2016-2017学年山东省聊城市高一下学期期末考试数学试题(解析版)

2016-2017学年山东省聊城市高一下学期期末考试数学试题一、选择题1．能反映样本数据的离散程度大小的数字特征是 （ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准数 【答案】D【解析】平均数、中位数、众数与方差、标准差都是重要的数字特征，是对总体简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意 平均数、中位数、众数描述其集中趋势, 方差和标准差描述其波动大小，所以能反映样本数据的离散程度大小的数字特征是方差、标准差，故选D.2．cos34tan 的值 （ ）A. 小于0B. 大于0C. 等于0D. 不存在 【答案】A【解析】由余弦函数cos y x =性质，当2x ππ<<时， 1cos 0x -<<，由32ππ<<，1cos30∴-<<，由正切函数tan y x =性质，当32x ππ<<时， tan 0x >，由342ππ<<， tan40∴>，故cos3tan40⋅<，综上所述，故选A . 3．如图所示程序框图是为了计算和式11111124681012+++++的值，那么在空白框◇中，可以填入 （ ）A. 7i ≤？B. 6i ≤？C. 6i ≥？D. 7i ≥？ 【答案】B【解析】12,1,2n i S ===； 114,2,24n i S ===+；……， 11112,6,...2412n i S ===+++， 7i =时，退出循环， 11111124681012+++++，故应填入6i ≤，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4．从装有质地、大小均相同的3个红球和2个白球的口袋内任取两个球，给出下列各对事件：①至少有1个白球；都是红球；②至少有1个白球；至少有1个红球；③恰好有1个白球；恰好有2个白球.其中，互斥事件的对数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】从装有质地、大小均相同的3个红球和2个白球的口袋内任取两个球，对于①，至少有1个白球；都是红球，不可能同时发生，是互斥事件；对于②，至少有1个白球；至少有1个红球，可以同时发生（如一白一红），不是互斥事件；对于③，恰好有1个白球；恰好有2个白球，不可能同时发生，是互斥事件；互斥事件的对数是2.应选C . 5．为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨），将数据分成[)[)[)0,0.5,0.5,1,...,4,4.5 9组，绘制了如图所示的频率分布直方图，由图可知，居民月均用水量的众数、中位数的估计值分别为（ ）A. 2.25,2.25B. 2.25,2.02C. 2,2.5D. 2.5,2.25【答案】B【解析】由直方图的性质可知，众数是最高矩形横坐标的中间值2.25，中位数时面积的二分之一处，初步判断在第五个矩形处，设横坐标为2x + ，则()0.50.080.160.300.440.50.5x ⨯++++= 解得0.02x = ，所以中位数为2.02 ，故选B.6．设A 为某圆周上一定点，在圆周上任取一点P ，则弦长AP 超过半径的概率为（ ） A.13 B. 23 C. 1π D. 11π- 【答案】B 【解析】在圆上其他位置任取一点B ,设圆半径为R ,则点B 位置所有情况对应的弧长为圆的周长2R π,其中满足条件AB 的长度超过半径长度的弧长为223R π⋅，则AB 弦的长度大于等于半径长度的概率222323RP R ππ⋅==，故选D .【方法点睛】本题題主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度（弧长）型、角度型、面积型、体积型，求与长度（弧长）有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总长度（弧长） 以及事件的长度（弧长）；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.7．泰九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种求多项式值的简化算法，其求一个n 次多项式()1110...n n n n f x a x a x a x a --=++++值的算法是： 0101,n n a x a υυυ-==+，21232310,,...,,n n n n n x a x a x a υυυυυυυ---=+=+=+，为所求()f x 的值，利用秦九韶算法，计算()54322321f x x x x x x =+++++，当2x =的值时， 2υ的值为（ ）A. 2B. 5C. 13D. 115 【答案】C 【解析】因为()54322321fx x x x x=++++ ()()()()(513211x x x x x =+++++,所以2υ的值为()()()()(52123222121115⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+= ，故选C.8()2x x ππ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的结果为（ ）A. 6x π⎛⎫+⎪⎝⎭B. 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭C. 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】A【解析】化简()s n 62x x ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭1cos 26x x x x π⎫⎛⎫==+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，故选A. 9．已知函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A. 2,6πωϕ== B. 1,6πωϕ==- C. 1,6πωϕ== D. 2,6πωϕ==-【答案】D【解析】由函数的图象可知： 74123T πππ⎛⎫=-⨯=⎪⎝⎭， 222T ππωπ∴===，当3x π=时，函数取得最大值1， sin 213πφ⎛⎫∴⨯+= ⎪⎝⎭， 22,32k k Z ππφπ∴+=+∈， 2πφ<， 0k ∴=时， 6πφ=-，故选D .【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，使解题的关键.求解析时求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点) 时0x ωϕ+=；“第二点”(即图象的“峰点”) 时2x πωϕ+=；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点) 时x ωϕπ+=；“第四点”(即图象的“谷点”) 时32x πωϕ+=；“第五点”时2x ωϕπ+=.10．已知曲线122:sin ,:sin 23C y x C y x π⎛⎫==+⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ） A. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C .B. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2C .C. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C .D. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2C . 【答案】C【解析】把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得sin2y x =的图象；再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线22:s i n 2s i n 233C y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选C .11．如图， ()()3,3,3,3,,AC BC E F ==-是AB 上的三等分点，则cos ECF ∠的值为 （ ）A.35 B. C. 12 D. 45【答案】D 【解析】()()()3,33,36,0A B C B C A =-=----=，所以()()()12,03,31,33C EA E A C AB AC =-=-=-=--，()()()24,03,31,33CF AF AC AB AC =-=-=-=-，所以84cos 510CE CF ECF CE CF⋅∠===，故选D .12．已知点P 是单位圆上的一个质点，它从初始位置01,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭开始，按逆时针方向以角速度1/rad s 做圆周运动，则点P 的纵坐标y 关于运动时间t （单位： s ）的函数关系为（ ） A. sin ,03y t t π⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭ B. sin ,06y t t π⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭C. cos ,03y t t π⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭ D. cos ,06y t t π⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题意可知， 0t = 时， 2y =-，对于B 0t = 时， 12y =- ，可排除；对于C, 0t = 时， 12y =-，可排除；对于D, 0t = 时， y =,但是不符合“按逆时针方向以角速度1/rad s 做圆周运动”，；可排除.故选A.【 方法点睛】本题主要考查分三角函数的解析式、特殊值法解选择题，属于难题.特殊值法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.二、填空题13．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 ． 【答案】15【解析】试题分析：设样本容量为715750350x x x ∴=∴=，样本容量为15 【考点】分层抽样14．化简()cos2013tan50-的结果是__________．【答案】-1【解析】13cos50cos50cos503cos5022cos202cos20?cos50cos50-⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭()2cos20cos 50602cos20cos110220cos20sin401cos50cos50sin40sin40sin ︒︒︒+--====-=- 15．已知3,4a b ==，且a 与b 的夹角120θ=，则a b +=__________． 13 【解析】()22229121613a ba ab b +=+⋅+=-+=，13,a b ∴+=故答案为16．已知函数()()()sin 20,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点5,08M π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω的值为__________． 【答案】25【解析】()()s i n 2f x x ωφ=+是R 上的偶函数， 0φπ≤≤， 2πφ∴=，()sin 2cos2;2f x x x πωω⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭又()f x 图象关于点5,08M π⎛⎫⎪⎝⎭对称，55cos 0,84f ππω⎛⎫⎛⎫∴==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即5,42k k Z ππωπ=+∈，即28,55k k Z ω=+∈，又()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调函数，22T π∴≥，即2ππω≥，解得02ω<≤；当0k =时， 25ω=，故答案为三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()()2,3,1,2,3,2A B C --. （1）求以线段,AB AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； （2）当t 为何值时， AB tOC -与OC 垂直； （3）当t 为何值时， tOA OB +与2OA OB -平行.【答案】(1) 4.(2) 1113t =-.（3）2t =-. 【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质，确定E 的坐标，从而可得的坐标D ，即可求得以线段,AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）确定AB tOC -与OC 的坐标，利用垂直，可得数量积为0，即可求得t 的值；（3）确定tOA OB +与2OA OB -品的坐标，利用平行，可得方程，从而可求t 的值，即可判断平行时它们是同向还是反向.试题解析：(1)由题设知,()()3,1,1,1AB AC =-=--，则()()2,2,4,0A B A C A B A C +=--=，22,4AB AC AB AC ∴+=-=， ∴所求的两条对角线的长分别为4.(2) 由题设知, ()()3,2,33,12OC AB tOC t t =--=+--,由AB tOC -与OC 垂直，得(),?0AB tOC OC -=，即()()()3331220t t +⨯-+--⨯=，所以1113t =-. （3）由题设知,()()12,23,25,4tOA OB t t OA OB +=-+-=-,由//2tOA OB OA OB +-，得()()4125230,2t t t -++=∴=-.18．2014年3月的“两会”上，李克强总理在政府工作报告中，首次提出“倡导全民阅读”，某学校响应政府倡导，在学生中发起读书热潮.现统计了从2014年下半年以来,根据散点图，可以判断出人均读书量y 与时间代号t 具有线性相关关系.（1）求y 关于t 的回归方程ˆˆˆybt a =+； （2）根据所求的回归方程，预测该校2017年上半年的人均读书量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211ˆ()nni i iii i nni ii i t y nty t t y y bt n t t t ====---==--∑∑∑∑， ˆˆa y bt =- 【答案】(1) 1.2.6ˆ2yx =+.(2) 9.8本. 【解析】试题分析：(1) 先算出12345456793, 6.255t y ++++++++====，再由()()121()ˆni i i n i i t t y y b t t ==--=-∑∑，算出ˆ1210b =，从而可得ˆa 的值，进而可得回归方程；(2) )将2017年上半年的时间代号6t =代入(1)的回归方程可得结果.试题解析：(1)由已知表格的数据，得12345456793,6.255t y ++++++++====，()()()()()()()512 2.21 1.200.210.82 2.812ii i tty y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑，()()()522222212101210i i t t =-=-+-+++=∑，121.2, 6.2 1.232ˆ610ˆ.ba∴==∴=-⨯=， y ∴关于t 的线性回归方程是1.2.6ˆ2yx =+. (2)将2017年上半年的时间代号6t =代入(1)的回归方程，得 1.2629.8ˆ.6y=⨯+=，故预测该校2017年上半年的学生人均读书量约为9.8本.【方法点晴】本题主要考查线性回归方程求法与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,n ni i i i i x y x x y ==∑∑的值；③计算回归系数ˆˆ,ab ；④写出回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+；(2) 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19．某学校计划举办“国学”系列讲座，为了解学生的国学素养，在某班随机地抽取8名同学进行国学素养测试,这8名同学的测试成绩的茎叶图如图所示.（1）根椐这8名同学的测试成绩，估计该班学生国学素养测试的平均成绩；（2）规定成绩大于75分为优秀，若从这8名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优秀的概率. 【答案】(1) 73分； (2)316. 【解析】试题分析：(1)由平均数公式算出这八个数的平均数，据此可估计该班学生国学素养测试的平均成绩；(2) 利用列举法，确定基本事件的个数，即利用古典概型概率公式可求出两名同学的国学素养测试成绩均为优秀的概率的概率.试题解析：(1) 设8名同学的平均成绩为x ，则6472747856777885738x +++++++==，所以估计该班学生的国学素养测试平均成绩为73分；(2)设“两名同学的国学素养测试成绩均为优秀”为事件A ，由题意得，从8名学生中随机选取一男一女两名同学国学素养测试成绩，所有可能的结果为：()()()()()()()()64,56,64,77,64,78,64,85,72,56,72,77,72,78,72,85，()()()()()()()()74,56,74,77,74,78,74,85,78,56,78,77,78,78,78,85，共16个基本事件，这是一个古典概型.事件A 包含的结果有()()()78,77,78,78,78,85，共3个基本事件，由古典概型的概率计算公式可得： ()316P A =.所以两名同学的国学素养测试成绩均为优秀的概率为316. 【方法点睛】本题主要考查茎叶图的应用及古典概型概率公式，属于中档题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先()11,A B ， ()12,A B …. ()1,n A B ，再()21,A B ， ()22,A B ….. ()2,n A B 依次()31,A B ()32,A B …. ()3,n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20．已知()10,tan,cos 22310πααβπβα<<<<=-=-. （1）求sin α的值； （2）求β的值. 【答案】(1)35.(2) 34πβ=. 【解析】试题分析：(1)由正切函数的二倍角公式及同角三角函数之间的关系，集合02παβπ<<<<可得结果；(2)先利用同角三角函数之间的关系求得()sin βα-=，在根据两角和的正弦公式可得()()()43cos cos cos cos sin sin 1051052ββααβααβαα⎡⎤=-+=---=--=-⎣⎦ 试题解析：(1)22tan132tan,tan 2341tan 2αααα=∴==-,sin 3cos 4αα∴=,22sin cos 1αα+=，及30,s i n 25παα<<∴=.(2)0,02παβπβαπ<<<<∴<-<,()()cos ,sin 1010βαβα-=-∴-===340,sin ,cos 255πααα<<=∴===,()()()43cos cos cos cos sin sin 1051052ββααβααβαα⎡⎤∴=-+=---=--=-⎣⎦,3,24ππβπβ<<∴=. 21．已知向量()()22,2cos20,0,,2a x b πωϕωϕ⎛⎛⎫=+><<= ⎪⎝⎭⎝⎭， ()·f x a b =,函数()f x 的图象过点()1,2B ，点B 与其相邻的最高点的距离为4.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）计算()()()12...2017f f f +++；（3）设函数()()1g x f x m =--，试讨论函数()g x 在区间[]0,3上的零点个数. 【答案】(1) []()14,14k kk Z -++∈.(2) 2018. (3)当1m >或1m <-时，函数()g x 在[]0,3上无零点；当10m -≤<或1m =时，函数()g x 在[]0,3上有一个零点；当01m ≤<时，函数()g x 在[]0,3有两个零点.【解析】试题分析：(1)根据平面向量数量积的坐标表示、二倍角公式和与辅助角公式可得()()f 1cos2x x ωϕ=-+,根据()f x 的图象过点()1,2B ，点B 与其相邻的最高点的距离为4，确定()f 1sin2x x π=+，从而根据正弦函数的单调性可得结果;(2)根据特殊角的三角函数及周期性可得结果；（3）()()1sin 2g x f x m x m π=--=-,函数()g x 在区间[]0,3上的零点个数，即为函数sin2y x π=的图象与直线y m =在[]0,3上的交点个数.在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象，几何图形可得结果.试题解析：(1) 向量()()22,2cos2,,22a x b ωϕ⎛=+=- ⎝⎭，()()()·22cos21cos222f x a b x x ωϕωϕ∴==⨯-+=-+， ()max 2,f x ∴=∴点()1,2B 为函数()f x 图象上的一个最高点，点B 与其相邻的最高点的距离为4， 24,24ππωω∴=∴=， 函数()f x 图象过点()1,2B ， 1cos 22,sin212πϕϕ⎛⎫∴-+== ⎪⎝⎭， 0,24ππϕϕ<<∴=，()1cos21sin 442f x x x πππ⎛⎫∴=-+=+ ⎪⎝⎭，由()22222k x k k Z πππππ-≤≤+∈，得()1414k x k k Z -+≤≤+∈， ()f x ∴的单调增区间是[]()14,14k kk Z -++∈. (2) 由（1）知()()1s i n ,2f x x f x π=+∴的周期为4，且()()()()12,21,30,41f f f f ====， ()()()()12344f f f f ∴+++=，而()()()201745041,12 (2017450422018)f f f =⨯+∴+++=⨯+=. (3) ()()1sin2g x f x m x m π=--=-,函数()g x 在区间[]0,3上的零点个数，即为函数sin 2y x π=的图象与直线y m =在[]0,3上的交点个数.在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象如图所示，由图象可知，①当1m >或1m <-时，函数sin 2y x π=的图象与直线y m =在[]0,3上的无公共点，即函数()g x 无零点；②当10m -≤<与1m =时，函数sin 2y x π=的图象与直线y m =在[]0,3上有一个公共点，即函数()g x 有一个零点；③当01m ≤<时，函数sin 2y x π=的图象与直线y m =在[]0,3上有两个公共点，即函数()g x 有两个零点，综上，当1m >或1m <-时，函数()g x 在[]0,3上无零点；当10m -≤<或1m =时，函数()g x 在[]0,3上有一个零点；当01m ≤<时，函数()g x 在[]0,3有两个零点.。