[考研类试卷]考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编21.doc
（B）若u1＞u2，则{un}必发散。
（C）若u1＜u2，则{un}必收敛。
（D）若u1＜u2，则{un}必发散。
6设函数f(x)在(－∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是( )
（A）若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛。
（B）若{xn}单调，则{f(xn)}收敛。
（C）充分必要条件。
（D）既非充分条件又非必要条件。
4设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且 an=0， bn=1， cn=∞，则必有( )
（A）an＜bn对任意n成立。
（B）bn＜cn对任意n成立。
（C）极限 ancn不存在。
（D）极限 bncn不存在。
5设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)．则下列结论正确的是( )
（B）若{xn}无界，则{yn}必有界。
（C）若{xn}有界，则{yn}必为无穷小。
（D）若{1／xn}为无穷小，则{yn}必为无穷小。
3 “对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有|xn－a|≤2ε”是数列{xn}收敛于a的( )
（A）充分条件但非必要条件。
（B）必要条件但非充分条件。
[考研类试卷]考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编21
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1设f(x)= 则f{fB）1。
（C）
（D）
2设数列{xn}与{yn}满足 xnyn=0，则下列断言正确的是( )
（A）若{xn}发散，则{yn}发散。
（A）不存在。
（B）等于1。
（C）等于2。
（D）等于3。
二、填空题
20若x→0时，(1－ax2)1／4－1与xsinx是等价无穷小，则a=_______。
21当x→0时，α(x)=kx2与β(x)= 是等价无穷小，则k=_______。
22
23
24
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
25设函数f(x)在x=0的某邻域具有二阶连续导数，且f(0)≠0，f'(0)≠0，f"(0)≠0。证明：存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)－f(0)=o(h2)。
29确定常数a，b，c的值，使
30
（C）若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛。
（D）若{f(xn)}单调，则{xn}收敛。
7设an＞0(n=1，2，…)，Sn=a1+a2+…+an，则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的( )
（A）充分必要条件。
（B）充分非必要条件。
（C）必要非充分条件。
（D）既非充分也非必要条件。
8设数列{xn}收敛，则( )
17设a1－x(cos －1)，a2= )，a3= －1，当x→0+时，以上三个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是( )
（A）a1，a2，a3。
（B）a2，a3，a1。
（C）a2，a1，a3。
（D）a3，a2，a1。
18
（A）0。
（B）6。
（C）36。
（D）∞。
19设y=y(z)是二阶常系数微分方程y"+py'+qy=e3x满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解，则当x→0时，函数 的极限( )
9设a(x)=∫05xsint／tdt，β(x)=∫0sinx(1+t)1／tdt，则当x→0时，α(x)是β(x)的( )
（A）高阶无穷小。
（B）低阶无穷小。
（C）同阶但不等价的无穷小。
（D）等价无穷小。
10设当x→0时，(1－cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，xsinxn是比( －1)高阶的无穷小，则正整数n等于( )
26试确定常数A，B，C的值，使得ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)，其中o(x3)是当x→0时比x3高阶的无穷小。
27当x→0时，1－cosx．cos2x．cos3x与axn为等价无穷小量，求n与a的值。
28设函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx3。若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小，求a，b，k的值。
（A）a=1，6=－1／6。
（B）a=1，b=1／6。
（C）a=－1，6=－1／6。
（D）a=－1，b=1／6。
14已知当x→0时，函数f(x)=3sinx－sin3x与cxk是等价无穷小量，则( )
（A）k=1，c=4。
（B）k=1，c=－4。
（C）k=3，c=4。
（D）k=3，c=－4。
15设cosx－1=xsinα(x)，其中|α(x)|＜π／2，则当x'→0时，α(x)是( )
（A）比x高阶的无穷小量。
（B）比x低阶的无穷小量。
（C）与x同阶但不等价的无穷小量。
（D）与x等价的无穷小量。
16当x→0+时，若lnα(1+2x)，(1－cosx)1／α均是比x高阶的无穷小，则α的取值范围是( )
（A）(2，+∞)。
（B）(1，2)。
（C）(1／2，1)。
（D）(0，1／2)。
（A）1。
（B）2。
（C）3。
（D）4。
11把x→0+时的无穷小量α=∫0xcost2dt，β= =sint3dt排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )
（A）α，β，γ。
（B）α，γ，β。
（C）β，α，γ。
（D）β，γ，α。
12当x→0+时，与 等价的无穷小量是( )
13当x→0时，f(x)=x－sinax与g(x)=x2ln(1－bx)是等价无穷小量，则( )
2021年考研数学二真题及答案
2021年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每题4分，共32分。
以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)以下反常积分中收敛的是 (A)∫√x+∞2xx (B)∫xxx+∞2xx(C)∫1xxxx+∞2xx (D) ∫xx x+∞2xx 【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，别离判定敛散性即可取得正确答案。
∫√x+2=2√x |2+∞=+∞；∫xxxx+∞2xx =∫xxx +∞2x (xxx )=12(xxx )2|2+∞=+∞；∫1xxxx+∞2xx =∫1xxx+∞2x (xxx )=ln (xxx )|2+∞=+∞； ∫xxx +∞2xx=−∫x +∞2xx −x=−xx−x|2+∞+∫x −x +∞2xx=2x−2−x−x |2+∞=3x −2，因此(D)是收敛的。
综上所述，此题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数x (x )=lim x →0(1+xxx x x )x 2x在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去中断点 (C)有跳跃中断点 (D)有无穷中断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有x(x)=limx→0(1+xxx xx)x2x=x lim x→0x 2x(1+xxx xx−1)=e x limx→0xxxxx=x x(x≠0),x(x)在x=0处无概念，且limx→0x(x)=limx→0x x=1,因此x=0是x(x)的可去中断点，选B。
综上所述，此题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、持续—两个重要极限(3)设函数x(x)={x αcos1xβ,x>0，0,x≤0(α>0,x>0).假设x′(x)在x=0处连续，则(A)α−β>1(B)0<α−β≤1(C)α−β>2(D)0<x−β≤2【答案】A【解析】易求出x′(x)={xx α−1cos1xβ+βxα−β−1sin1xβ,x>0，0,x≤0再有x+′(0)=limx→0+x(x)−x(0)x=limx→0+xα−1cos1xβ={0, α>1,不存在，α≤1，x−′(0)=0于是，x′(0)存在⟺α>1，现在x′(0)=0.当α>1时，limx→0xα−1cos1xβ=0，lim x→0βxα−β−1sin1xβ={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，x′(x)在x=0持续⟺α−β>1。
2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题完整版(含答案及解析)
dt
dt
dt dt
dt
dt
当 r = 10, h = 5 时， dV = −100 , dS = −40 ，故选 D.
dt
dt
（4）设函数 f (x) = ax − b ln x(a 0) 有两个零点，则 b 的取值范围是（ ） a
A.(0, + )
B.(0,0)
C.(0, 1 ) e
【答案】A.
.
x (0,2)
【答案】1.
【解析】方程两边对 x 求导可得 z + (x +1) z x
+
y1 z
z x
−
1
+
2y 4x2
y
2
=0.
将 x = 0, y = 2 代入可得 z = 1 ，再将 x = 0, y = 2, z = 1代入可得 z = 1. x
（14）已知函数 f (t) =
t
dx
dt
有因为 x et2 dt = x (1+ t2 + (t2 ))dt = x + 1 x3 + (x3 ) ，故
0
0
3
原式
=
lim
x→0
x
−
1 x3 3!
+
(
x3
)
1
+
x
+
1 x3 3!
x2
+
(
x3
)
−
x
−
1 2
x2
+ (x2 )
=
lim
x→0
1 2
x2
+ (x2 ) x2
=
1 2
2023年考研数学(二)真题(试卷+答案)
2023年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）（科目代码：302）（考试时间：上午8:30-11:30）考生注意事项1.答题前，考生须在试题册指定位置填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.选择题答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
3.填（书）写部分必须使用黑色签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B 铅笔填涂。
4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
2023年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、选择题：1～10小题,每小题5分,共50分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的． （1）函数1ln(e )1y x x =+-的渐近线为（ ） （A ）e y x =+. （B ）1e y x =+. （C ）y x =.（D ）1ey x =-.（2）0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（ ）（A）),0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪≤=⎨+->⎪⎩（B）)1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨+->⎪⎩（C）),0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧⎪≤=⎨++>⎪⎩（D）)1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨++>⎪⎩（3）设数列{}n x ，{}n y 满足1112x y ==，1sin n n x x +=，21n n y y +=，当n →∞时（ ） （A ）n x 是n y 的高阶无穷小 （B ）n y 是n x 的高阶无穷小 （C ）n x 是n y 的等价无穷小 （D ）n x 是n y 的同阶但非等价无穷小（4）微分方程0y ay by '''++=的解在(,)-∞+∞有界，则,a b 的取值范围为（ ） （A ）0,0a b <> （B ）0,0a b >>（C ）0,0a b => （D ）0,0a b =<（5）由确定，则（ ）（A ）()f x 连续，()0f '不存在（B ）()0f '存在，()f x '在0x =处不连续 （C ）()f x '连续，()0f ''不存在 （D ）()0f ''存在，()f x ''在0x =处连续 （6）若函数()121()ln f dx x x +∞+=⎰αα在若0=αα处取得最大值，则0α是( )（A ）1ln ln 2-（B ）lnln2- （C ）1ln 2（D ）ln2（7）设函数2()()x f x x a e =+.若()f x 无极值点，但有拐点，则a 的取值范围为( )（A ）[0,1) （B ）[1,)+∞ （C ）[1,2) （D ）[2,)+∞（8）已知A ，B 都为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，*M 为矩阵M 的伴随矩阵，则*⎛⎫⎪⎝⎭A E OB 为( )（A ）****⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭A B B A OB A（B ）****⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭A B A B OB A （C ）****⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B A B A OA B（D ）****⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B A A B OA B（9）设二次型222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--，则该二次型的规范形为（ ）（A ）2212y y + （B ）2212y y - （C ）2221234y y y +-（D ）222123y y y +-（10）设121221,31αα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、122150,91ββγ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、既可由12αα、线性表示，也可由12ββ、线性表示，则γ为（ ） （A ）33,4R k k ⎛⎫⎪⎪⎝⎭∈⎪（B ）35,10R k k ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭∈（C ）-11,2R k k ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭∈（D ）15,8R k k ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭∈⎪二、填空题：11～16小题,每小题5分,共30分． （11）设22()ln(1),()cos x f x ax bx x g x e x =+++=-，且()f x 与()g x 为等价无穷小，则ab = . （12）设()y x =⎰，则此曲线的弧长为 .（13）已知(,),2zz z x y e xz x y =+=-，求22z x∂=∂ .（14）23532x y y =+确定()y y x =，则()y y x =在1x =处的法线斜率为 . （15） 函数)(x f 满足⎰==-+200)(,)()2(dx x f x x f x f ，则⎰=31)(dx x f .（16）方程组13123123121202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩ 有解，已知0111412a a a =，则 11120a a a b = .三、解答题：17～22小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本题目满分10分） 设曲线)(:x y y L =)(e x >经过点)0,(2e ，L 上任一点),(y x P 到y 轴距离等于该点处的切线在y 轴上的截距. （1）求)(x y ;（2）在L 上求一点使该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小并求此最小面积.（18）（本题满分12分） 求函数2cos (,)e2yx f x y x =+的极值.（19）（本题满分12分）已知平面区域{(,)|01}D x y y x =≤≤≥（1）求平面区域D 的面积; （2）求D 绕x 轴旋转一周的旋转体体积.（20） (本题满分12分)设平面有界区域D位于第一象限，曲线22221,2,,x y xy x y xy y +-=+-==0y =围成，求221.3Ddxdy x y +⎰⎰ （21） (本题满分12分)函数()f x 在[,]a a -上具有二阶连续导数. 证明： （1）若(0)0f =, 则存在(,)a a ξ∈-使得21()[()()]f f a f a a ξ''=+-. （2）若()f x 在(,)a a -取极值，则存在(,)a a η∈-使得21()()()2f f a f a a η''+-.（22）(本题满分12分)已知112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭对所有x 均成立.（1）求矩阵A ;（2）求可逆矩阵P 和对角阵Λ，使得1P AP -=Λ.参考答案一、选择题二、填空题 （11）【答案】2-（12）【答案】43π（13）【答案】32-. （14）【答案】 119-（15）【答案】12（16）【答案】8 三、解答题（17）【答案】（1）x x x x y 2ln )(+-=，（2）)21,(2323e e ，3min e S =（18）【答案】极小值为2(,2)2e f e k π-=-.（19）【答案】（1）ln(1（2）(1)4ππ-（20）. （21）【答案】（Ⅰ）泰勒公式在0=x 处展开； （Ⅱ）泰勒公式在极值点处展开.（22）【答案】（1）111211011A⎛⎫⎪=-⎪⎪-⎝⎭;（2）410301121P⎛⎫⎪= ⎪⎪--⎝⎭，212⎛⎫⎪Λ=-⎪⎪-⎝⎭.。
2021考研数学(二)真题(含详细解析)
2k 1 1 2n n
lim
n
n k 1
f
k
1
n
1
f (x)dx .选（B）.
0
（8）二次型 f (x1, x2, x3) (x1 x2 )2 (x2 x3)2 (x3 x1)2 的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）
（A）2,0
（B）1,1
（C）2,1
（D）1,2
【答案】B
【解析】方法 1： f (x1, x2, x3) (x1 x2 )2 (x2 x3)2 (x3 x1)2 2x22 2x1x2 2x2x3 2x1x3 ，其二
）
（A）
lim
n
n k 1
f
2k 1 2n
1 2n
（B）
lim
n
n k 1
f
2k 1 1 2n n
（C）
lim
n
n k 1
f
k 1 2n
1 n
【答案】B
（D）
lim
n
n k 1
f
Hale Waihona Puke k 2 2n n【解析】由于
k n
k
2k 1 2n
k 1 n
，则 lim n
n k 1
f
t 1 1)et
t2
确定，则
d2y dx2
t0
.
【答案】 2 3
【解析】利用参数方程的求导公式
dy dx
yt xt
' '
4tet 2t 2et 1
，
d2y dx2
d dx
dy dx
d dx
4tet 2et
2t 1
d dt
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．函数y=C1ex+C2e一2x+xex满足的一个微分方程是A．y”一y’一2y=3xex．B．y”一y’一2y=3ex．C．y”+y’一2y=3xex．D．y”+y’一2y=3ex．正确答案：D解析：由y=C1ex+C2e一2x+xex知，齐次方程的两个特征根分别为1和一2，所以只有(C)和(D)可能是正确的选项，将y=xex代入(D)中方程知其满足该方程，则应选(D)．2．在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是A．y”‘+y”一4y’一4y=0．B．y”‘+y”+4y’+4y=0．C．y”‘一y”一4y’+4y=0．D．y”‘一y”+4y’一4y=0．正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为(p一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为y”‘一y”+4y’一4y=0故应选(D)．3．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=g(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．B．C．D．正确答案：A解析：由于λy1+μy2为方程y’+p(x)y=q(x)的解，则(λy1+py2)’+p(x) (λy1+μy2)=q(x)即λ(y1+p(x)y1)+μ(y2’+p(x)y2)=q(x)λq(x)+μp(x)=q(x)λ+μ=1由于λy1一μy2为方程y’+p(x)y=0的解，则(λy1一μy2)’+p(x) (λy1一μy2)=0λ(y1’+p(x)y1)一μ(y2’+p(x)y2)=0λq(x)一μq(x)=0λ一μ=0由(1)式和(2)式解得λ=μ=．4．微分方程y”一λ2y=eλx+e一λx(λ＞0)的特解形式为A．a(eλx+e一λx)．B．ax(eλx+ e一λx)．C．x(aeλx+be一λx)．D．x2(aeλx+be一λx)．正确答案：C解析：方程y”一λ2y=0的特征方程为r2一λ2=1r1=λ，r2=一λ方程y”一λ2y=eλx的特解形式为ax eλx方程y”一λ2y=e一λx的特解形式为bx e一λx则原方程的特解形式为y=x(axeλx+bxe一λx)故应选(C)．填空题5．微分方程y’=的通解是________．正确答案：y=Cxe一x．解析：由则ln|y|= ln|x|一x=ln|x|+ln e一x= ln(|x| e一x)y=Cxe一x．6．二阶常系数非齐次线性微分方程y”一4y’+3y=2e2x的通解为y=________．正确答案：y=C1ex+C2e3x一2e2x．解析：齐次方程特征方程为ρ2一4ρ+3=0解得ρ1=1，ρ2=3，则齐次方程通解为y=C1ex+ C2e3x设非齐方程特解为=Ae2x，代入原方程得A=一2，则原方程通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x．7．微分方程(y+x2e一x)dx一xdy=0的通解是y=________．正确答案：y=x(C一e一x)．解析：方程(y+x2e一x)dx一xdy=0可改写为=x[∫e一xdx+C]=x(一e一x+C)=x(C一x).8．3阶常系数线性齐次微分方程y”‘一2y”+y’一2y=0的通解为y=________．正确答案：y=C1e2x+ C2cosx+C1sinx.解析：方程y”‘一2y”+ y’一2y=0的特征方程为r3—2r2+r一2=0即r2(r 一2)+(r一2)=0(r一2)(r2+1)=0r1=2，r2，3=±l’则原方程通解为y=C1e2x+ C2cosx+C1sinx．9．微分方程y’+y=e一xcosx满足条件y(0)=0的解为y=________．正确答案：e一x sinx．解析：由一阶线性方程的通解公式得y=e一∫dx[∫e一xcosx．e∫dxdx+C]=e 一x[∫cosxdx+C]=e一x[sinx+C]由y(0)=0知，C=0，则y=e一xsinx．10．微分方程ydx+(x一3y2)dy=0满足条件y|x=1=1的解为y=________．正确答案：解析：由ydx+(x一3y2)dy=0得这是一阶线性微分方程，由通解公式得又因为y=1时，x=1，解得C=0，故x=y2．y=．11．已知y1=e3x—xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y|x=0=0，y’|x=0=1的解为y=________．正确答案：C1ex+C2e3x—xe2x解析：由题设知y1一y3=e3x，y2一y3=ex为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为y=C1ex+ C2e3x—xe2x．12．设函数y=y(x)是微分方程y”+y’一2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3，则y(x)=________．正确答案：2ex+e一2x．解析：原方程的特征方程为λ2+λ一2=0特征根为λ1=1，λ2=一2原方程的通解为y=C1ex+ C2e一2x由y(0)=3，y’(0)=0得则C1= 2，C2=1，y =2ex+e 一2x．13．以y=x2一ex和y=x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为________．正确答案：y’一y=2x一x2解析：设所求的一阶非齐次线性方程为y’+p(x)y=q(x)则y=x2与y=x2一ex 的差ex应是方程y’+p(x)y=0的解，将y=ex代入以上方程得p(x)=一1，再把y=x2代入方程y’一y=q(x)得q(x)=2x一x2，则所求方程为y’一y=2x一x2.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
[考研类试卷]考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编28.doc
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[考研类试卷]考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编28一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 下列反常积分收敛的是( )2 反常积分①∫－∞01／x2e1／x dx与②∫0+∞1／x2e1／x dx的敛散性为( )（A）①发散，②收敛。
（B）①收敛，②发散。
（C）①收敛，②收敛。
（D）①发散，②发散。
3 设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则∫0x f(t)dt是( ) （A）连续的奇函数。
（B）连续的偶函数。
（C）在x=0间断的奇函数。
（D）在x=0间断的偶函数。
4 设函数y=f(x)在区间[－1，3]上的图形如右图所示，则函数F(x)=∫0x f(t)dt的图形为( )5 设函数f(x)=F(x)=∫0x f(t)dt，则( )（A）x=π是F(x)的跳跃间断点。
（B）x=π是F(x)的可去间断点。
（C）F(x)在x=π处连续不可导。
（D）F(x)在x=π处可导。
6 如图，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分[xf'(x)dx等于( )（A）曲边梯形ABOD面积。
（B）梯形ABOD面积。
（C）曲边三角形ACD面积。
（D）三角形ACD面积。
二、填空题7 ∫－∞1dx=_______。
8 ∫0+∞dx=_______。
9 曲线y=－x3+x2+2x与x轴所围成的图形的面积A=_______。
10 位于曲线y=xe－x(0≤x＜+∞)下方，x轴上方的无界图形的面积是_______。
11 设曲线的极坐标方程为ρ=e aθ(a＞0)，则该曲线上相应于θ从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为_______。
12 当0≤θ≤π时，对数螺旋r=eθ的弧长为_______。
13 曲线y=∫0x tanxdx(0≤x≤π／4)的弧长s=_______。
14 设封闭曲线L的极坐标方程为r=cos3θ(－π／6≤θ≤π／6)，则L所围平面图形的面积是_______。
2019年考研数学二21题多种解法
2019年考研数学二第21题多种解法一、题目给定函数f(x) = 1/(3x + 2)，计算f[f[f(x)]] / f[f(f(x))] 在(0,1) 区间的值。
二、多种解法1. 代数法首先，我们可以通过代入法来求解该问题。
首先，将f(x) = 1/(3x + 2) 代入，得到f[f(x)] 和f[f[f(x)]] 的表达式。
然后，再代入f(f(x))，就可以求得f[f[f(f(x))]] 和f[f(f(x))] 的表达式。
最后，通过简单的代数运算即可得到结果。
2. 几何法另外一种方法是通过几何意义来理解这个问题。
我们可以将函数f(x) 的图像在坐标系中表示出来，然后通过观察图像来求解问题。
这种方法可以更加直观地理解问题的本质，但是计算过程可能会比较复杂。
3. 微积分法我们也可以利用微积分的知识来求解这个问题。
首先，我们需要找到函数f(x) 的导数，然后利用导数求解原函数在指定区间内的值。
最后，将所求得的函数值代入到目标表达式中即可。
4. 线性代数法我们可以利用线性代数的方法来解决这个问题。
首先，我们将函数f(x) 表示为矩阵的形式，然后利用矩阵的运算规则来求解目标表达式的值。
这种方法需要我们熟悉矩阵的运算规则，但是对于某些问题可能会更加简便。
5. 数学归纳法我们还可以利用数学归纳法来解决这个问题。
首先，我们需要找到函数f(x) 的递推关系式，然后通过归纳法求解目标表达式的值。
这种方法需要我们熟悉数学归纳法的应用，但是对于某些问题可能会更加简洁明了。
6. 函数性质法利用函数性质进行求解也是一种常见的方法。
对于给定的函数f(x) = 1/(3x + 2)，我们可以分析其单调性、奇偶性等性质，然后结合这些性质进行求解。
这种方法需要我们熟悉函数的性质及其应用。
7. 不等式法利用不等式性质也是求解此类问题的一种方法。
我们可以根据函数的值域、单调性等性质，推导出一些不等式，然后利用这些不等式进行求解。
这种方法需要我们熟悉不等式的性质及其应用。
2021年考研(数学二)真题试卷 (含答案解析)
选择题---为题目类型1.当x→0时，（A）低阶无穷小（B）等价无穷小（C）高阶无穷小（D）同阶但非等价无穷小2.函数f(x)＝（A）连续且取极大值（B）连续且取极小值（C）可导且导数为0（D）可导且导数不为03.有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm／s，－3cm／s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为( )（A）125πcm3／s，40πcm2／s（B）125πcm3／s，－40πcm2／s（C）－100πcm3／s，40πcm2／s（D）－100πcm3／s，－40πcm2／s4.设函数f(x)＝ax－b㏑x(a＞0)有两个零点，则b/a的取值范围是( )（A）(e，+∞)（B）(0，e)（C）(0，1/e)（D）(1/e，+∞)5.设函数f(x)＝secx在x＝0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则( )（A）a＝1，b＝－1/2（B）a＝1，b＝1/2（C）a＝0，b＝－1/2（D）a＝0，b＝1/26.设函数f(x，y)可微，且f(x+1，e x)＝x(x+1)2，f(x，x2)＝2x2㏑x，则df(1，1)＝( )（A）dx+dy（B）dx－dy（C）dy（D）－dy7.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，则∫01f(x)dx＝( )（A）（B）（C）（D）8.二次型f(x1，x2，x3)＝(x1+x2)2+(x2+x3)2－(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为( )（A）2，0（B）1，1（C）2，1（D）1，29.设3阶矩阵A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3)，若向量组α1，α2，α3可以由向量组β1，β2线性表出，则( )（A）Ax＝0的解均为Bx＝0的解（B）A T x＝0的解均为B T x＝0的解（C）Bx＝0的解均为Ax＝0的解（D）B T x＝0的解均为A T＝0的解10.已知矩阵A＝，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使PAQ 为对角矩阵，则P、Q可以分别取( )（A）（B）（C）（D）填空题---为题目类型11.12.设函数y＝y(x)由参数方程确定，则13.设函数z＝z(x，y)由方程(x+1)z+y㏑z－arctan(2xy)＝1确定，则14.已知函数f(t)＝15.微分方程y"'－y＝0的通解y＝________．16.多项式f(x)＝解答题---为题目类型17.求极限18.已知f(x)＝19.f(x)满足y＝y(x)(x>0)是微分方程xy′－6y＝﹣6满足y(20.求y(x).21.P为曲线y＝y(x)上的一点，曲线y＝y(x)在点P的法线在y轴上的截距为I P，为使I P最小，求P的坐标．23.曲线(x2+y2)2＝x2－y2(x≥0，y≥0)与x轴围成的区域为D，求24.设矩阵A＝选择题---为题目类型1.当x→0时，（A）低阶无穷小（B）等价无穷小（C）高阶无穷小（D）同阶但非等价无穷小【正确答案】C【试题解析】2.函数f(x)＝（A）连续且取极大值（B）连续且取极小值（C）可导且导数为0（D）可导且导数不为0【正确答案】D【试题解析】＝1＝f(0)，故f(x)在x＝0处连续．又f′(0)＝3.有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm／s，－3cm／s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为( )（A）125πcm3／s，40πcm2／s（B）125πcm3／s，－40πcm2／s（C）－100πcm3／s，40πcm2／s（D）－100πcm3／s，－40πcm2／s【正确答案】C【试题解析】设圆柱体底面半径是R，高为h，则R′＝2，h′＝－3．体积V＝πR2h、表面积S＝2πRh+2πR2，故V′＝2πR·R′h+R2πh′，S′＝2πR′h+2πRh′+4πR·R′，即V′|R＝10,h＝5＝﹣100π，S′|R＝10,h＝5＝40π．4.设函数f(x)＝ax－b㏑x(a＞0)有两个零点，则b/a的取值范围是( )（A）(e，+∞)（B）(0，e)（C）(0，1/e)（D）(1/e，+∞)【正确答案】A【试题解析】f(x)＝ax－b㏑x的定义域为x>0，则f′(x)＝a－．令f′(x)＝0，有x＝．欲使函数f(x)在(0，)，(，+∞)有两个零点，必有f()<0，即b－b㏑()＜0．从而有5.设函数f(x)＝secx在x＝0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则( )（A）a＝1，b＝－1/2（B）a＝1，b＝1/2（C）a＝0，b＝－1/2（D）a＝0，b＝1/2【正确答案】D【试题解析】设，f(x)＝secx，则f(x)在x＝0处的二阶泰勒展式为f(x)＝f(0)+f′(0)x+6.设函数f(x，y)可微，且f(x+1，e x)＝x(x+1)2，f(x，x2)＝2x2㏑x，则df(1，1)＝( )（A）dx+dy（B）dx－dy（C）dy（D）－dy【正确答案】C【试题解析】函数f(x，y)可微，且f(x+1，e x)＝x(x+1)2，则f′1+e x f′2＝(x+1)2+2x(x+1)．令x＝0，则有f′1(1，1)+f′2(1，1)＝1．①由f(x，x2)＝2x2㏑x，则f′1+f′2·2x＝4x㏑x+2x．令x＝1，则有f′1(1，1)+2f′2(1，1)＝2．②结合①式，②式可得：f′2(1，1)＝1，f′1(1，1)＝0．故df(1，1)＝f′1(1，1)dx+f′2(1，1)dy＝dy．7.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，则∫01f(x)dx＝( )（A）（B）（C）（D）【正确答案】B【试题解析】f(x)在[0，1]上连续，故∫01f(x)dx存在．将[0，1]平均n等分：[0，1]＝，取各区间中点ξk＝k/n－1/2n. 故8.二次型f(x1，x2，x3)＝(x1+x2)2+(x2+x3)2－(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为( ) （A）2，0（B）1，1（C）2，1（D）1，2【正确答案】B【试题解析】作变换，记A＝，则|A|＝0，故变换不可逆．二次型展开得：f(x1，x2，x3)＝x22+2x1x2+x22+2x2x3+2x1x3，故二次型矩阵为B＝，|λE－B|＝9.设3阶矩阵A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3)，若向量组α1，α2，α3可以由向量组β1，β2线性表出，则( )（A）Ax＝0的解均为Bx＝0的解（B）A T x＝0的解均为B T x＝0的解（C）Bx＝0的解均为Ax＝0的解（D）B T x＝0的解均为A T＝0的解【正确答案】D【试题解析】由条件知(α1，α2，α3)＝(β1，β2，β3)P，即A＝BP．故A T＝P T B T．从而B T x＝0的解是A T x＝0的解．10.已知矩阵A＝，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使PAQ 为对角矩阵，则P、Q可以分别取( )（A）（B）（C）（D）【正确答案】C【试题解析】代入验证：A．PAQ＝为非对角矩阵；B．PAQ＝为非对角矩阵；C．PAQ＝为对角矩阵；D．PAQ＝填空题---为题目类型11.【正确答案】【试题解析】12.设函数y＝y(x)由参数方程确定，则【正确答案】2/3【试题解析】由x＝2e t+t+1可知，＝2e t+1；由y＝4(t－1)e t+t2可知，＝4te t+2t，故. 令t＝0，则13.设函数z＝z(x，y)由方程(x+1)z+y㏑z－arctan(2xy)＝1确定，则【正确答案】1【试题解析】将y＝2代入，得(x+1)z+2㏑z－arctan4x＝1．对x求导得：z+(x+1)将x＝0代入，得z＝1，故14.已知函数f(t)＝【正确答案】【试题解析】15.微分方程y"'－y＝0的通解y＝________．【正确答案】y＝C1e x+【试题解析】特征方程为λ3－1＝(λ－1)(λ2+λ+1)＝0，则特征根λ1＝1，λ2＝，λ3，故方程通解为y＝C1e x+16.多项式f(x)＝【正确答案】-5【试题解析】f(x)＝解答题---为题目类型17.求极限【正确答案】18.已知f(x)＝【正确答案】(I)f(x)＝当x≥0时，f′(x)＝1－，f″(x)＝＞0；当－1＜x＜0时，f′(x)＝－1，f″(x)＝＜0；当x＜－1时，f″(x)＝－＞0．故当x∈(0，+∞)时，曲线y＝f(x)是凹的，x∈(－1，0)时，曲线y＝f(x)是凸的；当x ∈(－∞，－1)时，曲线y＝f(x)是凹的．(Ⅱ)1°当x＝－1时，无定义，且f(x)＝－∞，故x＝-1为垂直渐近线．2°由f(x)＝+∞，f(x)＝+∞，故f(x)无水平渐近线．3°由＝－1，故y＝x－1为正向渐近线，由19.f(x)满足【正确答案】y＝y(x)(x>0)是微分方程xy′－6y＝﹣6满足y(【正确答案】20.求y(x).【正确答案】原方程整理为y′＝y－，故通解为y＝＝Cx6+1．由y(√3)＝10，知C＝，故特解为y＝21.P为曲线y＝y(x)上的一点，曲线y＝y(x)在点P的法线在y轴上的截距为I P，为使I P最小，求P的坐标．【正确答案】设P点坐标为(x，1+x6)，则过P点的法线方程为：Y－(1+x6)＝－(X －x)．令X＝0，得Y＝I p＝+x6+1．由Y′(x)＝23.曲线(x2+y2)2＝x2－y2(x≥0，y≥0)与x轴围成的区域为D，求【正确答案】曲线(x2+y2)2＝x2－y2(x≥0，y≥0)的极坐标方程为r＝区域D＝{(θ，r)|0≤θ≤π/4，0≤r≤}. 引入极坐标x＝rcosθ，y＝rsinθ，24.设矩阵A＝【正确答案】由|λE－A|＝＝(λ－b)(λ－1)(λ－3)＝0，得特征值λ1＝1，λ2＝3，λ3＝b．由题设矩阵A仅有两个不同特征值，故b＝1或b＝3．1°若b＝1．因为A 可相似对角化，所以r(A－E)＝1，故a＝1．(A－E)X＝0的基础解系为ξ1＝(1，－1，0)T，ξ2＝(0，0，1)T．(A－3E)X＝0的基础解系为ξ3＝(1，1，1)T，取P＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝，则P－1AP＝. 2°若b＝3，因为A可相似对角化，所以r(A－3E)＝1，故a＝－1．(A －E)X＝0的基础解系为ξ1＝(－1，1，1)T，(A－3E)X＝0的基础解系为ξ2＝(0，0，1)T，ξ3＝(1，1，0)T，取P＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝，则P－1AP＝。
2024考研数二真题及答案
2 0 2 4 年 考 研 数 学 ( 二 ) 真 题 及 答 案一、选择题：(1- 10小题，每小题5分，共50分。
下列每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)的 第 一 类 间 断 点 的 个 数 为 ( )1. A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】C已知, 则A.2eB.C.【答案】B3.已知A.f(x) 为奇函数，g(x) 为奇函数B.f(x) 为奇函数，g(x) 为偶函数 c.f(x) 为偶函数，g(x) 为偶函数 D.f(x) 为偶函数，g(x) 为奇函数 【答案】D2.口【答案】C4.已知数列{a,}(a,≠0),若{a,}发散，则( )A.B.C.D.发散发散【答案】D5. A.B.C.D. 已知 函数 则在点(0,0)处( ).连 续 ，f(x.y) 可微连续，f(x.y) 不可微不连续，f(x.y) 可微不连续，f(x.y) 不可微6.设f(x,y) 是连续函数，则(A)(D)(C)【答案】A7.设非负函数f(x) 在[0,+0]上连续，给定以下三个命题：( 1 ) 若收敛，则(2)若存在p>1, 使极限存在，则收敛；( 3 ) 若收敛，则存在p>h使极限存在；其中正确的个数是( )(A)0 (B)r (C)2 (D)3【答案】B8.8.设A为三阶矩阵，则矩阵A为 ( )【答案】C9 . 设A*为四阶矩阵，A* 为A的伴随矩阵，若A(A-A*)=0, 且A≠A*,则r(A)的可能取值为( )A.0 或 1B.1 或 3C.2 或 3D.1 或 2【答案】D1 0 . 设A,B 均为2阶矩阵，且AB=BA, 则“A有两个不相等的特征值”是“B可对角化”的()A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分请将答案写在答题纸指定位置上。
11. 曲线y²=x 在点(0,0)处的曲率圆方程为【答案】 (x-1/2)平方+y 平方=1/412 . 函数f(x,y)=2x³-9x²-6y²+12x+24y 的极值点是【答案】(1,1)13.微积方程满足y(1)=0 的解为【答案】y-arctan(x+y)+ 元/4=014. 已知函数f(x)=x²(e×-1), 则f(5)(x)=【答案】|3ie15.某物体以速度v(t)=t+ksinπt做线运动，若它从t=0 到t=3 的时间段内平均速度是 , 则k=【答案】3π/216 .设向,若a₁,a₂,a₃ 线性相关，且其中任意两个向量均为线性无关，则ab=【答案】-4三、解答题：(17-22小题，共70分。
考研数学二历年真题word版
2015年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．下列反常积分收敛的是（ ）（A）2+∞⎰（B ）2ln x dx x +∞⎰（C ）21ln dx x x+∞⎰ （D ）2x x dx e +∞⎰2．函数201sin ()lim x tt t f x x →⎛⎫=+⎪⎝⎭在(,)-∞+∞内（ ） （A ）连续 （B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点 （D ）有无穷间断点3．设函数 100000cos ,(),(,),x x f x xx αβαβ⎧>⎪=>>⎨⎪≤⎩，若()f x '在0x =处连续，则（ ） （A ）1αβ-> （B ）01αβ<-≤ （C ）2αβ-> （D ）02αβ<-≤4．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 5．设函数(,)f u v 满足22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则1111|,|u u v v f f u v ====∂∂∂∂依次为（ ） （Ａ）102, （Ｂ）102, （Ｃ）102,- （Ｄ）102,-6．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线,y x y ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（ ）（Ａ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（Ｂ）34(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰（Ｃ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（Ｄ）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰7．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是 （A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω8．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ） 2221232y y y ++ 9．设33arctan x t y t t=⎧⎨=+⎩，则212|t d ydx == ． 10．函数22()x f x x =在0x =处的n 阶导数0()()n f = ．11．设函数()f x 连续，2()()x x xf t dt ϕ=⎰，若1115(),()ϕϕ'==，则1()f = ．12．设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处()y x 取极值3，则()y x = ． 13．若函数(,)z z x y =由方程231x y zexyz +++=确定，则00(,)|dz = ．14．设三阶矩阵A 的特征值为221,,-，2B A A E =-+，其中E 为三阶单位矩阵，则行列式B = ． 三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值． 16．（本题满分10分）设0A >，D 是由曲线弧02sin ()y A x x π=≤≤及直线02,y x π==所围成的平面区域，12,V V 分别表示D 绕,x y 旋转一周所围成的旋转体的体积，若12V V =，求A 的值．17．（本题满分10分）已知(,)f x y 满足21(,)(),x xy f x y y e ''=+01(,)(),x x f x x e '=+202(,)f y y y =+，求(,)f x y 的极值．18．（本题满分10分）计算二重积分()dxdy Dx x y -⎰⎰，其中{}2222(,)|,D x y x y y x =+≤≥ 19．（本题满分10分）已知21()x f x =+⎰⎰，求()f x 的零点个数．20．（本题满分11分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C ︒，物体在20C ︒恒温介质中冷却，30分钟后该物体的温度降到30C ︒．若要将物体的温度继续降至21C ︒，还需要冷却多长时间？21．（本题满分11分）已知函数()f x 在区间[,)a +∞上具有二阶导数，000(),(),()f a f x f x '''=>>．设b a >，曲线()y f x =在点(,())b f b 的切线与x 轴的交点是00(,)x ，证明：0.a x b <<22．（本题满分11分）设矩阵101101a A a a ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，且30A =．（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足22X XA AX AXA E ---=，其中E 为三阶单位矩阵，求X ． 23．（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭．（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵．2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8题,每题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)曲线221x xyx+=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设20sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是 ( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -=(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭ .(11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=,(I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<. (21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.(22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2，(I) 求实数a 的值；(II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.已知当0x →时，函数是等价无穷小，则与k cx x x x f 3sin sin 3)(-= A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-42.=-==→3320)(2)(,0)0(0)(limx x f x f x f x x f x 则处可导，且在已知A )0(2f '-B )0(f '-C )0(f 'D 03.函数)3)(2)(1(ln )(---=x x x x f 的驻点个数为 A 0 B 1 C 2 D 34.微分方程的特解形式为)0(2>+=-'-λλλλx x e e y y A)(x x e e a λλ-+ B )(x x e e ax λλ-+ C )(x x be ae x λλ-+ D )(2x x be ae x λλ-+5设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件 A 0)0(,1)0(>''>f f B 0)0(,1)0(<''>f f C 0)0(,1)0(>''<f f D 0)0(,1)0(<''<f f 6.设⎰⎰⎰===44400cos ln ,cot ln ,sin ln πππxdx K xdx J xdx I 的大小关系是、、则K J IA I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I7.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵。