排列组合与概率概率问题辨析免费

高考前排列组合与概率概率易错问题辨析

一、交点：圆内还是圆外

例1. 圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数是______ 212212412. .A A B A A 412210212 . .C D C C C

错解：因为两条直线相交有且只有一个交点，从12个点中任取2个可确定

条直线，从剩下10个点中任取2个可确定条直线，根据乘法原理，有个交点。这里错误的原因在于这些直线所产生的交点有可能在圆外了，而题目要求这些交点在圆内。

正解：因为两条直线相交有且只有一个交点，任意一个凸四边形在圆内的交点即为两条对角线的交点，有且只有一个。而要得到一个四边形，需要从12个点中取出4个点，个，

即有个交点。 问题：若“圆内”改成“圆外”，其他不变，则交点个数是多少？（答案：

21）

或4122C 二、相邻不相邻问题：不重不漏

例2. 8人排成一队，A 、B 、C 三人互不相邻，D 、E 两人也互不相邻的排法共有多少种？ 错解：第一步：把除A 、B 、C 、D 、E 的剩余F 、G 、H3人全排列，有

种方法；第二步：前3人排好后，留下4个空档，把A 、B 、C 三人插入，有

种方法；第三步：前6人排好后，留下7个空档，把D 、E 两人插入空档，有种方法。由乘法原理，有

种方法。

则题意，“ADB ”排法也满足题意，但按照以上排法，A 、B 之间早就有F 或G 或H 了，而不可能出现“ADB ”，违反“不重不漏”中的“不漏”原则。

正解：用排除法。除A 、B 、C 外的5人先全排列，有

种方法，这时在留下的6个空档中插入A 、B 、C 三人，有种插空方法，共有种方法；其中应排除D 、E 两人相邻的情形，把D 、E （运用“捆绑法”看作一个个体），F 、G 、H （F 、G 、H 为余下的三人）全排列，有种方法，这时在留下的5个空档中插入A 、B 、C 三人，有

种方法，DE 也可交换成ED ，共有

种方法。所求排法有＝14400－2880＝11520种。

例3. 有20个零件，其中16个是一等品，4个二等品。若从20个零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是_____________。

A. B. C. D. 以上都错

错解：选项A中表示只取1个一等品，而题目要求取一等品1个、或2个、或3个，

有三种情形；C中表示只取2个一等品，表示只取3个一等品，即只取2个或3个一等品，与题目不符。

B中表示从16个一等品中先取1个一等品，表示再从剩下的19个零件中取2

个，这时似乎能保证所取的3个零件中至少有1个是一等品。若设1、2、…、16表示16个一等品，A、B、C、D表示4个二等品，可能出现1、2、A形式（先取一等品1，再从剩下的19个零件中取2、A），也可能出现2、1、A形式（先取一等品2，再从剩下的19个零件中取1、A），违反“不重不漏”中的“不重”原则。

正解：在选项A的基础上增加先从16个一等品中取2个，再从4个二等品取1个，和从16个一等品中取3个，有种取法，答案应为，选D。也可以运用排除法，“至少有1个是一等品”的反面是“没有一个一等品”，即3个都是二等品，有，答案为，选D。

三、抽取问题：放回与不放回

例4. 从一批含有13只正品、2只次品的产品中，不放回地抽取3次，设抽得的次品数为，求E（5＋1）。

错解一：随机变量服从二项分布B（n，p），这里独立重复试验的次数n＝3，在一次试验中事件（次品）发生的概率，得

。

分析：若变量是离散型随机变量，才服从二项分布，才会有公式E（）＝np，那

么怎么样的变量才是离散型的呢？对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，像这样的随机变量叫做离散型随机变量。若在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，

在n次独立重复试验中这个事件发生的次数则是一个随机变量。如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率p(＝k)，其中k＝0；1，…，n，，称这样的随机变量服从二项分布，记作~B（n，p）。上面式子，形式上为二项式定理中的第项，所以称服从二项分布。