高三艺术生周末练习题数学(文)
2021年高三艺术班数学午间小练129 Word版含答案
2021年高三艺术班数学午间小练129 Word 版含答案1．方程的解 . 2．若集合，则 ．3．已知变量满足约束条件 ,则的取值范围是 ． 4．在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于 ． 5．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是 .6．函数图像上的动点到直线的距离为，点到轴的距离为，则 ． 7．若、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则以下命题正确的是 ．①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，则．8．若函数，则当时，可化简为 ． 9．函数在（0，）内的单调增区间为 。
10．若ΔABC 的三个内角所对边的长分别为，向量，，若，则∠等于 。
11, 在中,分别是角的对边,且,则角的大小为12．椭圆上的点到它的两个焦点、的距离之比，且，则的最大值为 ． 13．关于函数和实数、的下列结论中正确的是 ．①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则.14. 如图，现在要在一块半径为1m ．圆心角为60°的扇形纸板AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在AB 弧上，点Q 在OA 上，点M,N 在OB 上， 设∠BOP ＝θ， 平行四边形MNPQ 的面积为S ．（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）求S 的最大值及相应θ的值．PABOQMN15.如图，斜三棱柱中，侧面底面ABC ，侧面是菱形，，E 、F 分别是、AB 的中点．求证： （1）EF ∥平面； （2）平面CEF ⊥平面ABC ．1. 答：2 .2. 答：3. 答：4. 答：40225. 答：6. 答：.7. 答：②8. 答：．9. 答： 10. 答：11. 答： 12. 答：. 13. 答：③ 14. 解：在△OPQ 中， OQ sin θ＝PQ sin(60º－θ)＝OPsin120º＝23，∴ OQ ＝23sin θ，PQ ＝23sin(60º－θ) ∴S MNPQ ＝2S △OPQ ＝OQ ·PQ ·sin120º＝23sin θ·sin(60º－θ)＝33cos(2θ－60º)－36 ∵0＜θ＜60º∴－60º＜2θ－60º＜60º∴12＜cos(2θ－60º)≤1∴0＜S ≤36∴θ＝30º时，S 的最大值为3615. 证明：（1）取BC 中点M ，连结FM ，．在△ABC 中，因为F ，M 分别为BA ，BC 的中点，所以FM AC ． ………………………………2分 因为E 为的中点，AC ，所以FM ． 从而四边形为平行四边形，所以． …………………………………………4分1又因为平面，平面，所以EF ∥平面． ………………………6分 （2） 在平面内，作，O 为垂足．因为∠，所以，从而O 为AC 的中点．……8分所以，因而． …………………10分 因为侧面⊥底面ABC ，交线为AC ，，所以底面ABC ．所以底面ABC ． …………………………………………12分又因为平面EFC ，所以平面CEF ⊥平面ABC ． …………………………………………14 32037 7D25 紥327572 6BB4 殴124169 5E69幩^-6LSGC34885 8845 衅33377 8261 艡1A。
高三艺术班数学午间小练113.docx
高三艺术班数学午间小练（113）直线与圆 姓名__________班级______1．直线ax ＋by ＋b －a ＝0与圆x 2＋y 2－x －3＝0的位置关系是___________________.2．(2010年秦州质检)已知直线y ＝3－x 与圆x 2＋y 2＝2相交于A 、B 两点，P 是优弧AB 上任意一点，则∠APB ＝____________.3．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，a 与b 的夹角为60°，直线x cos α＋y sin α＝0与圆(x ＋cos β)2＋(y ＋sin β)2＝12的位置关系是_______________. 4．过点A (11,2)作圆x 2＋y 2＋2x －4y －164＝0的弦，其中弦长为整数的共有______条．5．若集合A ＝{(x ，y )|y ＝1＋4－x 2}，B ＝{(x ，y )|y ＝k (x －2)＋4}．当集合A ∩B 有4个子集时，实数k 的取值范围是________________．6．(2009年高考全国卷Ⅱ)已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为________．7．(2010年宁波调研)已知圆C ：x 2＋y 2＋bx ＋ay －3＝0(a 、b 为正实数)上任意一点关于直线l ：x ＋y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则1a ＋3b的最小值为________． 8．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0相交于A 、B 两点，(1)求公共弦AB 所在的直线方程；(2)求圆心在直线y ＝－x 上，且经过A 、B 两点的圆的方程．答案1：直线方程化为a (x －1)＋b (y ＋1)＝0，过定点(1，－1)，代入圆的方程，左侧小于0，则定点在圆内，所以直线与圆总相交．答案：相交2.解析：弦心距长为62，半径为2，所以弦AB 所对的圆心角为π3，又因为同弦所对的圆周角是圆心角的一半，所以∠APB ＝π6. 答案：π63. 解析：cos60°＝cos α·cos β＋sin α·sin β＝cos(α－β)，d ＝|cos α·cos β＋sin α·sin β|cos 2α＋sin 2α＝|cos(α－β)|＝32>22＝r . 答案：相离4. 解析：方程化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝132，圆心为(－1,2)，到点A (11,2)的距离为12，最短弦长为10，最长弦长为26，所以所求直线条数为2＋2×(25－10)＝32(条)．答案：325. 解析：A ∩B 有4个子集，即A ∩B 有2个元素，∴半圆x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)与过P (2,4)点，斜率为k 的直线有两个交点，如图：A (－2,1)，k P A ＝34，过P 与半圆相切时，k ＝512，∴512<k ≤34.答案：512＜k ≤346. 解析：设圆心O 到AC 、BD 的距离分别为d 1、d 2，则d 12＋d 22＝OM 2＝3.四边形ABCD 的面积S ＝12|AB |·|CD |＝2(4－d 12)(4－d 22)≤8－(d 12＋d 22)＝5.答案：57. 解析：由题意，知圆心在直线上，所以－b 2＋(－a 2)＋2＝0， ∴a 4＋b 4＝1，则(1a ＋3b )(a 4＋b 4)＝1＋b 4a ＋3a 4b ≥1＋2 b 4a ·3a 4b ＝1＋32.8. 解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0⇒x －2y ＋4＝0. (2)由(1)得x ＝2y －4，代入x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0中得： y 2－2y ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，即A (－4,0)，B (0,2)， 又圆心在直线y ＝－x 上，设圆心为M (x ，－x )，则|MA |＝|MB |，解得M (－3,3)，∴⊙M ：(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.。
高三艺术班数学午间小练102.docx
高三艺术班数学午间小练（102）姓名___________班级_____________1．“1x >”是“2x x >”的 条件 。
（填：充分而不必要 ，或必要而不充分，或充分必要，或既不充分也不必要）2．已知样本9,10,11,,x y 的平均数是3．右边的程序框图（如图所示）任意输入的整数x 判断框内的条件是________________4．设集合{},0103|2≤--=x x x A 若A B A =Y ，则实数m 5．若锐角βα,满足1)(tan 31(++α6．函数x x x y --=237．复数数列{}n a 满足10a =，21n n a a -=+i （2n ≥，i 为虚数单位），则它的前2007项的和为_______________．8．F 是椭圆221925x y +=的焦点，椭圆上的点i M 与7i M -关于x 轴对称，则126||||...||M F M F M F +++＝_________.9．设向量与的夹角为θ，且)1,1(2),,(),3,3(-=-==a b y x b a ，则θcos = ；10．二次方程02)1(22=-+++a x a x ，有一根比1大，另一根比1-小，则a 的取值范围是 ；11．若函数)sin(3)(ϕω+=x x f 对任意的x 都有)3()3(x f x f -=+ππ，则)3(πf 等于 ；12、与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.13、对任意实数y x ,，定义运算cxy by ax y x ++=*，其中c b a ,,为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算．已知123*=，234*=，有一个非零实数m 使得对任意实数x ，都有x m x =*，则m ＝ ．数学基础小题冲刺训练参考答案小题训练（ 34 ）1．充分而不必要2.196 3.m=0? . 43≤m 5.3π6. ),1()31,(+∞--∞和7.–1003+2 i8. 30 . 9.10103 10、)0,1(- 11、3±，12、 22(2)(2)2x y -+-= 13、4。
2021年高三艺术班数学午间小练121含答案
高三艺术班数学午间小练（121）2021年高三艺术班数学午间小练121含答案1．双曲线的离心率为e，且e∈(1，2)则k的范围是________。
2．已知P是以F1、F2为焦点的双曲线上一点，PF1⊥PF2且tan∠PF1F2=，则此双曲线的离心率为_______________。
3．已知F1、F2是椭圆的焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围是。
4．已知一条曲线上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到轴的距离的差都是2,则这曲线的方程是_____________5．已知点F是椭圆的右焦点，点A（4，1）是椭圆内的一点，点P（x，y）（x≥0）是椭圆上的一个动点，则的最大值是．6．已知a、b、c分别是双曲线的实半轴、虚半轴和半焦距，若方程ax2+bx+c=0无实根，则此双曲线的离心率e的取值范围是___________7．若方程(9－m)x2+(m－4)y2=1表示椭圆，则实数m的取值范围是_________ 8．一双曲线与椭圆有共同焦点，并且与其中一个交点的纵坐标为4，则这个双曲线的方程为_____。
9．已知、是椭圆的左、右焦点， P为椭圆上一个点，且，则的斜率为____________．10．若椭圆的两准线之间的距离不大于长轴长的3倍，则它的离心率e的范围是。
11．求与椭圆有公共顶点，且离心率为的双曲线方程___________.1． k∈(—12，0) 2． 3． 4．或5． 5 6． 1<e<2+ 7． 4<m<9且m 8．9． 10． 11．，w*22001 55F1 嗱V;`>33525 82F5 苵22894 596E 奮21916 559C 喜32717 7FCD 翍32270 7E0E 縎28252 6E5C 湜?。
高三艺术班数学午间小练104.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高三艺术班数学午间小练（104）姓名___________班级_____________1、设全集U R =，集合{|0}M x x =>，{|1}N x x =≤，则MN =________. 2、函数24y x =-的值域是___________.3、已知命题2:,210p x R x ∀∈+>，则p ⌝是______________.4、计算：2(12)1i i+=-___________. 5、已知函数2sin ()x f x x =，则'()f x =________. 6、等差数列{}n a 中，若18153120a a a ++=，则9102a a -=________.7、函数3sin(2)([0,])6y x x ππ=+∈的减区间是__________.8、椭圆22143x y +=的右焦点到直线3y x =的距离是_________. 9、在ABC ∆中，边,,a b c 所对角分别为,,A B C ，且sin cos cos A B C a b c==，则A ∠=_____. 10、已知O 为坐标原点，(3,1),(0,5)OA OB =-=，且//AC OB ，BC AB ⊥，则点C 的坐标为_____________.11、在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60，则塔高为_______米.12、方程ln 620x x -+=的解为x ，则满足x x ≤的最大整数解是___________.13、已知n a n =，把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状： 1a2a 3a 4a5a 6a 7a 8a 9a……………………………………记(,)A m n 表示第m 行的第n 个数，则(10,12)A =___________.数学基础小题冲刺训练参考答案小题训练（ 35 ）1. R ；2、[0,2]； 3、2,210x R x ∃∈+≤； 4、7122i -+； 5.3cos 2sin x x xx -；6、24；7、2[,]63ππ； 8、 32； 9、90； 10、29(3,)4-；11、4003；12、3； 13、93；。
高三数学体艺学生周周练(05)(苏教)
高三体艺班数学周周练（05）1．已知M={y |y =x 2}，N={y |x 2＋y 2=2}，则M I N= ．2．若点P （αcos ，αsin ）在直线上x y 2-=上，则=+αα2cos 22sin 3.已知向量OA 和向量OC 对应的复数分别为i 43+和i -2，则向量AC 对应的复数 为 ．．4．已知函数22()1(,)f x x ax b b a b =-++-+∈∈R R ，对任意实数x 都有(1)(1)f x f x -=+ 成立，若当[1,1]x ∈-时，()0f x >恒成立，则b 的取值范围是 ． 5．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中是真命题的序号是 ． ①若βα//，α⊂l ,则β//l ； ②若βα//，α⊥l ,则β⊥l ；③若α//l ，α⊂m ,则m l //；④若βα⊥，l αβ=I ,α⊂m ,l m ⊥,则β⊥m . 6．某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 人． 7．若22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos += ． 8．函数sin()(,0,02)y x x ωϕωϕπ=+∈><R ≤的部 分图像如图所示，则=ω ，=ϕ ．9．已知奇函数)(x f 满足)()3(x f x f =+．如果]1,0[∈x 时，13)(-=xx f ，那么)36(log 31f = ．10．二次函数()y f x =的导函数()2f x x m '=+，且(0)f m =，则()0f x >在R 上恒成立时，m 的取值范围是 . 11．若函数432--=x x y 的定义域为[0,m ]，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是 12．已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+06y 3x 201y x 02y 2x ，则22y 1x ++)(的最小值为CD 13．已知,cos ),(sin ,2cos )x x x x ==a b ，函数2()||f x =⋅+a b b（1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）当62x ππ≤≤时，求函数)(x f 的值域．14．如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==. （1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ； （3）求:F ABCD F CBE V V --．。
2021年高三体艺生数学周练8
2021年高三体艺生数学周练8班级 姓名 学号则6.已知向量a ，b 满足｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，a 与b 的夹角为60°，向量c ＝2a ＋b ．则向 量c 的模为 ．7.在平面直角坐标系xOy 中，已知y =3x 是双曲线x 2a 2－y 2b 2=1（a >0,b >0）的一条渐近线方 程，则此双曲线的离心率为 ．8.已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，则下列四个命题：①若α∥β,则l ⊥m ； ②若α⊥β,则l ∥m ；③若l ∥m ,则α⊥β； ④若l ⊥m ,则α∥β.其中正确命题的序号是9.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线 x ＋y = 5下方的概率为 ．10.已知f (x )=3sin(2x －π6)，若存在α∈(0,π)，使f (α+x )= f (α-x )对一切实数 x 恒成立，则α= ．11.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数 a 的取值范围是 ．12.已知函数f (x )= |lg (x -1)| 若a≠b ,f (a )= f (b ) ,则a +2b 的取值范围是 ．16. (本题满分14分)如图,四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE的中点,G是AE,DF的交点.（1）求证:GH∥平面CDE；（2）求证:面ADEF⊥面ABCD.17.（本题满分14分）已知等差数列{a n}中，首项a1＝1，公差d为整数，且满足a1+3<a3,a2+5>a4，数列{b n}满足b n =1a n a n+1，其前n项和为S n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若S2为S1，S m (m∈N＊)的等比中项,求正整数m的值．(3)对任意正整数k,将等差数列{a n}中落入区间(2k,22k)内项的个数记为c k,求数列{c n}的前n项和T nAP A35225 8999 覙]33270 81F6 臶y32377 7E79 繹34778 87DA 蟚33354 824A 艊23978 5DAA 嶪~。
高三美术班数学练习题
高三美术班数学练习题解题思路：1. 题目分析和理解：在高三美术班中，学生们不仅需要注重艺术创作，还需要全面发展自己的各项能力。
作为数学学科的练习题，既能够提高学生的数学运算和逻辑思维能力，又能辅助美术创作中的数学运用。
因此，本文将通过一系列数学练习题来培养高三美术班学生的数学思维和运算能力。
2. 几何题：高三美术班学生应该有一定的几何基础，因此本部分的练习题主要涉及几何知识的运用。
如下题目可供练习：a) 计算正方形的面积和周长。
b) 给定一个长方形，计算其对角线的长度。
c) 求一条边长为10cm的正五边形的面积。
3. 代数题：代数的运算在数学中占据重要的位置，对于高三美术班学生而言也是必不可少的知识点。
以下是代数题的示例：a) 解方程：2x + 5 = 17b) 化简表达式：3x^2 + 2x - 5x^2 + 7x - 10c) 计算指数函数：f(x) = 2^x - 34. 概率与统计题：在美术创作中，学生们也需要对数据进行收集和分析。
因此，概率与统计的知识对他们也至关重要。
下面是可能涉及的题目：a) 计算概率：从一副52张的扑克牌中抽取一张红心的概率是多少？b) 统计学生的身高，并绘制身高分布的柱状图。
c) 分析某班级男女比例，并计算男女生人数的比值。
5. 实际应用题：美术班的学生在实际生活中也需要应用数学知识解决问题。
以下是一些实际应用题的案例：a) 一个矩形画框的面积为120平方米，其中长是宽的2倍，求长和宽分别是多少？b) 一幅横轴表示时间、纵轴表示温度的折线图，根据图表，分析哪个季节温度最高。
c) 求一个整数x，使得x + 3的平方等于25。
综上所述，通过这些高三美术班数学练习题的训练，学生们不仅能够提高数学思维和运算能力，还能够更好地应用数学知识于美术创作中。
希望学生们能够认真对待这些练习题，并持续提升自己的数学水平，为未来的艺术创作打下坚实的数学基础。
高三艺考数学章节练习题
高三艺考数学章节练习题在高三艺考中，数学是一个重要的科目，对于准备参加艺考的学生来说，掌握数学知识和解题技巧至关重要。
为了帮助同学们更好地备战艺考，下面将为大家提供一些高三艺考数学章节练习题，希望对大家有所帮助。
一、解方程题1. 解方程：2x - 5 = 3x + 12. 解方程组：2x + y = 103x - y = 2二、函数题1. 已知函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，求 f(2) 的值。
2. 函数 f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 6x - 5，求 f(-1) 的值。
三、数列题1. 已知等差数列 {an} 的前 5 项和为 55，公差为 3，求 a1 的值。
2. 求等差数列 {-3, 1, 5, ...} 的前 15 项和。
四、三角函数题1. 在直角三角形 ABC 中，已知∠A = 30°，AB = 4，求 BC 的长度。
2. 已知sinθ = 0.6，求tanθ 的值。
五、平面几何题1. 在平面直角坐标系中，点 A(2, 3) 和点 B(-1, 5) 是一个等边三角形的两个顶点，求第三个顶点的坐标。
2. 已知点 A(2, 1)、B(4, -3) 和 C(-1, 2) 是一个直角三角形的三个顶点，求三角形 ABC 的面积。
六、概率题1. 从一副扑克牌中随机抽取 5 张牌，求至少有两张红心的概率。
2. 从有编号 1、2、3、4、5 的五个盒子中各抽取一个号码，求抽到的号码互不相同的概率。
以上是一些高三艺考数学章节的练习题，希望同学们能够认真思考，积极练习，提高自己的数学水平。
艺考虽然不仅仅考察数学，但数学是一个可以提高整体综合能力的科目，通过解题的过程，可以培养我们的逻辑思维和分析能力。
希望同学们在备考过程中，能够注重数学的学习和实践，取得优异的成绩。
祝愿所有的同学都能够在高三艺术考试中取得令人满意的成绩！加油！。
高三艺体班 数学周测试题
高三艺体班 数学周测试题姓名：___________班级：___________一、单选题（每题5分）1．已知集合{}3A x x =∈≤N ，{}2230B x x x =--=，则A B =（ ）A ．{}3B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}0,1,2,3D ．{}1,32．复数z 满足(1i)2i z +=-，则||z =（ ）．A B C ．D3．如图是计算11113519++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（ ）A ．10iB ．10i ≤C ．10i >D ．10i <4．已知向量,a b 满足0a b ⋅=，2a b ==，则2a b -=（ ）A ．0B ．CD ．205．已知点(P 是角α终边上一点，则cos 6πα⎛⎫-⎪⎝⎭等于（ ）A B C ． D 6．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若23354,12a S a S +=+=，则47a S +=（ ） A ．20B ．24C ．28D ．327．一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积V =a =（ ）A B CD ．38．已知tan(α＋4π)＝2，则2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值为（ ）A ．－16B ．16C ．52D ．－569．一只昆虫在边长为6的等边三角形区域内随机爬行，则其到三角形任意一个顶点的距离不小于1的概率为（ ）A B C D 10．已知等比数列{}n a 满足11a =，417440a a a --=，则7a =（ ） A ．4B ．14C ．8D ．1811．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果sin sin sin A b cB C b a+=--，那么cos C 的值为（ ）A ．12B C ．23D 12．如图，在正方体ABCD A B C D ''''-中，线段B D ''上有两个动点E ，F ，若线段EF 长度为一定值，则下列结论中错误．．的是（ ）⊥A．AC BEB．BD⊥平面ABEEF平面ABCDC．//-的体积为定值D．三棱锥B AEF二、填空题（每题5分）B D上有两个动点,E F，且EF，则AC与BE所成角为___________. 13．如图正方体的棱长为1，线段1114．计算sin133cos13sin13cos133-的结果为___________.15．如图，位于A处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救.在A处南偏西30°且相距20海里的C处有一救援船，其速度为海里小时，则该船到求助处B的时间为______分钟.OP=，R为半圆上任意一点，以PR为16、如图半圆O的半径为1，P为直径MN延长线上一点，且2一边作等边三角形PQR，则四边形OPQR面积最大值为__________．三、解答题17．（12分）已知函数()()sin (>0>0||<2f x A x A πωϕωϕ=+，，）的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；再把所得函数图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象.求函数()g x 在[0,2]π上的单调递增区间.18．（12分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，2232S a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和.19．（12分）万众瞩目的第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行，为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，某学校举办了冬奥会知识竞赛，为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．作出样本分数的茎叶图，并按照[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]、、、、的分组作出频率分布直方图，由于扫描失误，导致部分数据丢失，可见部分如图所示．据此解答如下问题：（1）求出样本容量n ，并在频率分布直方图中将丢失的部分补充完整；（2）在抽取的学生中，规定：比赛成绩不低于70分为“良好”，比赛成绩低于70分为“非良好”请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有97.5%的把握认为“比赛成绩是否良好与性别有关”？参考公式及数据：2(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++ 2.70620．（10分）如图（1）在ABC 中，AC BC =，D ､E ､F 分别是AB ､AC ､BC 边的中点，现将ACD △沿CD 翻折，使得平面ACD ⊥平面BCD .如图（2）（1）求证：//AB 平面DEF ； （2）求证：BD AC ⊥.21．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，F 为1CC 的中点．（1）证明：//EF 平面1AC D ；（2）若2AD =，3AB =，14AA =，求点E 到平面1AC D 的距离．22．（12分）在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆的等边三角形，2AB =，O ，D 分别是AB ， PB 的中点.（1）求证://OD 平面PAC （2）求证:OP ⊥平面ABC （3）求三棱锥D OBC -的体积.参考答案姓名：___________班级：___________一、单选题1．已知集合{}3A x x =∈≤N ，{}2230B x x x =--=，则A B =（ ）A ．{}3B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}0,1,2,3D ．{}1,3【答案】B【详解】因为{}0,1,2,3A =，{}{}22301,3B x x x =--==-，所以{}1,0,1,2,3A B ⋃=-.2．复数z 满足(1i)2i z +=-，则||z =（ ）．A B ．2C ．D【答案】B 【详解】()()()()2121313111222i i i i z i i i i ----====-++-，所以z ==3．如图是计算11113519++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（ ）A ．10iB ．10i ≤C ．10i >D ．10i <【答案】C【详解】由于程序框图的功能是求11113519S =++++的值， 分母n 的初值为1，终值为19，步长为2， 故程序共执行10次，故循环变量i 的值不大于10时，应不满足条件，继续执行循环，大于10时，应满足条件，退出循环， 故判断框内应填的是i ＞10， 故选：C.4．已知向量,a b 满足0a b ⋅=，2a b ==，则2a b -=（ ）A ．0B ．CD ．20【答案】B【详解】2a b -=2244a a b b ==-⋅+==故选：B5．已知点(P 是角α终边上一点，则cos 6πα⎛⎫-⎪⎝⎭等于（ ）A ．36+ B ．36- C ．36+-D ．36【答案】A【详解】解析：由题意可得sin α，cos α，cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos 6πcos α+sin 6πsin α 12=.6．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若23354,12a S a S +=+=，则47a S +=（ ） A ．20 B ．24C ．28D ．32【答案】B【详解】设公差为d ，由23354,12a S a S +=+=两式作差可得，45528d a a a ++==，故54a =， 由232234a S a a +=+=得2a =1，故524115252a a d --===--，故725156a a d =+=+=， 所以()()()4735673572122624a S a d S a a a S a +=++++=++=+⨯=. 故选：B.7．一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积V =a =（ ）ABCD ．3【答案】B【详解】在长方体中还原该几何体如下，该几何体为三棱锥D ABC -，又该几何体的体积V =所以11163332ABCV S a a ==⋅=⨯⨯⨯⨯，解得a =故选：B.8．已知tan(α＋4π)＝2，则2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值为（ ）A ．－16B ．16C ．52D ．－56【答案】A【详解】tan α＝tan[(α＋4π)－4π]＝tan 141tan 4παπα⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝13，原式＝222sin cos cos 2cos αααα-＝tan α－12＝111326-=- 9．一只昆虫在边长为6的等边三角形区域内随机爬行，则其到三角形任意一个顶点的距离不小于1的概率为（ ）A．27B．54C．5427-D．5454- 【答案】D 【详解】如图，昆虫在边长为6的等边三角形区域内随机爬行，其到三角形任意一个顶点的距离不小于1对应的点的集合为阴影部分对应的区域，其面积为22161422ππ-⨯⨯=，5454π=， 故选：D ．10．已知等比数列{}n a 满足11a =，417440a a a --=，则7a =（ ） A ．4 B ．14C ．8D ．18【答案】A【详解】因为417440a a a --=，所以244440a a -+=，所以42a =，再由11a =得32q =，6714a a q ==.故选：A.11．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果sin sin sin A b cB C b a+=--，那么cos C 的值为（ ） A ．12B．2C ．23D【答案】A【详解】 ∵sin sin sin A b c B C b a +=--，由正弦定理可得a b cb c b a+=-- 即：()()()a b a b c b c -=+-整理得：222c a b ab =+- 对照余弦定理可得1cos 2C = 故选：A ．12．如图，在正方体ABCD A B C D ''''-中，线段B D ''上有两个动点E ，F ，若线段EF 长度为一定值，则下列结论中错误．．的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．BD ⊥平面ABEC ．//EF 平面ABCDD ．三棱锥B AEF -的体积为定值 【答案】B【详解】对A ，连接BD ，底面ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，又DD '⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，DD AC '∴⊥，BD DD D '⋂=，AC ∴⊥平面BB D D ''，BE ⊂平面BB D D ''，AC BE ∴⊥，故A正确，不符合题意； 对B ，若BD ⊥平面ABE ，AB ⊂平面ABE ，BD AB ∴⊥，但显然45ABD ∠=，所以BD ⊥平面ABE不成立，故B 错误，符合题意；对C ，正方体中，平面ABCD //平面A B C D ''''，EF ⊂平面A B C D ''''，//EF ∴平面ABCD ，故C 正确，不符合题意； 对D ，点A 到平面BEF 的距离也是点A 到平面BB D D ''的距离，等于AC 的一半，即三棱锥高为定值，而BEF 的边EF 为定值，高为BB '为定值，故体积为定值，故D 正确，不符合题意. 故选：B.二、填空题13．如图正方体的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且EF ，则AC 与BE 所成角为___________.【答案】90【详解】在正方体中，AC ⊥平面11BDD B ，因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥. 故答案为：9014．计算sin133cos13sin13cos133-的结果为___________.【详解】原式=sin(133°-13°)=sin120°=2. 15．如图，位于A 处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救.在A 处南偏西30°且相距20海里的C 处有一救援船，其速度为海里小时，则该船到求助处B 的时间为______分钟.【答案】24【详解】解：由题意知：20AC =，3090120A ∠=︒+︒=︒，40AB =， 则在ABC 中，利用余弦定理知：2222cos 120BC AC AB AC AB =+-⋅⋅∠，代入数据，得2140016002402028002BC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得：BC =则从C 到B 所用时间为t ，则25t h ==， 即2260min 24min 55t h ==⨯=. 故答案为：24.16、如图半圆O 的半径为1， P 为直径MN 延长线上一点，且2OP =， R 为半圆上任意一点，以PR 为一边作等边三角形PQR ，则四边形OPQR 面积最大值为__________．【答案】2+【解析】设POR α∠=，在POR 中，由余弦定理得： 2221221254PR cos cos αα=+-⨯⨯=- ， 所以四边形OPQR 的面积为：211215422POR PRQS SSOP ORsin PR sin cos ααα=+=⋅+=⨯⨯⨯+-）2434sin sin πααα=+=-+（） ， 0απ＜＜ ，∴当32ππα-=，即56πα=， 即56POR π∠=，时，四边形OPQR 面积取得最大值，最大为2+三、解答题17．已知函数()()sin (>0>0||<2f x A x A πωϕωϕ=+，，）的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；再把所得函数图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象.求函数()g x 在[0,2]π上的单调递增区间. 【详解】解：（1）由图可知2A =，52632T πππ=-=， 所以2T ππω==，所以2ω=.所以()2sin(2)f x x ϕ=+. 由22sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以22()32k k ππϕπ+=+∈Z ，所以2().6k k πϕπ=-∈Z因为||2ϕπ<， 所以6πϕ=-，所以 ()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）由题设可得，()2sin 6π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x .方法一：令,[0,2]6z x x ππ=+∈，则13,66z ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 因为13sin ,,66y z z ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的单调递增区间是313,,,6226ππππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 且由313,662266x x ππππππ++， 得40,2,33xx πππ 所以函数()g x 的单调递增区间是40,,,233πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦方法二：令22()262k x k k πππππ+-+∈Z解得222()33k x k k ππππ-+∈Z ，因为[]0,2x π∈，所以函数()g x 的单调递增区间是40,,,233πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦18．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，2232S a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和. 【详解】解：（1）设{}n a 的公比为q ，0q >2232S a a =+∴()12122a a a q a q +=+ ∴2q∴1222n n n a -=⋅=.（2）()1212nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设{}n b 的前n 项和为n T∴()()23111111135232122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①()()2311111113232122222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②①-②()23111111122221222222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111112211121122212n n n T n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+--⨯ ⎪⎝⎭-()1111112212222nn n T n +⎛⎫⎛⎫=+-⋅--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()11342122nnn T n ⎛⎫⎛⎫=-⋅--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()13232nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭.19．万众瞩目的第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行，为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，某学校举办了冬奥会知识竞赛，为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．作出样本分数的茎叶图，并按照[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]、、、、的分组作出频率分布直方图，由于扫描失误，导致部分数据丢失，可见部分如图所示．据此解答如下问题：（1）求出样本容量n ，并在频率分布直方图中将丢失的部分补充完整；（2）在抽取的学生中，规定：比赛成绩不低于70分为“良好”，比赛成绩低于70分为“非良好”请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有97.5%的把握认为“比赛成绩是否良好与性别有关”？参考公式及数据：2(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++ 2.706【详解】解：（1）由茎叶图知，分数在[50,60)的人数有6人，[80,90)的人数有4人， 由频率分布直方图得：分数在[50,60)的频率为0.012100.12⨯=， 故样本容量6500.12n ==， ∴分数在[90,100)的频率为400850.=， 0.080.00810=， 分数在[80,90)的频率为1(0.0120.0240.0400.080)100.16-+++⨯=， 0.160.01610=， 补全频率分布直方图如图所示：（2）比赛成绩不低于70分的频率为0.40.080.160.64P =++=， ∴良好的学生人数为0.645032⨯=人．故根据已知条件完成22⨯列联表：2250(5122013) 5.556 3.84125251832K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有97.5%的把握认为比赛成绩是否良好与性别有关.20．如图（1）在ABC 中，AC BC =，D ､E ､F 分别是AB ､AC ､BC 边的中点，现将ACD △沿CD 翻折，使得平面ACD ⊥平面BCD .如图（2）（1）求证：//AB 平面DEF ； （2）求证：BD AC ⊥.【详解】证明：（1）如图（2）：在ABC 中，E ､F 分别是AC ､BC 中点，得//EF AB ， 又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，//AB ∴平面DEF .（2）∵平面ACD ⊥平面BCD 且交线为CD ，BD CD ⊥，且BD ⊂平面BCD ， ∴BD ⊥平面ACD ，又AC ⊂平面ACD ∴BD AC ⊥.21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，F 为1CC 的中点．（1）证明：//EF 平面1AC D ；（2）若2AD =，3AB =，14AA =，求点E 到平面1AC D 的距离． 【详解】（1）证明：取1C D 的中点G ，连GF ，AG ，如图所示：∵G 为1C D 的中点，F 为1CC 的中点， ∴//GF CD 且2CD GF =，∵E 为AB 的中点，AB CD =，//AB CD ， ∴//AE GF 且AE GF = ∴四边行AEFG 为平行四边形，∴//AG EF ，又AG ⊂平面1AC D ，EF ⊄平面1AC D ， ∴//EF 平面1AC D .（2）由长方体1111ABCD A B C D -的性质可得：AD ⊥平面11CDD C ， ∵1C D ⊂平面11CDD C ，∴1AD C D ⊥， 在1Rt CC D 中，由3CD =，14CC =，可得15C D ===，在1Rt AC D 中，由2AD =，15C D =， 可得112552DAC S=⨯⨯=， 又1113422322C ADE V -=⨯⨯⨯⨯=设点E 到平面1AC D 的距离为d由11C ADE E AC D V V --=，有1523d ⨯⨯=，可得65d = 故点E 到平面1AC D 的距离为65．22．在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆的等边三角形，2AB =，O ，D 分别是AB ， PB 的中点.（1）求证://OD 平面PAC（2）求证:OP ⊥平面ABC（3）求三棱锥D OBC -的体积.【详解】(1)证明:O ，D 分别为AB ，PB 的中点 //OD PA ∴PA ⊂平面PAC ，OD ⊄平面PAC ，//OD ∴平面PAC .(2)证明: AC BC == 2AB =， AC BC ∴⊥ O 为AB 的中点，2AB =，OC AB ∴⊥，1OC =同理， PO AB ⊥，1PO =.2PC =2222PC OC PO ∴=+=，则90POC ︒∠=，即PO OC ⊥ PO OC ⊥，PO AB ⊥，AB OC O ⋂= OP ∴⊥平面ABC .(3)解:由()2可知，OP ⊥平面ABC . OP ∴为三棱锥P ABC -的高，且1OP = 11112111212212D OBC ABC V S OP -∆∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=。
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高三下学期周末练习（2014．3． 15 ）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至1 0页．满分150分。
考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A={4,5,7,9}，B={3,4,7,8,9}，全集U=A ∪B ，则集合)(B A C U ⋂中的元
素共有（ ）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
2 i 是虚数单位，复数
1i
i
+＝（ ） A ．1i - B ．1i + C ．1i -+ D ．i
3. 设平面向量||,//),,2(),2,1(b b a y b a
则若-==等于（ ）
A ．5
B ．52
C ．5
D ．20
4.下列有关命题的说法正确的是（ ）
A 命题“若x 2=1，则x =1”的否命题为：“若x 2=1，则x ≠1”.
B “x =-1”是“x 2-5x -6=0”的必要不充分条件.
C 命题“∀ x ∈R ，使得x 2+x +1＜0”的否定是：“ ∃x ∈R ，x 2+x +1＜0”.
D 命题“若x =y ，则sin x =sin y ”的逆否命题为真命题
5．已知等差数列{n a }中5,142==a a ，则{n a }的前5项和=5S ( ) A.7 B.15 C.20 D.25
6.若函数⎩
⎨⎧>≤+=1,lg 1,1)(2x x x x x f ，则f(f(10))=（ ）
A.lg101
B.2
C.1
D.0
7. 如果执行如图所示的程序框图，输入x=4.5，则输出的i 的值为（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
8.为了得到函数)5sin(π-=x y 的图像，只要把函数)5
sin(π
+=x y 的图象上所有
的点（ ）
A.向右平移5π
个单位长度 B.向左平移5π个单位长度
C.向右平移52π个单位长度
D.向左平移52π
个单位长度
9．函数x x y =的图象经描点确定后的形状大致是（ ）
10．设4)(-+=x e x f x ，则函数f(x)的零点位于区间（ ） A.(-1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3)
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将答案填在题中横线上.
11.,45,ABC a b B A ∆==∠=︒∠=中则 .
12.若在区域24000x y x y +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2+y 2=1内的概率
为 .
13．一个高为2的圆柱，底面周长为π2，该圆柱的表面积为___________
14. 已知实数m 是2,8的等比中项,则双曲线2
2
1y x m
-=的离心率为____________
15. 设A 、B 为直线y=x 与圆122=+y x 的两个交点，则AB =________
高三下学期周末练习（2014．3． 15 ）
二、填空题答案：
11 12
13 14
15.______________
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知函数12cos 2
1
cos sin 3)(--=x x x x f ．(Ⅰ) 求函数)(x f 的最
小值和最小正周期；（Ⅱ）已知ABC ∆内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==，若向量 (1,sin )m A =与(2,sin )
n B =共线，求a b 、的值．
18.（12分）某学校举行“科普与环保知识竞赛”，并从中抽取了部分学生的成绩（均为整数），所得数据的分布直方图如图.已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第4小组与第5小组的频率分别是0.175和0.075，第2小组的频数为10.
（Ⅰ）求所抽取学生的总人数，并估计这次竞赛的优秀率（分数大于80分）；
（Ⅱ）从成绩落在（50.5,60.5）和（90.5,100.5）的学生中任选两人，求他们的成绩在同一组的概率.
19. （12分）已知等差数列{n a }中，3,141-==a a （1）求数列{n a }的通项公式（2）若数列{n a }的前k 项和=k S -14，求k 的值
20.(12分)一个简单多面体的直观图和三视图如图所示，它的正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，俯视图为正方形，E是PD的中点.
（Ⅰ）求证：PB∥平面ACE；
（Ⅱ）求证：PC⊥BD；
（Ⅲ）求三棱锥C-PAB的体积. 21.（13分）设1
)
(2
3+
+
+
=bx
ax
x
x
f的导数)
(x
f'满足b
f
a
f-
=
'
=
')2(
,
2
)1(，其中R
b
a∈
,（1）求曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程（2）求函数f(x)的单调区间
22.（14分）已知椭圆)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
的离心率为
2
2
，短轴的一个端点为M（0,1），
直线
3
1
:-
=kx
y
l与椭圆相交于不同的两点A,B（1）求椭圆的标准方程（2）若9
26
4
=
AB,求k的值。