2010年山东高考数学理科试题及答案
2010年山东高考数学理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集U=R ，集合}2|1||{≤-=x x M ，则=M C U （A ）}31|{<<-x x （B ）}31|{≤≤-x x（C ）}31|{>-<x x x 或（D ）}31|{≥-≤x x x 或（2）已知),(2R b a i b iia ∈+=+，其中i 为虚数单位，则=+b a （A ）-1 （B ）1 （C ）2（D ）3（3）在空间，下列命题正确的是 （A ）平行直线的平行投影重合 （B ）平行于同一直线的两个平面平行（C ）垂直于同一平面的两个平面平行（D ）垂直于同一平面的两条直线平行（4）设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b b x x f x(22)(++=为常数），则=-)1(f（A ）3（B ）1（C ）-1 （D ）-3（5）已知随机变量ξ服从正态分布),1(2σN ，若023.0)2(=>ξP ，则=≤≤-)22(ξP（A ）0.477（B ）0.628（C ）0.954（D ）0.977（6）样本中共有五个个体，其值分别为3,2,1,0,a ，若该样本的平均值为1，则样本方差为（A ）56（B ）56 （C ）2（D ）2（7）由曲线32,x y x y ==围成的封闭图形面积为（A ）121 （B ）41 （C ）31 （D ）127 （8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 （A ）36种 （B ）42种 （C ）48种 （D ）54种 （9）设}{n a 是等比数列，则“321a a a <<”是“数列}{n a 是递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-,08,10105,02y x y x y x 则目标函数y x z 43-=的最大值和最小值分别为（A ）3，-11（B ）-3，-11 （C ）11，-3 （D ）11，3（11）函数22x y x-=的图象大致是（A ）（B ）（C ）（D ）（12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的)(),,(q p b v m a ⋅==。
令a ⊙.np mq b -=下面说法错误的是（A ）若a 与b 共线，则a ⊙0=b （B ）a ⊙b b =⊙a（C ）对任意的)(,a R λλ有∈⊙a b (λ=⊙)b （D ）a (⊙222||||)()b a b a b =⋅+2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
（13）执行右图所示的程序框图，若输入10=x ，则输出y 的值为 。
（14）若对任意a x x xx ≤++>13,02恒成立，则a 的取值范围是 。
（15）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，若2cos sin ,2,2=-==B B b a ，则角A 的大小为 。
（16）已知圆C 过点（1，0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线1:-=x y l 被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
（17）（本小题满分12分）已知函数)0)(2sin(21cos cos sin 2sin 21)(2πϕϕπϕϕ<<+-+=x x x f ，其图象过点).21,6(π（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）将函数)(x f y =的图象上各点的横坐标缩短到原来的21，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g 在]4,0[π上的最大值和最小值。
（18）（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 满足：}.{26,7753n a a a a =+=的前n 项和为.n S（Ⅰ）求4a 及n S ； （Ⅱ）令112-=n n a b )(*N n ∈，求数列}{n b 的前n 项和.n T（19）（本小题满分12分） 如图，在五棱锥P —ABCDE 中，⊥PA 平面ABCDE ，AB//CD ，AC//ED ，AE//BC ，42,22,45===︒=∠AE BC AB ABC ，三角形PAB是等腰三角形。
（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小；（Ⅲ）求四棱锥P —ACDE 的体积。
（20）（本小题满分12分）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A 、B 、C 、D 四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初初始分均为10分，答对问题A 、B 、C 、D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答，直至答题结束. 假设甲同学对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为41,31,21,43，且各题回答正确与否相互之间没有影响.（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；（Ⅱ）用ξ表示甲内当家本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.（21）（本小题满分12分）如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点21,F F 为顶点的三角形的周长为)12(4+，一等轴双曲线 的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于项点 的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A 、 B 和C 、D.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121=⋅k k ；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得CD AB CD AB ⋅=+λ恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.（22）（本小题满分14分）已知函数)(111)(R a xaax nx x f ∈----=. （Ⅰ）当21≤a 时，讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）设41.42)(2=+-=a bx x x g 当时，若对任意)2,0(1∈x ，存在]2,1[2∈x ，使)()(21x g x f ≥，求实数b 的取值范围.参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
（1）C （2）B （3）D （4）D （5）C （6）D （7）A （8）B （9）C （10）A （11）A （12）B （1）已知全集U=R ，集合M={x||x-1|≤2},则U C M=（A ）{x|-1<x<3} (B){x|-1≤x ≤3} (C){x|x<-1或x>3} (D){x|x ≤-1或x ≥3} 【答案】C【解析】因为集合M={}x|x-1|2≤={}x|-1x 3≤≤,全集U=R ，所以U C M={}x|x<-1x>3或,故选C.【命题意图】本题考查集合的补集运算,属容易题. (2) 已知2(,)a i b i a b i +=+2a ib i i+=+（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b= (A)-1 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B 【解析】由a+2i=b+i i得a+2i=bi-1,所以由复数相等的意义知:a=-1,b=2,所以a+b=1,故选B.【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。
(3)在空间，下列命题正确的是 （A ）平行直线的平行投影重合 （B ）平行于同一直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两条直线平行 【答案】D【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案。
【命题意图】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。
（4）设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x+2x+b(b 为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3【答案】D解析：本题考查了奇函数的性质．∵()x f 是奇函数，故()0200=+=b f ，故1-=b ，∴ ()()()3122111-=-+-=-=-f f ，故选D ．（5）已知随机变量ξ服从正态分布),1(2σN ，若023.0)2(=>ξP ，则=≤≤-)22(ξP （A ）0.477 （B ）0.628 （C ）0.954 （D ）0.977 【答案】C解析：本题考查了正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为１． ∵１，∴正态曲线关于直线0=x 即y 轴对称．∴()()954.0023.02122122=⨯-=>-=≤≤-ξξP P ．故选C ．（6）样本中共有五个个体，其值分别为3,2,1,0,a ，若该样本的平均值为1，则样本方差为（A ）56 （B ）56 （C ）2（D ）2【答案】D 解析：本题考查了 均值与方差的求解公式．∵153210=++++a ，得1-=a ．∴()()()()()[]2131211101151222222=-+-+-+-+--=s ．(7)由曲线y=2x ,y=3x 围成的封闭图形面积为 （A ）112(B)14(C)13(D)712【答案】A【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为1230x -x )dx=⎰（1111-1=3412⨯⨯,故选A 。
解析：本题考查了利用定积分求图形的面积．∵⎪⎩⎪⎨⎧==32x y x y 得交点为()0,0，()1,1，所以所求图形的面积是()dx x x S ⎰-=1032121413141311043=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x ．另法：（估值法）如图作四边形OAMB ，M(1,1)，取A(35,0)，则B(35,925)，计算四边形OAMB 的面积为91504<，∴曲线y=2x ,y=3x 围成的封闭图形面积只能为112，故选A.【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。
（8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 （A ）36种 （B ）42种 (C)48种 （D ）54种【答案】B解析：本题考查了用两个原理及排列知识解决实际问题，求解时应注意分类讨论思想的应用．若甲在第一位，则有2444=A 种编排方案；若甲在第二位，则有18633313=⨯=A A 种编排方案．故共有421824=+种编排方案．（9）设}{n a 是等比数列，则“321a a a <<”是“数列}{n a 是递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若已知123<a a a <，则设数列{}n a 的公比为q ，因为123<a a a <，所以有2111a <a q<a q ，解得q>1且1a >0，所以数列{}n a 是递增数列；反之，若数列{}n a 是递增数列，则公比q>1且1a >0，所以2111a <a q<a q ，即123<a a a <，所以123<a a a <是数列{}n a 是递增数列的充分必要条件。
☆全国高考理科数学试题及答案-山东
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2010 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理 科 数 学
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束 后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县 区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2．第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不 能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式： 锥体的体积公式： V =
do ci
第Ⅰ卷（共 60 分）
，则 （ 4 ）设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f ( x) = 2 + 2 x + b(b 为常数）
x
f (−1) =
n.
如果事伯 A、B 互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B） ；
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1 Sh 。其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高。 3
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（D）
（A）
1 12
（B）
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（C）
1 3
（D）
（D）11，3
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7 12
（7）由曲线 y = x , y = x 围成的封闭图形面积为
2010年山东省数学高考试题(赏析包含答案word版)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：锥体的体积公式：Sh V 31=。
其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事伯A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）；如果事件A 、B 独立，那么)()()(B P A P AB P ⋅=第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集U=R ，集合}2|1||{≤-=x x M ，则=M C U（A ）}31|{<<-x x （B ）}31|{≤≤-x x （C ）}31|{>-<x x x 或 （D ）}31|{≥-≤x x x 或（2）已知),(2R b a i b ii a ∈+=+，其中i 为虚数单位，则=+b a （A ）-1 （B ）1（C ）2 （D ）3 （3）在空间，下列命题正确的是（A ）平行直线的平行投影重合（B ）平行于同一直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两条直线平行（4）设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b b x x f x (22)(++=为常数），则=-)1(f（A ）3 （B ）1（C ）-1 （D ）-3 （5）已知随机变量ξ服从正态分布),1(2σN ，若023.0)2(=>ξP ，则=≤≤-)22(ξP（A ）0.477 （B ）0.628 （C ）0.954 （D ）0.977（6）样本中共有五个个体，其值分别为3,2,1,0,a ，若该样本的平均值为1，则样本方差为（A ）56 （B ）56 （C ）2 （D ）2 （7）由曲线32,x y x y ==围成的封闭图形面积为（A ）121 （B ）41 （C ）31 （D ）127 （8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（A ）36种 （B ）42种 （C ）48种 （D ）54种（9）设}{n a 是等比数列，则“321a a a <<”是“数列}{n a 是递增数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（10）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-,08,10105,02y x y x y x 则目标函数y x z 43-=的最大值和最小值分别为（A ）3，-11（B ）-3，-11 （C ）11，-3 （D ）11，3 （11）函数22x y x -=的图象大致是（A ） （B ） （C ） （D ）（12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的)(),,(q p b v m a ⋅==。
2010山东高考理科数学解析版
绝密★启用前 试卷类型：B2010年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学解析版注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
咎在试题卷、草稿纸上无效。
3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.（1） 已知全集U=R ，集合M={x||x-1|≤2},则U C M =（A ）{x|-1<x<3} (B){x|-1≤x ≤3} (C){x|x<-1或x>3} (D){x|x ≤-1或x ≥3} 【答案】C【解析】因为集合M ={}x|x-1|2≤={}x|-1x 3≤≤,全集U =R ，所以U C M ={}x |x <-1x >3或,故选C. 【命题意图】本题考查集合的补集运算,属容易题. (2) 已知2(,)a ib i a b i+=+2a i b i i+=+（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b=(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B 【解析】由a+2i =b+i i得a+2i=bi-1,所以由复数相等的意义知:a=-1,b=2,所以a+b=1,故选B.【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。
(3)在空间，下列命题正确的是 （A ）平行直线的平行投影重合 （B ）平行于同一直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D 【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案。
2010年山东省高考数学理科试卷
2010年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回注意事项：答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自已的姓名、准考证号、县区和科类填写在答填写答题卡上和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目上的答案号涂黑;如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：锥体的体积公式：V=13Sh,其中S 是锥体的底面各，h 是锥体的高。
如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P （B ）:如果事件A 、B 独立，那么P （AB ）=P（A ）P （A ）·P （B ）。
（1）已知全集U R =，几何M ={}|1|2xx -≤，则，U C M = （A ）}{13x x -<< (B) }{13x x -≤≤ (C) }{13x x x <->或 (D) }{13x x x ≤-≥或（2）已知2a i i+=b i +（.a b R ∈）,其中i 为虚数单位，则a b += （A ）1- （B ）1 （C ）2 （D ）3（3）在空间，下列命题正确的是（A ）平行直线的平行投影重合（B ）平行于同一直线的两个平面平行（C ）垂直于同一平面的两个平面平行（D ）垂直于同一平面的两条直线平行（4）设()f x 为定义在R 上的奇函数。
当x ≥0时，()f x =2x+2x+b （b 为常数），则(1)f -=（A ）3 （B ）1 （C ）-1 （D ）-3（5）.已知随机变量ξ服从正态分布N（0,2σ），若P（ξ>2）=0.023。
2010年山东省高考数学理科试卷含解析
祝同学们高考取得优异的成绩！2010年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学参考公式：锥体的体积公式：V=13Sh,其中S 是锥体的底面各，h 是锥体的高。
如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P （B ）:如果事件A 、B 独立，那么P （AB ）=P （A ）P （A ）·P （B ）。
（1）已知全集U R =，几何M ={}|1|2x x -≤，则，U C M =（A ）}{13x x -<< (B)}{13x x -≤≤ (C)}{13x x x <->或 (D)}{13x x x ≤-≥或（2）已知2a ii+=b i +（.a b R ∈）,其中i 为虚数单位，则a b += （A ）1- （B ）1 （C ）2 （D ）3 （3）在空间，下列命题正确的是（A ）平行直线的平行投影重合（B ）平行于同一直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两条直线平行（4）设()f x 为定义在R 上的奇函数。
当x ≥0时，()f x =2x+2x+b （b 为常数），则(1)f -= （A ）3 （B ）1 （C ）-1 （D ）-3（5）.已知随机变量ξ服从正态分布N （0, 2σ），若P （ξ>2）=0.023。
则P （-2≤ξ≤2= （A ）0.447 （B ）0.628 (C) 0.954 (D) 0.977(6)样本中共有五个个体，其值分别为a ，0,1,2,3,。
若该样本的平均值为1，则样本方差为（A ）（B ）65 (C)(D)2（7）由曲线2y x =，3y x =围城的封闭图形面积为（A ）112 (B) 14 (C) 13 (D) 712（8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（A ）36种 （B ）42种 （C ）48种 （D ）54种（9）设{}na 是等比数列，则“aa a 321 ”是“数列{}na 是递增数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（10）设变量x ，y 满足约束条件则目标函数z=3x-4y 的最大值和最小值分别为 （A ）3，-11 （B ）-3，-11（C ）11，-3 （D ）11，3 （11）函数y=2x －x 2的图像大致是（12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=（m ，u ），b=（p ，q ），另a ⊙b=mq-np ，下面的说法错误的是 （A ）若a 与b 共线，则a ⊙b=0 （B ）a ⊙b=b ⊙a（C ）对任意的λ∈R ，有（λa ）⊙b=λ（a ⊙b ） （D ）（a ⊙b ）2+（a ·b ）2=|a|2 |b|2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2010年全国统一高考真题数学试卷(理科)(大纲版ⅱ)(含答案及解析)
2010年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数（）2=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i2．（5分）函数的反函数是（）A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y=e2x﹣1+1（x＞0）C．y=e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y=e2x﹣1+1（x∈R）3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14B．21C．28D．355．（5分）不等式＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣2，或x＞3}B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3} 6．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种7．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位8．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=，=，||=1，||=2，则=（）A．+B．+C．+D．+9．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．310．（5分）若曲线y=在点（a，）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=（）A．64B．32C．16D．811．（5分）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个12．（5分）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（）A．1B．C．D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知a是第二象限的角，tan（π+2α）=﹣，则tanα=．14．（5分）若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a=．15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=．16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M 与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=，cos∠ADC=，求AD．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=（n2+n）•3n．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：++…+＞3n．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．20．（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．21．（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．22．（12分）设函数f（x）=1﹣e﹣x．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥；（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤，求a的取值范围．2010年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数（）2=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．【解答】解：（）2=[]2=（1﹣2i）2=﹣3﹣4i．故选：A．【点评】本题主要考查复数的除法和乘方运算，是一个基础题，解题时没有规律和技巧可寻，只要认真完成，则一定会得分．2．（5分）函数的反函数是（）A．y=e2x﹣1﹣1（x＞0）B．y=e2x﹣1+1（x＞0）C．y=e2x﹣1﹣1（x∈R）D．y=e2x﹣1+1（x∈R）【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】从条件中中反解出x，再将x，y互换即得．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．【解答】解：由原函数解得x=e 2y﹣1+1，∴f﹣1（x）=e 2x﹣1+1，又x＞1，∴x﹣1＞0；∴ln（x﹣1）∈R∴在反函数中x∈R，故选：D．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x=1，y=1时z max=3．故选：C．【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14B．21C．28D．35【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质．5．（5分）不等式＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣2，或x＞3}B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3}D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}【考点】73：一元二次不等式及其应用．【专题】11：计算题．【分析】解，可转化成f（x）•g（x）＞0，再利用根轴法进行求解．【解答】解：⇔⇔（x﹣3）（x+2）（x﹣1）＞0利用数轴穿根法解得﹣2＜x＜1或x＞3，故选：C．【点评】本试题主要考查分式不等式与高次不等式的解法，属于不等式的基础题．6．（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，∵先从3个信封中选一个放1，2，有=3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有=6种放法，∴共有3×6×1=18．故选：B．【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．7．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】1：常规题型．【分析】先将2提出来，再由左加右减的原则进行平移即可．【解答】解：y=sin（2x+）=sin2（x+），y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），所以将y=sin（2x+）的图象向右平移个长度单位得到y=sin（2x﹣）的图象，故选：B．【点评】本试题主要考查三角函数图象的平移．平移都是对单个的x来说的．8．（5分）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=，=，||=1，||=2，则=（）A．+B．+C．+D．+【考点】9B：向量加减混合运算．【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．【解答】解：∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC=BD：CD9．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．3【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．【解答】解：设底面边长为a，则高h==，所以体积V=a2h=，设y=12a4﹣a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大，此时h==2，故选：C．【点评】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中档题．10．（5分）若曲线y=在点（a，）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=（）A．64B．32C．16D．8【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】31：数形结合．【分析】欲求参数a值，必须求出在点（a，）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=a处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率得到切线的方程，最后求出与坐标轴的交点坐标结合三角形的面积公式．从而问题解决．【解答】解：y′=﹣，∴k=﹣，切线方程是y﹣=﹣（x﹣a），令x=0，y=，令y=0，x=3a，∴三角形的面积是s=•3a•=18，解得a=64．故选：A．【点评】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力．11．（5分）与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无数个【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】16：压轴题．【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为=（1，1，1），所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1．作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，则PF是点P到直线A1D1的距离．所以PF=；同理点P到直线AB、CC1的距离也是．所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．故选：D．【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．12．（5分）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（）A．1B．C．D．2【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴y1=﹣3y2，∵，设，b=t，∴x2+4y2﹣4t2=0①，设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，∴，，解得，故选：B．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知a是第二象限的角，tan（π+2α）=﹣，则tanα=．【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】根据诱导公式tan（π+α）=tanα得到tan2α，然后利用公式tan（α+β）=求出tanα，因为α为第二象限的角，判断取值即可．【解答】解：由tan（π+2a）=﹣得tan2a=﹣，又tan2a==﹣，解得tana=﹣或tana=2，又a是第二象限的角，所以tana=﹣．故答案为：．【点评】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力．14．（5分）若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a=1．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得展开式中x3的系数，列出方程解得．【解答】解：展开式的通项为=（﹣a）r C9r x9﹣2r令9﹣2r=3得r=3∴展开式中x3的系数是C93（﹣a）3=﹣84a3=﹣84，∴a=1．故答案为1【点评】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法．15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=2．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，进而根据，可知M为A、B的中点，可得p的关系式，解方程即可求得p．【解答】解：设直线AB：，代入y2=2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，又∵，即M为A、B的中点，∴x B+（﹣）=2，即x B=2+，得p2+4P﹣12=0，解得p=2，p=﹣6（舍去）故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．16．（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M 与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=3．【考点】JE：直线和圆的方程的应用；ND：球的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形MNO中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得．【解答】解法一：∵ON=3，球半径为4，∴小圆N的半径为，∵小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB，∴NE=，同理可得，在直角三角形ONE中，∵NE=，ON=3，∴，∴，∴MN=3．故填：3．解法二：如下图：设AB的中点为C，则OC与MN必相交于MN中点为E，因为OM=ON=3，故小圆半径NB为C为AB中点，故CB=2；所以NC=，∵△ONC为直角三角形，NE为△ONC斜边上的高，OC=∴MN=2EN=2•CN•=2××=3故填：3．【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=，cos∠ADC=，求AD．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【分析】先由cos∠ADC=确定角ADC的范围，因为∠BAD=∠ADC﹣B所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案．【解答】解：由cos∠ADC=＞0，则∠ADC＜，又由知B＜∠ADC可得B＜，由sinB=，可得cosB=，又由cos∠ADC=，可得sin∠ADC=．从而sin∠BAD=sin（∠ADC﹣B）=sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB==．由正弦定理得，所以AD==．【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现．这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变．解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=（n2+n）•3n．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：++…+＞3n．【考点】6F：极限及其运算；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）由题意知，由此可知答案．（2）由题意知，==，由此可知，当n≥1时，．【解答】解：（1），所以=；（2）当n=1时，；当n＞1时，===所以，n≥1时，．【点评】本题考查数列的极限问题，解题时要注意公式的灵活运用．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1．（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）欲证DE为异面直线AB1与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB1与CD垂直相交即可；（2）将AB1平移到DG，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，作HK⊥AC1，K 为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角，在三角形B1KH中求出此角即可．【解答】解：（1）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F．因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1．作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点．又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．（2）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45°设AB=2，则AB1=，DG=，CG=，AC=．作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH 为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角．B1H=，C1H=，AC1=，HK=tan∠B1KH=，∴二面角A1﹣AC1﹣B1的大小为arctan．【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力．三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段．通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处．20．（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】11：计算题．【分析】（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p．（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，根据电路图，可得B=A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，记电流能通过T i为事件A i，i=1、2、3、4，A表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流，易得A1，A2，A3相互独立，且，P（）=（1﹣p）3=1﹣0.999=0.001，计算可得，p=0.9；（Ⅱ）根据题意，B表示事件：电流能在M与N之间通过，有B=A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3，则P（B）=P（A4+（1﹣A4）A1A3+（1﹣A4）（1﹣A1）A2A3）=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.9891．【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算．21．（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．【考点】J9：直线与圆的位置关系；KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD 两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a，b的关系式即求得离心率．（Ⅱ）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含a的代数式表示，即可求得a，则A点坐标可得（1，0），由于A在x轴上所以，只要证明2AM=BD即证得．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y=x+2，代入C的方程，并化简，得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2=0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，①由M（1，3）为BD的中点知．故，即b2=3a2，②故，∴C的离心率．（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2﹣y2=3a2，A（a，0），F（2a，0），．故不妨设x1≤﹣a，x2≥a，，，|BF|•|FD|=（a﹣2x1）（2x2﹣a）=﹣4x1x2+2a（x1+x2）﹣a2=5a2+4a+8．又|BF|•|FD|=17，故5a2+4a+8=17．解得a=1，或（舍去），故=6，连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，从而MA=MB=MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力．22．（12分）设函数f（x）=1﹣e﹣x．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1时，f（x）≥；（Ⅱ）设当x≥0时，f（x）≤，求a的取值范围．【考点】6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）将函数f（x）的解析式代入f（x）≥整理成e x≥1+x，组成新函数g（x）=e x﹣x﹣1，然后根据其导函数判断单调性进而可求出函数g（x）的最小值g（0），进而g（x）≥g（0）可得证．（2）先确定函数f（x）的取值范围，然后对a分a＜0和a≥0两种情况进行讨论．当a＜0时根据x的范围可直接得到f（x）≤不成立；当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）﹣x，然后对函数h（x）进行求导，根据导函数判断单调性并求出最值，求a的范围．【解答】解：（1）当x＞﹣1时，f（x）≥当且仅当e x≥1+x令g（x）=e x﹣x﹣1，则g'（x）=e x﹣1当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数当x≤0时g'（x）≤0，g（x）在（﹣∞，0]是减函数于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当x∈R时，g（x）≥g（0）时，即e x≥1+x所以当x＞﹣1时，f（x）≥（2）由题意x≥0，此时f（x）≥0当a＜0时，若x＞﹣，则＜0，f（x）≤不成立；当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）﹣x，则f（x）≤当且仅当h（x）≤0因为f（x）=1﹣e﹣x，所以h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）﹣1=af（x）﹣axf （x）+ax﹣f（x）（i）当0≤a≤时，由（1）知x≤（x+1）f（x）h'（x）≤af（x）﹣axf（x）+a（x+1）f（x）﹣f（x）=（2a﹣1）f（x）≤0，h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤；（ii）当a＞时，由y=x﹣f（x）=x﹣1+e﹣x，y′=1﹣e﹣x，x＞0时，函数y递增；x＜0，函数y递减．可得x=0处函数y取得最小值0，即有x≥f（x）．h'（x）=af（x）﹣axf（x）+ax﹣f（x）≥af（x）﹣axf（x）+af（x）﹣f（x）=（2a ﹣1﹣ax）f（x）当0＜x＜时，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞综上，a的取值范围是[0，]【点评】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力；导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在．。
2010年全国高考理科数学试题-山东
2010年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学理本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回注意事项：答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自已的姓名、准考证号、县区和科类填写在答填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目上的答案符号涂黑;如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：锥体的体积公式：V=Sh,其中S是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P（B）:如果事件A、B独立，那么P（AB）=P（A）·P（B）。
（1）已知全集，几何=，则，=（A） (B) (C) (D)（2）已知=（）,其中为虚数单位，则（A）（B）1 （C）2 （D）3（3）在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行（4）设为定义在R上的奇函数。
当x≥0时，=+2x+b（b为常数），则=（A）3 （B）1 （C）-1 （D）-3（5）.已知随机变量ξ服从正态分布N（0,），若P（ξ>2）=0.023。
则P（-2ξ2）=（A）0.477 （B）0.628(C) 0.954 (D) 0.977(6)样本中共有五个个体，其值分别为a，0,1,2,3。
若该样本的平均值为1，则样本方差为（A）（B） (C) (D)2（7）由曲线，围城的封闭图形面积为（A） (B) (C) (D)（8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（A）36种（B）42种（C）48种（D）54种（9）设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（10）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x-4y的最大值和最小值分别为（A）3，-11 （B ）-3，-11（C）11，-3 （D）11，3（11）函数y=2x－x2的图像大致是（12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=（m，u），b=（p，q），另a⊙b=mq-np，下面的说法错误的是（A）若a与b共线，则a⊙b=0（B）a⊙b=b⊙a（C）对任意的λ∈R，有（λa）⊙b=λ（a⊙b）（D）（a⊙b）2+（a·b）2=|a|2 |b|2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2010年山东高考数学理科试题及答案
（1）已知全集U=R ，集合M={x||x-1|≤2},则U C M=（A ）{x|-1<x<3} (B){x|-1≤x ≤3} (C){x|x<-1或x>3} (D){x|x ≤-1或x ≥3} 【答案】C【解析】因为集合M={}x|x-1|2≤={}x|-1x 3≤≤,全集U=R ，所以U C M={}x|x<-1x>3或,故选C.【命题意图】本题考查集合的补集运算,属容易题. (2) 已知2(,)a ib i a b i+=+2a i b i i +=+（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b= (A)-1 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】B 【解析】由a+2i=b+i i得a+2i=bi-1,所以由复数相等的意义知:a=-1,b=2,所以a+b=1,故选B.【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。
(3)在空间，下列命题正确的是 （A ）平行直线的平行投影重合 （B ）平行于同一直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两条直线平行 【答案】D【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案。
【命题意图】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。
（4）设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x+2x+b(b 为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 【答案】D解析：本题考查了奇函数的性质．∵()x f 是奇函数，故()0200=+=b f ，故1-=b ，∴ ()()()3122111-=-+-=-=-f f ，故选D ．（5）已知随机变量ξ服从正态分布),1(2σN ，若023.0)2(=>ξP ，则=≤≤-)22(ξP （A ）0.477 （B ）0.628 （C ）0.954 （D ）0.977 【答案】C解析：本题考查了正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为１． ∵１，∴正态曲线关于直线0=x 即y 轴对称．∴()()954.0023.02122122=⨯-=>-=≤≤-ξξP P ．故选C ．（6）样本中共有五个个体，其值分别为3,2,1,0,a ，若该样本的平均值为1，则样本方差为（A ）56 （B ）56 （C ）2（D ）2【答案】D 解析：本题考查了 均值与方差的求解公式．∵153210=++++a ，得1-=a ．∴()()()()()[]2131211101151222222=-+-+-+-+--=s ．(7)由曲线y=2x ,y=3x 围成的封闭图形面积为 （A ）112(B)14(C)13(D)712【答案】A【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为1230x -x )dx=⎰（1111-1=3412⨯⨯,故选A 。
2010年山东高考数学理科卷带详解
2010年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集U =R ，集合{||1|2}M x x =-…，则U M =ð （ ） A.}31|{<<-x x B.{|13}x x-剟C.{|1x x <-或3}x >D.{|1x x -…或3}x …【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出集合M （描述法），求解M 的补集. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】因为集合=M {}|1|2x x -=…{}|13x x-剟,全集=U R ，所以=U M ð{}|<1>3x x x -或,故选C. 2．已知2ii(,)i a b a b +=+∈R ，其中i 为虚数单位，则=+b a （ ）A.1-B.1C.2D.3【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】化简含参量的复数恒等式，求出未知参量. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】由+2i=+i ia b 得+2i=i 1a b -,所以由复数相等的意义知:=1,=2a b -,所以+=a b 1,故选B.3．在空间，下列命题正确的是 （ ） A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 【测量目标】线面平行的判定，线面垂直的判定.【考查方式】给出线面、线线关系，判断线线、面面之间的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案.4．设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0x …时，b b x x f x(22)(++=为常数），则=-)1(f （ ）A.3B.1C.1-D.3-【测量目标】函数的奇偶性的综合应用.【考查方式】给出含参量的奇函数解析式，利用奇函数性质，求解某一函数值. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以有0(0)2200,f b =+⨯+=解得1,b =-（步骤1）所以当0x …时，()221x f x x =+-，即1(1)(1)(2211)3,f f -=-=-+⨯-=-故选D .（步骤2）5.已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若023.0)2(=>ξP ，则(22)P ξ-=剟( )A.0.477B.0.628C.0.954D.0.977【测量目标】正态分布.【考查方式】利用正态分布求解事件概率. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】因为随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，所以正态曲线关于直线0x =对称，（步骤1）又(2)0.023,P ξ>=所以(2)0P ξ<-=所以(22P ξ-=剟1(2)(P P ξξ->-<-120.02=-⨯=故选C.（步骤2）6.样本中共有五个个体，其值分别为3,2,1,0,a ，若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ）A.56B.56 C.2D.2【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征. 【考查方式】给出一组样本及其平均值求解样本方差. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由题意知1(0123)1,5a ++++=解得1,a =-所以样本方差为2222221[(11)(01)(11)(21)(31)]2,5S =--+-+-+-+-=故选D.7.由曲线32,x y x y ==围成的封闭图形面积为 （ ）A.121 B.41 C.31 D.127【测量目标】定积分的几何意义.【考查方式】由定积分求曲线围成封闭图形的面积. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】由题意得:所求封闭图形的面积为1230)d =x x x ⎰-（11111=3412⨯-⨯,故选A. 8.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )A.36种B.42种C.48种D.54种 【测量目标】排列组合及其应用，分布计数原理.【考查方式】给出实际事例，利用排列组合及计数原理讨论编排方案种类. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】分两类：第一类：甲排在第一位，共有44A 24=种排法；（步骤1） 第二类：甲排在第二位共有1333A A 18= 种排法，所以共有编排方案24+18=42种，故选B.（步骤2）9.设}{n a 是等比数列，则“321a a a <<”是“数列}{n a 是递增数列”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】给出两个命题，判断两者的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】若已知123,a a a <<则设数列{}n a 的公比为q ，因为123,a a a <<，所以有2111,a a q a q <<解得1,q >且10,a >所以数列{}n a 为递增数列；（步骤1） 反之，若数列{}n a 是递增数列，则公比1,q >且10,a >所以2111,a a q a q <<即123,a a a <<所以123,a a a <<是数列{}n a 是递增数列的充分必要条件.（步骤2）10.设变量y x ,满足约束条件20,5100,80,x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩………则目标函数y x z 43-=的最大值和最小值分别为 （ ） A.3，11- B.3-，11- C.11，3- D.11，3 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出二元不等式组，画出可行域，求目标函数的最值. 【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】画出平面区域如图所示：（步骤1）可知当直线=34z x y -平移到点（5，3）时，目标函数=34z x y -取得最大值3；当直线=34z x y -平移到点（3，5）时，目标函数=34z x y -取得最小值11-，故选A.（步骤2）第10题图11.函数22x y x -=的图象大致是 （ ）ABCD【测量目标】函数图象的判断.【考查方式】给出混合函数解析式，判断函数图象. 【难易程度】较难 【参考答案】A【试题解析】因为当x =2或4时，220xx -=，所以排除B 、C ；（步骤1） 当x =2-时，22xx -=14<04-，故排除D ，所以选A.（步骤2） 12.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的(,),(,)m n p q ==a b .令a ⊙.mq np =-b 下面说法错误的是 （ ）A.若a 与b 共线，则a ⊙0=bB.a ⊙=b b ⊙aC.对任意的,()λλ∈a 有R ⊙(λ=b a ⊙)bD.(a ⊙222)()||||2+= b a b a b【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】在平面向量的基础上，给出新定义，考查平面向量的基础知识.【难易程度】较难 【参考答案】B【试题解析】若a 与b 共线，则有==0mq np -a b ，故A 正确；（步骤1）因为pn qm =-b a ，而=mq np -a b ，所以有≠a b b a ，故选项B 错误，故选B.（步骤2）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
(完整版)2010年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析
精心整理2010年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010?山东）已知全集U=R，集合M={x||x﹣1|≤2}，则C U M=（）A ．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1≤x≤3}C．{x|x＜﹣1，或x＞3} D．{x|x≤﹣1，或x≥3}【考点】补集及其运算．【专题】集合．【分析】由题意全集U=R，集合M={x||x﹣1|≤2}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：因为集合M={x||x﹣1|≤2}={x|﹣1≤x≤3}，全集U=R，∴C U M={x|x＜﹣1，或x＜3}．故选C．【点评】本题考查集合的补集运算，以及简单的含绝对值的不等式的求解，属容易题．2．（5分）（2010?山东）已知，其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．3．（5分）（2010?山东）在空间，下列命题正确的是（）A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理，可以很容易得出答案．【解答】解：平行直线的平行投影重合，还可能平行，A错误．平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误．垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误．故选D．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题．4．（5分）（2010?山东）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】奇函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先由奇函数性质f（0）=0求出f（x）的解析式，然后利用定义f（﹣x）=﹣f（x）求f （﹣1）的值．【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=20+2×0+b=0，解得b=﹣1，所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故选A．【点评】本题考查奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）与基本性质f（0）=0（函数有意义时）．5．（5分）（2010?山东）已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞2）=0.023，则P（﹣2≤ξ≤2）=（）A．0.477 B．0.625 C．0.954 D．0.977【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】概率与统计．【分析】画出正态分布N（0，1）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果．【解答】解：由随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2）可知正态密度曲线关于y轴对称，而P（ξ＞2）=0.023，则P（ξ＜﹣2）=0.023，故P（﹣2≤ξ≤2）=1﹣P（ξ＞2）﹣p（ξ＜﹣2）=0.954，故选：C．【点评】本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．6．（5分）（2010?山东）样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为（）A．B．C．D．2【考点】极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．【分析】由样本平均值的计算公式列出关于a的方程，解出a，再利用样本方差的计算公式求解即可．【解答】解：由题意知（a+0+1+2+3）=1，解得a=﹣1，∴样本方差为S2=[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=2，故选：D．【点评】本题考查用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键．7．（5分）（2010?山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．【解答】解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，故选A．【点评】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．8．（5分）（2010?山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．36种B．42种C．48种D．54种【考点】排列、组合的实际应用．【专题】排列组合．【分析】由题意知甲的位置影响乙的排列，甲在第一位和甲不在第一位，对于排列有影响要分两类：一类为甲排在第一位共有A44种，另一类甲排在第二位共有A31A33种，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知甲的位置影响乙的排列∴要分两类：一类为甲排在第一位共有A44=24种，另一类甲排在第二位共有A31A33=18种，∴故编排方案共有24+18=42种，故选B．【点评】本题主要考查排列组合基础知识，考查分类与分步计数原理，分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即“不重不漏”．9．（5分）（2010?山东）设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】等比数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】首项大于零是前提条件，则由“q＞1，a1＞0”来判断是等比数列{a n}是递增数列．【解答】解：若已知a1＜a2，则设数列{a n}的公比为q，因为a1＜a2，所以有a1＜a1q，解得q＞1，又a1＞0，所以数列{a n}是递增数列；反之，若数列{a n}是递增数列，则公比q＞1且a1＞0，所以a1＜a1q，即a1＜a2，所以a1＜a2是数列{a n}是递增数列的充分必要条件．故选C【点评】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题．10．（5分）（2010?山东）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的最大值和最小值分别为（）A．3，﹣11 B．﹣3，﹣11 C．11，﹣3 D．11，3【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】①作出可行域②z为目标函数纵截距负四倍③画直线3x﹣4y=0，平移直线观察最值．【解答】解：作出满足约束条件的可行域，如右图所示，可知当直线z=3x﹣4y平移到点（5，3）时，目标函数z=3x﹣4y取得最大值3；当直线z=3x﹣4y平移到点（3，5）时，目标函数z=3x﹣4y取得最小值﹣11，故选A．【点评】本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数z=3x﹣4y的几何意义是解答好本题的关键．11．（5分）（2010?山东）函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】函数的性质及应用．【分析】充分利用函数图象中特殊点加以解决．如函数的零点2，4；函数的特殊函数值f（﹣2）符号加以解决即可．【解答】解：因为当x=2或4时，2x﹣x2=0，所以排除B、C；当x=﹣2时，2x﹣x2=，故排除D，所以选A．【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．12．（5分）（2010?山东）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的，令，下面说法错误的是（）A．若与共线，则⊙=0 B．⊙=⊙C．对任意的λ∈R，有⊙=⊙）D．（⊙）2+（）2=||2||2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意对选项逐一分析．若与共线，则有，故A正确；因为，而，所以有，故选项B错误，对于C，⊙=λqm﹣λpn，而⊙）=λ（qm﹣pn）=λqm﹣λpn，故C正确，对于D，（⊙）2+（）2=（qm﹣pn）2+（mp+nq）2=（m2+n2）（p2+q2）=||2||2，D正确；得到答案．【解答】解：对于A，若与共线，则有，故A正确；对于B，因为，而，所以有，故选项B错误，对于C，⊙=λqm﹣λpn，而⊙）=λ（qm﹣pn）=λqm﹣λpn，故C正确，对于D，（⊙）2+（）2=（qm﹣pn）2+（mp+nq）2=（m2+n2）（p2+q2）=||2||2，D正确；故选B．【点评】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2010?山东）执行如图所示的程序框图，若输入x=10，则输出y的值为．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：xy是否继续循环循环前10∥第一圈104是第二圈41是第三圈1﹣是第四圈﹣﹣否故输出y的值为．故答案为：【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．14．（4分）（2010?山东）若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是a≥．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据x+≥2代入中求得的最大值为进而a的范围可得．【解答】解：∵x＞0，∴x+≥2（当且仅当x=1时取等号），∴=≤=，即的最大值为，故答案为：a≥【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．属基础题．15．（4分）（2010?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为．【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由条件由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2，即sin2B=1，根据三角形的内角和定理得到0＜B＜π得到B的度数．利用正弦定理求出A即可．【解答】解：由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2，即sin2B=1，因为0＜B＜π，所以B=45°，b=2，所以在△ABC中，由正弦定理得：，解得sinA=，又a＜b，所以A＜B=45°，所以A=30°．故答案为【点评】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力．16．（4分）（2010?山东）已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x﹣1被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为x+y﹣3=0．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】先求圆心坐标，然后可求过圆心与直线?垂直的直线的方程．【解答】解：由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，并设圆心坐标为（a，0），则由题意知：，解得a=3或﹣1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），∵圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=﹣3，故所求的直线方程为x+y﹣3=0．故答案为：x+y﹣3=0．【点评】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2010?山东）已知函数f（x）=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin（+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，）．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在[0，]上的最大值和最小值．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数的最值．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（I）由已知中函数f（x）=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin（+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，）．我们将（，）代入函数的解析式，结合φ的取值范围，我们易示出φ的值．（II）由（1）的结论，我们可以求出y=f（x），结合函数图象的伸缩变换，我们可以得到函数y=g （x）的解析式，进而根据正弦型函数最值的求法，不难求出函数的最大值与最小值．【解答】解：（I）∵函数f（x）=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin（+φ）（0＜φ＜π），又因为其图象过点（，）．∴φ﹣解得：φ=（II）由（1）得φ=，∴f（x）=sin2xsinφ+cos2xcosφ﹣sin（+φ）=∴∵x∈[0，]∴4x+∈∴当4x+=时，g（x）取最大值；当4x+=时，g（x）取最小值﹣．【点评】本题考查三角函数的诱导公式即二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换及三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的能力．已知函数图象求函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图象求得的y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．18．（12分）（2010?山东）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）根据等差数列所给的项和项间的关系，列出关于基本量的方程，解出等差数列的首项和公差，写出数列的通项公式和前n项和公式．（2）根据前面做出的数列构造新数列，把新数列用裂项进行整理变为两部分的差，合并同类项，得到最简结果，本题考查的是数列求和的典型方法﹣﹣裂项法，注意解题过程中项数不要出错．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴有，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n==n2+2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n+1，∴b n====，∴T n===，即数列{b n}的前n项和T n=．【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键．是每年要考的一道高考题目．19．（12分）（2010?山东）如图，在五棱锥P﹣ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；（Ⅲ）求四棱锥P﹣ACDE的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．【分析】（Ⅰ）要证平面PCD⊥平面PAC，只需证明平面PCD内的直线CD，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可；（Ⅱ）过点A作AH⊥PC于H，说明∠PBO为所求角，然后解三角形求直线PB与平面PCD所成角的大小，也可以利用空间直角坐标系，求出向量，平面PCD的一个法向量，计算，即可．（Ⅲ）直接求出底面面积和高，再求四棱锥P﹣ACDE的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠ABC=45°，AB=2，BC=4，所以在△ABC中，由余弦定理得：，解得，所以AB2+AC2=8+8=16=BC2，即AB⊥AC，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥AB，又PA∩AC=A，所以AB⊥平面PAC，又AB∥CD，所以CD⊥平面PAC，又因为CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC；（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作AH⊥PC于H，则AH⊥平面PCD，又AB∥CD，AB?平面PCD内，所以AB平行于平面PCD，所以点A到平面PCD的距离等于点B到平面PCD的距离，过点B作BO⊥平面PCD于点O，则∠BPO为所求角，且AH=BO，又容易求得AH=2，所以，即∠BPO=30°，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为30°；另解：（Ⅱ）因为△PAB为等腰三角形，所以又AB∥CD，所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离．由CD⊥平面PAC，在Rt△PAC中，，所以PC=4．故PC边上的高为2，即点A到平面的距离，即点点B到平面PCD的距离为2．设直线PB与平面PCD所成的角为θ，则，又，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB，AC，AP两两互相垂直，分别以AB，AC，AP为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由△PAB为等腰直角三角形，所以，而，则因为AC∥ED，CD⊥AC，所以四边形ACDE是直角梯形．因为AE=2，∠ABC=45°，AE∥BC，所以∠BAE=135°，∠CAE=45°，故，所以．因此，设是平面PCD的一个法向量，则，解得x=0，y=z．取y=1，得，而．设θ表示向量与平面PCD的法向量所成的角，则因此直线PB与平面PCD所成角的大小为；（Ⅲ）由（Ⅰ）知CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC，又AC∥ED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四边形ACDE的面积为，所以四棱锥P﹣ACDE的体积为=．【点评】本题主要考查空间中的基本关系，考查线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和几何体体积的计算，考查识图能力、空间想象能力和逻辑推理能力．20．（12分）（2010?山东）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A，B，C，D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C，D分别加1分，2分，3分，6分，答错任意题减2分；②每答一题，计分器显示累计分数，当累积分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累积分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；答完四题累计分数不足14分时，答题结束淘汰出局；③每位参加者按A，B，C，D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A，B，C，D回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据题意，列举甲能进入下一轮的五种情况，由于每题答题结果相互独立，根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果．（2）由题意可知答对一个题或答错一个题都不能决定甲的去留，所以最少答两个题，随机变量ξ可能的取值为2，3，4，由于每题的答题结构都是相对独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．【解答】解：设A，B，C，D分别是第一、二、三、四个问题，用M i（i=1，2，3，4）表示甲同学第i个问题回答正确，用N i（i=1，2，3，4）表示第i个问题回答错误，则M i与N i（i=1，2，3，4）是对立事件．由题意得，则．（Ⅰ）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，则Q=M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4由于每题答题结果相互独立，∴P（Q）=P（M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4）=P（M1M2M3）+P（N1M2M3M4）+P（M1N2M3M4）+P（M1M2N3M4）+P（N1M2N3M4）=（Ⅱ）由题意可知随机变量ξ可能的取值为2，3，4，由于每题的答题结果都是相对独立的，∵，，P（ξ=4）=1﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=3）=1﹣﹣=∴．【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查相互独立立事件、对立事件的概率和求解办法，考查用概率知识解决实际问题的能力．21．（12分）（2010?山东）如图，已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（+1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1?k2=1；（Ⅲ）（此小题仅理科做）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为=，及椭圆的定义得到又2a+2c=，解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；（Ⅱ）设点P（x0，y0），根据斜率公式求得k1、k2，把点P（x0，y0）在双曲线上，即可证明结果；（Ⅲ）设直线AB的方程为y=k（x+2），则可求出直线CD的方程为y=（x﹣2），联立直线和椭圆方程，利用韦达定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|，求得λ的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为=，得，又2a+2c=，所以可解得，c=2，所以b2=a2﹣c2=4，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（±2，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为．（Ⅱ）设点P（x0，y0），则k1=，k2=，∴k1?k2==，又点P（x0，y0）在双曲线上，∴，即y02=x02﹣4，∴k1?k2==1．（Ⅲ）假设存在常数λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立，则由（II）知k1?k2=1，∴设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=（x﹣2），由方程组消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由韦达定理得，，∴AB==，同理可得CD===，∵|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|，∴λ==﹣==，∴存在常数λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立．【点评】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（III）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．22．（14分）（2010?山东）已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）．（Ⅰ）当a≤时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=x2﹣2bx+4．当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）直接利用函数与导数的关系，求出函数的导数，再讨论函数的单调性；（Ⅱ）利用导数求出f（x）的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出g（x）在闭区间[1，2]上的最小值，然后解不等式求参数．【解答】解：（Ⅰ），令h（x）=ax2﹣x+1﹣a（x＞0）（1）当a=0时，h（x）=﹣x+1（x＞0），当x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．（2）当a≠0时，由f′（x）=0，即ax2﹣x+1﹣a=0，解得．当时x1=x2，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）单调递减；当时，，x∈（0，1）时h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；时，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．当a＜0时，当x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．综上所述：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增；当时x1=x2，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；当时，函数f（x）在（0，1）单调递减，单调递增，单调递减．（Ⅱ）当时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x1∈（0，2），有，又已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），所以，x2∈[1，2]，（※）又g（x）=（x﹣b）2+4﹣b2，x∈[1，2]当b＜1时，g（x）min=g（1）=5﹣2b＞0与（※）矛盾；当b∈[1，2]时，g（x）min=g（b）=4﹣b2≥0也与（※）矛盾；当b＞2时，．综上，实数b的取值范围是．【点评】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．。