自动控制系统原理与应用第4章
单元四 根轨迹分析法和频域分析法
2 )根轨迹的分支数n 阶系统根轨迹的分支数为 n 。开环 传递函数为 n 阶,故开环极点和闭环极点数目都为n 个,当 K g 从 0→+∞ 变化时, n 个根在 s 平面上连续形成 n 条根轨迹。 一条根轨迹对应一个闭环极点随 K g 的连续变化轨迹。注: 根轨迹的分支数 = 系统的阶数。
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3. 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响
已知系统开环传递函数
增加 - p =-2 或 z
=-2 ,分别画出三幅零极点图,讨论对系统根轨迹和动态性能
的影响。图 4－11 (a )为原系统的零极点分布图,图 4－11 ( b )
为原系统增加极点后的零极点分布图,图 4－11 (c )为原系统
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图 4－15 奈奎斯特回线
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1. 稳定性 由根轨迹在 s 平面的分布情况就可以分析系统的稳定性。 如果全部根轨迹都位于 s 平面左半部分,则说明系统是稳定 的;如果根轨迹有一条或一条以上的分支全部位于 s 平面的 右半平面,则说明系统始终不稳定;如果根轨迹有一条或一条 以上的分支有部分进入 s平面的右半平面,则说明系统是有条 件的稳定,可以求出临界参数,为系统的设计和优化提供依据。
闭环系统根轨迹增益也等于开环系统前向通路根轨迹增 益。一般我们研究的就是 K g变化时的根轨迹。在根轨迹图 中,“ × ”表示开环极点,“ ○ ”表示开环零点,实线表示根 轨迹,箭头表示参数增加的方向。
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例 4－1 在复平面上标出开环传递函数 的零、极点。
解 由开环函数,求得零点 s =-1 极点: s =0 , s =-4 ,s =1±j1 所以,零极点分布图如图 4－4 所示。
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4. 1 根轨迹分析法 4. 2 频域分析法 4. 3 MATLAB 仿真单元小结 单元小结 习题
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学习目标 (1 )了解根轨迹的概念,会用根轨迹法分析系统性能。 (2 )了解频率特性的概念,会用频率曲线分析系统性能。 (3 )会用 MATLAB 绘制根轨迹及频率曲线。
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图 4－4 例 4－1
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2. 绘制根轨迹 绘制根轨迹有两种常用方法,其中一种是伊文斯图解法。 利用伊文斯图解法(手工画法)获得系统根轨迹是一种很实用 的工程方法,只需要依据几条规则做简单的计算,不需要求解 系统特征方程。其绘制方法如下: 1 )连续性与对称性 系统根轨迹的各条分支是连续的,而且由于特征方程的 根为实数或共轭复数(包括一对纯虚根),所以根轨迹必然对称 于实轴。
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图 4－6 例 4－2 根轨迹
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例 4－3 已知例 4－2 中根轨迹在实轴上的分离点为 s =-0.423 ,分离角为 90° ,试画出根轨迹图,并求临界根轨迹增 益。
解 闭环特征方程为
将 s=jω 代入方程,舍去不可能的解,得 临界根轨迹增益为 6 。根轨迹如图 4－7 所示。
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图 4－10 二阶系统极点分布
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分析动态性能时需要注意以下三点: (1 )若非主导极点与主导极点实部比大于 5 ,且主导极点 附近又无闭环零点,则非主导极点可忽略。 (2 )当主导共轭复数极点位于 β =±45° 等阻尼线上,其 对应最佳阻尼系数为 ζ =0. 707 ,系统的平稳性较好。 (3 )闭环零点可以抵消或削弱附近闭环极点的作用。
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所以,可以将线性定常系统的正弦信号的幅值与输入信 号的幅值之比定义为幅频特性A ( ω ),相位之差定义为相频 特性 φ ( ω )。系统的频率特性就是指系统的幅频特性和相频 特性,通常用复数来表示
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4. 2. 2 图示方法 在工程分析和设计中,通常把频率特性画成一些曲线,从
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例如,开环系统传递函数为 其根轨迹如图 4－9所示,当 0< K g <14 和 64< Kg<195 时,系 统是稳定的;当 Kg >195 和 14< K g<64 时,系统是不稳定的。
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图 4－ 9 根轨迹
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单元四 根轨迹分析法和频域分析法 3 )根轨迹的起点和终点 系统的特征方程为
即
化简后可以得到
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4 )实轴上的根轨迹 在 s 平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是,在这些线 段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数。假设一个 特征根为 s1 ,若它右边的实数零、极点(开环)个数的总和为 奇数,则 s1 位于根轨迹上。 5 )根轨迹的渐近线 当特征根沿根轨迹无限远离原点或无限接近间断点时, 即到一条直线的距离无限趋近于零,那么这条直线称为这条 根轨迹的渐近线。若 n > m ,当 K g 从 0→+∞ 时,有(n - m )条 根轨迹分支沿着实轴正方向夹角为 θ 、截距为 σ 的一组渐近 线趋向无穷远处。
单元四 根轨迹分析法和频域分析法 其中,
与实轴交点坐标为(σ ,j0),且
常见的渐近线如图 4－5 所示。
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图 4－5 常见渐近线
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6 )根轨迹的分离点和会合点 若两条根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开,则称 该点为根轨迹的分离点或会合点。此点对应于二重根(实根 和共轭复数根),一般多出现在实轴上。分离点的求解在本书 中不做要求。 7 )根轨迹的出射角和入射角 出射角是指始于开环极点的根轨迹在起点的切线与正实 轴的夹角。入射角是指止于开环零点的根轨迹在终点的切线 与正实轴的夹角。出射角和入射角的求解在本书中不做要求。
1948 年,伊万斯( W.R.EVANS )提出了直接由开环函数 判别闭环特征根的图解法,解决了复杂系统的性能分析的难 题,这就是著名的根轨迹法。所谓根轨迹,就是开环系统某 一参数从零变到无穷时,闭环系统特征方程式的根在 s 平面 上变化的轨迹。由于根轨迹图直观、完整,且可以推算出系 统参数的变化对系统闭环极点的影响趋势,所以对研究及改 善系统性能都具有重要意义。其分析问题的思路如图 4－2 所示。
通过上述分析,可以得出以下两条结论: (1 )开环放大系数 K 影响闭环极点分布; (2 ) K 与闭环极点一一对应,进而可确定系统稳定性及其 他各项性能指标。
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2. 动态性能 理论研究表明,系统的超调量、调整时间等动态性能指 标与控制系统闭环传递函数极点的位置有关。 首先,闭环极点越远离虚轴,系统调节时间就越小,快速性 也越好。 其次,闭环极点越靠近实轴,系统超调量就越小,系统稳定 性也越高。
(2 )改变了根轨迹渐近线的条数、倾角和截距。 (3 )可构成开环偶极子,改善系统性能。 (4 )根轨迹曲线向左偏移。
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4. 2 频 域 分 析 法
4. 2. 1 频率特性 对于一个稳定Leabharlann 线性定常系统,在其输入端施加一个正
弦信号时,当动态过程结束后,在其输出端必然得到一个与输 入信号同频率的正弦信号,其幅值和初始相位为输入信号频 率的函数。对于不稳定的线性定常系统,在正弦信号作用下, 其输出信号的瞬态分量不可能消逝,瞬态分量和稳态分量始 终存在。系统的稳态分量是无法观察到的,但稳态分量是与 输入信号同频率的正弦信号。
图 4－13 幅频和相频特性曲线
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图 4 －14 对数幅频特性和对数相频特性曲线
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4. 2. 3 奈奎斯特稳定判据 前面介绍了两种判断系统稳定性的方法,代数判据法是
根据特征方程根和系数的关系判断系统的稳定性,根轨迹法 是根据特征方程式的根随系统参量变化的轨迹来判断系统的 稳定性。本节介绍另一种重要并且实用的方法———奈奎斯 特稳定判据。这种方法可以根据系统的开环频率特性来判断 闭环系统的稳定性,并能确定系统的相对稳定性。
因此
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图 4－7 例 4－3 根轨迹
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图 4 8 例 4 4 根轨迹
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4. 1. 3 根轨迹与系统性能 由根轨迹分析闭环控制系统性能的一般步骤如下: (1 )由给定参数确定闭环系统的零极点的位置; (2 )分析参数变化对系统稳定性的影响; (3 )分析系统的瞬态和稳态性能; (4 )根据性能要求确定系统的参数; (5 )对系统进行校正。
单元四 根轨迹分析法和频域分析法
系统开环传递函数的频率特性称为开环频率特性。设系 统的特征方程为 F (s ) =1+G ( s ) H ( s ) =0 。闭环系统稳定 的充分和必要条件是特征方程的根,即 F ( s )的零点,都位于 s 平面的左半部。可以选择如图 4－15 所示的一条包围整个 s 平面右半部的按顺时针方向运动的封闭曲线。
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图 4－3 反馈系统框图
单元四 根轨迹分析法和频域分析法 为了直观获取自控系统传递函数的零点和极点,我们习
惯性地将 n 阶负反馈控制系统的开环传递函数表达为以下零、 极点形式
式中, zi 为开环零点; p j 为开环极点; K g 为根轨迹增益。
自动控制原理课后习题第四章答案
G(s)H(s)=
Kr s(s+1)(s+3)
σ根 s=3-K+ω轨r4-3-迹+p4s132ω1-3的+~3ω32分p===s2-离+001K点.p-3r=3：KK~0θrr===012+ωω6021,o=3,=0+±1810.7o
8
jω
1.7
s1
A(s)B'系(s)统=根A'轨(s迹)B(s)
s3 p3
s=sK2±r没=j24有.8.6位×于2K.r根6=×4轨80.迹6=上7，. 舍去。
2
第四章习题课 (4-9)
4-9 已知系统的开环传递函数，(1) 试绘制出
根轨迹图。
G(s)H与(s虚)=轴s交(0点.01s+1K)(系0.统02根s+轨1迹)
jω
70.7
解: GKK(rr=s=)10H5(0s)=ωω2s1,(3=s=0+±17000K.7)r(s+50)
s1
A(s)B'(系s)统=A根'(轨s)迹B(s)
s3 p3
p2
p1
-4
-2
0
((24))ζ阻=尼03.振5s2荡+1响2应s+s的81==K-r0值0.7范+围j1.2
s=s-s10=3=.-80-56.8+50K.7r×=20=s.82-=54×-.631..1155×3.15=3.1
-2.8
450
1080
360
0σ
0σ
第四章习题课 (4-2)
4-2 已知开环传递函数，试用解析法绘制出系
统的根轨迹，并判断点(-2+j0),(0+j1),
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
自动控制原理 第4章第二次课
2
1s
1
试绘制以时间常数 为参变量的广义根轨迹。
解：该系统的闭环特征方程式为
ss 1s 1 2 0
s3 s2 s2 s 2 s3 s2 s2 s 2 0
用 s2 s 2 除方程的两端
1
s2s 1
s2 s 2
0
其等效开环传递函数为
GsH s
s2s 1
s2 s 2
Amplitude
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
11
自动控制原理
Step Response
原系统 简化后系统
6
8
10
12
14
16
18
Time (sec)
4-4 系统性能的分析
自动控制原理
二. 闭环偶极子
一对相距很近的闭环零点、极点。
如果这对偶极子不十分靠近坐标原点和其他极点，则它们对
动态性能的影响可以忽略不计。
等效开环传递函数
1 A P(s) 0 A P(s) 1
Q(s)
Q(s)
A为除K*外，系统任意变化的参数
注意：等效意义在于特征方程相同，而此时闭环零点是不同的。
1
4-3 广义根轨迹
自动控制原理
例 设单位反馈系统的开环传递函数为 G(s) 4 s(s a) 绘制以a为参变量的根轨迹
(s) G(s)
j
闭环系统具有1个实数根和一对共轭复数根， 它们均位于复平面左半部，系统有衰减振荡的 动态分量，阶跃响应呈现欠阻尼状态。
-3
-2
-1
0
30
4-4 系统性能的分析
'
s
s2
0.436 0.66s
自动控制原理第4章
第四章 根轨迹法教学时数：10学时 教学目的与要求：1. 正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。
2. 正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。
熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。
3. 正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统K 从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。
4. 正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系，初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。
能熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似为一、二阶系统给出定量估算。
5. 了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。
教学重点：根轨迹与根轨迹方程、绘制根轨迹的基本法则、广义根轨迹、系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系、系统阶跃响应的根轨迹分析。
教学难点：根轨迹基本法则及其应用。
闭环控制系统的稳定性和性能指标主要有闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的。
根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、极点求出闭环极点（闭环特征根）。
这给系统的分析与设计带来了极大的方便。
§4－1 根轨迹与根轨迹方程一、根轨迹定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益K ）从零变到无穷时，闭环特征根在s 平面上移动的轨迹。
当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零度根轨迹；而负反馈系统的轨迹为180︒根轨迹。
例子 如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：()(0.51)K G s s s =+图4-1 二阶系统结构图开环传递函数有两个极点120,2p p ==-。
没有零点，开环增益为K 。
闭环传递函数为：2()2()()22C s K s R s s s K φ==++闭环特征方程为： 2()220D s s s K =++= 闭环特征根为：1211s s =-+=--从特征根的表达式中看出每个特征根都随K 的变化 而变化。
自动控制原理第二版第四章课后答案
自动控制原理第二版第四章课后答案【篇一：《自动控制原理》第四章习题答案】4-1 系统的开环传递函数为g(s)h(s)?k*(s?1)(s?2)(s?4) 试证明点s1??1?j3在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益k*和开环增益k。
解若点s1在根轨迹上，则点s1应满足相角条件?g(s)h(s)??(2k?1)?，如图解4-1所示。
对于s1= -1+j3，由相角条件?g(s1)h(s1)?0??(?1?j3?1)??(?1?j3?2)??(?1?j3?4)? 0??2??3??6???满足相角条件，因此s1= -1+j3在根轨迹上。
将s1代入幅值条件： g(s1)h（s1?k*?1?1?j3?1??1?j3?2??1?j3?4k8*解出： k=12 ，k=*?324-2 已知开环零、极点如图4-2 所示，试绘制相应的根轨迹。
解根轨如图解4-2所示：4-3 单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ g(s)?ks(0.2s?1)(0.5s?1)k(s?5)s(s?2)(s?3)* ⑵ g(s)?⑶ g(s)?k(s?1)s(2s?1)解⑴ g(s)?ks(0.2s?1)(0.5s?1)=10ks(s?5)(s?2)系统有三个开环极点：p1?0,p2= -2,p3 = -5①实轴上的根轨迹：???,?5?, ??2,0?0?2?57?????a??33②渐近线： ????(2k?1)????,?a?33?③分离点：1d?1d?5?1d?2?0解之得：d1??0.88，d2?3.7863(舍去)。
④与虚轴的交点：特征方程为 d(s)=s3?7s2?10s?10k?0?re[d(j?)]??7?2?10k?0令 ? 3im[d(j?)]????10??0?解得?????k?7。
根轨迹如图解4-3(a)所j）与虚轴的交点（0，?示。
⑵根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：??5,?3?, ??2,0?0?2?3?(?5)????0a??2②渐近线： ????(2k?1)????a?22?③分离点： 1d?1d?2?1d?3?1d?5用试探法可得 d??0.886。
第4章自动控制系统06-1
4.1.2 电弧焊程序控制的转换方式和方法
• 1．程序自动控制的转换方式 除了需人工操作指令(如启动、停止、急停)以 外，电弧焊的程序转换都应自动地实现。 转换方式有以下三种： (1)行程转换 即按预定的空间距离进行程序转换。 环缝焊焊接参数的分段转换、环缝焊到终点2)时间转换 即按预定的时间间隔进行程序转换。 保护气提前给送和滞后停止、焊丝返烧熄弧等可 以使用延时继电器或延时电路来实现。 (3)条件转换 即以系统达到某种特定状态(如电弧 引燃、熄灭、焊枪达到某个位置等)为条件所进行 的程序转换。
给 O
K Ku
g
（Ｋ＋Ｋu 是截距）
Ua Ki tg I a K Ku
• 1) 直线为截距 UO其斜率为tgβ的直线。 • 2) 当k足够大时.tgβ→β→o 平行于横坐标轴的直线。 • 3) 给定电压Ug增大，曲线平行上移,Ug减小曲线 平行下移。 • 4) D丝 减小L伸↑时，Ki↑，tgβ↑，曲线斜率↑。 （D丝 ↓）。 • 5) 焊丝材质不同， 其电阻率不同， 曲线斜率也不同。
Ｋｉ：Ｖ熔 随Ｉ变化的系数，取决于电阻率D丝， Ｌ伸及Ｉ大 小（ｃｍ/s.A) Ｋｕ：Ｖ熔 随Ｖ变化的系数,取决于电位梯度.Ｌ弧大小 （cm/s.v）。 • 当Ｖ送 一定时，弧长稳 定燃烧时： • Ｖ送 ＝Ｖ熔 ＝ＫｉＩ－ＫｕU • Ｉ＝Ｖ送 ／Ｋｉ＋Ｋｕ.U／Ｋｉ • 在一给定Ｖ送 条件下，Ｉ(H)和ＶH之间关系，通过公式 可做出曲线如图： 等熔化曲线或自动调节静特性曲线。 • 曲线上的各点，Ｖ送 ＝Ｖ熔 • 曲线上的左面，Ｖ送 〉Ｖ熔 • 曲线上的右面，V送 〈V熔 • 测定方法，一种V送 几种外特性曲线。 由图可知：
• 2.电弧自身调节作用： • 等速给送式：在弧长一定时，稳定工作点是外 特性，静特性，和等熔化曲线三者的交点。 • 如图：弧长变化自动调节过程： • 当Ｌ1→Ｌ2，O1→O2， • 此时Ｉ1 →Ｉ2， • 所以Ｉ1〈Ｉ2. U2>U1。 • 所以V熔2 <V熔1 ，所以V熔 ↑， 自动恢复到L1 这种由于V熔 随弧长变动而引起消除波动的自动调节作用称为： 电弧的自身调节作用。 • 等熔化曲线也称： 电弧自身调节特性曲线。
自动控制原理_第4章_2
出射角
以虚数开环极点为起点的根轨迹， 在起点处根轨迹的切线的倾斜角。
入射角
以虚数开环零点为终点的根轨迹， 在终点处根轨迹的切线的倾斜角。
1
Im
0
Re
虚数开环极点的出射角示意图
2
Im
0
Re
虚数开环零点的入射角示意图
3
θp
1
s
Im
p1
θp
1
p1 的出射角
闭环极点 s 位于 p1 的邻域内
k ∏ ( s − zi ) sv ∏ ( s − p j )
j = v +1 m i =1 r i =1 n
m
零极点型
G ( s) H ( s) =
K ∏ (τ i s + 1)
l =1
s v ∏ (T j s + 1) ∏ (Tl 2 s 2 + 2ζ lTl s + 1)
q j =1
v + q + 2r = n
由根轨迹关于实轴对称的原则，只要求出一个 开环虚数零、极点的入射、出射角，则与之共轭 的开环虚数零、极点的入射、出射角即可推得。
6
[例4-5] 负反馈系统的开环传递函数为 例 k ( s + 1) G ( s) H ( s) = 2 s + 3s + 3.25 出射角 绘制该系统的根轨迹。 0 206.6 Im 汇合分离点
p1
1 Re
-0.4 p2
22
本次课内容总结
绘制根轨迹的规则7-规则 。 绘制根轨迹的规则 规则10。 规则
23
zi
i = 1, 2,L , m
pj
0
孙炳达版 《自动控制原理》第4章 控制系统的根轨迹分析法-5
R(s)
s 1
k s 2 (s 2)
Y(s)
j
j
σ
-1/τ
σ
4.5 系统性能的根轨迹分析
系统开环传递函数：
Gk ( s) Kg s( s 2)(s 3)
Þ ¿ Î ª » ·Á ã µ ã
j¦ Ø 2 -3 -2 -1 0 ¦ Ò -2
增加零点-z
Gk ( s) K g (s z) s( s 2)(s 3)
4.5 系统性能的根轨迹分析
例 系统的结构图如下，
R(s)
K
s 2 2 s 5 ( s 2 )( s 0.5 )
Y(s)
要求： １）用根轨迹法确定使系统稳定的Ｋ的取值范围； ２）用根轨迹法确定系统的阶跃响应不出现超调 量的Ｋ的最大值。
4.5 系统性能的根轨迹分析
解 由已知条件画出根轨迹如图， 其中根轨迹与虚轴的交点 分别为0和1.254j，对应的开环 增益Ｋ分别为0.2和0.75。 分离点为d=-0.409。 所以，系统稳定Ｋ的取值范围为：0.2<K<0.75 不出现超调量的Ｋ最大值出现在分离点处d=-0.409 处。将d代入 D( s ) ( s 2)(s 0.5)
由根轨迹图可测得该对主导极点为：
s1, 2 b jn n j 1 2 n 0.35 j 0.61
由根轨迹方程的幅值条件，可求得A、B两点：
Kg OA CA DA 2.3
根据闭环极点和的关系可求得另一闭环系统极 点s3=-4.3，它将不会使系统超调量增大，故取 Kg=2.3可满足要求。
4.5 系统性能的根轨迹分析
将零点z1<-10，系统根轨迹为 系统根轨迹仍有两条始 终位于S平面右半部， 系统仍无法稳定。
自动控制原理第四章
K
*
s p sz
j 1 i 1 m
n
i
j
绘制根轨迹时，只需要使用相角条件。 当需要确定根轨迹上各点的值时，才使用模值条件。
• 知道了根轨迹上的点满足的基本条件， 仍实际上还是不能绘制出根轨迹。
• 要比较快捷的绘制根轨迹，需要找 出根轨迹的一些基本规律。
§4.2 绘制根轨迹的基本规则
渐近线包括两个内容：
渐近线与实轴的夹角和渐近线与实轴的交点。
规则4：渐近线与实轴的交点为
sa
pi z j
i 1 j1
n
m
nm
渐近线与实轴的夹角为
180 0 90 (2k 1)180 a nm 180 ,60 45 ,135 n m 1 nm 2 nm 3 nm 4
第四章 系统的根轨迹法
系统的性能
稳定性
动态性能
闭 环即 特闭 征环 方极 程点 的 根
开环放大倍数 开环积分环节个数
稳态误差
困
难!
困难1：系统闭环特征方程的根如何求取！
困难2：讨论或预测当系统中的某一参数发生
变化时系统闭环特征方程的根如何变 化!
参数改变，系统性能如何改变！
开环传递函数(开环零极点+开环增益)
根轨迹法的任务就是由已知的开环零极点的分布及 根轨迹增益，通过图解法找出闭环极点。 根轨迹是系统所有闭环极点的集合。
闭环极点与开环零、极点之间的关系
闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点
闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关
开环零极点和根轨迹增益
根轨迹图
闭环极点
分析系统
4、根轨迹方程
第四章分析自动控制系统性能常用的方法
第四章 分析自动控制系统性能常用的方法（10 学时）目的、教学要求：在经典控制理论中常用的分析方法有时域分析法(由时域响应及传递函 数出发去进行分析)、根轨迹分析法和频率特性分析法。
本章主要介绍其中的两种分析方法， 即：时域分析法和频域分析法。
因此在本章中主要掌握：² 时域分析法的基本概念及分析方法² 频域分析法的基本概念及分析方法重点、难点：本章的重点是： 频率特性的基本概念， 开环对数频率特性的绘制及幅值穿越频率的求取， 控制系统的对数稳定性判据，系统频域性能分析及与时域性能指标之间的关系。
本章的难点是：自动控制系统开环对数频率特性的绘制及幅值穿越频率的求取、控制系 统的频域性能分析及与时域性能指标之间的关系。
主要内容：² 频率特性的基本概念² 频率特性的图形表示法² 典型环节的 Bode 图² 自动控制系统的开环对数频率特性² 习题² 实验教学方式：该部分内容较难理解，应采用 PPT+《自动控制原理频域分析工具箱》教学软件 的多媒体教学方式；习题课采用课堂教学， 但至少应用一次课堂练习用来让学生学习绘制伯 德图。
教学设计：① 通过多媒体教学演示软件《自动控制原理频域分析工具箱》生动说明频率响应的概 念，引导学生对实验演示结果进行分析，从而引出占有率特性的基本概念。
② 通过一个案例（一阶 RC 电路）及多媒体教学演示软件来讲解：输出信号的幅值与相 位与频率之间的关系及频率特性与系统结构参数之间的关系（简要介绍，用 PPT+媒体教学 演示软件来讲）。
③ 采用课堂练习的方法，引导学生按步骤进行伯德图的绘制，学习绘制前要求学生准 备好二张以上的三级半对数坐标纸（从校园网上下载）。
教学内容：一、频率特性的基本概念1. 频率响应与频率特性频率响应的概念：线性定常系统对正弦输入信号的稳态响应称为频率响应。
线性系统的 频域分析的出发点仍然是它的传递函数。