(完整版)第十七章勾股定理知识点梳理及典型题

勾股定理

一、知识归纳

1、勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么a2 b2 c2

2、勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

3、勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在ABC中， C 90 ，则 c a2 b2，b c2 a2， a c2 b2

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

4、勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a，b，c满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a ， b ，c为三边的三角形是直角三角形；若a2 b2 c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若a2 b2 c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；

二、题型

题型一：直接考查勾股定理

例１. 在ABC中， C 90 ⑴已知AC 6，BC 8．求AB的长

⑵已知AB 17，AC 15，求BC 的长（分析：直接应用勾股定理a2 b2 c2）

题型二：应用勾股定理建立方程

例２.⑴在 ABC 中， ACB 90 ，AB 5 cm ，BC 3cm ，CD AB 于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为

3: 4，斜边长为 15 ，则这个三角形的面积为

⑶已知直角三角形的周长为 30 cm ，斜边长为 13 cm ，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可 根据勾股定理列方程求解

C 90 ， 1 2，C

D 1.5， BD 2.5，求 AC 的长

题型三：实际问题中应用勾股定理

例 5. 如图有两棵树，一棵高 8 cm ，另一棵高 2 cm ，两树相距 8 cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另

一棵数的树梢，至少飞了 m

题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形 例 6. 已知三角形的三边长为 a ， b ， c ，判定 ABC 是否为 Rt 52 ① a 1.5， b 2， c 2.5 ②

a ，

b 1， c

43

例３ . 如图 ABC 中， 例 4. 如图 Rt ABC ， C 90 AC 3,BC 4, 分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

B

B

D

C

例7.三边长为a，b，c满足 a b 10，ab 18， c 8的三角形是什么形状？

题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用

例8.已知ABC中，AB 13 cm，BC 10 cm，BC边上的中线AD 12 cm ，求证：AB AC

勾股典型题：

一、填空题

1．已知一个 Rt △的两边长分别为 3和 4，则第三边长是

2．如图，圆锥的底面半径为 6cm ，高为 8cm ，那么这个圆锥的母线 L 是 ______ 3．直角三角形两直角边长分别为 5 和 12 ，则斜边上的高为 ________ ． 4. 已知等腰三角形的腰长是 6cm ，底边长是 8cm ，那么这个等腰三角形的面积是

.

5．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为

8，正

方形 A 的面积是 10， B 的面积是 11，C 的面积是 13，则 D 的面积之为 ____

A 和

B 正东方向的两个村庄， CD = 6 km ，且 D 位于

C 的

北偏东 30°方向上，则 AB ＝ _____ km ．

7. 如图,有两棵树 ,一棵高 8米,另一棵高 2米,两树相距 8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树

的树梢 , 则它至少要飞行 __________米.

8．如图，直线 L 过正方形 ABCD 的顶点 B , 点 A 、 C 到直线 L 的距离分别是 1 和 2

的 ABCD 的面积是 .

9. 如图是一个长方体长 4、宽 3、高 12，则图中阴影部分的三角形的周长为 ___________ 10．某校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的

6．如 图 ， C 、 D 分别是一个湖的南、北两端

12

则正方形

C

D

B

A

8cm

BD

AC

第 6 题第 13

题

第9题

宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为 30o ， BCA 90o ，台阶的高 BC 为 2 米，那么请你帮

11．有一圆柱体高为 10cm ，底面圆的半径为 4cm ，AA 1、BB 1为相对的两条母线。 在 AA 1上有一个蜘蛛

Q ，

QA =3cm ；在 BB 1 上有一只苍蝇 P ， PB 1=2cm 。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到 P 点吃苍蝇，最短的路径是

cm 。（结果用带 π和根号的式子表示）

12．如图，如果以正方形 ABCD 的对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF ，再以对角线 AE 为边作第三个

正方形 AEGH ，如此下去，⋯，已知正方形 ABCD 的面积 S 1 为 1，按上述方法所作的正方形的面积依次为

S 2，S 3，⋯， S n （n 为正整数），那么第 8 个正方形的面积 S 8 ＝ ________________

、选择题

13．“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点 说明问题的方式体现的数学思想方法叫（ ）

第 17 题

14．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是

忙算一算需要

米长的地毯恰好能铺好台阶． 结果精确到 0.1m ，取 2 1.414 ， 3 1.732 ）

P 所表示的数是 5 ”，这种利用图形直观

Ａ．代入法

Ｂ．换元法 Ｃ．数形结合的思想方法

Ｄ．分类讨论的思想方法

Ｂ

o