﹣c=2；②a=；③ac=b﹣1；④＞0；其中正确的个数有（）A、1个B、2个C、3个D、4个10、二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A、t＞﹣5B、﹣5＜t＜3C、3＜t≤4D、﹣5＜t≤411、如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，下列结论：①b2＞4ac；②ac＞0；③a﹣b+c＞0；④不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜3；⑤当x＞1时，y随x的增大而减小，其中结论正确的序号是（）A、①②③B、①④⑤C、③④⑤D、①③⑤12、已知烟花弹爆炸后某个残片的空中飞行轨迹可以看成为二次函数y=﹣x2+2x+5图象的一部分，其中x为爆炸后经过的时间（秒），y为残片离地面的高度（米），请问在爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为（）A、0米到8米B、5米到8米C、到8米D、5米到米二、填空题（共8小题）13、如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上、若设AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为、14、飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s=60t﹣t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为秒、15、已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2，顶点为A、点P为抛物线对称轴上一点，连结OA、OP、当OA⊥OP时，P点坐标为、16、已知抛物线：y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），B（2，4）两点，顶点坐标为（m，n），有下列结论：①b＜1；②c＜2；③0＜m＜；④n≤1、则所有正确结论的序号是、17、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则化简代数式=、18、将抛物线y=x2+2x+3所在的平面直角坐标系中的纵轴（即y轴）向左平移1个单位，则原抛物线在新的坐标系下的函数关系式是、19、对于二次函数y=x2﹣2mx+3（m＞0），有下列说法：①如果m=2，则y有最小值﹣1；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后的函数的最小值是﹣9，则；④如果当x=1时的函数值与x=2015时的函数值相等，则当x=2016时的函数值为3、其中正确的说法是、（把你认为正确的结论的序号都填上）20、已知x=2t﹣8，y=10﹣t，S=，则S有最值，这个值是、三、解答题（共8小题）21、设方程y=x2﹣（ab﹣a+b﹣1）x2+（a2+ab+a）x﹣2a2+1的图象对任何实数a均通过一定点，试求b的值以及定点的坐标、22、二次函数y=x2+px+q的图象经过点（2，﹣1）且与x轴交于不同的两点A（a，0）、B（b，0），设图象顶点为M，求使△AMB的面积最小时的二次函数的解析式、23、设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞1），当x=c时，y=0；当0＜x＜c时，y＞0、（1）请比较ac和1的大小，并说明理由；（2）当x＞0时，求证：、24、已知抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=﹣4x+m相交于第一象限不同的两点，A（5，n），B（e，f）（1）若点B的坐标为（3，9），求此抛物线的解析式；（2）将此抛物线平移，设平移后的抛物线为y=﹣x2+px+q，过点A与点（1，2），且m﹣q=25，在平移过程中，若抛物线y=﹣x2+bx+c向下平移了S（S＞0）个单位长度，求S的取值范围、25、如图，已知直线y=x+与x轴、y轴分别相交于B、A两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B两点，且对称轴为x=﹣3、（1）求A、B两点的坐标，并求抛物线的解析式；（2）若点P以1个单位/秒的速度从点B沿x轴向点O运动，过点P作y轴的平行线交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P运动的时间为t，MN的长度为s，求s与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，s取得最大值？26、如图，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C、（1）求抛物线的解析式，并写出其对称轴；（2）把（1）中所求出的抛物线记为C1，将C1向右平移m个单位得到抛物线C2，C1与C2的在第一象限交点为M，过点M作MG⊥x轴于点G，交线段AC于点H，连接CM，当△CMH 为等腰三角形时，求抛物线向右平移的距离m和此时点M的坐标、27、某公司主要生产和销售A产品，每件产品的成本为200元，销售单价为260元，顾客一次购买A产品不超过10件，每件销售为260元；若一次购买A型产品多于10件，则每多一件，所购买的全部产品的销售单价均降低2元，但销售单价均不低于224元、（1）顾客一次购买A产品多少件时，销售单价恰好为224元？（2）某次交易中，小张一次性购买A产品x件，公司盈利792元，求本次交易中小张购买产品的件数、（3）进入冬季，公司举行“情系山区，你我共同送温暖”的公益促销活动，活动规定：在原定价格的基础上每件均优惠5元，若一次购买A型产品不超过10件，则每销售一件产品公司捐款5元；若一次购买A型产品超过10件，则每售出一件产品公司捐款a元，此外再一次性捐款100元，受活动影响，每位顾客购买件数x均满足10＜x≤17，为使顾客一次购买的数量越多，公司在该次交易中所获得的利润越大，求a的取值范围、28、如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B、抛物线y=﹣+n的顶点P在直线y=﹣x+4上，与y轴交于点C（点P、C不与点B重合），以BC为边作矩形BCDE，且CD=2，点P、D在y轴的同侧、（1）n=（用含m的代数式表示），点C的纵坐标是（用含m的代数式表示）、（2）当点P在矩形BCDE的边DE上，且在第一象限时，求抛物线对应的函数表达式、（3）设矩形BCDE的周长为d（d＞0），求d与m之间的函数表达式、（4）直接写出矩形BCDE有两个顶点落在抛物线上时m的值、参考答案与试题解析一、选择题（共12小题）1、【考点】二次函数的定义、【分析】找出二次函数的定义域即可、解：二次函数y=x2+2x+3的定义域为x为一切实数，故选B2、【考点】二次函数的图象；一次函数的图象、【分析】根据题意，ab＞0，即a、b同号，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案、解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，当a＞0时，b＞0，y=ax2与开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；此时，没有选项符合，当a＜0时，b＜0，y=ax2与开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；此时，D选项符合，故选D、3、【考点】待定系数法求二次函数解析式、【分析】根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：y=a（x+1）2﹣2，再把（1，10）代入，求出a的值，即可得出二次函数的解析式、解：设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2﹣2，把（1，10）代入解析式得10=4a﹣2，解得a=3，则抛物线的解析式为：y=3（x+1）2﹣2=3x2+6x+1、故选A、4、【考点】二次函数的三种形式、【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式、解：y=﹣x2+2x﹣3=﹣（x2﹣2x+1）+1﹣3=﹣（x﹣1）2﹣2，故选A、5、【考点】二次函数图象上点的坐标特征、【分析】可以设A、B横坐标为a，易求得点E、F、D的坐标，即可求得OE、CE、AD、BF 的长度，即可解题、解：设点A、B横坐标为a，则点A纵坐标为a2，点B的纵坐标为，∵BE∥x轴，∴点F纵坐标为，∵点F是抛物线y=x2上的点，∴点F横坐标为x==，∵CD∥x轴，∴点D纵坐标为a2，∵点D是抛物线y=上的点，∴点D横坐标为x==2a，∴AD=a，BF=a，CE=a2，OE=a2，∴则==×=，故选D、6、【考点】二次函数图象与系数的关系、【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=﹣2a，然后根据x=﹣1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断、解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，所以③错误；∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确、故选B、7、【考点】二次函数图象与几何变换、【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解、解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3，∴A（1，1），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC=4﹣1=3，∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=9，∴AA′=3，即将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=（x﹣2）2+4、故选D、8、【考点】二次函数的性质；二次函数的图象；等腰直角三角形、【分析】把点A坐标代入y2，求出a的值，即可得到函数解析式；令y=3，求出A、B、C的横坐标，然后求出BD、AD的长，利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案、解：∵抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），∴3=a（1﹣4）2﹣3，解得：a=，故①正确；过点E作EF⊥AC于点F，∵E是抛物线的顶点，∴AE=EC，E（4，﹣3），∴AF=3，EF=6，∴AE==3，AC=2AF=6，∴AC≠AE，故②错误；当y=3时，3=（x+1）2+1，解得：x1=1，x2=﹣3，故B（﹣3，3），D（﹣1，1），则AB=4，AD=BD=2，∴AD2+BD2=AB2，∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；∵（x+1）2+1=（x﹣4）2﹣3时，解得：x1=1，x2=37，∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误、故选：B、9、【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系、【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a、b、c的符号以及它们之间的数量关系，即可得出结论、解：据图象可知a＞0，c＜0，b＞0，∴＜0，故④错误；∵OB=OC，∴OB=﹣c，∴点B坐标为（﹣c，0），∴ac2﹣bc+c=0，∴ac﹣b+1=0，∴ac=b﹣1，故③正确；∵A（﹣2，0），B（﹣c，0），抛物线线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）和B（﹣c，0）两点，∴2c=，∴2=，∴a=，故②正确；∵ac﹣b+1=0，∴b=ac+1，a=，∴b=c+1∴2b﹣c=2，故①正确；故选：C、10、【考点】图象法求一元二次方程的近似根；抛物线与x轴的交点、【分析】如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx与直线y=t 的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题、解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，当x=1时，y=3，当x=5时，y=﹣5，由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，∴﹣5＜t≤4、故答案为D、11、【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系、【分析】由抛物线的位置以及对称轴易判断a，b，c的符号以及判别式的符号，再由对称性可求得抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0），容易判断④，根据抛物线的增减性即可判断⑤、解：∵二次函数y=ax2+bx+c过点A（3，0），对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，故③错误；∵开口向下，与y轴的交点在x轴的上方，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，故②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确；∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴是x=1，∴二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），结合图象可知当﹣1＜x＜3，ax2+bx+c＞0，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜3，故选项④正确；由图象和二次函数图象的对称轴是x=1，可得当x＞1时，y随x的增大而减小，故选项⑤正确，故选B、12、【考点】二次函数的应用、【分析】首先求得二次函数y=﹣x2+2x+5的顶点坐标，求得点（1，y1）的坐标，再求得（6，y2）这个点的坐标，观察图象即可解答、解：如图、∵y=﹣x2+2x+5=﹣（x﹣3）2+8，∴顶点坐标为B（3，8），对称轴为x=3、又∵爆炸后1秒点A的坐标为（1，），6秒时点的坐标为（6，5），∴爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为5≤y≤8、故选B、二、填空题（共8小题）13、【考点】根据实际问题列二次函数关系式；正方形的性质、【分析】由AAS证明△AHE≌△BEF，得出AE=BF=x，AH=BE=2﹣x，再根据勾股定理，求出EH2，即可得到y与x之间的函数关系式、解：如图所示：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴∠A=∠B=90°，AB=2、∴∠1+∠2=90°，∵四边形EFGH为正方形，∴∠HEF=90°，EH=EF、∴∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，在△AHE与△BEF中，∵，∴△AHE≌△BEF（AAS），∴AE=BF=x，AH=BE=2﹣x，在Rt△AHE中，由勾股定理得：EH2=AE2+AH2=x2+（2﹣x）2=2x2﹣4x+4；即y=2x2﹣4x+4（0＜x＜2），故答案为：y=2x2﹣4x+4、14、【考点】二次函数的应用、【分析】将s=60t﹣1.5t2，化为顶点式，即可求得s的最大值，从而可以解答本题、解：解：s=60t﹣t2=﹣（t﹣20）2+600，∴当t=20时，s取得最大值，此时s=600、故答案是：20、15、【考点】二次函数综合题、【分析】根据抛物线对称轴列方程求出a，即可得到抛物线解析式，再根据抛物线解析式写出顶点坐标，设对称轴与x轴的交点为E，求出∠OAE=∠EOP，然后根据锐角的正切值相等列出等式，再求解得到PE，然后利用勾股定理列式计算即可得解、解：∵抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2，∴﹣=2，∴a=﹣，∴抛物线的表达式为：y=﹣x2+x，∴顶点A的坐标为（2，1），设对称轴与x轴的交点为E、如图，在直角三角形AOE和直角三角形POE中，tan∠OAE=，tan∠EOP=，∵OA⊥OP，∴∠OAE=∠EOP，∴=，∵AE=1，OE=2，∴=，解得PE=4，∴P（2，﹣4），故答案为：（2，﹣4）、16、【考点】二次函数图象与系数的关系、【分析】根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出b=﹣a+1、c=﹣2a+2，结合a＞0，可得出b＜1、c＜2，即结论①②正确；由抛物线顶点的横坐标m=﹣，可得出m=﹣，即m＜，结论③不正确；由抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），可得出n≤1，结论④正确、综上即可得出结论、解：∵抛物线过点A（﹣1，1），B（2，4），∴，∴b=﹣a+1，c=﹣2a+2、∵a＞0，∴b＜1，c＜2，∴结论①②正确；∵抛物线的顶点坐标为（m，n），∴m=﹣=﹣=﹣，∴m＜，结论③不正确；∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），顶点坐标为（m，n），∴n≤1，结论④正确、综上所述：正确的结论有①②④、故答案为：①②④、17、【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次根式的性质与化简、【分析】由二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，求c的值及a、b 的关系式，根据对称轴的位置判断a的取值范围，再把二次根式化简求值、解：把（﹣1，0）和（0，﹣1）两点代入y=ax2+bx+c中，得a﹣b+c=0，c=﹣1，∴b=a+c=a﹣1，由图象可知，抛物线对称轴x=﹣=﹣＞0，且a＞0，∴a﹣1＜0，0＜a＜1，，=+，=|a+|+|a﹣|，=a+﹣a+，=、故本题答案为：、18、【考点】二次函数图象与几何变换、【分析】求出平移前后的两个抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可、解：抛物线y=x2+2x+3=（x+1）2+2的顶点坐标是（﹣1，2），纵轴（即y轴）向左平移1个单位，相当于抛物线向右平移1个单位，顶点坐标为（0，2），所以，抛物线在新坐标系下的函数关系式为y=x2+2、故答案为：y=x2+2、19、【考点】二次函数的性质、【分析】①把m=2代入，利用配方法求顶点坐标；②利用对称轴和增减性的性质可知，对称轴一定是x=1的右侧；③根据平移原则：左⇒+，右⇒一，得出解析式，并利用最值列式；④根据已知先求m的值，写出解析式，把x=2016代入求y、解：①当m=2时，二次函数为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∵a=1＞0，∴当x=2时，y有最小值为﹣1；故①正确；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则﹣=m≥1；故②错误；③y=x2﹣2mx+3=（x﹣m）2﹣m2+3，将它的图象向左平移3个单位后的函数：y=（x﹣m+3）2﹣m2+3，则﹣m2+3=﹣9，m=±2，∵m＞0，∴m=2，故③正确；④由当x=1时的函数值与x=2015时的函数值相等得：12﹣2m+3=20152﹣4030m+3，m=1008，∴当x=2016时，y=20162﹣2×2016×1008+3=3，故④正确；故答案为：①③④、20、【考点】二次函数的最值、【分析】根据题意和已知，计算出表示xy的值的多项式，根据二次函数的性质求出xy的有最大值，得到S的最大值、解：xy=（2t﹣8）（10﹣t）=﹣2t2+28t﹣80=﹣2（t﹣7）2+18﹣2＜0，∴函数xy有最大值18，则S有最大值3故答案为：大；3、三、解答题（共8小题）21、【考点】二次函数图象上点的坐标特征、【分析】将方程按照含a2、a及不含a的项整理，令a2、a项系数为0即可、解：原方程整理为y=（x﹣2）a2+（x2﹣bx2+bx+x）a+2x2﹣bx2+1，当x﹣2=0，x2﹣bx2+bx+x=0时，图象对任何实数a均通过一定点，解得x=2，b=3，定点坐标为（2，﹣3）、22、【考点】二次函数的最值；根与系数的关系、【分析】A、B两点在x轴上，用|AB|=|a﹣b|表示线段AB的长，由两根关系转化为p、q的表达式，根据顶点坐标公式得M（），故有S△AMB=|AB|•||，又依题意得4+2p+q=﹣1，即q=﹣2p﹣5，转化为关于p的二次函数求面积最小时，p、q的值、解：由题意知4+2p+q=﹣1，即q=﹣2p﹣5，∵A（a，0）、B（b，0）两点在抛物线y=x2+px+q上，∴a+b=﹣p，ab=q，又|AB|=|a﹣b|=，M（），∴S△AMB=|AB|•||=|a﹣b|•（P2﹣4q）=要使S△AMB最小，只须使P2﹣4q为最小，而P2﹣4q=P2+8p+20=（p+4）2+4，∴当p=﹣4时，P2﹣4q有最小值为4，此时q=3，S△AMB=×=1、∴二次函数解析式为y=x2﹣4x+3、23、【考点】二次函数的性质、【分析】（1）由条件x=c时，y=0，代入可得ac+b+1=0，即b=﹣ac﹣1，根据0＜x＜c时，y ＞0，而抛物线开口向上，可知对称轴x=﹣≥c，将b代入解不等式即可；（2）将所证不等式左边通分，再根据题目的条件，证明每一个部分大于0即可、（1）解：当x=c时，y=0，即ac2+bc+c=0，c（ac+b+1）=0，又c＞1，所以ac+b+1=0又因为当0＜x＜c时，y＞0，x=c时，y=0，于是二次函数y=ax2+bx+c的对称轴：即b≤﹣2ac所以b=﹣ac﹣1≤﹣2ac即ac≤1；（2）证明：因为0＜x=1＜c时，y＞0，所以a+b+c＞0由ac≤1及a＞0，c＞1得：0＜a＜1因为而a+b+c＞0，0＜a＜1，c＞1，a﹣2ac﹣2+3c=（1﹣a）（2c﹣1）+（c﹣1）＞0所以当x＞0时，，即、24、【考点】二次函数图象与几何变换、【分析】（1）根据点B的坐标可求出m的值，写出一次函数的解析式，并求出点A的坐标，最后利用点A、B两点的坐标求抛物线的解析式；（2）根据题意列方程组求出p、q、m、n的值，计算平移后的抛物线的解析式，并求抛物线过A、C时的解析式，根据平移规律，计算其顶点坐标，向下平移的距离主要看顶点坐标的纵坐标之差即可、解：（1）∵直线y=﹣4x+m过点B（3，9），∴9=﹣4×3+m，解得：m=21，∴直线的解析式为y=﹣4x+21，∵点A（5，n）在直线y=﹣4x+21上，∴n=﹣4×5+21=1，∴点A（5，1），将点A（5，1）、B（3，9）代入y=﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+6；（2）由抛物线y=﹣x2+px+q与直线y=﹣4x+m相交于A（5，n）点，得：﹣25+5p+q=n①，﹣20+m=n②，y=﹣x2+px+q过（1，2）得：﹣1+p+q=2③，则有解得：∴平移后的抛物线为y=﹣x2+6x﹣3=﹣（x﹣3）2+6，顶点为（3，6），一次函数的解析式为：y=﹣4x+22，A（5，2），∵当抛物线在平移的过程中，a不变，∵抛物线与直线有两个交点，如图所示，抛物线与直线一定交于点A，所以当抛物线过点C以及抛物线在点A处与直线相切时，只有一个交点介于点A、C之间，当抛物线y=﹣x2+bx+c过A（5，2）、C（0，22）时，得c=22，b=1，此时抛物线解析式为：y=﹣x2+x+22，顶点（，）；﹣6=；则0＜S＜、25、【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与系数的关系；二次函数的性质、【分析】（1）根据直线的解析式分别令x=0、y=0，即可求得A、B的坐标，然后设出抛物线的顶点式，用待定系数法得到二次函数的解析式即可、（2）设BP=t（0＜t＜7），则OP=7﹣t，P（t﹣7，0），M（t﹣7，），N（t﹣7，﹣（t﹣7+3）2+8），即可得出s=MN=﹣t2+t（0＜t＜7），由﹣＜0，可知S有最大值，然后根据二次函数的性质即可求得s的最大值、解：（1）∵直线y=x+与x轴、y轴分别相交于B、A两点，∴令x=0，则y=，令y=0，则x=﹣7，∴A（0，），B（﹣7，0），∵抛物线的对称轴为直线x=﹣3、∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）2+n，∵抛物线过A（0，），B（﹣7，0），∴解得、∴抛物线的解析式为y=﹣（x+3）2+8、（2）设BP=t（0＜t＜7），则OP=7﹣t，∴P（t﹣7，0）∵由于MP与y轴平行，且点M在直线AB上∴M（t﹣7，），∵MN与y轴平行，且点N在抛物线上∴N（t﹣7，﹣（t﹣7+3）2+8），∴s=MN=﹣（t﹣7+3）2+8﹣=﹣t2+t（0＜t＜7），∵﹣＜0，即S有最大值∴当t=﹣=时，s最大=﹣×（）2+×=、26、【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换；等腰三角形的性质、【分析】（1）利用交点式求二次函数的解析式，并配方求对称轴；（2）先求直线AC的解析式，根据各自的解析式设出M（x，﹣x2++2），H（x，﹣x+2），由图得△CMH为等腰三角形时，①CM=CH，②当HC=HM时，③当CM=HM时，列式计算求出M的坐标，把M的坐标代入平移后的解析式可并得出m的值、解：（1）当x=0时，y=ax2+bx+2=2，∴抛物线经过（0，2），∵抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，设抛物线的解析式为：y=a（x﹣4）（x+1），把（0，2）代入得：2=a（0﹣4）（0+1），a=﹣，∴y=﹣（x﹣4）（x+1）=﹣x2++2=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2++2，对称轴是：直线x=；（2）设直线AC的解析式为：y=kx+b，把A（4，0）、C（0，2）代入得：，解得：，∴直线AC的解析式为：y=﹣x+2，设M（x，﹣x2++2），H（x，﹣x+2），∵△CMH为等腰三角形，分三种情况：①当CM=CH时，∴C是MH垂直平分线上的点，∴GH+GM=4，则﹣x2++2+（﹣x+2）=4，解得：x1=0（舍），x2=2，∴M（2，3），设平移后的抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣﹣m）2+，把M（2，3）代入得：m=1、②当HC=HM时，HM=﹣x2++2﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，CH2=，CH=，∴=﹣x2+2x，x1=0（舍），x2=4﹣，∴M（4﹣，﹣），设平移后的抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣﹣m）2+，把M（4﹣，﹣），代入得：m1=0（舍），m2=5﹣2；③当CM=HM时，HM=﹣x2+2x，CM2=，则=，x=，∴M（，），设平移后的抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣﹣m）2+，把M（，），代入得：m=0（舍）；综上所述，当m=1时，M（2，3）；当m=5﹣2时，M（4﹣，﹣）、27、【考点】二次函数的应用、【分析】（1）根据一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低2元，得出260﹣2（x﹣10）=224求出即可；（2）根据利润关系式，列出一元二次方程，求出件数；（3）由于此次购买数量大于10件，根据已知，设利润为y，根据条件列出二次函数关系式，利用对称轴性质求出a的取值范围、解：（1）设商家一次购买该产品x件时，销售单价恰好为224元、260﹣2（x﹣10）=224，解得：x=28；答：顾客一次购买A产品28件时，销售单价恰好为224元、（2）设本次交易中小张购买产品的件数是x，∵792＞（260﹣200）×10，∴x＞10，根据题意得：[260﹣2（x﹣10）﹣200]x=792，解得：x1=22，x2=18，∴本次交易中小张购买产品的件数是22件或18件；（3）设公司获利为y，则y=[260﹣2（x﹣10）﹣5﹣a﹣200]x﹣100，即y=﹣2x2+（75﹣a）x﹣100，对称轴x=﹣=，∵顾客一次购买的数量越多，公司在该次交易中所获得的利润越大，≥17解得：a≤7，∴a的取值范围为：0≤a≤7、28、【考点】二次函数综合题、【分析】（1）根据二次函数的解析式写出顶点P的坐标（m，n），又因为点p在直线y=﹣x+4上，将p点坐标代入可求出n，将二次函数化成一般式后得出点C的纵坐标，并将其化成含m的代数式；（2）当点P在矩形BCDE的边DE上，且在第一象限时，由CD=2可知，点P的横坐标为2，可求得纵坐标为2，则P（2，2），得出抛物线对应的函数表达式；（3）根据坐标表示出边BC的长，由矩形周长公式表示出d；（4）首先点B与C不能重合，因此点B不会在抛物线上，则分两类情况讨论：①点C、D 在抛物线上时；②点C、E在抛物线上时；由（1）的结论计算出m的值、解：（1）y=﹣（x﹣m）2+n=﹣x2+mx﹣m2+n，∴P（m，n），∵点P在直线y=﹣x+4上，∴n=﹣m+4，当x=0时，y=﹣m2+n=﹣m2﹣m+4，即点C的纵坐标为：﹣m2﹣m+4，故答案为：﹣m+4，﹣m2﹣m+4；（2）∵四边形BCDE是矩形，∴DE∥y轴、∵CD=2，∴当x=2时，y=2、∴DE与AB的交点坐标为（2，2）、∴当点P在矩形BCDE的边DE上时，抛物线的顶点P坐标为（2，2）、∴抛物线对应的函数表达式为、（3）∵直线y=﹣x+4与y轴交于点B，∴点B的坐标是（0，4）、当点B与点C重合时，、解得m1=0，m2=﹣3、i）当m＜﹣3或m＞0时，如图①、②，、、ii）当﹣3＜m＜0时，如图③，、、（4）如图④⑤，点C、D在抛物线上时，由CD=2可知对称轴为：x=±1，即m=±1；如图⑥⑦，点C、E在抛物线上时，由B（0，4）和CD=2得：E（﹣2，4）则4=﹣（﹣2﹣m）2+（﹣m+4），解得：、、综上所述：m=1、m=﹣1、、、。
人教版(五四制)2019-2020九年级数学上册28.1二次函数的图象和性质基础达标练习题B(含答案)
人教版（五四制）2019-2020九年级数学上册28.1二次函数的图象和性质基础达标练习题B（含答案）1．抛物线y＝x2+2x+3的对称轴是（）A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝2 2．二次函数y=2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（﹣3，1）D．（3，1）3．如图，已知二次函数图象过点，顶点为，则结论：①；②时，函数的最大值是；③；④；⑤．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①c＜0，②abc＞0，③a﹣b+c＞0，④2a﹣3b=0，⑤c﹣4b＞0．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是( ) A．B．C．D．6．如图，已知点A1，A2，…，A2011在函数位于第二象限的图象上，点B1，B2，…，B2011在函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，…，C2011在y轴的正半轴上，若四边形、，…，都是正方形，则正方形的边长为A．2010 B．2011 C．2010D．20117．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则直线y=ax+b与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象为（）A．B．C．D．8．已知二次函数的图象如图，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥（为任意实数），其中正确的结论有（）A．个B．个C．个D．个9．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①2a+b=0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．下列函数不属于二次函数的是（）A ．y ＝(x －1)(x ＋2)B ．y ＝12(x ＋1)2 C ．220x y +-= D ．y ＝2(x ＋3)2－2x 2 11．如图，边长为4的正方形ABCD ，点P 为AD 边上的中点，点Q 是BC 边上的一点，BQ=1．将一块直角三角板的直角顶点放在点P 处，以点P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB ，射线BC 相交于点E 、F ，点M 是EF 的中点，则QM 的最小值为_______．12．点A （3，m ）在抛物线y=x 2﹣1上，则点A 关于x 轴的对称点的坐标为___________．13．请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为的抛物线的表达式：_____________． 14．已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列4个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；其中正确的结论为 ．（填序号）15．二次函数y=x 2+bx+c 的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直线x=________16．设抛物线y=-x 2+2x+3的顶点为E ，与y 轴交于点C ，EF ⊥x 轴于点，若点M （m ，0）是x 轴上的动点，且满足以MC 为直径的圆与线段EF 有公共点，则实数m 的取值范围是 ．17．如图，二次函数的图象与x 轴相交于点（﹣1，0）和（3，0），则它的对称轴是_________．18．已知二次函数y=﹣2x2+x+4，当x＜_____时，y随x的增大而增大．19．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论：①a＋b＋c＞0；②a －b＋c＞1；③abc＞0；④4a－2b＋c＜1；⑤b＋2a＝0．其中所有正确的结论是______．(填序号)20．已知抛物线的部分图象如图,则抛物线的对称轴为直线x= ,满足y＜0的x的取值范围是,将抛物线向平移个单位,则得到抛物线.21．如图在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（3，4），平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与菱形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．（1）求点B的坐标；（2）当MN ＝12AC 时，求t 的值； （3）设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数表达式，并确定S 的最大值．22．如图1，在△ABC 中，∠A=120°，AB=AC ，点P 、Q 同时从点B 出发，以相同的速度分别沿折线B→A→C 、射线BC 运动，连接PQ ．当点P 到达点C 时，点P 、Q 同时停止运动．设BQ=x ，△BPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ．如图2是S 关于x 的函数图象（其中0≤x≤8，8＜x≤m ，m ＜x≤16时，函数的解析式不同）．（1）填空：m 的值为 ；（2）求S 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）请直接写出△PCQ 为等腰三角形时x 的值．23．如图，抛物线与x 轴交于点A （1，0）和B （4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点F 是位于x 轴上方对称轴上一点，FC ∥x 轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C ，且四边形OECF 是平行四边形，求点C 的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△OCP 是直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．24．已知二次函数2284y x x =-+-，完成下列各题：（1）将函数关系式用配方法化为y=a(x+h)2+k形式，并写出它的顶点坐标、对称轴．（2）若它的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C,求△ABC的面积．25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2．（1）若直线l1：y=x-1与抛物线C有且只有1个交点，求抛物线C的解析式．（2）如图1，在（1）的条件下，在y轴上有一点A（0，4），过点A作直线l2与抛物线C有两个交点M、N（N位于第一象限），过点N作x轴的垂线，垂足为H．试探究：是否存在l2，使△MON∽△NHO？若存在，求出l2的解析式；若不存在，说明理由．（3）如图2，E、F为抛物线C（y=ax2）上两动点，始终满足OE⊥OF，连接EF，则直线EF是否恒过一定点G？若存在点G，直接写出G点坐标（用含a的坐标表示），若不存在，给予证明．（参考结论：若直线l：y=kx+b上有两点（x1，y1）、（x2，y2），则斜率k=；当两直线l1、l2的斜率乘积k1•k2=-1时，l1⊥l2）26．如图，抛物线y=a（x﹣1）2+b经过A（4，0）和B（0，4）两点．（1）求a、b的值，并写出抛物线的解析式；（2）记抛物线的顶点为C，求△ABC的面积；（3）M是抛物线上的一个动点，且位于笫一象限内．设△ABM的面积为S，试求S的最大值．27．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知点B坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ABC的形状，说出△ABC外接圆的圆心位置，并求出圆心的坐标．28．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k为常数）.（1）求证无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.参考答案1．B【解析】分析：先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程．详解：∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2，∴抛物线的对称轴为直线x=-1．故选B．点睛：本题考查了二次函数的性质：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），它的顶点坐标是（-，），对称轴为直线x=-．2．D【解析】二次函数y=-2（x-3）2+1的图象的顶点坐标是（3，1）．故选D.3．C【解析】【分析】由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线的对称轴为直线x=-=1，则b=-2a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对①进行判断；由于抛物线的顶点坐标为（1，2），根据二次函数的性质可对②进行判断；由于x=时，y＞0，即a+b+c＞0，则a+2b+4c＞0，于是可对③进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x=-=1可得2a=-b，所以可对④进行判断；利用抛物线过点（-1，0）得到a-b+c=0，而a=-b，则-b-b+c=0，变形得到2c=3b，则可对⑤进行判断.【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，∴b=-2a＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①正确；∵抛物线的顶点坐标为（1，2），∴x=1时，函数有大值2，所以②正确；∵x=时，y ＞0，即a+b+c ＞0，∴a+2b+4c ＞0，所以③错误；∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，∴2a=-b ，所以④正确；∵抛物线过点（-1，0），∴a-b+c=0，而a=-b ，∴-b-b+c=0，∴2c=3b ，所以⑤错误．故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．4．D ．【解析】试题分析：抛物线的开口向上，则a ＞0；对称轴为x=2b a -=13，即3b=﹣2a ，故b ＜0；抛物线交y轴于负半轴，则c＜0；①由以上c＜0，正确；②由a＞0，b＜0，c＜0，得abc＞0，正确；③由图知：当x=﹣1时，y＞0，则a﹣b+c＞0，正确；④由对称轴知：3b=﹣2a，即3b+2a=0，错误；⑤由对称轴知：3b=﹣2a，即a=32-b，函数解析式可写作y=32-bx2+bx+c；由图知：当x=2时，y＞0，即32-b×4+2b+c＞0，即c﹣4b＞0，故⑤正确；∴正确的结论有四个：①②③⑤．故选D．考点：二次函数图象与系数的关系．5．C【解析】【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x−h）2＋k，由条件可以得出a＝−，再将定点坐标代入解析式就可以求出结论．【详解】解答：解：设抛物线的解析式为y＝a（x−h）2＋k，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线y＝−x2相同，∴a＝−，∴y＝−（x−h）2＋k，∴y＝−（x＋5）2．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，在解答时运用抛物线的性质求出a值是关健．6．D试题分析：：∵OA1C1B1是正方形，∴OB1与y轴的夹角为45°，∴OB1的解析式为y=x联立，解得或，∴点B1（1，1），OB1=，∵OA1C1B1是正方形，∴OC1=OB1=×=2，∵C1A2C2B2是正方形，∴C1B2的解析式为y=x+2，联立，解得或，∴点B2（2，4），C1B2=，∵C1A2C2B2是正方形，∴C1C2=C1B2=×2=4，∴C2B3的解析式为y=x+（4+2）=x+6，联立，解得，或，∴点B3（3，9），C2B3=，…，依此类推，正方形C2010A2011C2011B2011的边长C2010B2011=．考点：二次函数综合题．7．B【解析】本题形数结合，根据二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象位置，可判断a、b、c的符号；再由一次函数y＝ax＋b，反比例函数y＝中的系数符号，判断图象的位置．经历：图象位置−系数符号−图象位置．【详解】∵二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象开口向下，a＜0；与y轴交于正半轴，c＞0；对称轴x＝−＜0，故b＜0；于是直线y＝ax＋b过二、三、四象限，反比例函数y＝过二、四象限．故选B．【点睛】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．8．B【解析】【分析】由图像可知c＞0，对称轴，可判断①；代入x=-1，由图像可知a-b+c＜0，可判断②；由对称轴可判断③；由图像对称性可知，对称轴右侧交点为（3,0），代入x=2即可判断④；由a-b+c＜0和即可判断⑤；由图可知，函数最大值为a+b+c，则当x=m （m为任意值），都有am2+bm+c≤a+b+c，可判断⑥.【详解】解：由图像可知c＞0，由对称轴可知ab＜0，则abc＜0，故①错误；代入x=-1，由图像可知a-b+c＜0，则，故②错误；，则且b≠0，故③错误；由图可知当x=0与x=2对称，当x=2时，由图可得y=4a+2b+c＞0，故④正确；由a-b+c＜0得2a-2b+2c＜0，由可得2a=-b，则2a-2b+2c=-3b+2c＜0，即，故⑤正确；由图可知，函数最大值为a+b+c，则当x=m（m为任意值），都有am2+bm+c≤a+b+c，整理后得a+b≥m(am+b)，故⑥错误.综上，正确的是④和⑤，故选择B.本题考查了二次函数一般式的图像和性质.9．D【解析】分析：首先根据二次函数图象开口方向可得a>0，根据图象与y轴交点可得c<0，再根据二次函数的对称轴x=-，结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出b<0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用抛物线与x轴有两个交点即可判断出③的正误；利用当x=4时，y>0，则16a+4b+c>0，由①知，b=-2a，得出8a+c>0，即可判断出④的正误．详解：根据图象可得：抛物线开口向上，则a>0.抛物线与y交与负半轴，则c<0，对称轴：x=−>0，①∵它与x轴的两个交点分别为(−1,0),(3,0)，∴对称轴是x=1，∴−=1，∴b+2a=0，故①正确；②∵a>0，−=1，∴b<0，又∵c<0，∴abc>0，故②错误；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④根据图示知，当x=4时，y>0，∴16a+4b+c>0，由①知，b=−2a，∴8a+c>0；故④正确；综上所述，正确的结论是：①③④，故选D.点睛：本题考查学生对二次函数图象与系数的理解，并且会巧妙的对一些式子进行变形得到想要的结论．10．D【解析】选项D ，化简后为 y ＝12x +18，是一次函数，不是二次函数，故选D.11 【解析】【分析】作FH ⊥AD 交AD 延长线于点H ，作MN ⊥BC 于点N ，设BE=x ，根据三角形相似求出AH 的长，即可得到BF 的长，然后可得到QN ，MN 的长，由勾股定理得到QM 2=QN 2+MN 2=(4-x)2+22x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据二次函数的性质计算得到QM 2的最小值，问题得解.【详解】解：如图：作FH ⊥AD 交AD 延长线于点H ，作MN ⊥BC 于点N ，设BE=x ，则AE=4-x ，∵∠EPF=90°，∠A=∠H=90°，∴∠APE=∠HPF=90°，∠HPF+∠HFP =90°，∴∠APE=∠HFP ，∴△APE ∽△HFP ， ∴2142AE AP HP HF ===， ∴HP=8-2x ，∴AH=BF=AP+HP=10-2x,∴MN=2x ，QN=BN-BQ=10214x 2x --=-， ∴QM 2=QN 2+MN 2=(4-x)2+22x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=225516168164455x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭， ∴QM 2的最小值为165，∴QM ..【点睛】本题考查正方形的性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理以及二次函数的最值问题，涉及知识点较多，较为复杂，能够构造相似三角形求出PH的长是解题关键.12．（3，-8）【解析】∵A(3,m)在抛物线y=x2−1上，∴m=9−1=8，∴A点坐标为(3,8)，∴点A关于x轴的对称点的坐标为(3，−8).故答案为(3，−8).13．(答案不唯一)【解析】【分析】把（0,2）作为抛物线的顶点，令a=-1，然后利用顶点式写出满足条件的抛物线解析式．【详解】解：因为抛物线的开口向下，则可设a=-1，又因为抛物线与轴的交点坐标为（0,2），则可设顶点为（0,2），所以此时抛物线的解析式为y=-x2+2．故答案为y=-x2+2．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式.14．③④．【解析】试题分析：①图象开口向下，与y 轴交于正半轴，对称轴为x=1，能得到：a ＜0，c ＞0，2b a -=1，∴b=﹣2a ＞0，∴abc ＜0，所以错误；②当x=﹣1时，由图象知y ＜0，把x=﹣1代入解析式得：a ﹣b+c ＜0，∴b ＞a+c ，∴②错误； ③图象开口向下，与y 轴交于正半轴，对称轴为x=1，能得到：a ＜0，c ＞0，2b a -=1，所以b=﹣2a ，所以4a+2b+c=4a ﹣4a+c ＞0，∴③正确；④∵由①②知b=﹣2a 且b ＞a+c ，∴2c ＜3b ，④正确．故正确结论的序号是③④．考点：1．二次函数图象与系数的关系；2．压轴题．15．-1【解析】【分析】根据两已知点的坐标特征得到它们是抛物线的对称点，而这两个点关于直线x=-1对称，由此可得到抛物线的对称轴．【详解】∵点（3，4）和（-5，4）的纵坐标相同，∴点（3，4）和（-5，4）是抛物线的对称点，而这两个点关于直线x=-1对称，∴抛物线的对称轴为直线x=-1．故答案为-1．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-．16．-≤m≤5．【解析】试题分析：根据题意表示出圆心的坐标、圆的半径、圆心到EF 的距离，列出不等式求出答案．试题解析：如图：∵M（m，0），C（0，3），∴圆心N的坐标（，），圆N的半径为：，圆心到EF的距离为：|1-|，由题意得，|1-|≤≤，解得：-≤m≤5．考点：1．直线与圆的位置关系；2．二次函数的性质．17．直线x=1【解析】试题分析：在二次函数中，到对称轴距离相等的点所对应的函数值也相等，本题中说明点－1和点3到对称轴的距离相等，则对称轴为直线x=（－1+3）÷2=1．考点：二次函数图象的性质．18．【解析】【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式, 根据二次函数的增减性解答即可.【详解】开口朝下，当时，y随x的增大而增大【点睛】本题考查了的知识点是二次函数的性质，解题关键是熟记相关性质．19．②③【解析】分析：根据所给二次函数的图象中所提供的信息结合二次函数的性质进行分析判断即可.详解：（1）由图象可知：当x=1时，y=a+b+c<0，故结论①不成立；（2）由图象可知：当x=-1时，y=a-b+c>1，故结论②成立；（3）由图象开口向下可得：a<0，由图象和y轴交于点（0，1）可得c=1>0，又∵抛物线的对称轴为直线：，∴b<0，∴abc>0，故结论③成立；（4）∵抛物线的对称轴为直线：x=-1，且当x=0时，y=1，∴当x=-2时，y=4a-2b+c=1，故结论④不成立；（5）∵抛物线的对称轴为直线：，∴b=2a，∴b-2a=0，故结论⑤不成立.综上所述，所给5个结论中成立的是：②③.故答案为：②③.点睛：本题是一道考查二次函数的图象与性质的题，“熟练掌握二次函数的图象特征和性质，能够从图象中获取相关信息”是解答本题的关键.20．x="3" ，1＜x＜5 ，上，4【解析】由图像可知抛物线的对称轴为x=3，当1＜x＜5时抛物线在横轴下方，即y＜0。
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x 初三数学巩固与拓展（二次函数水平检测试题）姓名_____________学号_________成绩___________一、选择题（让你算的少，要你想的多，只选一个可要认准啊！每小题3分，共30分）1.下列函数不属二次函数的是( )（A）y=(x－1)(x+2) （B）y=21(x+1)2（C）y=2(x+3)2－2x2（D）y=1－3x22.抛物线y＝2x2＋4x－3的顶点坐标是（）（A）（1，－5）（B）（－1，－5）（C）（－1，－4）（D）（－2，－7）3.抛物线221y x x=-+的对称轴是（）.（A）直线1x=（B）直线1x=-（C）直线2x=（D）直线2x=-4.二次函数22(3)5y x=--+图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（）.（A）开口向下，对称轴为3x=-，顶点坐标为（3，5）（B）开口向下，对称轴为3x=，顶点坐标为（3，5）（C）开口向上，对称轴为3x=-，顶点坐标为（-3，5）（D）开口向上，对称轴为3x=，顶点坐标为（-3，5）5.二次函数2y ax bx c=++（0a≠）的图象如图所示，下列结论：（1）c<0()20b>（3）420a b c++>（4）()a c b+<22其中正确的有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个6.已知抛物线()21433y x=--的部分图象（如图所示），图象再次与x轴相交时的坐标是（）（A）（5,0）（B）（6,0）（C）（7,0）（D）（8,0）7.已知函数2y ax bx c=++（0a≠），给出下列四个判断：①0a>；②20a b+=；③240b ac->；④0a b c++<.以其中三个判断作为条件，余下一个判断作为结论，可得到四个命题，其中，真命题的个数有（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个（）.8.无论m为任何实数，二次函数y＝2x＋（2－m）x＋m的图象总过的点是（）．（A）（1，3）（B）（1，0）（C）（－1，3）（D）（－1，0）9.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数2y ax bx c=++的图象过点（1，0）……求证这个二次函数的图象关于直线2x=对称.根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是（）.（A）过点（3，0）（B）顶点是（2，－2）（C）在x轴上截得的线段的长是2 （D）与y轴的交点是（0，3）B ACDx 30年产量（吨）销售单价（万元/吨）100020010. 函数y=ax 2-a 与y= ax(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )（A ） （B ） （C ） （D ） 二、填空题（每小题3分，共30分）11. 如图所示,有一根长60cm 的铁丝,用它围成一个矩形,写出矩形面积S(cm 2 )与它的一边长x(cm)之间的函数关系式____________.12.若点P （1，a ）和Q （－1，b ）都在抛物线21y x =-+上，则线段PQ 的长是_______________. 1３.已知抛物线21(1)4y x m x =+--的顶点的横坐标是2，则m 的值是_____________. 14.已知二次函数2y x bx c =++的图象过点A （c ，0），且关于直线2x =对称，则这个二次函数的解析式可能是________________（只要求写出一个可能的解析式）15.已知抛物线22(1)y x k x k =++-与x 轴有两个交点，且这两个交点分别在直线1x =的两侧，则k 的取值范围是_____________.16.用配方法将二次函数242426y x x =-+写2()y a x h k =-+的形式是______________________. 17.平面上，经过点A （2，0），B （0，－1）的抛物线有无数条，请写出其中一条确定的抛物线的解析式（不含字母系数）：_______________（写成一般式）. 18. 已知函数y =x 2-2001x+2002与x 轴的交点为（m ，0），（n ，0），则（m 2-2001m+2002）（n 2-2001n+2002）=_________．19. 若抛物线y=-4x 2+16x-15的顶点为A ，与x 轴的交点为B 、C ，•则△ABC•的面积是________．20．某种产品的年产量不超过1000吨，该产品的年产量（单位：吨）与费用（单位：•万元）之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图26-2所示）；该产品的年销售量（单位：吨）与销售单价（单位：万元/吨）之间的函数图象是线段（如图26-3所示），若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量是______吨时，所获毛利润最大（毛利润=销售额-费用）．三、解答题（耐心计算，仔细观察，表露你萌动的智慧！每小题8分，共40分）21.已知二次函数图象经过(23)-，，对称轴1x =，抛物线与x 轴两交点距离为4，求这个二次函数的解析式？_ 1000 _ 10000_ 年产量 ( 吨 ) _ 费用 ( 万元 ) _O22.如图, 直线y=2x+2与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点, 将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到△A 1OB 1. (1)在图中画出△A 1OB 1;(2)求经过A 、A 1、B 1三点的抛物线的解析式.23.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克. 经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.（1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？ 24. 如图，抛物线y=－21 x 2+21x+6，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴相交于C 点． (1)求△ABC 的面积；(2)已知E 点(O ，-3)，在第一象限的抛物线上取点D ，连结DE ，使DE 被x 轴平分，试判定四边形ACDE 的形状，并证明你的结论．25.已知函数241y x x =-+（1） 求函数的最小值；画出函数的图象；（2） 设函数图象与x 轴的交点为A （x 1，0）、B （x 2，0），求2212x x +的值.四、解答题（合情推理，准确表述，展示你聪灵的气质！每小题10分，共20分）26. OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，106OA OC ==，．（１） 如图，在AB 上取一点M ，使得CBM △沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，记作B '点．求B '点的坐标；（２） 求折痕CM 所在直线的解析式；（３） 作B G AB '∥交CM 于点G ，若抛物线216y x m =+过点G ，求抛物线的解析式，并判断以原点O 为圆心，OG 为半径的圆与抛物线除交点G 外，是否还有交点？若有，请直接写出交点的坐标．27.路在山腹行是沪蓉西高速公路的显著特点之一，全线共有隧道37座，共计长达742421.2米.下图是正在修建的庙垭隧道的截面，截面是由一抛物线和一矩形构成，其行车道CD 总宽度为8米，隧道为单行线2车道.(1).建立恰当的平面直角坐标系,并求出隧道拱抛物线的解析式;(2）在隧道拱的两侧距地面3米高处各安装一盏路灯，在（1）的平面直角坐标系中用坐标表示其中一盏路灯的位置;(3) 为了保证行车安全，要求行驶车辆顶部 （设为平顶）与隧道拱在竖直方向上高度之差至少有0.5米.现有一辆汽车，装载货物后，其宽度为4米，车载货物的顶部与路面的距离为2.5米，该车能否通过这个隧道？请说明理由.二次函数水平检测试题参考答案（B ）一、二、11. S=-x 2+30x(0<x<30)； 12.2； 13.－3；14.24y x x =-或243y x x =-+； 15.3k <-；16.24(3)10y x =--； 17.2312y x x =--等； 18. 0； 19.12； 20．750； 三、21. 解：∵抛物线与x 轴两交点距离为4，且以1x =为对称轴．∴抛物线与x 轴两交点的坐标为(10)(30)-，，，． 设抛物线的解析式(1)(3)y a x x =+-．又 抛物线过(23)-，点， 3(21)(23)a ∴-=+-．解得1a =．∴二次函数的解析式为223y x x =--．22. （1）（2）设该抛物线的解析式为：2y ax bx =++ 由题意知A 、A '、B '三点的坐标分别是(10)-，、(01)，、(20)，． 012.a b c c a b c =-+⎧⎪=⎨⎪++⎩，∴，0=4解这个方程组得12121.a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，，∴抛物线的解析式是：211122y x x =-++． 23. （1）设每千克应涨价x 元，则(10+x )(500－20x )=6000解得x =5或x =10，为了使顾客得到实惠，所以x =5． （2）设涨价x 元时总利润为y ，则y=(10+x )(500－20x )= －20x 2+300x +5000=－20(x －7.5) 2+6125 当x=7.5时，y 取得最大值，最大值为6125． 答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元； （2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多． 24. (1)A(-3，O)，B(4，O) S△ABC=21 (2)四边形ACDE 是平行四边形理由：设DE 交X 轴于点P ．作DM⊥X 轴，M 是垂足． 首先证△EPO≌△DPM． 则DM=EO=3．．点D 的纵坐标为3． x=-2(舍去)或x=3 D(3，3) Ac=47，ED=47 ,AE=32，CD=32 AC=DE ，AE=DC∴四边形ACDE 是平行四边形．25. （1）∵()224123y x x x =-+=--，∴当x=2时，min 3y =-.（2）如图，图象是一条开口向上的抛物线. 对称轴为x=2,顶点为（2，-3）.（3）由题意，x 1，x 2，是方程x 2-4x+1=0的两根，∴x 1+x 2=4，x 1x 2=1. ∴2222121212()24214x x x x x x +=+-=-=四、 26．（１）CB M CBM ' △≌△10CB CB OA '∴===8OB '∴=(80)B '，（２）设6AM n MB BM n '===-，则1082AB '=-= 2222(6)n n ∴+=- 解得83n =810(06)3M C ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，、， 设直线CM 解析式为y kx b =+81036k b b ⎧=+⎪∴⎨⎪=⎩解得136k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线CM 的解析式为163y x =-+ （３）设(8)G a ， 1108633a ∴=-⨯+= 1083G ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，2101836m ∴=⨯+ 223m ∴=-212263y x ∴=-除交点G 外，另有交点为点G 关于y 轴的对称点．其坐标为1083⎛⎫- ⎪⎝⎭，．27．(1)以EF 所在直线为x 轴,经过H 且垂直于EF 的直线为y 轴, 建立平面直角坐标系,显然E(-5,0),F(5,0),H(0,3) 设抛物线的解析式为:y=ax 2+bx+c依题意有:⎪⎩⎪⎨⎧==+-=++305250525c c b a c b a解之⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=30253c b a所以y=32532+-x (2).y=1, 路灯的位置为(635,1)或(-635,1). (只要写一个即可)(3)当x=4时,y=342532+⨯-=1.08 点到地面的距离为1.08+2=3.08 因为3.08-0.5=2.58>2.5 所以能通过。