2.3.1_shang_离散型随机变量的均值精品文档27页
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离散型随机变量的均值PPT课件(人教版)
问题提出
某商场将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的三种糖果 按3︰2︰1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
把3种糖果的价格看成随机变量X的概率散布列：
X
18
24
36
3
2
1
P
6
6
6
思考：每1kg混合糖果的合理定价与这个散布列有什么关系？
合理定价＝随机变量的每个取值×其对应的概率
已知离散型随机变量X的散布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
思考：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．
（1） Y的散布列是什么？ （2） EY= aEX b
Y ax1+b ax2+b … axi+b … axn+b
P
p1
p2
…
pi
…
pn
例题选讲
【例1】已知离散型随机变量 ξ的散布列为：
ξ
0
P
1/4
1/2
1/4
求η1=3ξ+2与 η2=ξ2 的散布列和期望。
期望的运算只能用于线性关系的情况
例题选讲
【例2】篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0 分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分 X的均值是多少？
基本结论
1、若随机变量X服从两点散布，则 EX=p 2、若X～B(n，p)，则 EX＝np
概念生成
一般地，若离散型随机变量X的散布列为
X
x1
x2
…
xi
…
离散型随机变量的均值教案-PPT精品
件一等品的结果数为
C
k 3
C
3－k 7
，
其
中
k＝
0,1,2,3.
∴P(X＝k)＝Ck3CC31370－k，k＝0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列是
X0 1 2 3
P
7 24
21 40
7 40
1 120
∴
E(X)
＝
0×
7 24
＋
1×
21 40
＋
2×
7 40
＋
3×1120＝190.
【题后小结】 随机变量的均值是一个常数 ，它不依赖于样本的抽取，只要找清随机变 量及相应的概率即可计算．
2．3 离散型随机变量的均值与方差
2．3.1 离散型随机变量的均值
学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念， 能计算简单离散型随机变量的均值． 2．理解离散型随机变量均值的性质． 3．掌握两点分布、二项分布的均值． 4．会利用离散型随机变量的均值，反映离散 型随机变量取值水平，解决一些相关的实际 问题．
＋
(
－
3)×15＋(－1)×16＋1×210＝－6125.
【思维总结】 (1)该类题目属于已知离散型 分布列求期望，求解方法直接套用公式， E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求解． (2)对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的 性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以 先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解 ，比较两种方法显然前者较简便．
(2)法一：由公式 E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得 E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3 ＝2×(－1370)－3＝－6125. 法二：由于 Y＝2X－3，所以 Y 的分布列如
1离散型随机变量的均值
2．3．1离散型随机变量的均值教学目标知识与技能：了解离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．过程与方法：理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若),(~p n B ξ，则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重难点 重点：离散型随机变量的均值的概念 难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值教学过程一、创设问题情 ，引出新知对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。
但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。
例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差问题1、某班一组有6个人，他们在某次数学考试中的成绩依次为，82，85，85，90，90，90。
那么他们的平均成绩是多少？学生：828585909090826+++++= 教师：该算式还可以写成 123808590666⨯+⨯+⨯=82 权重：即比重，如36；加权平均：计算若干数量的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数。
思考1：回忆一下，这种结构的算式以前见过没有？问题2：某商场要将单价分别为18元/kg 、24元/kg 、36元/kg 的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？32118243623666⨯+⨯+⨯= 思考2：问题1、2中的36在样本中分别表示什么？应该用哪个来定义随机变量的均值？ 二、概念的形成如果我们把混合糖果搅拌充分均匀，我们从中任取1kg 的糖果，这1kg 糖果可以看成从总体中抽出一个容量为n 的随机样本，为了讨论的方便，分别用a 、b 、c 表示18元/kg 、24元/kg 、36元/kg 的糖果，a 、b 、c 所对应的频率分别为321f f f 、、，则样本的平均单价为123182432X f f f =⨯+⨯+⨯，这个才是取出来1kg 混合糖果的真实价钱，当n 很大时真实价趋近于32118243623666⨯+⨯+⨯=，为什么不用混合糖果的真实价X 作为混合糖果的定价呢？实际上，样本带有随机的，所以真实价X 是一个随机变量，故只能用他的极限价23元/kg 作为混合糖果的合理价格。
高中数学离散型随机变量的均值PPT课件
2.3.1 离散型随机变量的均值
复习引入
1. 随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量来 表示，那么这样的变量叫做随机变量，
随机变量常用希腊字母、等表示.
复习引入
2. 离散型随机变量 对于随机变量可能取的值，可以按一定 次序一一列出，这样的随机变量叫做离 散型随机变量.
3. 连续型随机变量 对于随机变量可能取的值，可以取某一 区间内的一切值，这样的变量就叫做连 续型随机变量.
公式 E (a+b)= aE+b，以及服从二项 分布的随机变量的期望 E=np.
课后作业
1. 一袋子里装有大小相同的 3 个红球和两个
黄球，从中同时取出 2 个，则其中含红球个
数的数学期望是
（用数字作答）
2. 袋中有 4 个黑球、3 个白球、2 个红球， 从中任取 2 个球，每取到一个黑球记 0 分， 每取到一个白球记 1 分，每取到一个红球记
称这样的随机变量 服从几何分布，记作
g(k, p) qk1 p，其中k 0,1,2,，q 1 p.
新课讲授
已知某射手射击所得环数的分布列如下： 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
在n次射击之前，可以根据这个分布 列估计n次射击的平均环数．这就是我们 今天要学习的离散型随机变量的均值或 期望 .
例题讲解
例3.根据气象预报，某地区近期有小洪水 的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该 地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪 水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损 失10 000元.为保护设备，有以下3 种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3 800 元． 方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．
复习引入
1. 随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量来 表示，那么这样的变量叫做随机变量，
随机变量常用希腊字母、等表示.
复习引入
2. 离散型随机变量 对于随机变量可能取的值，可以按一定 次序一一列出，这样的随机变量叫做离 散型随机变量.
3. 连续型随机变量 对于随机变量可能取的值，可以取某一 区间内的一切值，这样的变量就叫做连 续型随机变量.
公式 E (a+b)= aE+b，以及服从二项 分布的随机变量的期望 E=np.
课后作业
1. 一袋子里装有大小相同的 3 个红球和两个
黄球，从中同时取出 2 个，则其中含红球个
数的数学期望是
（用数字作答）
2. 袋中有 4 个黑球、3 个白球、2 个红球， 从中任取 2 个球，每取到一个黑球记 0 分， 每取到一个白球记 1 分，每取到一个红球记
称这样的随机变量 服从几何分布，记作
g(k, p) qk1 p，其中k 0,1,2,，q 1 p.
新课讲授
已知某射手射击所得环数的分布列如下： 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
在n次射击之前，可以根据这个分布 列估计n次射击的平均环数．这就是我们 今天要学习的离散型随机变量的均值或 期望 .
例题讲解
例3.根据气象预报，某地区近期有小洪水 的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该 地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪 水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损 失10 000元.为保护设备，有以下3 种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3 800 元． 方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．
2.3.1_shang_离散型随机变量的均值
作业
• 课本64页练习2、3、4、表示乙选对的题数 它们都满足二项分布： X1～B(20，0.9) 所以：EX1= n p =20×0.9=18 EX2= n p =20×0.25=5 甲所得分数的均值为：18×5=90 乙所得分数的均值为： 5×5=25 X2～B(20，0.25)
X
x1
x2
…
x20
随机变量的均值与样本的 平均值有何区别和联系
随机变量的均值是常数，而样本的平均值随着样本的不同而变化, 因而样本的平均值是随机变量；
例如取糖果问题，将每次取出的糖果价格定为样本，每次取糖果 时样本会有变化，样本的平均值也会跟着变化；而随机变量的均 值是常数。
对于简单随机样本，随着样本容量的增加， 样本的平均值越来越接近 总体的平均值，因此，我们常用样本的平均值来估计总体的平均值。
期望的线性性质
• 若X是一个随机变量，则 Y=aX+b 仍然是一个随机变量，其中a、b是常数。 • EY=E(aX+b)=aEX+b
X P
x1
p1
p2
x2
· · · · · ·
pi
xi
· · · xn · · · pn
x2 x1 X Y ax1 b ax2 b p1 p2 P
· · · xi · · · xn · · · axi b · · · axn b · · · pi · · · pn
18+24+36 26 3
可以吗
你能解释在该问题中权数代表的实际含义吗？
• 将按3：2：1混合的糖果看作总体； • 任取的1kg糖果看作一个样本； • 样本中的每个糖果看成一个个体；
3 2 1 x 18 24 36 23 6 6 6
2.3.1离散型随机变量的均值课件人教新课标B版
1．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电 池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为 止，求抽取次数X的散布列及均值．
解析： X 可取的值为 1,2,3， 则 P(X＝1)＝35，P(X＝2)＝25×34＝130， P(X＝3)＝25×14×1＝110.
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其散布
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其散布
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
方法二：由于 Y＝2X－3，所以 Y 的分布列如下：
Y －7 －5 －3 －1 1
P
1 4
1 3
1 5
11 6 20
∴E(Y)＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×210
＝－6125.
数学 选修2-3
1．两点散布：E(X)＝____p____. 2．二项散布：在n次独立重复实验中，X～B(n，p)，则 E(X)＝____n_p____.
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其散布
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，则Y也是 随机变量，且有E(aX＋b)＝___a_E_(_X_)_＋__b__.
所以 ξ 的分布列为：
ξ
1
2
3
P
2 3
2 9
2 27
所以 E(ξ)＝43.
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其散布
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
[提示] 上述解答错误的主要原因是没有明确随机变量 ξ取值的意义，ξ＝1表示第一次实验就成功，ξ＝2表示第一次失 败，第二次成功，由于实验最多进行3次，所以ξ＝3表示前两 次失败，第三次可能成功也可能失败．
离散型随机变量的均值方差复习课PPT精品文档27页
5
某 批 数 量 较 大 的 商 品 的 次 品 率 是 5％ ， 从 中 任 意 地
连 续 取 出 10件 ， 为 所 含 次 品 的 个 数 ， 求 的 期 望
和 方 差 。
题型三、 期望与方差的实际应用
某校设计了一个实验学科的实验考查方案，考生从 6 道备选题中 一次性地随机抽取 3 道题，按照题目要求独立完成全部实验操 作．规定：至少正确完成其中 2 道题的便可通过．已知 6 道备选 题中考生甲有 4 题能正确完成，2 题不能完成；考生乙每题正确 完成的概率都为23，且每题正确完成与否互不影响．
(2)若X~B(n,p),则E(X)=__n_p_,D(X)=_n_p__(1___p_)_.
5.事件关系及概率常见公式
P(AUB)P(A)P(B)P(AB)1P(AB)
A,B互斥P(AUB)P(A)P(B) A,B对立P(A)P(B)1
反之，不一定成立；
A,B相互独立P(AB)P(A)P(B) （用来判定A,B相互独立）
其中__算 __数 __平 __方 _根 ____D_(_X_)_为随机变量X的标准差.
离程度
3.均值与方差的性质
(1)E(aX+b)=__a_E_(_X_)_+_b__. (2)D(aX+b)=__a_2_D_(_X__).(a,b为常数)
4.两点分布与二项分布的均值、方差
p (1)若X服从两点分布,则E(X)= ,D(X)= p(1 p) .
A.n=8,p=0.2
B.n=4,p=0.4
(A )
C.n=5,p=0.32
D.n=7,p=0.45
解析
~B(n,p),Enp1.6,
Dnp(1p)1.28,np80,.2.
课件7：2.3.1 离散型随机变量的均值
[解] (1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m＋210＝1，解 得 m＝16. (2)E(X)＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×210＝－1370. (3)解法一：由公式 E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得 E(Y)＝E(2X－3)＝ 2E(X)－3＝2×－1370－3＝－6125.
[跟踪训练]
已知某一随机变量 ξ 的概率分布列如下，且 E(ξ)＝6.3.
ξ4 a 9
(1)求 b；
P 0.5 0.1 b
(2)求 a；
(3)若 η＝2ξ－3，求 E(η)．
[解] (1)由随机变量的分布列的性质，得 0.5＋0.1＋b＝1， 解得：b＝0.4. (2)E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3. 解得：a＝7. (3)由公式 E(aX＋b)＝aE(X)＋b 得：E(η)＝E(2ξ－3)＝2E(ξ)－3＝2×6.3－3＝9.6.
[跟踪训练] 1．甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙 每次击中目标的概率为23，记甲击中目标的次数为 X，乙击中目标 的次数为 Y， (1)求 X 的概率分布列； (2)求 X 和 Y 的数学期望．
[解] (1)已知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. P(X＝k)＝Ck312k123－k. 则 P(X＝0)＝C30×123＝18；P(X＝1)＝C13×12×122＝38； P(X＝2)＝C32×122×12＝38；P(X＝3)＝C33×123＝18. 所以 X 的概率分布列如下表：
2．两点分布、二项分布的均值 (1)两点分布的均值 由数学期望的定义可知，若随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布， 则 E(X)＝1×p＋0×(1－p)＝p. 这表明在只有两个可能结果的随机试验中，离散型随机变量 X 的 均值为 p. (2)二项分布的均值 在 n 次独立重复试验中，若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np.
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所以：EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7
ξ
1
0
p
p
1-p
如果随机变量X服从两点分布， 那么 EX= p
例2、
某射手射击所得环数 的分布列如下：
4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求n次射击的平均环数。 如果这次射击中射击所得奖金与环数ξ的关系为 η=2ξ+1，试求随机变量η的期望。
P p1 p2 ··· p i ··· pn
X x1
x 2 ··· x i ··· x n
Y ax1 b ax2 b ··· axi b ···axn b
P p1
p2 ··· p i ··· pn
E ( a 1 Y b ) x p 1 ( a 2 b ) x p 2 ( a n b ) x p n
• 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量 的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.
算术平均数
• 如果你期中考试各门成绩为： 90、80、77、68、85、91
那你的平均成绩是多少？
xx1x2 ...xn n
加权平均数
• 你的期中数学考试成绩为70，平时 表现成绩为60，学校规定：在你学 分记录表中，该学期的数学成绩中 考试成绩占70%、平时成绩占30%， 你最终的数学成绩为多少？
理解概念
X的分布列
X 18 24 36
P
3 6
2
1
6
6
随机变量X的均值与 X可能取值的算术平
均数相同吗
E X18324236123 666
X
可能取值的算术平均数为182436
3
26
随机变量x的均值与x可能 取值的算术平均数何时相
等
随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数X的均值
X1 2 34 5 6
对于简单随机样本，随着样本容量的增加， 样本的平均值越来越接近 总体的平均值，因此，我们常用样本的平均值来估计总体的平均值。
期望的线性性质
• 若X是一个随机变量，则 Y=aX+b
仍然是一个随机变量，其中a、b是常数。
• EY=E(aX+b)=aEX+b
X x1 x 2 ··· x i ··· x n
2.3.1 离散型随机 变量的均值
数学期望
引入
• 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题 中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字 特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中 的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班 同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个 班数学成绩的方差。
P
1
1
1
1
11
6
6
6
6
66
E X 1 1121...617
6
66
62
X可能取值的算术平均数为 12...6 7
6
2
随机变量的均值与样本的 平均值有何区别和联系
随机变量的均值是常数，而样本的平均值随着样本的不同而变化, 因而样本的平均值是随机变量；
例如取糖果问题，将每次取出的糖果价格定为样本，每次取糖果 时样本会有变化，样本的平均值也会跟着变化；而随机变量的均 值是常数。
Ｘ １８
1
Ｐ
2
1
1
合理价格=18× 2 +24× 3
２４
1 3
1
+36× 6
３６
1 6
=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)
代表X的平均取值
二、互动探索
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1， 2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？
X1111222334 10
142332412 10 10 10 10
X
1
2
3
4
P
4
3
2
1
10
10
10
10
数学期望
若离散型随机变量X的分布列为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称：
EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
为随机变量X的均值或数学期望。 •它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
a ( x 1 p 1 x 2 p 2 x n p n ) b ( p 1 p 2 p n )
aEXb
例1
• 在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中 的概率为0.7，那么他罚球一次得分设 为X，X的均值是多少？
X
0
1
p
0.3
0.7
解：该随机变量X服从两点分布: P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3
EX0Cn0p0qn1Cn 1pqn1...nCnnpnq0 1Cn 1pqn12Cn2p2qn2...nCnnpnq0 np
若X～B (n，p)，则 EX= n p
例2
• 一次单元测验由20个选择题构成，每个选 择题有4个选项，其中仅有一个选项是正 确的。每题选对得5分，不选或选错不得 分，满分100分。学生甲选对任意一题的 概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都 从各选项中随机地选出一个，分别求学生 甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值。
• 在样本中任取一颗糖果，权数代表该糖果是哪
个价位的概率。
假 如 从 这 种 混 合 糖 果 中 随 机 选 取 一 颗 ， 记 X 为 这 颗 糖 果 所 属 种 类 的 单 价 （ 元 k g ） , 你 能 写 出 X 的 分 布 列 吗 ？
• 现在混合糖果中任取一个，它的实际 价格用Ｘ表示，Ｘ的分布列为：
xa1x1 a2x2 ...anxn a1 ...an 1
加权平均数
• 权：称棰，权衡轻重的数值；
• 加权平均：计算若干数量的平均数 时，考虑到每个数量在总量中所具 有的重要性不同，分别给予不同的 权数。
18元/kg
24元/kg
36元/kg
•
按3：2：1的比例混合
• 混合糖果中每一粒糖果的质量都相等
9 11 13 15 17 19 21
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
探究
• 如果我们只关心他是否打中10环， 则在他5次射击中，打中10环的次数 设为X，则求X的均值。
如果X服从二项分布，则EX=？
P(Xk)C n kpkqnk
kCnk nCnk11
• 如何给混合糖果定价才合理？定价为
可以吗 18+24+36 26 3
x18324236123 666
你能解释在该问题中权数代表的实际含义吗？
• 将按3：2：1混合的糖果看作总体； • 任取的1kg糖果看作一个样本； • 样本中的每个糖果看成一个个体；
• 设样本中含有n个个体，则其中各种价钱的糖果 大约各占：1பைடு நூலகம்1 1 236
ξ
1
0
p
p
1-p
如果随机变量X服从两点分布， 那么 EX= p
例2、
某射手射击所得环数 的分布列如下：
4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求n次射击的平均环数。 如果这次射击中射击所得奖金与环数ξ的关系为 η=2ξ+1，试求随机变量η的期望。
P p1 p2 ··· p i ··· pn
X x1
x 2 ··· x i ··· x n
Y ax1 b ax2 b ··· axi b ···axn b
P p1
p2 ··· p i ··· pn
E ( a 1 Y b ) x p 1 ( a 2 b ) x p 2 ( a n b ) x p n
• 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量 的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.
算术平均数
• 如果你期中考试各门成绩为： 90、80、77、68、85、91
那你的平均成绩是多少？
xx1x2 ...xn n
加权平均数
• 你的期中数学考试成绩为70，平时 表现成绩为60，学校规定：在你学 分记录表中，该学期的数学成绩中 考试成绩占70%、平时成绩占30%， 你最终的数学成绩为多少？
理解概念
X的分布列
X 18 24 36
P
3 6
2
1
6
6
随机变量X的均值与 X可能取值的算术平
均数相同吗
E X18324236123 666
X
可能取值的算术平均数为182436
3
26
随机变量x的均值与x可能 取值的算术平均数何时相
等
随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数X的均值
X1 2 34 5 6
对于简单随机样本，随着样本容量的增加， 样本的平均值越来越接近 总体的平均值，因此，我们常用样本的平均值来估计总体的平均值。
期望的线性性质
• 若X是一个随机变量，则 Y=aX+b
仍然是一个随机变量，其中a、b是常数。
• EY=E(aX+b)=aEX+b
X x1 x 2 ··· x i ··· x n
2.3.1 离散型随机 变量的均值
数学期望
引入
• 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题 中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字 特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中 的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班 同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个 班数学成绩的方差。
P
1
1
1
1
11
6
6
6
6
66
E X 1 1121...617
6
66
62
X可能取值的算术平均数为 12...6 7
6
2
随机变量的均值与样本的 平均值有何区别和联系
随机变量的均值是常数，而样本的平均值随着样本的不同而变化, 因而样本的平均值是随机变量；
例如取糖果问题，将每次取出的糖果价格定为样本，每次取糖果 时样本会有变化，样本的平均值也会跟着变化；而随机变量的均 值是常数。
Ｘ １８
1
Ｐ
2
1
1
合理价格=18× 2 +24× 3
２４
1 3
1
+36× 6
３６
1 6
=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)
代表X的平均取值
二、互动探索
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1， 2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？
X1111222334 10
142332412 10 10 10 10
X
1
2
3
4
P
4
3
2
1
10
10
10
10
数学期望
若离散型随机变量X的分布列为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称：
EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
为随机变量X的均值或数学期望。 •它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
a ( x 1 p 1 x 2 p 2 x n p n ) b ( p 1 p 2 p n )
aEXb
例1
• 在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中 的概率为0.7，那么他罚球一次得分设 为X，X的均值是多少？
X
0
1
p
0.3
0.7
解：该随机变量X服从两点分布: P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3
EX0Cn0p0qn1Cn 1pqn1...nCnnpnq0 1Cn 1pqn12Cn2p2qn2...nCnnpnq0 np
若X～B (n，p)，则 EX= n p
例2
• 一次单元测验由20个选择题构成，每个选 择题有4个选项，其中仅有一个选项是正 确的。每题选对得5分，不选或选错不得 分，满分100分。学生甲选对任意一题的 概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都 从各选项中随机地选出一个，分别求学生 甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值。
• 在样本中任取一颗糖果，权数代表该糖果是哪
个价位的概率。
假 如 从 这 种 混 合 糖 果 中 随 机 选 取 一 颗 ， 记 X 为 这 颗 糖 果 所 属 种 类 的 单 价 （ 元 k g ） , 你 能 写 出 X 的 分 布 列 吗 ？
• 现在混合糖果中任取一个，它的实际 价格用Ｘ表示，Ｘ的分布列为：
xa1x1 a2x2 ...anxn a1 ...an 1
加权平均数
• 权：称棰，权衡轻重的数值；
• 加权平均：计算若干数量的平均数 时，考虑到每个数量在总量中所具 有的重要性不同，分别给予不同的 权数。
18元/kg
24元/kg
36元/kg
•
按3：2：1的比例混合
• 混合糖果中每一粒糖果的质量都相等
9 11 13 15 17 19 21
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
探究
• 如果我们只关心他是否打中10环， 则在他5次射击中，打中10环的次数 设为X，则求X的均值。
如果X服从二项分布，则EX=？
P(Xk)C n kpkqnk
kCnk nCnk11
• 如何给混合糖果定价才合理？定价为
可以吗 18+24+36 26 3
x18324236123 666
你能解释在该问题中权数代表的实际含义吗？
• 将按3：2：1混合的糖果看作总体； • 任取的1kg糖果看作一个样本； • 样本中的每个糖果看成一个个体；
• 设样本中含有n个个体，则其中各种价钱的糖果 大约各占：1பைடு நூலகம்1 1 236