专题05 均值不等式及其应用--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【解析版】

【热点聚焦】高考命题对基本不等式的考查比较灵活，重点考查应用基本不等式确定最值（范围）问题、证明不等式、解答函数不等式恒成立等问题.独立考查以选择、填空为主，有时以应用题的形式出现．有时与三角函数、数列、解析几何、平面向量函数等相结合，考查考生应用数学知识的灵活性.【重点知识回眸】1． 基本不等式 ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式（1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,,a b R ∈：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222a b ab +≥，,a b R ∈（4）222()22a b a b ++≤，,a b R ∈ （5）2,,b aa b a b+≥同号且不为零 （6）重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b≥b . 上述不等式，当且仅当a ＝b 时等号成立 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)x ＋y ≥2xy ，若xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)．(2)xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，若x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值q 24(简记：和定积最大)．提醒：在应用基本不等式求最值时，一定要检验求解的前提条件：“一正、二定、三相等”，其中等号能否取到易被忽视．特别是：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 5、常见求最值的题目类型 （1）构造乘积与和为定值的情况 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求m nx y+的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解.（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值解：()22211222228x y x y xy x y ++⎛⎫=⋅⋅≤= ⎪⎝⎭所以()()2224248x y x y xy x y +++=⇒++≥即()()2282320x y x y +++-≥，可解得234x y +≥，即()min 2434x y += 注：此类问题还可以通过消元求解：42241xx y xy y x -++=⇒=+，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意0y >的范围由x 承担，所以()0,2x ∈【典型考题解析】热点一 直接法求最值【典例1】（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意． 【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 244sin y x x=+≥，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，242222442x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．【典例2】（2021·全国·高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【解析】 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若0a >、0b >，且411a b+=，则ab 的最小值为（ ）．A ．16B ．4C ．116 D ．14【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式计算求解. 【详解】因为0a >、0b >，所以414112+≥⨯=a b a b ab114≥ab 4ab ≥，即16ab ≥，当仅当41a b=，即82a b ==，时，等号成立. 故选：A.【典例4】（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=． 又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>． 故选：A.热点二 配凑法求最值【典例5】（2023·全国·高三专题练习）已知102x <<，则函数(12)y x x =- 的最大值是（ ） A ．12 B ．14C ．18D ．19【答案】C【解析】 【分析】将(12)y x x =-化为12(12)2x x ⨯-，利用基本不等式即可求得答案.【详解】 ∵102x <<，120x ∴-> , ∴1(12)2(12)2x x x x -=⨯-22(12)112[]28x x +-=≤⨯， 当且仅当212x x =- 时，即14x =时等号成立， 因此，函数(12)y x x =-,1(0)2x <<的最大值为18,故选：C ．【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知a ＞b ，关于x 的不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在实数0x ，使得2020ax x b ++=成立，则22a b a b+-最小值为_________．【答案】22【解析】 【分析】由220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，可得0a >，且0∆≤；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得0∆≥，进而可得ab 的值为1，将22a b a b+-可化为()222a b a b a b a b+=-+--，利用基本不等式可得结果. 【详解】因为220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立， 所以0a >，且440ab ∆=-≤，所以1≥ab ；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得440ab ∆=-≥，所以1ab ≤， 所以1ab =，因为a b >，即0a b ->，所以()()2222222a b ab a b a b a b a b a b-++==-+≥--- 当且仅当2a b a b-=-，即2a b -= 所以22a b a b+-的最小值为22故答案为：22【典例7】（2023·全国·高三专题练习）已知 5<4x ，求函数14145y x x =-+- 的最大值． 【答案】2 【解析】 【分析】 将14145y x x =-+-变形为[()1]54454y x x=--++-，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】根据题意，函数()114545444554y x x x x ⎡⎤=-++=--++⎢⎥--⎣⎦， 又由54x <，则540x -> ，则()(115425425454)x x x x-+≥---⋅， 当且仅当15454x x-=-时，即1x =时取等号， 则1[(54)]424254y x x=--++≤-+=-, 故函数14145y x x =-+-的最大值为2. 【总结提升】形如()2ax bx c f x dx e +++＝的函数，可化为()11[()]f x x k m x k+++＝的形式，再利用基本不等式求解热点三 常数代换法求最值【典例8】（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是（ ） A ．3B ．423+C ．6 D ．12【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线定理可得31m n +=，再根据3131(3)()m n m n m n+=++结合基本不等式即可得出答案． 【详解】 解：3AC AE =，∴3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，,,P B E 三点共线，31m n ∴+=， ∴313199(3)()336212n m n m m n m n m n m n m n+=++=+++≥+⋅=， 当且仅当9n m m n=，132m n ==时取等号，所以31m n+的最小值是12. 故选：D ．【典例9】（2020·天津·高考真题）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为82a b a b+++，利用基本不等式即可求解. 【详解】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++ 882422a b a b a b a b++=+≥⨯=++，当且仅当a b +=4时取等号， 结合1ab =,解得23,23a b =-=+23,23a b ==. 故答案为：4【典例10】（2017·山东·高考真题（文））若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】 由直线1(00)x y a b a b +=＞，＞过点(1,2)，可得121a b +=，从而有()1222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式可求得其最小值 【详解】 解：因为直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，所以121a b +=，因为00a b ＞，＞所以()12442222428a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++≥+⋅ ⎪⎝⎭， 当且仅当4a bb a=，即2,4a b ==时取等号， 所以2a b +的最小值为8 故答案为：8 【总结提升】常数代换法主要解决形如“已知x ＋y ＝t (t 为常数)，求a b x y+的最值”的问题，先将a x ＋b y 转化为()a b x y x y t++⋅，再用基本不等式求最值． 热点四 基本不等式的实际应用【典例11】（2023·全国·高三专题练习）迷你KTV 是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV 的横截面示意图，其中32AB AE ==，90A B E ∠=∠=∠=︒，曲线段CD 是圆心角为90︒的圆弧，设该迷你KTV 横截面的面积为S ，周长为L ，则SL的最大值为（ ）．（本题中取π=3进行计算）A ．6B ．12315-C ．3D ．9【答案】B 【解析】 【分析】根据面积和周长的计算,可得SL,根据基本不等式即可求解最大值. 【详解】圆弧的半径为3(0)2r r <<，则32BC ED r ==-，π322CD rl r ==．所以周长162CD L AB BC l DE EA r =++++=-，面积2223139[()]22244r r S r r =-+⨯⨯=-． 所以22191(12)24(12)135********12[(12)]122(12)12315212212212212S r r r r r L r r r r---+--=⋅=⋅=-⋅-+-⋅-⋅-----．当且仅当1351212r r-=-，12315r =- 故选：B【典例12】（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 【答案】30 【解析】 【详解】 总费用为600900464()42900240x x x x +⨯=+≥⨯，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30. 【总结提升】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用()a f x x x＝＋(a ＞0)的单调性．热点五 利用均值不等式连续放缩求最值【典例13】（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知0a b >>，且1,ab =则不正确的是（ ） A ．20a b +> B ．22log log 1a b +> C ．2222a b +>D ．22log log 0a b ⋅<【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断. 【详解】对A ，根据指数函数的性质20a b +>，故A 正确； 对B ，2222log log log log 10a b ab +===，故B 错误；对C ，因为22a b ab +≥=，当且仅当a b =取等号，所以22222242a b a b +≥≥>+，故C 正确；对D ，因为1ab =，且0a b >>，故10>>>a b ，22log 0,log 0a b ><，所以22log log 0a b ⋅<；故D 正确. 故选：B【典例14】（2021·天津·高考真题）若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________． 【答案】22【解析】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】0 , 0a b >>，2211222222a a b b a b a b b b b b∴++≥⋅=+≥⋅ 当且仅当21a a b =且2b b=，即2a b ==所以21ab ab ++的最小值为2 故答案为：22 【总结提升】第一次使用基本不等式是对原不等式的一次放缩，并为第二次使用基本不等式创造了条件，因此要使结果为原不等式的最值，两次使用基本不等式等号成立的条件应该是一致的．【精选精练】一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知02x <<，则24y x x =- ） A ．2 B ．4C ．5D ．6【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式求解即可 【详解】 因为02x <<，所以可得240x ->， 则()()2222244422x x y x x x x+-=-⋅-=，当且仅当224x x =-，即2x24y x x =-的最大值为2．故选：A ．2．（2023·全国·高三专题练习）已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝ab ，则ab 的最小值是（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】∵已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝ab ，∴ab 2a b ⋅ 化简可得ab ≥2∴ab ≥8，当且仅当a ＝2b 时等号成立， 故ab 的最小值是8， 故选：B ．3．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知双曲线22:1(0,0)4n C mx y m n -=>>的一个焦点坐标为(1,0)-，当m n +取最小值时，C 的离心率为（ ） A 5B 3C ．2D 2【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可得22214,,1a b c m n===，根据,,a b c 的关系可得141m n +=，由基本不等式的求解即可得26n m ==，进而2311a m ==，即可求离心率. 【详解】由22:1(0,0)4n C mx y m n -=>>可得22114x y m n-=，所以22214,,1a b c m n===， 故可得141m n +=，所以(4144)5529n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫+=++=+++⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当4n m m n =，即26n m ==时等号成立，所以2311a m ==，3a =1c =， 所以3==ce a故选：B ．4．（2021·浙江·高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式或排序不等式得3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则116161sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<， 由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12.取6πα=，3πβ=，4πγ=，则116161sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.5．（2020·全国·高考真题（理））设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B 【解析】 【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b =+结合均值不等式，即可求得答案. 【详解】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b - ∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为2222222168c a b ab =+≥=当且仅当22a b == ∴C 的焦距的最小值：8故选：B.6．（2023·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，且2ab a b =+，若228a b m m +-恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．426426m -+ B ．426m +或426m - C ．19m - D ．9m 或1m -【答案】C 【解析】 【分析】由题意化2ab a b =+为211b a=+，利用基本不等式求出2+a b 的最小值，再解关于m 的一元二次不等式即可． 【详解】解：0a >，0b >，且2ab a b =+，211b a∴=+， 1222222(2)()14529b a b aa b a b a b a b a b∴+=++=++++=，当且仅当3a b ==时取“=”； 若228a b m m +-恒成立， 则298m m -， 即2890m m --， 解得19m -，∴实数m 的取值范围是[1-，9]．故选：C ．7．（2023·全国·高三专题练习）已知ln ln 222+≥+-aa b b ，则a b +=（ ） A ．52B ．4C ．92D ．6【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式可得22222+-≥ab ab ，当且仅当4a b =时取等号，从而可到ln()2≥ab ab ，再构造函数分析可得ln()220-≤ab ab ，从而得到ln()220-=ab ab ，再根据基本不等式取得最值时的关系求解即可 【详解】 由题意得ln()222≥+-a ab b ，因为0a >，0b >，所以22222+-≥ab ab ，当且仅当4a b =时取等号，所以ln()2≥ab ab ，令()ln 22=-f x x x ，则11()-='=xf x x x，当(0,1)x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '<单调递减，所以()(1)0f x f ≤=，当且仅当1ab =时取等号，即ln()20-≤ab ab ，所以ln()220-=ab ab ，所以1ab =，所以12,2a b ==，所以52a b +=． 故选：A8.（2017·天津·高考真题（理））已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R ∈，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C ．[3,2]-D ．39[23,]16- 【答案】A 【解析】 【详解】 不等式()2x f x a ≥+为()()2xf x a f x -≤+≤(*)， 当1x ≤时，(*)式即为22332xx x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+，又22147473()241616x x x -+-=---≤-（14x =时取等号），223339393()241616x x x -+=-+≥（34x =时取等号），所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+， 又3232()2322x x x x --=-+≤-23x =，22222x x x x+≥⨯=（当2x =时取等号）， 所以32a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 【考点】不等式、恒成立问题 【名师点睛】首先满足()2x f x a ≥+转化为()()22x xf x a f x --≤≤-去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的范围. 二、多选题9．（2022·全国·高考真题）（多选）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（ ） A ．1x y +≤ B ．2x y +≥- C ．222x y +≤ D ．221x y +≥【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为22222a b a bab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（,a b R ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设3cos sin 2y x y θθ-==，所以cos ,33x y θθθ==，因此2222511cos sin cos 12cos 233333x y θθθθ=θ-θ+=++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当33x y ==221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．10．（2020·海南·高考真题）（多选）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．2212a b +≥B ．122a b -> C ．22log log 2a b +≥- D 2a b ≤【答案】ABD 【解析】 【分析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为(21212a bab a b =+++=，2a b ≤12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知a ＜b ＜0，则下列不等式正确的是（ ） A ．a 2＞ab B ．ln （1﹣a ）＞ln （1﹣b ） C ．2a b ab+＞ D ．a +cos b ＞b +cos a【答案】ABC 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断A ，利用对数函数的单调性判断B ，利用基本不等式判断C ，利用构造函数判断D. 【详解】A:∵a ＜b ＜0，∴a 2＞ab ，∴A 正确，B:∵a ＜b ＜0，1﹣a ＞1﹣b ，∴ln （1﹣a ）＞ln （1﹣b ），∴B 正确， C:∵a ＜b ＜0，∴2a bab --＞2a b ab -+＞C 正确， D:设f （x ）＝x ﹣cos x ，则()f x '＝1+sin x ≥0，∴f （x ）在R 上为增函数，∵a ＜b ＜0，∴a ﹣cos a ＜b ﹣cos b ，a +cos b ＜b +cos a ，∴D 错误． 故选：ABC ．12．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试）（多选）若实数x ，y 满足1221x y ++=，m x y =+，111()()22-=+x y n ，则（ ）A ．0x <且1y <-B ．m 的最大值为3-C ．n 的最小值为7D ．22m n ⋅<【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数函数的性质判断A ，利用基本不等式判断B 、C ，根据指数幂的运算判断D ； 【详解】解：因为1221x y ++=，若0x ≥，则21x ≥，又120y +>，显然不成立，即0x <， 同理可得10y +<，所以1y <-，即0x <且1y <-，故A 正确； 又1111222222x y x y x y ++++=+≥⋅=1222x y ++-≤，所以3x y +≤-，当且仅当11222x y +==，即1x =-，2y =-时取等号，即m 的最大值为3-，故B 正确； 又()111111112222222244x y x y x y x y n +-++⎛⎫=+=+=+⋅+ ⎪⎝⎭ 111144552922222222y x y xx y xy ++++⋅⋅=⋅+≥+=+， 当且仅当1142222y xx y ++⋅=，即2log 3x =-，22log 13y =-时取等号，故C 错误；对于D ：()111112()()22222222m x y x y x y x y y x n -+--+++⎡⎤⋅=+⋅=+⋅=+⎢⎥⎣⎦，因为1221x y ++=，所以()12222x y ++=，即12222x y +++=，即12422x y ++⨯=，即122322x y y ++⨯=+，因为302y ⨯>，所以1222x y +<+，即22m n ⋅<，故D 正确； 故选：ABD 三、填空题13．（2020·江苏·高考真题）已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．【答案】45【解析】 【分析】根据题设条件可得42215y x y -=，可得4222222114+555y y x y y y y-+=+=，利用基本不等式即可求解.【详解】 ∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y -+=+=≥⋅，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45.故答案为：45.14．（2019·天津·高考真题（文）） 设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________. 【答案】92.【解析】 【分析】 把分子展开化为(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+，再利用基本不等式求最值．【详解】由24x y +=，得2422x y xy +=≥2xy ≤(1)(21)221255592222x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=，等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立． 故所求的最小值为92．15．（2018·江苏·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【答案】9 【解析】 【详解】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c =++=，因此11444(4)()5529,c a c aa c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.16．（2018·天津·高考真题（理））已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________.【答案】14【解析】 【分析】由题意首先求得3a b -的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 【详解】由360a b -+=可知36a b -=-，且：312228aa b b -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立， 结合均值不等式的结论可得：336122222224a b a b ---+≥⨯=.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14. 17．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________． 31##3-【解析】 【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++，在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m m m m ++-++-===-+++++++ ()4433211m m ≥=-+⋅+当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立， 所以当AC AB取最小值时，31m =. 31.四、解答题18．（2023·全国·高三专题练习）设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．(1)若不等式()0f x >的解集(1,1)-，求a ，b 的值；(2)若(1)3f =，0a >，0b >，求11a b +的最小值，并指出取最小值时a ，b 的值． 【答案】(1)3,2a b =-=(2)1a =，1b =时，11a b+的最小值是2 【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得答案；（2）由(1)3f =得2a b +=，再利用基本不等式可得答案.(1)由()0f x >的解集是(1,1)-知1,1-是方程()0f x =的两根，由根与系数的关系可得311211a b a ⎧-⨯=⎪⎪⎨-⎪-+=-⎪⎩ 解得32=-⎧⎨=⎩a b ，即32a b =-=，.(2)由(1)3f =得2a b +=，0a >，0b >，11111()2a b a b a b ⎛⎫∴+=++ ⎪⎝⎭12222b a a b ⎛⎫≥⋅= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当b a a b =，即1a =，1b =时取等号，11a b∴+的最小值是2．。