正则表达式和有限自动机

第二部分正规语言和有限自动机语言往往是无限集，但描述的方法往往是有限的，一种方法是描述如何通过字符串操作由简单的字符串产生整个语言，或者描述如何通过集合操作由简单语言产生复杂语言。

另一种方法是描述识别字符串是否属于某个语言的机制，也就是描述一个算法过程。

本书考察的最简单的语言类是正规语言，正规语言能够通过应用有限次的某个标准操作从一元语言产生。

正规语言能够被有限自动机识别，有限自动机是空间严格受限的简单机器。

在第二部分，我们还考察正规语言的另外一些特点：1）导出将一种语言的描述翻译成另一种语言的描述的算法；2）使用形式化方法描述语言；3）正规语言在实际中的应用。

3 正则表达式和有限自动机3.1 正则语言和正则表达式注意：regular language和regular expression有时也翻译成正规语言和正规表达式。

正则语言可以从非常简单的表达式得到，初始语言的字符串为空或单字母，仅使用合并、连接和K leene连接运算，因此正则语言可用一个清楚的表达式描述，通常用小括号()代替大括号{}，+代替⋃，称为正则表达式。

下面是一些定义在字母表{0, 1}上的正则表达式，通过这些例子，能够感受到书写正则表达式的一些规律。

语言相应的正则表达式{Λ} Λ{0} 0{001}或{0}{0}{1} 001{0, 1}或{0}⋃{1} 0+1{0, 10}或{0}⋃{10} 0+10{1, Λ}{001} (1+Λ)001{110}*{0, 1} (110)*(0+1){1}*{10} 1*10{10, 111, 11010}* (10+111+11010)*{0, 10}*({11}*⋃{001, Λ}) (0+10)*((11)*+001+Λ)我们认为正则表达式表示的是相应语言的“最典型的字符串”，比如，1*10表示一个字符串，它以10结束，前面可以有任意多个数目的1。

我们在前面将正则语言描述成：在最简单的语言上仅仅使用三种运算合并、连接、Kleene 连接所得到的语言。

这种描述预示了正则语言的递归定义（参见2.4节）。

下面递归定义不仅定义了语言，而且定义了正则表达式。

定义3.1 字母表∑上正则语言类R，及其相应的正则表达式定义如下：1.空集φ（即空语言）是正则语言，表达式是φ。

2.{Λ}仅有空串的语言是正则语言，表达式是Λ。

3.每个a∈∑，{a}是正则语言，表达式是a。

4.如果L1和L2是正则语言，表达式是r1和r2，则(a)L1⋃L2是正则语言，表达式是r1+r2。

(b)L1L2是正则语言，表达式是r1r2。

(c)L1*是正则语言，表达式是r1*。

只有应用上面4条规则产生的语言才是字母表∑上的正则语言。

对上面的解释做些解释。

为了保持一致性和连贯性，空语言被认为是正则语言。

后面许多地方将提到这样的说法：对于每个…，都对应一个正则语言。

如果空语言不属于正则语言，那么每个这样的说法还需要排除空语言这种特殊情况，带来不简洁的说法。

为了书写简洁，省去大量的括号，我们规定正则表达式中运算符的优先级次序是K leene*、连接、合并。

同时我们借用一些代数表达式的符号，如指数幂等。

原表达式简洁表达式(rr) r2(a+((b*)c)) a+b*c((r*)r) r+同样借助代数学的记号，两个表示不同语言的正则表达式可以使用符号≠，比如：(a + b)* ≠ a + b*我们还可以借用符号=来化简正则表达式，如正则表达式的化简1*(1+Λ) = 1*1*1* = 1*0* + 1* = 1* + 0*(0*1*)* = (0+1)*(0+1)*01(0+1)*+1*0*=(0+1)*其中一些化简用到的规则可以从集合运算规则得到，但另有一些是字符串运算特有的，目前我们还没有发现这种化简的系统的方法（或形式化方法），但上面的例子预示了化简的巨大作用。

比如最后一行的例子，两个看似很复杂的语言，它们的并集却很简单。

问题：存不存在化简正则表达式的形式化方法（既是否存在化简正则表达式的通用算法）？是否存在最简洁的正则表达式？朱洪来信：我的印象中，它是NP-完全的问题。

Please look at Garey and Johnson's book: computer and intractibility.例子3.1 语言L⊆{0, 1}*，由所有长度为偶数的字符串组成，（由于0是偶数，因此空串Λ属于L），问：L是否是正则语言？如果是，L对应的正则表达式是什么？解答：任何一个偶数长度的字符串都由多个（或0个）长度为2的字符串连接而成，而字母表{0, 1}上的长度为2的字符串只可能是4个：00、01、10、11，因此L可定义如下：L={00, 01, 10, 11}*它的正则表达式是：(00+01+10+11)*或((0+1)(0+1))*。

例子3.2 L是定义在字母表{0, 1}上的包含奇数个1的字符串组成的语言，问L的正则表达式是什么？解答：显然L中的字符串至少有一个1，因此一定有这样的前缀0i10j，其后则有偶数个（或0个）1，因此可分解成多组10m10n的形式。

由此得到L的正则表达式：包含奇数个1的字符串组成的语言错误的表达式有：(10*10*)*10*例子3.3 L是字母表{0, 1}上所有长度小于等于6的字符串组成的语言，问L的正则表达式？解答：由于L中的元素是有限的，最简单的方法是枚举法：Λ+0+1+00+01+…+111110+111111而表示长度为n的字符串组成的语言的表达式是：(0+1)(0+1)…(0+1)=(0+1)n因此一些简洁的表达式如下：所有长度小于等于6的字符串组成的语言Λ+(0+1)+(0+1)(0+1)+…+(0+1)(0+1)(0+1) (0+1)(0+1)(0+1)Λ+(0+1)+(0+1)2+…+(0+1)6(Λ+0+1)6例子3.4 L={x以1结束且不包含子串00 | x∈{0, 1}*}，问L的正则表达式？解答：字符串不包含00，则说明其中的每个0不能后接0，而且0不能是串尾字母，因此每个0后面必定是1，既符合条件的字符串包含大量的01片断，其间是许多1，因此初步得到的表达式是：(1+01)*但空串不符合条件，修正得到：(1+01)*(1+01)=(1+01)+注意：(1+01)*1不对，漏掉了01情况。

例子3.5 C语言的标志符的组成的语言的正则表达式。

解答：C语言的标志符由3种符号组成：英文字母、数字和下划线。

而且第一个字符只能是字母或下划线。

因此：(a+b+…+z+A+B+…+Z+_)( a+b+…+z+A+B+…+Z+0+1+…+9+_)*我们令l是表示字母的集合，d是表示数字的集合，即：l = a+b+…+z+A+B+…+Zd = 0+1+…+9则上式的简洁表达式是：(l+_)(l+d+_)*例子3.6 （暂空）3.2 识别语言所需要的空间语言的识别（或字符串的识别，recognize）问题是一个成员资格判定问题，即判定一个任意给定的字符串是否属于某个语言。

为了以后讨论问题的方便，给出一些约定。

首先限制成从左至右的一次扫描（这简化了整个识别过程中应该记住的信息总量的讨论，也利于根据每步记住的信息量多少对语言分类），其次判别对象是一个特定的字符串。

除了扫描完成后，给出最后的判别（是或否），在每一步也给出假设判别，当前的假设判别反映了已扫描的前缀的情况。

最后的判别可以看成最后的、最新的假设判别。

先看看人是怎么完成识别任务，然后设计自动机完成这项任务。

问题是，为了给出假设判别，我们应该记住多少前缀信息。

这里有两种极端的情况：1）记住所有的前缀2）什么也不记忆。

在某些情况下，我们确实可以什么也不记，如判别语言φ和∑*，前者我们忽略每步输入，一律回答“否”；后者则一律回答“是”。

但多数情况下，我们必须记住一些信息，应该记住的不是字符串本身，而是字符串表达的判别信息。

称为有限自动机的原因是所需的空间是有限的。

比如分别输入两个字符串x和y，得到不同的答案。

这说明我们一定记住了一些不同的信息当分别输入x和y时，否则我们无法区别这两个字符串，因此通常情况下，为了识别某个语言，我们必须记住一些信息，而记住这些信息则需要一定的空间。

例子3.7 语言L定义在字母表{0, 1}上，由以10结尾的字符串组成。

分析：显然判定（decision）一个字符串是否属于语言L，只需要考察该字符串的最后两个字符，因此在字符串输入识别过程中，只需要记住当前最后的两个字符，而之前的所有字符可以忽略。

字母表{0, 1}上的两个字符组成的字符串只有4种，因此本例所需空间为4个单位，当然后面会看到还可进一步减少记住的信息，从而节省空间。

例子3.8语言L定义在字母表{0, 1}上，由包含偶数个0和奇数个1的字符串组成。

分析：显然，整个输入过程中，不需要记住输入的字符串的具体内容，一种方法是记住当前输入的0和1的个数，更简单的方法是记住当前输入的0和1的个数的奇偶性，而这只有4种可能，因此本例的判定过程所需空间是4个单位。

（参见图3-1，77页）例子3.9 语言L={x以1结束且不包含子串00 | x∈{0, 1}*}（参见例子3.4）分析：假设在当前输入的字符串中发现了00子串，则我们只需要记住这个事实，不管前面已经读过和后面将输入的字符串是什么，能够肯定该字符串不属于L，不妨将这种情况记为N。

再考虑另两种情况，情况0是最后一个字符是0，情况1是最后一个字符是1。

出现情况0时，如果又看到一个0，则转到情况N，而情况0和情况1时看到1都转到情况1，情况1时看到0转到情况0。

这三种情况能够判定所有非空的字符串了，为了判定空字符串，还需要增加一个特殊的情况。

显然所有的情况都专注于记住最后一个字符，和是否出现或有可能出现00子串。

本例需要的空间是4个单位，参见图3-1。

将例子3.8和3.9的讨论用一个图（图3-1）来总结，它像一个流程图，或展示了我们上面判定过程的算法。

图中每个圆表示一种情况，是我们需要记住的关键信息，因此圆的多少表示了记住信息的多少，也表示了判定过程中需要的总的空间的多少。

每个图中有一个起始的圆（由一个没有源的箭头指示），输入的字符串从起始圆开始，沿着箭头流动（转移）到下一个圆，每一次流动消耗一个字符，当字符消耗完（即读完所有字符），所停在的圆揭示了输入字符串与图表示的语言的关系，如果圆是双圈，则说明该字符串被接受，或属于这个语言，否则不属于这个语言。

有了这样的图后，任何人或机器不用理解图中每个节点的具体含义，只要按照上面描述的机械的步骤动作，就能完成字符串的判定工作，因此刻画了一种“抽象机”，我们不关心这种机器的实现细节，比如它的驱动动力来自什么，它表示接受的具体信号是什么？我们关心的是它所揭示的一种形式化的过程（或算法），我们称它为自动机。