2021-2022学年河南省濮阳市高三下学期开学摸底考摸底考试数学(理)试卷带讲解

由（1）知， 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立．
要证 ，只需证 ．令 ， ，则 ，
即 区间 上单调递增，则 ．
令 ， .则 ．
令 ， .则 在 上恒成立，
则 在 上单调递减，即 在 上单调递减．
又 ， ，所以 ，使得 ．
所以当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减．
又因为 ，所以 ，
【详解】
，
因为函数的图象关于原点对称，所以当 时， ， ，
解得： ， ，因为 ，
所以当 时， 的最大值 .
故选：D
9.在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ， ， ，则 （）
A. B. C. D.
A
【分析】根据正弦定理及同角关系可得 ，再用余弦定理可求解.
详解】由 ，根据正弦定理有：
，
（2）放缩法和构造新函数在不等式证明中可以起到简化过程的关键作用.
【小问1详解】
由题可知 ．
令 ，则 ．
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增，即 单调递增
当 时， ， 单调递减，即 单调递减．
则 ，
又 ， ，所以存在 ，使得 ，
当 时， ， 单调递增
当 时， ， 单调递减，
又 ， ，故 ．
【小问2详解】
（2）求直线BD与平面 所成角的正弦值．
（1）证明见解析；
（2） .
【分析】(1)延长线段 ，CB交于点E，连接AE，证明 平面 即可；
(2)以E为坐标原点，直线EC，EA分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【小问1详解】
如图，延长线段 ，CB交于点E，连接AE，则AE为平面 与底面ABCD的交线．
A B. C. D.
C
【分析】由条件可得 ，即可得 ，从而得出答案.
【详解】由 ，则 ，又
所以 ，则
故选：C
3.已知 ， ， ， ，则（）
A. 是假命题B. 是真命题
C. 是真命题D. 是真命题
B
【分析】首先分别判断两个命题的真假，再根据复合命题真假判断方法，即可判断选项.【详解】命题 ， ，真命题；
由已知可得 ， ，所以 ．
易知底面ABCD是菱形．因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理，可得 ，
所以 ，即 ．
因为 是直四棱柱，故 平面ABCD，
又 平面ABCD，所以 ．
因为 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ．
【小问2详解】
如图，以E为坐标原点，直线EC，EA分别为x轴，
y轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
【详解】当 时，运行程序可得， ，则 ,
当 时，运行程序可得， ，则 ,
当 时，运行程序可得， ，则
由此可得，当 时，运行程序可得， ，此时 ，退出循环.
所以输出的结果为
故选：C
8.设 ，若函数 的图象关于原点对称，则a的最大值为（）
A. B. C. D.
D
【分析】首先化简函数 ，再根据三角函数的性质，即可求解 .
③代入a＝1，根据 正负判断f(x)单调性，求其最小值即可；x＞0
令 ＝0，即 ，∵ ，∴方程有两个不等实数根，设为 ，∵ ，故两根异号，即方程必有一个正根，不妨设该正根为 ，
则在 递减，在 递增，即f(x)在 不单调，故①错误；
② ，x＞0，
，
令 ，则 .
又
又 ,
设 ,由
即
即
所以 解得 ，所以
故选：B
12.已知函数 ，有下列结论：
① 在 上都是增函数；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则曲线 上不存在相异两点M，N处的切线互相平行．
其中所有正确结论的序号是（）
A.①④B.③C.③④D.②③④
C
【分析】①求f(x)导数为 ，讨论 的正负来判断f(x)单调性；②代入a＝0， ，判断 的最小值是否恒大于或等于零；
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.如图，A，B是圆O上两点，且 ，若在圆O内随机地撒入6000个豆子（不计大小），则落在扇形OAB内的豆子数大约为______．
2000
【分析】根据扇形面积占圆的面积的比例即可求解.
【详解】扇形面积是圆O面积的 ，故落在扇形OAB内的豆子数约为 .
【详解】∵
∴ ，
∴ ，
， 或 ，
或 .
故答案为： 或 .
16.在三棱锥 中， ， ， ， 平面ABC，则三棱锥 的外接球的表面积为______．
32π
【分析】根据已知条件，将三棱锥补成直三棱柱，它们外接球相同，找到球心位置，求出球的半径即可.
【详解】∵ 平面 ，故可将三棱锥补为直三棱柱，如图：
∵AB＝BC＝2， ，故三棱柱的上下底面三角形的外接圆圆心在底边的中线上，设为 ，易得 ，故 ，
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，
直线 与双曲线 的两条渐近线交于 ， 两点， 为坐标原点，则OA＝OB，
由 ， 的夹角为 知 为等边三角形，
∴渐近线的斜率为： ，∴ ，
又 ，∴ ，则 ．
故选：A．
7.运行如图所示的程序框图，输出的结果为（）
A. B. C. D.
C
【分析】根据程序框图的循环结构可得，程序是求 的值，根据条件可得答案.
因为 与 关于y轴对称，所以 经过定点（-1，0），为减函数.
而 可以看作 的图像向右平移一个单位得到的.
所以 的图像经过定点（0，0），为减函数.
故选：D.
6.已知双曲线 ，若直线 与C的两条渐近线分别交于点A，B，O为坐标原点，且 ， 的夹角为 ，则C的离心率为( )
A. 2B. C. D.
A
【分析】求出双曲线的渐近线方程，由对称性求出渐近线斜率，求解 ，解得c，即可求离心率．
因为 的最小值是 ，所以命题 ， ，是假命题，
根据复合命题真假判断方法可知， 是真命题.
故选：B
4.某班开展“学党史，感党恩”演讲活动，安排四个演讲小组在班会上按次序演讲，则A组不是第一个演讲的方法数为（）
A.13B.14C.15D.18
D
【分析】利用排除法，先计算A组是第一个演讲的方法数即得解
【详解】由题意，安排四个演讲小组在班会上按次序演讲共有 种情况
（1）试求这20筐水果得分的平均数．
（2）用样本估计总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售：
方案1：将得分的平均数换算为等级，按换算后的等级出售；
方案2：分等级出售．
不同等级水果的售价如下表所示：
等级
一级
二级
三级
四级
售价（万元/吨）
2
1.8
1.5
1.2
请从经销商的角度，根据售价分析采用哪种销售方案较好，并说明理由．
得分在 内的有17，23，共2个，所以估计四级水果所占比例为 ，得分在 内的有27，31，36，40，45，50，共6个，所以估计三级水果所占比例为 ，
得分在 内的有51，51，58，63，65，68，71，共7个，所以估计二级水果所占比例为 ，
得分在 内的有78，79，80，85，95，共5个，所以估计一级水果所占比例为 ，
即 在 上恒成立，即 ，
其中A组是第一个演讲的方法数为
故A组不是第一个演讲的方法数为
故选：D
5.已知 且 ，函数 的图象如图所示，则函数 的部分图象大致为（）
A. B. C. D.
D
【分析】先由函数 的图象可判断出 .利用图像变换和单调性即可得到周期答案.
【详解】由函数 的图象可判断出 .
当 时， 经过定点（1，0），为增函数.
∴外接球球心为上下底面外心连线段的中点O，如图所示，
设外接球半径为R，则在Rt△ 中： ，
故外接球表面积为 .
故答案为：32π.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
（1）55.65
（2）采用方案1较好，理由见解析
【分析】（1）直接利用平均数的计算公式即可求解；
（2）分别计算出这两种方案的单价，进行比较，即可下结论.
【小问1详解】
这20筐水果得分的平均数为
.
【小问2详解】
方案1：由于得分的平均数 ，
所以可以估计这批水果的销售单价为1.8万元/吨．
方案2：设这批水果售价的平均值为 万元/吨，由已知数据得，
则 （万元/吨）．
所以从经销商的角度考虑，采用方案1的售价较高，所以采用方案1较好
18.已知数列 的首项 ，数列 是等差数列，且 ， ．
（1）求 的通项公式．
（2）设数列 的前n项和为 ，证明： ．
（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）首先求等差数列 的基本量，首项和公差，求得数列 的通项公式，再根据 ，即可求得 的通项公式；
【详解】解：设椭圆的半焦距为 ，由椭圆的中心对称性和 ， ， ， 四点共圆，
则四边形 为矩形，
所以以 为直径的圆与椭圆 有公共点，
则 ，即 ，
所以 ，
故 .
故选：A.
11.如图，在梯形 中， 且 ， ， ， 与 交于点O，则 （）
A. B.
C. D.
B
【分析】以 为基底，设 ， ，用向量 分别表示出向量 ， ，由 建立方程，解出 即可.【详解】 ，设
故答案为：2000.
14.若实数x，y满足约束条件 ，则 的最大值为______．
5
【分析】画出可行域，利用几何意义求出最大值.
【详解】画出可行域，如图，阴影部分即是可行域，显然当目标函数过点 时， 取得最大值，此时 .