矩阵论复习资料

第一专题线性空间和线性变换

§1 线性空间

一、线性空间的概念与性质

线性空间是由具体的几何平面和空间的特征经过抽象提炼出来的一个数学概念。粗略地说，在一个非空集合上定义了线性运算，并且这种运算满足一定的规则，那么这个非空集合就成为一个线性空间。因此，一个线性空间必须有由线性运算规定的代数结构(由集合与满足一定运算规律的一些代数运算合在一起组成的系统)，以便于用数学方法对它研究。为了说明它的来源，在引入定义之前，先看几个熟知的例子。

例1 在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量。向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量乘法。我们看到，不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的。

例2 为了解线性方程组，我们讨论过以n 元有序数组)(21n ,a ,,a a 作为元素的n 维向量空间。对于它们，也有加法和数量乘法，那就是：

),()()(22112121n n n n b ,a ,b ,a b a ,b ,,b b ,a ,,a a +++=+ ).()(2121n n ,ka ,,ka ka ,a ,,a a k =

从这些例子中我们可以看到，所考虑的对象虽然不同，但它们有一个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。抽取它们的共同点，把它们统一起来加以研究，我们可以引入线性空间的概念。

在第一个例子中，我们用实数和向量相乘。在第二个例子中用什么数和向量相乘，就要看具体情况。例如，在有理数域中解线性方程组时，用有理数去作数量乘法就足够了，而在复数域中解线性方程组时，就需要用复数去作运算。可见，不同的对象与不同的数域相联系。当我们引入抽象的线性空间的概念时，也必须选定一个确定的数域作为基础。

定义1 设F 是一个数集，其中包含0和1。如果F 中任意两个数（它们可以相同）的和、差、积、商（除数不是0）仍是F 中的数，那么称F 为数域。

显然，全体实数集R 、全体复数集C 、全体有理数集Q 等都是数域。而全体正实数集+R ，全体整数集Z 等都不是数域。

定义2 设V 是一非空集合,F 是数域（本书特指实数域）,对V 中任意两个元βα,,定义一个加法运算,记为“+”:V ∈+βα（元βα+称为α与β的和）；定义一个数乘运算:F k V k ∈∈ ,α（元αk 称为k 与α的数积）。这两种运算（也称为V 的线性运算）,满足下列规则,则称V 为数域F 上的线性空间（或向量空间）。 加法满足下面四条规则：

(1) αββα+=+；（加法交换律）

(2) )()(γβαγβα++=++；（加法结合律）

(3) 在V 中存在零元素0；对任何V ∈α，都有αα=+0；

(4) 对任何V ∈α，都有α的负元素V ∈β，使0=+βα，记αβ-=；

数量乘法满足下面两条规则：

(5) αα=1；

(6) αα)()(λμμλ=；（数乘结合律）

数量乘法与加法满足下面两条规则；

(7) μαλααμλ+=+)(；（分配律）

(8) λβλαβαλ+=+)( （数因子分配律）

在以上运算中，μλ,等表示数域F 中的数，γβα,,等表示集合V 中的元素。数域F 上的线性空间V ，记为)(F V ，V 中的元称为向量；当F 是实数域时，称V 为实线性空间；当F 是复数域时，称V 为复线性空间。在不需要强调数域时，就称V 为线性空间。

下面再举几个例子。

例3 按照矩阵的加法及数与矩阵的乘法，由数域F 上的元素构成的全体n m ?矩阵所成的集合，在数域F 上构成一个线性空间，称为矩阵空间，记为n m F ?，其中n m R ?为由一切n m ?实矩阵构成的实线性空间。但秩为r )0(>r 的全体矩阵所构成的集合n m F ?不构成线性空间。事实上，零矩阵n m F ??0。

例4 区间[]a,b 上的连续函数的全体，对于通常意义的函数加法和数乘函数，构成线性空间，记为[]a,b C ，而[]a,b 1C 表示由区间[]a,b 上的连续可微函数的全体，对于通常的函数加法和数乘函数所构成的线性空间。

积分??t

a

dt 运算呢？

例5实数域R 上的多项式全体，按通常意义的多项式加法及数与多项式乘法，构成线性空间，记为)(t p 。如果只考虑次数不大于n 的多项式全体，再添加零多项式（系数全是零的多项式）所构成的集，则对于通常意义的多项式加法及数与多项式乘法，构成线性空间，记为)(t p n 。

例6数域F 按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间。全体实n 维向量组成的集合，对于通常意义下的向量加法和数乘向量，构成一个实线性空间，记为n R 。全体复n 维向量组成的集合，对于通常的向量加法和数乘向量，也构成线性空间。这时既可用实数乘向量，从而构成实线性空间；又可以用复数乘向量，构成复线性空间，记为n C 。

由定义2可以证明线性空间的一些简单性质。

性质1 零向量是唯一的。

性质2 负向量是唯一的。

性质3 00α0α=-=-=k α )1( 0；；

。 性质4 若,0α=k 则0=k 或0α=。

注：

（1）线性空间V 是一个集合（向量），它满足一定条件。

（2）线性空间中的加法运算和乘法运算可以有不同的定义。 例如：在正实数集+R 中，F 为实数域R ，定义加法和数乘运算为： ab b a =⊕，k a a k =

其中R k R b a ∈∈+,,,“⊕”表示加法，“ 。”表示数乘。那么+R 构成实线性空间。此时加法零元素是+R 中的数1，

+R 中元素a 的负元素是1-a 。

二、线性空间的基、维数与坐标

定义3 设V 是线性空间，若存在n 个向量n ααα,,, 21满足

(1)n ααα,,,21 线性无关；

(2)V 中任一向量α总可有n ααα,,,21 线性表示，

则n ααα,,,21 称为线性空间V 的一个基或基底，n 称为线性空间V 的维数，记为dim V ,并称该线性空间为n 维线性空间，记作n V ，称(1,2,,)i i n α= 为基向量。称基底n ααα,,,21 为n V 的一个坐标系。

按照这个定义，不难看出：

几何空间中向量所构成的线性空间是3维的，

n 元数组构成的空间是n 维，

例3所述的线性空间n m F ?是n m ?维的。因为n m F ?中的任一矩阵)(ij a A =可表示为

∑∑====m i n

j ij ij ij E a a A 11)(

其中ij E 表示第i 行第j 列处的元素为1，其余元素为0的n m ?矩阵，并且{}

n j m i E ij ,,1,,,1, ==显然是线性无关的，是n m F ?的一个基。

例5中的)(t p 则是无限维的，()n p t 是1n +维的。

注:

(1)基就是线性空间n V 的最大无关组，因为最大无关组不唯一，所以基不唯一，但基与基之间是等价的。基可以看成空间直角坐标系的推广，从而线性空间n V 的维数n 是唯一的。

(2)线性空间n V 可用基n ααα,,,21 表示： {}112212|,,,n n n n V x x x x x x R αααα==+++∈ ，从而显示出n V 的构造。

定义4 若n ααα,,,21 是线性空间n V 的一个基，n βV ?∈，

?????? ??==+++=∑=n n n

i i i n n x x x x x x x 212112211 )(αααααααβ， 则称数n x x x ,,,21 是β在基n ααα,,,21 下的坐标向量(或坐标)，

记为T n x x x x ),,,(21 =，)1(n i x i ≤≤称为β在基n ααα,,,21 下的第i 个坐标。

例7 求22?R 中向量???

? ??5123在基22211211,,,E E E E 下的坐标。 解

??? ??+??? ??+??? ??+??? ??=??? ??10005010000102000135123

22211211523E E E E +++=??????

? ??=5123) (22211211E E E E ， 故该向量在所给基下的坐标为()T 5 ,1 ,2 ,3。

一般地22?R 中向量???? ??22211211a a a a 在所给基{}

ij E 下的坐标为T a a a a ),,,(22211211。

注：本题将???

? ??5123，11122122 , , , E E E E 当做一个“量”看待，无论它本身是何类元素，都不能直接代入进行运算。

即

1112212232( )15E E E E ?? ? ? ? ???

22211211523E E E E +++=， 1112212232( )15E E E E ?? ? ? ? ???31001000020000100115?? ??? ?≠ ? ??? ???

。

例8 求3R 中向量T a )1 ,2 ,1(=在基

T T T )1 ,1 ,1(,)1 ,1 ,1(,)1 ,1 ,1(321--=-==ααα下的坐标。 解：设所求的坐标是321,,x x x ，则

332211αααx x x a ++=

即

()????

? ??????? ??---=????? ??=????? ??321321321111111111121x x x x x x ααα

解得

2

1 ,21 ,1321-===x x x 于是所求的坐标是T )2

1 ,21 ,1(- 例9 在)(2t p 中取基{}

2 , ,1t t ，则多项式12)(2+-=t t t p 在基下的坐标是()T 2 ,1 ,1-，因为

????? ??-=?+?-+?=+-211) 1(2)1(1112222t t t t t t 。

若另取一个基{}

2 ,2 ,1t t t ++，则由

????? ??-++=?++?++?-=+-223) 2 1(2)2(2)1(312222t t t t t t t t

知)(2t p 在{}

2 ,2 ,1t t t ++的坐标为()T 2 ,2 ,3-。

注：坐标是与基有关的，同一个向量在不同基底下有不同的坐标。

建立了坐标以后，就把抽象的向量与具体的数组向量

T n x x x ),,,(21 联系起来，并把n V 中抽象的线性运算与数组向量的线性运算联系起来。

设 , n V αβ∈，有

n n n n a y a y a y a x a x a x +++=+++= 22112211,βα， 于是

=+βαn n n a y x a y x a y x )()()(222111++++++ ，

n n a x a x a x )()()(2211λλλλα+++= ，

即βα+的坐标是

T n T n T n n y y x x y x y x ),,(),,(),,(1111 +=++，

λα的坐标是T n T n x x x x ),,(),,(11 λλλ=。

总之，当在n 维线性空间n V 的取定一个基n ααα,,,21 时，

n V 中的向量α与n 维数组向量空间n R 中的向量),,,(21n x x x 之间存在着一一对应关系，且这个对应关系具有下述性质： 设T n T n y y x x ),,(,),,(11 ??βα，则

1.T n T n y y x x ),,(),,(11 +?+βα;

2.,),,(1T n x x λλα?

也就是说，这个对应关系保持线性组合的对应。因此，我们可以说n V 与n R 有相同的结构，我们称n V 与n R 同构。

定义5 一般地，设V 与U 是两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间V 与U 同构。

显然，任何n 维线性空间都与n R 同构，即维数相等的线性空

间都同构，从而可知线性空间的结构完全被它的维数所决定。 同构的概念除元素一一对应外，主要是保持线性运算的对应关系，因此，n V 中的抽象的线性运算就可转化为与n R 中的线性运算，并且n R 中凡是只涉及线性运算的性质就都适用于n V 。但n R 中超出线性运算的性质，在n V 中就不一定具备，例如n R 中的内积概念在n V 中就不一定有意义。

三、基变换与坐标变换

由例9可以看出，坐标是与基有关的，同一个向量在不同的基下有不同的坐标，那么不同的基与不同的坐标之间有怎样的关系呢？

定义6 设n ααα,,,21 及n βββ,,,21 是线性空间n V 的两个基，且

???????+++=+++=+++=n

nn n n n n n n p p p p p p p p p αααβαααβαααβ 2211n 2222112212211111 (1) 则

=),,,(21n βββ ??????

? ??nn n n n n p p p p p p p p p 212122*********),,,(ααα 或

=),,,(21n βββ P n ),,,(21ααα (2) 其中n 阶方阵)(ij p P =称为由基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的变换矩阵（或过渡矩阵），(1)或(2)式称为相应的基变换公式。 注：

(1)由于n ααα,,,21 线性无关,n βββ,,,21 线性无关,易得过渡矩阵P 可逆。

(2)基变换公式P 中的第j 个列向量T nj j j j P P P P ),,,(21 =就

是第二组基的第j 个基向量j β在第一组基下的坐标。

(3)由=),,,(21n βββ P n ),,,(21ααα ，P 可逆，易得

=),,,(21n ααα 121),,,(-P n βββ

所以由基n βββ,,,21 到基n ααα,,,21 的过渡矩阵是1-P 。

定理 1 设n V 中的向量α，在基n ααα,,,21 下的坐标为T n x x x x ),,,(21 =，在基n βββ,,,21 下的坐标为

T n y y y y ),,,(21 =。

若基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵为P 。则有坐标变换公式

Py x =

或

x P y 1-= (3)

证明

由于

x x x x n n n ),,,(212211ααααααα =+++=

y y y y n n n ),,,(212211ββββββα =+++=

所以

Py y x n n n ),,,(),,,(),,,(212121αααβββααα == 因为n ααα,,,21 线性无关，故(3)式成立，定理得证。

容易证明这个定理的逆命题也成立。即若任意向量的两种坐标满足坐标变换公式(3)，则两个基满足基坐标变换公式(2)。

例10 设3R 的两组基分别为

T T T )1 ,1 ,1(,)1 ,1 ,2(,)1- ,0 ,1(321===ααα 和

,)1 ,1 ,0(1T =βT T )1 ,2 ,1(,)0 ,1 ,-1(32==ββ。

(1)求从基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵P 。

(2)求向量32132αααα-+=在基321,,βββ下的坐标。

(3)求在这两个基下有相同坐标的所有向量。 解

(1)由基过渡公式(2)给出

P ????

? ??-=????? ??-111110121101211110

从中可求得

.4422-3-1-1101012111101111101211????

? ??=????? ??-????? ??-=-P (2)由32132αααα-+=,得α在基n ααα,,,21 下的坐标为T x )3,2,1(-=,由x P y 1-=,得 .317213214422-3-1-11011????

? ??--=????? ??-????? ??==--x P y

(3)设T 321),,(γγγγ=是所求的向量，它在基321,,ααα和基321,,βββ下的坐标下相同，不妨设为T x x x x ),,(321=。由题意容易得出：

Px x x ),,(),,(),,(321321321αααβββγααα===

又因为321,,ααα线性无关，所以 Px x =， 即

03-4-22411-1-1=???

? ??-x 解得

T x )0 ,0 ,0(=， 从而得到 T )0 ,0 ,0(=γ. 例11 在所有22?矩阵构成的4维线性空间22?P 中，证明 ,1-111- ,1-11-1 ,1-1-11 ,11114321???

? ??=???? ??=???? ??=???? ??=αααα构成一个基，并求矩阵???

? ??=4321β在这个基下的坐标。 解

由例7易知 , , ,22211211E E E E 是22?P 的一个基，因此有

P E E E E ),,,() , , ,(222112114321=αααα (4) 其中

??????

? ??------=1111111111111111P 经计算016≠=P ，故P 可逆，从而4321 , , ,αααα线性无关，因此它构成一个基,且(4)式就是由基 , , ,22211211E E E E 到基4321 , , ,αααα的基变换矩阵。

设β在基4321 , , ,αααα下的坐标为T y y y y ),,,(4321，而已知

β在基 , , ,22211211E E E E 下的坐标为T )4 ,3 ,2 ,1(，由坐标变换公式得

???????

? ??--=??????? ????????? ??------=??????? ??=??????? ??-0211254321111111111111111141432114321P y y y y

另解

设β在基4321 , , ,αααα下的坐标为T y y y y y ),,,(4321=，则

432144332211ααααβy y y y +++=???

? ??= 1-111-1-11-11-1-1111114321???? ??+???? ??+???? ??+???? ??=y y y y 43214321

43214321???

? ??---++-+-++++=y y y y y y y y y y y y y y y y 得到 ??????

? ????????? ??-----=??????? ??432111111111111111114321y y y y 所以

T y ??? ??--=021125.