2020-2021学年第一学期初三数学期末考试质量检测试卷
2020-2021学年北京市西城区初三数学第一学期期末试卷及解析
2020-2021学年北京市西城区初三数学第一学期期末试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．（3分）在抛物线245y x x =--上的一个点的坐标为( ) A ．(0,4)-B ．(2,0)C ．(1,0)D ．(1,0)-2．（3分）在半径为6cm 的圆中，60︒的圆心角所对弧的弧长是( ) A ．cm πB ．2cm πC ．3cm πD ．6cm π3．（3分）将抛物线2y x =先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为( )A ．2(3)5y x =++B ．2(3)5y x =-+C ．2(5)3y x =++D ．2(5)3y x =-+4．（3分）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2)，我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD 与四边形A B C D ''''是位似图形，点O 是位似中心，点A '是线段OA 的中点，那么以下结论正确的是( )A ．四边形ABCD 与四边形ABCD ''''的相似比为1:1 B ．四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的相似比为1:2 C ．四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的周长比为3:1 D ．四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的面积比为4:15．（3分）如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，若32CDB ∠=︒，则ABC ∠等于( )A ．68︒B ．64︒C ．58︒D ．32︒6．（3分）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A ，(3,0)B 两点，则抛物线的对称轴为( ) A ．1x =B ．2x =C ．3x =D ．4x =7．（3分）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x ，则可列出关于x 的方程为( ) A ．2.44(1) 6.72x += B ．2.44(12) 6.72x +=C ．22.44(1) 6.72x +=D ．22.44(1) 6.72x -=8．（3分）现有函数24()2()x x a y x x x a +<⎧=⎨-⎩如果对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得当x m =时，y n =，那么实数a 的取值范围是( ) A ．54a -B ．14a -C ．41a -D ．45a -二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）若正六边形的边长为2，则它的外接圆半径是 ．10．（3分）若抛物线2(0)y ax a =≠经过(1,3)A ，则该抛物线的解析式为 ． 11．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，9AB =，则sin B = ．12．（3分）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的示意图如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“>”，“ =”或“<” )．13．（3分）如图，AB 为O 的直径，10AB =，CD 是弦，AB CD ⊥于点E ，若6CD =，则EB = ．14．（3分）如图，PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，若2OA=，60APB∠=︒，则PB=．15．（3分）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，OD DA CB==，DC AB BE==，在点A，E处分别装上画笔．画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．原理：若连接OA，OE，可证得以下结论：①ODA∆和OCE∆为等腰三角形，则1(180)2DOA ODA∠=︒-∠，1(1802COE∠=︒-∠)；②四边形ABCD为平行四边形（理由是)；③DOA COE∠=∠，于是可得O，A，E三点在一条直线上；④当35DCCB=时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，(4,3)P，O经过点P．点A，点B在y轴上，PA PB=，延长PA，PB分别交O于点C，点D，设直线CD与x轴正方向所夹的锐角为α．（1）O的半径为；（2）tan α= ．三、解答题（本题共52分，第17、18、20～22题每小题5分，第19题6分，第23～25题每小题5分） 17．（5分）计算：22sin60tan 45cos 30︒-︒+︒． 18．（5分）已知关于x 的方程2240x x k ++-=． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围； （2）若1k =，求该方程的根． 19．（6分）借助网格画图并说理：如图所示的网格是正方形网格，ABC ∆的三个顶点是网格线的交点，点A 在BC 边的上方，AD BC ⊥于点D ，4BD =，2CD =，3AD =．以BC 为直径作O ，射线DA 交O 于点E ，连接BE ，CE ． （1）补全图形；（2）填空：BEC ∠= ︒，理由是 ； （3）判断点A 与O 的位置关系并说明理由；（4）BAC ∠ BEC ∠（填“>”，“ =”或“<” )．20．（5分）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(3,0)点，当1x =时，函数的最小值为4-． （1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；（2）直线x m =与抛物线2(0)y ax bx c a =++≠和直线3y x =-的交点分别为点C ，点D ，点C 位于点D 的上方，结合函数的图象直接写出m 的取值范围．21．（5分）如图，AB 为O 的直径，AC 为弦，点D 在O 外，BCD A ∠=∠，OD 交O 于点E ． （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若4CD =， 2.7AC =，9cos 20BCD ∠=，求DE 的长．22．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 边上，1BE =，F 为BC 边的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD ，点P 在线段EF 上运动（点P 可与点E ，点F 重合），作矩形PMDN ，其中M ，N 两点分别在CD ，AD 边上．设CM x =，矩形PMDN 的面积为S ．（1）DM = （用含x 的式子表示），x 的取值范围是 ； （2）求S 与x 的函数关系式；（3）要使矩形PMDN 的面积最大，点P 应在何处？并求最大面积．23．（7分）已知抛物线212y x x =-+．（1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y 轴的交点坐标； （2）已知该抛物线经过1(34,)A n y +，2(21,)B n y -两点． ①若5n <-，判断1y 与2y 的大小关系并说明理由；②若A ，B 两点在抛物线的对称轴两侧，且12y y >，直接写出n 的取值范围．24．（7分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，3BC =ABC ∆绕点B 顺时针旋转(0120)αα︒<︒得到△A BC ''，点A ，点C 旋转后的对应点分别为点A '，点C '．（1）如图1，当点C '恰好为线段AA '的中点时，α= ︒，AA '= ； （2）当线段AA '与线段CC '有交点时，记交点为点D ．①在图2中补全图形，猜想线段AD 与A D '的数量关系并加以证明； ②连接BD ，请直接写出BD 的长的取值范围．25．（7分）对于平面内的图形1G 和图形2G ，记平面内一点P 到图形1G 上各点的最短距离为1d ，点P 到图形2G 上各点的最短距离为2d ，若12d d =，就称点P 是图形1G 和图形2G 的一个“等距点”． 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(6,0)A ，(0B ，23)．（1）在(3,0)R ，(2,0)S ，3)T 三点中，点A 和点B 的等距点是 ； （2）已知直线2y =-．①若点A 和直线2y =-的等距点在x 轴上，则该等距点的坐标为 ； ②若直线y a =上存在点A 和直线2y =-的等距点，求实数a 的取值范围； （3）记直线AB 为直线1l ，直线23:l y =，以原点O 为圆心作半径为r 的O ．若O 上有m 个直线1l 和直线2l 的等距点，以及n 个直线1l 和y 轴的等距点(0,0)m n ≠≠，当m n ≠时，求r 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．【解答】解：当0x =时，5y =-，因此(0,4)-不在抛物线245y x x =--， 当2x =时，4859y =--=-，因此(2,0)不在抛物线245y x x =--上， 当1x =时，1458y =--=-，因此(1,0)不在抛物线245y x x =--上， 当1x =-时，1450y =+-=，因此(1,0)-在抛物线245y x x =--上， 故选：D ．2．【解答】解：弧长为：6062()180cm ππ⨯=． 故选：B ．3．【解答】解：将抛物线2y x =先向右平移3个单位长度，得：2(3)y x =-； 再向上平移5个单位长度，得：2(3)5y x =-+， 故选：B ．4．【解答】解：四边形ABCD 与四边形A B C D ''''是位似图形，点O 是位似中心，点A '是线段OA 的中点，:1:2OA OA ∴'=， :1:2A B AB ∴''=，∴四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的相似比为2:1，周长的比为2:1，面积比为4:1．故选：D ． 5．【解答】解：AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒， 90ADC CDB ∴∠+∠=︒，90903258ADC CDB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， ABC ADC ∠=∠， 58ABC ∴∠=︒，故选：C ．6．【解答】解：抛物线2y x bx c =++经过(1,0)A 、(3,0)B 两点，∴抛物线对称轴为直线1322x +==， 故选：B ．7．【解答】解：设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x ， 则可列出关于x 的方程为22.44(1) 6.72x +=， 故选：C ． 8．【解答】解：222(1)1y x x x =-=--，∴函数22y x x =-的最小值为1-，把1y =-代入4y x =+得，14x -=+，解得5x =-，由图象可知，当54a -时，对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得当x m =时，函数y n =， 故选：A ．二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9．【解答】解：如图所示，连接OB 、OC ； 此六边形是正六边形， 360606BOC ︒∴∠==︒， OB OC =，BOC ∴∆是等边三角形， 2OB OC BC ∴===．故答案为：2．10．【解答】解：把(1,3)A 代入2(0)y ax a =≠中， 得231a =⨯， 解得3a =，所以该抛物线的解析式为23y x =． 故答案为：23y x =．11．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，9AB =， 则62sin 93AC B AB ===， 故答案为：23． 12．【解答】解：抛物线开口方向向上， 0a ∴>，对称轴在y 轴的右侧， 0b ∴<，抛物线与y 轴交于负半轴， 0c ∴<．故答案为>，<，<．13．【解答】解：连接OC ，如图所示： 弦CD AB ⊥于点E ，6CD =， 132CE ED CD ∴===，在Rt OEC ∆中，90OEC ∠=︒，3CE =，152OC AB ==， 22534OE ∴=-=， 15412BE OB OE AB OE ∴=-=-=-=， 故答案为：1．14．【解答】解：PA 、PB 是O 的两条切线，60APB ∠=︒，2OA OB ==， 1302BPO APB ∴∠=∠=︒，BO PB ⊥．24PO AO ∴==，22224223PB PO OB ∴=-=-=． 故答案是：23．15．【解答】解：①ODA ∆和OCE ∆为等腰三角形， 1(180)2DOA ODA ∴∠=︒-∠，1(180)2COE OCE ∠=︒-∠；②AD BC =，DC AB =，∴四边形ABCD 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；③连接OA ，AE ，DOA COE ∠=∠，O ∴，A ，E 三点在一条直线上；④35DC BC =，∴设3CD AB BE x ===，5OD AD BC x ===，四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC ∴， AOD EOC ∴∆∆∽，∴35855OC x x OD x +==， ∴图形N 是以点O 为位似中心，把图形M 放大为原来的85，故答案为：OCE ；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；85．16．【解答】解：（1）连接OP ． (4,3)P ，5OP ∴==， 故答案为：5．（2）设CD 交x 轴于J ，过点P 作PT AB ⊥交O 于T ，交AB 于E ，连接CT ，DT ，OT ． (4,3)P ，4PE ∴=，3OE =，在Rt OPE ∆中，4tan 3PE POE OE ∠==， OE PT ⊥，OP OT =， POE TOE ∴∠=∠，12PDT POT POE ∴∠=∠=∠，PA PB =．PE AB ⊥， APT DPT ∴∠=∠，∴TC DT =，TDC TCD ∴∠=∠， //PT x 轴， CJO CKP ∴∠=∠，CKP TCK CTK ∠=∠+∠，CTP CDP ∠=∠，PDT TDC CDP ∠=∠+∠， TDP CJO ∴∠=∠， CJO POE ∴∠=∠，4tan tan 3CJO POE ∴∠=∠=． 补充方法：证明CJO EOP ∠=∠时，可以这样证明：90CJO TOJ ∠+∠=︒，90TOJ EOT ∠+∠=︒， CJO EOT ∴∠=∠， EOT EOB ∠=∠，CJO EOP ∴∠=∠，可得结论．故答案为：43．三、解答题（本题共52分，第17、18、20～22题每小题5分，第19题6分，第23～25题每小题5分） 17．【解答】解：原式23321(=-+ 3314+ 134=． 18．【解答】解：（1）△2241(4)204k k =-⨯⨯-=-． 方程有两个不相等的实数根，∴△0>．2040k ∴->，解得5k <；k ∴的取值范围为5k <．（2）当1k =时，原方程化为2230x x +-=， (1)(3)0x x -+=， 10x -=或30x +=，解得11x =，23x =-．19．【解答】解：（1）补全图形见图1．（2）BC 是直径，90BEC ∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角）． 故答案为：90，直径所对的圆周角是直角． （3）点A 在O 外． 理由如下：连接OA ．4BD =，2CD =，6BC BD CD ∴=+=，32BCr ==． AD BC ⊥， 90ODA ∴∠=︒，在Rt AOD ∆中，3AD =，1OD BD OB =-=，∴22221310OA OD AD =++103>，OA r ∴>，∴点A 在O 外．（4）观察图象可知：BAC BEC ∠<∠． 故答案为：<．20．【解答】解：（1）当1x =时，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最小值为4-，∴二次函数的图象的顶点为(1,4)-，∴二次函数的解析式可设为2(1)4(0)y a x a =--≠，二次函数的图象经过(3,0)点，2(31)40a ∴--=． 解得1a =．∴该二次函数的解析式为2(1)4y x =--；如图，（2）由图象可得0m <或3m >． 21．【解答】（1）证明：如图，连接OC ．AB 为O 的直径，AC 为弦，90ACB ∴∠=︒，90OCB ACO ∠+∠=︒． OA OC =， ACO A ∴∠=∠． BCD A ∠=∠， ACO BCD ∴∠=∠． 90OCB BCD ∴∠+∠=︒． 90OCD ∴∠=︒． CD OC ∴⊥． OC 为O 的半径， CD ∴是O 的切线；（2）解：BCD A ∠=∠，9cos 20BCD ∠=， 9cos cos 20A BCD ∴=∠=．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒， 2.7AC =，9cos 20A =． 2.769cos 20AC AB A∴===． 32ABOC OE ∴===． 在Rt OCD ∆中，90OCD ∠=︒，3OC =，4CD =，∴5OD =．532DE OD OE ∴=-=-=．22．【解答】解：（1）正方形ABCD 的边长为4，CM x =，1BE =， 4DM DC CM x ∴=-=-，其中01x ．故答案是：4x -，01x ； （2）如图，延长MP 交AB 于G ，正方形ABCD 的边长为4，F 为BC 边的中点，四边形PMDN 是矩形，CM x =，1BE =， //PM BC ∴，122BF FC BC ===，BG MC x ==，4GM BC ==， EGP EBF ∴∆∆∽，1EG x =-，∴EG PG EB BF =，即112x PG-=． 22PG x ∴=-，4(22)22DN PM GM PG x x ∴==-=--=+，2(4)(22)268S DM DN x x x x ∴=⋅=-+=-++，其中01x ． （3）由（2）知，2268S x x =-++， 20a =-<，∴此抛物线开口向下，对称轴为322b x a =-=，即32x =，∴当32x <时，y 随x 的增大而增大． x 的取值范围为01x ，∴当1x =时，矩形PMDN 的面积最大，此时点P 与点E 重合，此时最大面积为12．23．【解答】解：（1）212y x x =-+，∴对称轴为直线1112()2x =-=⨯-，令0x =，则0y =，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,0)，（2）(34)(21)5A B x x n n n -=+--=+，1(34)1333(1)A x n n n -=+-=+=+，1(21)1222(1)B x n n n -=--=-=-．①当5n <-时，10A x -<，10B x -<，0A B x x -<．A ∴，B 两点都在抛物线的对称轴1x =的左侧，且A B x x <，抛物线212y x x =-+开口向下，∴在抛物线的对称轴1x =的左侧，y 随x 的增大而增大．12y y ∴<；②若点A 在对称轴直线1x =的左侧，点B 在对称轴直线1x =的右侧时， 由题意可得3412111(34)(21)1n n n n +<⎧⎪->⎨⎪-+<--⎩，∴不等式组无解，若点B 在对称轴直线1x =的左侧，点A 在对称轴直线1x =的右侧时， 由题意可得：3412111(21)341n n n n +>⎧⎪-<⎨⎪-->+-⎩，115n ∴-<<-，综上所述：115n -<<-．24．【解答】解：（1）90C ∠=︒，3BC =，30ABC ∠=︒， tan301AC BC ∴=⋅︒=， 22AB AC ∴==， BA BA ='，AC AC '=''， 30ABC A BC ∴∠'=∠''=︒，ABA ∴∆'是等边三角形，60α∴=︒，2AA AB '==．故答案为：60，2．（2）①补全图形如图所示：结论：AD A D '=．理由：如图2，过点A 作A C ''的平行线，交CC '于点E ，记1β∠=． 将Rt ABC ∆绕点B 顺时针旋转α得到Rt △A BC ''， 90A C B ACB ''∴∠=∠=︒，A C AC ''=，BC BC '=．21β∴∠=∠=．3190ACB β∴∠=∠-∠=︒-，290A C D A C B β''''∠=∠+∠=︒+． //AE A C ''90AED A C D β''∴∠=∠=︒+．4180180(90)90AED ββ∴∠=︒-∠=︒-︒+=︒-． 34∴∠=∠． AE AC ∴=． AE A C ''∴=．在ADE ∆和△A DC ''中， ADE A DC AED A C D AE A C ∠=∠''⎧⎪∠=∠''⎨⎪=''⎩， ADE ∴∆≅△()A DC AAS ''，AD A D '∴=．②如图1中，当60α=︒时，BD 的值最大，最大值为3． 当120α=︒时，BD 的值最小，最小值1sin30212BD AB =⋅︒=⨯=， 13BD ∴．25．【解答】解：（1）点(6,0)A ，(0B ，23)，(3,0)R ，(2,0)S ，(1,3)T ， 3AR ∴=，21BR =，4AS =，4BS =，27AT =，2BT =， AS BS ∴=，∴点A 和点B 的等距点是(2,0)S ，故答案为：(2,0)S ；（2）①设等距点的坐标为(,0)x ， 2|6|x ∴=-， 4x ∴=或8，∴等距点的坐标为(4,0)或(8,0)，故答案为：(4,0)或(8,0)；②如图1，设直线y a =上的点Q 为点A 相直线2y =-的等距点，连接QA ，过点Q 作直线2y =-的垂线，垂足为点C ，点Q 为点A 和直线2y =-的等距点， QA QC ∴=，22QA QC ∴=点Q 在直线y a =上，∴可设点Q 的坐标为(,)Q x a222(6)[(2)]x a a ∴-+=--． 整理得2123240x x a -+-=，由题意得关于x 的方程2123240x x a -+-=有实数根．∴△2(12)41(324)16(1)0a a =--⨯⨯-=+．解得1a -； （3）如图2，直线1l 和直线2l 的等距点在直线33:3l y = 直线1l 和y 轴的等距点在直线4:323l y x =-+或53:23l y =+ 由题意得3r 或3r ．。
2020-2021学年北京市顺义区初三数学第一学期期末试卷及解析
2020-2021学年北京市顺义区初三数学第一学期期末试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（3分）数轴上A 、B 、C 、D 四个点的位置如图所示，这四个点中，表示2的相反数的点是( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D2．（3分）如果52(0)a b ab =≠，那么下列比例式中正确的是( ) A ．52a b = B ．25b a = C ．25a b = D ．52a b = 3．（3分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，2AC =，则tan B 的值为( ) A ．12B ．2C ．55D ．2554．（3分）将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是( ) A ．221y x =-B ．221y x =+C ．22(1)y x =-D ．22(1)y x =+5．（3分）如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且//DE BC ，若:2:3AD DB =，则ADE ∆与ABC ∆的面积比等于( )A ．2:3B ．4:5C ．4:9D ．4:256．（3分）二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为( )A ．223y x x =+-B ．223y x x =--C ．223y x x =-+-D ．223y x x =--+7．（3分）如图，点A 、B 、C 都在O 上，若140AOC ∠=︒，则B ∠的度数是( )A ．70︒B ．80︒C ．110︒D ．140︒8．（3分）已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：x⋯4-3-2-1-0 ⋯y⋯ 3-m13-⋯有以下几个结论：①抛物线2y ax bx c =++的开口向上；②抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =-； ③关于x 的方程20ax bx c ++=的根为3-和1-； ④当0y <时，x 的取值范围是31x -<<-． 其中正确的是( ) A ．①④B ．②④C ．②③D ．③④二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9．（3分）方程组125x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是 ．10．（3分）一个圆柱体容器内装入一些水，截面如图所示，若O 的直径为52cm ，水面宽48AB cm =，则水的最大深度为 cm ．11．（3分）小明为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A 、B 之间的距离，在垂直AB 的方向BC 上确定点C ，测得45BC m =，40C ∠=︒，从而计算出AB 之间的距离．则AB = ．（精确到0.1)m（参考数据：sin400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan400.84︒≈，sin500.77︒≈，cos500.64︒≈，tan50 1.19)︒≈12．（3分）如图，在O 中，若AB BC CD ==，则AC 与2CD 的大小关系是：AC 2CD ．（填“>”，“ <”或“=” )13．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，9AB =，6AC =，则cos DCB ∠= ．14．（3分）如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h （米)和飞行时间t （秒)近似满足函数关系式21(6)510h t =--+，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是 米．15．（3分）在反比例函数ky x=的图象上有两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且120x x <<，12y y >．写出一个符合条件的函数表达式 ．16．（3分）如图，线段9AB =，AC AB ⊥于点A ，BD AB ⊥于点B ，2AC =，4BD =，点P 为线段AB 上一动点，且以A 、C 、P 为顶点的三角形与以B 、D 、P 为顶点的三角形相似，则AP 的长为 ．三、解答题（本题共52分，其中第17-20题每小题5分，第21-23题每小题5分，第24，25题每小题5分）17．（5分）解不等式组：3(1)1922x x x x +>-⎧⎪⎨+>⎪⎩18．（5分）计算：0|3|(3)33tan 30π-+--+︒．19．（5分）已知：如图，点M 为锐角APB ∠的边PA 上一点． 求作：AM D ∠，使得点D 在边PB 上，且2AM D P ∠=∠．作法：①以点M 为圆心，MP 长为半径画圆，交PA 于另一点C ，交PB 于点D ； ②作射线MD ．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明．证明：P 、C 、D 都在M 上，P ∠为CD 所对的圆周角，CMD ∠为CD 所对的圆心角，1(2P CMD ∴∠=∠ )（填推理依据）． 2AMD P ∴∠=∠．20．（5分）已知：如图，ABC ACD ∆∆∽，CD 平分ACB ∠，2AD =，3BD =，求AC 、DC 的长．21．（6分）一艘船向正北方向航行，在A 处时看到灯塔S 在船的北偏东30︒的方向上，继续航行12海里到达B 处，看到灯塔S 在船的北偏东60︒的方向上，若继续沿正北方向航行，求航行过程中船距灯塔S 的最近距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：2 1.41≈，3 1.73)≈22．（6分）已知：如图AB 为O 的直径，点D 为BC 的中点，过点D 作O 的切线交AB 的延长线于点E ，连接CB ． （1）求证：//BC DE ； （2）若4cos 5E =，20DE =，求BC 的长．23．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222(0)y x mx m m =-+． （1）求抛物线的顶点坐标（用含m 的式子表示）；（2）过点(0,1)A 作y 轴的垂线l ，点B 在直线l 上且横坐标是21m +． ①若m 的值等于1时，求抛物线与线段AB 的交点个数；②若抛物线与线段AB 只有一个公共点时，直接写出m 的取值范围．24．（7分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 为线段BC 上一动点（不与点B ，C 重合），作射线AD 、AB ，将射线AD 、AB 分别绕点A 顺时针旋转90︒，得到射线AD '、AB '，过点B 作BC 的垂线，分别交射线AD '、AB '于点E ，F ． （1）依题意补全图形；（2）求证：AB AF =；（3）用等式表示线段AC ，BD 与BE 之间的数量关系，并证明．25．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，若点Q 满足条件：以线段PQ 为对角线的正方形，边均与某条坐标轴垂直，则称点Q 为点P 的“正轨点”，该正方形为点P 的“正轨正方形”，如图所示． （1）已知点A 的坐标是(1,3)．①在(3,1)--，(2,2)，(3,3)中，点A 的“正轨点”的坐标是 ；②若点A 的“正轨正方形”的面积是4，写出一个点A 的“正轨点”的坐标是 ； （2）若点(1,0)B 的“正轨点”在直线22y x =+上，求点B 的“正轨点”的坐标；（3）已知点(,0)C m ，若直线2y x m =+上存在点C 的“正轨点”，使得点C 的“正轨正方形”面积小于4，直接写出m 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.. 1．【解答】解：根据题意， 2的相反数是2-． 再观察数轴，表示数2-的点应该是点A ． 故选：A ．2．【解答】解：52(0)a b ab =≠，∴25a b =或25a b =． 故选：C ．3．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB =，2AC =，1BC ∴==， tan 2ACB BC∴==， 故选：B ．4．【解答】解：抛物线22y x =的顶点坐标是(0,0)，∴抛物线22y x =向下平移1个单位后的顶点坐标是(0,1)-，则得到的抛物线是221y x =-． 故选：A ．5．【解答】解：在ABC ∆中，若D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且//DE BC ． ADE ABC ∴∆∆∽． :2:3AD DB =， :2:5AD AB ∴=．ADE ∴∆与ABC ∆的面积比为4:25．故选：D ．6．【解答】解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是(1,4)-，与x 轴的交点坐标是(1,0)-， 设二次函数的解析式是2(1)4y a x =--，把(1,0)-代入得：20(11)4a =---， 解得：1a =，所以22(1)423y x x x =--=--， 故选：B ．7．【解答】解：作AC 对的圆周角APC ∠，如图， 111407022P AOC ∠=∠=⨯︒=︒180P B ∠+∠=︒， 18070110B ∴∠=︒-︒=︒，故选：C ．8．【解答】解：由表格可知， 抛物线的对称轴是直线4022x -+==-，故②正确； 抛物线的顶点坐标是(2,1)-，有最大值，故抛物线2y ax bx c =++的开口向下，故①错误；由抛物线关于直线2x =-对称知，当0y =时，1x =-或3x =-，故方程20ax bx c ++=的根为3-和1-，故③正确；当0y >时，x 的取值范围是31x -<<-，故④错误， 故选：C ．二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9．【解答】解：在方程组125x y x y -=⎧⎨+=⎩中，①+②得：36x =， 解得：2x =． 代入①得：1y =． 即原方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩．10．【解答】解：连接OB ，过点O 作OC AB ⊥于点D ，交O 于点C ，如图所示： 48AB cm =，114824()22BD AB cm ∴==⨯=， O 的直径为52cm ， 26OB OC cm ∴==，在Rt OBD ∆中，2222262410()OD OB BD cm =-=-=， 261016()CD OC OD cm ∴=-=-=，即水的最大深度为16cm ， 故答案为：16．11．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，40C ∠=︒，45BC m =， tan ABC BC∴=， tan 450.8437.8()AB BC C m ∴=⋅≈⨯=．故答案为：37.8m ．12．【解答】解：如图，连接AB 、BC ， 在O 中，若AB BC CD ==， AB BC CD ∴==，在ABC ∆中，AB BC AC +>． 2AC CD ∴<．故答案是：<．13．【解答】解：90ACD BCD ∠+∠=︒， 90A ACD ∠+∠=︒， A BCD ∴∠=∠．在Rt ABC ∆中， cos ACA AB= 69= 23=． 2cos 3BCD ∴∠=． 故答案为：23． 14．【解答】解：21(6)510h t =--+为开口向下的抛物线， ∴当6t =时，5h =最大．故答案为：5．15．【解答】解：由120x x <<，12y y >，可知在每个象限内，y 随x 的增大而减小， 因此0k >，于是1k =（不唯一），所以符合条件的函数表达式为1y x=（答案不唯一）， 故答案为：1y x=（答案不唯一）． 16．【解答】解：设AP x =．以A 、C 、P 为顶点的三角形与以B 、D 、P 为顶点的三角形相似， ①当AC AP BD PB =时，249xx =-，解得3x =． ②当AC AP BP BD =时，294xx =-，解得1x =或8，∴当以A 、C 、P 为顶点的三角形与以B 、D 、P 为顶点的三角形相似时，AP 的长为1或3或8，故答案为1或3或8．三、解答题（本题共52分，其中第17-20题每小题5分，第21-23题每小题5分，第24，25题每小题5分）17．【解答】解：()311922x x x x +>-⎧⎪⎨+>⎪⎩①② 解不等式①得：2x >-，解不等式②得：3x <，∴不等式组的解集为23x -<<．18．【解答】解：0|3|(3)33tan 30π-+--+︒331333=+-+⨯ 13=+． 19．【解答】解：（1）如图，即为补全的图形，（2）证明：P 、C 、D 都在M 上，P ∠为CD 所对的圆周角，CMD ∠为CD 所对的圆心角，12P CMD ∴∠=∠（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半）， 2AMD P ∴∠=∠．故答案为：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．20．【解答】解：ABC ACD ∆∆∽，2AD =，3BD =，ACD B ∴∠=∠，AB AC AC AD =，即52AC AC =， 解得，10AC =CD 平分ACB ∠，ACD BCD ∴∠=∠，BCD B ∴∠=∠，3DC BD ∴==．21．【解答】解：过S 作SC AB ⊥于C ．60SBC ∠=︒，30A ∠=︒，30BSA SBC A ∴∠=∠-∠=︒，即30BSA A ∠=∠=︒．12SB AB ∴==（海里）． Rt BCS ∆中，12BS =，60SBC ∠=︒，3sin 60126310.4SC SB ∴=⋅︒==≈（海里）． 答：船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S 的最近距离约是10.4海里．22．【解答】（1）证明：连接OD ，如图，点D 为BC 的中点，OD BC ∴⊥， DE 为O 的切线，OD DE ∴⊥，//BC DE ∴；（2）解：连接AC ，如图，OD DE ⊥，90ODE ∴∠=︒，4cos 5DE E OE ∴==， 55202544OE DE ∴==⨯=， 22252015OD ∴=-=，30AB ∴=，//BC DE ，ABC E ∴∠=∠， 4cos cos 5ABC E ∴∠==， AB 为直径，90ACB ∴∠=︒，4cos 5BC ABC AB ∴∠==， 44302455BC AB ∴==⨯=． 23．【解答】解：（1）2222()y x mx m x m =-+=-，∴顶点坐标为(,0)m ． （2）①由题意，抛物线的解析式为2(1)y x =-，(0,1)A ，(3,1)B ，观察图象可知，抛物线与线段AB 的交点个数为2个． ②由①可知，1m =时，抛物线与线段AB 有两个交点， 当抛物线经过(21,1)B m +时，21(1)m =+，解得0m =或2-（舍弃），观察图象可知满足条件的m 的值为01m <．24．【解答】（1）补全的图形如图所示：（2）解：由旋转可知，90DAE BAF ∠=∠=︒，DAE BAE BAF BAE ∴∠-∠=∠-∠，即BAD EAF ∠=∠， 在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，45CAB CBA ∴∠=∠=︒，BF BC ⊥，45ABF ∴∠=︒，45AFB ABF ∴∠=∠=︒，AB AF ∴=；（3）线段AC ，BD 与BE 之间的数量关系为2BD BE AC +=， 理由：由（2）可知AFE ABD ∠=∠，FAE DAB ∠=∠，AF AB =， ()AEF ADB ASA ∴∆≅∆EF BD ∴=．在Rt ABF ∆中，2BF AB =，2EF BE AB ∴+=，在Rt ABC ∆中，AC BC =，2AB AC ∴=，2EF BE AC ∴+=，2BD BE AC ∴+=．25．【解答】解：（1）①点1(P x ，1)y 、点2(Q x ，2)y 是正轨正方形的点，1212||||x x y y ∴-=-．|1(3)||3(1)|--=--，|12||32|-=-，|13||33|-≠-， ∴点A 的“正轨点”的坐标是(3,1)--，(2,2)， 故答案为(3,1)--，(2,2)； ②点A 的“正轨正方形”的面积是4， ∴边长为2，∴点A 的“正轨点”的坐标是(3,5)或(1,1)-或(1,5)-或(3,1)， 故答案为(3,5)或(1,1)-或(1,5)-或(3,1)；（2）点(1,0)B 的“正轨点”在直线22y x =+上， ∴设点(1,0)B 的“正轨点”的坐标为(,22)x x +， 根据题意得|1||220|x x -=+-，解得3x =-或13x =-， ∴点(1,0)B 的“正轨点”的坐标为(3,4)--或1(3-，4)3； （3）直线2y x m =+上存在点(,0)C m 的“正轨点”， ∴点C 的“正轨点”的坐标为(0,)m 或(2,3)m m --， 正轨正方形”面积小于4，22m ∴-<<且0m ≠或232m -<-<且0m ≠， m ∴的取值范围是22m -<<且0m ≠．。
湖北省武汉市三校2020-2021学年度第一学期九年级期末联考数学试卷(含答案)
2020-2021学年度上学期湖北省武汉市三校九年级期末联考数学试卷（2021 01）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2.如图所示，从上面看该几何体的形状图为（ ）A. B. C. D. 3.有两把不同的钥匙和三把锁，其中两把钥匙分别能打开两把锁，且不能打开第三把锁，随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是( )A. 12B. 13C. 14D. 16 4.若关于x 的方程(k －1)x 2+4x ＋1=0有两不相等实数根，则k 的取值范围是（ ）A. k ≤5B. k < 5C. k ≤5且k ≠1D. k ＜5且k ≠15.如图，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC=48°，则∠OAB 的度数为( )A. 24°B. 30°C. 60°D. 90°6.竖直向上的小球离地面的高度h （米）与时间t （秒）的关系函数关系式为h=-2t 2+mt+258 ，若小球经过 74 秒落地，则小球在上抛过程中，第（ ）秒离地面最高.A. 37B. 47C. 34D. 437.如图，在 △ABC 中，点 D 、E 、F 分别在 AB 、AC 、BC 边上，连接 DE 、EF ，若 DE//BC,EF//AB ，则下列结论错误的是( )A. AE EC =BF FCB. AD BF =AB BCC. EF AB =DE BCD. CE CF =EA BF8.如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的顶点 A 、C 的坐标分别为 (0,5) 、 (5,0) ， ∠ACB =90° ， AC =2BC ，函数 y =k x (k >0,x >0) 的图象经过点 B ，则 k 的值为（ ）A. 754B. 758C. 252D. 25 9.如图，在 △ABC 中， ∠ACB =90° ，点 D 为 AB 的中点， AC =3 ， cosA =13，将 △DAC 沿着 CD 折叠后，点 A 落在点 E 处，则 BE 的长为（ ）A. 4√2B. 4C. 7D. 3√210.如图，抛物线 y =ax 2+bx +c(a ≠0) 的对称轴为直线 x =1 ，与x 轴的一个交点坐标为 (−1,0) ，其部分图象如图所示，下列结论：① 2a +b =0 ；② b 2−4ac <0 ；③当 y >0 时，x 的取值范围是 −1<x <3 ；④当 x >0 时，y 随x 增大而增大；⑤若t 为任意实数，则有 a +b ≥at 2+bt ，其中结论正确的个数是( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11.一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）.将三角尺ABC绕着点C按逆时针方向旋转n°后（0＜n＜360 ），若ED⊥AB，则n的值是________.12.抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝________.13.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，D为边AB上的一点，若AD=2，则tan∠BDC的值为________。
2020年上海市金山区初三数学一模试卷含答案
2020学年第一学期期末质量检测初三数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）（2021．1）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1.已知二次函数()122--=x y ，那么该二次函数图像的对称轴是（ ）（A ）直线2=x ； （B ）直线2-=x ； （C ）直线1=x ； （D ）直线1-=x . 2.下列各点在抛物线22x y =上的是（ ）（A ）()2,2； （B ）()42，； （C ）)(8,2； （D ）()16,2. 3.在ABC Rt ∆中，90=∠C ，那么锐角A 的正弦等于（ ） （A ）的邻边锐角的对边锐角A A ；（B ）斜边的对边锐角A ；（C ）斜边的邻边锐角A ；（D ）的对边锐角的邻边锐角A A .4.若α是锐角，()2215sin =+α，那么锐角α等于（ ） （A ）15； （B ）30； （C ）45； （D ）60.5.如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，BC DE //，2=AD ，3=BD ，a BC =，那么ED 等于（ ）（A ）a 32； （B ）a 32-； （C ）a 52； （D ）a 52-. 6.如图，已知ABC Rt ∆中，90=∠C ，3=AC ，4=BC ，如果以点C 为圆心的圆与斜边AB 有公共点，那么⊙C 的半径r 的取值范围是（ ） （A ）5120≤≤r ； （B ）3512≤≤r ； （C ）4512≤≤r ； （D ）43≤≤r .二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请直接将结果填入答题纸的相应位置】第6题图BCAA第5题图7.计算：=⎪⎭⎫⎝⎛-+b a a 232 ． 8.已知()x x x f 32+=，那么()=-2f ．9.抛物线22x y -=沿着x 轴正方向看，在y 轴的左侧部分是 ．（填“上升”或“下降”） 10.正十边形的中心角等于 度．11.已知⊙1O 和⊙2O 的半径长分别为3和4，若⊙1O 和⊙2O 内切，那么圆心距21O O 的长等于 ．12.在ABC Rt ∆中，90=∠C ，15=AB ，54in =A s ，那么=BC ． 13.在ABC ∆中，5:2:1::=BC AC AB ，那么=B tan ．14.已知：如图，ABC ∆的中线AE 与BD 交于点G ，AE DF //交BC 于F ，那么=AGDF． 15.如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 2=，设a AB =，b AD =，那么向量CD 用向量a 、b 表示为 ．16.如图，已知⊙O 中，120=∠AOB ，弦18=AB ，那么⊙O 的半径长等于 ．17.如图，在□ABCD 中，点E 在边BC 上，DE 交对角线AC 于F ，若BE CE 2=，ABC ∆的面积等于15，那么FEC ∆的面积等于 ．18.已知在ABC Rt ∆中，90=∠C ，1=BC ，2=AC ，以点C 为直角顶点的DCE Rt ∆的顶点D 在BA 的延长线上，DE 交CA 的延长线于点G ，若21tan =∠CED ，GE CE =，那么BD 的长等于 ．第17题图BACDEF第16题图A B O AGDC B E 第14题图 第15题图ACB第18题图三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19.（本题满分10分）如图，已知在ABC Rt ∆中，90=∠C ，3=AC ，4=BC .求：30tan 4tan cos 1sin tan 2AB A B +-+⋅的值.20. （本题满分10分，每小题满分5分）已知：如图，⊙1O 与⊙2O 外切于点T ，经过点T 的直线与⊙1O 、⊙2O 分别相交于点A 和点B .（1）求证：B O A O 21//；（2）若21=A O ，32=B O ,7=AB ，求AT 的长.21. （本题满分10分，每小题满分5分）已知抛物线c bx x y ++-=22经过点()1,0A 、()5,1-B .（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成()k m x y ++-=22的形式，并写出顶点坐标与对称轴.22. （本题满分10分，每小题满分5分）如图，在距某输电铁塔GH （GH 垂直地面）的底部点H 左侧水平距离60米的点B 处有一个山坡，山坡AB 的坡度3:1=i ，山坡坡底点B 到坡顶A 的距离AB 等于40米，在坡顶A 处测得铁塔顶点G 的仰角为30（铁塔GH 与山坡AB 在同一平面内）.（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH .（结果保留根号）23. （本题满分12分，每小题满分6分）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，联结AM 、AN 交对角线BD 于E 、F 两点，且ABD MAN ∠=∠. （1）求证：DE BF AB ⋅=2；（2）若DCDNDE BE =，求证：MN EF //.C第19题图BAT 第20题图BAO 1 O 2G第22题图 AB HA BF E C第23题图DMN第24题图第25题备用图24. （本题满分12分，每小题满分4分） 在平面直角坐标系xoy 中，直线243+-=x y 与直线321-=x y 相交于点A ，抛物线)0(12≠-+=a bx ax y 经过点A .（1）求点A 的坐标；（2）若抛物线12-+=bx ax y 向上平移两个单位后，经过点()2,1-，求抛物线12-+=bx ax y 的表达式；（3）若抛物线c x b x a y +'+'=2()0<'a 与2+=ax y 对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P '与点P ，当S 求抛物线12-+=bx ax y 的表达式.25. （本题满分14分，第(1)分4分，第(2)分6分，第(3)分4分）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.如图1中，O A ∠=∠21. 已知：如图2，AC 是⊙O 的一条弦，点D 在⊙O 上（与A 、C 不重合），联结DC 交射线AO 于点E ，联结OD ，⊙O 的半径为5，43tan =∠OAC .(1)求弦AC 的长.(2)当点E 在线段OA 上时，若DOE ∆与AEC ∆相似，求DCA ∠的正切值. (3)当1=OE 时，求点A 与点D 之间的距离（直接写出答案）.ABCO第25题图1第25题图2参考答案和评分标准一．选择题： 1．A ； 2．C ； 3．B ； 4．B ； 5．D ； 6．C ．二．填空题： 7．b a 24-； 8．2-； 9．上升；10．36；11．1；12．12；13．2； 14．43；15．--；16．36；17．4；18．52+． 19.解：在ABC Rt ∆中， 90=∠C ，3=AC ，4=BC ，由勾股定理得，222BC AC AB +=， ∴5432222=+=+=BC AC AB ；……………………………………（2分）∴43tan ==BC AC B ；54sin ==AB BC A ；54cos ==AB BC B ；34tan ==AC BC A ……（4分）∴原式2334345415443⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+-+⨯=；……………………（2分）59154=+=.………………（2分） 20.（1）证明：联结21O O ，即21O O 为连心线，又∵⊙1O 与⊙2O 外切于点T ，……（1分） ∴21O O 经过点T ；………………………………………（1分）∵T O B O T O A O 2211,==；∴TB O B TA O A 21,∠=∠∠=∠；……………………（1分） ∵TB O TA O 21∠=∠； ∴B A ∠=∠；……………（1分） ∴B O A O 21//.……………………（1分） （2）∵B O A O 21// ∴BTATBO AO =21；……………………………（2分） ∵21=A O ，32=B O ,7=AB ； ∴AT AT -=732，解得：514=AT .……………（3分） 21．解：（1）由抛物线c bx x y ++-=22经过点()1,0A 、()5,1-B 两点可得：⎩⎨⎧-=++-=521c b c ………………（2分）解得：⎩⎨⎧=-=14c b ；…………………（2分） ∴抛物线的解析式为：1422+--=x x y .……………………（1分） （2）1422+--=x x y ()3122++-=x ；……………（3分）∴()3122++-=x y ，顶点坐标为：()3,1-，对称轴为：直线1-=x .……………（1+1分）22．解：（1）过点A 作AD 垂直HB ，交HB 的延长线于点D .……………（1分） 即 90=∠ADB ；由题意得：3:1=i ，60=AB （米）； ∴31=BD AD ，即AD BD 3=；………（1分） 又∵222BD AD AB +=，即()222340AD AD +=……………（1分）∴20=AD （米）.……………（1分）答：山坡的高度为20米.…………………（1分） （2）作BH AE //交GH 于点E .………………（1分） ∵BH AD ⊥，BH GH ⊥；∴GH AD //； 即：四边形ADHE 是平行四边形；由题意可知： 30=∠GAE ，60=BH （米）；∵3203==AD BD （米）； ∴30260+==DH AE （米）；……………（1分） 在AGE R ∆t 中，AEGEGAE =∠tan ； ∴32020+=GE （米）.……………（1分） 又∵20==AD EH （米）；∴32040+=+=EH GE GH （米）；……………（1分）答：铁塔的高度GH 为）（32040+米.……………（1分）23．证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形； ∴AD AB =；……………（1分） ∴ADB ABD ∠=∠；……………（1分）∵BAE ABD AED ∠+∠=∠,BAE MAN BAF ∠+∠=∠； 又∵ABD MAN ∠=∠；∴BAF AED ∠=∠；……………（1分） ∴AED ∆∽FAB ∆；……………（1分） ∴ABDEBF AD =，即DE BF AB AD ⋅=⋅；……………（1分） ∴DE BF AB ⋅=2.……………（1分）（2）∵四边形ABCD 是菱形；∴BC AD =，BC AD //；……………（1分）∴AD BM DE BE =；……………（2分） ∵DC DNDE BE =； ∴DC DN AD BM =，……………（1分）∴DCDN BC BM =；……………（1分） ∴BD MN //，即MN EF //.……………（1分） 24．解：（1）∵直线243+-=x y 与直线321-=x y 相交于点A ， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=321243x y x y ，解得：⎩⎨⎧-==14y x ；……………（3分）∴点A 的坐标为()14-，.……………（1分） （2）∵抛物线)0(12≠-+=a bx ax y 经过点A ()14-，， ∴11416-=-+b a 即a b 4-=……………（1分） ∴142--=ax ax y∴平移后的抛物线的表达式是142+-=ax ax y ；……………（1分） ∴142+-=-a a ，解得：1=a ………………（1分）∴抛物线12-+=bx ax y 的表达式是：142--=x x y .……………（1分） （3）∵142--=ax ax y()1422---=a x a∴()142--a P ，……………（1分） ∵抛物线()02<'+'+'=a c x b x a y 与142--=ax ax y ∴()142+'a P ，……………（1分） ∵0<'a ，∴0>a ； ∴28+='a P P ； 又∵2=OD ，P P OD S P OP '⋅⋅='∆21；∴()328221=+⨯⨯a ，解得：81=a .………（1分） ∴抛物线12-+=bx ax y 的表达式是121812--=x x y .………………（1分）25．（1）解：作AC OH ⊥垂足为点H ，OH 过圆心，由垂径定理得：AC CH AH 21==；……………………………（1分） ∵在OAH R ∆t 中43tan ==∠AH OH OAC ，设x AH x OH 4,3==，……………（1分）∴在OAH R ∆t 中，可得：222OA AH OH =+，由⊙O 的半径为5可得：()()222543=+x x ， 解得：1±=x ，（1-=x 舍去）∴4,3==AH OH ,………………………（1分） ∴82==AH AC .………………………（1分） (2)∵AEC DEO ∠=∠，∴当DOE ∆与AEC ∆相似时可得：A DOE ∠=∠或者ACD DOE ∠=∠； 由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.可知：DOE ACD ∠=∠21，∴DOE ACD ∠≠∠∴当DOE ∆与AEC ∆相似时不存在ACD DOE ∠=∠情况.………………………（1分） ∴当DOE ∆与AEC ∆相似时，A DOE ∠=∠，∴AC OD //，∴AEOEAC OD =；……………（1分） ∵8,5===AC OA OD ，得AE AE -=585,∴1340=AE ；…………………（1分）作AC EG ⊥垂足为G ，可得： 90=∠=∠AHO AGE ,∴OH GE //，∴AH AG OH EG AO AE ==即4351340AG EG ==, ∴1324=EG ，……………（1分） 1332=AG ，137213328=-=CG ,…………（1分） ∴在CEG R ∆t 中，3113721324tan ===∠CG EG DCA .…………………………（1分）（3）当1=OE 时，AD 的长是52或1452918.……………………………（2+2分）。
浙江省杭州市下城区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题(含答案)
下城区2020学年第一学期期末教学质量监测九年级数学考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，请在答题卡指定位置内填写校名，姓名和班级，填涂考生号．3．答题时，所有答案必须做在答题卡标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑．参考公式：二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的顶点坐标公式：24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（ ） A ．朝上一面的点数大于2 B ．朝上一面的点数为3 C ．朝上一面的点数是2的倍数 D ．朝上一面的点数是3的倍数2．若二次函数()20y ax a =≠的图象过点()2,3--，则必在该图象上的点还有（ ）A ．()2,3--B ．()2,3C ．()2,3-D ．()2,3-3．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，则（ ）A ．3sin 4A =B ．4cos 5A =C ．3cos 4B =D ．3tan 5B =4．若四边形ABCD 是圆内接四边形，则它的内角A ∠，B ∠，C ∠，D ∠的度数之比可能是（ ） A ．3：1：2：5B ．1：2：2：3C ．2：7：3：6D ．1：2：4：35．在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（ ） A ．没有发生变化 B ．放大了10倍 C ．放大了30倍D ．放大了100倍6．如图，在O 中，弦AC 与半径OB 交于点D ，连接OA ，BC ．若60B ∠=︒，116ADB ∠=︒，则AOB ∠的度数为（ ）A ．132°B ．120°C ．112°D ．110°7．已知()13,y -，()22,y -，()31,y 是二次函数228y x x m =--+图象上的点，则（ ） A ．213y y y >>B ．231y y y >>C ．123y y y <<D ．321y y y <<8．如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，//DE BC 交AC 于点E ．连接BE ，//DF BE 交AC 于点F ．若3AF =，5CF =，则DEF 与BDE 的面积之比为（ ）A ．35B C ．58D 9．如图，AB 是O 的弦（非直径），点C 是弦AB 上的动点（不与点A ，B 重合），过点C 作垂直于OC 的弦DE ．设O 的半径为r ，弦AB 的长为a ，ACm BC=，则弦DE 的长（ ）A ．与r ，a ，m 的值均有关B ．只与r ，a 的值有关C ．只与r ，m 的值有关D ．只与a ，m 的值有关：10．已知二次函数21y ax bx =+-（a ，b 是常数，0a ≠）的图象经过()2,1A ，()4,3B ，()4,1C -三个点中的其中两个点．平移该函数的图象，使其顶点始终在直线1y x =-上，则平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的（ ） A ．最大值为1-B ．最小值为1-C ．最大值为12-D ．最小值为12-二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．11．由47a b =，可得比例式：_________（写出一个正确的比例式即可）．12．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表：估计该麦种的发芽概率约为_________．13．如图，折扇的骨柄长为30cm ，扇面宽度为18cm ，折扇张开的角度为120°，则扇面外端AB 的长为_ _______cm ，折扇扇面的面积为__________2cm ．（结果保留π）14．一个球从地面上竖直向上弹起时，距离地面的高度h （米）与经过的时间t （秒）满足的函数关系为2155h tt t =-，则该球从弹起至回到地面的时间需_____秒，它距离地面的最大高度为______米．15．如图是一可调节座椅的侧面示意图，靠背AO 与地面垂直．为了使座椅更舒适，现调整靠背，把OA 绕点O 旋转到OA '处．若AO m =，'AOA α∠=，则调整后点A '比调整前点A 的高度降低了______（用含m ，α的代数式表示）．16．如图，在锐角三角形ABC 中，45B ∠=︒，65AB AC =，点D 为边AB 的中点，点E 在边AC 上，将ADE 沿DE 折叠得到FDE ．若FE AC ⊥，则AE EC 的值为_______；DEAF的值为________．三、解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分6分）现有三张正面分别标有一个正数，一个负数和一个0的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀．（1）从中随机抽取一张卡片，卡片上的数是0的概率为多少？（2）从中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取-张记下数字，求前后两次抽取的数字之积为0的概率．（用列表法或画树状图求解）18．（本题满分8分）如图，小锋将一-架4米长的梯子AB 斜靠在竖直的墙AC 上，使梯子与地面所成的锐角α为60°．（1）求梯子的项端与地面的距离AC （结果保留根号）（2）为使梯子顶端靠墙的高度更高，小锋调整了梯子的位置使其与地面所成的锐角α为70°，则需将梯子底端点B 向内移动多少米（结果精确到0.1米）？ 参考数据：sin700.94︒≈，cos700.34︒≈，tan70 2.75︒≈． 19．（本题满分8分）已知二次函数()()1y x m x =+-的图象经过点()2,3-．（1）求这个二次函数的表达式．（2）画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题：①直接写出方程()()13x m x +-=-的解． ②当x 满足什么条件时，0y >．20．（本题满分10分）如图，AB 是O 的直径，四边形ABCD 内接于O ，OD 交AC 于点E ，AD=CD ．（1）求证：//OD BC ．（2）若10AC =，4DE =，求BC 的长． 21．（本题满分10分）如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点E ，点F 在BD 上，且BAF DBC ∠=∠，AB BCAF FD=．（1）求证：ABCAFD ．（2）若2AD =，5BC =，ADE 的面积为20，求BCE 的面积． 22．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，设二次函数23y ax bx a =+-（a ，b 是实数，0a ≠）． （1）判断该函数图象与x 轴的交点个数，并说明理由．（2）若该函数图象的对称轴为直线1x =，()11,A x y ，()22,B x y 为函数y 图象上的任意两点，其中12x x <．求当1x ，2x 为何值时，125y y a ==．（3）若该函数图象的项点在第二象限，且过点()1,1．当a b <时，求2a b +的取值范围． 23．（本题满分12分）如图，在锐角三角形ABC 中，AB AC =，O 是ABC 的外接圆，连结AO ，BO ，延长BO 交AC 于点D ．（1）求证：AO 平分BAC ∠．（2）若O 的半径为5，6AD =，设ABO 的面积为1S ，BCD 的面积为2S ，求12S S 的值． （3）若ODm OB=，求cos BAC ∠的值（用含m 的代数表示）． 2020年拱墅&下城区初三数学期末检测答案一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中。
北京市丰台区2020年新人教版九年级上期末考试数学试题及答案
丰台区2020-2021学年度第一学期期末练习初 三 数 学学校 姓名 考号 一、选择题(共8个小题，每小题4分，共32分)下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 如果45(0)x y y =≠，那么下列比例式成立的是A ．45x y= B ．54x y = C ．45x y =D ．54x y= 2．二次函数2(3)1y x =--+的最大值为A ．1B ．－1C ．3D ．－33．⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2cm 和3cm ，如果O 1O 2=5cm ，那么⊙O 1和⊙O 2的位置关系是 A ．内含 B ．内切 C ．相交 D ．外切4. 如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，如果∠BAC =30°，那么∠BOC 的度数是 A ．60○ B ．45○ C ．30○ D ．15○5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，如果AC =3， AB =6， 那么AD 的值为 A.32 B. 92 C. 33 D. 336．如图，扇形折扇完全打开后，如果张开的角度(∠BAC )为12020骨柄 AB 的长为30cm ，扇面的宽度BD 的长为2020，那么这把折扇的扇面面积为A ．2400πcm 3B ．2500πcm 3C ．2800πcm 3D ．2300πcm考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分12020考试时间12020. 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回. EDCBD CA AB COBCA7. 如果点A ()11y -,，B ()22y ,，C ()33y ,都在反比例函数3y x=的图象上，那么 A ． B ． C ． D ．321y y y << 8．如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为(0，2)，动点A 以每 秒1个单位长的速度从点O 出发沿x 轴的正方向运动，M 是线段AC 的中点，将线段AM 以点A 为中心，沿顺时针方向旋转︒90得到线段AB ．联结CB ．设△ABC 的面积为S ，运动时间为t 秒，则下列图象中，能表示S 与t 的函数关系的图象大致是 1SO t 111SOt 11S O t 11SOt1A BC D二、填空题(共6个小题，每小题4分，共24分)9．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，且 DE ∥BC ，如果 AD ∶DB =3∶2， EC =4，那么AE 的长等于 ．10．如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点C ，如果 AB=8，OC=3，那么⊙O 的半径等于 ．11．在某一时刻，测得一身高为1.80m 的人的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为 m ．12．在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则tan B 的值为__________．13．关于x 的二次函数22y x kx k =-+-的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，请写出一个．．满足条件的二次函数的表达式: ．14．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，其中0≠y ，我们把点)11,1(y x P -+-'叫做点P 的衍生点.已知点1A 的衍生点为2A ，点2A 的衍生点为3A ，点3A 的衍生点为4A ，…，这样依次得到点1A ，2A ，3A ，…，n A ，…，如果点1A 的坐标为)1,2(-，123y y y <<132y y y <<213y y y <<E A CBD M C BAOy xABCO那么点3A 的坐标为________；如果点1A 的坐标为()b a ,，且点2015A 在双曲线xy 1=上， 那么=+ba 11________． 三、解答题(本题共2020每小题5分) 15．计算:2tan45sin60cos30︒+︒-︒.16．已知二次函数y = x 2－4x ＋3.(1)把这个二次函数化成2()y a x h k =-+的形式；(2)画出这个二次函数的图象，并利用图象写出当x 为何值时，y>0．17．如图，矩形ABCD 中，AP 平分∠DAB ，且AP ⊥DP 于点P ，联结CP ，如果AB ﹦8，AD ﹦4，求sin ∠DCP 的值.18．如图，正比例函数12y x =-的图象与反比例函数ky x=的图象分别交于M ，N 两点，已知点M (-2，m ).(1)求反比例函数的表达式；(2)点P 为y 轴上的一点，当∠MPN 为直角时，直接写出点P 的坐标．NMOyx1234221213143xO yABCD P四、解答题(本题共22分，第19，22题每小题5分，第202021题每小题6分)19．某工厂设计了一款产品，成本为每件2020投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y (件)与销售单价x (元)之间满足280y x =-+ (20≤x ≤40)，设销售这种产品每天的利润为W (元).(1)求销售这种产品每天的利润W (元)与销售单价x (元)之间的函数表达式； (2)当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少元？2020如图，一艘渔船正自西向东航行追赶鱼群，在A 处望见岛C 在船的北偏东60°方向，前进2020到达B 处，此时望见岛C 在船的北偏东30°方向，以岛C 为中心的12海里内为军事演习的危险区.请通过计算说明:如果这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有进入危险区的可能. (参考数据:2 1.43 1.7≈≈，)21．如图，PB 切O 于点B ，联结PO 并延长交O 于点E ，过点B 作BA ⊥PE 交O 于点A ，联结AP ，AE ． (1)求证:P A 是O 的切线； (2)如果OD ＝3，tan ∠AEP ＝12，求O 的半径．22．对于两个相似三角形，如果对应顶点沿边界按相同方向顺序环绕，那么称这两个三角形北A BCO AB D互为同相似，如图1，111A B C ∆∽ABC ∆，则称111A B C ∆与ABC ∆互为同相似；如果对应顶点沿边界按相反方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为异相似，如图2，222A B C ∆∽ABC ∆，则称222A B C ∆与ABC ∆互为异相似.11AA 1C BA 2AB 2C 2图1 图2(1)在图3、图4和图5中，△ADE ∽△ABC ， △HXG ∽△HGF ，△OPQ ∽△OMN ，其中△ADE 与△ABC 互为 相似，△HXG 与△HGF 互为 相似，，△OPQ 与△OMN 互为 相似；BEA DCG XHFNQOPM图3 图4 图5(2)在锐角△ABC 中，∠A <∠B <∠C ，点P 为AC 边上一定点(不与点A ，C 重合)，过这个定点P 画直线截△ABC ，使截得的一个三角形与△ABC 互为异．相似．．，符合条件的直线有_____条.五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分) 23. 已知抛物线22y x x m =--与x 轴有两个不同的交点． (1)求m 的取值范围；(2)如果A 2(1,)n n -、B 2(3,)n n +是抛物线上的两个不同点，求n 的值和抛物线的表达式； (3) 如果反比例函数ky x=的图象与(2)中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为0x ， 且满足4<0x <5，请直接写出k 的取值范围.。
九年级上册数学期末试题及答案
九年级上册数学期末试题及答案勤奋学习，就是在成果面前永不满足，不断追求更进一步的指示，扩展更广泛的课外积累，不断对自己提出更高的学习目标。
勤奋学习就是面对学习作业，能一丝不苟的完成面对学习中的困难，能主动找出困难的缘由，勇于克服，不解决困难时不罢休。
下面就是我为大家梳理归纳的学问，希望能够关怀到大家。
人教版九年级上册数学期末测试题及答案一、选择题(每题3分，共30分)1.以下关于x的方程中，是一元二次方程的有( ) A.x2?1x2B.ax2?bx?c?0C.?x?1??x?2??1D.3x2?2xy?5y2?0 2.化简12?1?23?1的结果为( )A、3?2B、3?2C、2?23D、3?2223.已知关于x的方程x?kx?6?0的一个根为x?3，则实数k的值为( )A.2B.?1C.1D.?24.要使二次根式x?1有意义，那么x的取值范围是( ) (A)x-1 (B) x1 (C) x≥1 (D)x≤15.有6张写有数字的卡片，它们的反面都相同，现将它们反面朝上(如图2)，从中任意一张是数字3的概率是( ) A、16B、C、3112D、232图26.已知x、y是实数，3x+4 +y-6y+9=0，则xy的值是( ) 99A.4 B.-4 C..-447、以下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )图7A B C D8.已知两圆的半径分别是5cm和4cm，圆心距为7cm，那么这两圆的位置关系是( )A.相交B.内切C.外切D.外离9.如图3，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM 长的最小值为( )A.2B.3C.4D.510.已知：如图4, ⊙O的两条弦AE、BC相交于点D,连接AC、BE.OMB图3图4若⊙ACB=60°,则以下结论中正确的选项是( )A.⊙AOB=60°B. ⊙ADB=60°C.⊙AEB=60°D.⊙AEB=30° 二、填空题(每题3分，共24分)11.方程x = x 的解是______________________12.如下列图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点.这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心O至少经过____________次旋转而得到，每一次旋转_______度.12题图213.若实数a、b满足b?a2?1?a?11?a2，则a+b的值为________.14.圆和圆有不同的位置关系.与以下图不同的圆和圆的位置关系是_____.(只填一种)图515.若关于x方程kx2–6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是.16.如图6，在Rt⊙ABC中，⊙C=90°，CA=CB=2。
门头沟区2023-2024学年第一学期期末九年级数学试题答案
门头沟区2020—2021学年度第一学期期末调研评分参考初三数学一、 选择题（本题共24分，每小题3分）二、 填空题（本题共24分, 每小题3分）三、解答题 （本题共52分，第17～21题每小题5分，第22题每小题6分，第23～25题每小题7分）17. 计算: 1012sin 45(2015)3-⎛⎫-+--︒+- ⎪⎝⎭π31…………………………………4分2=-． …………………………………5分18. 第一种情况：过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E∵DE ∥BC∴△ADE ∽△ABC ………………………………2分 第二种情况：作∠ADE =∠C ∵∠A =∠A ，∠ADE =∠C∴△AED ∽△ABC ………………………………5分19. （1）补全图形正确：中垂线 ……………………1分 圆 ……………………2分 一条切线 ……………………3分（2）∠OBP = 90 ° ……………………4分直径所对的圆周角等于90° ……………………5分20.（1）顶点坐标（-1，-4） ……………………1分 （2）令2230x x +-=(3)(1)0x x +-= 123,1x x =-=∴与x 轴的交点坐标为(3,0)(1,0)-、 ……………………3分（3）3x <-或1x > ……………………5分21.（1）∵点P （2，1）是反比例函数图象上的一点∴12m=，解得，2m = ∴反比例函数表达式为2y x=………………………2分 （2）2x <-，或02x <<………………………5分 22.（1）∵AD ACAC AB=，∠A=∠A ∴△ACD ∽△ABC …………………2分 （2）∵△ACD ∽△ABC∴∠ADC=90°， ∴∠CDB=90° ∴ ∠ADC= ∠CDB ∵ ∠B=∠ACD ∴△ACD ∽△CBD …………………3分 ∴CD ADDB CD=…………………4分 ∵AD ＝3，BD ＝2 ∴32CD CD=解得：6CD =…………………5分DBdh（C ）人梯地面AO 23.连接BD ，作DH ⊥AF 于点H ……………………1分 由题意可知点B 、D 、H 共线 ∵∠ADH =45°，∠AHD =90° ∴tan 1AHADH DH∠== …………………2分 ∴设AH =x,则DH =AH =x∴BH =x +42 …………………3分 在Rt △AHB 中， ∵∠ABH =30° ∴3tan AH ABH BH ∠==…………………4分 3423x x =+解得，21321x =…………………5分 ∴AF =AH +HF =21322.7…………………6分24（1）略. …………………………………………………………………………………2分 （2）4.75米. ……………………………………………………………………………3分 （3）1米. …………………………………………………………………………………4分 （4）如图所示，建立平面直角坐标系：由题意可知，演员身体形成的抛物线的表达式为()20.6 2.5 4.75.h d =--+ ∵ 当3d =时，()20.63 2.5 4.75 4.6 3.4.h =--+=≠∴ 此次表演不成功．∵ 当 3.4h =时，()20.6 2.5 4.75 3.4.d --+= 解得 11d =，2 4.d =∴ 人梯调整距起跳点A 的水平距离为1米或4米时均能成功．……………6分25.解：（1）连接OD ，∵ED 为⊙O 的切线，∴OD ⊥ED ．………………………………………………………………………1分 ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°. ………………………………………………………………… 2分 ∵BC ∥ED ,∴∠ACB =∠E =∠EDO . ∴AE ∥OD . ∴∠DAE =∠ADO . ∵OA =OD , ∴∠BAD =∠ADO .∴∠BAD =∠DAE . ………………………………3分 （2）连接BD ， ∴∠ADB =90°. ∵AB =6，AD =5，∴BD 2211AB AD -=………………………………………………………4分 ∵∠BAD =∠DAE =∠CBD ， ∴tan ∠CBD = tan ∠BAD 11.. …………………………………………………5分 在Rt △BDF 中， ∴DF =BD ·tan ∠CBD =115. ………………………………………………………6分 26.（1）∵2ax bx c c ++=∴20ax bx += ()0x ax b += ∴0x =，或bx a=-………………………………………1分 ∵22ba -= ∴4b a-=∵12x x <∴10x =，24x = ………………………………………2分（2）由题意可得：221122ax bx c ax bx c ++<++ 221122ax bx ax bx +<+ ………………………………………3分 2212120ax ax bx bx -+-< 121212()()()0a x x x x b x x -++-<1212()[()]0x x a x x b -++< ……………………………………4分∵12x x < ∴120x x -< ∴12()0a x x b ++>即12bx x a+>- ……………………………………5分 ∵124x x +>∴4b a-≤ ∴22bt a=-≤ ……………………………………6分27.解：（1）补图正确； …………………1分（2）45°； …………………2分（3）结论：2BN CM =． …………3分证明：作BH ⊥PC 交PC 的延长线于点H ．∵点A 与点D 关于CP 对称， ∴CE 是AD 的垂直平分线． ∴CA =CD ．∴∠1=∠2=α．∵CA =CB ，∴CB =CD ．∴∠3=∠4． ∵∠4=90°，∴∠3=12（180°-∠BCD ）=12（180°-90°-α-α）=45°-α．∴∠CNB =∠3+∠1=α+45°-α=45°．…………………4分 ∴△NHB 为等腰直角三角形∴2BN BH = …………………5分 ∵∠5=90°，CP 是AD 的垂直平分线，∴∠2+∠7=90°，∠2+∠6=90°． ∴∠6=∠7． …………………6分 ∵BH ⊥PH ，∴∠H =90°=∠AMC ． ∴在△CMA 和△BHC 中， ∠H=∠CMA ， ∠7=∠6， BC =CA ，CMA ≌△BHC ． ∴BH =CM ．∴2BN CM =…………………7分28.（1）5 ………………………………………………1分（2）A （1，2），C （2.5，0）；………………………………………3分 （3）示意图正确 ………………………………………4分52- ………………………………………………7分其他方法参照给分。
2020-2021学年辽宁省抚顺市新抚区九年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年辽宁省抚顺市新抚区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的为（）A．x2＝0B．x2﹣2y＝0C．2x﹣3＝0D．x2+＝﹣3 2．（3分）一元二次方程x（x+5）＝0的根是（）A．x1＝0，x2＝5B．x1＝0，x2＝﹣5C．x1＝0，x2＝D．x1＝0，x2＝﹣3．（3分）点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上D．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球5．（3分）一个不透明的盒子中装有2个白球，6个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（）A．B．C．D．6．（3分）⊙O为△ABC的内切圆，那么点O是△ABC的（）A．三条中线交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线交点7．（3分）小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，△OCD是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若∠AOD＝90°，则∠BOC的度数是（）A．5°B．10°C．15°D．20°9．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．8B．10C．12D．1510．（3分）如图，直线l的解析式为y＝﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C ．D ．二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥的侧面积为cm2．12．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．13．（3分）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：摸球试验次100100050001000050000100000数36387201940091997040008“摸出黑球”的次数“摸出黑0.3600.3870.4040.4010.3990.400球”的频率（结果保留小数点后三位）根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是．（结果保留小数点后一位）14．（3分）点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠BOC＝40°，则∠ABC＝．15．（3分）已知二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是．16．（3分）一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是．17．（3分）奥运五环是奥林匹克的标志，是由皮埃尔•德•顾拜旦设计的，图案中包含了圆和圆的位置关系有．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），弧AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；弧A1A2是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧；弧A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；弧A3A4是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…，称为正方形的“渐开线”，则弧A2019A2020的长是．三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）19．（10分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．（1）作出△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°的△A1B1C1；（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，写出B2和C2的坐标；（3）直接写出△ABC绕原点O顺时针旋转一周扫过的图形面积．20．（12分）小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动，该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．（1）用画树状图或列表的方法，列出小明参加项目的所有等可能的结果：（2）求小明恰好抽中B、D两个项目的概率．四、（每题12分，共24分）21．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CF为⊙O的切线，OE⊥AB于点O，分别交AC，CF于D，F两点．（1）求证：ED＝EC；（2）若EC＝1，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．22．（12分）在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀．（1）从中随机摸出一个小球，上面的数字不小于2的概率为．（2）从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的概率．五、（本题12分）23．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作平行四边形GDEC．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若DE＝17，CE＝13，求⊙O的半径．六、（本题12分）24．（12分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/件）606570销售量y（件）140013001200（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？七、解答题：（12分）25．（12分）如图①，C为线段BD上的一点，BC≠CD，分别以BC，BD为边在BD的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接AE，F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，连接FG，GH，FH．（1）△FGH的形状是；（2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转，其他条件不变，（1）的结论是否成立？结合图②说明理由；（3）若BC＝2，CD＝4，将△CDE绕点C旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出△FGH的周长．八、（本题14分）26．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN．（1）求抛物线的解析式；（2）当正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2时，求点P的坐标；（3）当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标．2020-2021学年辽宁省抚顺市新抚区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的为（）A．x2＝0B．x2﹣2y＝0C．2x﹣3＝0D．x2+＝﹣3【解答】解：A、∵x2＝0是一元二次方程，∴选项A符合题意；B、∵x2﹣2y＝0含有两个未知数，∴x2﹣2y＝0不是一元二次方程，选项B不符合题意；C、∵2x﹣3＝0的未知数的最高次数是1，∴2x﹣3＝0不是一元二次方程，选项C不符合题意；D、∵x2+＝﹣3不是整式方程，∴x2+＝﹣3不是一元二次方程，选项D不符合题意．故选：A．2．（3分）一元二次方程x（x+5）＝0的根是（）A．x1＝0，x2＝5B．x1＝0，x2＝﹣5C．x1＝0，x2＝D．x1＝0，x2＝﹣【解答】解：∵x（x+5）＝0，∴x＝0或x+5＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣5，故选：B．3．（3分）点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）【解答】解：∵点（﹣2，3）关于原点对称，∴点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．故选：C．4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上D．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球【解答】解：A、汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件，不符合题意；B、任意买一张电影票，座位号是3的倍数，是随机事件，不符合题意；C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意；D、从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球，是必然事件，符合题意；故选：D．5．（3分）一个不透明的盒子中装有2个白球，6个红球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的可能性是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可得：一个不透明的盒子中装有2个白球，6个红球，共8个，摸到红球的概率为：＝．故选：A．6．（3分）⊙O为△ABC的内切圆，那么点O是△ABC的（）A．三条中线交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线交点【解答】解：如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别是E、F、D，连接OE，OD，OF，∵⊙O为△ABC的内切圆，∴OE⊥AB，OF⊥AC，OD⊥BC，OE＝OD＝OF，∴O是△ABC的三角的平分线的交点，故选：D．7．（3分）小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）A．B．C．D．【解答】解：画树状图，得∴共有8种情况，经过每个路口都是绿灯的有一种，∴实际这样的机会是．故选：B．8．（3分）如图，△OCD是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若∠AOD＝90°，则∠BOC的度数是（）A．5°B．10°C．15°D．20°【解答】解：根据旋转的定义可知∠AOC＝∠BOD＝40°，∵∠AOD＝90°，∴∠BOC＝90°﹣40°﹣40°＝10°，故选：B．9．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．8B．10C．12D．15【解答】解：连接OA、OD、OF，如图，∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，∴∠AOD＝＝90°，∠AOF＝＝120°，∴∠DOF＝∠AOF﹣∠AOD＝30°，∴n＝＝12，即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故选：C．10．（3分）如图，直线l的解析式为y＝﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：当0＜t≤2时，S ＝t2，当2＜t≤4时，S ＝t2﹣（2t﹣4）2＝﹣t2+8t﹣8，观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C．故选：C．二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）底面半径为3cm，母线长为5cm 的圆锥的侧面积为15πcm2．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×5×3÷2＝15πcm2．故答案为：15π．12．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞且k≠1．【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且△＝22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，解得：k＞且k≠1．故答案为：k＞且k≠1．13．（3分）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：100100050001000050000100000摸球试验次数“摸出黑36387201940091997040008球”的次数“摸出黑0.3600.3870.4040.4010.3990.400球”的频率（结果保留小数点后三位）根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是0.4．（结果保留小数点后一位）【解答】解：观察表格发现随着摸球次数的增多摸出黑球频率逐渐稳定在0.4附近，故摸到黑球的概率估计值为0.4；故答案为：0.4．14．（3分）点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠BOC＝40°，则∠ABC＝110°或30°．【解答】解：①如图1，∵∠AOB和∠ACB是弧AB所对的角，∴∠AOB＝2∠ACB，∵∠AOB＝100°，∴∠ACB＝50°，同理：∠BOC＝40°，∴∠BAC＝20°，∴∠ABC＝180°﹣50°﹣20°＝110°，②如图2，∵∠AOB＝100°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°，∠ABC＝AOC＝30°故答案为110°或30°．15．（3分）已知二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是m≤3．【解答】解：∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，又∵当x≥1时，y随x的增大而增大，∴抛物线的对称轴x≤1．∵二次函数的解析式为y＝x2﹣（m﹣1）x+1，∴抛物线的对称轴为x＝≤1，解得：m≤3．故答案为m≤3．16．（3分）一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是．【解答】解：由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，∴黑色方砖在整个地板中所占的比值＝＝，∴小球最终停留在黑色区域的概率是；故答案为：．17．（3分）奥运五环是奥林匹克的标志，是由皮埃尔•德•顾拜旦设计的，图案中包含了圆和圆的位置关系有外离和相交．【解答】解：由图案可知，图案中包含了圆和圆的位置关系有外离和相交，故答案为相外离和相交．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），弧AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；弧A1A2是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧；弧A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；弧A3A4是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…，称为正方形的“渐开线”，则弧A2019A2020的长是1010π．【解答】解：A（1，1），由题意得，A1（2，0），A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），A5（6，0），A6（0，﹣6），A7（﹣7，1），A8（1，9）…，∴A4n（1，4n+1），A4n+1（4n+2，0），A4n+2（0，﹣（4n+2）），A4n+3（﹣（4n+3），1）．∵2019＝504×4+3，2020＝505×4，∴A2019的坐标为（﹣2019，1），A2020的坐标为（1，2021），∴弧A2019A2020的半径为2020．∴弧A2019A2020＝＝1010π，故答案为：1010π．三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）19．（10分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．（1）作出△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°的△A1B1C1；（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，写出B2和C2的坐标；（3）直接写出△ABC绕原点O顺时针旋转一周扫过的图形面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作，B2（4，﹣1），C2（1，﹣2）；（3）OB＝＝，OC＝＝，所以△ABC绕原点O顺时针旋转一周扫过的图形面积＝π×（）2﹣π×（）2＝12π．20．（12分）小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动，该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．（1）用画树状图或列表的方法，列出小明参加项目的所有等可能的结果：（2）求小明恰好抽中B、D两个项目的概率．【解答】解：（1）画树状图：由树状图知共有6种等可能结果；（2）小明恰好抽中B、D两个项目的只有1种情况，所以小明恰好抽中B、D两个项目的概率为．四、（每题12分，共24分）21．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CF为⊙O的切线，OE⊥AB于点O，分别交AC，CF于D，F两点．（1）求证：ED＝EC；（2）若EC＝1，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：∵CF为⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCA+∠ACE＝90°，∵OE⊥AB，∴∠OAC+∠ODA＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠ACE＝∠ODA＝∠CDE，∴ED＝EC；（2）解：∵∠A＝30°，∠AOD＝90°，∴∠ADO＝∠CDE＝∠ACE＝60°，∴∠CED＝60°，∠EOC＝30°，∵∠OCE＝90°，∴OC＝CE•tan60°＝1×＝，∴图中阴影部分的面积＝S△COE﹣S扇形COD＝×OC×CE﹣＝．22．（12分）在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀．（1）从中随机摸出一个小球，上面的数字不小于2的概率为．（2）从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的概率．【解答】解：（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字所有等可能情况有：1，2，3，4，共4种，其中数字不小于2的情况有：2，3，4，共3种，则P（小球上写的数字不小于2）＝；故答案为：；（2）根据题意列表得：1234 1﹣﹣﹣（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）﹣﹣﹣（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）﹣﹣﹣（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）﹣﹣﹣所有等可能的数有12种，两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的情况有8种，则P（两次摸出小球上的数字和恰好是奇数）＝＝．五、（本题12分）23．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作平行四边形GDEC．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若DE＝17，CE＝13，求⊙O的半径．【解答】（1）DE是⊙O的切线；证明：连接OD，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠ABC＝45°，∴∠COD＝2∠ABC＝90°，又∵四边形GDEC是平行四边形，∴DE∥CG，∴∠EDO+∠COD＝180°，∴∠EDO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，∵四边形GDEC为平行四边形，∴DG＝CE＝13，CG＝DE＝17，∵∠DOG＝90°∴OD2+OG2＝DG2，即r2+（17﹣r）2＝132，解得r1＝5，r2＝12，当r＝5时，OG＝12，点G在⊙O外，∴r＝5不成立，舍去，∴r＝12．六、（本题12分）24．（12分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/件）606570销售量y（件）140013001200（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，，解得，，即y与x之间的函数表达式是y＝﹣20x+2600；（2）（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000，解得，x1＝70，x2＝110，∵尽量给客户优惠，∴这种衬衫定价为70元；（3）由题意可得，w＝（x﹣50）（﹣20x+2600），＝﹣20x2+3600x﹣130000，w＝﹣20（x﹣90）2+32000，∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，每件售价不低于进货价，∴，解得，50≤x≤75，∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下，∴当x＝75时，w取得最大值，此时w＝27500，答：售价定为75元时，可获得最大利润，最大利润是27500元．七、解答题：（12分）25．（12分）如图①，C为线段BD上的一点，BC≠CD，分别以BC，BD为边在BD的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接AE，F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，连接FG，GH，FH．（1）△FGH的形状是等边三角形；（2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转，其他条件不变，（1）的结论是否成立？结合图②说明理由；（3）若BC＝2，CD＝4，将△CDE绕点C旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出△FGH的周长．【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴∠B＝∠DCE＝60°，AB＝BC，CE＝CD，∴CE∥AB，∵BC≠CD，∴CE≠AB，∴四边形ABCE是梯形，∵点F，G分别是BC，AE的中点，∴FG是梯形ABCE的中位线，∴FG∥AB，∴∠GFC＝60°，同理：∠GHB＝60°，∴∠FGH＝180°﹣∠GFC﹣∠GHB＝60°＝∠GFC＝∠GHB，∴△FGH是等边三角形，故答案为：等边三角形；（2）成立，理由如下：如图1，取AC的中点P，连接PF，PG，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB＝BC，CE＝CD，∠BAC＝∠ACB＝∠ECD＝∠B＝60°，又F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，∴FP＝AB，FC＝BC，CH＝CD，PG＝CE，PG∥CE，PF∥AB，∴FP＝FC，PG＝CH，∠GPC+∠PCE＝180°，∠FPC＝∠BAC＝60°，∠PFC＝∠B＝60°，∴∠FPG＝∠FPC+∠GPC＝60°+∠GPC，∠GPC＝180°﹣∠PCE，∴∠FCH＝360°﹣∠ACB﹣∠ECD﹣∠PCE＝360°﹣60°﹣60°﹣（180°﹣∠GPC）＝60°+∠GPC，∴∠FPG＝∠FCH，∴△FPG≌△FCH（SAS），∴FG＝FH，∠PFG＝∠CFH，∴∠PFH＝∠GFC+∠CFH＝∠GFC+∠PFG＝∠PFC＝60°，∴△FGH为等边三角形；（3）①当点D在AE上时，如图2，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝2，∵△CDE是等边三角形，∴∠CED＝∠CDE＝60°，CE＝CD＝DE＝4，过点C作CM⊥AE于M，∴DM＝EM＝DE＝2，在Rt△CME中，根据勾股定理得，CM＝＝＝2，在Rt△AMC中，根据勾股定理得，AM＝＝＝4，∴AD＝AM﹣DM＝4﹣2＝2，∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，连接BE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD＝2，∠ADC＝∠BEC，∵∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠BEA＝∠BEC﹣∠CED＝60°，过点B作BN⊥AE于N，∴∠BNE＝90°，在Rt△BNE中，∠EBN＝90°﹣∠BEA＝30°，∴EN＝BE＝1，∴BN＝EN＝，DN＝DE﹣EN＝3，连接BD，根据勾股定理得，BD＝＝＝2，∵点H是CD的中点，点F是BC的中点，∴FH是△BCD的中位线，∴FH＝BD＝，由（2）知，△FGH是等边三角形，∴△FGH的周长为3FH＝3，②当点D在AE的延长线上时，如图3，同①的方法得，FH＝，∴△FGH的周长为3FH＝3，即满足条件的△FGH的周长为3或3．八、（本题14分）26．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN．（1）求抛物线的解析式；（2）当正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2时，求点P的坐标；（3）当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c得，，解得，∴抛物线的关系式为y＝x2+2x﹣3．（2）设P的纵坐标为y．∵正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2．∴（32+y2）＝××3×|y|．解得：y＝±或＝±6．∴点P的坐标为：P1（0，）或P2（0，﹣）或P3（0，6）或P4（0，﹣6）．（3）设P（0，m），连接MN交AP于T，过点T作TJ⊥OA于J，过点P作PE⊥TJ于E，过点N作NF⊥TJ于F，过点M作MG⊥TJ于G．∵四边形AMPN是正方形，∴TA＝TP＝TM＝TN，AP⊥MN，∵A（﹣3，0），P（0，m），∴T（﹣，m），∵∠PET＝∠F＝∠PTN＝90°，∴∠PTE+∠NTF＝90°，∠NTF+∠TNF＝90°，∴∠PTE＝∠TNF，∴△PET≌△TFN（AAS），∴ET＝FN，PE＝TF，同法可证△PET≌△TGM，∴MG＝ET＝FN，GT＝PE＝TF，∴M（﹣﹣，+），N（﹣+，﹣），当点M在抛物线上时，+＝（﹣﹣）2+2（﹣﹣）﹣3，解得m＝±，当点N在抛物线上时，﹣＝（﹣+）2+2（﹣+）﹣3，解得m＝2±∴满足条件的点P的坐标是：（0，﹣3）或（0，）或（0，﹣）或（0，﹣）或（0，2﹣）或（0，2+）．。
福建省宁德市2020-2021学年第一学期九年级上数学教学质量检测(一)
九年级数学第1页（共6页）第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1． 下列是一元二次方程的是（ ）A ．x 2=0B ．2x +3y =4C ．x 2－2x +1>0D ．12x x=+ 2． 若菱形ABCD 的周长为16，则边长AB 为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．83． 将一元二次方程x 2－8x －5=0转化为(x +a )2=b （a ，b 为常数）的形式，则a ，b 的值分别是（ ） A ．－4，21 B ．－4，11 C ．4，21 D ．－8，69 4． 已知在四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =90°，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ） A ．∠D =90° B ．AB =CD C ．AD =BC D ．BC =CD 5． 若一元二次方程x 2－4x +m =0没有实数根，则实数m 的值可能是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．56． 如图，在正方形ABCD 中，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交对角线BD 于点E ，连接AE ，则∠DAE =（ ）A ．20°B ．22.5°C ．25°D ．27.5° 7． 要估计一元二次方程5x 2－24x +28=0的解，小明把他的求解过程整理如下：x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 5x 2－24x +282817.2593.25－0.7515.25观察表中数据，小明发现一元二次方程5x 2－24x +28=0有两个根，分别为x 1，x 2，其中较大的一个根x 2的范围是（ ）A ．1<x 2<1.5B ．1.5<x 2<2C ．2<x 2<2.5D ．2.5<x 2<38．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则下列结论不一定正确的是（）A．四边形ADEF一定是平行四边形B．若∠B+∠C=90°，则四边形ADEF是矩形C．若四边形ADEF是菱形，则△ABC是等边三角形D．若四边形ADEF是正方形，则△ABC是等腰直角三角形9．从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了，求竹竿有多长．设竹竿长x尺，则根据题意，可列方程（）A．(x+4)2+(x+2)2=x2B．(x－4)2+(x－2)2=x2C．(x－4)2+(x+2)2=x2D．(x+4)2+(x－2)2=x210．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b=(a+b)(a－b)－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：4*3=(4+3)(4－3)－1=7－1=6．将x*k=x（k为实数）化简成关于x的方程，则它的根的情况为（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．不能确定第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．一元二次方程x2=2x的解是．12．若x=3是方程x2－kx－6=0的一个解，则方程的另一个解是．13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，相邻两边的长分别为8，5，EF 过点O分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积为．第13题图第14题图第15题图14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=6，BD=8，若DE∥AC，CE ∥BD，则OE的长度为．15．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，16．某宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对游客居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10 890元？设房价定为x元，根据题意，列方程为．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分8分）解方程：x2+6x－5=0．18．（本小题满分8分）以下是小明解一元二次方程3x2－8x(x－2)=0的过程：解：两边同除以x，得3x－8x－2=0， (1)合并同类项，得－5x－2=0， (2)移项，得－5x=2， (3)∴25x=-． (4)（1）小明的解法是从第步开始出现错误的；（2）请写出正确的求解过程．19．（本小题满分8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=CF，连接OE，OF．求证：OE=OF．20．（本小题满分8分）某口罩生产厂2020年1月份生产的口罩平均日产量为20 000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量增大，为满足市场需求，该厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到24 200个．（1）求该厂口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？21．（本小题满分8分）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（要求画图，写出已知、求证，并证明）22．（本小题满分10分）如图，已知∠PAB=30º，线段AB=4．（1）尺规作图：作菱形ABCD，使线段AB是菱形的边，顶点C在射线AP上；（2）求（1）中菱形对角线AC的长度．23．（本小题满分10分）如图，有一块矩形硬纸板，长为30cm，宽为20cm．在其四角各剪去一个相同的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子．求剪去的正方形边长为多少时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm2？24．（本小题满分12分）已知关于x的一元二次方程x2－3x+k=0．（1）当k=1时，方程的解是；（2）若关于x的一元二次方程x2－3x+k=0有实数根，①求k的取值范围；②若k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m－1)x2+x+m－3=0与方程x2－3x+k=0有一个相同的根，求此时m的值．25．（本小题满分14分）如图，已知点E在正方形ABCD内，△EBC为等边三角形，AB=2．点P是边CD上一个动点（不与C，D重合），将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，分别连接AQ，QE．（1）如图1，当点Q落在边AD上时，以下结论：①AQ=CP；②∠BEQ=90°．其中正确的有；（填序号）（2）如图2，当点Q没有落在边AD上时，分别判断（1）中所给的两个结论是否正确，若有正确的结论，请加以证明；（3）求点P的运动过程中AQ的最小值．。