2010年高考数学(文)试题(山东卷)解析版

绝密★启用前

2010年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

文科数学(全解析)

注意事项：

1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷（共60分）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 已知全集U R =，集合{}

2

40M x x =-≤，则U C M =

A. {}

22x x -<< B. {}

22x x -≤≤ C ．{}

22x x x <->或 D. {}

22x x x ≤-≥或

(3)函数()()

2log 31x

f x =+的值域为

A. ()0,+∞

B. )0,+∞??

C. ()1,+∞

D. )1,+∞?? 【答案】A

【解析】因为311x

+>，所以()()

22log 31log 10x f x =+>=，故选A 。

【命题意图】本题考查对数函数的单调性、函数值域的求法等基础知识。 (4)在空间，下列命题正确的是 A.平行直线的平行投影重合

B.平行于同一直线的两个平面平行

C.垂直于同一平面的两个平面平行

D.垂直于同一平面的两条直线平行

【命题意图】本题考查平均数与方差的求法，属基础题。

(7)设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】C

【解析】若已知12a 1,

又1a >0，所以数列{}n a 是递增数列；反之，若数列{}n a 是递增数列，则公比q>1且1a >0，所以11a

【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题。

（8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为

31

812343

y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为

（A ）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件

（10）观察2'

()2x x =，4'

3

()4x x =，'

(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= （A ）()f x (B)()f x - (C) ()g x (D)()g x - 【答案】D

【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数()f x 是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，即函数()f x 是偶函数，所以它的导函数是

奇函数，即有()g x -=()g x -，故选D 。

【命题意图】本题考查函数、归纳推理等基础知识，考查同学们类比归纳的能力。 （11）函数22x y x =-的图像大致是

【答案】A

【解析】因为当x=2或4时，2x

-2x =0，所以排除B 、C ；当x=-2时，2x -2

x =

1

4<04

-，故排除D ，所以选A 。

【命题意图】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力。

（12）定义平面向量之间的一种运算“ ”如下：对任意的(,)a m n =，(,)b p q =，令

a b mq np =- ，下面说法错误的是

(A)若a 与b 共线，则0a b = (B)a b b a =

(C)对任意的R λ∈，有()()a b a b λλ= (D)2

2

2

2

()()||||a b a b a b +?= 【答案】B

【解析】若a 与b 共线，则有a b=mq-np=0 ，故A 正确；因为b a pn-qm =

，而

a b=mq-np

，所以有a b b a ≠ ，故选项B 错误，故选B 。

【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识

以及分析问题、解决问题的能力。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

（13）执行右图所示的程序框图，若输入4x =，则输出y 的值为 . 【答案】54

-

【解析】当x=4时，y=14-1=12?，此时|y-x|=3；当x=1时，y=111-1=-22

?，此时|y-x|=

3

2

；

当x=12-

时，y=115-1=-224?

-（），此时|y-x|=3<14

，故输出y 的值为5

4-。 【命题意图】本题考查程序框图的基础知识，考查了同学们的试图能力。 （14）已知,x y R +∈，且满足

134

x y

+=，则xy 的最大值为 .

（16） 已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆所截得

的弦长为C 的标准方程为 . 【答案】22(3)4x y -+=

【解析】由题意，设圆心坐标为(a,0)，则由直线l ：1y x =-被该圆所截得

的弦长为2

2+2=(a-1)

，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），又已知圆C 过点（1,0），所以所求圆的半径为2，故圆C 的标

准方程为22(3)4x y -+=。

【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。

三、解答题：本大题共6小题，共74分. (17)（本小题满分12分）

已知函数2()sin()cos cos f x x x x πωωω=-+（0ω>）的最小正周期为π， （Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

，纵坐标不变，得到 函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,16π??

????

上的最小值.

【命题意图】本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求解的能力。 【解析】

因此 1≤g （x ）

≤

，故 g （x ）在此区间内的最小值为1. （18）（本小题满分12分）

已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令2

1

1

n n b a =

-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T . 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。

【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有

11

27

21026a d a d +=??

+=?，解得13,2a d ==，

所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)

3n+22

?=2n +2n 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =

21

1n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?

=111(-)4n n+1

?， 所以n T =

111111(1-+++-)4223n n+1?- =11(1-)=4n+1?n 4(n+1)

，

即数列{}n b 的前n 项和n T =

n

4(n+1)

。

（19）（本小题满分12分）

一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. （Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率； （Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m <+的概率.

【命题意图】本小题主要考察古典概念、对立事件的概率计算，考察学生分析问题、解决问题的能力。

【命题意图】本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面垂直、面面垂直的判定及几何体体积的计算，考查试图能力和逻辑思维能力。

【解析】（I ）证明：由已知MA 平面ABCD ，PD ∥MA ， 所以 PD ∈平面ABCD

又 BC ∈ 平面ABCD ， 因为 四边形ABCD 为正方形， 所以 PD ⊥ BC

又 PD ∩DC=D ， 因此 BC ⊥平面PDC 在△PBC 中，因为G 平分为PC 的中点，

所以 GF ∥BC

因此 GF ⊥平面PDC 又 GF ∈平面EFG ， 所以 平面EFG ⊥平面PDC.

（Ⅱ ）解：因为PD ⊥平面ABCD,四边形ABCD 为正方形，不妨设MA=1， 则 PD=AD=2，ABCD

所以 V p-ABCD =1/3S 正方形ABCD ，PD=8/3 由于 DA ⊥面MAB 的距离

所以 DA 即为点P 到平面MAB 的距离，

三棱锥 Vp-MAB=1/3×1/2×1×2×2=2/3，所以 Vp-MAB ：Ｖp-ABCD=1:4。 （21）（本小题满分12分） 已知函数1()ln 1()a

f x x ax a R x

-=-+

-∈ （I ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；

（II ）当1

2

a ≤

时，讨论()f x 的单调性.

（Ⅱ）因为 11ln )(--+

-=x

a

ax x x f ， 所以 211)('x a a x x f -+-=2

21x

a

x ax -+--= ),0(+∞∈x ， 令 ,1)(2a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x

③ 当a<0时，由于1/a-1<0,

x ∈(0,1)时，g(x)>0,此时f ,

(x)<0函数f(x)单调递减；

x ∈（1 ，∞）时，g(x)<0此时函数f ,

(x)<0单调递增。 综上所述：

当a ≤ 0 时，函数f(x)在（0,1）上单调递减;

函数f(x)在 (1, +∞) 上单调递增

当a=1/2时,函数f(x)在(0, + ∞)上单调递减 当0

函数 f(x)在（1,1/a -1）上单调递增； 函数f(x)在（1/a,+ ∞）上单调递减。

（22）（本小题满分14分）

如图，已知椭圆22

22 1 (0)x y a b a b

+=>>过点.

(1,

2

，离心率为2

，左、右焦点分别为1F 、

2F .点P 为直线:2l x y +=上且不在x 轴上的任意

一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A 、B

和C 、D ，O 为坐标原点. （I ）求椭圆的标准方程；

（II ）设直线1PF 、2PF 的斜线分别为1k 、2k .

（i ）证明：

12

13

2k k -=；

（ii ）问直线l 上是否存在点P ，使得直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率OA k 、OB k 、

OC k 、OD k 满足0OA OB OC OD k k k k +++=？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不

存在，说明理由

.

因此结论成立。