伯特兰德悖论
BertrandandStackelberg古诺模型简介
Bertrand Model(贝特兰德模型)该模型是法国经济学家Joseph Louis François Bertrand (1822-1900)提出的。
与Cournot模型相比，在Cournot模型里参加博弈的双方以产量作为决策的变量，而在Bertrand模型中参加该博弈的双方都以价格作为决策变量。
这一改变使博弈的市场均衡完全不同于Cournot均衡。
它是关于双寡头产商价格竞争的一种模型，会导致每个产商的定价采用完全竞争的情况下的价格，即所谓的边际成本定价法(marginal cost pricing)。
Bertrand模型有以下假定：1、有多个产商生产同类产品(homogeneous products)2、产商间互不合作3、产商有相同的边际成本(marginal cost)，且边际成本函数连续(consistant)4、需求是线性的5、产商通过并只通过价格来竞争(compete in price)，并同时决定各自的价格，来补给需求量6、产商的行为都是有战略考虑的7、消费者倾向于买更便宜的产品；如果两个产商的同类产品定价一样，则消费者会各买一半通过价格竞争(competing in price)是说产商可以轻松改变补给量。
但一旦产商确定了价格，就很难（如果说不可能太绝对了）改变它。
如果所有产商都遵循这种逻辑，均衡(equilibrium)就建立起来了，并且没有一个产商能通过改变价格来获取好处，这就使得产品价格等于边际成本。
Bertrand悖论Bertrand均衡的含义在于，如果同业中的两家企业经营同样的产品，且成本一样，则价格战必定使每家企业按P= MC的价格经营，即只获取正常利润。
Bertrand均衡的结论告诉人们，只要市场上有两个或两个以上生产同样产品的企业，则没有一个企业可以控制市场价格获取垄断利润。
但是这个结论是很难令人信服的。
我们看到市场间的价格竞争事实上往往并没有使均衡价格降到等于边际成本这一水平上，而是高于边际成本，企业仍然获得超额利润。
寡头竞争模型
q
c 2
R1 R2
((qq21cc))
可以看出，在古诺—纳会均衡中，每个企业都正确估计了对
手的产量（即
q1c
=
q1e
，
q
c 2
=
q
e 2
），从而获得自己的最大利
润
。
例1：
假设市场的需求函数为P=130-Q，P为 产品的市场价格，Q=q1+q2为市场供应 量，两家企业的边际生产成本为 MC1=MC2=10。求两企业在古诺均衡 状态下的产出、价格和利润？
三、存在N个企业时的古诺——纳什均衡
以上我们的分析是在两个企业的框架中进行的。下面我们考
虑存在 N 个企业时的古诺—纳什均衡。
假设产业中存在 N 个企业，这些企业符合古诺竞争一开始的
模型设定条件。将企业 i 的竞争对手的产出向量记为
q-i={q1, q2,……，qi-1,qi+1,…… ,qN}。
根据上面的分析，企业 1 面临的剩余需求曲线为
P=（130-q2）-q1
利润函数为π1=[（130- q2）- q1]q1-10 q1
利润最大化法则要求企业 1 的边际收益和边际成本满足
MR=MC，所以 130- q2-2q1=10
从而企业
1
的反应函数为
q1=60-
1 2
q2
同理，企业
2
的反应函数为
寡头竞争模型分类
博弈类型 决策变量
静态
产量 古诺模型
价格 伯川德模型
动态
斯塔克尔伯模型 价格领导模型
第一节 古诺竞争
古诺模型是19世纪著名的法国经济学家 Augustin Cournot于1838年发表的《对 财富理论的数学原理的研究》中提出。 古诺考虑两家相互竞争的矿泉水厂商如 何决定产量的问题。为简单起见，古诺 假设两家厂商进行的是静态博弈，即他 们同时决定产量大小。
贝朗特悖论的解决
理学院School of Science课程设计报告学生：凡学生学号：200701121所在班级：07数学1所在专业：数学与应用数学指导教师：樊嵘实习场所：理工大学实习时间：第六学期课程设计成绩总评学习态度报告质量使用SAS统计模拟方法解决Bertrand’s paradoxBertand’s paradox 是法国数学家Bertrand于1889提出的一个概率悖论：在圆任作一弦，其长度超过圆接正三角形边长的概率是多少？他在提出问题之后，给出了三种不同的解法，得到了三个不同的结果，是为悖论。
第一种解法如下：由于弦交圆于两点。
我们先固定弦的一个端点。
以此端点作一个等边三角形(如图)。
显然，只有穿过此三角形的弦才符合要求。
而符合条件的弦的另一端正好占整个圆弧的1/3。
并且，不论固定的那个1/3。
第二种解法如下：由于弦长只和圆心到它的距离有关。
所以固定圆一条半径。
当且仅当圆心到它的距离小于1/2才满足条件。
并且，不论固定的是哪条半径，情况都是一样的。
所以结果为1/2。
第三种解法如下；弦被其中点唯一确定（除了圆心）。
当且仅当其中点在半径为1/2的圆时才满足条件。
此小圆面积为大圆的1/4。
所以结果为1/4。
所以被称为悖论。
在以前对这问题的分析中，倾向于认为得到三种结果的原因是因为采用了不同的等可能性假定。
解法一假定端点在圆上均匀分布。
解法二假定半径在圆均匀分布以及弦的中点在半径上均匀分布。
解法三假定弦的中点在圆均匀分布。
先不论他们的假设是否合理，从这个问题的提法来看，问题考察的是圆的随机弦问题。
我们应该从弦的本质定义出发，即圆上任意两点的连线为弦。
从这个思路，我们可以使用SAS 进行统计模拟，确定问题的答案。
具体思路如下：1.先进行1000次试验，每次试验进行1000次模拟，每次模拟从圆上随机取两点，计算距离，记录d 1000个数据，数据集为cs ，其中的变量只有一个x 。
对此数据进行分析，得到其方差与均值，可以求出概率。
贝特朗悖论
关于贝特朗悖论从法国学者贝特朗Joseph Bertrand提出“贝特朗悖论”至今;已经过了一个多世纪..在这漫长的一百多年中;贝特朗悖论得到了各层次数学爱好者的热切关注;人们穿越时空;从不同的角度对此悖论进行了争论、辨析及交流……首先来看一下贝特朗悖论：在圆内任作一弦;求其长超过圆内接正三角形边长的概率. 此问题可以有三种不同的解答:面对同一问题的三种不同的答案..人们往往这样来解释：得到三种不同的结果;是因为在取弦时采用了不同的等可能性假设：在第一种解法中则假定弦的中点在直径上均匀分布；在第二种解法中假定端点在圆周上均匀分布;而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布..这三种答案是针对三种不同的随机试验;对于各自的随机试验而言;它们都是正确的..三个结果都正确——这就是让老师和学生感到迷惑不解的原因..显然这样的解释是不正确的..上述解法看似是用了严密的理论来论述;但有的解法与问题的本质是脱节的;即理论是正确的;但却不合题意：因为不同的解法所阐述的相应点的均匀分布只是一个必要条件;而此问题的条件是在圆内任作一条弦或是从圆内任取一条弦;所以只有任取的弦与这些相应的均匀分布的点一一对应时;才能使整个的随机试验过程具有等可能性;否则;运用几何概型思想方法求出的结果一定是错误的..找到了问题的本质;我们就容易分析上面三种解法中;哪种解法是错误的了;实际上;找出错误;只要举出一个反例即可;下面我们把目光指向圆心：第一种解法中;除了圆心外;圆内的点都和唯一的一条弦与相应的直径垂直对应;即一一对应..但是;圆心却与无数条弦即与直径垂直的任何方向都有过圆心的弦;其长度满足题意对应..这样;圆心——这个圆内的点与相应的弦就不是一一对应了;为此;用此种思想所构造的试验过程中的基本事件就不是等可能的了;所以运用几何概型思想方法求出的结果也一定是错误的..有了这种认识;大家会马上发现第三种解法也是不正确的..而第二种解法;所构造的均匀分布的点是在圆周上;没有圆心;用此种思想所构造的试验过程中的基本事件是等可能的;所以结果是正确的..。
十大烧脑哲学悖论
十大烧脑哲学悖论哲学悖论是哲学领域中一种常见的逻辑困境，它们挑战着我们对于真理、时间、自由意志等重要问题的理解。
下面将介绍十大烧脑的哲学悖论。
一、拉塞尔悖论（Russell's Paradox）拉塞尔悖论是数学家和哲学家伯特兰·罗素于1901年提出的。
它提出了一个关于集合的问题：是否存在一个包含所有不包含自己的集合？这个悖论揭示了集合论的一些内在矛盾，对于数学哲学产生了深远的影响。
二、康德悖论（Kant's Antinomies）康德悖论是德国哲学家康德于1781年在《纯粹理性批判》中提出的。
它提出了四个对立的命题，分别是有限性与无限性、因果性与自由意志、必然性与偶然性以及存在性与非存在性。
这些对立命题无法同时成立，挑战了我们对于世界的认知。
三、佐罗斯特悖论（Zeno's Paradoxes）佐罗斯特悖论是古希腊哲学家佐罗斯特于公元前5世纪提出的。
他通过一系列悖论来质疑运动的连续性，如箭矢悖论和阿喀琉斯悖论。
这些悖论揭示了运动与时间的复杂关系，引发了对于无穷和无限的思考。
四、薛定谔猫悖论（Schrödinger's Cat Paradox）薛定谔猫悖论是量子物理学中的一个思想实验，由奥地利物理学家薛定谔于1935年提出。
它描述了一个封闭的盒子中有一只猫，同时有一瓶放射性物质，如果物质衰变，猫将死亡；如果物质不衰变，猫将幸存。
根据量子力学的原理，猫在盒子中既是死亡又是幸存的，这个悖论挑战了我们对于现实世界的认识。
五、哥德尔不完全性定理（Gödel's Incompleteness Theorems）哥德尔不完全性定理是奥地利数学家哥德尔于1931年提出的。
它证明了任何一套包含基本算术的形式化系统都会存在未能被证明或证伪的命题。
这个定理揭示了数学的局限性，对于逻辑和形式系统有着深远的影响。
六、孟塞尔悖论（Münchhausen's Trilemma）孟塞尔悖论是德国哲学家汉斯·阿尔贝特·孟塞尔于1900年提出的。
伯特兰德模型
伯特兰德模型(Bertrand Model)什么是伯特兰德模型伯特兰德模型是由法国经济学家约瑟夫·伯特兰德(Joseph Bertrand)于1883年建立的。
古诺模型和斯塔克尔伯格模型都是把厂商的产量作为竞争手段，是一种产量竞争模型，而伯特兰德模型是价格竞争模型，伯特兰德模型的假设为：（1）各寡头厂商通过选择价格进行竞争；（2）各寡头厂商生产的产品是同质的；（3）寡头厂商之间也没有正式或非正式的串谋行为。
伯特兰德模型的前提假定伯特兰德模型假定，当企业制定其价格时，认为其他企业的价格不会因它的决策而改变，并且n个（为简化，取n=2）寡头企业的产品是完全替代品。
A、B两个企业的价格分别为P1、P2 ，边际成本都等于C。
伯特兰德模型的推导和分析根据模型的假定，由于A、B两个企业的产品是完全替代品，所以消费者的选择就是价格较低的企业的产品；如果A、B的价格相等，则两个企业平分需求。
于是，每一个企业的需求函数为：因此，两个企业会竞相削价以争取更多的顾客。
当价格降到P1=P2=C时，达到均衡，即伯特兰德均衡。
结论：只要有一个竞争对手存在，企业的行为就同在完全竞争的市场结构中一样，价格等于边际成本。
伯川德均衡及伯川德悖论根据伯川德模型，谁的价格低谁就将赢得整个市场，而谁的价格高谁就将失去整个市场，因此寡头之间会相互削价，直至价格等于各自的边际成本为止，即均衡解为：根据伯川德均衡可以得到两个结论：1.寡头市场的均衡价格为：P=MC；2.寡头的长期经济利润为0。
这个结论表明只要市场中企业数目不小于2个，无论实际数目多大都会出现完全竞争的结果，这显然与实际经验不符，因此被称为伯川德悖论伯特兰德模型存在的问题伯特兰德模型之所以会得出这样的结论，与它的前提假定有关。
从模型的假定看至少存在以下两方面的问题：①假定企业没有生产能力的限制。
如果企业的生产能力是有限的，它就无法供应整个市场，价格也不会降到边际成本的水平上。
罗素悖论及其哲学意义
罗素悖论及其哲学意义
罗素悖论是由英国哲学家、逻辑学家伯特兰·罗素在 1901 年提出的一个悖论。
该悖论的内容是：在一个由所有不自包含的集合组成的集合中，是否包含该集合本身？如果包含，那么该集合就是自包含的，不符合前提；如果不包含，那么该集合就不是由所有不自包含的集合组成的，也不符合前提。
这个悖论的哲学意义在于，它揭示了集合论中的一个深刻的矛盾，即在某些情况下，我们无法确定一个集合是否包含它自身。
这一矛盾表明，集合论的某些基本概念和原则可能存在问题，需要进一步的研究和澄清。
罗素悖论的提出也对数学和哲学产生了深远的影响。
它引发了数学家们对集合论的基础进行深入的研究和探索，推动了集合论的发展和完善。
同时，它也引发了哲学家们对数学和逻辑的本质和局限性的思考，促进了哲学的发展和进步。
第五章 市场行为
举例：
假设双寡头面临如下一条线性需求曲线： P＝30－Q，其中Q为两厂商的总产量，即 Q＝q1+q2。再假设边际成本为0，即MC1 ＝MC2＝0. 求解古诺均衡时的均衡产量和均衡价格
2、伯特兰德模型
法国经济学家伯特兰德于1883年建立的 假设： （1）决策变量：价格 （2）各寡头厂商生产的产品是同质的。 （3）厂商的成本仅表现为边际成本且都等 于固定数量的C。 （4）市场只存在一个时期。
实行掠夺性定价的原因:
①通过承担短期损失来获取长期收益 ②发出低成本信号 ③获得强硬的名声 ④获取成长的市场
掠夺性定价的特征：
①在掠夺性定价中出现的价格下降，一般是暂 时性的； ②在掠夺性定价中企业发动暂时性降价，实质 目的是要缩减供给量； ③一般情况下，采用掠夺性定价策略的都是市 场上势力雄厚的大企业。
广告在不同产业市场上的作用与 特点
在非耐用消费品行业，广告对消费者形成的主 观偏好影响很大，有利于形成产品差异。 在耐用消费品行业 ，广告活动影响的程度相 对非耐用消费品小 。 在工业品行业市场上，企业投入的广告费用很 少 。
广告的福利效果
广告能够降低消费者的搜寻成本； 价格广告能够增进社会福利； 非价格广告能够克服劣质品问题； 广告过度问题； 广告导致市场集中度提高。
（三）限制性定价
是指寡头垄断市场上的卖主将价格定在 足以获得经济利润、但又不致于引起新 企业进入的水平上。
1、短期限制性定价 前提假设： ①原有企业和潜在进入企业都谋求长期利润最大化 ②潜在进入者相信，新企业进入后原有企业不会改 变它的产量，因此它进入以后，行业的总产量等 于它的产量和原有企业的产量之和，超出需求的 供给将导致价格下降； ③原有企业很容易串通起来采取限制性定价的行为， 并且通常是由占有优势地位的寡占企业与其他企 业协调，并率先实施的。
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伯特兰德悖论通常指的是一种有关决策和选择的悖论，最初由法国数学家约瑟夫·贝尔特兰德（Joseph Bertrand）提出。
这个悖论涉及到如何定义一个随机过程的概率。
悖论的情境通常是这样的：考虑一个圆上有一个固定点O，随机地在圆内选择一个点P。
问题是，如果一条线段的两个端点分别是O和P，那么这条线段的长度的期望是多少？
Bertrand 悖论的核心是存在多种方式来定义这条线段的长度，每种方式都可能导致不同的期望值。
具体而言，悖论的解释包括以下三种方式：
1. **边长为圆直径的等腰三角形的长度：**
- 这时线段长度的期望是圆的半径的一半。
2. **以圆心为中心，线段两端分别在圆上的弦的长度：**
- 这时线段长度的期望是圆的半径的四分之一。
3. **以圆上一点为端点，以圆心为中心的半径为另一边的线段长度：**
- 这时线段长度的期望是圆的半径的三分之一。
这个悖论揭示了在定义问题时需要准确定义随机过程的概率，否则会导致不同的结果。
这种情境对于概率论和统计学的讨论非常有趣，突显了在处理概率问题时需要明确定义事件和样本空间。