[2020高中数学]5.备课资料(3.3.2 简单线性规划问题)

备课资料

备用习题

1.某糖果厂生产A、B两种糖果,A种糖果每箱获利润40元,B种糖果每箱获利润50元,其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序,下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间：（单位：分钟）

混合烹调包装

A 1 5 3

B 2 4 1

每种糖果的生产过程中,混合的设备至多能用12小时,烹调的设备至多只能用30小时,包装的设备只能用15小时,试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？

分析：找约束条件,建立目标函数.

解：设生产A种糖果x箱,B种糖果y箱,可获得利润z元,则此问题的数学模式在约束条件⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

≥

≥

≤

+

≤

+

≤

+

,0

,

900

3

,

1800

4

5

,

720

2

y

x

y

x

y

x

y

x

下,求目标函数z=40x+50y的最大值,作出可行域,其边界O A：y=0,AB：

3x+y-900=0,BC：5x+4y- 1 800=0,C D：x+2y-720=0,DO：x=0.

由z=40x+50y,得

50

5

4z

x

y+

-

=,它表示斜率为

5

4

-,截距为z[]50的平行直线系,

50

z

越大,z越大,从而可知过C点时截距最大,z取得了最大值.

解方程组⇒

⎩

⎨

⎧

=

+

=

+

1800

4

5

720

2

y

x

y

x

C(120,300).

∴z m a x=40×120+50×300=19 800,即生产A种糖果120箱,生产B种糖果300箱,可得最大利润19 800元.

点评：由于生产A种糖果120箱,生产B种糖果300箱,就使得两种糖果共计使用的混合时间为120＋2×300＝720（分）,烹调时间5×120＋4×300＝1 800（分）,包装时间3×120＋300＝660（分）,这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间,但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用,这种“过剩”问题构成了该问题的“松弛”部分,有待于改进研究.

甲乙丙

维生素A（单位/千克）600 700 400

维生素B（单位/千克）800 400 500

成本（元/千克）11 9 4

食物,并使混合食物至少含56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.（1）用x、y表示混

合食物成本C ；（2）确定x 、y 、z 的值,使成本最低.

分析:找到线性约束条件及目标函数,用平行线移动法求最优解. 解:（1）依题意x 、y 、z 满足x+y+z=100z=100-x-y. ∴成本C =11x+9y+4z=7x+5y+400（元）. （2）依题意⎩

⎨

⎧≥++≥++,63000500400800,

56000400700600z y x z y x

∵z=100-x-y,

∴⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≥≥-≥+.0,0,1303

,

16032y x y x y x 作出不等式组所对应的可行域,如右图所示.

联立⇒⎩

⎨⎧=+=-160321303y x y x 交点A (50,20).

作直线7x+5y+400=C ,则易知该直线截距越小,C 越小,所以该直线过A (50,20)时,直线在y 轴截距最小,从而C 最小,此时7×50＋5×20＋400＝C ＝850元. ∴x=50千克,z=30千克时成本最低.