导数的概念教学设计

《导数的概念》教学设计

1. 教学目标

（1）知识与技能目标：掌握导数的概念，并能够利用导数的定义计算导数.

（2）过程与方法目标：通过引入导数的概念这一过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想；提高类比归纳、抽象概括的思维能力．（3）情感、态度与价值观目标：

通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．

2. 教学重、难点

重点：导数的定义和利用定义如何计算导数．

难点：对导数概念的理解．

3.教学方法

1. 教法：引导式教学法

在提出问题的背景下，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念的形成．

2. 教学手段：多媒体辅助教学

4.教学过程

（一）情境引入

导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。

17世纪数学家遇到的三类问题：

一是光的反射问题。光的反射和折射在17世纪是一个十分盛行的研究课题，早在公元1世纪，古希腊数学家海伦（Heron）就已经证明了光的反射定律：光射向平面时，入射角等于反射角。海伦还将该定律推广到圆弧的情形，此时，入射光与反射光与圆弧的切线所成角相等。那么，对于其他曲线，光又如何反射呢？这就需要确定曲线的切线。

A

图 1 光在平面上的反射图 2 光在球面上的反射二是曲线运动的速度问题。对于直线运动，速度方向与位移方向相同或相反，但如何确定曲线运动的速度方向呢？这就需要确定曲线的切线。

三是曲线的交角问题。曲线的交角是一个古老的难题。自古希腊以来，人们对圆弧和直线构成的角——牛头角（图3中AB弧与AC构成的角）和弓形角（图4中AB与ACB弧所构成的角）即有过很多争议。17世纪数学家遇到的更一般的问题是：如何求两条相交曲线

所构成的角呢？这就需要确定曲线在交点处的切线。 (二)探索新知

问题1 已知：匀加速直线运动方程为：2

02

1)(at t v t s +=，[0,]t T ∈，求：物体在0t 时刻（0[0,]t T ∈）的瞬时速度。

问题解决：设t 为0t 的邻近时刻，则落体在时间段0[,]t t （或0[,]t t ）上的平均速度为

00

()()

s t s t v t t -=

-

若0t t →时平均速度的极限存在，则极限

00

()()

lim

t t s t s t v t t →-=-

为质点在时刻0t 的瞬时速度。

问题2已知：曲线)(x f y =上点00(,)M x y ，求：M 点处切线的斜率。

下面给出切线的一般定义；设曲线C 及曲线C 上的一点M ，如图，在M 外C 上另外取一点N ，作割线MN ，当N 沿着C 趋近点M 时，如果割线MN 绕点M 旋转而趋于极限位置MT ，直线MT 就称为曲线C 在点M 处的切线。

问题解决：取在C 上M 附近一点(,)N x y ，于是割线PQ 的斜率为

0000

()()

tan y y f x f x x x x x ϕ--=

=--（ϕ为割线MN 的倾角） 当0x x →时，若上式极限存在，则极限

00

()()

tan lim

x x f x f x k x x α→-==-（α为割线MT 的倾角）

为点M 处的切线的斜率。

导数的定义

定义 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若极限0

0()(lim

x x x f x f x x --→）

存在，则称函数

f 在点0x 处可导，并称该极限为f 在点0x 处的导数，记作)('0x f 。

即 0

000

()('()lim x x f x f x f x x x →-=-）

（2）

也可记作o

x x y ='，

o x x dy dx =，()

o

x x df x dx =。若上述极限不存在，则称f 在点0x 处不可导。

f 在0x 处可导的等价定义：

设,0x x x ∆+=)()(00x f x x f y -∆+=∆，若0x x →则等价于0x ∆→，如果

函数f 在点0x 处可导，可等价表达成为以下几种形式：

000

()('()lim

x x f x f x f x x x →-=⇔-）00'()lim x y

f x x ∆→∆=∆

0000

()('()lim

x f x x f x f x x

∆→+∆-⇔=∆）

单侧导数的概念

在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：

定义 设函数)(x f y =在点0x 的某右邻域),(00δ+x x 上有定义，若右极限

000

0()(lim lim x x f x x f x y

x x

+

+

∆→∆→+∆-∆=∆∆） （δ<∆

左导数 00

'()lim x y

f x x

-

-∆→∆=∆。 左、右导数统称为单侧导数。

导数与左、右导数的关系：若函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，则)('0x f 存在⇔)('0x f +，)('0x f -都存在，且)('0x f +=)('0x f -。 （三）知识巩固

例题1 求2

)(x x f =在点1=x 处的导数，并求曲线在点)1,1(处的切线方程。

解：由定义可得：

x

x x f x f x y f x x x ∆-∆+=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆1

)1(lim )1()1(lim lim )1('2000

2)2(lim 2lim 020=∆+=∆∆+∆=→∆→∆x x

x x x x 附注：在解决切线问题时，要熟悉导数的定义，并能通过导数的几何意义来解决一般问题