07年2+2高等数学A试卷

----------------------2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学A 》试卷-------------------

2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学A 》试卷

考试说明：

1、考试为闭卷，考试时间为150分钟；

2、满分为150分；

3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；

4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必 写出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共24分） 1．3sin 5

3lim

x

x x x -∞→＝ ．

2．垂直于直线162=-y x 且与曲线532

3-+=x x y 相切的直线方程为

．

3．设 ),,(w v u f 为三元可微函数 ，),,(1

y y

x x x f z =，则

y

z

??= ． 4．幂级数 ∑∞

=-1

)3(n n

n x 的收敛域为 ．

5．n

阶方阵A 满足 0323

=+-E A A ，(E 为n 阶单位阵 ) ，则

1-A ＝ ．

6．口袋中有8个标有数字：1，1，2，2，2，3，3，3 的乒乓球,从中随机地取3个, 则这3个球上的数字之和为6的概率是 ．

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二．选择题. （本题共有6个小题，每一小题4分，共24分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）

1．曲线x

x x f 1e ||)(-=的渐近线条数为 ( )． (A )0

(B )1

(C )2

(D )3

2．设)(x y y =是由方程0d e 1

2

=-

?+-x

y t t x 所确定的隐函数,则0

d d =x x

y

=( )．

(A )

1e

1

-

(B )

1e

1

+ (C )1e - (D )1e +

3．设L 是以三点)0,0(，)0,3(及)2,3(为顶点的三角形正向边界，则曲线积分

?

-+++-L

y x y x y x d )635(d )42( = ( )．

(A )6

(B )12

(C )18

(D )24

４．A 是46?矩阵，A 的秩为 2，非齐次方程组 b x =A 有三个线性无关的

解 1ξ，2ξ，3ξ ，则方程组0x =A 的通解是( ). (A )332211ξ+ξ+ξk k k

(B )3212211)(ξ+-ξ+ξk k k k (C )3222111)(ξ+ξ++ξk k k k

(D )3212211)(ξ-+ξ+ξk k k k

５．随机变量ξ的概率密度为???

?

??

?=∈∈其它

,0 , ,)(]8,5[92

]2,1[3

1

x x x f ，若3

2}{=≤ξa P ，则 a ＝( ).

(A ) 2.4

(B ) 4.5

(C ) 5.6 (D ) 6.7

６．随机变量 ξ 服从参数为),2(p 的二项分布，随机变量 η 服从参数为

),3(p 的二项分布, 且27

19

}1{=

≥ηP , 则}1{≥ξP ＝( ). (A ) 9

4

(B )

95

(C )

3

1

(D )

3

2

三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共８个小题，每小题８分，共6４分）

1．试确定常数A 、B 、C 的值,使得))1((ln 222-=-++x o x C Bx Ax ,其中

))1((2-x o 是当 1→x 时比 2)1(-x 高阶的无穷小 ．

2．计算 ?--++2

12

12

d 11ln )sin (x x

x

x x ．

3．求由曲面 22y x z += 和 222y x z +-= 所围成的立体的表面积 ．

4．设)(x f y =为连续函数, 且满足?

?+=x

x

x x y y 0

2d e e ，求)(x f y =的表达式．

５．计算四阶行列式 x

x x x D ++++=111111111

11111114 ．

６．矩阵 ????

?

?????-=100010011A 满足方程 X A X A 2*1-=-，其中 *A 为 A 的伴随矩阵 ，求矩阵X ．

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７.二维离散型随机变量 ),(ηξ 的概率分布为：1.0}0{==η=ξP ，

b P ==η=ξ}1,0{,a P ==η=ξ}0,1{，4.0}1{==η=ξP ．已知随机事件

}1{=η+ξ 与事件}1{=η 相互独立 ，求：(1)b a ,的值 ；(2))(ξE ．

8．已知二维随机变量),(ηξ的概率密度是

?????<<<<+=其它

,010,20 ,)2(),(4

1y x y x y x f ， (1) 判断ξ和η的独立性，并说明理由； (2) 求概率}1|2

1

{=ξ>ηP ．

四．应用题：（本题共3个小题，每小题９分， 共2７分）

1．设 ABC ? 的三边长分别是 a 、b 、c ，面积为 S ．现从 ABC ? 的内部一点 P 向三边作三条垂线，求此三条垂线长的乘积的最大值．

２．三阶实对称阵A 有三个特征值：1，1-，2-；其中特征值 1 ，2- 对

应的特征向量分别为 T )1,0,1(，T )1,0,1(-，求4A ．

３．某甲驾车从A 地通过高速公路到 B 地 ，在 A 地的高速入口处的等待

时间ξ (单位：分) 为一随机变量，其概率密度是：?????≤>=-0

,00

,e )(10

101x x x f x

．若

甲在 A 地高速入口处的等待时间超过10分钟时，则返回不再去B 地．现甲到达高速入口处已有4次， 以 η 表示到达 B 地的次数 . 求 η 的分布律 .

五．证明题： （本题共2个小题，第一小题６分，第二小题５分，共1１分）

1．设 )(x f 在 ]2,1[ 上连续 ，在 )2,1( 内可导 ，且 0)2()1(==f f ． 试证：至少存一点 )2,1(∈ξ，使得

)(2007)

(ξ'=ξ

ξf f ．

２．试证: 若 n 维向量组 k α-α1,k α-α2, ,k k α-α-1,k α 线性无

关 ，则向量组 1α,2α, ,k α 也线性无关 ．

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