七年级数学等腰三角形华东师大版知识精讲

七年级数学等腰三角形华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：等腰三角形二. 知识内容：1. 学习目标：（1）了解等腰三角形的概念，探索并掌握等腰三角形的特征。

（2）掌握一个三角形是等腰三角形的条件，掌握等边三角形的特征及识别方法。

（3）能够利用上述结论进行分析与说理，进行初步的逻辑思维训练，形成一定的推理能力，体验数学证明的必要性。

（4）培养计算能力及综合解题能力，并结合知识在现实生活中的应用，增强应用意识。

2. 基本知识：（1）等腰三角形的概念：两条边相等的三角形叫做等腰三角形，两条相等的边叫做腰，另一边叫做底，两腰夹角叫做顶角，腰和底的夹角叫做底角。

三条边都相等的三角形是等边三角形。

（等边三角形是特殊的等腰三角形，但是反之不成立。

（2）等腰三角形的特征：a. 等腰三角形是轴对称图形，有一条或三条对称轴，是底边上高、中线、顶角的平分线所在的直线。

b. 等腰三角形的两个底角相等。

（简称为“等边对等角”）c. 底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合（简称“三线合一”）d. 等腰三角形两腰上的中线、高分别相等。

e. 等腰三角形两底角平分线相等。

f. 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。

g. 等腰三角形底边与腰上的高的夹角等于顶角的一半，这两条高的夹角与顶角互补（如图）。

h. 等边三角形的每一条边相等，每个内角都相等，并且每一个内角都是等于60°。

（3）等腰三角形的识别：a. 根据等腰三角形的定义，可以识别等腰三角形。

b. 如果一个三角形中有两个角相等，那么它是等腰三角形。

（简称“等角对等边”）c. 三边都相等的三角形是等边三角形。

d. 三个角都是60°的三角形是等边三角形。

e. 两个角是60°的三角形也是等边三角形。

f. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

【典型例题】例1. 等腰三角形的两边长为5cm、10cm，求这个等腰三角形的周长。

分析：当我们遇到题目条件中没有明确告诉我们哪个是“腰”，哪个是“底边”时，往往要进行分类讨论。

解：当5为腰长时，则另一腰长也为5cm∴腰长为5cm，不成立当10为腰长时，则另一腰长也为10cm此时三边长分别为10、10、5，是可以构成三角形的例2. 已知等腰三角形的一个角为40°，求其余两个角的度数。

分析：本题中的条件也没有明确告诉我们40°是顶角还是底角，因此要进行分类讨论。

解：当40°为顶角时，则底角为当40°为底角时，则另一个底角也为40°，顶角为答：另外两个角度数分别为70°、70°或40°、100°。

例3. 已知AD是等腰三角形ABC一腰上的高，且∠DAB＝60°，求△ABC的三个内角度数。

分析：（1）此题没有说明是哪类型的三角形；（2）也不知是B还是C为顶点。

因此，此题要分类讨论解答。

解：（1）若AC＝BC，如下图：AD⊥BC，∠DAB＝60°，则∠ABC＝30°，∠CAB＝30°∴∠ACB＝120°（2）若AB＝BC，如下图：∵AD⊥BC，∠DAB＝60°∴∠DBA＝30°∵∠BAC＝∠C∠ABC＝150°（3）若AB＝BC，如下图：∵AD⊥BC，∠DAB＝60°∴∠B＝30°∵∠BAC＝∠C（4）若AC＝BC，如下图：∵AD⊥BC，∠DAB＝60°∴∠ABD＝30°∵∠BCA＝∠ABD∴∠BCA＝30°∴∠DAB＞∠BCA这是不可能的，舍去。

∴三角形ABC的三个内角度数分别为120°、30°、30°或30°、75°、75°或150°、15°、15°例4. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC，AD＝DE＝EB，求∠A的度数。

分析：从已知条件可知，图中△ABC、△BCD、△DAE、△EBD都是等腰三角形，欲求∠A的度数，可利用等腰三角形底角相等的性质和三角形内角和等于180°的性质来求。

解法1：∵AB＝AC，BD＝BC，AD＝DE＝EB∴∠C＝∠ABC，∠C＝∠BDC∠A＝∠AED，∠EBD＝∠EDB在△ABC∵∠BDC是△ABD的外角∵∠AED是△BDE的外角∴4∠A＝180°即∠A＝45°解法2：设∠A＝x°，依题意有：根据三角形内角和为180°∴∠A＝45°说明：利用方程思想的解法较简单，通过设未知数利用等腰三角形的性质，找出某个三角形的各个内角与未知数间的关系，再利用“三角形内角和等于180”列方程来解。

例5. 如图所示，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，把△ADC沿直线AD折过来，点C落在C’的位置，若BC＝4，求BC’的长。

分析：由轴对称的定义知：△ADC与△ADC’关于直线AD成轴对称，C和C’是对称点，因而DC’＝DC，∠ADC’＝∠ADC＝60°，又BD＝DC，∠BDC是一个平角。

则得BDC’是正三角形，从而可求出BC’。

解：∵AD为中线，BC＝4∴△BC’D为等边三角形例6. 已知：如图所示，AB＝AC，点D是BC上一点，且BD＝BE，CD＝CF。

分析：在等腰三角形ABC明∠B＝∠EDF即可。

证明：∵BD＝BE（已知）例7. 如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D。

求证：∠BAC＝2∠DBC分析：在△BCD中，∠BDC＝90°∠DBC与∠C互余，∠DBC＝90°－∠C在△ABC中，∠A＝180°－∠C－∠ABC∠C＝∠ABC，∠A＝180°－2∠C刚好180°－2∠C是90°－∠C的2倍解法1：∵AB＝AC∴∠ABC＝∠C在△ABC∵BD⊥AC∴∠BDC＝90°即∠BAC＝2∠DBC还可以添加辅助线来解。

解法2：过A作∠A的平分线AE交BC于E∵AB＝AC∴AE是高线，即AE⊥BC∴∠2＋∠C＝90°∵BD⊥AC∴∠DBC＋∠C＝90°∴∠2＝∠DBC即：∠BAC＝2∠DBC例8. 如图所示，△ABC中，BD平分∠B，AE⊥BD于E，EF∥BC交AB于F。

求证：AF＝BF分析：由平行线和角平分线可得：∠1＝∠2＝∠3因此得BF＝EF要证BF＝AF，则需要AF＝EF在△AEB中，∠1＋∠5＝90°，∠3＋∠4＝90°而∠1＝∠3，因此∠4＝∠5即AF＝EF，由此可证。

证明：∵BD平分∠ABC∴∠1＝∠2∵EF∥BC∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）∴∠1＝∠3∴BF＝EF（等角对等边）∵AE⊥BD∴∠1＋∠5＝∠3＋∠4＝90°∴∠4＝∠5∴AF＝EF（等角对等边）∴AF＝BF例9. 如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D，过D作DE∥BC交AC于F，交AB于E。

分析：EF、BE、CF们可以考虑EF、BE、CF是否可以转化到一条线段上来，由角平分线与平行线可得∠1＝∠2＝∠3，由此可得到BE＝ED，∠DCG＝∠DCF＝∠FDC，由此可得到CF＝FD，都转化到ED这条线段上来，就可以得出结论。

证明：∵DE∥BC∴∠1＝∠3，∠DCG＝∠EDC∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG∴∠1＝∠2，∠ACD＝∠DCG∴∠2＝∠3，∠EDC＝∠ACD∴BE＝ED，FD＝FC（等角对等边）说明：两条平行线与角平分线相组合而成的图形，一般都会有等腰三角形存在。

例10. 在△ABC中，AB＝AC，若过点B的一条直线，将△ABC分成两个等腰三角形，求此△ABC各内角的度数。

分析：如图所示，BD所在直线分成两个等腰三角形有两种情况：第一种情况：△ADB中，AD＝BD△BCD中，CD＝BC第二种情况：△ADB中，AD＝BD△BCD中，BC＝BD解：在△ABC中，设∠BAC＝x，∠ABC＝∠ACB＝y。

（1（2解得：x＝36°，y＝72°若本题中，不限制从B点作直线分割，那还有从顶点A进行分割还可以产生两种结论是108°、36°、36°，90°、45°、45°。

同学们可以加以研究一下。

【模拟试题】（答题时间：90分钟）一. 填空题。

1. 如果等腰三角形的两边长分别是4和6，那么该等腰三角形的周长为____________。

2. 等腰三角形的一个内角是50°，那么它的其他的两个内角为____________。

3. 已知△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，则图中共有____________个等腰三角形。

4. 底角等于顶角的一半的等腰三角形一定是____________三角形。

5. △ABC中D是BC边上一点，如果AD＝DB，AB＝AC＝CD，则∠BAC＝____________。

6. 在等边三角形中，两条中线相交所成的钝角的度数是____________。

7. 在等腰直角△ABC中，斜边BC＝10cm，则BC边上的高AD＝____________。

8. 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交另一腰AC于G，已知AB＝10，△GBC 的周长为15，那么底边BC＝____________。

9. 如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝158°，则∠EDF＝____________。

10. 已知：如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN∥BC，且过点O，若AB＝12，AC＝14，则△AMN的周长＝____________。

11. 如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠FEM＝____________。

二. 选择题。

1. 在△ABC中，AB＝AC，BD为∠ABC的平分线，∠BDC＝75°，那么∠A＝（）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°，且AE＝AD，则∠EDC＝（）A. 7.5°B. 10°C. 12.5°D. 15°3. 若一个三角形一条边上的中点到其他两边的距离相等，那么这个三角形一定是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 不等边三角形D. 不等腰的钝角三角形4. 下列说法中不正确的是（）A. 等腰三角形的底角是锐角B. 等腰三角形的角平分线、中线和高是同一条线段C. 等腰三角形两腰上的高相等D. 等腰三角形两腰上的中线相等5. 等腰三角形的周长为25cm，一边长为11cm，则该三角形的腰长为（）A. 7cm或11cmB. 7cmC. 14cmD. 11cm6. 等腰三角形的一个角是50°，它的一腰上的高与底边的夹角是（）A. 25°B. 40°C. 25°或40°D. 不能确定7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，DE⊥AC，则∠ADE等于（）A. 50°B. 40°C. 30°D. 60°8. 等腰三角形中，已知两底角和等于顶角的两倍，则这个三角形是（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 不能确定9. 等腰三角形一腰的高与底边所成的角等于（）A. 顶角B. 顶角的一半C. 顶角的2倍D. 底角一半10. 如图在△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为△ABC的角平分线，BD、CE相交于O，则图中等腰三角形的个数有（）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个三. 解答题。