人教初中数学第十七章勾股定理知识点

人教版初中数学第十七章勾股定理知识点

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第十七章 勾股定理

17.1 勾股定理

1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +＝

勾股定理的证明： 方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，221

4()2

ab b a c ⨯+-=，化简可证．

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221

422

S ab c ab c =⨯+=+

大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ ∴222a b c +=

方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，211

2S 222

ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证

17.2 勾股定理的逆定理

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +＝，那么这个三角形是直角三角形.

3、互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称

a ，

b ，

c 为一组勾股数

常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等

b

a

c

b

a

c c

a

b

c

a

b

c

b

a

H

G F E

D

C

B

A

a b

c

c

b

a

E

D C

B

A

例、在Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c ．

错解

由勾股定理，得c=22a b +=22

43+=5

诊断 这里默认了∠C 为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b ＞a 时，∠B 可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况．

当∠B 为直角时，c=22b a -=22

43-=7

例、已知Rt △ABC 中，∠B=RT ∠，a=2，c=22，求b. 错解 由勾股定理，得

B=22

c a -=22(22)(2)-=6

诊断 这里错在盲目地套用勾股定理“a 2＋b 2=c 2”．殊不知，只有当∠C=Rt ∠时，a 2＋b 2=c 2才能成立，而当∠B=Rt ∠时，则勾股定理的表达式应为a 2＋c 2=b 2．

正确解答 ∵∠B=Rt ∠， 由勾股定理知a 2＋c 2=b 2．

∴b=22

c a +=22(22)(2)+=10

例、若直角三角形的两条边长为6cm 、8cm ，则第三边长为________． 错解 设第三边长为xcm ．由勾股定理，得x 2=62＋82．

x=22

68+=3664+=10

即第三边长为10cm ．

诊断 这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，∴第三边可能是斜边，也可能是直角边．

正确解法 设第三边长为xcm ． 若第三边长为斜边，由勾股定理，得

x=22

68+=3664+=10(cm)

若第三边长为直角边，则8cm 长的边必为斜边，由勾股定理，得

x=22

86-=28=27(cm)

因此，第三边的长度是10cm 或者27cm.

例、如图，已知Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，AM 是中线，且AM=

1

2

BC=233AD.又RT △ABC 的

周长是(6+23)cm.求AD ．

错解 ∵△ABC 是直角三角形， ∴AC:AB:BC=3:4:5 ∴AC ∶AB ∶BC=3∶4∶5．

∴AC=

312(6+23)=332+，AB=412(6+23)=6233+，BC=5

12

(6+23)=15536+

又∵

12AC AB •=1

2

BC AD • ∴AD=AC AB BC •=33623

231553

6

++⨯

+ =

(33)2(33)5(33)

+•++=2

5(3+3)(cm) 诊断 我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形

的三边关系．上述解法犯了以特殊代替一般的错误．

正确解法∵AM=

23

3

AD

∴MD=222(

3)3AD AD =33

AD 又∵MC=MA ，∴CD=MD ． ∵点C 与点M 关于AD 成轴对称． ∴AC=AM ，∴∠AMD=60°=∠C ．

∴∠B=30°，AC=

1

2

BC ，AB=32BC

∴AC+AB+BC=

1

2

BC+32BC+BC=6+23.

∴BC=4．

∵12BC=233AD ， ∴AD=1

2233

BC

=3(cm)

例、在△ABC 中，a ∶b ∶c=9∶15∶12， 试判定△ABC 是不是直角三角形．

错解 依题意，设a=9k ，b=15k ，c=12k(k ＞0)． ∵a 2＋b 2=(9k)2＋(15k)2=306k 2，c2=(12k)2=144k 2， ∴a 2＋b 2≠c 2．∴△ABC 不是直角三角形．

诊断 我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”．而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理．

正确解法 由题意知b 是最长边．设a=9k ，b=15k ，c=12k(k ＞0)． ∵a 2＋c 2=(9k)2＋(12k)2=81k 2＋144k 2=225k 2． b2=(15k)2=225k 2，∴a 2＋c 2=b 2． ∴△ABC 是直角三角形．

例、已知在△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是中线，AE 是高．求证：AB 2－AC 2=2BC·DE 错证 如图．