数值计算方法教案数值积分25355

第四章 数值积分一．问题提出： （1）针对定积分()baI f x dx =⎰，若()5f x x =,a=0,b=1，即有161500166x I x dx ===⎰，但当()sin xf x x=，()2sin f x x =，……，时，很难找到其原函数。

（2）被积函数并没有具体的解析形式，即()f x 仅为一数表。

二．定积分的几何意义定积分()ba I f x dx =⎰的几何意义为，在平面坐标系中I 的值即为四条曲线所围图形的面积，这四条曲线分别是()y f x =，y=0，x=a ，x=b 。

xy三．机械求积公式 1.中矩形公式()()2ba ab I f x dx b a f +⎛⎫=≈- ⎪⎝⎭⎰； 几何意义：用以下矩形面积替代曲边梯形面积。

xy22.梯形公式()()()2ba b aI f x dx f a f b -=≈+⎡⎤⎣⎦⎰ 梯形公式的几何意义：用以下梯形面积替代曲边梯形的面积：xy3.辛普生公式()()()462bab a a b I f x dx f a f f b -⎡+⎤⎛⎫=≈++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰ 辛普生公式的几何意义：阴影部分的面积为抛物线曲边梯形，该抛物线由()(),(),,,,()22a ba b a f a f b f b ⎛++⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭三点构成。

xya+b 24.求积公式的一般形式()()0nbkkak f x dx A f x =≈∑⎰，其中称为节点，称为求积系数，或权。

5.求积公式的代数精度（衡量求积公式准确度的一种方法）含义：衡量一个积分公式的好坏，要用具体的函数来衡量，寻找怎样的函数来衡量呢？简单的多项式函数是一个理想的标准。

定义：若某积分公式对于()0,1,,k x k m =均能准确成立，但对于1m x +不能准确成立。

则称该公式具有m 次代数精度。

解释：代数精度只是衡量积分公式好坏的1种标准。

例1．研究中矩形公式()()2b a a b f x dx b a f +⎛⎫≈- ⎪⎝⎭⎰的代数精度及几何意义。

解：当()01f x x ==时，公式左边()1b baaf x dx dx b a ===-⎰⎰，公式右边b a =-，左=右；当()1f x x =时，公式左边()22222bb baaaxb a f x dx x dx -====⎰⎰，公式右边()2222a b b ab a +-⎛⎫=-=⎪⎝⎭，左=右； 当()2f x x =时，公式左边()333233bb baaa xb a f x dx x dx -====⎰⎰，公式右边()22a b b a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，左右；故中矩形公式具有1次代数精度。

从定积分的几何意义可以看出，当被积函数为一条直线时，中矩形公式是严格成立的，中矩形面积与梯形面积相等，如下图所示。

xy2例2．研究梯形公式()()()2ba b aI f x dx f a f b -=≈+⎡⎤⎣⎦⎰的代数精度及几何意义。

解：当()01f x x ==时，公式左边()1bbaaf x dx dx b a ===-⎰⎰，公式右边b a =-，左=右；当()1f x x =时，公式左边()22222bb baaax b a f x dx x dx -====⎰⎰，公式右边()2222b a b a a b --=+=，左=右； 当()2f x x =时，公式左边()333233bb baaa xb a f x dx x dx -====⎰⎰，公式右边()222b a a b -=+，左右。

故梯形公式也具有1次代数精度。

从定积分的几何意义知，当被积函数为一条直线时，其积分值本身就是一个梯形的面积，如下图所示。

xy例3．研究辛普生公式()()()462ba b a a b I f x dx f a f f b -⎡+⎤⎛⎫=≈++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰的代数精度及几何意义。

解：当()01f x x ==时，公式左边()1bbaaf x dx dx b a ===-⎰⎰，公式右边b a =-，左=右；当()1f x x =时，公式左边()22222bb baaax b a f x dx x dx -====⎰⎰，公式右边224622b a a b b aa b -+-⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，左=右； 当()2f x x =时，公式左边()333233bb baaa xb a f x dx x dx -====⎰⎰，公式右边()233222242226263b a a b b a b a a b a ab b ⎛⎫-+--⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，左=右； 当()3f x x =时，公式左边()444344bbbaaax b a f x dx x dx -====⎰⎰，公式右边344334624b a a b b a a b ⎛⎫-+-⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，左=右； 当()4f x x =时，左右； 故梯形公式具有3次代数精度。

当被积函数为一条直线或一条抛物线时，过其曲线上3个点构造的抛物线就是其本身曲线，所以积分公式严格成立。

当被积函数为3次多项式时，辛普生公式也严格成立，如下图所示，两个曲边梯形面积刚好相等。

xy6.求积公式的确定 方法一：待定系数法。

例1.构造一个至少具有一次代数精度的积分公式。

分析：构造一次代数精度的公式，即当()1f x =及()f x x =时，公式严格成立，故有2个约束条件，于是可以确定具有2个参数的积分公式。

解：设积分公式为：()()()01ba f x dx A f a A fb ≈+⎰。

针对()1f x =及()f x x =，代入积分公式的左边和右边，有：()01220112b a A A b a A a Ab -=+⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得()012A b a =-，()112A b a =- 于是有积分公式：()()()22bab a b a f x dx f a f b --≈+⎰。

该公式即为梯形求积公式。

例2.构造一个至少具有2次代数精度的求积公式。

解：设积分公式为()()()0122b aa b f x dx A f a A f A f b +⎛⎫≈++ ⎪⎝⎭⎰。

针对()1f x =，()f x x =及()2f x x =，代入积分公式的左边和右边，有：()()0122201223322012122132b a A A A a b b a A a A A b a b b a A a A A b ⎧⎪-=++⎪⎪+-=++⎨⎪⎪+⎛⎫-=++⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得：()016A b a =-，()123A b a =-，()216A b a =-积分公式为：()()()462bab a a b I f x dx f a f f b -⎡+⎤⎛⎫=≈++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰ 该公式即为辛普生公式，需要注意的是，该公式的代数精度并不是2次，而是3次的。

方法二，插值法（插值型求积公式），即过函数f(x)的n+1节点x0，x1，……，xn ，作n 次多项式函数()n P x ，根据拉格朗日公式：()()()0nn k k k Px l x f x ==∑，则有 ()()()()()00nn b bb n k k k k aaa k k f x dx P x dx l x dx f x A f x ==⎡⎤≈==⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰⎰，其中，()bk k a A l x dx =⎰ 代数精度的分析：若被积函数()f x 是次数小于n 的多项式函数，那么由其曲线上的n+1节点构成的n 次多项式函数()n P x 即是被积函数()f x 本身。

则：插值型积分公式具有至少n 次代数精度。

解释：若()f x 是一条直线，那么过其曲线上3个点构造的抛物线()22012P x a a x a x =++，其中必有20a =，即()()2P x f x =；同理，若()f x 是一条抛物线，那么过其曲线上4个点构造的3次多项式函数()2330123P x a a x a x a x =+++，其中必有30a =，即()()3P x f x =。

四．牛顿-柯特斯公式 1.中矩形公式()()2ba ab I f x dx b a f +⎛⎫=≈- ⎪⎝⎭⎰； 几何意义：用以下矩形面积替代曲边梯形面积。