一种新的图像加密算法研究

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基于细胞神经网络的图像加密新算法

加密新算法，并对该算法进行了性能分析．仿真结果表明该算法对密钥具有高度的敏感性，密钥
空间巨大，明文的统计特性完全被打破，大大降低了图像相邻像素之间的相关性，且因此具有较
高的可靠性和保密性．
关键词：细胞神经网络；混沌；沌序列；图像加密超混中图分类号：Ｐ８Ｔ１３文献标识码：Ａ
ｐｅｌｂｅｋｅｔｉｉａｃａａｔｒｔｓｆｌｉｔｔＡｄｔｅｅｖｃｅｅｎａｊｃｎｐｅｓｆｈｇｌｅｒａｓｈａｓｃｈｃｉｉａｅ．ｎｌａｅｂｔｅｄａｅｔｉｌｏｅｉｅｉｔｙｔｓｔｔｌｒｅｓｃｏｐｎｘｈｒｅｎｗｘｔｍａｓ
（ａｕｔｏＩｆｒａｉｎｉｅｒｇｉｇｉｎｖｒｉｏＳｉｎｅａｄＴｃｎｌｇ，ａｚｏ４１０，ｈｎ）ＦｃｌｆｎｏｍｔｎＥｇｎｅｉ，ａｘＵｉｅｓｙｆｃｅｃｙｏｎＪｎｔｎｅｈｏｏｙｎｈｕ３００ＣｉａＧＡｂｔａｃ－ｃｒｉｇｔｉｈ－ｍｅｓｏａｈａｔｃｓｓｅｗｉｈａａｃｄｓｃｒｔｅｔｒｓｅｉｇｎＣｙｔｏｓｒｔＡｃｏｄｎｏｈｇｄｉｎｉｎｌｃｏｉｙｔｍｔｄｖｎｅｅｕｙｆａｕｅ，ａｎｗｍａｅｅｒｐｉｎｉｌｏｈｂｓｄｏＤｌｕａｕｒＮｅｗｏｋｉｒｐｏｅＡｎｅｆｒｎｃｆｔｅａｏｉａｇｒｔｍａｅｎ５ＣｅｌｌｒＮｅａｔｒｓｐｏｓｄ，ｄｔｅｐｒｏｍａｅｏｈｇｒｔｍｓａａｙｅＴｈｉｌｈｌｈｉｌｚｄ．ｅｎｓｍｕｌｔｎｒｓｌｓｉｄｃｔｈａｅａｇｒｔｍｓｈｇｌｅｓｔｅｔｈｅｋｙ，ｎｄｋｅｐａｅｉｎｒｏｓ，ｉｈＣＢ－ｉａｉｅｕｔｎｉａｅｔｔｔｏｈｉｉｈｙｓｎｉｖｏｔｅｓａｙｓｃｓｅｏｏｈｌｉｉｍｕｗｈｃＯ－

一种复合混沌图像加密算法研究

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
了置乱像素之间的这种强相关性，可以采用Ａｎｌｒｏｄ
我们知道混沌是非线性确定系统的一种内在随变换来置乱图像的这种位置关系。机过程的表现。近年来，对混沌的研究得到了越来为了国内外的热点课题之一ｌＪ１。。
［作者简介］飞（９８唐１７一），男（），安徽桐城人，硕士，助教，Ｅｉｔｇ＠ｓｉ．ｒ．汉ｍａｌａｆｚｔｏｃ：ｎｉｃｎｎ
维普资讯
第４期
唐飞，王清华，李玉文，田丽洁：一种复合混沌图像加密算法研究
假设原始图像，是大小为Ｎ ×Ｎ，灰度
越多的重视，其中利用混沌对图像进行加密已经成级为２灰度图。图像像素的坐标表示为６的５
Ｃ＝｛，ｌ，＝０ｌ，，１。贝Ａｎｌ变（），２… Ｊ）０ｒｏｄ，Ｖ—
３３
耦合映像格（ＣＯＭＬ）混沌系统来改变图像的灰度数，可以将作为密钥的一部分。这种密文反馈值。方式进行加密结构与传统的采用混淆与扩散的分组
１２单向耦合映像格（．ｏＣＭＬ）混沌系统后，由于其执行效率高，产生的伪随机数好而得到了广泛的研究。ＯＭＬ学表达式为：Ｃ数
Ｖ０．．１５Ｎ０４
Ｄｅ２２０７ｌ．０
一
种复合混沌图像加密算法研究
唐飞，王清华，李玉文，田丽洁
（．圳信息职业技术学院科研设备处，广东深圳，５８２１深１０９２北京软通动力信息技术有限公司深圳分公司，广东深圳，５８６．１００）摘要：图像加密日益受到重视，许多加密算法被提出，由于混沌序列有着良好的伪随机性和对初始

一种基于分数阶傅里叶变换的改进图像加密算法

文章编号：１７．７２２１ｌ０２０６１Ｉ４（００Ｏ一２ —４Ｊ０
一
种基于分数阶傅里叶变换的改进图像加密算法
崔得龙，肖明，左敬龙
（茂名学院计算机与电子信息学院，东茂名５５０）广２００
摘要：针对目前基于分数阶傅里叶变换的图像加密算法中存在的不足，设计了一种基于分数阶傅里叶变换和
（）一（，）ｕ “Ｋ “ｄ
域的特例。
ＦＦＲＴ域也称为Ｕ域，时域和频域则可视为Ｆ而
离散形式的分数阶傅里叶变换（ＦＦＤｉｒｔＦａｔｎｌｏｒｒｒｎｆｒ需通过限定输入输出采样间ＤＲＴ，ｓｅｅｒｃｉａＦｕｉａｓｍ）ｃｏｅＴｏ隔来保持ＤＲＴ变换核的正交性，ＦＦ从而使经过正反两次变换后得到的序列和原序列完全一致［。即对ＦＦ５］ＲＴ
２３
其中ｌＩ是与Ｍ互质的ｓ整数（取为１，ｓ（ｎ）（ｉａ－ｃｓ）Ｄ为整数。常）＝ｆｎｉ＂ｎｏａＡｇｓａｓ
Ｍ
，
为了简化计算，常取Ｍ＝Ｎ，样，ａＤｒ，通这当 ≠ ｒ时上式可以写成如下矩阵形式：
ｆ丁
Ｋｐｔ “ ＝（一“ （，）ｔ）Ｌｔ）（＋ＵＦＦＲｒ的逆变换为：
ｅｊ（２ｔ一ｕｃａｕｃａｘ￣ｔｏ２ｔｃ＋２ｔ）ｐｒｃａｓｏ
口＝２ｍｒａ＝（ｎ＋１丌２）
口 ≠ 玎

新的图像加密方法

小于加密图像，于保存。因加密的大部分步骤中只用到了限域的加法运算，因此该算法的加密效率较高。该加密方法不便有仅有安全性高和便于图像的局部加密等优点，还可以方便地推广到视频的图像加密领域，具有很好的应用前景。关键词二元多项式；编码；有限域；图像叠加：图像处理中图分类号０３；Ｔ２９４８Ｎ４文献标识码ＡｄｋＯ３６／ｉｎ１０．５８２１．１２ｏｌ．９．ｓ．０１４．００．９９ｊｓ０００
ｒｄｎａｃ，ｎｔｎｏｒｈｔｎａｏｇＰｘｌｄＳｎＡｅｍｅｈｄｏａｅｅｃｙｔｎｂｓｄｏｉａｉｔｅｕｄｙａｄｓｒｇｃｒｅａｉｎｏｏｍｎｉｅｓａＯｏ．ｎｗｔｏｆｉｇｎｒｐｉａｅｎｂｖｒｅｎｍｏａ
ｐｌｎｍｉｌｒｐｓｄａｃｒｉｇｔｈｒｃｅｓｏａｅ．ｎｔｅｐｏｅｓｏａｅｅｃｙｔｎａｏｈｒｄｇｔＩｏｙｏａｓｉｐｏｏｅｃｏｄｎｏｍｅｃａａｔｒｆｉｇｓＩｒｃｓｆｉｇｎｒｐｉ．ｎｔｅｉｉｔＳｍｈｍｏｔａｉａｅｊｕｅｓｔｅｋｙｉｈｓＷａｅｓｚｆｔｅｉｇｅｏｌｅｍｕｈｓａｌｒｔａｅｓｃｅａｅＴｅｍｇｓｄａｈｅ．ｎｔｉＳｙｔｉｅｏｈｈｍａｅｋｙｃｕｄｂｃｍｌｌｔｅｒｔｍｇ．Ｉｅ１ｈｎｉｈ

一种基于块置乱和反馈密钥的图像加密算法

林冰蒋国平，
（．Ｉ南京邮电大学计算机学院，苏南京２００江１０３；
２南京邮电大学自．动化学院，江苏南京２００）１０３
摘要：分析传统迭代型图像置乱方法以及静态灰度值加密方法不足的基础上，出了一种基于图像块位置置乱和动在提
ｃｙｔｏｓｄｏｅｅｄａｋｍｅｈｎｓ．ａｌｂｓｍｕａｏｅｕｔｈｗａｅａｇｒｔｓｒｂｉｇａｇｒｔｍａｂｉｕｄａｔｇｒｐｉｎｂａｅｎｋｙｆｅｂｃｃａｉｍＭｔｉｌｔｎｒｓｌｓｓｏｔｔｏｉａｉｈｔｌｈｈｍｃａｌｌｏｉｍｎｈｈｓｏｖｏｓａｖａｅｎ
态密钥反馈机制的数字图像加密算法。算法的关键思想是基于分块原理的均匀置乱，以及根据各像素点的不同属性动态
选择不同的混沌序列对图像进行基于密钥反馈机制的灰度值加密。仿真结果表明，均匀置乱算法在相邻像素相关性方面优势明显，密文分布均匀；馈机制和动态选择混沌系统使得灰度值加密算法具有理想的密钥空间，秀的抗明文、文反优密攻击能力；整个加密算法时间复杂度合理，全性高。安关键词：图像块置乱；ｏｉｉＬｇｔｓｃ映射；准混沌映射；标密钥反馈
ＬＩＢｉｇＪＡＮＧｏ—ｐｎＮｎ。ＩＧｕｉｇ
（．ｏｌｇｆｏｕｒＮｎｉｇＵｉｅｓｙｏｏｔａｄＴｌｏ１Ｃｌｅｏｍｐｔ。ａｊｎｖｒｉｆｓｎｅｃｍｍｕｃｔｎ，ａｊｇ２００Ｉｈｎ；ｅＣｅｎｔＰｓｅｉｉｎａｏｓＮｉ１０３Ｃｉａｎｎ２ＣｌｇｆｕｏｔｎＮｎｉｇＵｎｅｓｙｏｏｔａｄＴｌｏｍｕｃｔｎ。ａｊｇ２００，ｈｎ）．ｏｌｅｏｔｍａｏ。ａｊｉｒｉｆｓｅｅｍｎａｏｓＮｎｉ１０３ＣａｅＡｉｎｖｔＰｓｎｃｉｉｎｉ

一种基于混沌的数字图像加密算法

王立功
（黑龙江计算中心，黑龙江哈尔滨１０３）０６５
摘
要：出Ｉ一于Ｌｇｓｉ映射的混沌图像枷街算法，提ｒ种塔ｏｉｔｉＣ为了提高算法的安全性，采用循环移位进一步扰乱囝像像素值，得到最终的加密图像。实验证Ｈ该算法具有易丁实现，ｊ】计算速度快、密钥空间大、可以抵抗唯密文攻击等ｔ点。｝亡
２混沌加密原理
混沌理论（ｈｏｉＴｅｒ）Ｃａｔｈｏｙ是近三十年才兴起的科学ｃ革命，它与相对论及量子力学被列为二十世纪的最伟大发现和科学传世之作。量子力学质疑微观世界的物理因果律，而混沌理论则否定了包括宏观世界拉普拉斯（ａｌｃ）（ｐａｅＬ
１引言
随着多媒体和网络通信技术的不断发展和迅速普
加密算法，改进了基于Ｌｇｓｉ映射图像加密方法。通常ｏｉｃｔ的方法是首先产生一幅与待加密图像尺寸相同的混沌图像，然后用该混沌图像与原始图像进行异或运算。为了进一步打乱像素值，高加密的安全性，提增加破译难度，本文的算法对异或运算结果的每一像素的灰度值进行循环移位，得到最终的加密图像，当需要对加密图像进行解密时，只要把加密图像的每一像素值像反方向循环移位，
从而适用于网络传输。接收端在解码后方可进行解密。
为国际非线性科学和信息科学两个领域交叉融合的热门前沿课题之一，也是国际上高科技研究的一个新领域。
混沌现象是在非线性动力系统中出现的确定性、类似随
机的过程，这种过程既非周期又非收敛，并且对初值具有

基于混沌系统的图像加密算法研究[开题报告]

开题报告通信工程基于混沌系统的图像加密算法研究一、课题研究意义及现状意义:随着计算机技术和网络通信技术不断发展和迅速普及，通信保密问题日益突出。

信息安全问题已经成为阻碍经济持续稳定发展和威胁国家安全的一个重要问题，而密码学是用来保证信息安全的一种必要的手段，现代密码学便应运而生，如经典的私钥密码算法DES、IDEA、AES和公钥密码算法RSA、EIGamal等，新颖的量子密码、椭圆曲线密码算法等，在信息安全的保密方面都发挥了重要作用。

图像信息生动形象，它已经成为人类表达信息的重要手段之一，网络上的图像数据有很多是要求发送方和接收方要进行保密通信的，信息安全与保密显得越来越重要。

目前，国际上正在探讨使用一些非传统的方法进行信息加密与隐藏，其中混沌理论就是被采纳和得到广泛应用的方法之一。

混沌加密是近年来兴起的一个研究课题，基于混沌理论的保密通信、信息加密和信息隐藏技术的研究已成为国际非线性科学和信息科学两个领域交叉融合的热门前沿课题之一，也是国际上高科技研究的一个新领域，基于混沌理论的密码学近来成为很热门的科学。

对于数字图像来说，具有其特别的一面就是数字图像具有数据量大、数据相关度高等特点，用传统的加密方式对图像加密时存在效率低的缺点；而新型的混沌加密方式为图像加密提供了一种新的有效途径。

基于这种原因，本论文主要探讨基于混沌理论的数字图像加密算法。

混沌现象是在非线性动力系统中出现的确定性、类似随机的过程，这种过程既非周期又非收敛，并且对初值具有极其敏感的依赖性，混沌系统所具有的这些基本特性恰好能够满足保密通信及密码学的基本要求。

图像加密过程就是通过加密系统把原始的图像信息(明文)，按照加密算法变换成与明文完全不同的数字信息(密文)的过程。

国内外现状:1963年，洛伦兹发表论文“决定论非周期流”，讨论了天气预报的困难和大气湍流现象，给出了著名的洛伦兹方程，这是在耗散系统中，一个确定的方程却能导出混沌解的第一个实例，从而揭歼了对混沌现象深入研究的序幕。

图像加密与隐写术研究

图像加密与隐写术研究随着数字技术的迅速发展，图像在我们的生活中扮演着越来越重要的角色。

为了保护图像的安全性和保密性，人们开始研究图像加密和隐写术。

本文将探讨图像加密和隐写术的基本概念、研究方法和应用领域。

图像加密是一种将图像数据转换为无法理解的形式，以实现保密通信的技术。

传统的图像加密算法通常包括置乱和扩散两个步骤。

置乱将图像像素重新排列，扩散则通过对图像像素进行复杂的数学运算来隐藏图像的原始信息。

常用的图像加密技术有DES、AES等。

这些技术通过对图像进行多次重复的运算，使得图像的信息几乎无法还原，从而有效地增加了破解的难度。

隐写术是将秘密信息嵌入到覆盖载体中，以实现秘密通信的技术。

与加密不同的是，隐写术致力于隐藏秘密信息的存在，使得攻击者难以发现。

图像隐写术将秘密信息嵌入到图像中，而人眼无法察觉到这些变化。

常用的图像隐写术包括最低有效位法、变换域法等。

最低有效位法是一种简单而常用的方法，它将秘密信息嵌入到图像像素的最低位中，对图像质量的影响较小。

变换域法通过对图像进行变换，如傅立叶变换、小波变换等，将秘密信息嵌入到变换域的系数中，提高了隐写术的嵌入容量和安全性。

图像加密和隐写术的研究主要集中在以下几个方面：首先，研究基于深度学习的图像加密和隐写术。

传统的图像加密和隐写术通常基于数学方法，但这些方法容易受到攻击者的破解。

近年来，深度学习在图像处理领域取得了巨大的成就，因此基于深度学习的图像加密和隐写术成为了研究的热点。

深度学习模型可以学习到更抽象的特征，从而提高加密和隐写术的安全性和性能。

其次，研究图像加密和隐写术在隐私保护方面的应用。

在当今的大数据时代，隐私泄露成为了一个严重的问题。

图像加密和隐写术可以应用于隐私保护，如将人脸数据加密后存储，保护个人隐私。

此外，隐写术还可以用于数字水印的嵌入，以实现版权保护和图像认证。

再次，研究图像加密和隐写术在信息安全方面的融合应用。

现代通信的安全性对于保障国家安全至关重要。

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国家自然科学基金项目(60474076)，江苏省“六大人才高峰”第三批高层次人才项目(06-E-029)，江苏省自然科学基金项目(BK2007061)

一种新的图像加密算法研究吴新华 (南通纺织职业技术学院现教中心江苏南通226007) 联系作者e-mail: firstflycat@163.com 摘要: 利用混沌序列的特性，本文提出了一种新的混沌彩色图像加密算法。首先对Logistic和Cubic-Henon复合混沌映射进行处理，生成混沌序列，再结合像素值替代和图像位置置乱方法对彩色图像进行加密，然后进行实验仿真和性能分析，结果表明该算法具有一定的有效性和良好的加密性能。关键词: 混沌序列；彩色图像加密；密钥中图法分类号: TP309.7 TP391 文献标识码: A

Study on a New Image Encryption Algorithm WU Xin-Hua (Modern Education Technology Center, Nantong Textile Vocational Technology College, Nantong Jiangsu, 226007, China) Abstract: A new color image encryption algorithm is presented with the properties of chaotic sequences. At first, the chaotic sequences are generated by dealing with Logistic and Cubic-Henon compound chaotic system. Then the color image is encrypted by combining the methods of pixel value substituting and position shuffling. The results of experiment simulation and performance analysis show that the algorithm is valid and has good performance. Key words: chaotic sequence; color image encryption; key

1引言随着当今互联网和多媒体技术的飞速发展，多媒体通信逐渐成为人们彼此之间信息交流的重要手段。而数字图像作为多媒体信息中最重要的一种信息表达形式，现已成为人类进行信息交流的重要手段之一，其安全性问题也同时被提上了日程。图像加密是图像安全保护的核心技术，由于数字图像具有数据量大、数据相关度高等特点，用传统的加密方式存在诸多问题，近年来兴起的混沌加密方式为图像加密提供了一个新的有效途径，现已成为图像信息安全的研究热点。混沌信号具有隐蔽性、不可预测性和易于产生、复制等特点，非常适合于图像加密。混沌系统用于数据加密最早由英国数学家Matthews提出[1]，此后人们提出了多种基于混沌的图像加密算法，主要有基于Arnold变换、幻方、Hilbert曲线等的混沌图像位置置乱[2-4]，以及基于混沌系统的各种像素值替代方法[5,6]。虽然这些方法能较好地隐藏图像，达到保密目的，但都是对彩色图像RGB三基色分别进行的加密处理，对混沌系统的维数要求较高；而且现有算法很少有扩散化像素值替代和图像位置置乱相结合的方法，因此其安全性和效率还有待进一步改进。本文采用Logistic和Cubic-Henon复合混沌映射，提出了一种新型的混沌彩色图像加密算法，进行实验仿真和性能分析，结果表明该算法具有较好的性能。 2图像加密算法设计 2.1算法思想国家自然科学基金项目(60474076)，江苏省“六大人才高峰”第三批高层次人才项目(06-E-029)，江苏省自然科学基金项目(BK2007061)

一幅24位真彩色图像由R、G、B三基色组成，可以表示为3MN三维数组的形式，三基色的像素值[0,255]，且相邻像素的三基色值在空间域上具有很强的相关性。本文将一幅彩色图像处理成3MN灰度图像，然后利用Logistic和Cubic-Henon复合混沌映射产生混沌序列，对图像进行像素值替换和以88块为单位的空域置乱，扰乱相邻像素的相关性，再进行重组，从而使得原图像变成一幅杂乱无章的彩色图像，达到良好的加密效果。 2.2混沌映射系统采用的Logistic混沌映射形式如下：

1(1)(1)nnnxxx 混沌动力系统的研究工作指出：当3.56994564，(0,1)nx时，Logistic映射工作于混沌状态；而且Logistic映射对参数具有极度敏感性。系统采用的Cubic-Henon复合混沌映射进行图像位置置乱，其方程如下：

32[1]3[]4[][1]10.3[]1.4[][1][]xkxkxkykzkykzkyk







其中：[]xk是Cubic混沌映射的状态；[]yk、[]zk是Henon混沌映射的状态。 2.3加/解密算法从算法的计算速度、置乱程度、抗攻击能力等因素综合考虑，本文提出了一种新型的混沌图像加密算法，系统框图见图1所示，具体加密过程描述如下：第一步：输入待加密彩色图像，分离彩色图像的RGB三基色分量（MNR，MNG，MNB），再将彩色图像的RGB三基色分量进行拼装[,,]MNMNMNRGB。第二步：取1233.95,3.97,4，输入初值0xx（令初值为加密密钥），由（1）式分别生成三个混沌序列，将序列中每个元素都扩大至小数点后三位，相加得到3MN二维混沌数组[][]HW；再与[,,]MNMNMNRGB对应元素相加并求余，得到灰度值替代后加密图像3_MNRGBH。第三步：给定初值000,,xyz（同样令初值为加密密钥），由（2）式生成实值混沌序列,xy，再将其分别按由小到大的顺序排列，生成置乱索引二维数组33,MNMNPXPY，然后以3MNPX为行地址置换矩阵，对加密图像3_MNRGBH进行行地址变换，以3MNPY为列地址置换矩阵，进行列地址变换。第四步：合成R、G、B三基色，输出密文彩色图像。

原始图像

提

取

R 色

B 色G 色

Logistic混沌序列Cubic-Henon混沌序列

像素值替换RGB拆分合成密文图像RGB拼装位置置乱

加密密钥

图1 彩色图像加密算法框图解密算法是加密算法的逆运算，恢复出原始彩色图像。 2.4实验仿真为了验证上述算法的有效性，本文对一幅尺寸大小为5125123的lena图像进行加密，其仿真结果如图2所示。仿真时取加密密钥与解密密钥相同，分别为00

ˆ0.1xxxx，00ˆ0.655xx，

00ˆ0.2yy，00ˆ1.2zz

。 (a) 原始图像 (b) 加密图像 (c) 解密图像图2 混沌图像加解密仿真图

由上图可知：原始图像经加密后，图像变得杂乱无章、不可识别，而加密图像经正确的密钥解密后又能恢复出原始图像，从而具有一定的有效性和保密性。现有的混沌图像加密算法，也能较好地隐藏图像，但其加密效果和加密效率不甚理想，如最常用的Logistic混沌映射用于灰度值替代、Lorenz混沌系统用于位置置乱方法，其抵抗统计攻击的性能尤需提高（具体见3.2直方图分析）。 3 性能分析 3.1密钥空间和密钥敏感性在本文提出的加密算法中，Logistic以及Cubic-Henon复合混沌映射的初值作为密钥，即（0000,,,xxxyz），其精度达到1610，密钥空间可达6410，可有效地抵抗恶意穷举攻击。下面首先从密钥失配时的解密图像来定性分析密钥敏感性。加/解密密钥分别取

00ˆ0.655,0.65500001xx，00ˆ0.2,0.20000001yy，00ˆ1.2,1.20000001zz，00ˆ0.1,0.10000001xxxx

，原

始图像为图2(a)，解密图像如下图所示。可见，尽管加、解密密钥只有微小的偏差，但解密后的图像已看不出任何原始图像的痕迹。

(a) x0密钥 (b) y0密钥 (c) z0密钥 (d) xx0密钥图3 密钥发生微小变化后的解密效果图

再由图像恢复性能指标MSE和PSNR来定量描述密钥敏感性。当解密密钥000,,xyz或0xx分别以210的数量级失配时，得到不同的解密图像，测量其与原图像的MSE和PSNR，可得下表1。其中：均方误差 2111((,)(,))(4)MNijMSEIijIijMN

峰值信噪比 2max10lg()(5)fPSNRMSE 表1 对初值x0、y0、z0和xx0微小变化的敏感性测试 x0 变化 PSNR y0 变化 PSNR z0 变化 PSNR xx0 变化 PSNR R G B R G B R G B R G B 10-10 11.655 3 12.332 1 13.409 2 10-10 11.691 3 12.398 9 13.466 8 10-10 11.696 4 12.403 8 13.452 3 10-10 11.630 9 12.325 7 13.390 0 10-8 11.645 8 12.331 2 13.409 2 10-8 11.680 2 12.402 4 13.414 9 10-8 11.692 5 12.400 1 13.455 5 10-8 11.630 5 12.323 9 13.385 3 10-6 11.642 4 12.330 1 13.409 2 10-6 11.679 3 12.392 5 13.412 6 10-6 11.683 4 12.381 8 13.454 9 10-6 11.621 2 12.320 6 13.383 9 10-4 11.640 1 12.323 8 13.409 2 10-4 11.673 5 12.377 3 13.410 5 10-4 11.678 7 12.380 0 13.446 7 10-4 11.619 3 12.318 8 13.380 9 10-2 11.635 9 12.332 1 13.409 2 10-2 11.669 3 12.370 9 13.408 5 10-2 11.676 8 12.378 2 13.445 6 10-2 11.610 5 12.311 8 13.373 4