广义积分与伽玛函数
6-6 广义积分与伽玛函数
x1
dx
C .
1 0
x 2x 1
3
x 1
2
dx
D . e x 1 dx
0
1
1
20/32
1. 设f(x)在(a,b]连续，x=a 为瑕点(即 xlim f ( x ) ) a
若 lim a f ( x ) dx 极限存在，则称瑕积分 a f ( x ) dx 0
2
x
f (x)
1 0
2 e
f (1 ) f ( 0 )
0
f (1 )
1 1
e dt 0
2 e 1 e 1
t
f (0) 3 e
e dt e
t
t
1 0
1 e
1
1
原式
微积分 六⑤
1
5/32
4 .已 知 [ f ( x ) f ( x )] sin xdx 5 , f ( ) 2, 求 f ( 0 ) .
(1 )
ln x d x ;
1
( 2)
xe
0
x
dx;
解： (1 )
1
ln x d x lim
t 1
t
t 1
t
ln x d x
1
t 1
ln x d x x ln x
t 1
t ln t x
lim
t
x t ln t t 1
b
b
收敛，记为 a f ( x ) dx lim a f ( x ) dx 0
chp6.8反常积分与伽玛函数
而 1 r 1,
r 1 x
1 1 1 r x 1 x e x1 r
I1 收敛 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
I2
1
x e dx
r 1 x
2) 讨论 I 2 .
r 1 x ( x r 1e x ) lim x 0 x e
机动
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结束
三、 函数
1. 定义
( r )
0
x r 1e x d x (r 0)
下面证明这个特殊函数在 r 0 内收敛 . 令
I1 x e d x , I 2
r 1 x 0 1 1
x r 1e x d x
1) 讨论 I1 . 当 r 1时 , I1 是定积分 ;
三函数定义机动目录上页下页返回结束下面证明这个特殊函数在收敛机动目录上页下页返回结束收敛综上所述性质递推公式机动目录上页下页返回结束广义积分积分区间无限被积函数无界正常积分的极限机动目录上页下页返回结束说明
第八节 反常积分与伽玛函数
正常积分
推广
第六章
积分限有限 被积函数有界
反常积分 (广义积分)
一、无穷区间上的积分
这时称广义积分 就称广义积分
收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .
类似地 , 若 f ( x)在[a , b)上连续 ,而在 b 的左邻域内无界,
则定义
机动 目录 上页 下页 返回 结束
而在点 c 的 邻域内无界 , 则定义
lim
1 0
a f ( x) dx c f ( x) dx c b a f ( x) dx lim 0 c
高等数学：第五章 第5节广义积分
cosln
x
x
1
1
sinln
xdx
1
sin(ln x)dx
1 [cosln sin ln ] 1
2
2
1
1
sin(ln x)dx lim[
0
0
] 2
17
例6 dx
0 x(4 x)
1 dx
0 x (4 x) 1
dx x(4 x)
lim[arctan 0
x 2
]1
lim[arctan b
lim
0
b
a f (x)dx .
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
11
设函数 f ( x)在区间[a,b] 上除点外 c 连续，
lim
xc
f
(
x)
,如果两个广义积分ac
f
(
x)dx
和
b
c
f
( x)dx 都收敛，则定义
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx
lim arctanb b
2
2
.
5
例3
计算广义积分
2
1 x2
sin
1 x
dx.
解
2
1 x2
sin
1 x
dx
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b
2
sin
1 x
d
1 x
lim
b
cos
1 x
b 2
blimcos
第五节 广义积分
∫
+∞
1
1 dx ( p > 0 ) 的收敛性. 的收敛性. p x
解 当 p = 1 时,
当 p ≠ 1时 ,
∫
+∞
1
1 +∞ dx = ln x 1 = +∞ ， 积分发散； 积分发散； x
∫
+∞
1
1 x dx = p x 1− p 1
+∞ 1− p
+ ∞ , p < 1 = 1 p −1, p > 1
f ( x ) dx ( k ≠ 0) 具有 相同的
+∞ a
敛散性； 敛散性 ；
3 设∫
f ( x ) dx 与
∫
g ( x ) dx 都收敛 ， 则
∫
+∞ a
[ f ( x ) ± g ( x )] dx 也收敛 。
16
二、瑕积分
的任一邻域内都无界, 如果函数 f ( x ) 在点 a 的任一邻域内都无界,则称点
−∞
f ( x)dx + ∫
+∞ a
f ( x)dx
注意：上式只有右边两个反常积分均收敛时才有意义。 注意：上式只有右边两个反常积分均收敛时才有意义。
4
例1
讨论下列无穷限积分的敛散性. 讨论下列无穷限积分的敛散性
(1)
∫
+∞ 0
dx 1 + x2
解 对任意 t > 0 , 有
∫
t
0
dx t 2 = arctan x 0 = arctan t , 1+ x
9
例2
∫
+∞ 0
xe d x = − ∫
γ(x)伽玛函数公式广义积分公式
γ(x)伽玛函数公式广义积分公式γ(x)伽玛函数是数学中的一种特殊函数，广泛应用于各个领域。
它的定义是通过一个广义积分公式给出的。
下面我们来深入了解一下伽玛函数以及它的广义积分公式。
伽玛函数是数学家欧拉在18世纪提出的，它是阶乘函数在复数域上的推广。
伽玛函数的定义如下：γ(x) = ∫(0,∞) t^(x-1)e^(-t)dt其中，x是一个复数，t是变量，e是自然对数的底。
伽玛函数的定义域为复数域，可以取任意复数值。
当x为正整数时，伽玛函数可以化简为阶乘函数，即γ(n) = (n-1)!，其中n为正整数。
伽玛函数的广义积分公式是用来计算伽玛函数的一种方法。
它的形式如下：∫(0,∞) t^(x-1)e^(-t)dt这个广义积分公式可以通过一系列的数学变换和技巧进行求解。
其中最常用的方法是利用分部积分法。
通过多次应用分部积分法，可以将伽玛函数的广义积分公式转化为其他形式的积分，从而得到其数值解。
伽玛函数和其广义积分公式在数学和科学领域具有广泛的应用。
首先，在统计学中，伽玛函数被用于描述连续性随机变量的概率密度函数。
例如，在伽玛分布中，伽玛函数被用来描述事件发生的时间间隔。
在物理学中，伽玛函数和其广义积分公式被用于求解一些重要的物理问题。
例如，在量子力学中，伽玛函数被用来描述粒子的波函数，从而求解粒子的能量和位置等信息。
在工程学和经济学中，伽玛函数也有着广泛的应用。
例如，在电路分析中，伽玛函数被用来计算电容和电感元件的响应。
在金融学中，伽玛函数被用来计算期权定价模型中的一些关键参数。
通过以上的介绍，我们可以看出，γ(x)伽玛函数以及其广义积分公式在数学和各个应用领域都有着重要的地位和作用。
它的定义简洁明了，通过广义积分公式可以计算出其值。
伽玛函数的应用广泛，不仅在理论研究中有着重要的地位，也在实际问题的求解中发挥着重要的作用。
γ(x)伽玛函数及其广义积分公式是数学中一种重要的特殊函数和求积方法。
它的应用范围广泛，涵盖了数学、物理、工程和经济等多个领域。
商务数学64广义积分与Γ函数(改进版)
第六章定积分Definite Integral§4 广义积分与Γ函数对于定积分有两方面的要求：①积分f区间[]b a,是有限的；②被积函数()x 是有界的.但在一些实际问题中常会遇到具有无穷间断点的函数（无界函数）的积分或函数在无穷区间上的积分问题.因此把定积分的概念推广，就得到无穷积分（infinite integral）和瑕积分（flaw integral）,这两类积分统称为广义积分（improper integral）.而Γ函数（Gamma function ）则是一类应用十分广泛的无穷积分.无穷积分（无穷区间上的积分）Definition （See ）设函数()x f 在区间[)+∞,a 上连续，如果极限()⎰+∞→bab dx x f lim （a ＜b ）存在，则称此极限值为()x f 在[)+∞,a 上的无穷积分（infinite integral ），记作()⎰+∞a dx x f ，即()()⎰⎰+∞→+∞=bab adx x f dx x f lim，这时我们说无穷积分()⎰+∞adxx f 存在（existence ）或称其收敛（convergence 或converges ）；如果极限()⎰+∞→bab dx x f lim（a ＜b ）不存在，我们就说无穷积分()⎰+∞adxx f 不存在（non-existence ）或称其发散（divergence 或diverges ）. 【Note 】类似地，可以定义()x f 在区间(]b ,∞-及()+∞∞-,上的无穷积分： ①()()⎰⎰-∞→∞-=baa b dx x f dx x f lim；②()()()dx x f dx x f dx x f c c⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=()()dx x f dx x f bcb c aa ⎰⎰+∞→-∞→+=lim lim（其中()+∞∞-∈,c ）.※ 对于无穷积分()dx x f ⎰+∞∞-，其收敛的充分必要条件是()⎰∞-cdx x f 与()dx x f c⎰+∞均收敛.若()x F 是()x f 的原函数，且分别将()x F lim a -∞→和()x F lim b +∞→简记为()∞-F 和()∞+F ，则仿Newton-Leibniz 公式，无穷积分可简记为：Example 6.4.1（See ）求⎰+∞-0xdx e . 解()b 0xb bxb 0xelim dx e limdx e -+∞→-+∞→+∞--==⎰⎰()1e 1lim bb =-=-+∞→.【Note 】也可写为⎰⎰+∞-+∞--=0x0xde dx e()101e 0x=-=-+∞-.Example 6.4.2（See ）求⎰+∞0xdx cos . 解b 0xsin lim xdx cos limdx x cos b bb 0+∞→+∞→+∞==⎰⎰b sin lim b +∞→=，此极限不存在，于是⎰+∞0xdx cos 发散.Example 6.4.3（See ）求⎰+∞∞+－dx x 112.解+∞∞-=+⎰+∞∞x arctan dx x 112－πππ=⎪⎭⎫⎝⎛--=-=-∞→+∞→22a arctan lim b arctan lim a b .Example 6.4.4（See ）Determinewhether⎰+∞-0xdxxe converges ordiverges .Solution From the definition , we have dx xe limdx xe RxR 0x⎰⎰-+∞→+∞-=.To evaluate the last integral , you will need integration by parts . Letx u = dx e dv x-=dx du = xe v --=we than have⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==⎰⎰⎰--+∞→-+∞→+∞-R0x xR RxR 0xdx e xelim dx xe limdx xe R 0⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--+∞→R0x R R e Re 0lim ()RR R e 1Re lim --+∞→-+-=.Note that the limit RR Re lim -+∞→has the indeterminate form ∞⋅0. We resolve this with L ’Hospital ’s Rule, as follows:e 1lim edRd RdR d lim e R lim Re lim R R R R R R R R ====+∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛∞∞+∞→-+∞→. Returning to the improper integral, we now have⎰+∞-0xdx xe ()1e 1Re lim R R R =-+-=--+∞→.Example6.4.5（See ）已知dt te x x 1lim a taxx ⎰∞-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求a 的值. 解 a axx ax x e x 11lim x x 1lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→，dt te a t⎰∞-()a a taattat e0ae dt e tetde ∞-∞---=-==⎰⎰∞-∞-()()1a e 0e ae a a a -=--=，故()1a e e a a -=，于是1a 1-=，即2a =.※ Example 6.4.6（See ）证明无穷积分⎰+∞1x dx α当α＞1时收敛于11－α，当α≤1时发散.证明 当1≠α时，ααααα--=-=--⎰11b 1xxdx 11b1b1，所以当1=α时，b ln lim x dx lim xdxb b 1b 1+∞→+∞→+∞==⎰⎰α+∞=.所以无穷积分⎰+∞1xdx α当α＞1时收敛于11－α，当α≤1时发散.瑕积分（无界函数的积分）=--=-+∞→∞+⎰ααα11lim 11b x dx b 11－α，α＞1 ∞+， α＜1Definition （See ）设函数()x f 在区间(]b ,a 上连续，当+→a x 时，()∞→x f ，如果极限()dx x f lim bRaR ⎰+→存在，则称此极限值为无界函数()x f 在(]b ,a 上的瑕积分（flaw integral ），仍记作()dx x f ba⎰，即()()dx x f dx x f bRa R ba⎰⎰+→=lim ，这时我们说瑕积分()dx x f ba ⎰存在（existence ）或称其收敛（convergence 或converges ），并称无穷间断点a 为瑕点（flaw spot ）；如果极限()dx x f lim bRa R ⎰+→不存在，我们就说瑕积分()dx x f ba⎰不存在（non-existence ）或称其发散（divergence 或diverges ）. 【Note 】类似地，可以定义()x f 在区间[)b ,a 上连续，当-→b x 时，()∞→x f 及()x f 在区间[]b ,a 上除c 点外连续，而当c x →时，()∞→x f 上的瑕积分：①()()⎰⎰-→=RabR badx x f dx x f lim ；②()()()dx x f dx x f dx x f bc c a b a ⎰⎰⎰+=()()dx x f dx x f bR cR R acR 2211⎰⎰+-→→+=lim lim（其中()b ,a c ∈）.※ 对于瑕积分()dx x f ba ⎰，其收敛的充分必要条件是()⎰c a dx x f 与()dx x f bc ⎰均收敛.【Note 】需要特别注意的是，瑕积分与通常定积分的记法一样，都是()dx x f ba⎰，其是否为瑕积分，就看积分区间[]b ,a 上是否有瑕点（无穷间断点）.一旦忽略了这一点，若按通常的定积分去计算，就会出现错误.例如，我们在前边曾经举过的两个例子，xln dx x 11111==-⎰－，2x1dx x 111112-=-=-⎰－都是错误的.Example 6.4.7（See ）求dx x ln 10⎰. 解 因为当+→0x 时，-∞→x ln ，所以按定义()1Rx x ln x lim xdx ln lim dx x ln 1R 0R 0R 10-==⎰⎰++→→ ()R R ln R 1lim 0R +--=+→R ln R lim 10R +→--=，而()0R lim R1R 1lim R 1Rln lim R ln R lim 0R 20R 0R 0R =-=-==++++→→→→，所以1dx x ln 10-=⎰.Example 6.4.8（See ）判断dx x 1112⎰－的敛散性.解 因为当0x →时，∞→2x 1，所以dx x 1112⎰－+=⎰dx x 1012－dx x112⎰dx x 1lim 11R 120R ⎰-→=－ dx x1lim 1R 20R 22⎰+→+，而dx x1lim 11R 120R ⎰-→－ 1R 11x1lim 0R --→-=+∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-→1R 1lim 10R 1，故瑕积分dx x 1112⎰－发散.Example 6.4.9（See ）Determine whether⎰-1dx x11converges ordiverges .Solution From the definition , we have()x 1d x11lim dx x 11lim dx x 11R 01R R 01R 1---=-=-⎰⎰⎰--→→()2R 11lim 2x 1lim 21R 1R R=--=--=--→→.And so, theimproper integralconverges to 2.【Note 】也可以写成这样：()x 1d x 11dx x11101---=-⎰⎰2x1210=--=-.Example 6.4.10（See ）Determine whether⎰-21dx x11converges ordiverges .Solution From the definition , we have()x 1d x 11lim dx x 11lim dx x112R 1R 2R 1R 21---=-=-⎰⎰⎰++→→-∞=-=--=++→→R 1ln lim x1ln lim 1R 1R 2R.So that the improper integral diverges. ※ Example 6.4.11（See ）证明瑕积分⎰1x dx α当α＜1时收敛于α-11，当α≥1时发散.证明 因为被积函数在0x =处无界,而由瑕积分定义知,当α＜1时，αααα-=--=-→+⎰111R 1lim xdx 10R 10,此时积分收敛. 当1=α时，()+∞=-=+→⎰R ln lim x dxR 10α. ⎰1R x dx α= αα---1R11，1≠α lnR -， 1=α当α＞1时，-∞=--=-→+⎰ααα1R 1lim x dx 10R 10.所以瑕积分⎰1x dxα当α＜1时收敛于α-11，当α≥1时发散.【Note 】Example 6.4.8（See ）也可这样作：dx x 1112⎰－+=⎰dx x 1012－dx x112⎰，而由上例知，dx x112⎰发散（2=α＞1），故dx x 1112⎰－发散.Example 6.4.12 ①k 为何值时，瑕积分()⎰+e13k x ln x dx 收敛？②k 为何值时，无穷积分()⎰+∞-e 2k x ln x dx收敛？ 解①因()()⎰⎰⎰+=====++==103k x ln t 1t ,e x 0t ,1x e 13k e13k t dt x ln x ln d x ln x dx，由上例可知，当3k +＜1即k ＜2-时，瑕积分()⎰+e13k x ln x dx收敛.②因()()⎰⎰⎰+∞-=+∞→+∞→==+∞-+∞-==12k xln t t ,x 1t ,e x e 2k e2k t dt x ln x ln d x ln x dx，由Example 6.4.6可知，当2k -＞1即k ＞3时，无穷积分()⎰+∞-e 2k x ln x dx收敛.Γ函数下面讨论一个在概率论中要用到的积分区间无限且含有参变量的积分. Definition （See ）广义积分()dx e x s x 01s -+∞-⎰=Γ（s ＞0）是参变量s 的函数，称为Γ函数（或伽马函数[ gamma function ]）. 可以证明()s Γ在s ＞0时是收敛的，其他情形皆发散.容易证明，Γ函数有一个重要性质：()()s s 1s ΓΓ=＋.证明 ()x 0s xs de x dx e x 1s -+∞-+∞⎰⎰-==+Γsxxs x d e ex 0⎰+∞--+-=+∞xd e x s 0x 1s ⎰+∞--=()s s Γ=（注意，当s＞0时，0ex 0xs =-+∞-）.【Note 】 公式()()s s 1s ΓΓ=＋是一个递推公式（recurrence formula 或recursion formula ）.利用这一公式，计算Γ函数的任意一个函数值都可化为求Γ函数在区间(]1,0上的函数值. ※ 若s 是正整数n ，易证明()!n 1n =+Γ事实上，()()()()1n 1n n n n 1n --==ΓΓΓ＋ ()()()()()()2232n 1n n 2n 2n 1n n ΓΓ⋅--==---= ()1!n Γ=，而()1dx e 10x ==⎰+∞-Γ，所以()!n 1n =+Γ.由上式易知，()11=Γ，()12=Γ. Example 6.4.13（See ）计算下列各值：①()6.4Γ；②()()3521ΓΓ⋅；③⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛2125ΓΓ.解 ①()()()6.36.316.36.4ΓΓΓ=+=()()6.16.16.26.36.26.26.3ΓΓ⨯⨯=⨯=()()6.09856.86.06.06.16.26.3ΓΓ=⨯⨯⨯=；②()()24!2!4213521=⨯⨯=⋅ΓΓ； ③43212121232123232125=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ΓΓΓΓΓΓ.Example 6.4.14（See ）计算积分dx e x x 05-+∞⎰.解 ()120!56dx e x x 05＝==-+∞⎰Γ.Γ函数还可以写成另外一种形式，例如，设Γ函数中的2y x =，则有()dy e y 2s 2y 01s 2-+∞-⎰=Γ.此式中的广义积分dy e 0y 2⎰+∞-是概率论中常见的泊松积分（Poisson ’s integral ），可以证明dy e 0y 2⎰+∞-收敛且等于2π（要用到多元积分学中的二重积分知识，在本课程以中将不涉及这部分内容），所。
高等数学 第六章 第6节 广义积分与T函数(中央财经大学)
解 因为 lim 1 = +∞ , 所以,
x→1− 1 − x2
x = 1 为函数 f (x) = 1 的瑕点. 1− x2
∫ 1 d x = arcsin x 1
0 1− x2
0
= arcsin1− arcsin 0
=π . 2
例
∫ 计算
1 −1
dx x2
.
解
∫1 dx 1
−1 x2
f (x)d x = F(x)
a
b a
=
F (b) −
lim
x →a+
F(x) ,
( x = a 为瑕点) .
∫b
f (x)d x = F(x)
b
= lim F (x) − F (a) ,
( x = b 为瑕点) .
a
a x→b−
这样就将瑕积分的计算与定积分的计算联系起来了.
2. 瑕积分基本运算性质 以下均以积分下限 x = a 为唯一瑕点的情形进行叙述 ,
ε →0+ c+ε
c
b
b
仅当 ∫a f (x) d x 与∫c f (x) d x 同时收敛时, ∫a f (x) d x 才收敛 .
c
b
b
∫a f (x) d x 与∫c f (x) d x 至少有一个发散时, ∫a f (x) d x 发散 .
与无穷积分的情形类似，瑕积分也有下列运算形式：
∫b
我们将运用极限的方法来完成这个工作.
一、无穷积分 —— 无穷区间上的广义积分
1. 无穷积分的概念
设函数 f (x) 在[a, + ∞) 上有定义 .
∀ A∈ R , A > a , 且 f (x)∈ R([a, A]) . 记
伽马函数 高等数学
伽马函数高等数学
伽马函数是一种特殊的数学函数，广泛应用于高等数学、物理学、工程学等领域。
它由瑞士数学家欧拉在18世纪中叶引入并定义。
伽马函数的定义如下：
对于实数x大于0，伽马函数被定义为：
Γ(x) = ∫[0, +∞] t^(x-1) e^(-t) dt.
伽马函数具有以下几个重要的性质：
1. 阶乘关系，对于正整数n，有Γ(n) = (n-1)!
2. 递归关系，Γ(x+1) = x Γ(x)。
3. 对于实数x大于0，伽马函数满足积分方程，Γ(x) = ∫[0, +∞] t^(x-1) e^(-t) dt.
4. 伽马函数在复平面上有解析性质，即对于任意复数z，伽马
函数Γ(z)在复平面上是解析的。
伽马函数在高等数学中有广泛的应用，例如：
1. 在概率论和统计学中，伽马函数与贝塔分布密切相关，用于描述随机变量的概率分布。
2. 在复变函数理论中，伽马函数是解析函数的重要工具，它与复变函数的性质密切相关。
3. 在微积分中，伽马函数与不定积分和定积分有密切关系，可以用于求解各种积分问题。
4. 在物理学中，伽马函数经常出现在波函数、概率密度函数、量子力学中的能级等计算中。
总之，伽马函数是高等数学中一个重要的数学函数，它具有丰富的性质和广泛的应用，对于深入理解和应用高等数学以及相关学科都具有重要意义。
06.6-广义积分与Г-函数
.
故原广义积分发散.
第18页
例11 计算广义积分 0
解
3
dx ( x 1)
2 3
.
x 1瑕点
0 0 1
1
3
dx ( x 1) dx ( x 1) dx ( x 1) 3 dx
2 3 2 3 2 3
1 0
dx ( x 1)
1
2 3
3 1
第14页
设函数 f ( x ) 在区间[ a , b ] 上仅有瑕点 x a , x b . 如果广义积分 a f ( x ) dx 和 c f ( x ) dx 都收敛，则 定义
c b
a
b
f ( x )dx
a
c
f ( x )dx f ( x )dx
c
b
lim
1 0
第6页
例 3 证明广义积分 当 p 1时 发 散 .
1 x
p
1
dx 当 p 1 时 收 敛 ，
证 ( 1 ) p 1 , 1
( 2 ) p 1,
1 x
p
dx
1
1 x
dx ln x 1 ,
1
因此当 p 1时广义积分收敛，其值为 当 p 1时广义积分发散.
0 a
b
f ( x ) dx
其中函数 f ( x ) 在 b 的左邻域内无界
x b 称为 f ( x ) 的瑕点
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
第13页
设函数 f ( x ) 在区间[ a , b ] 上仅有内部的瑕点
γ(x)伽玛函数公式广义积分公式
γ(x)伽玛函数公式广义积分公式在数学中，伽玛函数是一种特殊的函数，它在很多领域中都有广泛的应用。
伽玛函数的定义如下：γ(x) = ∫(0,∞) t^(x-1) * e^(-t) dt伽玛函数的定义包含了一个广义积分，即对于任意实数x，伽玛函数可以通过对指数函数和幂函数的积分求解得到。
这个定义的积分公式在数学中被广泛应用，特别是在概率论、统计学和物理学等领域。
伽玛函数的广义积分公式可以通过一系列的数学推导得到。
首先，我们可以将伽玛函数的定义进行变形，得到如下等式：γ(x) = ∫(0,∞) t^(x-1) * e^(-t) dt= ∫(0,∞) (t^x) * e^(-t) * t^(-1) dt接下来，我们可以使用分部积分法对上述积分进行求解。
分部积分法是微积分中的一种常用技巧，它可以将一个复杂的积分转化为一个更简单的积分。
通过分部积分法，我们可以将上述积分分解为两个部分：∫(0,∞) (t^x) * e^(-t) * t^(-1) dt= [-e^(-t) * t^x]_(0,∞) + ∫(0,∞) e^(-t) * x * t^(x-1) dt其中，[-e^(-t) * t^x]_(0,∞)表示在积分区间上的边界项。
由于指数函数的性质，当t趋近于无穷大时，e^(-t) * t^x的值趋近于0，因此边界项为0。
所以上述等式可以简化为：∫(0,∞) (t^x) * e^(-t) * t^(-1) dt= ∫(0,∞) e^(-t) * x * t^(x-1) dt= x * ∫(0,∞) t^(x-1) * e^(-t) dt将上述结果代入原始的伽玛函数定义公式中，可得：γ(x) = x * ∫(0,∞) t^(x-1) * e^(-t) dt这就是伽玛函数的广义积分公式。
通过这个公式，我们可以计算伽玛函数在不同实数x上的值。
伽玛函数在数学和科学领域中有着广泛的应用，特别是在概率论和统计学中，它被用来描述分布函数和密度函数之间的关系。
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1 1 e x x 0 2 2.设f ( x ) , 求 f ( x 1)dx. 0 1 x0 1 x 解: 设x 1 t， 则dx dt， 且 当x 0时 ，t 1； 当x 2时 ，t 1。 于 是
0
2
0
f ( x 1)dx 1
1
0
xf ( x)dx
4.已知 [ f ( x) f ( x)]sin xdx 5, f ( ) 2, 求f ( 0).
0
微积分 六⑤
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1. 若3 f (ax )dx 2 f ( x )dx, 则a
0 0
1
a
3 ____ . 2
1 解：令ax t , 则x t a
1/32
1. 若3 f (ax )dx 2 f ( x )dx, 则a ____ .
0 0
1
a
1 1 e x 2.设f ( x ) 1 1 x
3. f ( x) e dt 求
t 1 x2
x0 x0
, 求 f ( x 1)dx.
2 0
0
x e dx 1
x
微积分 六⑤
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约定记号：若 F ( x ) f ( x ) 则
a
f ( x)dx F ( x )
x
a
lim F ( x) F (a)
x
x
上题可以写成：
(2)
0
x e dx 0 xde [ xe
t
a
设 f(x)在 ( , b]连续，如果 lim
在则称反常积分
微积分 六⑤
b
f ( x )dx
（请同学们参照1.给出定义）
f ( x)dx 收敛，并称此极限为反 b b 常积分的值，记为 f ( x)dx lim f ( x)dx
t t
b
t t
f ( x )dx t 设 f(x)在 [a , ) 连续， 如果 lim f ( x)dx a
t
1.
a
极限存在
f ( x )dx 收敛，并称此极限为广义 t 积分的值，记为 f ( x)dx lim f ( x)dx
a
则称反常积分
a
如果上式极限不存在，则称广义积分发散. 2.
x t x
0
xe xdx;
0
x e dx lim
t
t
t
0
x e dx
x t 0
x
lim xde
0
t
lim [ xe
e dx ]
t x 0
lim[ te t e t 1]
故原反常积分收敛，且
1
dx . 2 1 x
. lim arctan a lim arctan b a b 2 2 dx dx 2 2 arctan x 0 2 2 2
lim arctan x
1
1 1 dt dt f ( t )dt 1 t 0 1 t 1 e 0
dt e t u 1 1 e t
2
0
1 1 1 1 u 1e 1 u u du 1e ( u 1 u )du ln 1 u 1 1 e u 1 1 ln(1 t ) 0 ln( e ) f ( x 1)dx ln 1 u 1
如果用奇函数对称区间上积分性质则有：
2 xdx 0 2 1 x
微积分 六⑤
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如果 f(x)在区间[a,b]上某点无穷间断，则称该点为 f(x)的瑕点，并称积分 f ( x )dx 为瑕积分. 瑕积分比广义积分难，难在瑕点不容易发现。如：
1 1 1 x 2 dx x
1
0
2x e
2 x2 1 0
1 t
f ( x)
1 0
2 f (1) f (0) e
0 t t 1 0 1
f (1) e dt 0
1
f (0) e dt e
1 1 e
2 1 3 原式 1 1 e e e
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若 f(x) 为无界函数，则称 f ( x )dx 为瑕积分
b a
微积分 六⑤
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2.1、引例 例1 求由曲线y =
所“围成”的开口曲边梯形的面积。 B 解：如图，由定积分几何意义 0 b 1 S dx ? 2 0 1 x 在(0,+∞)内任取一点b，过b作x轴的垂线x=b，则 曲边梯形A0bB的面积 S1
x 0
0
e dx ]
x
lim[ te t e t 1] 1
t
微积分 六⑤
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练习：判别下列各反常积分的敛散性.
(1)
解
0
e dx, (2)
x
1
(1)
dx x
x x b 0 b
0
e dx lim e dx lim( e )
f ( x )dx
c
f ( x )dx
f ( x )dx ,否则原积分发散.
其中任何一个无穷积分发 散,则原积分发散
注意：c为常数，通常取0或1
微积分 六⑤
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例5. 计算广义积分
0 dx dx dx 解： 0 2 1 x 2 1 x 1 x2 0 b 1 1 lim a dx lim 0 dx 2 2 a 1 x b 1 x
4.已知 [ f ( x) f ( x)]sin xdx 5, f ( ) 2, 求f ( 0).
0
解
原式＝ f ( x ) sin xdx f ( x ) sin xdx
0 0
＝ f ( x )d cos x sinxdf ( x )
0 0
2
dx , D x 2 dx 1 x2
3. 形如 f ( x )dx 的积分 对于积分
f ( x )dx 我们采取将其一分为二的方法，
c
考虑如下的两个积分 且
f ( x )dx与
c
c
f ( x )dx 是否收敛.
结论如下：如果这两个积分都收敛，则原积分也收敛
微积分 六⑤
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lim 1. 设f(x)在(a,b]连续，x=a 为瑕点(即 xa f ( x ) )
f ( x )dx 极限存在，则称瑕积分 f ( x )dx 0 b b 收敛，记为 a f ( x )dx lim a f ( x )dx
a
0 a
lim arctan x
b
b 0
1 x
0
1 x
2
奇偶函数对称区间上积分性质对广义积分不适用！ 对否？
微积分 六⑤
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奇偶函数对称区间上积分性质对广义积分不适用！ 2 xdx 例6. 积分 2 是否收敛？ 1 x
解：0
2 b 2 xdx b 2 xdx lim [ln(1 x ) |0 ] lim 0 b 2 2 b 1 x 1 x 2 xdx 2 xdx 所以 0 也发散. 2 发散，从而 1 x2 1 x
t
(1)
ln xdx lim
为什么 ？
lim
t
1
ln xdx lim ( t ln t t 1)
t
故原反常积分发散
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例2.判别下列积分的敛散性，收敛时求其值.
(1)
1
解： 2) (
t
ln xdx; ( 2)
且x 0,1
1 0
t 0, a
a 0
1 dx dt a
3 f (ax )dx 3
1 3 a f ( t ) dt 0 f (t )dt a a
a 3 a 0 f ( x )dx 20 f ( x )dx a 3 3 2 a a 2
微积分 六⑤
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1
b a
注意:被积函数不满足可积条件,则不能使用牛顿--莱布尼兹公式
1 1
1 (1) 2
C 例7. 下列积分属于瑕积分的为_____ (P223,1(3)) 1 3 3 1 sin x 1 x 1 1 x 2x 1 1 A. dx B. dx C . dx D. e x 1 dx 0 0 x 1 0 0 x x2 1 一个积分是不是瑕积分，就是看在积分区间上有没 有无穷间断点
分
电 子 教 案
一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分 y 三、Г-函数
o
y f (x )
x
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引入定积分概念时，有两个基本要求： 1、积分区间[a,b]是有限的； 2、被积函数f(x)在[a,b]上是有界的。 这种通常意义下的积分称为常义积分。 破坏这两个条件中的一条，就称为反常积分或广义 积分。 即： b 若[a,b]变为无限区间，则称 a f ( x )dx 为无穷限积分
1 1
1
e
微积分 六⑤