专题4.2 三角恒等变换-3年高考2年模拟1年原创备战2019高考精品系列之数学(理)(原卷版)
2019年高考数学解密题(含解析)之三角恒等变换
三角恒等变换考点1 利用两角和与差的公式与二倍角公式化简求值题组一 利用两角和与差的正、余弦公式化简求值 调研1，则sin2α的值为AB C ．9D ．9【答案】A又因为sin 0α<cos α=，所以1sin22sin cos 2339ααα⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭， 故选A ．调研2 已知3π4πθ≤≤，且=，则θ=A B CD 【答案】D【名师点睛】此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及绝对值的代数意义，熟练掌握公式是解本题的关键；根据α的范围求出2α的范围，确定出cos 02θ>，sin 02θ<，所求式子利用二倍角的余弦函数公式及绝对值的代数意义化简，再利用两角和与差的余弦函数，结合角的范围即可求出.☆技巧点拨☆三角恒等变换的“四大策略”：(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45° 等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．题组二 利用两角和与差的正切公式化简求值调研3 若2tan 1α=，tan 2β=-，则()tan αβ+=__________． 【答案】34-【解析】()()121322tan 1tan tan 124122αααβ-=∴=∴+==--⨯-，，. 调研4 已知π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，tan 2α=-． （1）求πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值． （2）求sin2cos2αα+的值． 【答案】（1）13-；（2）75-【解析】（1）∵tan 2α=-，∴()πtan tanπtan 12114tan π41tan 1231tan tan 4ααααα++-+⎛⎫+====- ⎪---⎝⎭-． （2）由π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，tan 2α=-，得sin α=，cos α=， ∴22437sin2cos22sin cos cos sin 555αααααα+=+-=--=-．【思路点拨】（1）利用两角和的正切公式可得结果； （2）根据角α的范围，由正切求出sin α=，cos α=，再利用二倍角公式即可得结果.☆技巧点拨☆公式的常见变形：（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-.（2）降幂公式：21cos 2sin2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα=. （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-.（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==tan baϕ=.考点2 三角恒等变换的综合应用题组一 与三角函数的图象及性质相结合 调研1 将函数()sin f x x =的图象向右平移π3个单位后得到函数()y g x =的图象,则函数()y f x =+()π,,π2g x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为 .【解析】由题意得()πsin ,3g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∴y =()()f x g x +=πsin sin 3x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭=ππsin sin cos cos sin 33x x x +-=3sin 2x x -=π6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴ππ5π ,636x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,∴当π5π66x -=时,min y =调研 2 （安徽省A10联盟2019届高三11月段考数学试题）已知函数()225sin cos f x x x x +-.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）求函数()2y f x =-在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点. 【答案】（1）()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）π2π7π,,636.【解析】（1）()225sin cos f x x x x =+-()()511cos21cos222x x x =+--+3cos22x x =-+π223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令πππ2π22π,232k x k k -+≤-≤+∈Z ，得π5πππ,1212k x k k -+≤≤+∈Z ， ∴函数()f x 的单调递增区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）由()π2203f x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，得：πsin 203x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ∴()π2π3x k k -=∈Z ， ∴()1ππ26x k k =+∈Z ，∵π7π66x ≤≤， ∴π2π7π,,636x =，即函数()2y f x =-在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点是π2π7π,,636.【名师点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，考查了正弦型三角函数y =A sin （ωx +∅）的图象和性质，解答本题的关键是灵活应用二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式将函数式化简为y =A sin （ωx +∅）+B 的形式.（1）利用三角函数关系式的恒等变换()π223f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，得，进而利用正弦函数的单调性，求出函数的单调递增区间；（2）将求函数()2y f x =-在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点转化为求正弦型函数图象在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦内与x 轴的交点，再根据正弦函数的性质求解. 题组二 与向量相结合调研3 已知()1cos ,1x ω=+-a ,)x ω=b (0ω>),函数()f x =⋅a b ,函数()f x 的最小正周期为2π． (1)求函数()f x 的表达式;(2)设π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且()65f θ=,求cos θ的值．【解析】(1)())1cos sin f x x x ωω=⋅+-a b π2sin 3x ω⎛⎫- ⎪⎝⎭, 因为函数()f x 的最小正周期为2π, 所以2π2πω=,解得1ω=,所以()π2sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)由()65fθ=,得π3sin 35θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以πππ,336θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭, 所以π4cos 35θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以cos θ=ππcos 33θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=ππππcos cos sin sin 3333θθ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=413525⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭=410+． 题组三 与解三角形相结合调研4 在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且)3cos cos cos a A c B b C =+. （1）求tan2A 的值;（2）若πsin ,23B c ⎛⎫+==⎪⎝⎭求ABC △的面积.【答案】（1）（2）3.【解析】（1）由)3cos cos cos a A c B b C =+及正弦定理得 )()3sin cos sin cos sin cos A A C B B C B C A =+=+=， ∵sin 0A ≠，cos A ∴=∵π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 3A ∴=∴tan 2A =．22tan tan21tan AA A∴==-（2）由πsin 23B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得cos 3B = ∵()0,πB ∈，1sin 3B ∴=．∴()sin sin sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+= 由正弦定理得sin sin a c A C=，∴sin 2sin c Aa C===，∴△ABC的面积111sin 2223S ac B ==⨯⨯=． 【思路点拨】（1）由条件及正弦定理可得3sin cos A A A =，故cos 3A =，所以sin tan 32A A ==，由倍角公式可得tan2A = （2）由条件得cos 3B =，故得1sin 3B =，由正弦定理得2a =，从而可得△ABC的面积1sin 2S ac B ==． 【名师点睛】利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的各个边、角后，直接求三角形的面积． (2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量．(3)求三角形面积的最值或范围时，一般要先得到面积的表达式，再通过基本不等式、三角函数的求最值的方法求得面积的最值或范围．☆技巧点拨☆此类题中的角是在三角形中，每个角的范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在π(0,)2内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意.1．（内蒙古呼和浩特市2018届高三年级质量普查调研考试数学试题）若()1sin π3α-=，且ππ2α≤≤，则sin2α的值为A ．B ．C D 2．（四川省资阳市2018-2019学年高三第一次诊断性考试数学试题）在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，其终边上的一点P 的坐标为()2m m ，（其中0m <），则cos2α=A ．45 B ．35 C ．35-D ．45-3．（河南省八市学评2018届高三下学期第一次测评数学）已知2sin 23θ=，则2πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．15B ．56C ．5D ．64．（江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学2018届高三4月联考数学试题）若点(),0θ是函数()sin 2cos f x x x =+的图象的一个对称中心，则cos2sin cos θθθ+=A ．1110 B ．1110-C ．1D ．-15．（湖北省八校2018届高三上学期第一次联考（12月）数学试题）若αβ∈R ，且()πππ,π22k k k αβ≠+≠+∈Z ，则“2π+=3αβ”是“)114αβ--=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（福建省宁德市2018届高三下学期第二次（5月）质量检查数学试题）将周期为π的函数()ππcos (0)66f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向右平移π3个单位长度后，所得的函数解析式为 A ．π2sin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．π2cos 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．2sin2y x =D ．2π2cos 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭7．（江西省上饶市2018届高三下学期第三次高考模拟考试数学试题）由射线43y x =（0x ≥）逆时针旋转到射线512y x =-（0x ≤）的位置所成角为θ，则cos θ= A ．1665-B ．1665±C ．5665-D ．5665±8．（四川省凉山州2019届高三第一次诊断性检测数学试题）设函数()πs i n c o s 4f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 都满足()()f c x f c x +=-，则c 的值可以是A ．π8 B ．3π8 C ．π2D ．5π89．（华大新高考联盟2018届高三4月教学质量检测试卷数学试题）锐角ABC △的外接圆半径为1，AC BC AB =>，且满足cos cos A C =C = A ．π12 B ．π6 C ．π4D ．5π1210．（山西省孝义市2018届高三下学期一模考试数学试题）已知函数()2cos2cos 1(0)222xxxf x ωωωω=+->的周期为π，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()f x m =恰有两个不同的实数解1x ，2x ，则()12f x x +=A ．2B ．1C ．1-D ．2-11．（河北省唐山市2018-2019学年高三上学期第一次摸底考试数学试题）已知函数()[]sin sin 3,0,2πf x x x x =-∈，则()f x 的所有零点之和等于A ．8πB ．7πC ．6πD ．5π12．（上海市杨浦区2018届高三下学期质量调研（二模）数学试题）若()()3sin cos cos sin 5x y x x y x ---=，则tan2y 的值为________.13．（四川省广安、眉山2018届毕业班第一次诊断性考试数学试题）已知π4cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． 14．（黑龙江省大庆实验中学2019届高三上学期第一次月考数学试题）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若c sin A ＝－a cos C A －cos 3π4B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围是________.15．（天津市静海区2019届高三上学期三校联考数学试题）已知函数()2π2cos 14f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.16．（云南省曲靖市第一中学2019届高三高考复习质量监测三数学试题）已知()π11sin ,cos 453βαβ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，其中ππ0,022αβ<<<<.（1）求sin2β的值； （2）求πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17．（江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研数学试题）在△ABC 中，已知()22sin sin sin sin sin A B A C C -=-．（1）求内角B 的大小；（2）若cos 3A =，求sin 2C 的值．18．（广东省深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考数学试题）已知向量)()2,1,sin ,cos x x x =-=m n ，函数()12f x =⋅+m n .（1）若()π0,,43x f x ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，求cos2x 的值；（2）在ABC △中，角,,A B C 对边分别是,,a b c ，且满足2cos 2b A c ≤，求()f B 的取值范围.19．（山西省吕梁市2019届高三上学期第一次阶段性测试数学试题）已知函数())()sin cos cos 02f x x x x ωωωω=-+>图象的一条对称轴为3π8x =． （1）求ω的最小值；（2）当ω取最小值时，若π3245f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π02α-<<π2+4α⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．1．（2018新课标全国Ⅲ理科）若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79 C ．79-D ．89-2．（2016新课标全国Ⅱ理科）若cos(4π−α)=53，则sin 2α= A ．725 B ．15C ．−15D ．−7253．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则s i n()αβ+=__________．4．（2016新课标全国Ⅱ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b = . 5．（2016新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若c ABC △=ABC △的周长．6． （2017新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC△的面积为23sin a A. （1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.三角恒等变换考点1 利用两角和与差的公式与二倍角公式化简求值题组一 利用两角和与差的正、余弦公式化简求值 调研1，则sin2α的值为ABC ．9D ．9【答案】A又因为sin 0α<cos 3α=， 所以1sin22sincos 2339ααα⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭， 故选A ．调研2 已知3π4πθ≤≤，且2=，则θ=ABCD 【答案】D【名师点睛】此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及绝对值的代数意义，熟练掌握公式是解本题的关键；根据α的范围求出2α的范围，确定出cos 02θ>，sin 02θ<，所求式子利用二倍角的余弦函数公式及绝对值的代数意义化简，再利用两角和与差的余弦函数，结合角的范围即可求出.☆技巧点拨☆三角恒等变换的“四大策略”：(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45° 等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．题组二 利用两角和与差的正切公式化简求值调研3 若2tan 1α=，tan 2β=-，则()tan αβ+=__________． 【答案】34-【解析】()()121322tan 1tan tan 124122αααβ-=∴=∴+==--⨯-，，. 调研4 已知π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，tan 2α=-． （1）求πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值． （2）求sin2cos2αα+的值． 【答案】（1）13-；（2）75-【解析】（1）∵tan 2α=-，∴()πtan tanπtan 12114tan π41tan 1231tan tan 4ααααα++-+⎛⎫+====- ⎪---⎝⎭-．（2）由π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，tan 2α=-， 得sinα=，cos α=， ∴22437sin2cos22sin cos cos sin 555αααααα+=+-=--=-．【思路点拨】（1）利用两角和的正切公式可得结果； （2）根据角α的范围，由正切求出sinα=，cos α=，再利用二倍角公式即可得结果.☆技巧点拨☆公式的常见变形：（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-.（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα=. （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-.（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==tan baϕ=.考点2 三角恒等变换的综合应用题组一 与三角函数的图象及性质相结合调研1 将函数()sin f x x =的图象向右平移π3个单位后得到函数()y g x =的图象,则函数()y f x =+()π,,π2g x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为 .【解析】由题意得()πsin ,3g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴y =()()f x g x +=πsin sin 3x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭=ππsin sin cos cos sin 33x x x +-=3sin 2x x -=π6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴ππ5π ,636x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,∴当π5π66x -=时,min y =调研 2 （安徽省A10联盟2019届高三11月段考数学试题）已知函数()225sin cos f x x x x +-.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）求函数()2y f x =-在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点. 【答案】（1）()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）π2π7π,,636.【解析】（1）()225sin cos f x x x x =+-()()511cos21cos222x x x =+--+3cos22x x =-+π223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令πππ2π22π,232k x k k -+≤-≤+∈Z ，得π5πππ,1212k x k k -+≤≤+∈Z ， ∴函数()f x 的单调递增区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .【名师点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，考查了正弦型三角函数y =A sin （ωx +∅）的图象和性质，解答本题的关键是灵活应用二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式将函数式化简为y =A sin （ωx +∅）+B 的形式.（1）利用三角函数关系式的恒等变换()π223f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，得，进而利用正弦函数的单调性，求出函数的单调递增区间； （2）将求函数()2y f x =-在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点转化为求正弦型函数图象在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦内与x 轴的交点，再根据正弦函数的性质求解. 题组二 与向量相结合调研3 已知()1cos ,1x ω=+-a ,)x ω=b (0ω>),函数()f x =⋅a b ,函数()f x 的最小正周期为2π． (1)求函数()f x 的表达式;(2)设π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且()65f θ=,求cos θ的值．【解析】(1)())1cos sin f x x x ωω=⋅+-a b π2sin 3x ω⎛⎫- ⎪⎝⎭, 因为函数()f x 的最小正周期为2π, 所以2π2πω=,解得1ω=,所以()π2sin 3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．(2)由()65fθ=,得π3sin 35θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以πππ,336θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭, 所以π4cos 35θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以cos θ=ππcos 33θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=ππππcos cos sin sin 3333θθ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=4135252⎛⎫⨯--⨯ ⎪⎝⎭． 题组三 与解三角形相结合调研4 在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且)3cos cos cos a A c B b C =+. （1）求tan2A 的值;（2）若πsin ,23B c ⎛⎫+==⎪⎝⎭求ABC △的面积.【答案】（1）（2.【解析】（1）由)3cos cos cos a A c B b C =+及正弦定理得 )()3sin cos sin cos sin cos A A C B B C B C A =+=+=， ∵sin 0A ≠，cos A ∴=∵π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 3A ∴=∴tan 2A =．22tan tan21tan AA A∴==-（2）由πsin 2B ⎛⎫+=⎪⎝⎭得cos 3B = ∵()0,πB ∈，1sin 3B ∴=． ∴()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+= 由正弦定理得sin sin a cA C=，∴sin 2sin c Aa C===，∴△ABC的面积111sin 2223S ac B ==⨯⨯=． 【思路点拨】（1）由条件及正弦定理可得3sin cos A A A =，故cos A =，所以sin tan 32A A ==，由倍角公式可得tan2A = （2）由条件得cos 3B =，故得1sin 3B =，由正弦定理得2a =，从而可得△ABC的面积1sin 23S ac B == 【名师点睛】利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的各个边、角后，直接求三角形的面积． (2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量．(3)求三角形面积的最值或范围时，一般要先得到面积的表达式，再通过基本不等式、三角函数的求最值的方法求得面积的最值或范围．☆技巧点拨☆此类题中的角是在三角形中，每个角的范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在π(0,)2内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意.1．（内蒙古呼和浩特市2018届高三年级质量普查调研考试数学试题）若()1sin π3α-=，且ππ2α≤≤，则sin2α的值为A ．B ．C D 【答案】B【解析】∵()1sin πsin 3αα-==，ππ2α≤≤，∴cos 3α==-，∴1sin22sin cos 2339ααα⎛==⨯⨯-=- ⎝⎭. 故选B.2．（四川省资阳市2018-2019学年高三第一次诊断性考试数学试题）在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，其终边上的一点P 的坐标为()2m m ，（其中0m <），则cos2α=A ．45 B ．35 C ．35-D ．45-【答案】B【解析】0,m P <∴在第三象限，且r =，由正弦函数的定义可得sin5α==-，223cos212sin 155αα∴=-=-=.故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义以及二倍角的余弦公式，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.利用三角函数的定义求出sin α的值，由二倍角的余弦公式可得结果.3．（河南省八市学评2018届高三下学期第一次测评数学）已知2sin 23θ=，则2πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．15B ．56C ．5D ．6【答案】A【解析】由题意可知ππ2sin2cos 2cos 2243θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则22π2π52cos 1cos 4346θθ⎛⎫⎛⎫--=⇒-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22π2π112sin sin 4346θθ⎛⎫⎛⎫--=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222πsin π14tan π45cos 4θθθ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.故选A ．4．（江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学2018届高三4月联考数学试题）若点(),0θ是函数()sin 2cos f x x x =+的图象的一个对称中心，则cos2sin cos θθθ+=A ．1110 B ．1110-C ．1D ．−1【答案】D5．（湖北省八校2018届高三上学期第一次联考（12月）数学试题）若αβ∈R ，且()πππ,π22k k k αβ≠+≠+∈Z ，则“2π+=3αβ”是“)114αβ--=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】)114αβ--=，即3tan tan 14αβαβ+=，tan tan tan αβαβ--=即t a n t a n 1t a n t a n αβαβ+=-即()t a n αβ+=所以2ππ3k αβ+=+，当0k =时，2π3αβ+=，所以“2π3αβ+=”是“)114αβ--=”的充分不必要条件.故选A.【名师点睛】本题考查切化弦公式，两角和的正余弦公式，充分不必要条件的概念，已知三角函数值求角，属于中档题. 根据切化弦公式，两角和的正余弦公式将原等式化成：()tan αβ+=，这便可求出2ππ3k αβ+=+，这样便会得到2π3αβ+=是)114αβ--=充分不必要条件．6．（福建省宁德市2018届高三下学期第二次（5月）质量检查数学试题）将周期为π的函数()ππcos (0)66f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向右平移π3个单位长度后，所得的函数解析式为 A ．π2sin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．π2cos 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．2sin2y x =D ．2π2cos 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A【名师点睛】（1）本题主要考查三角函数解析式的求法，考查函数图象的变换，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.先化简f (x )，再求出ω的值，再求平移后的函数解析式得解. （2）把函数()f x 的图象向右平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a -的图象，把函数()f x 的图象向左平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a +的图象,简记为“左加右减”.7．（江西省上饶市2018届高三下学期第三次高考模拟考试数学试题）由射线43y x =（0x ≥）逆时针旋转到射线512y x =-（0x ≤）的位置所成角为θ，则cos θ= A ．1665- B ．1665±C ．5665-D ．5665±【答案】A【解析】设43y x =（0x ≥）的倾斜角为α，则43sin cos 55αα==，， 射线512y x =-（0x ≤）的倾斜角为β，则512sin cos 1313ββ==-，，∴()3124516cos cos cos cos sin sin ()51351365θβααβαβ=-=+=⨯-+⨯=-.故选A.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦函数公式，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.8．（四川省凉山州2019届高三第一次诊断性检测数学试题）设函数()πs i n c o s 4f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 都满足()()f c x f c x +=-，则c 的值可以是A ．π8 B ．3π8 C ．π2D ．5π8【答案】B【解析】函数()πsin cos sin cos 44224f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2244x x =-1πsin 224x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 对任意x ∈R 都满足()()f c x f c x +=-，即x c =为函数图象的对称轴.令ππ22π,42x k k -=+∈Z ，解得3ππ,8x k k =+∈Z . 当0k =时，3π8x =.故选B.【名师点睛】本题主要考查了两角差的余弦展开公式、二倍角公式、辅助角公式及三角函数的对称性，属于中档题.化简函数得()1πsin 224f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()()f c x f c x +=-，得x c =为函数图象的对称轴，令ππ22π,42x k k -=+∈Z 解出对称轴即可得解. 9．（华大新高考联盟2018届高三4月教学质量检测试卷数学试题）锐角ABC △的外接圆半径为1，AC BC AB =>，且满足1cos cos 4A C =，则C = A ．π12 B ．π6 C ．π4D ．5π12【答案】C【解析】因为ππsin 0,,.23B B B ⎛⎫==∈∴= ⎪⎝⎭因为1cos cos 4A C =，所以22π113c o s co s,3422C C C C C⎛⎫-=∴-+= ⎪⎝⎭即1πcos 22246C C C ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭， 因此ππ2=63C -或π2π2=63C -，即π=4C 或5π=12C ， 因为BC AB >，所以π3C <，即π=4C .故选C.10．（山西省孝义市2018届高三下学期一模考试数学试题）已知函数()2cos2cos 1(0)222xxxf x ωωωω=+->的周期为π，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()f x m =恰有两个不同的实数解1x ，2x ，则()12f x x +=A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】B【解析】函数()2cos2cos 1222xxxf x ωωω=+-πcos 2sin 6x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由周期2ππT ω==，可得()π2,2sin 26f x x ω⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭，πππ7π0,,22666x x ⎡⎤∈∴≤+≤⎢⎥⎣⎦，()12f x ∴-≤≤，且()f x 的对称轴为π6x =，方程()f x m =恰有两个不同的实数解12,x x ，12π3x x ∴+=，则()12π2ππ5π2sin 2sin 13366f x x f ⎛⎫⎛⎫+==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选B.11．（河北省唐山市2018-2019学年高三上学期第一次摸底考试数学试题）已知函数()[]sin sin 3,0,2πf x x x x =-∈，则()f x 的所有零点之和等于A ．8πB ．7πC ．6πD ．5π【答案】B【解析】由已知函数()[]sin sin3,0,2πf x x x x =-∈，令()0f x =，即sin sin30x x -=，即2sin sin3sin cos2cos sin2sin cos22sin cos x x x x x x x x x x ==+=+， 即()2sin cos22cos 10x x x +-=，解得sin 0x =或2cos22cos 10x x +-=， 当[]sin 0,0,2πx x =∈时，0x =或πx =或2πx =；当2cos22cos 10x x +-=时，即222cos 2cos 20x x +-=，解得cos x =±， 又由[]0,2πx ∈，解得π4x =或3π4或5π4或7π4， 所以函数()f x 的所有零点之和为π3π5π7π0π2π7π4444++++++=. 故选B.【名师点睛】本题主要考查了函数的零点问题的综合应用，其中解答中熟记函数的零点的概念，以及熟练应用三角函数恒等变换的公式，求解方程的根是解得关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.根据函数的零点的定义，令()0f x =，得sin sin30x x -=，根据三角恒等变换的公式，求解方程的根，即可得到所有的零点之和，得到答案.12．（上海市杨浦区2018届高三下学期质量调研（二模）数学试题）若()()3sin cos cos sin 5x y x x y x ---=，则tan2y 的值为________.【答案】247±【解析】由已知有()3sin 5x y x ⎡⎤--=⎣⎦，即3sin 5y =-，y ∴为第三或第四象限的角. 当y 为第三象限的角时，3tan 4y =，则22tan 24tan 21tan 7y y y ==-； 当y 为第四象限的角时，3tan 4y =-，则22tan 24tan 21tan 7y y y ==--，24tan 27y ∴=±. 13．（四川省广安、眉山2018届毕业班第一次诊断性考试数学试题）已知π4cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． 【答案】45【解析】)π4cos cos sin 45ααα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，所以)π4sin sin cos 425ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.故答案为45. 14．（黑龙江省大庆实验中学2019届高三上学期第一次月考数学试题）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若c sin A ＝－a cos C A －cos 3π4B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围是________.【答案】⎛ ⎝⎭【解析】因为c sin A ＝－a cos C ，所以sin C sin A =-sin A cos C ，所以tan C =-1，即C =3π4.A －cos 3π4B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin A +cos A =2sin(A +π6)，因为πππ5π1π0,,sin 46612264A A A ⎛⎫<<∴<+<∴<+< ⎪⎝⎭所以π12sin 62A ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭.故答案为⎛⎝⎭. 【名师点睛】(1)本题主要考查正弦定理，考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.先利用正弦定理求出∠C ,再化A －cos 3π4B ⎛⎫+⎪⎝⎭得2sin(A +π6)，再利用三角函数的图象和性质求解. (2)对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图象一步一步地推出函数()sin y A wx hφ=++的最值.15．（天津市静海区2019届高三上学期三校联考数学试题）已知函数()2π2cos 14f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.【答案】（1）()5πππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）最大值为2，最小值为.【解析】（1）函数()2ππ2cos 1cos 242f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin2x x =+π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令πππ2π22π,232k x k k -≤+≤+∈Z ，解得5ππππ,1212k x k k -≤≤+∈Z ， ∴()f x 的单调递增区间为()5πππ,π+1212k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin 2,132x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为且π12x =时()f x 取得最大值2，π2x =时()f x 取得最小值【名师点睛】本题主要考查辅助角公式、二倍角的余弦公式以及正弦函数的单调性，属于中档题. 函数()sin y A x ωϕ=+（0,0A ω>>）的单调区间的求法：把x ωϕ+看作是一个整体，由π2π2k x ωϕ+≤+≤()3π2π2k k +∈Z 求得函数的减区间；由ππ2π2π22k x k ωϕ-+≤+≤+求得函数的增区间. （1）利用二倍角公式以及两角和的正弦公式将函数()f x 化为π2sin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间；（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的单调性可得πsin 232x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，从而可得结果.16．（云南省曲靖市第一中学2019届高三高考复习质量监测三数学试题）已知()π11sin ,cos 453βαβ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，其中ππ0,022αβ<<<<.（1）求sin2β的值；（2）求πcos 4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）2325；（2）215.【解析】（1）因为()π1sin sin cos 425βββ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 5ββ-=， 所以()2222sin cos sin cos 2sin cos 1sin225βββββββ-=+-=-=， 所以23sin225β=． （2）因为π1sin 45β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()1cos 3αβ+=-，其中π02α<<，π02β<<，()πcos sin 453βαβ⎛⎫∴-=+=⎪⎝⎭， 所以()ππc o s44ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()ππco s co44αββαββ⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21133515⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭．【名师点睛】在解决三角中的给值求值问题时，解题的关键往往是要进行角的变换，将已知条件作为整体进行求解；同时在运用平方关系求三角函数值时，要注意所得结果的符号．（1）由π1sin 45β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得sin cos 5ββ-=，两边平方后可得所求． （2）根据题意求出()πcos sin 43βαβ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，然后根据()ππc o s c o s 44ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求解即可．17．（江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研数学试题）在△ABC 中，已知()22sin sin sin sin sin A B A C C -=-．（1）求内角B 的大小；（2）若cos A =，求sin 2C 的值．【答案】（1）π3B =；（2）6.【解析】（1）在ABC △中，设,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及()22sin sin sin sin sin A B A C C -=-得，222a b a c c -=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==， 因为0πB <<， 所以π3B =. 【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（1）由正弦定理得222a c b ac +-=，再利用余弦定理化简得π3B =. （2）先求出sin2A ，cos2A ，再求sin2C .18．（广东省深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考数学试题）已知向量)()2,1,sin ,cos x x x =-=m n ，函数()12f x =⋅+m n .（1）若()π0,,43x f x ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，求cos2x 的值；（2）在ABC △中，角,,A B C 对边分别是,,a b c ，且满足2cos 2b A c ≤，求()f B 的取值范围.【答案】（1）2-；（2）11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦.【解析】（1）由题意知()21cos cos 2f x x x x =-+1cos22x x =-πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∴πsin 263x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 又π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πππ2663x ∴-≤-≤，πcos 263x ⎛⎫∴-=⎪⎝⎭， ππcos2cos 266x x ⎡⎤⎛⎫∴=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππ1cos 2sin 2662x x ⎛⎫⎛⎫=---⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12=-=（2）由2co s 23b A c ≤，得222222b c a b c bc+-⋅≤，即222a c b +-≥，222cos 22a cb B ac +-∴=≥，()0,π,B ∈π06B ∴<≤, 从而得πππ2666B -<-≤，故()π11sin 2,622f B B ⎛⎫⎛⎤=-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. 【名师点睛】本题考查了三角恒等变换、三角函数求值及解三角形，考查了学生的化简运算能力，属于中档题．（1）利用三角恒等变换化简可得()πsin 263f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而可得πcos 26x ⎛⎫-=⎪⎝⎭cos2x 的值；（2）化简可得222222222b c a b c c b bc+-⋅≤+-≥，从而可得222cos 22a cb B bc +-=≥，从而解得()f B 的取值范围．19．（山西省吕梁市2019届高三上学期第一次阶段性测试数学试题）已知函数())()sin cos cos 02f x x x x ωωωω=-+>图象的一条对称轴为3π8x =． （1）求ω的最小值；（2）当ω取最小值时，若π3245f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π02α-<<π2+4α⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）1；（2）1725.【解析】（1）由题意得())sin cos cos f x x x x ωωω=-+2cos 2x x x ωωω=+sin2cos222x x ωω=- πsin 24x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为函数()y f x =的一条对称轴为3π8x =，所以()3ππππ442k k ω-=+∈Z ， 所以()413k k ω=+∈Z ，又0ω>，所以ω的最小值为1．（2）由（1）知()πsin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．∴ππππ3sin 2sin 2424445f ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．∵π02α-<<， ∴π4cos 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πππππ2+2sin2cos244444αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 23441722155525⎛⎫=⨯⨯-⨯+= ⎪⎝⎭．【思路分析】（1）由题意得()πsin 24f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又函数()f x 图象的一条对称轴为3π8x =，所以()3ππππ442k k ω-=+∈Z ，根据条件可得所求； （2）由（1）知()πsin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得π3245f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据同角关系可得π4cos 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πππ2+2444αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求解可得所求的结果．【名师点睛】（1）解答形如()siny A x ωϕ=+的函数的问题时，需要把x ωϕ+作为一个整体，并结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意,A ω的符号对结果的影响． （2）在解答“给值求值”型的问题时，要注意角的变换，通过“拆”、“凑”等方法将所求角用已知角表示出来，然后再将所给条件作为整体进行求解．1．（2018新课标全国Ⅲ理科）若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-【答案】B【解析】2217cos 212sin12()39αα=-=-⨯=.故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.2．（2016新课标全国Ⅱ理科）若cos(4π−α)=53，则sin 2α= A ．725 B ．15 C ．−15D ．−725【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525αα⎡π⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又cos 2cos(2)sin 242ααα⎡π⎤π⎛⎫-=-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以7sin 225α=-，故选D ．【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： (1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．3．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则s i n()αβ+=__________．【答案】【解析】因为，，所以，因此4．（2016新课标全国Ⅱ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b = . 【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C =-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==.【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．5．（2016新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若c ABC △=的面积为2，求ABC △的周长．【答案】（I ）π3；（II ）5． 【解析】（I ）由已知及正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=，()2cos sin sin C ΑΒC +=．故2sin cos sin C C C =． 可得1cos 2C =，所以π3C =．（II ）由已知，1sin 22ab C =． 又π3C =，所以6ab =． 由已知及余弦定理得，222cos 7a b ab C +-=． 故2213a b +=，从而()225a b +=．所以ΑΒC △的周长为5+．【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=- ()tan tan A B C +=-,这是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”.6． （2017新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC△的面积为23sin a A. （1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.【答案】（1）23；（2）3+【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.。
(浙江专版)2019年高考数学一轮复习 专题4.3 简单的三角恒等变换(讲)
第03节 简单的三角恒等变换【考纲解读】考 点考纲内容5年统计分析预测简单的三角恒等变换①掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公 式.②掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.2014浙江文4,18；理4，18；2015浙江文11,16；理11； 2016浙江文11；理10，16；2017浙江14，18；2018浙江18.1.和（差）角公式；2.二倍角公式；3.和差倍半的三角函数公式的综合应用. 4.对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查.5.备考重点：(1) 掌握和差倍半的三角函数公式；(2) 掌握三角函数恒等变换的常用技巧.【知识清单】1. 两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β； S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β； T (α＋β)：tan(α＋β)＝1－tan αtan βtan α＋tan β； T (α－β)：tan(α－β)＝1＋tan αtan βtan α－tan β. 变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；.函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．2. 二倍角公式的运用公式的应用 二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝1－tan2α2tan α. 变形公式：cos 2α＝21＋cos 2α，sin 2α＝21－cos 2α1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2【重点难点突破】考点1两角和与差的三角函数公式的应用【1-1】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：，点，，记射线与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为__________． 【答案】【解析】设射线OB 与轴正半轴的夹角为，有已知有，所以，且，C点坐标为.【1-2】已知：，，且，则=_______.【答案】【1-3】【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ）, （Ⅱ）或【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.【领悟技法】1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T (α＋β)与T (α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋2π(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋2π(k ∈Z )，可利用诱导公式化简． 【触类旁通】【变式一】【2018江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】的值是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】故选D.【变式二】已知均为锐角，且，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．∴．【变式三】已知函数的部分图像如图所示.（Ⅰ）求函数)的解析式，并写出的单调减区间；（Ⅱ）的内角分别是A,B,C.若,,求的值.【答案】（Ⅰ）的单调减区间为. （Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）由图象最高点得A=1，由周期.当时，，可得，因为，所以．.由图象可得的单调减区间为.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，,，，....考点2 二倍角公式的运用公式的应用【2-1】【2018年新课标I卷文】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.详解：根据题的条件，可知三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B.【2-2】【2017浙江ZDB联盟一模】已知，，则__________，__________．【答案】【解析】因为，，所以因为，所以，因此 .【2-3】【江苏省淮安市五模】已知，且，则的值为．【答案】【解析】由得，而，则，所以，又，则，所以；【领悟技法】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．【触类旁通】【变式一】已知，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【变式二】已知，且，则的值为__________.【答案】【解析】因为，所以，，，又因为，所以.【变式三】已知，（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得（2）原式考点3 三角恒等式的证明 【3-1】求证：2α＝41sin 2α. 【解析】∵左边＝2α＝2α＝2α＝2＝cos αsin 2αcos 2α＝21sin αcos α ＝41sin 2α＝右边． ∴原式成立．【3-2】求证：sin αsin β＝sin α2α＋β－2cos(α＋β). 【解析】证法一：右边＝sin αα＋βsin α＝sin αα＋βsin α ＝sin αα＋β－α]＝sin αsin β＝左边.证法二：sin α2α＋β－sin αsin β＝sin α2α＋β－sin β＝sin αα＋βsin α＝2cos(α＋β)， 所以sin α2α＋β－2cos(α＋β)＝sin αsin β.【3-3】已知，，且，.证明：.【解析】，即，，，，又，，，，，.【领悟技法】1.三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．（3）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． 2.变换技巧：(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；β＝2α＋β－2α－β；2α－β＝.（3）化简技巧：切化弦、“1”的代换等 【触类旁通】【变式一】求证：.【解析】左边＝cos αsin α＋＝右边．故原式得证．【变式二】已知，证明：.考点4 三角函数公式的综合应用【4-1】【2018湖北省部分重点中学起点】设函数，其中θ∈，则导数f ′(1)的取值范围是________．【答案】[，2]【解析】由题【4-2】【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】已知，则__________；__________．【答案】或. .【解析】分析：先把两边平方得到，利用弦切互化所得方程可以化成关于的方程，解出后可求．详解：由可以得到，故，也就是，整理得到，故或．当时，；当时，．故填或，．【4-3】【2018届江苏省南京市三模】在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为．已知点的横坐标为，点的纵坐标为．（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.（2）因为点Q的纵坐标为，所以sinβ＝．又因为β为锐角，所以cosβ＝．因为cosα＝，且α为锐角，所以sinα＝，因此sin2α＝2sinαcosα＝，所以sin(2α－β) ＝．因为α为锐角，所以0＜2α＜π．又cos2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝．点睛：（1）本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的三角关系，考查三角恒等变换,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力.(2)第2问易错，再求得sin(2α－β) 后，容易错误地得到2α－β＝或研究三角问题，一定要注意角的问题，所以先要求出－＜2α－β＜，再得出2α－β＝．【领悟技法】高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．【触类旁通】【变式一】【2018届山东省桓台第二中学4月月考】已知函数为奇函数，且，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的值．【答案】（1）（2）或【解析】试题分析：（1）由为奇函数得，解得的值；再根据，得（2）根据解析式化简得，再根据两角和正弦余弦公式以及二倍角公式化简得的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知因为所以又，所以或①由所以②由，得所以综上， 或【变式二】【2017浙江温州二模】已知函数．（1）求函数的最小正周期； （2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题解析： （1）∴函数的最小正周期是（2）∴， ，∴，又.∴ ∴，∴.【易错试题常警惕】易错典例：若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．易错分析：不注意挖隐含条件，角的取值范围，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误．正确解析：由题意知：sin θ＋cos θ＝51， ∴(sin θ＋cos θ)2＝251.∴sin 2θ＝－2524，即2sin θcos θ＝－2524＜0. 则sin θ与cos θ异号． 又sin θ＋cos θ＝51＞0， ∴2π＜θ＜43π.∴π＜2θ＜23π. 故cos 2θ＝－＝－257.温馨提醒：求解三角函数问题，应灵活运用公式，特别注意已知等式中角的取值范围，涉及开方求值问题，注意正负号的选取.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。
2019版高考数学(文科)(5年高考+3年模拟)精品课件全国卷1地区通用版：4.2 三角恒等变换
3
由根与系数的关系,有tan A+tan B=- 3 p,tan Atan B=1-p. 于是1-tan Atan B=1-(1-p)=p≠0,
从而tan(A+B)= tan A tan B =- 3 p =- 3 .
α
4
=
(
)
A. 1
B. 1
C. 1
D. 2
6
3
2
3
答案
A
解法一:cos2
α
4
=1
cos
2α
2
1
=
sin 2
2α
,把sin
2α=
2 3
代入,原式=
1 6
.选A.
2
解法二:∵sin
2α=
2 3
,cos
α
4
=cos
αcos
tan α tan 5
=
1
tan
α
tan
4 5
tan α 1
=
1 tan α
=
1 5
,
4
解得tan α= 3 .
2
4.(2017课标全国Ⅰ,15,5分)已知α∈
0,
2
,tan
α=2,则cos
α
4
=
2019年高考数学一轮复习：三角恒等变换
2019年高考数学一轮复习：三角恒等变换三角恒等变换经过点(a，b)．自查自纠1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin( α±β)＝____________________.(2)cos(α±β)＝____________________.1．(1)sinαcosβ±cosαsinβ(2)cosαcosβ? sin (3)tan( α±β)＝____________________.αsinβ2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2 α＝______________．tanα±tanβ1?tanαtanβ(3)2．(1)2sinαcosα(2)cos2 α＝___________ ＝___________ ＝___________．(3)tan2.α＝2(2)cosα－sin2tanα(3)21－tan α2α2cos2α－1 1 －2sin α3．半角的正弦、余弦、正切公式α4．(1) sin2α±cos222α2cos22α2sin2(1)sin α＝±21－cosα2.1－cos2α(2)21＋cos2α2(3)tan(α±β)(1?tanαtan α(2)cos＝±＝±2α(3)tan2 1＋cosα2 .1－cosα1＋cosαsinα1－cosα＝.＝1＋cosαsinαβ)(4)a2＋b2ab2＋b2aba相同4．几个常用的变形公式(1)升幂公式：1±sinα＝；(2015 ·全国卷Ⅰ)sin20 c°os10 °－cos160 °s in10 °1＋cosα＝；1－cosα＝＝( )．3311 A．－B.C．－D.222212解：原式＝sin20 °cos10°＋cos20°sin10 °＝sin30 °＝.2(2) 降幂公式：sin α＝；故选 D.2cos α＝．(2016 ·全国卷Ⅱ)若tanθ＝13，则cos2θ＝( )(3)tanα±tanβ＝______________________ ；tanαtanβ＝t anα－tanβtanα＋tanβ－1＝1－. tan（α－β）tan（α＋β）2＋b2sin(α＋(4)辅助角公式：asinα＋b c osα＝ a45151C.5451，所以cosθ＝3sinθ，根据同角3A．－B．－D.解：因为tanθ＝1.由倍12 2 2三角函数关系可得sin θ＋9sin θ＝1，sin θ＝φ) ，其中cosφ＝，sinφ＝ 2角公式，cos2θ＝1－2sinθ＝45.故选 D.，或tanφ＝，φ(2017 ·全国卷Ⅲ)函数f(x) ＝15πsin x＋3＋角所在象限与点(a，b)所在象限________，φ角的终边πcos x－6的最大值为( )***6 3A.＝ ＝5B ．1C.5D.1解： f(x)＝5sin x ＋ ππ ＋cos x － 361 1 3 5 sinx ·＋cosx ·2 2＋cosx · 3 1 ＋sinx · 2 235sinx ＋3 3 3 π ·2sin x ＋ 5 cosx ＝5 31 5cos10 °＋ 3sin10 ° ＝sin50 ×°cos10 ° 2×＝sin50 ×° 1 23cos10 °＋sin10 ° 2cos10 °＝ 2sin50 c°o s50 °sin100 °cos10 ° ＝ ＝1.故填 1.＝cos10 ° cos10 ° cos10 °＝ 6 5sin x ＋ π ，最大值为 36 5 .(3)( 福建漳州 2017 届八校联考 ) 已知 tan α ＝故选A .(2017 ·江苏)若 tan α － π 4 ＝ 16，则t an α ＝ 2(α∈(0，π )，)则c osA. 3 54 5 B.5 2π＋2α＝( )3 5 C ．－D ．－45________.π π解： tan α＝tan α－＋＝441 ＋1 6＝ 1 1－ 67 5 .故填7. 5(2016 上·海 )方程 3sinx ＝1＋cos2x 在区间[0，2π]上的解为 ________．π πtan α－4 ＋tan4＝ ππ1－tan α－4 tan 422解：由 tan α＝2 得 sin α＝ 2cos α，sin α＋cos α＝1，2 α＋ cos 2 α＝ 1 ， cos 2 α＝ 1 得 4cos5， cos 5 π＋2α ＝ 2π 2＋2α＝－ sin2α＝－ 2sin αcos α＝－ 4cosα＝－25.cos 故选D .【点拨】解决非特殊角求值问题的基本思路有： (1)化非特殊角为特殊角；(2)化为正负相消的项，消去 后求值；(3)化分子、分母使之出现公约数，进行约分 求值；(4)当有 α，2α， 3α，4α同时出现在一个式子中 时，一般将 α向 2α，3α(或 4α)向 2α转化， 再求关于 2α 式子的值．***2x ，所以解： 3sinx ＝1＋cos2x ，即 3sinx ＝2－2sin1 或 s i n x ＝－ 2(舍去 )， 22sin2x ＋3sinx － 2＝0，解得 sinx ＝2x ＋3sinx － 2＝0，解得 sinx ＝所以在区间[0，2π]上的解为π5π或 6 .故填 6π 5π 或 . 6 62π 2π (1)(2016 ·四川 )cos －sin ＝________. 8 82π 2ππ 解： 根据二倍角公式有cos－sin ＝cos ＝8842 . 2故填 2 .2类型一 非特殊角求值问题(1)(2017 ·山东)已知 cosx ＝ 3 ，则c os2x ＝43tan12 －°3 (2)(2015长· 沙 模拟)sin12 （°4cos 212°－2）________.＝ ( ) A ．－解： 由 cosx ＝1411B. 4 C ．－83 42x －1＝2×得 cos2x ＝ 2cosD.3 41 82－1 解： ＝ 3tan12 －°32 sin12 （°4cos 12°－2） 3（sin12 －° 3cos12 °） 2cos24 °s in12 c °o s12 ° ＝ 18.故选D .＝2 3sin （12°－60°）1 2sin48 °＝－ 4 3.故填－ 4 3.(2)( 教 材 复习参 考 题 )sin50 (°1 ＋ 3 tan10 )°＝ ________.(3)(2015 浙·江模拟)tan70 ＋°t an50 －° 3tan70 t °a n50 °解： sin50 °(1＋ 3tan10°) 的值等于 ()s in10 °cos10 °＝ sin50 1°＋ 3×A. 3B. 3 3C ．－ 3 3D ．－ 3***tan70 ＋°t an50 °＝－3，1－tan70 ·°tan50 °解：因为tan120°＝所以tan70 ＋°tan50 －°3tan70 ·ta°n50 ＝°－ 3.故选D.类型二给值求值问题(1)(2015 ·江苏)已知tanα＝－2，tan(α＋β) ＝1，则t anβ的值为________．7αααcos ＋sin2 2ααcos －sin2 2ααcos sin＋2 21＋tan1－tan2＝α2＝ααcos ＋sin2 2ααααcos －sin2 cos ＋sin2 2 231－5＝－4－51＋sinα＝cosα1.故选A.2＝【点拨】给值求值问题，即给出某些角的三角函tan（α＋β）－tanα解：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝1＋tan（α＋β）tanα数式的值，求另外一些角或式子的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)1＋27＝3.故填 3.21－7 ＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论．另掌握常用的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，17；20，21，29)，可简化计算．(2) c o s 设α为锐角，若α ＋的值为 ________ ．解： c o s α＋s i n α＋ ，所以 sin 2α＋π 12 π π－ ＝sin 2 α＋ 6 4π 12π为锐角， 6π ＝6(1) tan( ) 1 tan( ) 已知 α＋ β＝－ ， α－ β＝sin2α 则的值为 ()sin2βA. 1 3 B ．－sin2α ＝sin2β s in[（α＋sin[（α＋解：sin （ α＋β）cos （ α－ β）＋ cos （ α＋β）sin （ α－ β） ＝sin （ α＋ β） cos （α－ β）－ cos （ α＋ β） sin （ α－ β）1 3C ．3D ．－ 31 2 ，由二倍角公式得sin2cos2α＋α＋，7，25ππππ＝sin2 α＋cos －cos2 α＋sin6 4 6 4＝2425×2 7－×2 252＝217 250.故填17 250.＝t an（α＋β）＋tan（α－β）tan（α＋β）－tan（α－β）1＝3.故选A.45(3)(2016 ) cos沈·阳十一中联考若α＝－，α是第α1＋tan2三象限角，则＝( )α1－tan21 1A. －2 B. 2 C. 2 D. －24解：由cosα＝－，α是第三象限角，得sinα＝－5 ＝α＝3，则c osα＝( )(2)(2015 汕·头模拟)已知tan2A.45 B．－45 Cαα2 2解：cosα＝cos－sin ＝2 21－91＋9＝－45.故选B.αα2 2cos －sin2 2＝2α2αcos ＋sin2 221－tan21＋tan35，(3)已知cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈0，π，则c os(α－β)的值等于() 2A．－1 12 B.2 C．－1233 D.27因为π2<α<π，－1<tanα＝－13<0，解：因为α∈0，π，2α∈(0，π)，cosα＝213，所所以34π<α<π，32π<2α<2π.①2α－1＝－7以cos2α＝2cos ，sin2α＝1－cos22α＝9 又－π<β<0，tanβ＝－17<0，所以－π<β<0.②24 29π.而α，β∈0，，所以α＋β∈(0，π，)所以sin(α2＋β)＝1－cos2（α＋β）＝2 22（α＋β）＝2 23 .所以cos(α－β)＝由①②知，π<2α＋β<2 π.又tan(2α＋β)＝－1，所以2α＋β＝7π.故填47π.4cos[2α－(α＋β)] ＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝－7913×－＋42×2 2 23＝.故选D.9 3 27类型四三角恒等变换与三角函数性质的综合应用类型三给值求角问题(2017·北京) 已知f(x)＝3cos 2x－π3－(福州外校2017 届高三适应性考试)已知2sinxcosx.2A2π5－15＝，且sinB3 103π5π7π4 B. 4 C. 4 D.7π612 cosA－32 sinA＝1－22 5，cosB5A，B 均为钝角，π<A＋B<2π，cosA＝－3 10 2 5，cos(A B) cosAcosB sinAsinB＋＝－＝－10 52>0，2 (1)求f(x)的最小正周期；π(2)求证：当x∈－，4π时，f(x)≥－41解：(1) f(x)＝32 cos2x＋32sin2x－sin2x2π＝π.2π，所以－4π＝－611.2π≤35π.6***＋cos A＋A，B 均为钝角，sin＝10，则A＋B＝( )10A.解：由题意知12(1－cosA)＋15，得sinA＝105，sinB＝510.10＝－3 1010 ×－－5×510＝10＝1sin2 x＋23 πcos2x＝sin 2x＋.2 3所以f( x)的最小正周期T＝(2)证明：因为－π≤x≤4π≤2x＋6所以sin 2x＋π≥sin －3ππ所以当x∈－时，f(x)≥－，4 4那么，3π7π<A＋B<2π，所以A＋B＝.故选C.2 4【点拨】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，属于基础题．要求准确应用降幂【点拨】给值求角问题，可转化为“给值求值”公式和辅助角公式进行变形，化为标准的y＝Asin(ωx 问题，解得所求角的某一三角函数值，结合所求角的＋φ)＋b 的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周范围及函数的单调性可求得角．期、最值等．π2<α<π，－π<1，则2α＋β等于________．7(2016·苏北四市调研)已知β<0，tanα＝－13，tanβ＝－解：tan2α＝2tanα＝21－tanα132×－11－－3＝－234，17＝(2015·重庆)已知函数f(x)＝sin2－3cosx.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在π，62π上的单调性．3π2－x sinx－3cosx23(1 cos2x)＋2π－x sinx23－－41tan2 tanα＋β7 tan(2 )α＋β＝＝31 tan2 tan－αβ1－－×－4 解：(1) f(x)＝sin ＝cosxsin x－－1. ＝1sin2 x－23cos2x－232π3＝sin 2x－－，32因此f(x)的最小正周期T＝2π＝π，f(x)的最大值为2目的．总之，三角恒等变换说到底就是“四变”，即变角、变名、变式、变幂．通过对角的分拆，达到使角1－3.2相同；通过转换函数，达到同名(最好使式中只含一个π(2)当x∈，6π当0 2x≤－≤32ππ时，有0≤2x－≤π，从而3 3π时，即2π≤x≤65π时，f(x)单调递增；12函数名)；通过对式子变形，达到化简(尽可能整式化、低次化、有理化)；通过幂的升降，达到幂的统一．当π≤2x－2π5π≤π时，即≤x≤3 122π时，f(x)单调递减．3综上可知，f( x)在上单调递减．π5π，12 上单调递增，在65π2π，12 31(20161)cos．·韶关月调研1233A.B.C.D.2222165°－sin215°＝cos215°－sin215°＝cos30 °解：cos＝3.故选C. 21．深层次领悟公式的功能、规律与内涵对三角公式，知其结构特征仅是第一层面要求，sin2α的值等于( ) 2．若tanα＝3，则2αcosA．2 B．3 C．4 D．6重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵．如1±sin2α＝(sinα±cosα) 2 有并项的功能，cos2α＝2 有并项的功能，cos2α＝cos2α－sin2α有升幂的功能，sin2α＝2sinαcosα有将角2α－sin2α有升幂的功能，sin2α＝2sinαcosα有将角由大化小的功能，两角和与差的正切公式，揭示的是2sinαcosαsin2α解：＝＝2tanα＝2×3＝6.故选D.2α2αcoscos3．(2016 ·全国卷Ⅱ)若cosπ－α＝3，则s in2α＝4 5( ) 同名不同角的正切函数的关系等．2．余弦的差角公式是本节公式之源，掌握其证明 A. 72515B.C．－15D．－72过程以及和差倍半公式的推演方法是很有必要的．解：cos 2 π 2 π－α＝2cos －α－1＝2×4 4 352－13．三角恒等证明分有条件的恒等证明和无条件的恒等证明．对于有条件的恒等证明，需要注意的问题＝－725，又cos 2π－α＝cos4π－2α＝sin2α，所以2有二：一是仔细观察等式两边结构上的联系与差异，sin2α＝－7.故选D.25探寻消除差异(函数的差异、角的差异)的方法；二是充分利用条件，特别是将条件变形整理后使用．4．(传统经典题)已知sinα＝5，sin(α－β)＝－510，104．熟知一些恒等变换的技巧(1)公式的正用、逆用及变形用．(2)熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，α，β均为锐角，则β等于( )A.5π12πB.3πC.4解：因为α，β均为锐角，所以－ππ＜α－β＜2.2πD.6如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α3 是2α的半角，3α2α是4的倍角等．(3)在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，尤其要重视常数“1”的各种π2α＋cos2α等．变形，例如：1＝tan ，1＝sin4(4)在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降10又sin(α－β)＝－又sinα＝5 3 10×－5 10＝所以β＝，所以cos(α－β)＝105，所以cosα＝52 55，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)2 55×－1010＝2.2π.故选C.43 1010 .低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的5．(2016 ·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sinα***＝2cos2α，则s in α＋ π ＝( ) 3＝ 2 × － 2 2 5 5 ＋ 2 × 2 5 ＝－ 5 10 ， 10A.1＋3 5 8 1＋5 3B.8(2)由(1)知 sin2α＝2sin αcos α＝2× 5 × － 52 5 51－3 51－5 3 D.815，所以 sin α＋ 41 3 5 ＋. A. 故选 8π1 sin＋ β ，且 tan α＝ ， 2 cosβC.82α)，即解：由 7sin α＝2cos2α得 7sin α＝2(1－2sin2α＋7sin α－2＝0，所以 sin α＝－2(舍去 )或 sin α＝4sin 1π 1 ＝ 6.因为 α为锐角， 所以 cos α＝ 341 2 ＋15 4× 3 ＝ 2×π6．设α∈ 0， ，β∈ 0，2 则( )＝－4 5 ，23＝ ， 55 5 5 πππ－2cos α＝cos2 sin sin2 α＋ α 6 66 2α＝1－2×5cos2α＝1－2sin5所以 cos4 5331 2＝ －× ＋ 5× －24＋3 3＝－. 10π 10．(2015 ·天津)已知函数 f(x)＝sin ，2x －sin 2 x －2x －sin 2 x －6***πA 3 ．α－β＝B 3 ．α＋β＝2πC．2α－β＝2 D．2α＋β＝π2π2x∈R.(1)f(x)求的最小正周期；(2)f(x)求在区间－，π上的最大值和最小值．4sinα1＋sinβ，即 sinαcosβ＝cosαcosβπ－α，因为－2π2<α－π. 故选2解：由条件得＝cosα(1＋sinβ)，sin(α－β)＝cosα＝sinππππβ< ，0< －α< －α，2α－β＝，所以α－β＝2 2 2 2 ＝121－cos2x解：(1)由已知，有 f(x)＝－23 1 1π2x －sin22 sin2x－2cos2x ＝，62πf(x)的最小正周期T＝＝π.21－cos 2x－2π3C.7 (2016 ) [0 3 y ． ·江苏定义在区间， π]上的函数 ＝sin2x 的图象与y ＝cosx 的图象的交点个数是 ________． 解： 由 sin2x ＝cosx? cosx ＝0 或 sinx ＝ 1 2 ，因x ∈[0，3π，] 所以 x ＝ π ， 2 3π 5π ， ， 2 2 π ， 6 5π 13π ， ， 6 617π ， 6共 7 个． 故填 7.π π(2)因为 f(x)在区间－ ，－ 上是减函数， 在区间3 6π π π 1 1π π ＝－ ＝－－ ， 上是增函数， f － ，f － ，f 6 4 3 4 6 2 4 3π π 3＝4 上的最大值为 ，最，所以 f(x)在区间－ ， 4341 小值为－2.在 斜 三 角 形 ABC 中 ， sin A ＝ － 28．(2017 武· 汉调研)若锐角 α，β满足(1＋ 3tancosB · cosC ，且 tanB · tanC ＝1－ 2，求角 A 的值．α)(1 ＋ 3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解： 由题意知， sinA ＝－ 2cosB ·cosC ＝sin( B ＋C) 解 ：由 (1 ＋ 3 tan α)(1 ＋ 3 tan β) ＝ 4 ， 可 得＝sin B ·cosC ＋cosB ·s inC ，两边同除以 cosB ·c osC ，得tan α＋tan β 1－tan αtan β＝ 3，即 tan(α＋ β)＝ 3.又 α＋β∈(0，π．)所 以 α＋ β＝ π .故填 3π .3tanB ＋ tanC ＝－ 2 ， 又 tan( π－ A) ＝tan( B ＋ C) ＝ tanB ＋tanC ＝1－tanB t anC － 2 1－（1－ 2）＝－ 1，得 tanA ＝1，所以 9．已知 α∈ π ，π，sin α＝ 2 5.5π A ＝ .4(1)求 sin π ＋α的值； 4 (2)求 cos 5π －2α 的值． 6解： (1)因为 α∈ π ， π，sin α＝ 2 5 ， 51．(2017 山·东)函数 y ＝ 3sin2 x ＋cos2x 的最小正2α＝－2 5 所以 cos α＝－ 1－sin5 .所以 sin π π π ＋ α＝sin4 c os α＋cos4sin α4周期为 ( )π A. 22π B. 3C ．πD ．2ππ解：因为y＝3sin2x＋cos2x＝2sin 2x＋6 ，所以37.故选C.2π其最小正周期T＝＝π.故选C.2 6．(2017 ·四川泸州四诊)已知sinπ－α＝314，则2．(2015 陕·西)“sinα＝c osα”是“cos2α＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件cosπ＋2α＝( )357A. B．－88π解：由题意sin－α＝sin3C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2α－sin2α＝0，所以sinα＝cos 解：因为c os2α＝cos14＝，则cos－1＝－π＋2α＝cos2373.故选B.π＋α＝2cos62(π＋α)6α或sinα＝－cosα，则“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”7．(2017 ·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝2cosx＋sin x 的最大的充分不必要条件．故选A.值为________．cos85 °＋sin25 c°o s30 °等于( )3．化简cos25 °A．－32B.2212C.D．1解：原式＝3sin25°2sin5 ＋°cos25 °22 sin(x ＋解：f(x) ＝2cosx ＋sinx ＝ 2＋12 2φ)≤ 2 ＋1 ＝5，其中tanφ＝2.故填 5.8．(2016 ·瑞安八校联考)已知tan3π＋α＝3，则4sinα3α＝________.tanα＝________，cos3sin（30°－25°）＋2 sin25 °cos25 °＝＝12cos25 °1＝.故选C. cos25 °24．(2017 ·杭州二次质检)函数f(x)＝3sin2x4cos2( x∈R)的最大值等于( ) x x2cos ＋22cos＋3πtan ＋tanα3π4解：已知tan＋α＝3，得＝3，即43π1－tan tanα4－1＋tanα＝3，解得tanα＝－2.sinα＝－2cosα，代入1＋tanα2α＋cos2α＝1 得5cos2α＝1，cos2α＝1sin，所以5sinα＝3αcos92 A．5 B. 解：由题意知f(x)＝52C.1＋cosx32sin x＋4×＝22sin x＋4×＝D．232 sinx＋－2cosα2＝－＝－10.故填－2；－10.3α2αcoscos9．(2017 ·浙江)已知函数f( x)＝sin2x－cos2x－2 32x－cos2x－232cosx＋2≤5．(2016 揭·阳模拟)已知tan x＋π＝2，则s in2x4s inxcosx( x∈R)．(1)求f2π的值．3(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．＝( ) 2 2解：(1) f(x)＝sinx－cos x－2 3sin x c osx＝310 35 C.5 D．11 tanx＋＝2tanx，所以1 tanx－A．－5 B.π解法一：因为t an x＋＝41 2x＋sin2x＝1，得sin2x＝1＝－cos2x－3sin2xπ＝－2sin 2x＋6 .2π则f＝－2sin34π＋3π＝2.，cosx＝3sinx，由cos，3 106 (2) f(x)的最小正周期为π.则sin2 x＝6sin .2x＝32x＝35π≤2x＋令2kπ＋2π3π≤2kπ＋，k∈Z，6 2＝1＋tanx1－tanxπ解法二：因为t an x＋＝2，所以tanx＝41 2sin x cosx 2tanx，所以sin2x＝2sinxcosx＝＝＝3 2x＋cos2x 2xsin 1＋tanZ.π2π得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.6 3π函数f( x)的单调递增区间为kπ＋，kπ＋62π3 ，k∈****** 10．(2016 北·京)已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f( x)的单调递增区间．解：(1)因为f(x)＝2sinωx c osωx＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝2sin 2ωx＋π4 ，所以f(x)的最小正周期T＝2π＝2ωπ.ω依题意，π＝π，解得ω＝1. ω(2)由(1)知f(x)＝2sin 2x＋π4 .π≤2x＋由2kπ－2 ππ≤2kπ＋，k∈Z，4 23ππ得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.8 8所以 f (x)的单调递增区间为kπ－3ππ，kπ＋88 (k∈Ζ)．(2016 ·河南六市联考)设a＝12cos2 °－322tan14 °，c＝sin2 ，°b＝1－tan214°1－cos50 °，则有() 2A．a<c<b B．a< b<c C．b<c<a D．c<a<b解：利用三角公式化简得a＝12cos2 °－32 sin2 ＝°cos(60 ＋°2°)＝cos62 °＝sin28 ，°b＝tan28 ，°c＝sin225°＝sin25 .°因为s in25 <s°i n28 <t°a n28 ，°所以c<a<b.故选D.***2019 年高考数学一轮复习第9 页共9 页***。
三年高考(2019)高考数学试题分项版解析 专题09 三角恒等变换与求值 理(含解析)
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……专题09三角恒等变换与求值考纲解读明方向★★★分析解读：1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.分析解读1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.2018年高考全景展示1．【2018年理数全国卷II】已知，，则__________．【答案】点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．2．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ）或【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 3．【2018年江苏卷】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2017年高考全景展示1.【2017课标II ，理14】函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 。
2019高考真题名校模拟(文数)三角恒等变换(含答案)
4.2 三角恒等变换五年高考A 组统一命题·课标卷题组考点 三角恒等变换1．(2018课标全国III ，4,5分）若,31sin =α则=α2cos ( )98.A 97.B 97-.C 98-.D 2．（2017课标全国III ．4，5分）已知,34cos sin =-αα则=α2sin ( )97-.A 92-.B 92.C 97.D3．（2016课标全国111-6，5分）若,31tan =θ则=θ2cos ( )54.A 51.B 51.C 54.D 4．（2014课标I ．8,5分．0.795）设),2,0(),2,0(πβπα∈∈且,cos sin 1tan ββα+=则( ) 23.πβα=-A 23.πβα=+B 22.πβα=-C 22.πβα=+D5．（2018课标全国II ，15，5分）已知,51)45tan(=πα则.tan α=___________ 6．（2017课标全国I ，15，5分）已知,2tan ),2,0(=∈απα则=)4cos(πα_________7．（2016课标全国I ．14，5分）已知θ是第四象限角，且 ,53)4sin(=+πθ则=)4tan(πθ________B 组 自主命题·省（区、市）卷题组考点 三角恒等变换1．（2017山东．4,5分）已知,43cos =x 则=x 2cos ( ) 41.A 41.B 81.C 81.D 2．I 2015重庆．6,5分）若,21)tan(,31tan =+=βαα则=βtan ( )71.A 61.B 75.C 65.D 3．（2017江苏，5，5分）若,61)4-tan(=πα则=αtan ___________4．（2016浙江，11，6分）已知>++=+A b x A x x （)sin(2sin cos 22ϕω),0则A=_______，b=________5．（2018江苏．16,14分）已知βα,为锐角．)cos(,34tan βαα+=⋅=55 (1)求α2cos 的值；(2)求)tan(βα-的值． 6．（2014江西．16，12分）已知函数)cos 2()(2x a x f +=)2cos(θ+⋅x 为奇函数，且,0)4(=πf 其中⋅∈∈),0(,πθR a(1)求θ,a 的值；(2)若)3sin(),,2(,52)4(παππαα+∈=的值． 7．（2014天津16,13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ．b ．c ．已知.sin 6sin ,66C B b c a ==- (1)求A cos 的值： (2)求)62cos(πA的值．8．（2015四19,12分）已知A ．B ，C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程)(0132R p p px x ∈=+-+ 的两个实根． (1)求C 的大小；(2)若,6,3==AC AB 求p 的值．突破方法方法 三角函数式的化简求值 例 （2015广东，16，12分）已知.2tan =α(1)求)4tan(πα+的值：(2)求12cos cos sin 2sin 2--+αααααms 的值．1-1 （2016河北名师俱乐部3月模拟，8）已知∈θ,414cos sin ),4,0(=-θθπ则=+-)4cos(1cos 22θπθ( ) 32.A 34.B 43.C 23.D 1-2=-40tan 50cos 4（ ）2.A 232.+B 3.C 122.-D 三年模拟A 组2016-2018年高考模拟·基础题组考点 三角恒等变换1．（2018辽宁东北育才学校三模）角α的终边与单位圆交于点),552,55(则=α2cos ( ) 51.A 51.B 53.C 53.D 2．（2018陕西榆林二中七模）设|)6cos(),2,0(παπα+∈若,54=则=αsin （ ） 10343.-A 10343.+B 10433.+C 10433.-D 3.( 2018甘肃张掖第一次质检)已知),2cos(4)2tan(θπθπ-==<θπθ2tan ,2||则( )815.A 815.B 715.c 715.D 4．（2018内蒙古呼和浩特质量普查）若,31)sin(=-απ且απ≤2,π≤则α2sin 的值为 ( )922.A 924.B 922.C 924.D5．（2016宁夏六盘山四模）已知,31sin =α则=α2cos ( )167.A 167.B 97.C 97.D6．（2017重庆巴蜀中学二诊）=+80sin 40cos 10sin 40sin ( )21.A 23.B50cos .C 23.D 7．（2017陕西师大附中二模）已知),,2(,54cos ππαα∈-=且则)4tan(πα+等于( ) 71.A 7.-B 71.C 7.D 8．（2017辽宁凌源实验中学、凌源二中联考）25cos 30cos 25sin 85cos o o +等于( )23.A 21.B 21.C 23.D 9．（2017黑龙江哈尔滨三中二模）已知,31)-3sin(=απ则=)2-6sin(απ( ) 97.A 97.B 97.±C 92.D 10.(2017甘肃兰州实战模拟）若βαβαcos cos ,231sin sin --=-,21=则=-)cos(βα__________ B 组2016-2018年高考模拟·综合题组一、选择题（每题5分，共30分） 1．（2018陕西榆林二模）已知,2||),2cos(3sin cos πθθπθθ<+=则=θ2sin ( ) 928.A 322.B 924.C 922.D2．（2018陕西榆林第一次模拟）若,02,20<<-<<βππα,33)24cos(,31)4cos(=-=+βπαπ则=+)2cos(βα( )935.A 33.B 2737.C 96.D3．（2018甘肃张掖第一次质量检测）若ααπ,43)tan(=-是第二象限角，则=-⋅+2sin2sin1απαπ ( )109.A 5.B 910.C 10.D 4.(2017黑龙江哈尔滨师大附中三模）已知),2,0(πα∈且),4cos(2cos 2απα=则α2sin 的值为 ( )81.A 81.B 87.C 87.D 5．(2017陕西西安模拟（一））已知,210cos 2sin ,=+∈αααR 则=α2tan ( ) 34.A 43.B 43.C 34.D 6．（2017内蒙古包头一模）设),2,0(),2,0(πβπα∈∈且ααcos sin ,sin 1cos ββ-=则( ) ⋅=+22.πβαA 22.πβα=-B 22.πβα=+C 22.πβα=-D二、填空题（每题5分，共20分） 7．( 2018内蒙古包头一模）若),2,0(,32)3cos(παπα∈=则=)322cos(πα______8．（2017辽宁沈阳四校协作体联考）化简________80sin 380cos 1=- 9．(2016吉林东北师大附中等校联考．14）已知,0πθ<<,71)4tan(=+πθ那么=+θθcos sin ______ 10.（2017宁夏石嘴山三中二模）若),2,0(,53cos παα∈=则)6-sin(πα的值为_________ 答案。
精品考点16三角恒等变换-高考全攻略之备战2019年高考数学(理)考点一遍过
考点16 三角恒等变换1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.一、两角和与差的三角函数公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ- （5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z2．二倍角公式（1）2S α：sin 2α=2sin cos αα（2）2C α：cos 2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=-（3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且3．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα= （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==，tan b aϕ=二、简单的三角恒等变换 1．半角公式（1）sin2α=（2）cos2α=（3）tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-==+【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式） （1）积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.（2）和差化积公式：sin sin 2sin cos 22αβαβαβ+-+=； sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=； cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=； cos cos 2sinsin22αβαβαβ+--=-.考向一 三角函数式的化简1．化简原则（1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式； （2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；（3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等． 2．化简要求（1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少； （2）式子中的分母尽量不含根号. 3．化简方法 （1）切化弦； （2）异名化同名； （3）异角化同角；（4）降幂或升幂．典例1 化简：.【解析】原式.【方法技巧】(1)三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．(2)三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．(3)在化简时要注意角的取值范围.1________．考向二三角函数的求值问题1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：（1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ(,)22-，则选正弦较好. 4．常见的角的变换 （1）已知角表示未知角例如：()()ααββββα=+-=--，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-.（2）互余与互补关系 例如：π3π()()π44αα++-=，πππ()()362αα++-=. （3）非特殊角转化为特殊角例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.典例2 求下列各式的值： （1）cosπ8+cos 3π8-2sin π4cos π8; （2）sin 138°-cos 12°+sin 54°.【名师点睛】“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.2的值为__________．。
【5年高考3年模拟】2019版数学(理)课件：4.2-三角恒等变换(含答案)
4
3 4
3
6
2
B组
考点
自主命题·省(区、市)卷题组
三角函数式的求值与化简
3 cos α 10 1.(2015重庆,9,5分)若tan α=2tan 5 ,则 sin α = ( 5
)
A.1
B.2
C.3
7 25
3 2 5
2
2
3
18 25
(1)已知角有两个时,待求三角函数值的角一般表示为已知角的和或差;
(2)已知角有一个时,待求三角函数值的角一般与已知角成“倍数关系”或“互补、互余关系”.
4.(2014课标Ⅰ,8,5分,0.737)设α∈ ,则 ( 0, ,β∈ 0, ,且tan α= cos β 2 2 A.3α-β=
2
5.(2014课标Ⅱ,14,5分,0.603)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为 答案 1
.
解析 f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ)
=sin(x+φ)cos φ-sin φcos(x+φ)=sin(x+φ-φ)=sin x, ∴f(x)的最大值为1.
3 cos α 3tan 10 5 =3.故选C. ∵tan α=2tan ,∴ = 5 tan sin α 5 5
2.(2016四川,11,5分)cos2 -sin2 = 答案
【北京B版】2019版高考文数一轮课件：4.2-三角恒等变换(含答案)
解法二:∵ , θ + θ =
4 4 ∴cos ,∴sin , θ = θ =
4 5 4 5
sin θ 4 4 ∴tan = , θ= 4 cos θ 3 4 4 ∴tan . θ =-tan θ =- 4 4 3
2
3
∴sin θ+cos θ= ①,∴2sin θcos θ=- . ∵θ是第四象限角,∴sin θ<0,cos θ>0, ∴sin θ-cos θ=- 1 2sin θ cos θ =- ②, 由①②得sin θ=- ,cos θ= ,∴tan θ=- ,
tan θ 1 4 ∴tan =- . θ =
3 1 3 因为cos x= ,所以cos 2x=2cos2x-1=2× -1= . 4 8 4
2
4.(2016课标Ⅲ,6,5分)若tan θ=- ,则cos 2θ= ( A.-
4 5
B.-
1 5
C.
1 5
1 3os 2θ sin 2θ 答案 D 解法一:cos 2θ=cos θ-sin θ= 2 cos θ sin 2θ 1 tan 2θ 4 = 2 = .故选D. 1 tan θ 5 1 1 解法二:由tan θ=- ,可得sin θ=± , 3 10 4 因而cos 2θ=1-2sin2θ= . 5
1
8.(2016课标Ⅰ,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin ,则tan θ = θ = 4 5 4 答案 -
4 3
3
.
解析 解法一:∵sin (sin θ+cos θ)= , θ = 5 2 4
专题42 三角恒等变换-3年高考2年模拟1年原创备战2021高考精品系列之数学(文)(原卷版)
第四章 三角函数 专题2 三角恒等变换（文科）【三年高考】1. 【2017课标3，文4】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．29-C ． 29D ．792. 【2017山东，文4】已知3cos 4x =,则cos2x = A.14- B.14 C.18- D.183. 【2017山东，文7】函数32cos 2y x x =+ 最小正周期为A.π2 B. 2π3C.πD. 2π 4. 【2017江苏，5】 若π1tan(),46α-= 则tan α= ▲ .5. 【2017浙江，18】（本题满分14分）已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –23x cos x （x ∈R ）．（Ⅰ）求)32(πf 的值． （Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间． 6． [2016高考新课标Ⅲ文数]若tan 13θ=，则cos2θ=（ ）（A ）45-（B ）15- （C ）15 （D ）457. 【2016高考浙江文数】已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =______． 8. 【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ–π4)= .9. 【2016高考山东文数】设2()π)sin (sin cos )f x x x x x =--- .（I ）求()f x 得单调递增区间；学*科网（II ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，求π()6g 的值. 10. 【2015高考福建，文6】若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ）A ．125B ．125-C ．512D ．512-11.【2015高考重庆，文6】若11tan ,tan()32,则tan =（ ） (A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 5612.【2015高考广东，文16】已知tan 2α=． （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【2017考试大纲】1. 能利用单位圆中的三角函数线推导出,2παπα±±的正弦、余弦、正切的诱导公式2. 理解同角三角函数的基本关系式：（1）sin tan cos ααα=，（2）22sin cos 1αα+= ． 3. 和与差的三角函数公式(2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.(3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 4.简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).学*科网【三年高考命题回顾】【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出，三角恒等变换是研究三角函数的图象与性质，解三角形的基础，在高考中单独命题的情况很少，大多数省份对于三角恒等变换的考查，是结合三角函数的图象与性质，解三角形进行命题，高考命题考查的重点是诱导公式公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式．预测在2018年的高考试卷中，三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求值，与三角函图象与性质结合，或与解三角形结合，解决简单的综合问题，在填空题和选择题中出现，主要考查"三基"(基础知识、基本技能、基本思想和方法)以及综合能力，难度多为容易题和中档题.故在2018年复习备考过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质.以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识.这部分常常以选择题和填空题的形式出现，有时也以大题的形式出现， 因此能否掌握好本重点内容，在一定的程度上制约着在高考中成功与否.在2018年复习备考过程中既要注重以下几点：1．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点： （1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角，如()ββαα-+=，()()()αβαβαβαβαα++=+-++=22，等； （3）注意倍角的相对性 （4）要时时注意角的范围（5）化简要求：熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等. 2．证明三角等式的思路和方法.（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式.（2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等. 3．解答三角高考题的策略.（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”. （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系.（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化. 4．加强三角函数应用意识的训练由于考生对三角函数的概念认识肤浅，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系，造成思维障碍，思路受阻.实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法. 5．变为主线、抓好训练变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律. 针对高考中题目看，还要强化变角训练，经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强，这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目.[易错提示] 三角函数求值中要特别注意角的范围，如根据21cos 2sin 2αα-=求sin α的值时，1cos 2sin 2αα-=±中的符号是根据角的范围确定的，即当α的范围使得sin 0α≥时，取正号，反之取负号．注意在运用同角三角函数关系时也有类似问题．【2018年高考考点定位】高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系及和、差、倍、半、和积互化公式进行求值、变形，求参数的值,求值域，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系及和、差、倍、半、和积互化公式的应用等，在这类问题的求解中，常常使用的方法技巧是“平方法”，“齐次化切”等． 【考点1】利用诱导公式恒等变换 【备考知识梳理】诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二： sin(180)α+=sin α-； cos(180)α+=-cos α 诱导公式三： sin()sin αα-=-； cos()cos αα-= 诱导公式四：sin(180)sin αα-=； cos(180)cos αα-=-诱导公式五：sin(360)sin αα-=-； cos(360)cos αα-= 公式六：sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.学&科网 公式七：sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 公式八：3sin cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 公式九：3sin cos 2παα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，3cos sin 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 诱导公式口诀：纵变横不变，符号看象限用诱导公式化简，一般先把角化成,2k k z πα+∈的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是纵轴（即y 轴）上的角，就是 “纵”，是横轴（即x 轴）上的角，就是“横”；符号看象限是，把α看作是锐角，判断角2k πα+在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”，就加在前面）. 用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间0(0,360)的角，再变到区间0(0,180)的角，再变到区间0(0,90)的角计算. 【规律方法技巧】 1. 利用诱导公式求值：i.给角求值的原则和步骤：(1)原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.(2)步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为02π之间角的三角函数，然后求值，其步骤为：ii.给值求值的原则:寻求所求角与已知角之间的联系，通过相加或相减建立联系，若出现2π的倍数，则通过诱导公式建立两者之间的联系,然后求解. 常见的互余与互补关系 (1)常见的互余关系有：3πα+与6πα-；3πα-与6πα+；4πα+与4πα-等.(2)常见的互补关系有：3πα+ 与23πα-;4πα+与34πα-等.遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题. 2. 利用诱导公式化简、证明i.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求(1)原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少.(2)要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.ii.证明三角恒等式的主要思路(1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.(2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子. (3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明.提醒：由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如()()cos 5cos cos παπαα-=-=-. 【考点针对训练】1. 【江西师范大学附属中学2017届高三第三次模拟】已知()()sin 2cos 30πθπθ-++-=，则cos sin cos sin θθθθ+=-（ ）A. 3B. 3-C.13 D. 13- 2. 【山东省日照市2017届高三（三模）】若()1sin 32ππααπ-=≤≤，且，则cos α的值为A.3 B. 3- C. 9 D. 9- 【考点2】利用同角三角函数关系式恒等变换 【备考知识梳理】同角三角函数的基本关系式： （1）sin tan cos ααα=，（2）22sin cos 1αα+= ． 【规律方法技巧】1. 正、余弦三兄妹“sin cos x x ±、sin cos x x ⋅”的应用sin cos x x ±与sin cos x x ⋅通过平方关系联系到一起，即2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±，2(sin cos )1sin cos ,2x x x x +-=21(sin cos )sin cos .2x x x x --=因此在解题中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个.sin cos αα、的求值技巧：当已知sin 4πα⎛⎫±⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫±⎪⎝⎭时，利用和、差角的三角函数公式展开后都含有sin cos x x +或sin cos αα-，这两个公式中的其中一个平方后即可求出2sin cos αα，根据同角三角函数的平方关系，即可求出另外一个，这两个联立即可求出sin cos αα、的值．或者把sin cos αα+、sin cos αα-与22sin cos αα+=1联立，通过解方程组的方法也可以求出sin cos αα、的值． 2.如何利用“切弦互化”技巧常见的结构有:① sin ,cos αα的二次齐次式（如22sin sin cos cos a b c αααα++）的问题常采用“1”代换法求解；②sin ,cos αα的齐次分式（如sin cos sin cos a b c d αααα++）的问题常采用分式的基本性质进行变形．（2）切化弦：利用公式tan α=sin cos αα，把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧.温馨提示：（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解.（2）利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号. 【考点针对训练】1. 【2017届湖南省郴州市高三第四次质检】已知3cos 2θ=tanθ+3，且θ≠kπ（k ∈Z ），则sin[2(π−θ)]等于（ ）A. −13 B. 13 C. 23 D. −232. 【吉林省吉大附中2017届高三第八次模拟】已知ππ2α<<， 3sin22cos αα=，则9πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．【考点3】利用和、差、倍、半、和积互化公式恒等变换 【备考知识梳理】 1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-. 3．降幂公式ααα2sin 21cos sin =；21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=. 4.辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中5.有关公式的逆用、变形等()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±=±ααα2sin 21cos sin =；21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=()()cos cos sin sin cos αββαββα+++=,()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+=+--,()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+++=+,sin cos 2sin 4πααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭,21sin 212sin cos (sin cos )x x x x x ±=±=±,，αααsin 22sin cos = 【规律方法技巧】1.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路与基本的技巧基本的技巧有:（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等.(2)三角函数名互化：切割化弦，弦的齐次结构化成切. (3)公式变形使用：如()()cos cos sin sin cos αββαββα+++=,()()tan 1tan tan tan tan αβαβαβ+-=+()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+=+--,()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+++=+,sin cos 2sin 4πααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭,21sin 212sin cos (sin cos )x x x x x ±=±=±等(4)三角函数次数的降升：降幂公式与升幂公式:ααα2sin 21cos sin =；21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=. (5)式子结构的转化.(6)常值变换主要指“1”的变换：221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅tan sin 42ππ===等.（7）辅助角公式：()22sin cos sin a x b x a b x θ+=++(其中θ角所在的象限由a b 、的符号确定，θ的值由tan baθ=确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角θ为特殊角的情况即可. 如sin cos 2),sin 32sin(),3cos 2sin()436x x x x x x x x x πππ±=±±=±±=±等.2.题型与方法:题型一,利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-，()()()=--+=+--+=βαββαβαβαβαβ2222，，()ββα+-2，()()()ααβββαβαβαβα=-+=+-=--+，，等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角，给值求角的本质还是给值求值，即欲求某角，也要先求该角的某一三角函数值．由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角．要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如α＝(α＋β)－β，α＝α＋β2＋α－β2等题型二，三角函数式的化简与证明 三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等.（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数 三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明. 题型三. 辅助角公式 函数()sin cos fa b ααα=+(,a b 为常数)，可以化为()()22f a b ααϕ=++或()()22f a b ααϕ=+-，其中ϕ可由,a b 的值唯一确定．【考点针对训练】1. 【湖南省2017年考前演练卷（三）】．若tan ?tan 3αβ=，且3sin ?sin 5αβ=，则()cos αβ-的值为（ ）A. 25-B. 25C. 45D. 1 2. 【2017黑龙江哈师大附中三模】已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2cos2cos 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭，则sin2α的值为（ ）A.18 B. 18- C. 78 D. 78- 【应试技巧点拨】1.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求(2)要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.2. 利用诱导公式证明三角恒等式的主要思路 (1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.(2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子.提醒：由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如()()cos 5cos cos παπαα-=-=-. 3. 正、余弦三兄妹“sin cos x x ±、sin cos x x ⋅”的应用sin cos x x ±与sin cos x x ⋅通过平方关系联系到一起，即2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±，2(sin cos )1sin cos ,2x x x x +-=21(sin cos )sin cos .2x x x x --=因此在解题中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个. 4.如何利用“切弦互化”技巧（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式，这样减少了变量，统一为“切”得表达式，进行求值. 常见的结构有:① sin ,cos αα的二次齐次式（如22sin sin cos cos a b c αααα++）的问题常采用“1”代换法求解；②sin ,cos αα的齐次分式（如sin cos sin cos a b c d αααα++）的问题常采用分式的基本性质进行变形．（2）切化弦：利用公式tan α=sin cos αα，把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧.5.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有: （1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等.(2)三角函数名互化：切割化弦，弦的齐次结构化成切. (3)公式变形使用：如()()()()()()()()cos cos sin sin cos tan 1tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan .αββαββααβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++=+-=++=+--+++=+，，，(4)三角函数次数的降升：降幂公式与升幂公式. (5)式子结构的转化.(6)常值变换主要指“1”的变换：221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅tan sin 42ππ===等.（7）辅助角公式：()22sin cos sin a x b x a b x θ+=++(其中θ角所在的象限由a b 、的符号确定，θ的值由tan baθ=确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角θ为特殊角的情况即可. 如sin cos 2sin(),sin 3cos 2sin(),3sin cos 2sin()436x x x x x x x x x πππ±=±±=±±=±等.1. 【2017广东佛山二模】已知3tan 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.725 B. 925 C. 1625 D. 24252. 【2017安徽马鞍山二模】已知2cos sin αα=，则41+cos sin αα=（ ）12D. 23m3. 【2017河北唐山二模】已知α， β均为锐角，且sin22sin2αβ=，则（ ） A. ()()tan 3tan αβαβ+=- B. ()()tan 2tan αβαβ+=- C. ()()3tan tan αβαβ+=- D. ()()3tan 2tan αβαβ+=-4. 【2017安徽淮北二模】已知α满足1sin 3α=，则cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A.718 B. 2518 C. 718- D. 2518- 5. 【2017江西南昌十所重点二模】若θ是第二象限角且sin θ =1213，则tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=A. 177-B. 717-C. 177D. 7176. 【2017广东佛山二模】已知α，β为锐角，且1tan 7α=，()cos 5αβ+=，则cos2β=（ ）A.35 B. 23 C. 45D. 107. 【2017广西5月考前联考】若()()sin 603cos 90θθ+︒=︒-，则tan θ=__________．8. 【2017湖南娄底二模】已知点()3cos ,sin P θθ在直线l ： 31x y +=上，则sin2θ__________．9. 【天津市红桥区2017届高三二模】已知函数()226sin cos 2cos 1,4f x x x x x x R π⎛⎫=++-+∈ ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．10. 【陕西省黄陵中学2017届高三（重点班）考前模拟】已知函数()()2cos 2cos 1f x x x x x R =+-∈. （I ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（II ）若()006,,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,求0cos2x 的值. 11. 【2016届湖南省郴州市高三第四次教学质量检测】已知()20,,sin cos 324x x x πππ⎛⎫⎛⎫∈-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则tan x 等于 （ ）A ．12B ．2-C ．22D ．212. 【2016届海南省华侨中学高三考前模拟】2cos10sin 20sin 70-的值是（ ）A ．12B ．3C ．3D ．213. 【2016届安徽省淮北一中高三最后一卷】若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则sin 2α的值等于（ ） A ．45-B ．45C ．35-D ．3514.【2016届海南省海南中学高考模拟十】若()tan lg 10,tan lg a a αβ==，且4παβ-=，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．110 C ．1或 110D ．1或10 15. 【2016届山东省师大附中高三最后一模】已知函数()2sin 23sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调增区间； （Ⅱ）若()0002x x x f x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭为的一个零点，求0cos 2x 的值.【一年原创真预测】1. 过点1(,0)2-，且倾斜角为α的直线l 与圆22:(2)20E x y -+=相交于,A B 两点，若2π3AEB ∠=，则23sin cos 2αα+的值为 (A)195 (B)194 (C)94 (D)952. 若tan 2α=，则22cos 23sin 2sin ααα+-的值为（ ）A ．25 B ．25- C ．5 D ．3. 已知α为第二象限角，πsin()410α+=，则tan 2α的值为（ ） (A) 12-（B ）13（C ） 2 （D ） 3- 4. 已知a 为正整数，tan 1lg ,tan lg a a αβ=+=，且4αβπ=+，则当函数()()sin [0,]f x a θθθ=∈π取得最大值时，θ=___________．5. 已知π1sin()33x +=，则5ππsin()cos(2)33x x ---的值为_______.。
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第四章三角函数专题2三角恒等变换（理科）【三年高考精选】1. 【2018年理新课标I卷】2. 【2018年全国卷Ⅲ理】若，则A.B.C.D.3.【2018年理数全国卷II 】已知，，则__________．4.【2017课标1，理】5.【2017课标II，理】6．【2017课标3，理】7．【2016高考新课标1理数】8．【2016高考新课标2理数】若cos (−α)=，则sin 2α=A.B. C. − D. −9．【2016高考新课标3理数】若3tan4α=，则2cos2sin2αα+=（A）6425（B）4825（C）1 （D）1625【三年高考刨析】【2019年高考命题预测】从近年高考试题来看，三角函数恒等变形是高考必考题型，故预测2019年高考若单独命题出在选择或填空题中，以求值为主，也有可能和三角函数图像性质，解三角形结合出题，可能出一个大题．【2019年一轮复习指引】三角恒等变换是研究三角函数的图象与性质，解三角形的基础，在高考中单独命题的情况很少，大多数省份对于三角恒等变换的考查，是结合三角函数的图象与性质，解三角形进行命题，高考命题考查的重点是诱导公式公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式．故在2019年复习备考过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质.以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识. 在2019年复习备考过程中既要注重以下几点：1．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点： （1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角，如()ββαα-+=，()()()αβαβαβαβαα++=+-++=22，等； （3）注意倍角的相对性 （4）要时时注意角的范围（5）化简要求：熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等.2．证明三角等式的思路和方法.（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式.（2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等.3．解答三角高考题的策略.（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”.（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系.（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化.4．加强三角函数应用意识的训练由于考生对三角函数的概念认识肤浅，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系，造成思维障碍，思路受阻.实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法.5．变为主线、抓好训练变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律.针对高考中题目看，还要强化变角训练，经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强，这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目.[易错提示]三角函数求值中要特别注意角的范围，如根据21cos2sin2αα-=求sinα的值时，sinα=中的符号是根据角的范围确定的，即当α的范围使得sin0α≥时，取正号，反之取负号．注意在运用同角三角函数关系时也有类似问题．【2019年高考考点定位】高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系及和、差、倍、半、和积互化公式进行求值、变形，求参数的值,求值域，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系及和、差、倍、半、和积互化公式的应用等，在这类问题的求解中，常常使用的方法技巧是“平方法”，“齐次化切”等．考点一、利用诱导公式恒等变换典例1【贵州省贵阳市2018年适应性考试（二）】已知,且,则( )A ．B ．C ．D ．【备考知识梳理】诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二： sin(180)α+=sin α-； cos(180)α+=-cos α 诱导公式三： sin()sin αα-=-； cos()cos αα-= 诱导公式四：sin(180)sin αα-=； cos(180)cos αα-=-诱导公式五：sin(360)sin αα-=-； cos(360)cos αα-= 公式六：sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 公式七：sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭公式八：3sin cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 公式九：3sin cos 2παα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，3cos sin 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭诱导公式口诀：纵变横不变，符号看象限用诱导公式化简，一般先把角化成错误！未找到引用源。
的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是纵轴（即错误！未找到引用源。
轴）上的角，就是 “纵”，是横轴（即错误！未找到引用源。
轴）上的角，就是“横”；符号看象限是，把错误！未找到引用源。
看作是锐角，判断角错误！未找到引用源。
在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”，就加在前面）.用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间错误！未找到引用源。
的角，再变到区间错误！未找到引用源。
的角，再变到区间错误！未找到引用源。
的角计算. 【规律方法技巧】 1. 利用诱导公式求值：i.给角求值的原则和步骤：(1)原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.(2)步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为02π:之间角的三角函数，然后求值，其步骤为：ii.给值求值的原则:寻求所求角与已知角之间的联系，通过相加或相减建立联系，若出现2π的倍数，则通过诱导公式建立两者之间的联系,然后求解. 常见的互余与互补关系 (1)常见的互余关系有：3πα+与6πα-；3πα-与6πα+；4πα+与4πα-等.(2)常见的互补关系有：3πα+ 与23πα-;4πα+与34πα-等.遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题. 2. 利用诱导公式化简、证明i.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求(1)原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少.(2)要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.ii.证明三角恒等式的主要思路(1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.(2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子. (3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明.提醒：由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如()()cos 5cos cos παπαα-=-=-. 【考点针对训练】1. 【河南省南阳市第一中学2018届第二十次考试】若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2. 【河北省衡水金卷调研卷2018届模拟考试（五）】已知()3sin 32sin 2a a ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，则()()()sin 4sin 25sin 22cos 2a a a a ππππ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=++-（ ）A ．12 B ． 13 C ． 16D ． 16-【考点2】利用同角三角函数关系式恒等变换典例2【河北省衡水市2018届第六次模拟】已知，，则的值为( )A ．B ．C ．D ．【备考知识梳理】同角三角函数的基本关系式： （1）sin tan cos ααα=，（2）22sin cos 1αα+= ． 【规律方法技巧】1. 正、余弦三兄妹“sin cos x x ±、sin cos x x ⋅”的应用sin cos x x ±与sin cos x x ⋅通过平方关系联系到一起，即2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±，2(sin cos )1sin cos ,2x x x x +-=21(sin cos )sin cos .2x x x x --=因此在解题中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个.sin cos αα、的求值技巧：当已知sin 4πα⎛⎫± ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫± ⎪⎝⎭时，利用和、差角的三角函数公式展开后都含有sin cos x x +或sin cos αα-，这两个公式中的其中一个平方后即可求出2sin cos αα，根据同角三角函数的平方关系，即可求出另外一个，这两个联立即可求出sin cos αα、的值．或者把sin cos αα+、sin cos αα-与22sin cos αα+=1联立，通过解方程组的方法也可以求出sin cos αα、的值．2.如何利用“切弦互化”技巧（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式，这样减少了变量，统一为“切”得表达式，进行求值. 常见的结构有:① sin ,cos αα的二次齐次式（如22sin sin cos cos a b c αααα++）的问题常采用“1”代换法求解；②sin ,cos αα的齐次分式（如sin cos sin cos a b c d αααα++）的问题常采用分式的基本性质进行变形．（2）切化弦：利用公式tan α=sin cos αα，把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧.温馨提示：（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解.（2）利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“错误！未找到引用源。