内蒙古赤峰二中2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题(理)
A.
B. 봈
C.
中所含元素的个数为 D. D.
5.若函数
的定义域是 ，则函数 ݃
봈 的定义域是（ ）
A.
6.已知
A.
봈
B. 봈
C.
D.
，则 的解析式为（ ）
B.
봈
C.
봈
D.
봈
7.已知 是 上的奇函数，且当 뱨 时，
봈 ，则当 x 0 时， （ ）
A.봈 봈 봈
B. 3x2 2x+1
1
C.
봈
D. 봈 봈
봈
在 上为增函数，则
봈뱨
봈 ᖪ 若不等式 −
봈
取值范围为 对于任意实数
则实数 的最大值是 三、解答题（17 题 10 分，18-22 题每题 12 分）
17.已知
봈
的定义域为集合 ，集合
봈
봈.
（1）求集合 ；
（2）若
,求实数 的取值范围.
18.已知集合
봈 ＜ ，
（1）当 ȁ Ͷ 时，求
及 ∁；
（2）若
，求实数 ȁ 的取值范围
Ͷ봈ȁ
ȁ ，R 为实数集.
恒成立，
19.二次函数 满足
봈
，且
.
（1）求 的解析式；
（2）若函数 ݃
봈 ， 봈 ，求 ݃ 的值域.
3
20.已知函数
봈
（1）求 的定义域和值域；
（2）判断 的奇偶性与单调性；
（3）解关于 的不等式
봈
봈
．
21.已知
ᖪ是，2，3，4，5}，且 A={2，3，4}，B={4，5}，则
等于（ ）
A.{4}
B.{4，5}
C.{1，2，3，4}
D.{2，3}
2.下面各组函数中为相同函数的是（ ）
A.
݃
C.
݃
B.
봈݃
봈
D.
݃
3.已知集合
봈 ,则集合
（）
A.
B.
C.
4.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
8.已知偶函数 在
上是增函数，且
，则不等式
的解集是（ ）
A.
B. 봈
C. 봈
D. 봈
9.函数
봈 Ͷ 봈 的定义域为 ǡ ，值域为[10, 6] ，则 ǡ 的取值范围是( )
A.[0，4] 10.函数
B.[4，6] 봈 봈 的图像大致为 (
C.[2，6] )
D.[2，4]
A.
B.
C.
D.
11.已知 是定义在 上的奇函数，当 实数 的取值范围是（ ）
（1）求 的解析式；
（2）判断 的单调性，并证明你的结论；
（3）解不等式 ȁ 봈
ȁ.
22.定义在
上的函数 满足任意
,都有
当
时，
且
（1）求 .
（2）证明 在
上是增函数
（3）解不等式
봈
Ͷ.
4
时，
，若 봈 뱨 ，则
A. 봈
B. 봈
C. 봈 봈
12.设ǡ
ᖪᖪ
ᖪ ᖪ
则函数
D. 봈 봈
ǡ
봈 봈 的单调增区间为（ ）
A. 봈
B. 봈 봈
C. 봈 봈
D. 봈
2
二、填空题（每小题 5 分）
第 II 卷 非选择题
13.已知函数
若
则
봈뱨
14.已知函数 봈
봈
，则
15.若函数
봈 봈
16.在 上定义运算： ᖪ
赤峰二中 2020 级高一上学期第一次月考
理科数学试题 2020.10
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷.第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用 2B 铅笔涂在答题卡中相 应的位置.第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置.答案写在试卷上均无效， 不予记分.
第 I 卷（选择题）
一、选项题（本大题共 12 小题，每题 5 分）
2019-2020学年内蒙古赤峰二中高一(上)第一次月考数学试卷(文科)(10月份)及答案
2019-2020学年内蒙古赤峰二中高一（上）第一次月考数学试卷（文科）（10月份）一．选择题：本大题共12小题，每小题0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，且A＝{2，3，4}，B＝{4，5}，则A∩∁U B等于（）A．{4}B．{4，5}C．{1，2，3，4}D．{2，3}2．下面各组函数中为相同函数的是（）A．B．C．D．3．若A＝{x|0＜x＜}，B＝{x|1≤x＜2}，则A∪B＝（）A．{x|x≤0}B．{x|x≥2}C．D．{x|0＜x＜2} 4．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝x+1B．y＝﹣x2C．y＝D．y＝x|x|5．函数f（x）＝（x﹣）0+的定义域为（）A．B．[﹣2，+∞）C．D．6．若对于任意实数x，都有f（﹣x）＝f（x），且f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，则（）A．f（﹣2）＜f（2）B．f（﹣1）＜C．＜f（2）D．f（2）＜7．若函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在[5，8]上是单调函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，40]B．[40，64]C．（﹣∞，40]∪[64，+∞）D．[64，+∞）8．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）A．B．C．D．9．设f（x）＝，则f（5）的值为（）A．10B．11C．12D．1310．已知f（）＝，则f（x）的解析式可取为（）A．B．﹣C．D．﹣11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1 ）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1 ）D．（﹣∞，﹣2 ）∪（1，+∞）12．已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4，则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，+∞）二.填空题（每小题0分，共20分）13．若A＝{（x，y）|y＝x2+2x﹣1}，B＝{（x，y）|y＝3x+1}，则A∩B＝．14．已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+f（）+＝．15．已知f（x）＝，则f（x）的单调递增区间为．16．已知f（x）＝则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是．三、解答题：共6小题，第17题10分，18-22题各12分，共70分.17．设集合A＝{x|a﹣3＜x＜a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞3}．（1）若a＝3，求A∪B；（2）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）＝x+．（1）证明：f（x）在[1，+∞）上是增函数；（2）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．19．若集合A＝{x|x2+5x﹣6＝0}，B＝{x|x2+2（m+1）x+m2﹣3＝0}．（1）若m＝0，写出A∪B的子集；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．20．已知二次函数满足f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝1．（1）函数f（x）的解析式；（2）函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．21．已知函数f（x）＝．（1）做出函数图象；（2）说明函数f（x）的单调区间（不需要证明）；（3）若函数y＝f（x）的图象与函数y＝m的图象有四个交点，求实数m的取值范围．22．已知是定义域在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）解不等式f（2t﹣2）+f（t）＜0．2019-2020学年内蒙古赤峰二中高一（上）第一次月考数学试卷（文科）（10月份）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，且A＝{2，3，4}，B＝{4，5}，则A∩∁U B等于（）A．{4}B．{4，5}C．{1，2，3，4}D．{2，3}【分析】由全集∪＝{1，2，3，4，5}，且A＝{2，3，4}，B＝{4，5}，能求出∁U B＝{1，2，3}，由此能求出A∩∁u B．【解答】解：∵全集∪＝{1，2，3，4，5}，且A＝{2，3，4}，B＝{4，5}，∴∁U B＝{1，2，3}，∴A∩∁u B＝{2，3}，故选：D．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．下面各组函数中为相同函数的是（）A．B．C．D．【分析】判断函数是否相同，一般地，就是逐个判断两个函数的定义域和对应关系是否完全一致．【解答】解：A选项中，g（x）＝x与f（x）＝＝|x|的对应关系不同，所以不是同一个函数；B选项中，，这两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一个函数；C选项中，，g（x）＝，它们的对应法则不同，所以不是同一个函数；D选项中，f（x）＝的定义域是{x|x≠0}，g（x）＝x的定义域是R，所以不是同一个函数；故选：B．【点评】本题考查判断两个函数是否是同一函数，在开始学习函数的概念时，这是经常出现的一个问题，注意要从三个方面来分析．3．若A＝{x|0＜x＜}，B＝{x|1≤x＜2}，则A∪B＝（）A．{x|x≤0}B．{x|x≥2}C．D．{x|0＜x＜2}【分析】把两集合的解集表示在数轴上，根据图形可求出两集合的并集．【解答】解：由，B＝{x|1≤x＜2}，两解集画在数轴上，如图：所以A∪B＝{x|0＜x＜2}．故选：D．【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．4．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝x+1B．y＝﹣x2C．y＝D．y＝x|x|【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．y＝x+1为非奇非偶函数，不满足条件．B．y＝﹣x2是偶函数，不满足条件．C．y＝是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．D．设f（x）＝x|x|，则f（﹣x）＝﹣x|x|＝﹣f（x），则函数为奇函数，当x＞0时，y＝x|x|＝x2，此时为增函数，当x≤0时，y＝x|x|＝﹣x2，此时为增函数，综上在R上函数为增函数．故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性，比较基础．5．函数f（x）＝（x﹣）0+的定义域为（）A．B．[﹣2，+∞）C．D．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即x≥﹣2且x≠，即函数的定义域为，故选：C．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件6．若对于任意实数x，都有f（﹣x）＝f（x），且f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，则（）A．f（﹣2）＜f（2）B．f（﹣1）＜C．＜f（2）D．f（2）＜【分析】利用f（﹣x）＝f（x），且f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，将变量化为同一单调区间，即可判断．【解答】解：对于任意实数x，都有f（﹣x）＝f（x），所以函数为偶函数根据偶函数图象关于y轴对称，且f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，可知f（x）在（0，+∞）上是减函数对于A，f（﹣2）＝f（2），∴A不正确；对于B，∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，﹣1＞，∴f（﹣1）＞，∴B不正确；对于C，f（2）＝f（﹣2），∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，﹣2＜，∴f（﹣2）＜，∴C不正确，D正确；故选：D．【点评】本题重点考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，解题时应注意将变量化为同一单调区间，再作判断．7．若函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在[5，8]上是单调函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，40]B．[40，64]C．（﹣∞，40]∪[64，+∞）D．[64，+∞）【分析】根据二次函数的性质知对称轴，在[5，8]上是单调函数则对称轴不能在这个区间上，，或，解出不等式组求出交集．【解答】解：根据二次函数的性质知对称轴，在[5，8]上是单调函数则对称轴不能在这个区间上∴，或，得k≤40，或k≥64故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，本题解题的关键是看出二次函数在一个区间上单调，只有对称轴不在这个区间上，本题是一个基础题．8．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）A．B．C．D．【分析】本题考查的是分段函数的图象判断问题．在解答时应充分体会实际背景的含义，根据走了一段时间后，由于怕迟到，余下的路程就跑步，即可获得随时间的推移离学校距离大小的变化快慢，从而即可获得问题的解答．【解答】解：由题意可知：离学校的距离应该越来越小，所以排除C与D．由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．随着时间的增加，距离学校的距离随时间的推移应该减少的相对较快．而等跑累了再走余下的路程，则说明离学校的距离随时间的推移在后半段时间减少应该相对较慢．所以适合的图象为：B故选：B．【点评】本题考查的是分段函数的图象判断问题．在解答的过程当中充分体现了应用问题的特点，考查了速度队图象的影响，属于基础题．9．设f（x）＝，则f（5）的值为（）A．10B．11C．12D．13【分析】欲求f（5）的值，根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值即可求出其值．【解答】解析：∵f（x）＝，∴f（5）＝f[f（11）]＝f（9）＝f[f（15）]＝f（13）＝11．故选：B．【点评】本题主要考查了分段函数、求函数的值．属于基础题．10．已知f（）＝，则f（x）的解析式可取为（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】利用换元法，设，则x＝，代入从而化简可得．【解答】解：已知f（）＝，设，则x＝，那么：f（）＝转化为g（t）＝＝，∴f（x）的解析式可取为f（x）＝，故选：C．【点评】本题考查了函数解析式的求法，利用了换元法，属于基础题．11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1 ）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1 ）D．（﹣∞，﹣2 ）∪（1，+∞）【分析】由题意可先判断出f（x）＝x2+2x＝（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，从而可比较2﹣a2与a的大小，解不等式可求a的范围【解答】解：∵f（x）＝x2+2x＝（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增又∵f（x）是定义在R上的奇函数根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增∴f（x）在R上单调递增∵f（2﹣a2）＞f（a）∴2﹣a2＞a解不等式可得，﹣2＜a＜1故选：C．【点评】本题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同（偶函数对称区间上的单调性相反）的性质的应用，一元二次不等式的求解，属于基础试题12．已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4，则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，+∞）【分析】根据条件可得出f（﹣1）＝﹣1，根据f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，即可由f（x）＜﹣1得出f（x）＜f（﹣1），从而得到x＞﹣1，即得出原不等式的解集．【解答】解：∵x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4；∴f（﹣1）＝﹣1；∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；∴由f（x）＜﹣1得，f（x）＜f（﹣1）；∴x＞﹣1；∴不等式f（x）＜﹣1的解集为（﹣1，+∞）．故选：D．【点评】考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．二.填空题（每小题0分，共20分）13．若A＝{（x，y）|y＝x2+2x﹣1}，B＝{（x，y）|y＝3x+1}，则A∩B＝{（﹣1，﹣2），（2，7）}．【分析】通过交集的定义，解方程组即可得出A∩B的元素，从而得出A ∩B．【解答】解：解得，或，∴A∩B＝{（﹣1，﹣2），（2，7）}．故答案为：{（﹣1，﹣2），（2，7）}．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的定义及运算．14．已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+f（）+＝．【分析】由函数的解析式可得f（x）+f（）＝1，由此求得f（1）+f（2）+f（3）+f（）+的值．【解答】解：∵函数，∴f（）＝＝，∴f（x）+f（）＝1．∴f（1）+f（2）+f（3）+f（）+＝f（1）+1+1＝，故答案为．【点评】本题主要考查求函数的值，关键是利用f（x）+f（）＝1，属于基础题．15．已知f（x）＝，则f（x）的单调递增区间为[6，+∞）．【分析】由题意利用复合函数的单调性可得，本题即求函数y＝x2﹣5x﹣6在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质得出结论．【解答】解：∵f（x）＝，∴x2﹣5x﹣6≥0，求得x≤﹣1，或x≥6，故函数的定义域为{x|x≤﹣1，或x≥6 }，本题即求函数y＝x2﹣5x﹣6在定义域内的增区间．再利用二次函数的性质可得函数y＝x2﹣5x﹣6在定义域内的增区间为[6，+∞），故答案为：[6，+∞）．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，属于中档题．16．已知f（x）＝则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是（﹣∞，]．【分析】先根据分段函数的定义域，选择解析式，代入“不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5”求解即可．【解答】解：①当x+2≥0，即x≥﹣2时．x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：2x+2≤5解得：x≤．∴﹣2≤x≤．②当x+2＜0即x＜﹣2时，x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：x+（x+2）•（﹣1）≤5∴﹣2≤5，∴x＜﹣2．综上x≤．故答案为：（﹣∞，]【点评】本题主要考查不等式的解法，用函数来构造不等式，进而再解不等式，这是很常见的形式，不仅考查了不等式的解法，还考查了函数的相关性质和图象，综合性较强，转化要灵活，要求较高．三、解答题：共6小题，第17题10分，18-22题各12分，共70分.17．设集合A＝{x|a﹣3＜x＜a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞3}．（1）若a＝3，求A∪B；（2）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．【分析】（1）a＝3时，得出集合A，然后进行并集的运算即可；（2）根据A∪B＝R即可得出，解出a的范围即可．【解答】解：（1）a＝3时，A＝{x|0＜x＜6}，且B＝{x|x＜﹣1，或x＞3}，∴A∪B＝{x|x＜﹣1，或x＞0}；（2）∵A∪B＝R，∴，∴0＜a＜2，∴实数a的取值范围为（0，2）．【点评】考查描述法的定义，以及并集的定义及运算．18．已知函数f（x）＝x+．（1）证明：f（x）在[1，+∞）上是增函数；（2）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．【分析】（1）设1≤x1＜x2，化简并判断f（x1）﹣f（x2）的符号，得出结论；（2）根据f（x）的单调性求出最值．【解答】（1）证明：在[1，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+﹣＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（1﹣）＝（x1﹣x2）．∵1≤x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2﹣1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[1，+∞）上是增函数．（2）解：由（I）知：f（x）在[1，4]上是增函数，∴当x＝1时，f（x）取得最小值f（1）＝2；当x＝4时，f（x）取得最大值f（4）＝．【点评】本题考查了函数单调性的判断，函数最值计算，属于中档题．19．若集合A＝{x|x2+5x﹣6＝0}，B＝{x|x2+2（m+1）x+m2﹣3＝0}．（1）若m＝0，写出A∪B的子集；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据题意，由m＝0可得集合B，由并集的定义可得A∪B，列举出其子集即可得答案；（2）分析可得B⊆A，分类讨论B可能的情况，综合即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，m＝0时，B＝{1，﹣3}，A∪B＝{﹣6，﹣3，1}；∴A∪B的子集：Φ，{﹣6}，{﹣3}，{1}，{﹣6，﹣3}，{﹣6，1}，{﹣3，1}，{﹣6，﹣3，1}，（2）由已知B⊆A，m＜﹣2时，B＝Φ，成立m＝﹣2时，B＝{1}⊆A，成立m＞﹣2时，若B⊆A，则B＝{﹣6，1}；∴⇒m无解，综上所述：m的取值范围是（﹣∞，﹣2]．【点评】本题考查集合包含关系的应用，涉及集合并集的计算，注意（2）中B可能为空集．20．已知二次函数满足f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（x+1）﹣f（x）＝2x，且f（0）＝1．（1）函数f（x）的解析式；（2）函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．【分析】（1）先设出函数解析式，然后代入已知条件可分别求出a，b，c，进而可求函数解析式；（2）根据函数的性质可判断函数在[﹣1，1]上单调性，进而可求函数的最值．【解答】解：（1）由题意f（x）为二次函数，设f（x）＝ax2+bx+c，∵f（0）＝1，∴c＝1．则f（x）＝ax2+bx+1，又∵f（x+1）﹣f（x）＝2x，∴a（x+1）2+b（x+1）+1﹣ax2﹣bx﹣1＝2ax+a+b，即2ax+a+b＝2x，由，解得：a＝1，b＝﹣1，f（x）＝x2﹣x+1．（2）由（1）知，根据二次函数的性质可知：开口向上，对称轴，∴当时，f（x）有最小值，当x＝﹣1时，f（x）有最大值3；∴f（x）的值域为【点评】本题主要考查了二次函数解析式的求解及闭区间上最值的求解，属于中档试题．21．已知函数f（x）＝．（1）做出函数图象；（2）说明函数f（x）的单调区间（不需要证明）；（3）若函数y＝f（x）的图象与函数y＝m的图象有四个交点，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据分段函数的性质，即可画出函数图象；（2）根据一次函数和二次函数的性质即可求解出函数的单调区间；（3）由题意，观察函数的图象可得实数m的取值范围．【解答】解：（1）做出函数图象如图：（2）函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，1）；单调递减区间为（﹣2，0）和（1，+∞）．（3）由于函数y＝f（x）的图象与函数y＝m的图象有四个交点，观察函数的图象可得实数m∈（﹣1，0）．【点评】本题考查了分段函数的性质，主要考查了分段函数的单调性和最值的求解．对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的数学思想方法进行研究．属于中档题．22．已知是定义域在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）解不等式f（2t﹣2）+f（t）＜0．【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝b＝0，又由，则可得f （）＝＝，解可得a＝1，代入函数的解析式即可得答案；（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，由作差法分析f（x1）与f（x2）的大小关系，结合函数单调性的定义，即可得结论；（3）利用函数的奇偶性以及单调性，可以将f（2t﹣2）+f（t）＜0转化为，解可得t的取值范围，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，是定义域在（﹣1，1）上的奇函数，则有f（0）＝0，即f（0）＝b＝0，又由，则f（）＝＝，解可得a＝1，则f（x）的解析式为f（x）＝；（2）当x∈（﹣1，1）时，函数f（x）为增函数，证明如下：设﹣1＜x1＜x2＜1，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，又由﹣1＜x1＜x2＜1，则（x1﹣x2）＜0，（1﹣x1x2）＞0；则有f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），即函数f（x）为增函数；（3）根据题意，f（2t﹣2）+f（t）＜0，且f（x）为奇函数则有f（2t﹣2）＜f（﹣t）∵当x∈（﹣1，1）时，函数f（x）单调递增，则有，解可得＜t＜；则t的取值范围为（，）．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力．。
内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中2021届高三数学上学期10月月考试题 理(含解析).doc
内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中2021届高三数学上学期10月月考试题 理（含解析）考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。
3.做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|02A x x =<<，{}2|340B x x x =+->，则()R AC B 等于（ ）A. {}|01x x <≤B. {}|12x x ≤<C. {}|02x x <<D.{}|12x x -≤<【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式求得集合B ,再进行补集交集运算【详解】由题{}()()2|3401,,4B x x x =+->=+∞⋃-∞-故{}|41R C B x x =-≤≤，(){}|01R A C B x x =<≤.故选A【点睛】本题考查集合的运算，准确求得集合B 是关键，是基础题2.复数2(1)12i i i-+（i 为虚数单位）等于（）A.1355i - B.1355i + C.3155i - D.3155i + 【答案】B【解析】 【分析】根据复数的四则运算，化简2(1)131255i i i i -=++ ，即可求解．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数2(1)(1)(12)1313125555i i i i i i i --+-+===++，故选B ．【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.已知向量a ，b 的夹角为3π，若a c a =，b d b=，则c d ⋅=（ ）A.14B.12D.34【答案】B 【解析】 【分析】直接利用数量积定义求解即可 【详解】由题1c d ==，则1cos 32c d π⋅==. 故选B【点睛】本题考查数量积的定义，是基础题4.已知0a >，0b <，则“0a b +>”是“22a b >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用充分必要条件结合不等式性质即可得解【详解】∵0a >，0b <，∴0a b ->，∵0a b +>，∴()()220a b a b a b -=+->，∴22a b >，反之，22a b >时，()()0a b a b +->，∵0a b ->，∴0a b +>. 故选C【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查推理能力结合不等式性质求解是关键 5.观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】D 【解析】 【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可 【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选D【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题6.若幂函数()y f x =的图象过点(8,，则函数()()21f x f x --的最大值为（ ）A.12B. 12-C. 34-D. -1【答案】C 【解析】 【分析】t =，转化为二次函数求最值即可【详解】设幂函数()y f x x α==，图象过点(8,，故318=2=2ααα 故()f x =()()21f x f x x --=t =，则()21y t t =-+，0t ≥，∴12t =时，max 34y =-.故选C【点睛】本题考查幂函数的解析式，考查二次函数求值，是基础题，注意换元时新元的范围 7.已知()f x 是周期为2的奇函数，当10x -<≤时，()2x af x x b +=+，若7225f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则+a b 等于（ ） A. -1 B. 1C. -2D. 2【答案】B 【解析】 【分析】利用周期性和奇偶性得1225f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合()00f =得a,b 的值即可求解 【详解】由()f x 周期为2,则4也为周期故711212==222525f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=∴-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即122154a b -=-+ 又()00f =，∴0a =，1b =，故1a b +=. 故选B【点睛】本题考查利用周期性与奇偶性求值，考查推理能力，注意()00f =的应用 8.在正方形ABCD 中，点O 为ABC ∆内切圆的圆心，若AO xAB yAD =+，则xy 的值为（ ）A.214B.324- C.214D.212【解析】 【分析】连OB 并延长到与AC 相交于点H ,设正方形ABCD 的边长为1,求得ABC ∆内切圆的半径为r ，再利用平面向量基本定理求解【详解】连OB 并延长到与AC 相交于点H ，设正方形ABCD 的边长为1，则1222BH BD ==，设ABC∆内切圆的半径为r，则()22212BH OH OB r r r =+=+=+=，可得222r -=. 设ABC ∆内切圆在AB 边上的切点为E ，则()1AO AE EO r AB r AD=+=-+22222211222AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫--=-+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有2x =，21y =-，故22211222xy ⎛⎫-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选D【点睛】本题考查平面向量基本定理，数形结合思想的应用，考查推理能力，准确求得内切圆半径是关键，是中档题9.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若228m m S S =，2181m m a ma m =-，则数列{}n a 的公比q 为（ ） A. 3 B. 2 C. -3 D. -2【答案】A【分析】讨论1q =不成立，当1q ≠直接利用等比数列的通项公式和前n 项和公式列式求出结果．【详解】由1q =时，2112228m m S ma S ma ==≠，故1q ≠.∵()()21211112811m m m mm a q S q q S a q q--==+=--，∴27mq =.又2181m m m a m q a m ==-，解得3m =，3q =. 故选A【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式和前n 项和公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.执行如图所示的程序框图，若输入的50t =-，则输出的n 的值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C 【解析】 分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并逐句分析各变量值的变化情况，可得答案．【详解】输入的50t =-，1,0,1;S n m === 第一次循环，0,2,1,S m n === 满足50S >- 第二次循环，2,4,2,S m n =-==满足50S >- 第三次循环，6,8,3,S m n =-==满足50S >- 第四次循环，14,16,4,S m n =-==满足50S >- 第五次循环，30,32,5,S m n =-==满足50S >-第六次循环，62,64,6,S m n =-==不满足50S >-，退出循环，输出n =6 故选C【点睛】本题考查的知识点是程序框图的应用，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进行管理，属于基础题． 11.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 是b 和c 的等比中项，则sin sin tan tan A AB C+=（ ） A. 1 B.12C.23D.34【答案】A 【解析】 【分析】 切化弦得sin sin cos cos sin tan tan sin sin A A B C A B C B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，通分,结合两角和的正弦公式及正弦定理求解即可 【详解】由题意有a bc=2，sin sin cos cos sin tan tan sin sin A A B C A B C B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22sin sin sin 1sin sin sin sin A B C A a B C B C bc+====. 故选A【点睛】本题考查等比中项的应用，两角和的正弦公式及正弦定理边角互化的应用，切化弦是突破点，是中档题12.已知数列1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，…，其中第一项是02，第二项是1，接着两项为02，12，接着下一项是2，接着三项是02，12，22，接着下一项是3，依此类推.记该数列的前n 项和为n S ，则满足3000n S >的最小的正整数n 的值为（ ） A. 65 B. 67C. 75D. 77【答案】C 【解析】 【分析】由题将数列分组，得每组的和，推理3000n S >的n 的大致范围再求解即可【详解】由题将数列分成如下的组（1，1），（1，2，2），（1，2，4，3），（1，2，4，8，4），（1，2，4，8，16，5）…，则第t 组的和为01122221t t t t -++⋅⋅⋅++=-+，数列共有()()32312t t t +++⋅⋅⋅++=项，当()32t t n +=时，()()()121211221222t t nt t t t S t +-+-=-+=+--,随t 增大而增大， 10t =时，65n =，6520484522091S =+-=，11t =时，77n =，7740965524194S =+-=，第65项后的项依次为02，12，22，…，102，11，02，12，…，又0211222222112mm m --+++⋅⋅⋅+==--，921511-=，10211023-=，20915113000+<，209110233000+>，∴满足条件的最小的n 值为651075+=.故选C【点睛】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n 项和，考查计算能力，属于难题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.【答案】5 【解析】 【分析】画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122z y x =-+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得A （1,2），故max 145z =+=故答案为5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题14.已知tan 34πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【答案】210【解析】 【分析】 由两角和的余弦公式及二倍角公式求得()2cos 2cos 2sin 242πθθθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭22222cos sin 2sin cos cos sin θθθθθθ-+=+转化为1tan 2θ=的齐次式求解即可 【详解】由题)2cos 2cos 2sin 24πθθθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭22222cos sin 2sin cos cos sin θθθθθθ-+=+221tan 2tan 1tan θθθ-+==+.故答案为10【点睛】本题考查两角和与差的余弦公式，正切齐次式求值，熟记公式，准确化为二次齐次式是关键，是中档题15.已知正实数x 、y 满足()()1216x y ++=，则4x y +的最小值为______. 【答案】10 【解析】 【分析】由()()44126x y x y +=+++-⎡⎤⎣⎦结合基本不等式求解即可【详解】由()()44126x y x y +=+++-⎡⎤⎣⎦610≥=（当且仅当1x =，6y =时取“=”）.故答案为10【点睛】本题考查了变形利用基本不等式的性质，准确配凑出定值是关键，属于基础题． 16.已知函数()23,145,1x x f x x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩，()()()ln g x x a a R =+∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围是______.【答案】()34,e【解析】 【分析】画出函数()f x 的图像，讨论()y g x =图象与其相交的临界位置求解即可【详解】由()()23,121,1x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()f x 简图如图所示：若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则函数()y g x =图象所在的临界位置恰好在虚线所在的函数①②的位置.（1）当函数()y g x =处于①的位置时，点()0,3在函数()y g x =的图象上，有()0ln 3g a ==，得3a e =；（2）当函数()y g x =处于②的位置时，此时函数()y g x =与直线3yx 相切，设切点P 的坐标为()00,x y ，有()00000113ln x a y x y x a ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：00304x y a =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，由（1）（2）知实数a 的取值范围是()34,e . 故答案为()34,e【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，考查导数的应用，考查数形结合以及一元二次函数，对数函数的性质进行求解，注意临界位置的考查．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos sin sin 13A B A B C -=.（1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆的面积为323c =，求+a b 的值. 【答案】（1）3C π=（2）6a b +=【解析】 【分析】（1）利用两角和的余弦公式及内角和定理得cos 13C C -=，由二倍角公式得2cos cos 222C C C=，进而求得C; （2）利用面积公式得8ab =，结合余弦定理得()2220a b ab +-=，则+a b 可求【详解】（1）∵()cos 1A B C +=，∴cos 1C C -=，22cos 11cos 222C C C ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，2cos cos 222C C C =.∵0C π<<，故tan23C =，26C π=，3C π=.（2）由ABC ∆的面积为3C π=，知1sin 232ABCS ab C ∆，∴8ab =，由余弦定理知2222cos 12c a b ab C =+-=，故2220a b +=，()2220a b ab +-=， 解得6a b +=.【点睛】主要考查两角差的余弦公式、利用正余弦定理解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．18.已知函数())22sin cos 0f x x x x ωωωω=->的图象与直线2y =-的相邻两个交点之间的距离为1. （1）求函数()f x 的增区间； （2）当1163x -≤≤时，求函数()f x 的最大值、最小值及相应的x 的值. 【答案】（1）()15,1212k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）112x =-时，函数()f x 的最小值为-2；13x =时，函数()f x . 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简()f x =2sin 23x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，进而得1T =及ωπ=则解析式可求； （2）由1163x -≤≤得22333x ππππ-≤-≤，利用正弦函数的图像及性质得值域即可 【详解】（1）由()())2sin 22cos 1f x x x ωω=-()()sin 222sin 23x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭.由函数()f x 的图象与直线2y =-的相邻两个交点之间的距离为1，有1T =，有212πω=，得ωπ=，故()2sin 23f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令()222232k x k k Z ππππππ-≤-≤+∈，得()151212k x k k Z -≤≤+∈. 故函数()f x 的增区间为()15,1212k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）当1163x -≤≤时，22333x ππππ-≤-≤. 则当232x πππ-=-，即112x =-时，函数()f x 的最小值为-2；当233x πππ-=，即13x =时，函数()f x .【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、两角差的正弦公式，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想． 19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12n n n b a -=⋅，若数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足258n T =的正整数n 的值.【答案】（1）2n a n =（2）5 【解析】 分析】（1）利用112a S ==，当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=求得通项 （2）由错位相减求和即可 【详解】（1）由题112a S ==.当2n ≥时，()()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦.由12a =符合2n a n =，故数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）由1222n nn b n n -=⨯=⋅，212222n n T n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()23121222122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅作差得：23122222n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅得：()()112122222112n n n n nT n n ++-=⋅-=⋅---得：()1122n n T n +=-⋅+，又()()211122122120n n n n n T T n n n ++++-=⋅+--⋅-=+>故数列{}n T 单调递增，且65422258T =⨯+=，故满足258n T =的正整数n 的值只有一个为5.【点睛】本题考查数列的通项和前n 项和的关系，考查错位相减求和，准确计算是关键，属于中档题．20.已知函数()()22log 1log f x ax x =--．（1）若关于x 的方程()22log 0f x x -=有解，求实数a 的最小整数值；（2）若对任意的1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）2（2）10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）化简方程得21a x x=+，问题转化为求()21g x x x =+的最小值，对()g x 求导，分析导函数的正负得()g x 的单调性，从而得出()g x 的最小值，可得解；（2）分析函数()f x 的定义域和单调性，得出()f x 在[],1t t +的最小值和最大值，由已知建立不等式2211log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫---≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，再构造新函数，求导分析其函数的单调性，得其最值，从而得解.【详解】（1）()22log 0f x x -=化为()22log 13log ax x -=，0x ∴>，31ax x -=，21a x x∴=+．令()21g x x x =+，0x >，则()3'2212120x g x x x x -=-=>，x >()g x ∴的单调减区间为⎛ ⎝，单调增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，()g x g ≥=33212>，332732244=<=，12∴<<． a ∴的最小整数值为2．（2）()2221log (1)log log f x ax x a x ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，0x >，10ax ->，1x a >．．0a ∴>，()f x 的定义域为1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，且()f x 在()0,∞+是增函数． 则1t a >，()f x 在[],1t t +上的最大值为()211log 1f t a t ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭，最小值为()21log f t a t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由题意知2211log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫---≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，11021a a t t ⎛⎫∴<-≤- ⎪+⎝⎭． 211a t t ∴≥-+， 令()211h t t t =-+，()()()22'2222212(1)101211t t h t t t t t t -+⎛⎫=-+=<≤≤ ⎪⎝⎭++． ()h t ∴在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，()h t ∴最大值为12104233h ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．103a ∴≥，112a <，a ∴的取值范围是10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题综合考查运用导函数分析原函数的单调性、最值解决求参数的范围等问题，解决问题的关键是构造函数，对其求导，分析导函数的正负，得其构造函数的单调性和最值，属于难度题.21.已知函数()()ln 21f x x a x =-+，a R ∈. （1）当()20,x e∈时，()f x 有2个零点，求a 的取值范围；（2）若不等式()2f x ax <-恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）21111,222a e e ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭（2）(]1,0- 【解析】 【分析】（1）分离参数构造新函数()ln xh x x=，求导求最值即可得a 的取值范围 （2）不等式()2f x ax <-，得()221ln 0ax a x x -++<，构造函数()()221ln g x ax a x x =-++，求导讨论a 的正负确定函数的最值即可求解【详解】（1）()20,x e ∈时，由()0f x =得ln 21xa x+=， 令()ln x h x x =，则()21ln 'xh x x -=， 0x e <<时，()'0h x >，x e >时，()'0h x <.∴()h x 在(]0,e 上是增函数，在[),e +∞上是减函数， 又()10h =，()1h e e=，()222h e e =，∴当22121a e e <+<时，()f x 在()20,e 上有2个零点，∴21111,222a e e ⎛⎫∈--⎪⎝⎭. （2）因为不等式()2f x ax <-即为()2ln 21x a x ax -+<-， 得()221ln 0ax a x x -++<，设()()221ln g x ax a x x =-++，则不等式()2f x ax <-等价于()0g x <.从而()()()222111'221ax a x g x ax a x x-++=-++=()()211ax x x --=，0x >. 当0a ≤时，()0,1x ∈时，()'0g x >；()1,x ∈+∞时，()'0g x <， 所以函数()g x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，此时()()max 11g x g a ==--.由题意，若()0g x <恒成立，则()max 0g x <，即10a --<，解得1a >-. 所以10a -<≤； 当0a >时，存在12x a=+使得()21411124212ln 2g a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11144422ln 2a a a a a ⎛⎫=++----++ ⎪⎝⎭1ln 20a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭. 故不可能满足()0g x <恒成立. 综上，实数a 的取值范围是(]1,0-.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，准确求得最值是关键，是一道综合题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，C 的极坐标方程为8cos ρθ=. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）经过点()1,1Q 作直线l 交曲线C 于M ，N 两点，若Q 恰好为线段MN 的中点，求直线l 的方程.【答案】（1）228x y x +=.（2）320x y --=.【解析】【分析】（1）由8cos ρθ=，得28cos ρρθ=即可得直角坐标方程；（2）直线l 的方程为()11y k x -=-，利用QC MN ⊥得1QC k k ⋅=-求解即可【详解】（1）由8cos ρθ=，得28cos ρρθ=，根据公式cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩，得228x y x +=，故曲线C 的直角坐标方程是228x y x +=.（2）设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为()11y k x -=-. 而曲线C ：228x y x +=化为标准方程是()22416x y -+=， 故圆心()4,0C .因为Q 恰好为线段MN 的中点， 所以QC MN ⊥.所以1QC k k ⋅=-，即01141k -⋅=--，解得3k =. 故直线l 的方程是()131y x -=-，即320x y --=.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的转化，考查圆的几何性质，根据Q 恰好为线段MN 的中点转化为1QC k k ⋅=-是关键，是基础题23.已知函数()231f x x m =--+-，()3132g x x x =++-. （1）解不等式()7g x >；（2）若12,x x R ∀∈，都有()()12f x g x <恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()4,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.（2）()4,-+∞ 【解析】 【分析】（1）利用零点分段去绝对值解不等式即可；（2）先求得两函数的最值，转化为()()max min f x g x <求解即可 【详解】（1）由()7g x >，得31327x x ++->， ①当1x <-时，()()31327x x -+-->，得43x <-； ②当213x -≤≤时，()()31327x x +-->，得57>，即x ∈∅； ③当23x >时，()()31327x x ++->，得1x >； 综上，不等式()7g x >解集是()4,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. （2）若12,x x R ∀∈，都有()()12f x g x <恒成立， 则()()max min f x g x <， 而()max 1f x m =-，易知()31323332g x x x x x =++-=++-()33325x x ≥+--=，当且仅当()()33320x x +-≤等号成立则()min 5g x =.则15m -<，解得4m >-. 故实数m 的取值范围是()4,-+∞.【点睛】本题考查函数恒成立，绝对值不等式的解法，考查分类讨论，正确运用绝对值不等式求得函数的最值是关键，是中档题。
内蒙古赤峰二中2022届高三上学期第一次月考数学(理)试卷
赤峰二中高三年级第一次月考试卷理科数学一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{|2A x x =<-或3}x >，{|21}B x a x a =≤≤-，若A B A ⋃=，则实数a 的取值范围为( )A.1|32a a a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或B.{|1a a <或3}a >C.1|12a a a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或D.{|1a a ≤或3}a ≥2、设i 是虚数单位，复数20211i z =，复数2|43i |43i z -=+，则12z z +在复平面上对应的点在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、设函数()f x 的定义域为[0,1]，则“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4、若直线经过()2,1A ,()21,B m (R)m ∈两点,则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A. 0180α︒≤<︒ B. 4590α︒≤<︒或90180α︒<<︒C. 045α︒≤≤︒D. 045α︒≤≤︒或90180α︒<<︒5、设随机变量ξ的分布列为()21,0,1,2,,33k n kk nP k C k n ξ-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且24E ξ=，则D ξ的值为（ ） A ．8B ．12C ．D ．166.天气预报说,在今后的三天中,每三天下雨的情况不完全相同,每一天下雨的概率均为40%.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率:用1,2,3,4表示下雨,从下列随机数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N 个数据.据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为( )19 07 96 61 91 92 52 71 93 28 12 45 85 69 19 16 83 43 12 57 39 30 27 55 64 88 73 01 13 53 79 89 A.623B.621C.13D.不确定7. .为帮助当地老百姓尽快脱贫，某市政府决定选派8名干部（5男3女）到该市甲、乙两个县去督查扶贫工作，若要求每个县至少要派3名干部，每个干部必须去两个县中的一个督查，且不能仅仅将3名女干部编为一组去某个县督查，则不同的派遣方案共有( ) A.90种B.125种C.180种D.250种8、如图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线f (x )＝sin x (x ∈(0，π))及直线x ＝a (a ∈(0，π))与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若该点落在阴影部分的概率为316，则a 的值为( )A ．712π B ．23π C ．34π D ．56π9、已知函数()f x 满足()()15f x f x -=-，且对任意的[)12,2x x ∈+∞,，12x x ≠，都有()()12120f x x x f x <--成立，若()2log 16p f =，()4log 7q f =，2515m f ⎛⎫⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则p q m ,,的大小关系（ ） A.q m p <<B.p m q <<C. q p m <<D.p q m <<10、《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A.B.C.D.11、．已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的两个焦点，双曲线上的点P 到原点的距离为b ，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =B ．3y x =C ．2y x =±D ．3y x =±12、已知函数()ln ,11,12x x f x x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()1F x f f x m =++⎡⎤⎣⎦有两个零点12,x x ，则12x x +的取值范围是（ ）A ．[)42ln 2,-+∞B ．)1⎡+∞⎣C ．42ln 2,1⎡-⎣D ．(,1-∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13、若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为___________.14、设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则12319b b b b a a a a ++++=________.15、已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线为直线1x =-，则该抛物线的方程为_________.过抛物线C 的焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点若AOB 的面积为4，则||||||AF BF AB ⋅=_____.16、已知四边形ABCD 为矩形, 24AB AD ==,M 为AB 的中点,将ADM ∆沿DM 折起,得到四棱锥1A DMBC -,设1A C 的中点为N ,在翻折过程中,得到如下有三个命题:①//BN 平面1A DM ，且BN ②三棱锥N DMC -； ③在翻折过程中，存在某个位置，使得1DM AC ⊥. 其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，第22，23题为选考题.（一）必考题：共60分.17、(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，且（c ﹣a ）（c +a ）+ab cos C＝3S .（1）求角A 的大小； （2）若4cos B •cos C ＝1，且a ＝S 的值.18、（12分）某制造企业根据长期检测结果，发现生产产品的一项质量指标值服从正态分布()2,N μσ，并把质量指标值在(),μσμσ-+内的产品称为优等品，质量指标值在(),2μσμσ++内的产品称为一等品，其余范围内的产品作为废品处理.优等品与一等品统称为正品，现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得产品质量指标值的样本数据统计如下图：（1）根据频率分布直方图，求样本平均数x ；（2）根据大量的产品检测数据，得出样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，()220.9545P μσξμσ-<≤+≈，()330.9973P μσξμσ-<≤+≈.（3）假如企业包装时要求把3件优等品 5件一等品装在同一个箱子里，质检员每次从箱子中随机取出3件产品进行检验，记取出3件产品中优等品的件数为X ，求X 的分布列以及数学期望. 19、（12分）四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形//BC AD ,AD DC ⊥ ,1BC CD == ,2,AD PA PD == ,E 为PC 的中点,F 为AD 的中点,平面PAD ⊥底面ABCD .⑴证明：平面BEF ⊥平而PAD ; ⑵若PC 与底面ABCD 所成的角为π3,求二面角E BF A --的余弦值. 20、（12分）以椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>6,以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于3（1）求椭圆 C 的标准方程;（2）过原点且斜率不为0的直线l 与椭圆 C 交于,P Q 两点, A 是椭圆 C 的右顶点,直线,AP AQ 分别与y 轴交于点,M N ,问:以MN 为直径的圆是否恒过x 轴上的定点？若恒过x 轴上的定点,请求出该定点的坐标;若不恒过x 轴上的定点,请说明理由.21、（12分）已知函数2()x g x e ax ax =--，()2ln x h x e x x =--．其中e 为自然对数的底数． （1）若()()()f x h x g x =-，讨论() f x 的单调性；（2）已知0a >，函数()g x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，证明：()212ln 4x x a +<．（二）选考题：10分22、（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2x m ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2241sin ρθ=+. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 上的点，PQ l ⊥，垂足为Q ，若PQ 的最小值为2，求m 的值． 23、（10分）已知函数()|2||3|()=+--∈f x x a x a R ． （1）若1=-a ，求不等式()10+>f x 的解集；（2）已知0>a ，若()32+>f x a 对于任意∈x R 恒成立，求a 的取值范围．赤峰二中高三年级第一次月考试卷 理科数学参考答案1. B2. A3. A 4、D 5、A 6. B 7. C 8．B 9、B 10、D 12．A 13．10 14、19218+ 15. 241y x = 16.①②17.（1）3π;（2）18. 解：（1）由频率分布直方图可知，4656566666760.010100.020100.04510222x +++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯768686960.020100.005107022+++⨯⨯+⨯⨯=. （2）由题意可知，样本方差2100s =，故210s σ≈=， 所以质量指标值()270,10YN ，该厂生产的产品为正品的概率()()()609060707090P P Y P Y P Y =<<=<<+<<()10.68270.95450.81862=+=. （3）X 的可能取值为0，1，2，3，则()0335385028C C P X C ===，()12353815128C C P X C ===， ()21353815256C C P X C ===，()3035381356C C P X C ===. 所以X 的分布列为 X 0123P528 1528 1556 156数学期望()51515190123282856568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19、解（1）连接AC 交BF 与G ,连接EG ，∵//PA 平面BEF ,PA ⊂平面PAC ，平面PAC ⋂平面BEF EG =，//PA EG ∴. 又E 为PC 的中点，∴G 为AC 的中点，易证AFG BCG △≌△，可得112AF BC AD ===，∴F 为AD 的中点，∵//BC FD ，且BC FD =，四边形DCBF 为平行四边形， ∵AD DC ⊥，∴BF AD ⊥又BF ⊂平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，∴ BF ⊥平面PAD ，又BF ⊂平面BEF ∴平面BEF ⊥平面PAD .（2）cos θ=20、（1）依题意,得222,c ab a b c a ===+又解得{1,a b ==故椭圆 C 的标准方程为2213x y +=.（2）方法一: A ,设00(0,),(0,),(,)M m N n P x y , 则由题意,可得220013x y +=①,且0000(,),(3,),(3,)Q x y AP x y AM m --=-=-.因为,,A PM 三点共线,所以//AP AM ,故有00(x m -=,解得m =同理,可得n =假设存在满足题意的 x 轴上的定点(,0)R t ,则有RM RN ⊥,即0RM RN ⋅=. 因为(,)RM t m =-,(,)RN t n =-,所以20t mn +=,即20t +=,整理得2202033y t x =--,又由①,得220033y x =-,所以21t =,解得1t =或1t =-. 故以MN 为直径的圆恒过 x 轴上的定点(1,0),(1,0)-. 方法二:①当直线 l 的斜率不存在时,有(0,1),(0,1),(0,1),(0,1)P Q M N --,此时以MN 为直径的圆经过 x 轴上的点()1,0-和()1,0;②当直线 l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y kx =,联立方程组221,{3,x y y kx +==,解得P,(Q.设(0,),(0,)M m N n 又直线AP 的斜率1k =直线AM 的斜率2k =因为,,A P M 三点共线,所以12k k =,解得得m =,同理,可得n =, 假设存在满足题意的 x 轴上的定点(,0)R t ,则有RM RN ⊥,直线RM 的斜率3m k t =-,直线RN 的斜率4n k t=-, 所以341k k =-,故有2t mn =-,即2t =,整理,得21t =,解得1t =或1t =-,综合①②,可知以MN 为直径的圆恒过 x 轴上的定点(1,0),(1,0)-.21、．（1）当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，函数()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增； （2）证明：()2xg x e ax a '=--，依题意，不妨设12x x <，则12122020x x e ax a e ax a ⎧--=⎨--=⎩，两式相减得，12122x x e e a x x -=-， 因为0a >，要证()212ln 4x x a +<，即证12ln 22x x a +<，即证1212212x xx xe e e x x +-<-， 两边同除以2x e ，即证()12122121x x x x x x e e --->-.令12t x x =-()0t <，即证210tt te e -+>，令2()1(0)t t h t te e t =-+<，则22()12t t t h t e e⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦'， 令2()12tt p t e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则21()12tp t e ⎛-'⎫= ⎪⎝⎭，当0t <时，()0p t '<，所以()p t 在(,0)-∞上递减， ∴()(0)0p t p >=∴()0h t '<，∴()h t 在(,0)-∞上递减， ∴()(0)0h t h >=，即1210t te e -+>，故()212ln 4x x a +<．22. (1)因为曲线C 的极坐标方程为224p =1sin θ+，即2224sin ρρθ＋＝，将222x y sin y ρρθ＝＋，＝代入上式并化简得22142x y +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22142x y +=，直线的普通方程为0x m -=(2)设P(2cos )θθ，由点到直线的距离公式得PQ ==0m ≠，当0m >时，min PQ =，得当0m <时，min PQ =，得m =--.所以m =m =-.23、(1)当1=-a 吋，函数()|21||3|=---f x x x ， 当12x时，()12(3)2=-+-=--f x x x x ， 不等式()10+>f x 化为210--+>x ，解得1<-x ； 当132<<x 时，()21(3)34=-+-=-f x x x x ， 不等式()10+>f x 化为3410-+>x ，解得1>x ，取13<<x ； 当3x 时，()21(3)2=---=+f x x x x ，不等式()10+>f x 化为210++>x ，解得3>-x ，取3x ； 综上所述，不等式()10+>f x 的解集为{|1<-x x 或1}>x ； （2）当0>a 吋，若2-ax ，则()2(3)3=--+-=---f x x a x x a ， 此时()()322=-=--min a a f x f ，则5()3322+->f x a a ，解得1>a ；若32-<<ax ，则()2(3)33=++-=+-f x x a x x a ，此时1()()322>-=--a f x f a ，则5()3322+>->f x a a ，解得1>a ；若3x ，则()2(3)3=+--=++f x x a x x a ，此时()=min f x f （3）6=+a ，则()3462++>f x a a 恒成立；综上所述，不等式()32+>f x a 对任意∈x R 恒成立时，a 的取值范围是1>a ．。
2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二年级下册学期第一次月考数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．设复数满足，则复平面内与对应的点位于（ ）z ()1i 3i z -=+z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据复数的除法法则可得，即可得到答案.12z i =+【详解】因为，所以，()1i 3i z -=+()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ++++====+--+所以复平面内与对应的点位于第一象限，z 故选：A2．一个频数分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，若样本中数据在上的频率为[)20,600.8，则估计样本在，内的数据个数共为[)40,50[)50,60A ．15B ．16C ．17D ．19【答案】A【解析】由题可先求样本在,内的频率,再根据总样本容量为30求解即可.[)40,50[)50,60【详解】由题易得在,内的频率为.故样本在,内的数据[)40,50[)50,60450.80.530+-=[)40,50[)50,60个数共为.300.515⨯=故选：A【点睛】本题主要考查了频率与频数的问题.属于基础题型.3．太阳能是一种可再生能源，光伏是太阳能光伏发电系统的简称，主要有分布式与集中式两种方式.下面的图表展示了近年来中国光伏市场的发展情况，则下列结论中不正确的是（ ）A ．2013～2020年，年光伏发电量与年份成正相关B ．2013～2020年，年光伏新增装机规模同比（与上年相比）增幅逐年递减C ．2013～2020年，年新增装机规模中，分布式的平均值小于集中式的平均值D ．2013～2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关【答案】B【分析】观察图中数据，逐一判断选项，可得结果.【详解】对于A ，由图知，2013～2020年，随着年份的增加，光伏发电量增加，年光伏发电量与年份成正相关，故A 正确；对于B ，由图知，2013～2020年，年光伏新增装机规模同比（与上年相比）增幅不是逐年递减，前几年先递增，再递减，故B 不正确；对于C ，由图知，每一年的新增装机规模中，集中式的值都比分布式的值大，所以分布式的平均值小于集中式的平均值，故C 正确；对于D ，由图知，2013～2020年，每年光伏发电量占全国发电总量的比重随年份逐年增加，所以每年光伏发电量占全国发电总量的比重与年份成正相关，故D 正确.故选：B4．加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 的蒙日圆的半径为（ ）22:154x y C +=A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆 的两条切线的交点22:154x y C +=2x y ==在圆上，所以，3R =故选：A5．据一组样本数据，求得经验回归方程为，且．现发()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅ 1.20.4y x =+3x =现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线()1.2,0.5()4.8,7.5的斜率为1.1，则（ ）l A ．去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快y B ．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点()3,5C ．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为1.10.7y x =+D ．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.1()2,2.7【答案】C【分析】根据直线的斜率大小判断A ；求出判断B ；再求出经验回归方程判断C ；计算残差判l y 断D 作答.【详解】对于A ，因为去除两个误差较大的样本点后，经验回归直线的斜率变小，则的估计值l y 增加速度变慢，A 错误；对于B ，由及得：，因为去除的两个样本点和，1.20.4y x =+3x =4y =()1.2,0.5()4.8,7.5并且，因此去除两个样本点后，样本的中心点仍为，1.2 4.80.57.53,422++==(3,4)因此重新求得的回归方程对应直线一定过点，B 错误；(3,4)对于C ，设去除后重新求得的经验回归直线的方程为，由选项B 知，，解l ˆ1.1y x a =+ˆ4 1.13a =⨯+得，ˆ0.7a=所以重新求得的回归方程为，C 正确；1.10.7y x =+对于D ，由选项C 知，，当时，，则，1.10.7y x =+2x = 1.120.72.9y =⨯+= 2.7 2.90.2-=-因此去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为，D 错误.()2,2.70.2-故选：C6．在一次数学测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比丙高，乙：我的成绩比丙高，丙：乙的成绩比我和甲的都高，成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）．A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙【答案】D【分析】由丙的成绩最低、最高进行推理可得，【详解】如果丙的成绩最低，则甲乙预测都正确，不合题意，若丙成绩最高，三人预测都错误，也不合题意，因此丙成绩是第二，只有D 可选，事实上，这时丙预测是错误的，甲正确，则乙错误．故选：D ．7．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（ ）A ．24种B ．48种C ．72种D ．96种【答案】C【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案.【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，12C 另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，22A 222A 33A 不同的排队方法有：种.12232223C (A 2A )A 72⋅+⋅=故选：C.8．名医生和名护士被分配到所学校为学生体检，每校分配名医生和名护士，不同的分配方36312法共有 A ．种B ．种C ．种D ．种90180270540【答案】D【详解】分两个步骤：先分配医生有种方法，再分配护士有，由分步计数原336A =422364233390C C C A A =理可得：，422336423333690540C C C A A A ⨯=⨯=应选答案：D ．【点睛】本题中旨在考查排列数组合数及两个计数原理的综合运用．解答本题的关键是先分步骤分别考虑医生、护士的分配，再运用分步计数原理进行计算．但在第二个步骤中的分配护士时，可能会因为忽视平均分配的问题而忘记除以而致错，解答这类平均分组时，应引起足够的注意．33A 9．如图，过抛物线的焦点为F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交其准线l 于点C ，()220y px p =>若，且，则（）23AF CF =10AF =AB =A ．B ．C ．18D ．259561007【答案】B【分析】作出辅助线，求出，由三角形相似得到，进而求出，得到抛物15CF =MF CFAD AC=6p =线方程，设，，直线，联立抛物线方程，得到两根之积，由焦半()11,A x y ()22,B x y ():3AB y k x =-径得到，进而求出，从而由焦点弦长公式求出答案.17x =297x =【详解】设准线l 与x 轴交于点M ，过A 作，垂足为D ，由抛物线定义知，AD l ⊥，由得，，10AD AF ==23AF CF =15CF =因为，所以，即，得，//MF AD MF CFAD AC=15101015p =+6p =所以抛物线方程为.212y x =设，，则，所以.()11,A x y ()22,B x y 113102pAF x x =+=+=17x =设直线，联立，得到，():3AB y k x =-212y x =()222261290k x k x k -++=则，21294p x x ==∴，297x =∴.1291007677AB x x p =++==++故选：B.10．若展开式中的常数项是60，则实数的值为（ ）6(1)2x x ⎛+- ⎝a A ．±3B ．±2C ．3D ．2【答案】B【解析】由的通项公式化简，结合分析得到常数项的公62x ⎛- ⎝616(1)2rrr r r x T C -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1x +式，即可求参数值【详解】由的通项公式为，结62x ⎛- ⎝63662166(1)(1)22rrrr r r r r r r x T C C a x ---+⎛⎫=-⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭合知：()1x +当为常数项时，有，即(舍去)1r x T +⋅3612r -=-143r =当为常数项时，有，即11r T +⋅3602r -=4r =又∵展开式的常数项为606(1)2x x ⎛+⋅- ⎝∴，解得()4464461C 260a -+-⨯⨯⨯=2a =±故选：B【点睛】本题考查了二项式定理，已知常数项的值，保证通项公式中x 的指数为0且所求的指数r 为自然数，即可求得参数值11．已知点 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线左支上的任意12F F 、22221(0,0)x y a b a b -=>>P 一点，若 的最小值为 ，则双曲线的离心率为 221||||PF PF 9a A ．2B ．5C ．3D ．2或5【答案】B【分析】首先利用双曲线的定义求出关系式，进一步利用的最小值为9a ，确定m ＝a 或221||PF PF 4a ，此时c ＝2a 或5a ，即可求出双曲线的离心率．【详解】设，根据双曲线定义：，()1PF m m c a =≥-22PF a m=+所以，()222212||44a m PF a m a PF m m +==++因为的最小值为 ，221||PF PF 9a 所以（提示：根据“对勾函数”的特征） （不合题意舍去）或 ，m a =4m a =此时，所以双曲线的离心率为5．5a 故选B【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c 的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c 的齐次式，转化为a,cce a =的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．12．已知实数，，，且 ）0a >0b >1a ≠ln b =A ．B ．C ．D ．log 1a b >a b<log 1a b <a b>【答案】A【分析】设函数，利用导数得出其单调区间，取()12ln f x x xx =--x =误，得出答案.【详解】令函数，则.()12ln f x x x x =--()222122110x x f x x x x -+'=+-=≥所以单调递增，由，可得在上恒成立，在上恒成立.()f x ()10f =()0f x <()0,1()0f x >()1,+∞取x =ln ln ln fa b a ===-当时，，即，；01<<0f<ln ln 0b a -<b a <时，，即，.故B ，D 不一定成立.1>0f>ln ln 0b a ->b a>又当时，，所以，由换底公式得；01<<ln ln 0b a <<ln 1ln ba >log 1ab >时，.所以，得. 所以选项A 正确1>ln ln 0b a >>ln 1ln ba >log 1ab >故选: A二、填空题13．某中学高一年级有学生700人，高二年级有学生600人，高三年级有学生500人，现在要用按比例分层随机抽样的方法从三个年级中抽取一部分人参加6×6方队表演，则高一年级被抽取的人数为______．【答案】14【分析】根据分层抽样的定义即可求解.【详解】高一年级被抽取的人数为．7003614700600500⨯=++故答案为：14.14．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表所示，若以上两组数据的方差中较小的一个为，则______.2s 2s =学号1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679【答案】25【解析】由题意可得甲班的数据波动较小，计算甲班方差即可得解.【详解】由数据表可得出乙班的数据波动性较大，则其方差较大，甲班的数据波动性较小，其方差较小.则甲班的方差为所求方差，其平均值为7，方差.()2121001055s =⨯++++=故答案为：.25【点睛】本题考查了方差的概念和计算，属于基础题.15．如图，在正方体中，E 是棱BC 的中点，G 是棱的中点，则异面直线GB ABCD A B C D -''''DD '与所成的角为______．B E '【答案】90【分析】直接建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得出向量的坐标，根据向量法即可求出两条异面直线所成角的余弦值.【详解】设正方体棱长为，建立空间直角坐标系如图所示，2则，，，，(0,0,1)G (2,2,0)B (1,2,0)E (2,2,2)B '则，，(2,2,1)GB =- (1,0,2)B E '=--则，()()2120120GB B E '=⨯-+⨯-⨯-=⋅所以，GB B E '⊥ 所以，所以直线与直线的夹角为．GB B E '⊥GB B E '90故答案为：．9016．已知正实数，满足，则的最大值为______．x y ln e ln x x y y =+()4x y x -+【答案】244e+【分析】把已知等式变形为，利用函数（）的单调性得的关系，ln e ln e xxyx x y =⋅()e xf x x =0x >,x y 这样把转化为的函数，再利用导数求得最大值．()4x y x -+x 【详解】由得，所以，，ln e ln xx y y =+ln e x x y y =ln e x x x x y y =ln e ln e xxy x x y =⋅因为，所以，0x >ln 0xy >设（），则，递增，()e xf x x =0x >()e (1)x f x x '=+0>()f x 所以由得，所以，ln e ln e xxy x x y =⋅ln x x y =e x x y =，22(4)(4)4e e x x x x x y x x x x x-+=-+=-+设，则，22()4e x xg x x x =-+22()24(2)(2)e e xx x x x g x x x -'=-+=-+所以时，，递增，时，，递减，02x <<()0g x '>()g x 2x >()0g x '<()g x所以．max 24()(2)4e g x g ==+故答案为：．244e +【点睛】本题考查了导数的单调性的应用，考查用导数求函数的最大值．解题关键是已知等式进行同构变形：，然后利用函数的单调性得出变量间的关系．考查了学生的逻辑思维能lne ln e xx yx x y =⋅力，属于较难题．三、解答题17．一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为找出该箱中的二等品，需要对该箱中的产品逐一取出进行测试．(1)求前两次取出的都是二等品的概率；(2)求第二次取出的是二等品的概率．【答案】(1)16(2)12【分析】（1）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有44A 种方法，然后利用古典概型的概率公式解之即可；2222A A ⨯（2）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，第二次取出的产品是二等品的共有种方法，44A 1323C A ⨯然后利用古典概型的概率公式解之即可；【详解】（1）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有44A 种方法，2222A A ⨯所以前两次取出的产品都是二等品的概率为；222244A A 1A 6⨯=（2）四件产品逐一取出排成一列共有种方法，第二次取出的产品是二等品的共有种方法，44A 1323C A ⨯所以第二次取出的产品是二等品的概率为；132344C A 1A 2⨯=18．为了满足同学们多元化的需求，某学校决定每周组织一次社团活动，活动内容丰富多彩，有书法、象棋、篮球、舞蹈、古风汉服走秀、古筝表演等.同学们可以根据自己的兴趣选择项目参加，为了了解学生对该活动的喜爱情况，学校采用给活动打分的方式（分数为整数，满分100分），在全校学生中随机选取1200名同学进行打分，发现所给数据均在内，现将这些数据分成6组[]40,100并绘制出如图3所示的样本频率分布直方图.(1)请将样本频率分布直方图补充完整，并求出样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点x 值作代表）；(2)从这1200名同学中随机抽取，经统计其中有男同学70人，其中40人打分在，女同110[]70,100学中20人打分在，根据所给数据，完成下面的列联表，并在犯错概率不超过0.100的[]70,10022⨯条件下，能否认为对该活动的喜爱程度与性别有关（分数在内认为喜欢该活动）？[]70,100喜欢不喜欢合计男同学女同学合计附：，.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)频率分布直方图见详解，；73.5x =(2)列联表见详解，没有把握在犯错概率不超过0.100的条件下认为喜爱程度与性别有关.【分析】(1)利用频率分布直方图的性质以及平均数的计算公式求解.(2)利用已知的数据以及公式计算求解.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【详解】（1）各组数据频率之和为1，故[60，70]组频率，10.050.150.30.250.10.15f =-----=所以纵坐标为.样本频率分步直方图如下图：0.150.01510=样本平均数.450.05550.15650.15750.3850.25950.173.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(2)喜欢不喜欢合计男同学403070女同学203050合计6060120，()221201200600 3.429 3.84170506060K ⨯-=≈<⨯⨯⨯故没有把握在犯错概率不超过0.100的条件下认为喜爱程度与性别有关.19．某新能源汽车公司从2018年到2022年汽车年销售量y （单位：万辆）的散点图如下：记年份代码为()1,2,3,4,5x x =(1)根据散点图判断，模型①与模型②，哪一个更适宜作为年销售量y 关于年份y a bx =+2y c dx =+代码x 的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果，建立y 关于x 的回归方程.参考数据：y521ii x=∑541ii x=∑51i ii x y=∑521i ii xy=∑34559796572805，()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑ˆˆay xb =-【答案】(1)2y c dx=+(2)26.5 2.5y x=+【分析】（1）根据散点图及一次函数与二次函数特点得出结论；（2）令，换元后转化为关于的线性回归方程，根据公式求出系数，得出回归直线方程，再2t x =t 换回即可．x 【详解】（1）由散点图可知：散点图与一次函数偏差较大，与二次函数较接近，故模型②更适合．2y c dx =+（2）由（1）可设回归方程为，2y c dx =+ 令，则回归方程.2t x =y c dt =+因为，，554121979i ii i t x====∑∑552112805i ii ii i y t xy ====∑∑，，55211111551i i i i t t x =====∑∑34y =，51221555i ii ii t y t yd tt==-⋅=-∑∑ 22805511349352.5979511374-⨯⨯===-⨯，34 2.511 6.5c y dt =-=-⨯= 故回归方程为，6.5 2.5y t =+即.26.5 2.5y x =+ 20．如图，四棱锥中中，底面是直角梯形，，，P ABCD -ABCD//AB CD 60DAB ∠=︒，侧面底面，且为等腰直角三角形，．2AB AD CD ==PAD ⊥ABCD PAD 90APD∠=︒（Ⅰ）求证：；AD PB ⊥（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．PAD PBC 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ【分析】（Ⅰ）取AD 的中点G ，连结、、，根据和是正三角形，证明PG GB BD PA PD =ABD △平面即可.AD ⊥PGB （Ⅱ）根据侧面底面，，易得直线、、两两互相垂直，以G 为PAD ⊥ABCD PG AD ⊥GA GB GP 原点，直线、、所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，求得平面GA GB GP G xyz -的一个法向量，再由平面的一个法向量，设平面PBC ()000,,n x y z =PAD 1,0)n GB ==与平面所成锐二面角为，由求解.PAD PBC θ11cos ||n n n n θ⋅=⋅【详解】（Ⅰ）如图所示：取AD 的中点G ，连结、、．PG GB BD ，PA PD = PG AD ∴⊥，且，AB AD = 60DAB ∠=︒是正三角形，，ABD ∴ BG AD ⊥又，PG BG G = 平面．AD ∴⊥PGB AD PB∴⊥（Ⅱ）∵侧面底面，PAD ⊥ABCD 又，底面．．PG AD ⊥ PG ∴⊥ABCD PG BG ∴⊥∴直线、、两两互相垂直，GA GB GP 故以G 为原点，直线、、所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立GA GB GP 如图所示的空间直角坐标系．G xyz-设，则可求得，，，，．PG a =(0,0,)P a (,0,0)Aa ,0)B (,0,0)D a-3,02C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．．3,,02BC a ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭,)PB a ∴=- 设是平面的一个法向量，()000,,n x y z =PBC 则且．0n BC ⋅= 0n PB ⋅=解得000030,20.ax az ⎧-=⎪∴-=000,.x y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩取．y =(n =-又∵平面的一个法向量，PAD 1,0)n GB ==设平面与平面所成锐二面角为，PAD PBC θ则cos θ=所以平面与平面PAD PBC 【点睛】方法点睛：求二面角最常用的方法：1、几何法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．向量法：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．21．已知椭圆：的一个顶点为，焦距为2222:1(0)x y E a b a b +=>>(0,1)A (1)求椭圆E 的方程；(2)过点作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点(2,1)P -M ，N ，当时，求k 的值．||2MN =【答案】(1)2214x y +=(2)4k =-【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；22212b c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩a （2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由()11,B x y ()22,C x y 直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；AB AC M x Nx N MMN x x =-【详解】（1）解：依题意可得，，1b =2c =222c a b =-所以，所以椭圆方程为；2a =2214x y +=（2）解：依题意过点的直线为，设、，不妨令()2,1P -()12y k x -=+()11,B x y ()22,C x y，1222x x -≤<≤由，消去整理得，()221214y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩y ()()22221416816160k x k k x k k +++++=所以，解得，()()()222216841416160k k k k k ∆=+-++>0k <所以，，212216814k kx x k ++=-+2122161614k k x x k +⋅=+直线的方程为，令，解得，AB 1111y y x x --=0y =111M x x y =-直线的方程为，令，解得，AC 2211y y x x --=0y =221N x x y =-所以212111N M x x MN x x y y =-=---()()2121121121x x k x k x =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212122x x k x k x =+-++()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++，()()12212222x x k x x -==++所以，()()122122xx k x x -=++()12124x x x+++⎤⎦221682414k k k ⎤⎛⎫+-+⎥ ⎪+⎝⎭⎦()()22221616216841414k k k k k k k ⎡⎤=+-+++⎣⎦+整理得，解得4k=4k =-22．已知函数．()()1ln f x x x ax a=+-+(1)若，试判断的单调性，并证明你的结论；2a =()f x (2)若恒成立．()1,0x f x >>①求的取值范围：a ②设，表示不超过的最大整数．求．（参考数据：11111232n a n n n n =+++++++ []x x []10n a ）ln 20.69≈【答案】(1)为上的增函数，证明见解析()f x ()0,∞+(2)①；②当或2时，；当时，(],2a ∈-∞1n =[]105n a =3n ≥[]106n a =【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得出函数的单调性；（2）①恒成立，只要即可，利用导数求出函数的最小值，从而可得出答()1,0x f x >>()min 0f x >案；②先利用作差法判断的单调性，然后结合①中的结论求出的范11111232n a n n n n =+++++++ n a 围，再根据的定义即可得解.[]x 【详解】（1），()()1ln 10f x x x x =+->'记，则，()1ln 1g x x x =+-()22111x g x x x x -'=-=所以，所以单调递减；()()0,1,0x g x '∈<()g x ，所以单调递增,()()1,,0x g x '∈+∞>()g x 所以，所以，即，且仅有，()min ()10g x g ==()0g x ≥()0f x '≥()10f '=所以为上的增函数；()f x ()0,∞+（2）①，()1ln 1f x x a x =++-'令，则，()1ln 1a h x x x =++-()21x h x x -'=则，所以单调递增,()()1,,0x h x '∈+∞>()h x 所以，即，()()1h x h >()()12f x f a''>=-①当时，，所以为递增函数，2a ≤()0f x ¢>()f x所以，满足题意；()()10f x f >=②当时，，2a >()()1120,e 10e a a f a f ='=-<+>'有唯一零点，且，()f x '0x ()01,e a x ∈则时，单调递减，()01,x x ∈()()0,f x f x '<所以，不合题意，舍去，()()010f x f <=综上，；(],2a ∈-∞②经计算：，()()1237370.5,0.5,0.6,0.6,0.71260a a a ==∈=∈因为，所以数列单调递增，1111110212212122n n a a n n n n n +-=+-=->+++++{}n a 所以，当或2时，，1n =0.50.6n a ≤<当时，，3n ≥30.6n a a ≥>当时，由①可知，此时，即，2a =()0f x >()21ln (1)1x x x x ->>+令，则，则有，()2111x x k -=+2121k x k +=-121ln 21k k k +<-令，1,2,,2k n n n =++ 则有，11123254141ln ln ln ln12221234121n n n n n n n n n n n +++++++<+++=++++-+ 因为，411ln ln 2ln20.72121n n n +⎛⎫=-<< ⎪++⎝⎭所以当时，，3n ≥0.60.7n a <<所以，当或2时，；当时，．1n =[]105n a =3n ≥[]106n a =【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
2021-2022学年高一上学期第一次月考(10月)数学试卷(含答案)
2021-2022学年高一上学期第一次月考（10月）数学试卷（时间120分钟，满分150分）题号一二三四五总分得分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x|x2-2x＞0}，B={-1，1，2，3}．则A∩B=（）A. {-1，1}B. {1，2}C. {1，3}D. {-1.3}2.已知命题p:∀x∈R,x>sin x,则p的否定形式为()A. ∃x∈R,x< sin xB. ∃x∈R,x≤sin xC. ∀x∈R,x≤sin xD. ∀x∈R,x< sin x3.使不等式成立的一个充分不必要条件是( )A. B.C. 或D.4.以下五个写法中：①{0}∈{0，1，2}；②∅⊆{1，2}；③{0，1，2}={2，0，1}；④0∈∅；⑤A∩∅=A，正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.若a＞b＞0，c＜d＜0，则下列结论正确的是（）A. ac＞bdB. ad＞bcC. ac＜bdD. ad＜bc6.已知集合M满足{1,2}M{1,2,3,4,5},那么集合M的个数为( )A. 个B. 个C. 个D. 个7.若{a2，0，-1}={a，b，0}，则a2019+b2019的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 28.已知,,若p是q的必要不充分条件,则m的取值范围为( )A. B.C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列判断错误的是( )A. 若,,则B. {菱形}{矩形}={正方形}C. 方程组的解集为D. 如果,那么10.下列各不等式,其中不正确的是( )A.B.C.D.11.在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题．我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card（A）表示有限集合A中元素的个数．已知有限集A⊆R，设集合M={xy|x∈A，y∈A，x≠y}，N={x-y|x∈A，y∈A，x＞y}，则下列说法正确的是（）A. 若card（A）=4，则card（M）+card（N）可能是10B. 若card（A）=4，则card（M）+card（N）不可能是12C. 若card（A）=5，则card（M）+card（N）可能是20D. 若card（A）=5，则card（M）+card（N）不可能是912.已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A. a2+b2≥B. 2a﹣b＞C. log2a+log2b≥﹣2D.三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.给出下列结论：①2ab是a2+b2的最小值；②设a＞0，b＞0，2的最大值是a+b；③+的最小值是2；④若x＞0，则cos x+≥2=2；⑤若a＞b＞0，＞＞．其中正确结论的编号是______ ．（写出所有正确的编号）14.设集合A={x|1< x<4}, B={x|2x5},则A(B) .15.将集合M={1，2，…12}的元素分成不相交的三个子集：M=A∪B∪C，其中A={a1，a2，a3，a4}B={b1，b2，b3，b4}C={c1，c2，c3，c4}，c1＜c2＜c3＜c4，且a k+b k=c k，k=1，2，3，4，则集合C为：______ ．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知a,b都是正数,且ab+a+b=3,则ab的最大值是 ,的最小值是 .五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,请写出它们的否定,并判断其真假:(1)对任意x R,+x+20都成立;(2)x R,使.18.记函数f（x）=+log2（x+1）的定义域M，函数g（x）=2x的值域为N，求：（1）M，N．（2）M∩N，M∪N，∁R M．19.已知函数f（x）=（x＞0）的值域为集合A，（1）若全集U=R，求C U A；（2）对任意x∈（0，]，不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的范围；（3）设P是函数f（x）的图象上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A、B，求•的值．20.(1)已知x>0,y>0,x+2y=8,求xy的最大值:(2)已知常数a>0,b>0和变量x>0,y>0满足a+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求的值.21.用作差法比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小．22.(1)已知命题:“对于任意x R,f(x)=+2ax+1的值都不小于0”是假命题,求实数a的取值范围;(2)若命题“x R，+ax-4a0”为真命题,求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|x＜0，或x＞2}；∴A∩B={-1，3}．故选：D．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】B【解析】命题中“”与“”相对,则p:x∈R,x≤sin x.3.【答案】A【解析】【分析】本题考查充分不必要条件，属于基础题.先求出的解集，考虑该解集与各选项中的集合的包含关系后可得不等式成立的充分不必要条件.【解答】解：因为1+>0>0x(x+1)>0,所以x>0或x<-1,需要是不等式1+>0成立的一个充分不必要条件则需要满足是(-,-1)(0,+)的真子集的只有A,故选项为：A.4.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是元素与集合关系，空集的性质及集合相等的概念，熟练掌握集合的基本概念及性质是解答本题的关键．根据“∈”用于表示集合与元素的关系，可判断①的真假；根据空集的性质，可判断②④⑤的正误；根据合元素的无序性，可判断③的对错，进而得到答案．【解答】解：“∈”用于表示集合与元素的关系，故：①{0}∈{0，1，2}错误；空集是任一集合的子集，故②∅⊆{1，2}正确；根据集合元素的无序性，可得③{0，1，2}={2，0，1}正确；空集不包含任何元素，故④0∈∅错误；空集与任一集合的交集均为空集，故⑤A∩∅=A错误故选B5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，属于基础题．根据不等式的基本性质即可得出．【解答】解：∵a＞b＞0，c＜d＜0，∴ac＜bc，bc＜bd，∴ac＜bd，故选C．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的关系，属于基础题.由题可得集合M为集合{3,4,5}的真子集和集合{1,2}的并集, 由此可得答案.【解答】解：由题可得集合M为集合{3,4,5}的真子集和集合{1,2}的并集,因为{3,4,5}的真子集有-1=7个,所以集合M的个数为7个.故选:C.7.【答案】B【解析】解：由{a2，0，-1}={a，b，0}，得①或②解①，得a=0（舍去）或1，b=-1，解②，得a=-1，b=1，所以a=-1，b=1或a=1，b=-1．所以a2019+b2019=（-1）2019+12109=0或a2019+b2019=12109+（-1）2019=0．故选：B．由集合相等的概念求出a，b的值，然后代入要计算的式子求值．本题考查了集合相等的概念，考查了集合中元素的互异性，是基础题，也是易错题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查充分必要条件，属于基础题.先求出命题p和命题q对应的集合，再利用集合包含关系求出m的取值范围即可.【解答】解：由4x-m<0,得,所以,由,得,所以,若p是q的必要不充分条件,所以[-1,2]是的真子集,所以,解得m>8.故选项为：B.9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查不等式的性质、集合的运算，属基础题.根据不等式的性质判断AD，由集合的运算和表示法判断BC.【解答】解：对A,若a>b,c>d,如a=1,b=-1,c=1,d=-1,则ac=bd,故A错误;对B,因为既是菱形又是矩形的图形是正方形,故B正确;对C,方程组的解集为{(2,1)},故C错误;对D,若a< b<0,则,则,故D正确.所以错误的选项为AC.10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，求解时注意基本不等式成立的条件，考查分类讨论思想的应用，属于中档题．对于A：验证当a=1时即可判断；对于B：利用基本不等式进行计算即可;对于C：当a<0,b<0时,<0，即可判断；对于D：当x=0时,+=1，即可判断.【解答】解：对A项,当a=1时,+1=2a,则A错误;对B项,当x>0时,|x+|=x+2=2,当且仅当x=1时,等号成立，当x<0时,|x+|=-x+2=2,当且仅当x=-1时,等号成立, 则B正确;对C项,当a<0,b<0时,<0,则C错误;对D项,当x=0时,+=1,则D错误;故选:ACD11.【答案】AC【解析】解：由题意可知，若不出现重复元素，则当card（A）=4时，card（M）+card （N）=12，而当card（A）=5时，card（M）+card（N）=20，故B错误，C正确；若A={1，2，3，5}，则M={2，3，5，6，10，15}，N={1，2，3，4}，此时card（M）+card（N）=10，故A正确；若A={-2，-1，0，1，2}，则M={-4，-2，-1，0，2}，N={1，2，3，4}，此时card（M）+card（N）=9，故D错误；故选：AC．根据新定义对应各个选项逐个判断即可．本题考查了新定义的应用以及集合元素的性质，考查了学生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属于基础题．12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2=a2+b2+2ab ≤2a2+2b2，则，当且仅当a=b=时，等号成立，故A正确．②由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，则a＞0＞b-1，即a-b＞-1，则，故B正确．③，当且仅当a=b=时，等号成立，故C错误．④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，，故，当且仅当时，等号成立，故D正确．故选：ABD．13.【答案】⑤【解析】解：①中当a=b时才有最小值2ab，故错误；②中当a=b时才有最大值，故错误；③中=时，x无解，故最小值是不是2，故错误；④中需cos x为正值时成立，故错误；⑤根据均值不等式可得不等式成立，故正确．故答案为⑤．根据均值定理等号成立的条件可判断①②③，根据均值定理要求为正值可判断④，根据均值定理可证明⑤．考查了均值定理的应用和均值定理成立的条件，属于基础题型，应熟练掌握．14.【答案】{x|1< x<2}.【解析】【分析】本题考查集合的运算，属于基础题.直接根据补集和交集的运算律运算即可.【解答】解：A={x|1< x<4}, B={x|2x5},B={x|x<2或x>5}, A(B)={x|1< x<2}.故答案为:{x|1< x<2}.15.【答案】{8，9，10，12}，{7，9，11，12}，{6，10，11，12}【解析】解：由，得，所以，先不考虑搭配情况，设c1＜c2＜c3＜c4，则c4=12，c1+c2+c3=27，故3c3＞27，10≤c3≤11，且c2≤9；若c3=10，则c1+c2=17，c2≥9，所以c2=9，c1=8；于是C={8，9，10，12}；若c3=11，则c1+c2=16，c2≤10，得c2＞8，故c2只能取9或10，c1只能取7与6；分别得C={7，9，11，12}，C={6，10，11，12}；另一方面，三种情况都对应有相应的子集A和B，例如以下的表：因此子集C的三种情况都合条件．故答案为：：{8，9，10，12}，{7，9，11，12}，{6，10，11，12}．由，得，所以，由此入手能够求出集合C．本题考查集合的交、并、补的混合运算，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．16.【答案】14-3【解析】【分析】本题考查了基本不等式，由3=ab+a+b ab+2,所以ab+2-30可得ab的最大值，再由b=代入式子，结合基本不等式可得答案【解答】解：因为3=ab+a+b ab+2,所以ab+2-30,解得01,当且仅当a=b=1时取等号,所以ab的最大值是1 .因为ab+a+b=3,所以b=,结合,得到.所以a+2b=a+2=a+2(-1+)=a+1+-34-3,当且仅当a+1=,即时取等号，则a+2b的最小值是4-3 .故答案为1；4-3.17.【答案】解：（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因此，该命题是全称量词命题．又因为“任意的”的否定为“存在一个”，所以其否定是：存在一个x∈R，使x2+x+2=0成立，即“∃x∈R，使x2+x+2=0．”因为△=-7＜0，所以方程x2+x+2=0无实数解，此命题为假命题．（2）由于“：∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因此，该命题是存在量词命题．又因为“存在一个”的否定为“任意一个”，所以其否定是：对任意一个实数x，都有x2+3x+20成立．即“∀x∈R，有x2+3x+20”．因为△=1>0，所以对∀：x∈R，x2+3x+20总成立错误，此命题是假命题．【解析】本题考查命题的判断，全称量词命题和存在量词命题的否定，命题真假的判定，主要考查学生对基础知识的理解能力，属于基础题．(1)全称量词命题否定是存在量词命题，然后由一元二次方程根的判别式判断真假.(2)存在量词命题否定是全称量词命题，然后利用一元二次不等式恒成立的条件判断真假.18.【答案】解：（1）解得，-1＜x≤3，∴M=（-1，3]，且N=（0，+∞）；（2）M∩N=（0，3]，M∪N=（-1，+∞），∁R M=（-∞，-1]∪（3，+∞）．【解析】（1）容易得出f（x）的定义域M=（-1，3]，g（x）的值域N=（0，+∞）；（2）进行交集、并集和补集的运算即可．本题考查了函数定义域和值域的定义及求法，对数函数的定义域，指数函数的值域，交集、并集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．19.【答案】解：（1）由已知得，x＞0，则f（x）=x+≥2…（1分）当且仅当x=时，即x=等号成立，∴A=[2，+∞）…（3分）所以，C U A=（-∞，2）…（4分）（2）由题得a≥-（x+）…（5分）函数y=-（x+）在（0，]的最大值为-…（9分）∴a≥-…（10分）（3）设P（x0，x0+），则直线PA的方程为y-（x0+）=-（x-x0），即y=-x+2x0+…（11分）由得A（x0+，2x0+）…（13分）又B（0，x0+），…（14分）所以=（，-），=（-x0，0），故=（-x0）=-1 …（16分）【解析】（1）根据二阶矩阵运算的法则化得f（x）的解析式，再利用基本不等式得集合A，由补集的含义即可写出答案；（2）由题得a≥-（x+），只须求出a大于等于函数y=-（x+）在（0，]的最大值，再利用函数的单调性得出函数y=-（x+）在（0，]的最大值，即可实数a的范围；（3）先设P（x0，x0+），写出直线PA的方程，再与直线y=x的方程联立，得A点的坐标，最后利用向量数量积的坐标运算计算即得答案．本题考查二阶矩阵、补集的含义、平面向量数量积的运算等，考查运算能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)因为x>0,y>0,x+2y=8,所以xy=x2y=8,当且仅当x=2y=4时,等号成立,所以xy的最大值是8.(2)因为a>0,b>0和变量x>0,y>0满足a+b=10,+=1,所以,当且仅当=时,等号成立,又因为x+y的最小值为18, 所以a+b+2=18,因为a+b=10, 解得ab=16,∴ a=2,b=8或a=8,b=2.【解析】本题主要考查基本不等式求最值，属于中档题.（1）通过基本不等式中的和为定值积有最大值，进行配凑进行求解即可；（2）根据基本不等式中1的代换，先求出最值，然后根据通过两方程联立进行求解即可21.【答案】解：∵2x2+5x+3-（x2+4x+2）=x2+x+1=（x+）2+＞0，∴2x2+5x+3＞x2+4x+2.【解析】本题采用作差法比较大小，解题的关键是正确配方．作差，再进行配方，与0比较，即可得到结论．22.【答案】（1）解：命题:“对于任意x R，f(x)=+2ax+1的值都不小于0”是假命题等价于命题:“存在x R，使f(x)=+2ax+1的值小于0”是真命题，所以=-4>0，解得a<-1或a>1；（2）解：因为命题“x R，+ax-4a0”为真命题，所以=-4(-4a)0，解得：-16a0.【解析】本题以命题的真假判断为载体考查二次不等式恒成立问题，属于中档题. （1）命题:“对于任意x R，f(x)=+2ax+1的值都不小于0”是假命题等价于命题:“存在x R，使f(x)=+2ax+1的值小于0”是真命题，结合二次函数的图象和性质，可求出实数a的取值范围．（2）将条件转化为+ax-4a0恒成立，必须0，从而解出实数a的取值范围.。
2019-2020学年内蒙古赤峰二中高二上学期第一次月考数学(理)试题 word版
赤峰二中2019-2020学年高二年级上学期数学第一次月考试题（理）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.)1．命题“若3a >，则6a >”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．02．已知命题{}2:|560p A x x x =-+<，命题{}:|lg(2),q B x y x a a R ==-∈.若命题q 是p 的必要不充分条件，则a 的取值范围是（ ）A ．2a <B ．2a ≤C ．4a <D ．4a ≤3．方程（3x -y +1）（y -21x -）=0表示的曲线为（ ）A ．一条线段和半个圆B ．一条线段和一个圆C ．一条线段和半个椭圆D ．两条线段4．若双曲线的离心率大于2，则该双曲线的虚轴长的取值范围是（ ）A. B. C. D.5．平行四边形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D 在直线3x －y ＋1 ＝0上移动，则顶点B 的轨迹方程为( )A ．3x －y －20＝0B ．3x －y －10＝0C ．3x －y －12＝0D ．3x －y －9＝06．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于,A B 两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．22C ．14D ．327．已知双曲线,四点，中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（ ） A ．25 B ．25 C ．27 D ．27 8．已知点P 为双曲线:C 22221(00)x y a b a b－，=>>右支上一点，12,F F 分别为左右焦点，若双曲线C 的离心率为3，12PF F ∆的内切圆圆心为I ，半径为2，若1223PF I PF I S S ∆∆=+，则b 的值是（ ）A ．2 B ．2 C ．6 D ．69．已知，椭圆1C 的方程为12222=+b y a x ，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积为，则2C 的渐近线方程为（ ） A ．02=±y x B ．02=±y x C ．02=±y x D ． 02=±y x10．已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，若椭圆上存在异于，两点的点使得，则离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D.11．如图，点在以为焦点的双曲线上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．12．设椭圆22214x y m +=与双曲线22214x y a -=在第一象限的交点为12,,T F F 为其共同的左右的焦点，且14TF <，若椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则2212e e +的取值范围为A ．262,9⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．527,9⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．261,9⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．50,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设12,F F 分别是椭圆22194x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是1F P 的中点，1OM =，则P 点到椭圆左焦点的距离为_____．14．设、分别是双曲线的左、右焦点，若点在此双曲线上，且，则__________．15．函数 )0(2)(>+=a ax x g ,x x x f 2)(2-= ，对[]2,11-∈∀x ，[]2,10-∈∃x ，使成立，则 的取值范围是__________．16．已知椭圆G ： 2221(06)6x y b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+. 当b 变化时，给出下列三个命题： ①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个；③OP的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是_____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
内蒙古赤峰二中2019-2020学年高一下学期第一次月考(文)数学试题(含答案)
内蒙古赤峰二中2019-2020学年高一下学期第一次月考（文）（考试时间120分钟 满分150分）一、选择题(每小题5分,共12小题60分) 1、等差数列中,,则( ) A.B.C.D.2、若,则下列不等式成立的是( ) A. B.C.D.3、在中,角,,所对的边分别为,,,且,则最大角为( ) A.B.C.D.4.设x>0,y>0,且x+y=18,则xy 的最大值为 ( ) A.80 B.77 C .81 D .82 5、设是公差不为零的等差数列的前项和,且,若,则当最大时,( ) A.B.C.D.6．已知平面向量(2,3)a =-r ，(,6)b x =r ，且//a b r r，则||a b +r r ＝A ．5B ．13C ．5D ．137、等差数列和的前项和分别为与,对一切自然数都有,则( )A. B. C. D.8.数列{}n a 的通项1(1)n a n n =+，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(1)0n x y n +++=在y 轴上的截距为（ ）A ．-10B ．-9C ．10D ．99．在ABC ∆中，5,15,30,a b A c ===o 则等于（ ） A ．25 B ．5 C ．25或5D ．以上都不对 10、设是数列的前项和,且,,则( )A. B. C. D.11、已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A.B.C. D. 12、如图在平行四边形中,已知,,,,则( )A. B. C. D.二、填空题(每小题5分,共4小题20分) 13、已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且过定点，则直线的方程为__________. 14、在中,角、、的对边分别为、、,已知的面积为,,,则__________.15、 若直线：经过点，则直线在轴和轴上的截距之和的最小值是__________. 16、已知数列满足，，则__________.三、解答题(17题10分，18，19，20，21，22题12分,共6小题70分) 17、已知的三个顶点坐标分别为,,.(1)求上的中线所在直线的一般式方程; (2)求上的高所在直线的一般式方程.18、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足22n n nS +=,*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()21n nan n b a =+-，*n N ∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .19、已知是递增的等比数列,,且,,成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,,求数列的前项和.20、已知等差数列的前项和为,.(1)求等差数列的通项公式;(2)求.21.在锐角ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且sin 3a A =． （1）确定角C 的大小．（2）若7c =ABC V 3322a b +的值．22、在中,角,,所对的边分别为,,,且.(1)求边长;(2)若,求的面积.参考答案1.B2.D3.C4.C5.B6.B7.A8.B9.C 10.C 11.D 12.C第13题答案第14题答案第15题答案第16题答案第17题(1)∵,,∴的中点为,∴边上的中线的斜率为,∴边上的中线的一般式方程为.(2)∵,,∴,故上的高所在直线斜率为,由点斜式得,∴边上的高所在直线的一般式方程为.第18题（1）当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S n --+-+=-=-=， 综上n a n =.（2）由（1）知()21nn n b n =+-()()122222212342nn T n =++⋅⋅⋅++-+-+-⋅⋅⋅+()221212n n -=+-2122n n +=+-第19题(1) 由题可知,从而有,.(2) 由(1)知,,从而.第20题答案 (1)∵,,,∴, 当时,,当时,满足上式,∴.(2)由(1)可得,∴①,∴②,①②,得,∴().第21题答案 （1）sin sin 3a c A C ==，∴3sin C =，∵090C <∠=︒，∴60C ∠=︒． （2）13sin 322ABC S ab C ==V ，6ab =，2221cos 22a b c C ab +-==，∴2213a b +=． 第22题答案(1)由正弦定理及已知得, ,,所以,所以,,,因为,所以.(2)由(1)得,,,且,∴由正弦定理得, ∴,,又因为,所以,,所以,.。