波利亚的解题过程

波利亚解题“怎样解题”思路剖析例题

例题：

如图11所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．

(1)求证：BC与⊙O相切．

(2)若OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4，求AD的长．

(一)通过审题, 弄清问题, 培养学生分析已知条件的习惯

审题过程就是要审清题目数量关系，知道该道题讲的是什么，并能找出已知条件，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答问题创造良好的前提条件。对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义，对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义。

讲解第一步、弄清问题：

1．（1）问中求证的是什么？（2）中未知数是什么?你能复述它吗？

答：（1）中求证BC与⊙O相切，（2）中要求我们求AD的长。

2．已知数据是什么？你能复述它吗？可以用数学语言来叙述题意吗? 可以画张图吗? 答：已知：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A．

则我们由图可知∠ADB是⊙O的圆周角，等于90°，那么∠A+∠ABD=90°。

（2）中已知OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4

3．条件是什么？

答：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A

4．满足上述条件（1）是否可能成立？能否求出AD的长?

答：满足上述条件（1）能成立。但不能求出AD的长，如果要求出AD的长那么我们还有加上一下条件即可：

OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4

5．要确定未知数，条件是否充分？

答：要确定未知数，如上所述是充分的。

6．是否需要引入适当的符号？如果需要，分别有哪些？有什么含义?

答：一般情况下做这些几何类型的题目为了方便书写和理解我们都会适当引入符号，但这题相对比较简单易懂，就不需要引入了，如果在很多线，很复杂的图形中就必须得引入。

7．把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？

答：能。AB是⊙O的直径AD是弦，∠DBC＝∠A

OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4

（1）已知：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．

求证：BC与⊙O相切．

（2）已知：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．BC与⊙O相切，OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4

求解：AD的长

效果：通过以上的审题和分析已知条件，使学生弄清了题意并数学化，同时大脑中有了一个平面模型，更清晰地了解题目。

(二)通过探求解题方法,培养学生拟定解题计划的习惯

在波利亚的解题表中，拟定计划是关键环节，“拟定计划”的过程是在“过去的经验和已有的知识”基础上,探索解题思路的发现过程。“拟定计划”的过程其实就是不断变换问题的过程，把复杂的问题向简单的问题转化，陌生的问题向熟悉的问题转化，最终把待解决的问题化归为已解决的或易解决的问题，这样在探索解题思路的过程中自然而然地培养了学生拟定解题计划的习惯。学生有了计划, 就不会拉下已知条件, 就会考虑解题的优先顺序，有清晰的目标，就可以通过计划的实施来实现解题的目标。

讲解第二步、拟定计划:

你是否见过与此相关的问题？你是否知道可能用得上的定理？

答：见过。如圆的直径与圆外切线相交，则它们两条线垂直。在圆内直径所对的圆周角为90度。

看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。

答：能否证明三角形ABD与三角形OBE相似？

你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它。

答：能否证明OB/ AB= BE/ BD=OE/AD?

你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？

（3）答：可以。如果（1）中仅仅保持AB是⊙O的直径，AD是弦，而舍去∠DBC＝∠A就只能证明∠D=90°，∠A+∠ABD=90°，但不能证明∠ABC=90°,所以也不能证明BC为⊙O的切线，即BC与⊙O相切。如果（2）中舍去了条件“OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4”的其中的某一个部分则，AD根本就没有办法求出来。你是否利用了所有的已知数据?是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？

答：利用了所有的已知数据同时也利用了整个条件。同时，其中包含了三角形的内角和为180度，在圆内直径所对的圆周角为90度，勾股定理，圆的相切线与圆的直径垂直；三角形相似对应的边的比例相等，等于一个定值等概念。

解题计划：根据已知条件首先在圆内搞清角与角之间的关系，再证明∠DBC+∠ABD=90°=∠ABC，从而证明结论BC与⊙O相切。

（２）中，搞清给出长度的这几条边分别在哪个三角形中，这些三角形分别是什么关系？求解

的这两个三角形相似，那么我们可以根据相似三角形的性质求得ＡＤ的长度。

（三）通过实现解题计划,培养学生将计划付诸实现的习惯

想出一个计划,产生一个求解的念头是不容易的,要成功,需要有许多条件,如已有的知识、良好的思维习惯等。我们要把来之不易的好计划好念头付诸实现，在解题计划的实现过程中我们必须充实细节并耐心地检查每一个细节，直到每一点都完全清楚，没有任何可能隐藏错误的含糊之处为止，在这个过程中教师要注意培养学生的耐心和恒心，要时时提醒学生自己解题的计划是什么?按照解题计划坚持让学生检查每一步骤,这对职业中学的学生而言尤其重要，因他们的关键是踏踏实实的做每一件事情，将计划执行到底。

讲解第三步、实现计划:

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，AD是弦，

∴∠D=90°（∠D是⊙O的圆周角），

故∠A+∠ABD=90°(三角形内角和为180°),

又∵∠DBC＝∠A AB是⊙O的直径

∴∠DBC+∠ABD=90°=∠ABC

故BC为⊙O的切线

即BC与⊙O相切

解：（2）由（1）证明知道BC与⊙O相切

∵OC是BD的垂直平分线，垂足为E

BD＝6，CE＝4

∴∠BEC=90°=∠D BE=BD/2 =4

又∵∠DBC＝∠A （∠A和∠D在同一个直角三角形内，∠DBC和∠BEC在同一个三角形内）

∴△ABD ∽△BEC （有两个角相等）

∴BE/AD=CE/BD=4/6

故AD=9/2

所以AD得长为9/2

检查：（１）若BC与⊙O相切，则∠DBC+∠ABD=90°=∠ABC，∠D=90°，∠A+∠ABD=90°所以得到∠DBC＝∠A ，故正确。

（２）中若AD=9/2为已知条件，求CE的长，则根据上题中证明三角形相似，在根据相似三角形对应边的比相等求出CE＝4，与上题相同，即说明结果正确的。

(三)通过解题回顾, 培养学生主动回顾反思的习惯

即使是相当好的学生，当他得到问题的解答，并且很干净利落地写下论证后, 就会合上书本, 找点别的事来干干。这样做, 他们就错过了解题的一个重要而有教益的方面。

培养学生对自己的解题过程进行回顾反思的习惯，提高学生的思维自我评介水平，这是提高学习效率，培养数学能力的有效的方法。解题是学好数学的必由之路，养成对自己的解题过程进行回顾反思的习惯是具有正确的解题思想的体现。如果在获得正确答案后就此终止，不对解题过程进行回顾和反思，那么解题活动就有可能停留在经验水平上，事倍功半；如果在每一次解题以后都以对自己的思路作自我评价，探讨成功的经验或失败的教训，那么学生的思维就会在更高的层次上进行再概括，并促使学生的思维进入理性认识阶段，事半功倍，同时可能会产生创新的好念头。因此，为了提高数学学习效率，必须加强正确的解题思想教育，使学生养成回顾反思的习惯。

讲解第四步、回顾:

回顾解题过程可以看到, 解题首先要弄清题意, 从中捕捉有用的信息，同时又要及时提取记忆中的有关知识，来拟定出一个成功的计划。此题我们在思维策略上是二层次解决问题,首先根据AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A的条件找到∠ABC=90°, 然后根据圆的切线定理及三角形的内角和为180°得证。（2）中主要利用三角形相似的定理，对应角相等、对应边成比例的特点来求得答案，方法简单易懂。

还有其他别的方法导出这个结果吗？

答：有。证明两个三角形相似，然后证明∠ABC=90°，再证明结论。或者我们直接用切线定理来判断，即一直线若与一圆有交点，且连接交点与圆心的直线与该直线垂直，那么这条直线就是圆的切线。

这种方法你还可以用于哪些题？

答：以上题目的方法还可以用于求三角形的角度是多少，用于证明两个三角形全等、相似的问题等。