计算机数值方法教案

第O 章 绪论

一、教学设计

1．教学内容：数值计算方法这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。

2．重点难点：算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。

3．教学目标：了解数值计算方法的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。

4．教学方法：介绍与讨论

二、教学过程

§1。1引论

1．课程简介：

数学科学的一个分支，它研究数值计算方法的设计、分析和有关的理论基础与软件实现问题。另外，有一个较常用的名词“数值分析”，其包含的内容属于计算数学的一个部分。

2．历史沿革：

①数学最初导源于计算，计算曾经是古代数学的最重要的组成部分。

②各个时期的大数学家，在发展基础数学的同时也都对计算方法作出了重要贡献。例如：牛顿、拉格朗日、高斯、秦九韶等。

③直到20世纪40年代，由于技术手段和计算工具条件的不足，发展比较缓慢，作用也比较有限。

3．计算方法的形成：

①20世纪下半叶，计算机极大地扩展了数学的应用范围与能力。如：天气预报

②计算能力的提高与所用计算方法的效能密切相关。

③以原来分散在数学各分支的计算方法为基础的一门新的数学科学“计算数学”开始形成并迅速发展。

4．作用与意义：

科学实验、科学理论、科学计算已成为人类进行科学活动的三大方法。这是伽利略、牛顿以来在科学方法论方面取得的重大进展。

5．计算方法的任务：

①将计算机不能直接计算的运算，化成在计算机上可执行的运算。

例：!!212n x x x e n x

++++≈ ， h x y h x y x y )()()(-+≈' ②针对数值问题研究可在计算机上执行且行之有效的新系列计算公式。

例：解线性方程组，已有Cram 法则，但不可行。(几十万年)

③误差分析，即研究数值问题的性态和数值方法的稳定性。

6．计算机数值方法的研究对象：(与科学计算有关的数学问题是多种多样的，最基本类型有：)

利用计算机解决科学计算问题的全过程大致如下：

实际问题――＞构造数学模型――＞设计数值计算方法――＞程序设计――＞上机求

出结果――＞回到实际问题。

数学模型举例：

例1：鸡兔同笼：（共10只，34只脚）导致方程组；

例2：曲边梯形的面积。

相应地，本课程主要研究的数值问题有：函数的插值与逼近方

法；微分与积分计算方法；线性方程组与非线性方程组计算方

法；微分方程数值解等。

7．主要特点

既有纯数学的高度抽象性与严密科学性的特点，同时又具

有应用广泛性与数值试验的高度技术性。（要求先掌握基本数

学知识，以及计算机的基本操作）

8．学习目的：

①学习一些常用的数值方法，掌握数值方法的基本理论，为进一步研究新算法奠定基础。 ②初步掌握一种软件包：Mathematic,Matlab 等的使用方法。

9．参考书目：

［1］袁蔚平等编.《计算方法与实习》.南京 ：东南大学出版社,2000年7月

［2］李庆杨等编.《数值分析》 .武汉：华中工学院出版社,1982年1月

［3］葛福生编.《数值计算方法》.南京 ：河海大学出版社,1996年4月

§1。2数值问题与数值算法

1．数值问题：指输入数据与输出数据之间函数关系的一个确定而无歧义的描述。

例：求二次方程02=++c bx ax 的根，可算作一个数值问题；求常微分方程 0)0(,32=+='y x y 的解，却不能称作数值问题，需离散化。

2．数值方法：求解数值问题的计算机上可执行的系列计算公式。

例1：Cram 法则，Gauss 消去法

例2：求根公式a ac b b x 2422,1-±-=→ac b d a

d SQRT b x 4,2)(22,1-=±-= 3．数值算法：指有步骤地完成解数值问题的过程，数值方法是它的前提和基础，它是数值方法的具体化。具备以下四个特性：①目的性；②确定性；③可执行性；④有穷性。(有别于常规的思维)

算法设计的目的：①可靠性好、计算精度高；②计算复杂性好；③为程序设计作准备。

4．算法设计及其表达法

表达方法：自然语言法和图示法。

例：通过二次方程求根的例子，说明数值方法与数值算法的区别，并演示算法常用的表达方法之一：自然语言法（图示法不加介绍）。(首先要选择数值方法：公式法或迭代法)

主要步骤：（阅读课本后，要求自己解释）

1．输入数据c b a ,,

2．若0=a 怎样？（若0≠b ，b

c x -

=1，否则…） 3．若0≠a ，计算ac b D 42-=，)(D SQRT SD = 若0=D 怎样？（a b x x 221-

==） 若0

iSD b x 22,1±-=） 若0>D 怎样？

4．输出21,x x

§2误差

2-1 误差的基本概念

1．误差来源及种类：①模型误差（忽略次要因素）②观测误差（测量工具的限制）③截断误差（有限代替无限，如Taylor 展开）④舍入误差（计算机字长位数有限），主要讨论③④。

2．举例说明误差分析的重要性：计算),2,1,0(101 ==⎰-n dx e x e I x n n 。

递推公式（A ）：11--=n n nI I ，632120559.00=I ；11--=n n nI I ，6321.00=I ；

递推公式（B ）：n I I n n /)1(1-=-，8123130.0325685520=I

计算),2,1,0(1

01 ==⎰-n dx e x e I x n n 。

递推公式（A ）：11--=n n nI I ，632120559.00=I ；11--=n n nI I ，6321.00=I ；

递推公式（B ）：n I I n n /)1(1-=-，8123130.0325685520=I

⎰⎰≤≤-≤≤-<<1010110101max min dx x e e I dx x e e n x x n n x x ，或 1

111+<<+-n I n e n ， 故 7619050.04761904I 8627210.0175180620<<，取中值即得8123130.0325685520=I

计算结果见表，差之毫厘，失之千里，试分析其中原因（误差被放大或缩小）。

3．定义3.1 设*x 为准确值，x 为*x 的一个近似值，称x x e -=*

为近似值x 的绝对误差，简称误差。

（绝对）误差限ε：ε≤-=x x e *，或ε±=*x x

例：51000,215±=±=y x 4．定义3.2 近似值x 的误差与准确值*

x 之比***x x x x e e r -==，称为近似值x 的相对误差。

（相对）误差限r ε：r r x

x x e ε≤-=**。