高中数学椭圆大题——含答案
两个不同的交点 A ，B ．（Ⅰ）求椭圆 M 的方程；（Ⅰ）若 k=1，求|AB| 的最大值；
（I ）求直线 FM 的斜率； （II ） 求椭圆的方程；
1.已知椭圆 a >b >0）的离心率为 ，焦距为 2 ．斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有
2 x 2.设椭圆 E 的方程为 2
a 2
2
y
b 2
1a b 0 ，点O 为坐标原点，点 A 的坐标为 a ，0 ，点B 的坐标为 0，b ，点
M 在线段 AB 上，满足
BM
2 MA ，直线 OM 的斜率为 5
10
I ）求 E 的离心率 e ； II ）设点 C 的坐标为
0， b
， N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 7 ，求 E 的方程 . 2
22
3. 已知椭圆 x 2 + y 2 =1(a b 0) 的左焦点为 F( ab
c,0） ,离心率为 ，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 FM
被圆 x 2 +y 2
b 4
b
截得的线段的长为 4
c ， |FM|= 4 3 3
>0）．（1）证明： k <﹣ ；
2）设 F 为 C 的右焦点， P 为C 上一点，且 + + = ，证明： 2| |=| |+| |．
I ）求椭圆 的离心率；
II ）如
图，
是圆 :
2 2
5
x 2 2 y 1 2 的一条直径，若椭圆
2
方程．
4 . 已知椭
圆
22
xy
a 2
b 2
1（ a b 0 ）的半焦距为 c ，原点
经过 ， 两点，求椭圆
到经过两点 c,0 ， 0,b 的直线的距离为 1c ． 2
5．已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C ： + =1 交于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 M 1，m ）（m
答案
1. 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2c=2 ，则c= ，椭圆的离心率e= = ，则a= ，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的标准方程：；
Ⅰ）设直线AB 的方程为：y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
4，x1+x2=﹣，x1x2= ，∴| AB|= = ，
∴当m=0 时，|AB| 取最大值，最大值为；
3. 【答案】（I）3；
3(II
)
2
x
3
2
y
2
2 1 ；
联立，整理得：4x2+6mx+3m2﹣3=0，△=（6m）2﹣4×4×3（m2﹣1）＞0，整理得：m2<
2. 答案】（I） 2 5；（II ）x
5 45
2
y 9 1.
1.
3
精编文档
3
1，又由 a 2 b 2 c 2，可得 a 2 3c 2，b 2 2c 2
，
2
kc k 2
1
(II)解法一：由( I )知，椭圆 的方程为 x 2 4y 2 4b 2
.
不与 x 轴垂直，设其直线方程为 y k(x 2) 1，代入 (1)得
(1 4k 2)x 2 8k(2k 1)x 4(2k 1)2 4b 2 0
设直线 FM 的斜率为 k(k 0) ，则直线 FM 的方程为 y k(x c) ，由已知有
(II) 由(I)得椭圆方
程为 2 x 3c 2
2
y 2c
2
1，
直线 FM 的方程为 y k(x c) ，两个方程联立，消去 y ，整理得 22 3x 2 2cx 5c 2 0 ，解得 5
c 或 x c ，因为点 M 3
在第一象限，可得
M 的坐标为 c,2 3 c ，由
3
FM
(c c)2 23 c
3 4 3
，解得
3
2
c 1 ，所以椭圆方程为 x
3
4.【答案】(I ) 3
； 2； II ) 2 x 12
1． 试题解析：(I ) 过点 c,0 ， 0,b 的直线方程为 bx cy bc 0 ， 则原点 到直线的距
离
bc b 2 c 2
bc a
1 由 d 12c ，得
a 2
b 2 a 2
c 2
，解得离心率 c3 a2 设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则 x 1 x 2 8k(2k 1)
4(2k 1)2 4b 2
1 4k
2 ,x 1x
2
1 4k 2
由x 1 x 2 4，得 8k(2k 21)
4,解得k 1
.从而 x 1x 2 8 2b 2.
1 2 1 4k 2 2 1 2
是 1
2 是 |AB | 1 2 | x 1 x 2 | 2
x 1 x 2
4x 1x 2
10(b 2
2) .
2
由 |AB | 10 ，得 10(b 2
2)
10 ，解得 b 3.故椭圆 的方程为 x
12
2
解法二：由( I )知，椭圆 的方程为 x 2 4y 2 4b 2
.
(2)
2 c
解析】 (I) 由已知有 2
a ，解得
(1)
依题意，圆心
2,1 是线段 的中点，且 |AB | 10 .
易知，
∵ + + = ，F （1，0），∴ x 1﹣ 1+x 2﹣1+x 3﹣1=0，∴ x 3=1
则| FA|+| FB| =4﹣ ，∴| FA|+| FB|=2|FP|，
5. 【解答】解：（1）设 A （x 1，y 1），B x 2，y 2），∵线段 AB 的中点为 M （1，m ），
∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2m 将 A ， B 代入椭圆
两式相减可得， 3（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+4 y 1+y 2）（y 1﹣y 2）=0， 即 6（ x 1﹣ x 2） +8m （y 1﹣y 2）=0，∴k=
点 M （ 1，m ）
在椭圆内，即 ， 解得 0< m
∴
．
2）证明：设 A （x 1，y 1），B （x 2， y 2），P （x 3， y 3）， 可得 x 1+x 2=2
由椭圆的焦半径公式得则 | FA| =a ﹣ex 1=2﹣ x 1，| FB| =2﹣ x 2，| FP| =2
x 3= ．
=1 中，可得 C ：