一元一次不等式
第14讲 一元一次不等式
第14讲一元一次不等式知识导航1．一元一次不等式的相关概念及解法；2．含参数的一元一次不等式；3．一元一次不等式的实际应用；4．含绝对值的一元一次不等式．【板块一】一元一次不等式的相关概念及解法方法技巧1．一元一次不等式是指含一个未知数，未知数的次数是1的不等式，判断是否为一元一次不等式需要先化简再判断．2．解一元一次不等式，是根据不等式的性质逐步将不等式化为a＜a或x＞a的形式．题型一元一次不等式的定义【例1】若不等式3（x－1）＜mx2＋nx－3是关于x的一元一次不等式，求m，n满足的条件．【练1】（2017年春·启东市校级月考）下列不等式是一元一次不等式的是（）A．x2－9x≥x2＋7x－6 B．x＋1＝0 C．x＋y＞0 D．x2＋x＋9≥0题型二一元一次不等式的解法【例2】解不等式213132x x---≥1，并把它的解集表示在数轴上．【例3】若不等式325123x x--<+的最小整数解是方程2x－ax＝4的解，求a的值．【练3】解不等式222223x x-+>-，并写出它的非负整数解．题型四列不等式，求取值范围【例4】（2018·双桥区模拟）对于实数a，b，c表示运算：ab－c，如＝2×3－4＝6－4＝2．（1）列出算式并求值：（2）若的值大于1，请列出不等式，并解不等式；并判断（1）中①和②的值是不是此不等式的解．【练4】（2018春·蔡甸区期末）若代数式315x -的值不小于代数式156x-的值，则x 的取值范围是＿＿＿＿．针对练习1．下列各式：①－x ≥5；②y －3x ＜0；③x π＋5＜0；④x 2＋x ≠3；⑤3x ＋3≤3x ；⑥2(x ＋2)－x ＜x －5，其中是一元一次不等式的有＿＿＿＿＿＿．（填序号）2．若2(1)30m m x +->是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为＿＿＿＿． 3．不等式2（5x ＋3）＞x －3（1－2x ）的最小整数解为＿＿＿＿． 4．(2018春·蜀山区期末)不等式214323x x ---<的所有自然数解的和等于＿＿＿＿． 5．（2018春·宁都县期末）代数式12x －1的值小于313x -的值，则x 的取值范围是＿＿＿＿． 6．解不等式，并把解集在数轴上表示出来：（1）2（5x －3）≤4x －3(1－3x )； （2）1＋5x ＞522x --； （3）2 1.530.6 1.930.50.20.1x x x---->．7．(2018春·孟津县期中)若不等式5（x －2）＋8≤6(x －1)＋7的最小整数解是方程3x －ax ＝－3的解，求210a --的值．8．（2018春·九台区期末）对x ，y 定义一种新运算T ，规定：T （x ，y ）＝2ax byx y++(a ，b 均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝01201a bb⨯+⨯=⨯+．若(1,1)2,(2,1) 1.TT-=-⎧⎨=⎩（1）求a，b的值；（2）解关于m的不等式：T（2m，3－4m）≤8．【板块二】含参数的一元一次不等式方法技巧1．解决含参数的一元一次不等式，抓住两条主线，将参数当作数看待或将参数当作主元看待．2．注意讨论参数的取值范围．题型一解含参数的一元一次不等式【例1】解关于x的不等式ax－2a＜2（x－2）．【练1】解关于x的不等式ax＋3＜x＋b．．题型二已知不等式的解集，求参数的取值范围【例2】若不等式（2k＋1）x＜2k＋1的解集是x＞1，求k的取值范围．【练2】当a＝＿＿＿时，关于x的不等式（1－a）x＞a－5的解集是x＜2．题型三已知不等式的解集，化简后求参数的取值范围【例3】（2017秋·双清区校级月考）已知一元一次不等式mx－3＞2x＋m．（1）若它的解集是x＜32mm+-，求m的取值范围；（2）若它的解集是x＞34，试问：这样的m是否存在？如果存在，求出它的值；如果不存在，请说明理由．【练3】若关于x的不等式m（x＋2）＞2m－1的解集是x＜15，则关于x的不等式（m－1）x＞－1－m的解集是（）A．x＜23-B．x＞23-C．x＜23D．x＞23题型四已知不等式的整数解，求参数的取值范围【例4】（2018春·淮安区期末）已知不等式2x－m≤0至少有5个正整数解，求m的取值范围．题型五已知不等式的解集，求相关不等式的解集【例5】若关于x的不等式（2a－b）x＋3a－4b＜0的解集是x＞49，试求关于x的不等式（a－4b）x＋2a－3b＜0的解集．【练5】已知关于x的不等式（4a－3b）x＞2b－a的解集是x＜49，则ax＞b的解集为＿＿＿＿．针对练习21．（2018春·大田县期中）若不等式（a－3）x＜3－a的解集在数轴上表示如图所示，则a的取值范围是＿＿＿＿．2．已知不等式3x＋a≤0的正整数解为1、2、3，则a的取值范围是＿＿＿＿．3．（2017·大庆）若实数3是不等式2x－a－2＜0的一个解，则a可取的最小正整数为（）A．2 B．3 C．4 D．54．解关于X的不等式a(x－b)≤b(x－a)．5．(2018春·新野县期中)已知x＝3是关于x的不等式3x－22ax+＞23x的一个解，求a的取值范围．6．设不等式(m＋n)x＋(2m－3n)＜0的解集为x＜－13，求不等式(m－3n)x＋(n－2m)＞0的解．【板块三】实际问题与一元一次不等式(一)方法技巧1．常见的一些等量关系：①行程问题∶路程＝速度×时间；②工程问题:工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量；③利润问题∶商品利润＝商品售价－商品进价，利润率＝利润进价×100%；④增长率问题∶增长量＝原有量×增长率；⑤银行存贷款问题∶本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；⑥数字问题∶多位数的表示方法∶例如∶abcd＝a×103＋b×102＋c×10＋d．2．用不等式解决应用问题在设未知数时，表示不等关系的文字(如“至少”〉不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．题型一关系直接型【例1】蓝天运输公司要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的汽车可供调用．已知A型汽车每辆最多可装该物资20吨，B型汽车每辆最多可装该物资15吨．在每辆车不超载的条件下，要把这300吨物资一次性装运完．问∶在巳确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆？【练1】(2018春•秦都区期中)某小区为了绿化环境，计划购进甲、乙两种花卉共31株，甲种花卉每株20元，乙种花卉每株5元，若购买甲、乙两种花卉总费用不超过350元，问至少需要购买乙种花卉多少株？题型二阅读理解型【例2】(2018•上城区一模)为节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，水价分为三个阶梯，价格表如下表所示：(注：居民生活用水水价＝供水价格十污水处理费)(1)当居民月用水量在18立方米及以下时，水价是元/立方米．(2)4月份小明家用水量为20立方米，应付水费为：18×(1.90＋1.00)＋2×(2.85＋1.00)＝5.90(元)，预计6月份小明家的用水量将达到30立方米，请计算小明家6月份的水费．(3)为了节省开支，小明家决定每月用水的费用不超过家庭收人的1%，已知小明家的平均月收入为7530元，请你为小明家每月用水量提出建议．【练2】用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表∶现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200单位的维生素C，若所需甲种原料的质量为x kg，则x应满足的不等式为()A．600x＋100(10－x)≥4200B．8x＋4(100－x)≤4200C．600x＋100(10－x)≤4200D．8x＋4(100－x)≥4200针对练习31．(2018春⋅包河区期中)某商家出售某种商品，标价为360元，比进价高出80%，为了吸引顾客，又进行降价处理，若要使售后利润率不低于20%(利润率＝-售价进价进价×100%)，则最多可降价( )A．80元B．160元C．100元D．120元2．(2018春⋅南江县期末)南江县出租车收费标准为:起步价3元(即行驶距离小于或等于3千米时都需要付费3元)，超过3千米以后每千米加收1.5元(不足1千米按1千米计)．在南江县，冉丽一次乘出租车出行时付费9元，那么冉丽所乘路程最多是()千米．A．6B．7C．8D．93．(2018春⋅黄岛区期末)三个连续自然数的和小于15，这样的自然数组共有( )A．6组B．5组C．4组D．3组4．(2018春⋅道里区期末)去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365天)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加天．5．(2018春⋅磴口县期末)蔬菜经营户老王，近两天经营的是青菜和西兰花．(1)昨天的青菜和西兰花的进价和售价如下表，老王用600元批发青菜和西兰花共200斤，老王昨天青菜和西兰花各进了多少斤？斤，但在运输中青菜损坏了10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，青菜每斤售价至少为多少元？6．下面是工厂各部门提供的信息：人事部：明年生产工人不多于800人，每人每年工时按2400工时计算；市场部∶预测明年的产品销售是10000〜12000件；技术部∶该产品平均每件需用120工时，每件需要装4个某种主要部件；供应部∶今年年终库存某种主要部件6000个，明年可采购到这些部件60000个．请判定：①工厂明年的生产量至多应为多少件?②为了减少积压，至多可裁减多少工人用于开发其他新产品？【板块四】实际问题与一元一次不等式(二)题型一与方程(组)结合【例1】(2018⋅赤峰)小明同学三次到某超市购买益A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：解答下列问题：(1)第次购买有折扣；(2)求A、B两种商品的原价；(3)若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；(4)小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在(3)中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件．针对练习31．(2018春•包河区期中)某商家出售某种商品，标价为360元，比进价高出80%，为了吸引顾客，又进行降价处理，若要使售后利润率不低于20%(利润率＝-售价进价进价×100%)，则最多可降价( )A．80元B．160元C．100元D．120元2．(2018春•南江县期末)南江县出租车收费标准为∶起步价3元(即行驶距离小于或等于3千米时都需要付费3元，超过3千米以后每千米加收1.5元(不足1千米按1千米计〉．在南江县，冉丽一次乘出租车出行时付费9元，那么冉丽所乘路程最多是( )千米．A．6B．7C．8D．93．(2018春•黄岛区期末)三个连续自然数的和小于15，这样的自然数组共有( )A．6组B．5组C．4组D．3组4．（2018春•道里区期末)去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数（365天)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加天．5．（2018春•磴口县期末)蔬菜经营户老王，近两天经营的是青菜和西兰花．(1)昨天的青菜和西兰花的进价和售价如下表，老王用600元批发青菜和西兰花共200斤，老王昨天青菜和西兰斤，但在运输中青菜损坏了10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，青菜每斤售价至少为多少元？6．下面是工厂各部门提供的信息：人事部：明年生产工人不多于800人，每人每年工时按2400工时计算；市场部：预测明年的产品销售是10000〜12000件；技术部：该产品平均每件需用120工时，每件需要装4个某种主要部件；供应部：今年年终库存某种主要部件6000个，明年可采购到这些部件60000个.请判定：①工厂明年的生产量至多应为多少件？②为了减少积压，至多可裁减多少工人用于开发其他新产品？【板块四】实际问题与一元一次不等式(二)题型一与方程(组)结合【例1】(2018 赤峰)小明同学三次到某超市购买益A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：解答下列问题：(1)第次购买有折扣；(2)求A、B两种商品的原价；(3)若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；(4)小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在(3)中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件．【练2】(2018•太原三模)2018年4月22日是第49个世界地球日，今年的主题为“珍惜自然资源呵护美丽国土——讲好我们的地球故事”.在地球日活动周中，同学们开展了丰富多彩的学习活动，某小组搜集到的数据显示，山西省总面积为15.66万平方公里，其中土石山区面积约5.59万平方公里，其余部分为丘陵与平原，丘陵面积比平原面积的2倍还多0.8万平方公里．(1)求山西省的丘陵面积与平原面积；(2)活动周期间，两位家长计划带领若干学生去参观山西地质博物馆，他们联系了两家旅行社，报价均为每人30元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：家长免费，学生都按九折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费．若只考虑收费，这两位家长应该选择哪家旅行社更合算？针对练习41．(2018•山西)2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8︰11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为cm．2．(2018春•洪山区期末)已知购买60件八商品和30件B商品共需1080元；购买50件A商品和20件B商品共需880元．若某商店需购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，且商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，则购买A商品的件数最多为件．根据以上信息解答下列问题(1)求A、B两种商品的单价；(2)若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．4．响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的1倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1200元/台、1600元/台、2000元/台．(1)至少购进乙种电冰箱多少台？(2)若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？【练1】(2018•昆明)水是人类生命之源．为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策．若居民每户每月用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费(现行居民生活用水水价＝基本水价＋污水处理费)；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方米在基本水价基础上加价100%，每立方米污水处理费不变．甲用户4月份用水8立方米，缴水费27.6元；乙用户4月份用水12立方米，缴水费46.3元．(注：污水处理的立方数＝实际生活用水的立方数)(1)求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？(2)如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水多少立方米？题型二方案选择型型两种客车，它们的载客量和租金如下表：A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地参加社会实践活动，设租用A 型客车x辆，根据要求回答下列问题：(1)用含工的式子填写下表：(3)在(2)的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．【板块五】绝对值不等式方法技巧1．①关于x的不等式|x|＜a(a＞0)的解为：－a＜x＜a；②关于x的不等式|x|＞a(a＞0)的解为：a＞x或者x ＜－a．2．含绝对值的不等式可利用数形结合法与分类讨论法解决问题．题型一解含一个绝对值的不等式【例1】阅读求绝对值不等式子|x |＜3解集的过程：因为|x |＜3，从如图所示的数轴上看：大于－3而小于3的数的绝对值是小于3的，所以|x |＜3的解集是－3＜x ＜3．解答下面的问题：(1)不等式|x |＜a (a ＞0)的解为 ．(2)求|x －5|＜3的解集实质上是求不等式组 的解集，所以|x －5|＜3的解集是 ．【练1】解下列含绝对值的不等式:(1) |x |≤5(2) |2x －1|＜3(1) 213x ≥4题型二 解含多个绝对值的不等式【例2】解不等式：|x －1|＋|x ＋2|＝5．由绝对值的几何意叉知,核方程表示求在数紬上与1和－2的距离之和为5的点对应的x 的值．在数轴上，1和－2的距高为3，满足方程的x 对应点在1的右边或－2的左边．若x 对应点在1的右边，由可以看出x ＝2；同理,若x 对应点在－2的左边,可得x ＝－3,故原方程的解是x ＝2或x ＝－3．参考阅读材料，解答下列向题：(1)方程|x ＋3|＝4的解カ ．(2)解不等式|x －3|＋|x ＋4|≥9；(3)若|x －3|－|x ＋4|≤a 对任意的x 都成立，求a 的取值范围．0 1 -3 -2 -1 23 0-2 -1【练2】解不等式|x－5|－|x＋2|＜1．针对练习5 1．解下列含绝对值的不等式：(1) |2x＋5|＞7(2) |x＋2|＜3x＋14(1) 31314x--＜22．解下列含绝对值的不等式：|x－1|＋|x＋2|＞5．3．解下列含绝对值的不等式：|x|≥|x－3|．4．已知x＜－1，化简|3x＋1|－|1－3x|．5．已知5(x＋1)－3x＞2(2x＋3)＋4，化简|2x－1|－|1＋2x|．。
一元一次不等式解法步骤
一元一次不等式解法步骤一元一次不等式是数学中常见的一种不等式类型，解决一元一次不等式可以帮助我们找到满足不等式条件的变量取值范围。
下面将介绍一元一次不等式的解法步骤。
1. 理解一元一次不等式的基本形式一元一次不等式的基本形式为ax + b > c（或ax + b < c），其中a、b、c是已知实数，x是未知数。
不等式中的符号可以是大于号（>）或小于号（<），表示不等式的方向。
2. 移项化简首先将不等式中的常数项移至一边，即将b移到不等式的另一边。
这样可以使得不等式的右边为0，简化后续计算。
3. 解一元一次方程将一元一次不等式中的等号去掉，得到对应的一元一次方程。
然后解这个方程，找到方程的根。
这个根将不等式分割成两个区间，分别是满足不等式和不满足不等式的区间。
4. 判断不等号方向根据一元一次不等式的不等号方向，判断满足不等式的区间。
如果不等号是大于号（>），则满足不等式的区间在方程的根的右侧；如果不等号是小于号（<），则满足不等式的区间在方程的根的左侧。
5. 表示解集将满足不等式的区间以符号形式表示出来。
如果不等号是大于号（>），则解集可以表示为x > 根；如果不等号是小于号（<），则解集可以表示为x < 根。
6. 检验解集将解集代入原始的一元一次不等式中，检验解集的准确性。
如果解集中的数值满足原始不等式，那么解集是正确的；如果不满足原始不等式，则需要重新检查解集的求解过程。
通过以上的步骤，我们可以解决一元一次不等式，并得到满足不等式条件的变量取值范围。
在实际应用中，一元一次不等式可以用于解决各种问题，例如线性规划、优化等。
因此，掌握一元一次不等式的解法步骤对于数学学习和实际问题求解都是非常重要的。
一元一次不等式的解法-PPT课件全篇
1 2x 3
x
1.
去分母，得 1+2x>3(x+1).
去括号，得 1+2x>3x+3.
移项，合并同类项，得 －x>2.
将未知数系数化为1，得 x<－2.Leabharlann 即当x<－2时，代数式
1
2x 3
的值比x+1的值大.
知识要点
一元一次不等式的解法
归纳：解一元一次不等式的易错点 1.不等式的两边同乘(或除以)一个负数时，忘记改变不等号的方向； 2.在数轴上表示不等式的解集时，空心圆圈和实心圆圈的意义弄混； 3.移项不变号； 4.去分母时漏乘不含分母的项. 5.忽视分数线的括号作用. 6.去括号时，括号前是减号的括号里各项注意要改变符号.
3
知识要点
1.解下列不等式：
(1) －5x ≤ 10 ；
(2)4x －3 < 10x + 7 .
解：(1)x ≥ －2.
(2)x
>
5 3
.
知识要点
(3) x351 23 x ；
(4)2－5x < 8－6x . 解： (3)x ≥ 4 .
7 (4)x < 6.
知识要点
2.不等式 1 (x m) 2 m 的解集为x>2，则m的值为( B )
一元一次不等式
相同点： (1)去分母，(2)去括号，(3)移 项，(4)合并同类项，(5)系数 化为1
不同点： 在上面的步骤(1)和(5)中，如 果乘数或除数是负数时，要
把不等号改变方向.
知识要点
一元一次不等式的解法
例1
当x在什么范围内取值时，代数式
1 2x 3
一元一次不等式(公开课优秀课件)
实际应用中的一元一次不等式
一元一次不等式在实际生活中 有着广泛的应用，如购物、投 资、工程等领域的决策问题。
解决实际应用中的一元一次不 等式需要将问题转化为数学模 型，然后运用代数法和图像法 求解。
解决实际应用中的一元一次不 等式需要注意问题的实际情况 和限制条件，以及解的可行性 和最优性。
一元一次不等式(公开课优秀课件)
目 录
• 一元一次不等式的定义与性质 • 一元一次不等式的解法 • 一元一次不等式的应用 • 一元一次不等式的扩展
01 一元一次不等式的定义与 性质
一元一次不等式的定义
总结词
一元一次不等式是数学中一种简单的不等式，它只含有一个变量，且变量的指 数为1。
详细描述
一元一次不等式的一般形式为 ax + b > c 或 ax + b < c，其中 a、b、c 是常 数，a ≠ 0。这个不等式表示一个线性函数在某个区间内大于或小于另一个值。
在人口发展过程中，如何预测未来人 口数量，可以通过一元一次不等式来 建立数学模型。
交通流量问题
在道路交通中，如何合理规划红绿灯 时间，ห้องสมุดไป่ตู้保证交通流畅，可以通过一 元一次不等式来求解。
一元一次不等式与其他数学知识的结合
一元一次不等式与函数
一元一次不等式可以看作是函数的值大于或小于某个常数的情况， 因此可以结合函数的性质进行求解。
代数法解一元一次不等式的步骤 包括：去分母、去括号、移项、
合并同类项、化系数为1等。
代数法解一元一次不等式需要注 意不等式的性质，如不等式的可 加性、可乘性、可除性和同向不
一元一次不等式课件(共21张PPT)
随堂演练
基础巩固
1. 若代数式 2x 3 的值是非负数，则x的
7
取值范围是（ B ）
3
A.x≥ 2
C.x＞
3 2
B.x≥ 3
2
D.x＞ 3
2
2.如图所示，图中阴影部分表示x的取值范 围，则下列表示中正确的是（ B ）
A.-3＞x＞2 C.-3≤x≤2
B.-3＜x≤2 D.-3＜x＜2
3.当x或y满足什么条件时，下列关系成立？
系数化为1得：x≥8.
08
（2） 2 x ≥ 2x 1
2
3
解：去分母得：3（2+x）≥2（2x-1）；
去括号得：6+3x≥4x-2； 移项得：3x-4x ≥ -2-6； 合并同类项得：-x ≥ -8；
将解集用数轴表 示，则如下图：
系数化为1得：x≤8.
0
8
小 结 解一元一次不等式的一般步骤
01
（3）未知数的次数都是1.
含有一个未知数，未知数次数是1的 不等式，叫做一元一次不等式．
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）2（1+x）＜3； （2） 2 x ≥ 2x 1
2
3
解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）2（1+x）＜3；
解：去括号得：2+2x＜3； 将解集用数轴表
移项得：2x＜3-2；
03
05
通过解这两个不等式，
去 分 母
你02能归纳出移解一元0一4 次 不等式的一项般步骤吗？
系数 化为
去
合并
1
括
同类
号
项
练 习 1.解下列不等式和方程（不等式
的解集要在数轴上表示出来）
一元一次不等式-图
一元一次不等式图像的基本概念
定义
一元一次不等式图像是指将一元 一次不等式表示的数学关系转换 为图形表示，通过图形直观地展 示不等式的解集。
特点
一元一次不等式图像具有直观、 简洁、易于理解的特点，能够清 晰地表达不等式的解集和取值范 围。
一元一次不等式图像的绘制方法
确定不等式的解集
根据一元一次不等式的解 法，确定不等式的解集， 即不等式成立的x的取值范 围。
总结词
一元一次不等式的解集是指满足该不等式的未知数的取值范围。
详细描述
解集是满足一元一次不等式条件的未知数的取值范围。解集可以通过移项、合 并同类项、化简等步骤求得。解集通常表示为区间或集合的形式。
02
一元一次不等式的解法
代数法解一元一次不等式
01
02
03
04
移项
将不等式两边的项进行移位， 使不等式只包含一个变量。
时间安排
在安排时间时，我们也会使用到一元一次不等式。例如，我们需要在一个小时内 完成一项任务，那么我们可以用一元一次不等式来表示这个时间范围。
数学建模中的一元一次不等式
线性规划
在解决线性规划问题时，我们需要使用 一元一次不等式来描述约束条件。例如 ，如果我们需要最大化一个目标函数， 同时满足一些约束条件，那么这些约束 条件可以用一元一次不等式来表示。
一元一次不等式-图
目录 CONTENT
• 一元一次不等式的概念 • 一元一次不等式的解法 • 一元一次不等式的图解法 • 一元一次不等式的实际应用
01
一元一次不等式的概念
一元一次不等式的定义
总结词
一元一次不等式是只含有一个变量， 且变量的指数为1的不等式。
详细描述
一元一次不等式方程
1
步骤一
将未知数移到方程的一边，使等号两侧的数字和未知数成为一个一元一次不等式。
2
步骤二
根据不等式符号确定解的范围，可以使用数轴或图像来表示。
3
步骤三
解读解所代表的意义，不等式中的正负号相反的项相 互消去，简化求解过程。
数轴表示
利用数轴表示解的范围，可视化 解的位置和数量。
实际应用
分数分式的应用广泛，如人均消 费、比例关系等。
利用图像解一元一次不等式方程
图像可以直观地展示一元一次不等式方程的解的范围和位置。通过绘制直线或曲线，可以更清楚地理解和解释 解的含义。
常见的一元一次不等式方程类型
大于不等式
表示一个数大于另一个数，使 用大于符号（＞）表示。
小于不等式
表示一个数小于另一个数，使 用小于符号（＜）表示。
大于等于不等式
比较法
通过比较大小来确定解的范围， 特别适用于不等式中含有相同项 的情况。
同号不等式的解法
加法减法法则
对同号不等式的左右两侧同 时加减同一个数，可以保持 不等式的符号不变。
乘法法则
对同号不等式的左右两侧同 时乘除同一个正数，可以保 持不等式的符号不变。
特殊情况
同号不等式中含有零时，需 特别注意解的情况。
表示一个数大于或等于另一个 数，使用大于等于符号（≥）表 示。
括号的应用
括号在解一元一次不等式方程时起到分组的作用，影响不等式的计算顺序和 解的范围。通过掌握括号的应用，可以更灵活地解题。
分数分式的应用
基本概念
分数分式包含有分数的方程，可 以通过消去分母或通分的方法来 解。
注意事项
需要注意分数分式的定义域和解 的范围，避免进行无效计算。
一元一次不等式与一元二次不等式
一元一次不等式与一元二次不等式不等式是数学中非常重要的概念，它描述了数之间的大小关系。
在不等式中，一元一次不等式和一元二次不等式是我们常见的两种形式。
本文将详细介绍一元一次不等式和一元二次不等式的定义、性质以及解法。
一、一元一次不等式一元一次不等式是形如ax + b > 0 (a ≠ 0)或ax + b < 0 (a ≠ 0)的不等式，其中a、b分别为实数，x是未知数。
一元一次不等式的解法与一元一次方程非常相似。
我们可以通过移项、合并同类项等基本的等式运算，将不等式转化为等价的形式，从而求解出不等式的解集。
例如，我们考虑一元一次不等式2x + 3 > 5。
我们首先将3移项，得到2x > 5 - 3，即2x > 2。
接着，我们将不等式两边同时除以2，得到x > 1。
因此，不等式2x + 3 > 5的解集为x > 1。
在解一元一次不等式时，需要注意一元一次不等式的方向。
当系数a大于0时，不等式的方向与等号相同；当系数a小于0时，不等式的方向与等号相反。
二、一元二次不等式一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0 (a ≠ 0)或ax^2 + bx + c < 0 (a ≠ 0)的不等式，其中a、b、c分别为实数，x是未知数。
与一元一次不等式相比，一元二次不等式的解法稍微复杂一些。
一元二次不等式的解集可以通过求解对应的一元二次方程的解集来确定。
首先，我们可以将一元二次不等式转化为相应的一元二次方程。
对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以先求出对应的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的解集，然后再根据一元二次方程的解集确定不等式的解集。
例如，考虑一元二次不等式x^2 - x - 2 > 0。
首先，我们找到相应的一元二次方程x^2 - x - 2 = 0的解。
通过使用因式分解或配方法，我们可以求得(x - 2)(x + 1) = 0，得到方程的解为x = 2和x = -1。
一元一次不等式 完整版课件
4.如果不等式-a-x+6>4a+2正整数解为1,2,3，试求a 的取值范围。
3x2y p1 5、已知关于x的方程组 4x3y p1
的解满足x>y，求p的取值范围。
宾馆里有一座电梯的最大载量为1000千克 。两名宾馆服务员要用电梯把一批重物从 底层搬到顶层，这两名服务员的身体质量 分别为60千克和80千克，货物每箱的质量 为50千克，问他们每次最多只能搬运重物 多少箱？
小结 ：
①去分母； ②去括号；
③移项；
④合并同类项；
⑤两边都除以未知数 的系数.（考虑系数的 符号）
不等式基本性质3； 单项式乘以多项式法则 不等式基本性质2 合并同类项法则 不等式基本性质3
1.如果x=2是不等式（a-2）x<4a+2的一个解，试 求a的最 小整数值。
2.如果方程-a-x+6=4a+2的解为正数，试求a的取值 范围。
宾馆里有一座电梯的最大载量为1000千克 。两名宾馆服务员要用电梯把一批重物从底层 搬到顶层，这两名服务员的身体质量分别为60 千克和80千克，货物每箱的质量为50千克，问 他们每次最多只能搬运重物多少箱？
建议讨论以下问题： （1）选择哪一种数学模型？ 是列方程，还是列不等式？ （2）问题中有哪些相等的数 量关系和不等的数量关系？
解：设他们每次能搬运重 物x箱，根据题意得：
60+80+50x≤1000
解得 x≤17.2
答：他们每次最多能搬运 重物17箱。
• 用一元一次不等式可以刻画和解决很多实际生活中的有关数 量不等关系的问题，处理这类问题一般也可以按照问题解决 的四个基本步骤来帮助思考和求解.
一元一次不等式计算公式
一元一次不等式计算公式一元一次不等式可是咱们数学学习中的重要内容哦！咱们先来说说一元一次不等式是啥。
简单来讲，它就是只有一个未知数，并且这个未知数的最高次数是 1 的不等式。
比如说，3x - 5 > 10 ，这就是一个一元一次不等式。
那一元一次不等式的计算公式是咋来的呢？咱们就拿 2x + 3 > 7 来举例吧。
咱们得把含 x 的项放到一边，常数项放到另一边。
首先，把 3 移到右边去，就变成 2x > 7 - 3 ，也就是 2x > 4 。
然后两边同时除以 2 ，得到 x > 2 。
我还记得之前教过一个学生，这孩子叫小明，特别可爱。
一开始，他对一元一次不等式那是一头雾水，怎么都搞不明白。
我就一点点给他讲，每次他做错了，我都鼓励他别灰心。
有一次，他做了一道题，5x - 7 < 18 ，按照咱们刚才的步骤，先把 -7 移到右边，变成 5x < 18 +7 ，也就是 5x < 25 ，然后两边除以 5 ，得到 x < 5 。
小明做完后特别紧张地拿给我看，眼睛里满是期待和害怕。
我一看，做得完全正确！我狠狠表扬了他一番，从那以后，小明对一元一次不等式的学习热情那叫一个高涨！咱们再来说说解一元一次不等式的时候要注意的点。
首先，移项的时候要注意变号，就像刚才的例子，从左边移到右边，正的变成负的，负的变成正的。
还有，除以一个负数的时候，不等号要变方向哦。
比如说 -3x > 9 ，两边除以 -3 ，就得变成 x < -3 。
在实际生活中，一元一次不等式也有大用处呢！比如说，你去买糖果，每个糖果 2 元，你手里只有 20 块钱，那你能买到的糖果数量 x 就得满足2x ≤ 20 ，解出来x ≤ 10 ，也就是说你最多能买 10 个糖果。
总之，一元一次不等式计算公式不难，只要咱们多练习，多思考，肯定能掌握得牢牢的！就像小明同学一样，只要不放弃，总能学会！希望大家都能在数学的世界里畅游，轻松搞定一元一次不等式！。
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[文件] sxcbk0060.doc[科目] 数学[关键词] 一元一次不等式/教学建议/学法指要[标题] 一元一次不等式[内容]一元一次不等式一、教学建议【抛砖引玉】一元一次不等式及不等式成立等概念的引入，应通过生活中的实例自然引入，接着提出了不等式的基本性质，并运用它们将不等式进行变形，研究不等式的解，解集及其在数轴上的表示法，然后讲述一元一次不等式的解法。
在讲授其解法时，采取与解一元一次方程相类似的步骤，把不等式的逐步变形，求得一元一次不等式的解集。
这些变形的依据是不等式的三条基本性质和移项法则进行必要强调，对不等式与等式的性质，以及一元一次不等式与一元一次方程的解法步骤和解的情况，列表进行对比，应当注意的是，在进行对比时，既要说有它们的相同点，更要指出它们的不同点，揭示各自的特殊性，才有助于学生了解不等式的有关知识，同时避免与方程的有关知识混淆。
总之，在教学中，把一元一次不等式的解法作为教学中的重中之重，精讲多练，狠抓素质训练。
【指点迷津】本单元的难点是了解不等式的解集以及运用不等式基本性质3。
由于一元一次方程和一元一次不等式相同点较多，学习时容易忽视它们的不同点。
因而在解不等式时，当不等式两边都乘以或除以一个负数时，常常忘记改变不等号的方向。
这点务必要引以为戒，防患未然。
对于求出不等式的解集，也往往不能真正了解它的含义。
另外，对不等式的解集在数轴上的表示方法也应慎重，如x＞8及x≥8在数轴上的表示方法则不同。
对于求不等式整数解问题也应掌握。
二、学海导航【思维基础】1. 不等式。
2.不等式有下面三条基本性质：不等式基本性质1 ；不等式基本性质2 ；不等式基本性质3。
3. ，组成这个不等式的解集合，简称这个不等式的解集。
4. 叫做解不等式。
5.只含有一个未知数，并且未知数的次数是，系数不等于，我们把叫做一元一次不等式。
6.一元一次不等式的标准形式。
7.解一元一次不等式一般步骤是：1），2），3），4），5）。
在上面的步骤（1）和步骤（5）中，如果乘数或除数是负数，要把不等号改变方向。
8.一元一次方程只有一个解。
一元一次不等式的解集含有。
9.不等式的解集x＞a与x≥a(x＜a与x≤a)的区别在于后者表示a也是。
在数轴上表示这两个解集时，用空心圆圈与。
【学法指要】例1.解不等式：x＋318()x+＞1－x-52思考：1.不等式的基本性质3你知道吗？2.解一元一次不等式通常有哪几个步骤？3.在去分母时，通常应注意哪两点？思路分析：对本例，首先应去分母，化成标准形式求解。
解：去分母，得8x＋3(x＋1)＞8－4(x－5)去括号，得8x＋3x＋3＞8－4x＋20移项，得8x＋3x＋4x＞8＋20－3合并同类项，得15x＞25系数化为1，得x＞5 3在解不等式的过程中，去分母时，不能漏乘每一项，并且要注意添括号，在去括号及移项的过程中，要注意符号的变化，尤其系数化为1时，对于系数为负数时，一定要注意不等号方向的变化。
只要抓住这几点，解一元一次不等式便可掌握。
例2.方程组x＋y=3a＋1x－y=5a－1的解满足不等式3x＋4y＞1求a的取值范围。
思考：1.解二无一次方程组通常有哪些方法？2.一元一次不等式的解是什么？思路分析：本例应解二元一次方程组，求其解后，再代入不等式，即可求a的取值范围。
x＋y=3a＋1 ①解x－y=5a－1 ②①＋②⇒x=4a①－②⇒y=1－a∴x=4ay=1－a为原方程组的解，而它又满足不等式3x＋4y＞1，于是有 3×4a＋4(1－a)＞112a＋4－4a＞18a＞－3a＞－3 8例3.求不等式4512x-＜1的正整数解。
思考：1.自然数是正整数吗？2.怎样求不等式的正整数解呢？思路分析：对于求不等式的正整数解，应先不考虑这一限制条件，按解一元一次不等式的方法求解后，再研究限制条件，便可达到目的。
解：去分母，得4x－5＜12移项，合并，得4x＜17系数化为1， 得x ＜174∵求原不等式正整数解。
∴x =1、2、3、4为原不等式正整解。
例4.当x 为何值时，代数式213x +－1的值不小于354+x 的值？ 思考：1.“不小于”怎样用数学符号表示？“不大于”呢？2.解此类问题首先应干什么？ 思路分析：解决此类问题首先应理解“不小于”的意思，进而再列出不等式，按照解一元一次不等式方法求解。
解：依题意，得 213x +－1≥354+x ∴4(2x ＋1)－12≥3(3＋5x )8x －15x ≥9＋12－4－7x ≥17∴x ≤－177所以，当x ≤－177时，代数式213x +－1的值不小于354+x 的值。
例5.工程队原计划6天内完成300土方工程，第一天完成60土方，现决定比原计划提前两天超额完成，问后几天每天平均至少要完成多少土方？思考：1.列一元一次方程解应用题有哪些步骤？2.如何依题意找相等关系？3.如何根据题意找不等关系来解决一元一次不等式应用题？思路分析：一元一次不等式应用题的解法与列一元一次方程解应用题基本相仿，关键是找出不等关系，列出不等式，即可求解。
解：设后几天每天平均完成x 土方，根据题意，得60＋(6－1－2)x ≥300解之得 x ≥80答：每天平均至少挖土80土方。
【思维体操】例1.解不等式：37(x －2)＋13＞4347-(x －2) 思考：1.加法的变换律与结合律你知道吗？在解一元一次不等式过程中能否用到？2.解一元一次不等式是否可突破常规解法？能否因题而异，采取整体思维的方法？ 思路分析：本例若视（x －2）为一个整体，采取整体思维的方法，可找到十分简捷的解法。
解：移项，得37(x －2)＋47(x －2)＞43－13合并同类项，得x －2＞1∴ x ＞3又思路分析：本例若采取先去括号，再分组结合，又可获得巧妙解法。
解：去括号，得376713x -+＞434787-+x移项，得(37＋47)x＞(43－13)＋(87＋67)∴x＞3以上两种思路，都打破了传统的常规解法桎梏，分别采取整体思维及灵活运用加法的结合律，减少了运算过程及难度，加快了运算速度。
可见，要善于观察，捕捉习题特点，灵活选取最佳解题方法，既可增长才智，又可提高数学素养。
例2.若a＞3，(1)比较a2和3a的大小；(2)比较ab和3b的大小。
思考：(1)比较两个数的大小通常采取哪些方法？(2)在比较两个数字大小时，对含有字母取值范围不清时，应分几种情况讨论？思路分析：(1)a＞3,解：两边同乘以a，得a2＞3a∴a2＞3a本例也可这样进行求解∵a＞3∴aaa233＞1∴a2＞3a.(2)思路分析：本例未有告诉b的取值范围，必须考虑b＞0，b=0，b＜0三种情况，进行分类比较，才能分别确定它们大小。
对于这类问题必须慎密思考，做到不重不漏。
解ab－3b=b(a－3)∵a＞3，∴a－3＞0i)若b＞0，则b(a－3)＞0，即ab＞3bii)若b=0，则b(a－3)=0，即ab=3biii)若b＜0，则b(a－3)＜0，即ab＜3b例3.解不等式：1－37(2x－1)≥12(1－2x)＋2x思考：(1)解一元一次不等式一定要一步一步按步就班进行吗？(2)对本例可视(2x－1)为一整体吗？如何变形？(3)本例如何求解最简便？思路分析：把2x－1视为一个整体，原不等式变形整理为：解：(2x－1)＋37(2x－1)－12(2x－1)≤0(1＋37－12)(2x－1)≤02x－1≤0x≤12本例求解过程中，突破传统解题模式，进行整体思维，大大简化了运算程序。
又逆用了乘法分配律，避免了通分，一举获胜，通过本例学习，启示我们在学习过程中，要敢于创新，敢于探索，便可创造奇迹，使自己的创新能力将会不断提高。
又思路分析：对本例视2x－1为整体，也可这样变形：解：－37(2x－1)≥12(1－2x)＋(2x－1)－37(2x－1)≥12(2x－1)∴2x －1≤0∴x ≤12例4.已知不等式5(x －2)＋8＜6(x －1)＋7的最小整数解为方程2x －ax =3的解。
求代数式4a －14a. 思考：1.如何求一元一次不等式的解集？它们的最小整数解又如何求呢？2.方程的解与解方程各指什么？3.对于综合题应如何求解？通常采取什么策略？思路分析：本例是一道不等式，方程，求代数式值交融一体的综合题，必须各个击破，一个问题一个问题的解决，便可攻破，这也是解综合题的常用方法。
解：5(x －2)＋8＜6(x －1)＋7∴5(x －1)＋3＜6(x －1)＋7∴－(x －1)＜4∴x －1＞－4∴x ＞－3∴此不等式的最小整数解为x =－2∵x =－2为方程2x －ax =3的解∴2·(－2)－a ·(－2)=3∴a =72时， 当4a －14a=4×72－1472=14－4=10 例5.含盐5%的盐水100克，至少加多少盐才能达到含盐15%以上（包括15%）？ 思考：1.溶质，溶剂，溶液之间关系如何？2.百分比浓度=()溶质 ×100% 思路分析：设至少加x 克盐，则有解：100×5%＋x ≥(100＋x )15%500＋100x ≥1500＋15x85x ≥1000x ≥111317 答：至少要加111317克盐。
三、智能显示【心中有数】对解不等式，不等式解集的概念应加深理解会在数轴上表示不等式的解集，对不等式的三条基本性质要熟练掌握。
并会用它们解一元一次不等式。
通过实例，适当选取灵活思维方法，进一步领会等与不等式对立的统一思想，以解决生活生产中的实际问题，以提高数学素质。
【智能显示】1.判断正误；正确的在括号里打“√”，错误打“×。
(1)如果－a＞－b，则a＞b（）(2)如果2a＞－2b，则a＞－b（）(3)如果ab＞ac，则b＞c（）(4)若x＞1x，则x＞1 （）(5)若a－6＞b－6，则a＞b（）(6)若3a＞3b，则a＜b（）(7)若a＞b，则a2＞b2（）(8)若a＞b，c＞d，则ac＞b d （）2.用“＜”或“＞”号填空：若)若a＞b，且c≠0，则(1) 2a a＋b(2) ac2bc2(3) c－a c－b(4) －a|c| －b|c| 3.解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：(1) 3x－2＜4x＋1(2) x－x2＋x+13≤1＋x+86(3) y y---32243＞0(4) x－35－534x-≥3204.一个两位数的个位数字比十位数字大2，已知这个两位数小于30，求此二位数。
【智能显示答案】1.(1) ×(2) √(3) ×(4) ×(5) √(6) ×(7) ×(8)×2.(1) ∵a＞b∴a＋a＞a＋b即2a＞a＋b(2) ∵a＞b, c≠0 ⇒c2＞0 ∴ac2＞bc2(3) ∵a＞b∴－a＜－b∴c－a＜c－b(4) ∵a＞b，又－|c|＜0 ∴－a|c|＜－b|c| 3.(1) 3x－2＜4x＋1∴3x－4x＜1＋2∴－x＜3∴x＞－3(2) x－x2＋x+13≤1＋x+866x－3x＋2(x＋1)≤6＋(x＋8) 6x－3x＋2x－x≤6＋8－24x ≤12∴ x ≤3(3) y y ---32243＞0 ∴3(y －3)－2(2y －4)＞03y －9－4y ＋8＞0－y ＞1y ＜－1(4) x －35－534x -≥320∴20x －12－5(5x －3)≥320x －12－25x ＋15≥320x －25x ≥3＋12－15－5x ≥0∴ x ≤0又解：535x -－534x -≥320－5320x -≥320∴ 5x －3≤3∴ x ≤0三解：x －35－5434x +≥320x －54x ≥320＋35－34－x 4≥0 ∴ x ≤04.解：设这个两位数个位数字为x ，十位数字为（x －2）。