1.8 二次函数的应用一(解决实际问题)(课时练习)-2016届九年级数学二轮复习(原卷版)
二次函数实际应用的四种考法(原卷版)(北师大版)
专题04二次函数实际应用的四种考法类型一、销售利润问题(1)求y与x之间的函数关系式(2)怎样确定销售价才能使该品种苹果每天销售利润最大？最大利润为多少？【变式训练4】．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y （盒）与销售单价x （元）有如下关系：()232080160y x x =-+≤≤，设这种电子鞭炮每天的销售利润为w 元(1)求w 与x 之间的函数关系式；(2)该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(3)该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快，则销售单价应定为多少元?类型二、喷水问题(1)求水管OA 的长度．(2)如图2，(,)P x y 是图中抛物线上一动点，点P '与点直接写出点P '所在抛物线的解析式及自变量的取值范围．(3)将水管OA 喷水头往上平移34m ，求水柱落地处离池中心的距离．(1)某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下：x0261012y00.88 2.16 2.80 2.88【变式训练2】．为应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能演习．如图，在一个废弃高楼距地面10m的点A至16m的点B处，设置了一个火源段（含点A与点B），消防员站在高楼前且与高楼水平距离为t米位置使用高压水枪灭火，水枪喷出的水流可看作抛物线的一部分，且每次水流所在抛物线的形状完全相同．．．．．．．．．．．．．．．．．水流达到火源段（线段AB）中某一处，则视为有效灭火．如图1，消防员甲灭火时站在水平地面的点C处，水流从C点射出恰好到达点A处，且水流的最大高度为18m，水流的最高点到高楼的水平距离为4m，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与出水点到高楼的水平距离x（m）之间满足二次函数关系．(1)求消防员甲灭火时水流所在抛物线的解析式；CD=，请判断他是否有效灭火，并说明理由；(2)如图2，消防员乙站在水平地面的点D处进行灭火，此时1(3)若要有效灭火，请直接写出t的取值范围．h=米．建立如图2所示【变式训练3】．如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为 1.2的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽EF=米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移象为矩形DEFG，其水平宽度2DE=米，竖直高度0.7得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口04．米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米．(1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC；(2)求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；d=米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．(3)若 3.2类型三、拱桥问题(1)按如图2所示建立平面直角坐标系，求桥拱截面所在抛物线的函数表达式．(2)为迎佳节，拟在图1桥拱内壁上悬挂40cm长的灯笼，为了安全，灯笼底部距离水面不小于悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．(3)桥拱截面所在抛物线在x轴下方的部分与桥拱ACB在平静水面中的倒影组成一个新的函数图象(1)请在下面的坐标系中根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)请结合图象，写出拱桥的桥洞在拱顶下方1米的位置宽度是______米（结果精确到0.1）；(3)现有一艘宽4米，高2米的游船要穿过拱桥的桥洞．为保证安全，要求船顶到竖直方向上拱桥桥洞对应点的距离不小于0.5米，那么这艘船______（填“能”或者“不能”）安全通过．【变式训练2】．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O 点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．(1)求出该抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽1米的值班室）2.5米、高3.5米的消防车辆？请通过计算说明；(3)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”ABCD，使点上，求出所需的三根“光带”AB，AD，DC的长度之和的最大值．类型四、图形运动问题例．如图，菱形ABCD 的边长为6cm ，60A ∠=︒，点E 为BC 的中点，动点P 以2cm /s 的速度沿A →B →E 运动，动点Q 以1cm /s 的速度沿B →D 运动．点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P 运动的时间为x s ，BPQ V 的面积为y 2cm ，则y 与x 之间的关系用图象大致可表示为（）A ．B ．C ．D ．【变式训练1】．如图，在Rt ABC △中，90108ACB AB AC ∠=︒==，，，E 是ABC 边上一动点，沿A →C →B 的路径移动，过点E 作ED AB ⊥，垂足为D ．设AD x =，ADE V 的面积为y ，则下列能大致反映y 与x 函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．【变式训练2】．如图，正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE BF CG DH ===，设小正方形EFGH 的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【变式训练3】．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，动点P ，Q 同时从点A 出发，以1cm /s 的速度分别沿A B C →→和A D C →→的路径向点C 运动．设运动时间为x （单位：s ）四边形PBDQ 的面积为y （单位：2cm ），则y 与x （08x <<）之间的函数图象大致是下列图中的（）A ．B ．C ．D ．【变式训练4】．如图，在ABC 中，90B Ð=°，12cm BC =，9cm AB =，动点P 从点B 出发以6cm/s 的速度沿B A C →→方向匀速移动，同时动点Q 从点B 出发以3cm/s 的速度沿B C →方向匀速移动．设BPQ V 的面积为()2cm y ，运动时间为()s x ，则下列图象能大致反映y 与x 之间函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．A ．．．．．如图，在ABC 中，AC 90︒，点D E 、分别为AC 运动，点Q 在DE 上，且DQ ，过点Q 作QF CQ ⊥交AB 的面积为y ，则能反映之间关系的图象是（）A ．B ．．．3．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，AD ，点E 是线段AD 的三等分点（AE ED <出发向终点E 运动，以为边作等边BFG ，在动点F 运动的过程中，阴影部分面积的最小值是（A．233B．34．某公园在在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据；在距立柱水平距离为(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度为(3)求所画图象对应的函数表达式；(4)从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于0.5米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏5．如图，在平面直角坐标系中画出某水利工程公司开挖的水渠横截面，该水渠呈抛物线形，其宽度30AB =米．某日，当水渠内的水面宽度CD 为24米时，水面与两岸的竖直高度为1.8米．(1)求该抛物线对应的函数表达式．(2)若水渠中原水面的宽度CD 减少为原来的一半，则水渠最深处到水面的距离减少多少米？6．如图，某小区准备用总长80m 的篱笆围成一块矩形花圃ABCD ．为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF 与GH 将矩形ABCD 分割成①②③三块矩形区域，而且这三块区域的面积相等，设()m CF x =．(1)填空：BC =__________m ．（用含x 的代数式表示）(2)当矩形区域①的面积为296m 时，求BC 长．(3)当围成的花圃ABCD 的面积最大时，求AB 长．7．2022年冬奥会在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低１元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x （元），每天的销售利润为y （元）．(1)当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润为1050元；(2)当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？。
二次函数综合应用题(有答案)中考题必练经典(学有余力的看)
函数综合应用题题目分析及题目对学生的要求1. 求解析式：要求能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。
需要注意的是：(1) 不能忘记写自变量的取值范围(需要用的前提下)(2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。
2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求能够熟练地对二次三项式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。
（一般式化为定点式）最值的求法：(1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。
(2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。
3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起来。
推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出x 的取值范围。
备选思路一：先将不等号看做等号，求出x 的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后x 的取值范围；备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。
这一问里需要注意的是在注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。
一、求利润的最值1. (本题满分10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。
当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。
宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。
根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。
设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。
(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解：(1) y=50-101x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)。
(2) W=(50-101x)(180+x -20)= -101x 2+34x +8000； (3) W= -101x 2+34x +8000= -101(x -170)2+10890， 当x<170时，W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160，∴当x=160时，W 最大=10880，当x=160时，y=50-101x=34。
二次函数的应用 冀教版初中数学九年级下册练习题(含答案)
30.4二次函数的应用练习题一、选择题1.如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m.水面下降1m，水面宽度为()A. 2√6mB. 2√3mC. √6mD. √3m2.如图，用长为24 m的篱笆围成一面利用墙(墙的最大可用长度a为9m)、且中间隔有一道篱笆的长方形花圃，则围成的花圃的面积最大为()A. 48m2B. 45m2C. 16m2D. 44m23.用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积为()A. 125cm2B. 225cm2C. 200cm2D. 250cm24.某进货单价为70元的某种单品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价()A. 5元B. 10元C. 15元D. 20元5.小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系大致满足二次函数y=−112x2+23x+53，则小强此次成绩为()A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米6.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为()mA. 3B. 6C. 8D. 97.同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液(如图①).于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液.洗手液瓶子的截面图下部分是矩从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且a=−118形CGHD.小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH=12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16 cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为3 cm，若学校组织学生去南京进行研学实践活动，小王小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是()cm．A. 12√3B. 12√2C. 6√3D. 6√28.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状(如图所示)，对应的两条抛物线关于y轴对称，AE//x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm，则右轮廓DFE所在抛物线的表达式为()A. y=14(x+3)2 B. y=14(x−3)2 C. y=−14(x+3)2D. y=−14(x−3)29.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00分钟D. 4.25分钟10.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是()A. y=a(1+x)2 B. y=x2+aC. y=(1−x)2+aD. y=a(1−x)2二、填空题11.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面3m.当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为______m.12.某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为________元．13.如图，小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线，铅球落在A点处，那么小明掷铅球的成绩是____米．14.为运用数据处理道路拥堵问题，现用流量q(辆/小时)、速度v(千米/小时)、密度k(辆/千米)来描述车流的基本特征．现测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如表：速度v(千米/小时)…1520324045…流量q(辆/小时)…105012001152800450…若已知q、v满足形如q=mv2+nv(m、n为常数)的二次函数关系式，且q、v、k 满足q=vk.根据监控平台显示，当5≤v≤10时，道路出现轻度拥堵，试求此时密度k的取值范围是______．15.如图，李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24m，设BC的长为x m，矩形的面积为y m2，则y与x之间的函数表达式为________ ．三、解答题16.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？(2)当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？(3)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？17.为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线米，当铅球是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是85运行的水平距离为3米时，达到最大高度5米的B处．小丁此次投掷的成绩是多少2米？18.如图，有一抛物线型拱桥，在正常水位使水面宽AB=20m，当水位上升3m，水面宽CD=10m．(1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；(2)有一条船以5km/ℎ的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，当水位达到CD处时，将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？19.如图，某中学准备用长为20m的篱笆围成一个长方形生物园ABCD饲养小兔，生物园的一面靠墙(围墙MN最长可利用15m)，设AB长度为x(m)，矩形ABCD面积为y(m2).(1)求出y与x的函数关系式，直接写出x的取值范围；(2)当x为何值时，矩形ABCD的面积最大？最大面积为多少？20.春节临近，由于我市城区执行严禁燃放烟花炮竹令，某商店发现了商机：经销一种安全、无污染的电子鞭炮．已知这种电子鞭炮的成本价每盒80元，市场调查发现春节期间，该种电子鞭炮每天的销售量y(盒)与销售单价x(元)有如下关系：y=−2x+320(80≤x≤160).设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元．(1)求w与x的函数关系式；(2)该种电子鞭炮的销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？(3)若该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得销售利润2400元，应如何定价？答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】首先建立直角坐标系，设抛物线为y=ax2，把点(2,−2)代入求出解析式，继而求得y=−3时x的值即可得解．本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．【解答】解：建立如图所示直角坐标系：可设这条抛物线为y=ax2，把点(2,−2)代入，得−2=a×22，，解得：a=−12∴y=−1x2，2x2=−3．当y=−3时，−12解得：x=±√6∴水面下降1m，水面宽度为2√6m.故选：A．2.【答案】B【解析】【分析】主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆．设AB为xm，BC就为(24−3x)，利用长方体的面积公式，可求出关系式，当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃．【解答】解：设AB的长为xm，则BC的长为(24−3x)m，根据题意，得S=x(24−3x)，即所求的函数解析式为：S=−3x2+24x=−3(x−4)2+48，当x=4时，BC=12m，不符合墙的最大可用长度a为9m，∴5≤x<8，∵对称轴x=4，开口向下，∴当x=5m，有最大面积的花圃．即：x=5m，最大面积为=−3(5−4)2+48=45m2．故选B．3.【答案】B【解析】解：设矩形的长为xcm，则宽为60−2x2cm，∴矩形的面积S=(60−2x2)x=−x2+30x，∵a=−1<0，∴S最大=4ac−b24a=−900−4=225(cm2)，故矩形的最大面积是225cm2，故选：B．设矩形的长为x，面积为S，再根据矩形的面积公式得出x、S的关系式，求出S的最大值即可．本题主要考查了二次函数的最值问题，解题的关键是正确列出关于矩形面积S与边长x 的关系式式子．4.【答案】A【解析】解：设应降价x元，则(20+x)(100−x−70)=−x2+10x+600=−(x−5)2+625，∵−1<0∴当x=5元时，二次函数有最大值．∴为了获得最大利润，则应降价5元．故选A．设应降价x元，表示出利润的关系式为(20+x)(100−x−70)=−x2+10x+600，根据二次函数的最值问题求得最大利润时x的值即可．应识记有关利润的公式：利润=销售价−成本价．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．5.【答案】B【解析】解：在y=−112x2+23x+53中，当y=0时，−112x2+23x+53=0，解得x1=−2(舍去)，x2=10，即小强此次成绩为10米，故选：B．根据实心球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．6.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=−2.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C 点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为(0,2)，设顶点式y=ax2+2，把A点坐标(−2,0)代入得a=−0.5，∴抛物线解析式为y=−0.5x2+2，当水面下降2.5m，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=−2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=−2.5与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=−2.5代入抛物线解析式得出：−2.5=−0.5x2+2，解得：x=±3，2×3−4=2，∴水面下降2.5m，水面宽度增加2m．∴水面宽度为2+4=6(m)故选B．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．【解答】解：以GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，根据题意，得Q(9,15.5)，B(6,16)，OH =6，设抛物线解析式为y =−118x 2+bx +c ，{−118×81+9b +c =15.5−118×36+6b +c =16， 解得{b =23c =14所以抛物线解析式为y =−118x 2+23x +14．当y =0时，即0=−118x 2+23x +14，解得：x =6+12√2(负值舍去)，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离为6+12√2−6=12√2cm ． 故选：B ． 8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题．利用B 、D 关于y 轴对称，CH =1cm ，BD =2cm ，可得到D 点坐标为(1,1)，由AB =4cm ，最低点C 在x 轴上，则AB 关于直线CH 对称，可得到左边抛物线的顶点C 的坐标为(−3,0)，于是得到右边抛物线的顶点F 的坐标为(3,0)，然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．【解答】解：∵高CH =1cm ，BD =2cm ，且B 、D 关于y 轴对称，∴D 点坐标为(1,1)，∵AB//x 轴，AB =4cm ，最低点C 在x 轴上，∴AB 关于直线CH 对称，∴左边抛物线的顶点C 的坐标为(−3,0)，∴右边抛物线的顶点F 的坐标为(3,0)，设右边抛物线的解析式为y =a(x −3)2，把D(1,1)代入得1=a ×(1−3)2，解得a =14，∴右边抛物线的解析式为y =14(x −3)2，故选：B ． 9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数模型的应用，利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键，根据题目数据求出函数解析式，根据二次函数的图象与性质可得结论．【解答】解：根据题意，将(2.5,0.5)、(4,0.8)、(5,0.5)代入p =at 2+bt +c ，得：{2.52a +2.5b +c =0.516a +4b +c =0.852a +5b +c =0.5，解得：{a =−0.2b =1.5c =−2，即p =−0.2t 2+1.5t −2，当t =− 1.52×(−0.2)=3.75 时，p 取得最大值，故选B ． 10.【答案】A【解析】【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2= b．【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，依题意得第三个月投放单车a(1+x)2辆，则y=a(1+x)2．故选A．11.【答案】10√2【解析】解：如右图所示，点C为抛物线顶点，坐标为(0,6)，则点A的坐标为(−10,0)，点B的坐标为(10,0)，设抛物线ACB的函数解析式为y=ax2+6，∵点A在此抛物线上，∴0=a×102+6，解得，a=−6，100x2+6，即抛物线ACB的函数解析式为y=−6100x2+6，当y=3时，3=−6100解得，x=±5√2，∴当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为：5√2−(−5√2)=10√2(m)，故答案为：10√2．根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大抛物线的解析式，然后令y=3，求出相应的x的值，即可得到当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．12.【答案】70【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系，然后化为顶点式，即可得到当售价为多少元时，利润达到最大值．【解答】解：设每顶头盔的售价为x 元，获得的利润为w 元，w =(x −50)[200+(80−x)×20]=−20(x −70)2+8000，∴当x =70时，w 取得最大值，此时w =8000，故答案为：70．13.【答案】7【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的加法，关键是掌握掷铅球的成绩就是要求铅球落地时的水平距离．根据掷铅球的成绩就是要求铅球落地时的水平距离令y =0得方程，解方程即可解答．【解答】解：由题意，得当y =0时，0=−15x 2+65x +75，解得：x 1=−1(舍去)，x 2=7．故答案为7． 14.【答案】80≤k ≤90【解析】解：把(15,1050)和(20,1200)代入q =mv 2+nv 得，{1050=225m +15n 1200=400m +20n， 解得：{m =−2n =100， ∴q =−2v 2+100v ，∵q =vk ，∴vk =−2v 2+100v ，把v =5和v =10分别代入上式得，5k =−2×52+100×5或10k =−2×102+100×10，解得：k =90或k =80，∴此时密度k的取值范围是80≤k≤90，故答案为：80≤k≤90．把(15,1050)和(20,1200)代入q=mv2+nv解方程组即可得到结论．本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．x2+12(0<x<24)15.【答案】y=−12【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查的是矩形的性质，根据实际问题列出二次函数解析式的有关知识，根据矩形的面积公式进行求解即可．【解答】解：由题意得x2+12(0<x<24)．y=−12x2+12(0<x<24)．故答案为y=−1216.【答案】解：(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果=500−10×(55−50)=450千克；(2)设每千克水果售价为x元，由题意可得：8750=(x−40)[500−10(x−50)]，解得：x1=65，x2=75，答：每千克水果售价为65元或75元；(3)设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由题意可得：y=(m−40)[500−10(m−50)]=−10(m−70)2+9000，∴当m=70时，y有最大值为9000元，答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．【解析】本题主要考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系，并据此列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质．(1)由月销售量=500−(销售单价−50)×10，可求解；(2)设每千克水果售价为x 元，由利润=每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解；(3)设每千克水果售价为m 元，获得的月利润为y 元，由利润=每千克的利润×销售的数量，可得y 与x 的关系式，有二次函数的性质可求解．17.【答案】解：建立平面直角坐标系如图所示．则点A 的坐标为(0,85)，顶点为B(3,52).设抛物线的表达式为y =a(x −3)2+52，∵点A(0,85)在抛物线上，∴a(0−3)2+52=85，解得a =−110．∴抛物线的表达式为y =−110(x −3)2+52令y =0，则−110(x −3)2+52=0，解得x =8或x =−2(不合实际，舍去)．即OC =8．答：小丁此次投掷的成绩是8米．【解析】由点A 、B 的坐标求出函数表达式y =−110(x −3)2+52，令y =0，即可求解． 本题考查的是二次函数的应用，通过建立坐标系，确定相应点的坐标即可求解． 18.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y =ax 2(a 不等于0)，桥拱最高点O 到水面CD 的距离为h 米．则D(5,−ℎ)，B(10,−ℎ−3)∴{25a =−ℎ100a =−ℎ−3，解得{a=−125ℎ=1，∴抛物线的解析式为y=−125x2；(2)由题意，得船行驶到桥下的时间为：35÷5=7小时，水位上升的高度为：0.25×7=1.75米．∵1.75<3．∴船的速度不变，它能安全通过此桥．【解析】(1)以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为y=ax2，由待定系数法求出其解即可；(2)计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间按计算水位上升的高度，比较上升的高度与3的大小就可以求出结论．本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，有理数大小的比较的运用，解答时求出函数的解析式是关键．19.【答案】解：(1)当长方形的宽AB=x时，其长BC=20−2x，故长方形的面积y=x(20−2x)=−2x2+20x，即y=−2x2+20x(0<x≤52)；(2)y=−2x2+20x=−2(x−5)2+50，∵−2<0，∴当x=5时，y取得最大值，最大值为50，答：当x=5时，面积最大为50m2．【解析】(1)首先表示出长方形的长，根据长方形面积=长×宽列出函数关系式；(2)将函数关系式配方成二次函数顶点式，即可知其最大值．本题主要考查二次函数的实际应用能力，根据题意列出解析式是基础，配方是关键．20.【答案】解：(1)由题意得：w=(x−80)⋅y=(x−80)(−2x+320)=−2x2+480x−25600，∴w与x的函数关系式为：w=−2x2+480x−25600；(2)w=−2x2+480x−25600=−2(x−120)2+3200∵−2<0，80≤x≤160，∴当x=120时，w有最大值，w的最大值为3200元；(3)当w=2400时，−2(x−120)2+3200=2400，解得：x1=100，x2=140∴要想每天获得销售利润2400元，应定价为100元或140元每盒．【解析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，明确销售问题中的成本利润之间的关系以及利用正确利用二次函数的性质，是解题的关键．(1)用每件的利润(x−80)乘以销售量即可得每天的利润，从而得利润函数，再将其化为一般形式；(2)把(1)中的函数解析式配方，写成顶点式，然后根据二次函数的性质可求得最值；(3)令(2)中顶点式函数值等于2400，然后解一元二次方程即可得答案．。
4.1 构造法与待定系数法(课时练习)-2016届九年级数学二轮复习(解析版)
初中数学中考二轮复习第四章 数学思想方法第一节 构造法与待定系数法（练）一、选择题1．如图，过A 点的一次函数的图象与正比例函数y =2x 的图象相交于点B ，则这个一次函数的解析式是（ ）A ．y =2x +3B ．y =x ﹣3C ．y =2x ﹣3D ．y =﹣x +3【答案】D ．【解析】∵B 点在正比例函数y =2x 的图象上，横坐标为1，∴y =2×1=2，∴B （1，2），设一次函数解析式为：y =kx +b ，∵一次函数的图象过点A （0，3），与正比例函数y =2x 的图象相交于点B （1，2），∴可得出方程组32b k b =⎧⎨+=⎩，解得：31b k =⎧⎨=-⎩，则这个一次函数的解析式为y =﹣x +3，故选D ．考点：待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题；数形结合．2．（2015西城区一模）在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点P 在反比例函数的图象上，如果点P 的纵坐标是3，OP =5，那么该函数的表达式为（ ）A ．12y x =B ．12y x =-C ．15y x =D ．15y x=- 【答案】A ．【解析】在RT △OPD 中，过P 作PD ⊥x 轴于D ，则PD =3，∴OD =4，∴P （4，3），∴代入反比例函数k y x =得，3=4k ，解得k =12，∴反比例函数的解析式为12y x=，故选A ． 考点：待定系数法求反比例函数解析式．3．已知抛物线28y x x c =-+的顶点在x 轴上，则c 等于（ ）A ．4B ．8C ．﹣4D ．16【答案】D ． 【解析】根据题意，得24(8)41c --⨯=0，解得c =16．故选D ． 考点：待定系数法求二次函数解析式．4．若3234x kx -+被3x ﹣1除后余3，则k 的值为（ ）A ．2B ．4C ．9D ．10【答案】D ．【解析】∵3234x kx -+被3x ﹣1除后余3，说明3231x kx -+可被3x ﹣1整除，∴3x ﹣1为3231x kx -+的一个因式，∴当3x ﹣1=0，即x =13时，3231x kx -+=0，即11310279k ⨯-⨯+=，解得：k =10，故选D ． 考点：整式的除法．5．若31(3)(1)31a m n a a a a +=++-+-，则（ ） A ．m =﹣3，n =1 B ．m =3，n =﹣1 C ．m =3，n =1 D ．m =2，n =1【答案】D ．【解析】去分母得：31(1)(3)a m a n a +=-++=()(3)m n a m n +--，则3a +1=（m +n ）a ﹣（m ﹣3n ），所以331m n n m +=⎧⎨-=⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩．故选D ． 考点：分式的加减法．6．已知23250m m --=，25230n n +-=，其中m ，n 为实数，则1m n-=（ ） A ．0 B ．83 C ．53 D ．0或83【答案】D ． 【解析】由25230n n +-=得 2113()2()50n n ⨯-⨯-=． ①若1m n =，则1m n-=0； ②若1m n ≠，则m 和1n 可以看成方程23250x x --=的两个实数根，则1m n +=23，1m n ⨯=53-，∴m =83. 综上所述，1m n-=0或83．故选D ． 考点：根与系数的关系．二、填空题7．若多项式3x 2﹣4x +7能表示成a （x +1）2+b （x +1）+c 的形式，则a ，b ，c 分别为 ．【答案】3，﹣10，14．【解析】∵3x 2﹣4x +7能表示成a （x +1）2+b （x +1）+c 的形式；∴a （x +1）2+b （x +1）+c =ax 2+a +2ax +bx +b +c =ax 2+（2a +b ）x +a +b +c ；即：a =3；﹣4=2a +b ；a +b +c =7，解得：a =3，b =﹣10，c =14．故答案为：3，﹣10，14．考点：配方法的应用．8．如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．已知AC =5，AD =4，则AB 的取值范围是 ．【答案】3＜AB ＜13．【解析】延长AD 到E ，使DE =AD ，连接CE ，则AE =2AD =2×4=8，∵AD 是BC 边上的中线，∴BD =CD ，在△ABD 和△ECD 中，∵BD =CD ，∠ADB =∠EDC ，DE =AD ，∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴CE =AB ，又∵AC =5，∴5+8=13，8﹣5=3，∴3＜CE ＜13，即AB 的取值范围是：3＜AB ＜13．故答案为：3＜AB ＜13．考点：三角形三边关系；全等三角形的判定与性质．9．分解因式2235294x xy y x y +-++-= ．【答案】（3x ﹣y +4）（x +2y ﹣1）．【解析】∵22352x xy y +-=（3x ﹣y ）（x +2y ），∴设2235294x xy y x y +-++-=(3)(2)x y a x y b -+++，则2235294x xy y x y +-++-=22352(3)(2)x xy y a b x a b y ab +-+++-+，∴31294a b a b ab +=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩，解得：41a b =⎧⎨=-⎩，∴2235294x xy y x y +-++-=（3x ﹣y +4）（x +2y ﹣1）．故答案为：（3x ﹣y +4）（x +2y ﹣1）． 考点：因式分解．10．若一次函数y =kx +b ，当﹣3≤x ≤1时，对应的y 值为1≤y ≤9，则一次函数的解析式为 ．【答案】y =2x +7或y =﹣2x +3．【解析】（Ⅰ）当k ＞0时，319k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：27k b =⎧⎨=⎩，此时y =2x +7，（Ⅱ）当k ＜0时，391k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：23k b =-⎧⎨=⎩，此时y =﹣2x +3，综上，所求的函数解析式为：y =2x +7或y =﹣2x +3．故答案为：y =2x +7或y =﹣2x +3．考点：待定系数法求一次函数解析式．三、解答题11．如图，C 为线段AB 上一动点，分别过点A 、B 作DA ⊥AB ，EB ⊥AB ．已知AD =3，BE =2，AB =12，设AC =x ．（1）用含x 的代数式表示DC +CE 的长．（2）请问点C 满足什么条件时，DC +CE 的值最小？（3）根据（2的最小值．【答案】（1；（2）当D 、C 、E 三点共线时，AC +CE 的值最小；（3）10．【解析】（1）∵DA ⊥AB ，EB ⊥AB ，∴△ADC 和△CBE 都是直角三角形．由勾股定理可知：D C +CE；（2）根据两点之间线段最短可知：当D 、C 、E 三点共线时，AC +CE 的值最小；（3）如下图所示：作AB =8，过点B 作BE ⊥AB ，过点A 作AD ⊥AB ，使AD =5，EB =1，连接DE 交AB 于点C ，设AC =x ，则DE过点E 作EF ∥AB 交DA 的延长线于点F ，得矩形ABEF ，则AB =EF =8，AF =BE =1，DF =AD +AF =5+1=6，在Rt △DFE 中，由勾股定理得：D E =10+值为10．考点：轴对称-最短路线问题．12．（2015泰州）已知二次函数n mx x y ++=2的图象经过点P （﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y 轴的直线．（1）求m 、n 的值；（2）如图，一次函数b kx y +=的图象经过点P ，与x 轴相交于点A ，与二次函数的图象相交于另一点B ，点B 在点P 的右侧，P A ：PB =1：5，求一次函数的表达式．【答案】（1）m =2，n =-2；（2）一次函数的表达式为4y x =+．【解析】∵对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y 轴的直线，∴121m -=-⨯，∴m =2，∵二次函数n mx x y ++=2的图象经过点P （﹣3，1），∴9﹣3m +n =1，得出n =3m ﹣8．∴n =3m ﹣8=﹣2；（2）∵m =2，n =﹣2，∴二次函数为222y x x =+-，作PC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则PC ∥BD ，∴PC PA BD AB=，∵P （﹣3，1），∴PC =1，∵P A ：PB =1：5，∴116BD =，∴BD =6，∴B 的纵坐标为6，代入二次函数为222y x x =+-得，2622x x =+-，解得12x =，24x =-（舍去），∴B （2，6），∴3126k b k b ⎩-+⎨+⎧＝＝，解得14k b ⎧⎨⎩＝＝，∴一次函数的表达式为4y x =+．考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式．。
人教版九年级中考数学总复习课件第18课时 二次函数的应用(共20张PPT)
0.5m
C
∵a 2 0
1m
∴ y 有最小值
O
2m
2.5m
x
∴当 x 0 时, y最小值 =0.5 答:绳子的最低点距地面的距离为 0.5 米.
考点 2:利用二次函数解决实际问题
解决 方法 或步 骤
①分析问题建立模型； ②设自变量建立函数解析式； ③确定自变量的取值范围； ④应用配方法得到顶点式,在自变量的取值范围 内求出最大值或最小值.
润为 y 元,依题意,得
y (50 1 x)(180 x 20) 10
1 x2 34 x 8000 10
∵
a
1 10
0
∴ y 有最大值
∴当
x
b 2a
170
时,y
有最大值
这时房价为 180 170 350 元
答:每个房价的房价定为 350 元时,宾馆每天利润最大.
5.[2017 济宁中考]某商店经销一种双肩包,已知 这种双肩包的成本价为每个 30 元.市场调查发 现,这种双肩包每天的销售量 y(单位:个)与销 售单价 x(单位:元)有如下关系: y x 60
3
2
即水柱的最大高度为 8 米. 3
O
3x
3.[变式如图,小明的父亲在相距 2 米的两棵树间
拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千,拴绳
子的地方 A 、 B 距地面都是 2.5 米,绳子自然下
垂呈抛物线状,身高 1 米的小明距较近的那棵树
0.5 米时,头部刚好接触到绳子 C 处,求绳子的最
低点距地面的距离为多少米?
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
中考数学：函数的图象与实际应用综合问题真题+模拟(原卷版北京专用)
中考数学函数的图象与实际应用综合问题【方法归纳】利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题．在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义．利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题．常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等．解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式．【典例剖析】【例1】（2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0)．某运动员进行了两次训练．(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0);(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−0.04(x−9)2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1______d2（填“>”“=”或“<”）．【真题再现】1．（2015·北京·中考真题）有这样一个问题：探究函数y=12x2+1x的图象与性质.小东根据学习函数的经验，对函数y=12x2+1x的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=12x2+1x的自变量x的取值范围是____；（2）下表是y与x的几组对应值.求m的值：（3）如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象：（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1,32)，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：_________.2．（2016·北京·中考真题）已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x >0，下表是y与x的几组对应值.小腾根据学习一次函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象;（2）根据画出的函数图象，写出：①x=4对应的函数值y约为________；②该函数的一条性质：__________________．3．（2017·北京·中考真题）如图，P是弧AB所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N.已知AB =6cm，设A 、P两点间的距离为xcm，P、N两点间的距离为ycm.（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN为等腰三角形时，AP的长度约为____________cm.⌢与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上4．（2018·北京·中考真题）如图，Q是AB⌢于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为x cm，一动点，连接PQ并延长交ABP，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为____cm．【模拟精练】一、解答题1．（2022·北京朝阳·二模）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米，请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；(3)求所画图象对应的函数表达式；(4)从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．2．（2022·北京四中模拟预测）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处．腾空点A到地面OB的距离OA为70 m，坡高OC为60 m，着陆坡BC的坡度（即tan α）为3：4，以O 为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点（4，75），（8，78）．(1)求这段抛物线表示的二次函数表达式；(2)在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离；(3)落点P与坡顶C之间的距离为m．3．（2022·北京北京·二模）某公园内人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为x m，距地面的竖直高度为y m，获得数据如下：小景根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小景的探究过程，请补充完整：(1)在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；(2)水流的最高点距喷水枪的水平距离为________m；(3)结合函数图象，解决问题：公园准备在距喷水枪水平距离为3.5m处加装一个石柱，使该喷水枪喷出的水流刚好落在石柱顶端，则石柱的高度约为_____m．4．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）某景观公园计划在圆形水池内修建一个小型喷泉，水柱从池中心且垂直于水面的水枪喷出，水柱喷出后落于水面的形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离水面的高度为h米．请解决以下问题：(1)请结合表中所给数据，直接写出水柱最高点距离水面的高度为______米．(2)在网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中已知各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．(3)求表格中m的值．(4)以节水为原则，为体现公园喷泉景观的美观性，在不改变水柱形状的基础上，修建工人打算将水枪的高度上升0.4米．若圆形喷水池的半径为3米，提升水枪高度后水柱是否会喷到水池外面？请说明理由．（其中√10≈3.2）5．（2022·北京·二模）某社区文化广场修建了一个人工喷泉，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口为A，喷水口A距地面2m，喷出水流的轨迹是抛物线．水流最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，水流落地点C距离喷水枪底部B的距离为3m．请解决以下问题：(1)如图，以B为原点，BC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是______，点C的坐标是______，水流轨迹抛物线的对称轴是______．(2)求出水柱最高点P到地面的距离．(3)在线段BC上到喷水枪AB所在直线的距离为2m处放置一物体，为避免物体被水流淋到，物体的高度应小于多少米？请说明理由．6．（2022·北京门头沟·二模）如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米．请你解决以下问题：(1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；(2)结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度；(3)求起跳点A距离地面的高度；(4)在一次表演中，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A的水平距离才能成功？7．（2022·北京顺义·二模）如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面AB的宽为8米．设AB上的点E到点A的距离AE=x米，点E到拱桥顶面的垂直距离EF=y米．通过取点、测量，数学小组的同学得到了x与y的几组值，如下表：(1)拱桥顶面离水面AB的最大高度为______米；(2)请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；(3)测量后的某一天，由于降雨原因，水面比测量时上升1米．现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该游船是否能安全通过：______（填写“能”或“不能”）．8．（2022·北京市十一学校模拟预测）某运动馆使用发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，且形状固定不变的，在球运行时，球与发球机的水平距离为x（米），与地面的高度为y（米），经多次测试后，得到如下数据：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)球经发球机发出后，最高点离地面________米，并求出y与x的函数解析式；(3)当球拍触球时，球离地面的高度为5米．4①求此时发球机与球的水平距离；米，为确保球拍在原高度还能接到球，球拍的接球位置应前进多②现将发球机向下平移了1516少米？9．（2022·北京昌平·二模）如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x，水流的最高点到地面的距离记为y．y与x的几组对应值如下表：(1)该喷枪的出水口到地面的距离为________m；(2)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y与x的函数图像；(3)结合（2）中的图像，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为8m时，水流的最高点到地面的距离为________m（精确到1m）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为________m（精确到1m）10．（2022·北京海淀·二模）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过150 km/h）进行测试，测得数据如下表：(1)以车速v为横坐标，刹车距离s为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点；(2)由图表中的信息可知：①该型汽车车速越大，刹车距离越（填“大”或“小”）；②若该型汽车某次测试的刹车距离为40 m，估计该车的速度约为km/h；(3)若该路段实际行车的最高限速为120 km/h，要求该型汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的3倍，则安全车距应超过m．11．（2022·北京东城·一模）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．下面是小红的探究过程，请补充完整：(1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数；(2)在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度AE为_______米；②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE=DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米）12．（2022·北京市十一学校二模）如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．在球运行时，将球与场地左边界的水平距离记为x（米），与地面的高度记为y（米），经多次测试后，得到如下数据：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)击球点的高度为______米，排球飞行过程中可达到的最大高度为______米；(3)求出y与x的函数解析式；(4)判断排球能否过球网，并说明理由．13．（2022·北京大兴·一模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的喷水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是一条曲线．现有一个垂直于湖面的喷水枪，在距喷水枪水平距离为x米处，水柱距离湖面高度为y米．经测量得到如下数据：请解决以下问题：(1)如下图，在平面直角坐标系xOy描出了上表中y与x各对对应值为坐标的点．请根据描出的点，画出这条曲线；(2)结合所画曲线回答：①水柱的最高点距离湖面约______米；②水柱在湖面上的落点距喷水枪的水平距离约为______米；(3)若一条游船宽3米，顶棚到湖面的高度2米，为了保证游客有良好的观光体验，游船需从喷泉水柱下通过，如果不计其他因素，根据图象判断______（填“能”或“不能”）避免游船被喷泉喷到．14．（2022·北京丰台·一模）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米．下面的表中记录了d与h的五组数据：根据上述信息，解决以下问题：(1)在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d 函数关系的图象；(2)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m=；(3)能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．15．（2022·北京一七一中一模）某运动馆使用发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，且形状固定不变的，在球运行时，球与发球机的水平距离为x（米），与地面的高度为y（米），经多次测试后，得到如下数据：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)球经发球机发出后，最高点离地面__________米，并求出y与x的函数解析式；(3)当球拍触球时，球离地面的高度为5米.8①求此时发球机与球的水平距离；米，为确保球拍在原高度还能接到球，球拍的接球位置应后退多②现将发球机向上平移了58少米？16．（2022·北京市燕山教研中心一模）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在湖面上距水枪水平距离为d米的位置，水柱距离湖面高度为h米．请解决以下问题：(1)以水枪与湖面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水枪所在直线为y轴，在下边网格中建立平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．(2)请结合表中所给数据或所画图象，写出水柱最高点的坐标．(3)湖面上距水枪水平距离为3.5米时，水柱距离湖面的高度m=____________米．(4)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过调节水枪高度，使得公园湖中的游船能从喷泉下方通过．游船左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，若游船宽（指船的最大宽度）为2米，从水面到棚顶的高度为2.1米，要求是游船从喷泉水柱中间通过时，为避免游船被喷泉淋到，顶棚到水柱的垂直距离均不小于0.5米．请问公园该如何调节水枪高度以符合要求？请通过计算说明理由．17．（2022·北京·东直门中学模拟预测）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．请解决以下问题：(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为米（精确到0.1）；(3)公园增设了新的游玩项目，购置了宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．18．（2022·北京门头沟·一模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是一条抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为ℎ米．(1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接．(2)结合表中所给数据或所画的图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；(3)求水柱在湖面上的落点距水枪的水平距离是多少？(4)现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目．准备通过调节水枪高度使得公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过（两次水柱喷出水嘴的初速度相同），如果游船宽度为3米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米．问应如何调节水枪的高度才能符合要求？请通过计算说明理由．19．（2022·北京房山·一模）如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4米，最高处到地面的距离为4米，两侧墙高均为3米，距左侧墙壁1米和3米时，隧道高度均为3.75米．设距左侧墙壁水平距离为x米的地点，隧道高度为y米．请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)请结合所画图象，写出抛物线的对称轴；(3)今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过时，为保证安全，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象，试判断该卡车能否通过隧道．20．（2022·北京通州·一模）如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和与路面AB垂直，隧道内侧宽AB＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，EF=y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：(1)隧道顶面到路面AB的最大高度为______米；(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的图象．(3)今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：______（填写“是”或“否”）．21．（2022·北京朝阳·一模）某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h 米．请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；(3)求h关于d的函数表达式；(4)公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米，工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．22．（2022·北京西城·一模）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x m，距地面的高度为y m．测量得到如下数值：小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x,y)，并画出函数的图象；(2)结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为_______m（结果保留小数点后两位）；(3)为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）．23．（2022·北京东城·二模）小强用竹篱笆围一个面积为9平方米的矩形小花园，他考虑至少4需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你完善他的思考过程．(1)建立函数模型：设矩形小花园的一边长为x米，则矩形小花园的另一边长为__________米（用含x的代数式表示）；若总篱笆长为y米，请写出总篱笆长y（米）关于边长x（米）的函数关系式__________；(2)列表：根据函数的表达式，得到了x与y的几组对应值，如下表：表中a=________，b=________；(3)描点、画出函数图象：,b)补充完整，并根据描出的如图，在平面直角坐标系xOy中，将表中未描出的点(2,a)，(92点画出该函数的图象；。
4.1 构造法与待定系数法(课时练习)-2016届九年级数学二轮复习(原卷版)
初中数学中考二轮复习第四章 数学思想方法第一节 构造法与待定系数法（练）一、选择题1．如图，过A 点的一次函数的图象与正比例函数y =2x 的图象相交于点B ，则这个一次函数的解析式是（ ）A ．y =2x +3B ．y =x ﹣3C ．y =2x ﹣3D ．y =﹣x +32．（2015西城区一模）在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点P 在反比例函数的图象上，如果点P 的纵坐标是3，OP =5，那么该函数的表达式为（ ）A ．12y x =B ．12y x =-C ．15y x =D ．15y x=- 3．已知抛物线28y x x c =-+的顶点在x 轴上，则c 等于（ ）A ．4B ．8C ．﹣4D ．164．若3234x kx -+被3x ﹣1除后余3，则k 的值为（ ）A ．2B ．4C ．9D ．105．若31(3)(1)31a m n a a a a +=++-+-，则（ ） A ．m =﹣3，n =1 B ．m =3，n =﹣1 C ．m =3，n =1 D ．m =2，n =16．已知23250m m --=，25230n n +-=，其中m ，n 为实数，则1m n-=（ ） A ．0 B ．83 C ．53 D ．0或83二、填空题7．若多项式3x 2﹣4x +7能表示成a （x +1）2+b （x +1）+c 的形式，则a ，b ，c 分别为 ．8．如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．已知AC =5，AD =4，则AB 的取值范围是 ．9．分解因式2235294x xy y x y +-++-= ．10．若一次函数y =kx +b ，当﹣3≤x ≤1时，对应的y 值为1≤y ≤9，则一次函数的解析式为 ．三、解答题11．如图，C 为线段AB 上一动点，分别过点A 、B 作DA ⊥AB ，EB ⊥AB ．已知AD =3，BE =2，AB =12，设AC =x ．（1）用含x 的代数式表示DC +CE 的长．（2）请问点C 满足什么条件时，DC +CE 的值最小？（3）根据（2的最小值．12．（2015泰州）已知二次函数n mx x y ++=2的图象经过点P （﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y 轴的直线．（1）求m 、n 的值；（2）如图，一次函数b kx y +=的图象经过点P ，与x 轴相交于点A ，与二次函数的图象相交于另一点B ，点B 在点P 的右侧，P A ：PB =1：5，求一次函数的表达式．。
二次函数的实际应用解答题专项练习(解析版)—2024-2025学年九年级数学上册(人教版)
二次函数实际应用解答题专项训练类型一：几何图形的面积问题类型二：销售中的利润问题类型三：抛物线形的形状问题类型四：抛物线形的运动轨迹问题类型一：几何图形的面积问题1．如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为x m，面积为y m2．（1）若要围成面积为63m2的花圃，则AB的长是多少？（2）求AB为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积．【分析】（1）BC的长＝篱笆的总长﹣3×AB的长，花圃的面积＝AB的长×BC的长，把相关数值代入求得合适的解即可；（2）花圃的面积y＝AB的长×BC的长，整理成顶点式，根据墙的最大可用长度为10m得到自变量的取值范围，进而得到花圃的最大面积．【解答】解：（1）x（30﹣3x）＝6330x﹣3x2＝633x2﹣30x+63＝0x2﹣10x+21＝0（x﹣3）（x﹣7）＝0．解得：x1＝3，x2＝7．当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不合题意，舍去；当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意．答：若要围成面积为63m2的花圃，AB的长为7 m；（2）y＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x2﹣10x+25）+75＝﹣3（x﹣5）2+75．∵0＜30﹣3x≤10，∴≤x＜10．∴当x＝时，y最大．最大面积为：×（30﹣3×）＝（m2）．答：AB为m时，花圃面积最大，花圃的最大面积为m2．2．某养殖户准备围建一个矩形鸡舍，其中一边靠墙MN，另外的边（虚线部分）用长为28米的篱笆围成，并将矩形鸡舍分成两个相同的房间，每个房间并各留出宽1米的门方便进出．已知墙的长度为12米，设这个鸡舍垂直于墙的一边的长为x米，鸡舍的面积为S．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求出鸡舍的面积S的最大值，此时x为多少米？【分析】（1）由篱笆长28米，根据矩形的面积即可得出S关于x的函数关系式，再根据题意可求出自变量的取值范围；（2）根据自变量的取值范围和函数的增减性确定函数的最大值即可．【解答】解：（1）由题意可知：S＝x•（28﹣3x+2）＝﹣3x2+30x，根据题意得2＜28﹣3x+2≤12，即，∴S与x之间的函数关系式为：，（2）S＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，当x＞5时，S随x的增大而减小，而，∴当x＝6时，S有最大值，此时S＝72，即：当x＝6时，鸡舍的面积S有最大值，最大值为72．3．如图，是400米跑道示意图，中间的足球场ABCD是矩形，两边是半圆，直道AB的长是多少？你一定知道是100米!可你也许不知道，这不仅仅为了比赛的需要，还有另外一个原因，等你做完本题就明白了．设AB＝x米．（1）请用含x的代数式表示BC．（2）设矩形ABCD的面积为S．①求出S关于x的函数表达式．②当直道AB为多少米时，矩形ABCD的面积最大？【分析】（1）由半圆的长度两种计算方法，列出方程可求解；（2）①由矩形的面积公式可求解；②由二次函数的性质可求解．【解答】解：（1）由题意可得：π•BC＝，∴BC＝；（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴S＝×x＝﹣（x﹣100）2+；②当x＝100时，S最大，∴当AB＝100米时，S最大．4．春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．（1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 （x2﹣60x+800） m2，花卉B的种植面积是 （﹣x2+30x） m2，花卉C的种植面积是 （﹣x2+20x） m2．（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．【分析】（1）根据正方形和长方形的面积计算公式可直接得到答案；（2）根据A，B两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；（3）先根据花卉A与B的种植面积之和不超过560m2建立不等式，得到x≥8，再设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，得到y关于x的二次函数，根据二次函数的图形性质即可得到答案．【解答】解：（1）∵育苗区的边长为x m，活动区的边长为10m，∴花卉A的面积为：（40﹣x）（20﹣x）＝（x2﹣60x+800）m2，花卉B的面积为：x（40﹣x﹣10）＝（﹣x2+30x）m2，花卉C的面积为：x（20﹣x）＝（﹣x2+20x）m2，故答案为：（x2﹣60x+800）；（﹣x2+30x）；（﹣x2+20x）；（2）∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，∴A，B两种花卉的总产值分别为2×（x2﹣60x+800）百元和3×（﹣x2+30x）百元，∵A，B两种花卉的总产值相等，∴200×（x2﹣60x+800）＝300×（﹣x2+30x），∴x2﹣42x+320＝0，解方程得x＝32（舍去）或x＝10，∴当育苗区的边长为10m时，A，B两种花卉的总产值相等；（3）∵花卉A与B的种植面积之和为：x2﹣60x+800+（﹣x2+30x）＝（﹣30x+800）m2，∴﹣30x+800≤560，∴x≥8，∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，∴y＝2（x2﹣60x+800）+3（﹣x2+30x）+4（﹣x2+20x），∴y＝﹣5x2+50x+1600，∴y＝﹣5（x﹣5）2+1725，∴当x≥8时，y随x的增加而减小，∴当x＝8时，y最大，且y＝﹣5（8﹣5）2+1725＝1680（百元），故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元．5．如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形ABCD菜园，墙长为12米．设AB的长为x米，矩形ABCD菜园的面积为S平方米．（1）分别用含x的代数式表示BC与S；（2）若S＝54，求x的值；（3）如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？【分析】（1）根据矩形的性质列式求出BC，再根据矩形面积公式求出S即可；（2）根据（1）所求得到方程﹣3x2+33x＝54，解方程并检验即可得到答案；（3）先求出S＝﹣3（x﹣6）2+108，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）由题意得，BC＝33﹣3x，∴S＝AB⋅BC＝x（33﹣3x）＝﹣3x2+33x；（2）由题意得，﹣3x2+33x＝54，∴x2﹣11x+18＝0，解得，x1＝2，x2＝9，∵墙长为12米，∴33﹣3x≤12，∴x≥7，∴x1＝2应舍去，∴x的值为9；（3）S＝x（33+1.5×2﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，∵墙长为12米，∴，∴8≤x≤11，∵a＝﹣3＜0，∴开口向下，∴当x≥6，S着x的增大而减小，∴当x＝8时，S有最大值，最大值为：8×（36﹣3×8）＝96．6．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为18m），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32m，设矩形场地的长为x m，宽为y m，面积为s m2．（1）分别求出y与x，s与x的函数解析式；（2）当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？（3）若购买的篱笆总长增加8m，矩形场地的最大总面积能否达到100m2？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．【分析】（1）依据题意得，x+4y＝32，从而可得，代入S＝xy即可得解；（2）依据题意，由（1）的解析式再根据，从而结合二次函数的性质即可判断得解；（3）依据题意得，x+4y＝32+8，从而，故．，进而求出x的值，最后可以判断得解．【解答】解：（1）由题意得，x+4y＝32，∴．∴，即．（2）由题意，∵，∴S有最大值．当时，．答：当x＝16 时，矩形场地的总面积最大，最大面积为64．（3）由题意得，x+4y＝32+8，∴．∴．∴x1＝x2＝20．∵18＜20，∴矩形场地的最大总面积不能达到100m2．7．某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH 与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？（3）现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为40元/平方米和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围．【分析】（1）根据题意表示出矩形的长与宽，进而得出答案；（2）把二次函数关系式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论；（3）设安装成本为w元，则w＝﹣25x2+2000x，再根据二次函数的性质结合（1）中x的最值范围可得答案．【解答】解：（1）由题意得，AE＝HG＝AD＝x m，DC＝AB＝（200﹣x）＝（100﹣x）m，故y＝x（100﹣x）＝﹣x2+100x，自变量x的取值范围为：28≤x＜80；（2）由题意可得：∵y＝﹣x2+100x＝﹣（x2﹣80x）＝﹣（x﹣40）2+2000，又∵28≤x＜80，∴当x＝40时，y有最大值，最大值为2000平方米；＝AG•AE＝（100﹣x）x＝﹣x2+25x，S矩形DEFC＝DC•DE＝（100﹣（3）由题意得，S矩形EAGHx）•x＝﹣x2+50x，设安装成本为w元，则w＝40（﹣x2+25x）+20（﹣x2+50x）＝﹣25x2+2000x，令w＝30000，则﹣25x2+2000x＝30000，解得x＝60或20，∵28≤x＜80，∴60≤x＜80时，安装成本不超过30000元．8．小明准备给长16米，宽12米的长方形空地栽种花卉和草坪，图中I、II、III三个区域分别栽种甲、乙、丙三种花卉，其余区域栽种草坪．四边形ABCD和EFGH均为正方形，且各有两边与长方形边重合，矩形MFNC（区域II）是这两个正方形的重叠部分，如图所示．（1）若花卉均价为450元/米2，种植花卉的面积为S（米2），草坪均价为300元/米2，且花卉和草坪裁种总价不超过65400元，求S的最大值；（2）若矩形MFNC满足MF：FN＝1：3．①求MF，FN的长；②若甲、乙、丙三种花卉单价分别为150元/米2，80元/米2，150元/米2，且边BN的长不小于边ME长的倍．求图中I、II、II三个区域栽种花卉总价W元的最大值．【分析】（1）先求出长方形空地的面积，从而可得栽种花卉和草坪的面积，再根据“总价不超过65400元”建立一元一次不等式，然后求解即可得；（2）①设AB＝a米，EF＝b米，根据正方形的性质、线段的和差可得MF、FN的长，再根据MF：FN ＝1：2可得a、b的关系等式，由此即可得出答案；②先在①的基础上，求出W关于a的函数表达式，再根据题意求出a的取值范围，然后利用二次函数的性质即可得．【解答】解：（1）长方形空地的面积为16×12＝192（米2），由题意得：450S+300（192﹣S）≤65400，解得：S≤52，故S的最大值为52米2．（2）①设AB＝a米，EF＝b米，∵四边形ABCD和EFGH均为正方形，∴AD＝AB＝a米，FG＝EF＝b米，∴MF＝AD+EF﹣16＝（a+b﹣16）米，FN＝AB+FG﹣12＝（a+b﹣12）米，又∵＝，∴＝．∴a+b＝18．∴MF＝18﹣16＝2（米），FN＝18﹣12＝6（米），答：MF的长为2米，FN的长为6米．②由①可知，a+b＝20，即b＝20﹣a，∴ME＝16﹣AD＝16﹣a，DM＝12﹣FG＝12﹣b＝12﹣（20﹣a）＝a﹣8，BN＝16﹣EF＝16﹣b＝16﹣（20﹣a）＝a﹣4，NG＝12﹣AB＝12﹣a，则由题意得：w＝150（16﹣a）（a﹣8）+80×4×8+150（12﹣a）（a﹣4）＝﹣300（a﹣10）2+6160，又∵BN≥ME且AB＜12，∴a﹣4≤（16﹣a）且a＜12，解得：≤a＜12，由二次函数的性质可知，当≤a＜12时，W随a的增大而减小，则当a＝时，w取得最大值，最大值为﹣300×（﹣10）2+6160＝6026（元）．答：图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域栽种花卉总价w的最大值为6026元．9．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．例题：求多项式x2﹣4x+5的最小值．解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1．当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1．因此（x﹣2）2+1有最小值，最小值为1，即x2﹣4x+5的最小值为1．通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：（1）【理解探究】已知代数式A＝x2+10x+20，则A的最小值为 ﹣5 ；（2）【类比应用】张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米，（2a+5）米，乙菜地的两边长分别是5a米，（a+5）米，试比较这两块菜地的面积S甲和S乙的大小，并说明理由；（3）【拓展升华】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝12cm，点M、N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以1cm/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2cm/s的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒，请直接写出△MCN的面积最大值．【分析】（1）（1）直接利用完全平方公式可得答案；（2）先求出S甲﹣S乙＝（a﹣3）2+1，再利用完全平方公式即可求解；（3）根据题意表示出S△MCN＝×2t×（8﹣t）＝﹣t2+8t＝﹣（t﹣4）2+16，再利用完全平方公式即可求解．【解答】解：（1）A＝x2+10x+20＝（x+5）2﹣5，∵（x+5）2≥0，∴A＝（x+5）2﹣5≥﹣5，即A的最小值为﹣5；故答案为：﹣5；（2）S甲＞S乙，理由如下：S甲＝（3a+2）（2a+5）＝6a2+19a+10，S乙＝5a（a+5）＝5a2+25a，∴S甲﹣S乙＝（6a2+19a+10）﹣（5a2+25a）＝a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1，∵（a﹣3）2≥0，∴S甲﹣S乙＝（a﹣3）2+1≥1，∴S甲＞S乙；（3）由题意得：CM＝8﹣t，CN＝2t，∴S△MCN＝×2t×（8﹣t）＝﹣2+8t＝﹣（t﹣4）2+16，∵（t﹣4）2≥0，∴﹣（t﹣4）2≤0，∴当t＝4时，S△MCN有最大值，最大值为16．10．综合与实践矩形种植园最大面积探究情境实践基地有一长为12米的墙MN，研究小组想利用墙MN和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边CD＝x，矩形种值园的面积为S．分析要探究面积S的最大值，首先应将另一边BC用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值．思考一：将墙MN 的一部分用来替代篱笆按图1的方案围成矩形种植园（边AB 为墙MN 的一部分）探究思考二：将墙MN 的全部用来替代篱笆按图2的方案围成矩形种植园（墙MN 为边AB 的一部分）解决问题（1）根据分析，分别求出两种方案中的S 的最大值：比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少．类比应用（2）若“情境”中篱笆长为20米，其余条件不变，请画出矩形种植园面积最大的方案示意图（标注边长）．【分析】（1）按两种思路，由矩形面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求最值，然后比较即可；（2）按两种思路，由矩形面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求最值，然后比较即可．【解答】解：（1）思路1：设CD ＝x ，则BC ＝，∴S ＝x •＝﹣x 2+20x ＝﹣（x ﹣20）2+200，∵﹣＜0，0＜x ≤12，∴当x ＝12时，S max ＝168；思路2：设AB ＝CD ＝x ，则AD ＝BC ＝＝26﹣x ，∴S＝x （26﹣x ）＝﹣x 2+26x ＝﹣（x ﹣13）2+169，∵12≤x ≤26，∴当x ＝13时，S max ＝169，∵169＞168，∴矩形种植园面积最大为169m 2；（2）图示如下：同（1）可分别求得：思路1：∵CD＝x，则BC＝AD＝，∴S＝x•＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣10）2+50，∵0＜x≤12，∴当x＝10时，S有最大值，最大值为50；思路2：∵CD＝x，则BC＝AD＝＝16﹣x，∴S＝x•（16﹣x）＝﹣x2+16x＝﹣（x﹣8）2+64，∵﹣1＜0，12≤x≤16，∴当x＝12时，S有最大值，最大值为48，∵50＞48，矩形种植园面积最大为50m2，此时CD＝10m，AD＝BC＝5m．类型二：销售中的利润问题11．麻花是我国的一种特色油炸面食小吃，其色、香、味俱全，品种多样，十分畅销．阳光超市购进了一批麻花礼盒进行销售，成本价为30元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售单价为40元/件时，每天的销售量为300件，销售单价每提高10元/件，将少售出50件．（1）求超市销售该麻花礼盒每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出出变量取值范围；（2）当销售单价定为多少时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润．【分析】（1y＝300﹣50×，再结合x﹣40≥0计算即可得解；（2）依据题意，设每天获得的利润为w，从而w＝（x﹣30）（﹣5x+500）＝﹣5（x﹣65）2+6125，又﹣5＜0，进而结合二次函数的性质可以判断得解；【解答】解：（1）由题意，销售量y＝300﹣50×，∴y＝﹣5x+500．又x﹣40≥0，∴x≥40．（2）由题意，设每天获得的利润为w，∴w＝（x﹣30）（﹣5x+500）＝﹣5x2+650x﹣15000＝﹣5（x﹣65）2+6125．又﹣5＜0，∴当x＝65时，w取最大值为6125．答：当销售单价定65元时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大，最大利润为6125元．12．某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克10元，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10＜x≤30）（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）由图象知，当10＜x≤14时，y＝640；当14＜x≤30时，设y＝kx+b，将（14，640），（30，320）解方程组即可得到结论；（2）分两种情况求出函数最值，然后比较得出结论即可．【解答】解：（1）由图象知，当10＜x≤14时，y＝640；当14＜x≤30时，设y＝kx+b，将（14，640），（30，320）代入得，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+920；综上所述，y＝；（2）设每天的销售利润为w元，当10＜x≤14时w＝640×（x﹣10）＝640x﹣6400，∵k＝640＞0，∴w随着x的增大而增大，∴当x＝14时，w＝4×640＝2560元；当14＜x≤30时，w＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，∵﹣20＜0，14＜x≤30，∴当x＝28时，w有最大值，最大值为6480，∵2560＜6480，∴当销售单价x为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．13．某文具商店用销售进价为28元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒40元的价格销售，平均每天销售80盒，价格每提高1元，平均每天少销售2盒，设每盒彩色铅笔的销售，价为x（x＞40）元，平均每天销售y盒，平均每天的销售利润为W元．（1）直接写出y与x之间的函数关系式： y＝﹣2x+160 ．（2）求W与x之间的函数关系式．（3）为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于50元，当每盒的销售价为多少元时，平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）根据“价格每提高1元，平均每天少销售2盒”可列出y与x之间的函数关系式；（2）由总利润＝每盒利润×销售量可得W与x之间的函数关系式；（3）结合（2），把关系式化为顶点式，再由二次函数性质可得答案．【解答】解：（1）根据题意得：y＝80﹣2（x﹣40）＝﹣2x+160，故答案为：y＝﹣2x+160；（2）根据题意得：W＝y（x﹣28）＝（﹣2x+160）（x﹣28）＝﹣2x2+216x﹣4480，∴W与x之间的函数关系式为W＝﹣2x2+216x﹣4480；（3）W＝﹣2x2+216x﹣4480＝﹣2（x﹣54）2+1352，∵﹣2＜0，x≤50，∴当x＝50时，W取最大值，最大值为﹣2×（50﹣54）2+1352＝1320，∴当每盒的销售价为50元时，平均每天获得的利润最大，最大利润是1320元．14．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）若每件商品的售价定价为55元，则每个月可卖出 160 件；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）若在销售过程中每一件商品有a（a＞2）元的其他费用，商家发现当售价每件不低于57元时，每月的销售利润随x a的取值范围．【分析】（1）由题意，根据每件商品的售价与数量之间的关系，即可求解；（2）由题意，根据每件商品的利润与数量及总利润之间的关系，再把函数解析式变形为顶点式，同时考虑x为整数，即可求解；（3）根据题意可得函数解析式为：y＝﹣10x2+（110﹣10a）x+210（10﹣a），函数的对称轴为：，根据售价每件不低于57元时，与对称轴组成方程，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：若每件商品的售价定价为55元，则每个月可卖出210﹣（55﹣50）×10＝160件，故答案为：160；（2）由题意得：y＝（210﹣10x）（50+x﹣40）＝﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）：∴y＝﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝5.5时，y有最大值2402.5，∵0＜x≤15，且x为整数，当x＝5时，50+x＝55，y＝2400（元），当x＝6时，50+x＝56，y＝2400（元），∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；（3）由题意得：y＝（210﹣10x）（50+x﹣40﹣a）＝﹣10x2+（110﹣10a）x+210（10﹣a），函数的对称轴为：，售价每件不低于57元时，即x≥57﹣50＝7，即临界点为：，解得：a＝3，∴2＜a≤3．15．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．小柳按照政策投资销售本市生产的一种网红螺蛳粉．已知这种网红螺蛳粉的成本价为每箱80元，出厂价为每箱100元，每月销售量y（箱）与销售单价x（元）之间满足函数关系：y＝﹣2x+400．（1）小柳在开始销售的第1月将螺蛳粉的销售单价定为120元，这个月他销售该螺蛳粉可获利 6400 元．（2）设小柳销售螺蛳粉获得的月利润为w（元），当销售单价为多少元时，月利润最大，最大利润是多少元？（3）物价部门规定，这种网红螺蛳粉的销售单价不得高于150元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？【分析】（1）依据题意，把x＝120代入y＝﹣2x+400求出销售量，再求出销售利润；（2）依据题意，由总利润＝销售量•每箱纯赚利润，得w＝（x﹣80）（﹣2x+400），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；（3）依据题意，设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质即可求出总差价的最小值．【解答】解：（1）由题意，当x＝120时，y＝﹣2×120+400＝160，160×（120﹣80）＝6400（元），∴他销售该螺蛳粉可获利6400元．故答案为：6400．（2）由题意，设当销售单价为x元，∴w＝（x﹣80）（﹣2x+400）＝﹣2x2+560x﹣32000＝﹣2（x﹣140）2+7200，∵a＝﹣2＜0，∴当x＝140时，w有最大值7200．即当销售单价定为140元时，每月可获得最大利润，最大利润为7200元．（3）由题意，设政府每个月为他承担的总差价为p元，∴p＝（100﹣80）×（﹣2x+400）＝﹣40x+8000．∵k＝﹣40＜0，∴p随x的增大而减小，∴当x＝150时，p有最小值2000．∴政府每个月为他承担的总差价最少为2000元．16．某商场某商品现在的售价为每件60元，每星期可以卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出10件．已知商品的进价为每件40元．设售价为x元/件（x为正整数），每星期销售量为y件，每星期销售利润为W元．（1）直接写出y与x，W与x的函数解析式以及自变量x的取值范围；（2）如果出现某星期销售该商品亏损了6000元，那么该商品的售价是多少？（3）当该商品的售价定为多少时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）依据题意，根据“每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出10件”，即可得出y与x的函数关系式，再由“总利润＝每件商品的利润×销售量”，即可得出w与x的函数关系式；（2）依据题意，列出方程（x﹣40）（900﹣10x）＝﹣6000，求出x即可判断得解；（3）依据题意，利用配方法将w与x的函数关系式变形为顶点式，再利用二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）由题意得，y＝900﹣10x．∴w＝（x﹣40）（900﹣10x）．又x﹣40≥0，﹣10x+900≥0，∴40≤x≤90．（2）由题意，（x﹣40）（900﹣10x）＝﹣6000，∴x＝100或x＝30．答：如果出现某星期销售该商品亏损了6000元，那么该商品的售价是30元或100元．（3）由题意，w＝（x﹣40）（900﹣10x）＝﹣10（x﹣65）2+6250，∴当x＝65时，w取得最大值，最大值为6250．∴当该商品的售价定为65元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6250元．17．某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式p＝x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：销售价格x（元/千克）24 (10)市场需求量q（百千克）1210 (4)当每天的产量不大于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出；而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．已知销售价格不低于2元/千克，不得高于10元/千克．（1）直接写出q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）当每天的产量不大于市场需求量时，求厂家每天获得的利润的最大值；（3）当每天的产量大于市场需求量时，求厂家每天获得的最大利润．【分析】（1）运用待定系数法确定一次函数解析式即可；（2）设厂家每天获得的利润为y，则y＝（x﹣2）p，根据每天的产量不大于市场需求量时p≤q，求出x 的取值解答即可；（3）根据每天的产量大于市场需求量时p＞q，求出x的取值解答即可．【解答】解：（1）设q与x的函数关系式为q＝kx+b，由题意，得∴∴q与x的函数关系式为q＝﹣x+14（2≤x≤10）；（2）当每天的产量不大于市场需求量时，得p≤q，即x+8≤﹣x+14，解不等式得x≤4，∵2≤x≤10，∴2≤x≤4；x2+7x﹣16，∵＞0，对称轴为x＝＝﹣7，∴当2≤x≤4时，y随x的增大而增大，∴当x＝4时，y＝×42+7×4﹣16＝20，最大答：当每天的产量不大于市场需求量时，厂家每天获得的利润的最大值为2000元；（3）当每天的产量大于市场需求时，p＞q，∴x+8＞﹣x+14，解不等式得x＞4，∴4＜x≤10，y＝（x﹣2）q﹣2（p﹣q）＝xq﹣2p＝x（﹣x﹣2（x+8）＝﹣x2+13x﹣16，∵﹣1＜0，对称轴为x＝＝6.5，∴当x＝6.5时，y＝﹣6.52+13×6.5﹣16＝26.25，最大∵26.25＞20，∴厂家每天获得的最大利润为26.25元．18．某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？（3）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）设y与x y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求解；（2）根据等量关系得（x﹣20）（﹣2x+120）＝600，解方程即可求解；（3）根据题意得w＝﹣2（x﹣40）2+800，进而可得抛物线的对称轴为x＝40，且开口向下，则当x＜40时，y随x的增大而增大，当x＝36时，w有最大值，代入函数即可求解．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+120；（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+120）＝600，整理，得：x2﹣80x+1500＝0，解得：x＝30或x＝50（舍去），答：每件商品的销售价应定为30元；（3）∵y＝﹣2x+120，∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）＝﹣2（x﹣40）2+800，∴抛物线的对称轴为x＝40，且开口向下，∴当x＜40时，y随x的增大而增大，∵x≤36，∴当x＝36时，w有最大值，最大值为，∴售价定38元/件时，每天最大利润为768元．19．端午节是中华民族的传统节日，吃粽子是端午节的风俗之一．在今年端午节即将到来之际，某食品店以15元/盒的价格购进某种粽子，为了确定售价，食品店安排人员调查了附近A，B，C，D，E五个食品店近期该种粽子的售价与日销量情况．【数据整理】将调查数据按照一定顺序进行整理，得到下列表格：售价/元/盒1820222630日销售量/盒3430261810【模型建立】（1）分析数据的变化规律，发现日销售量与售价间存在我们学过的某种函数关系，请求出这种函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；【拓广应用】（2）①要想每天获得198元的利润，应如何定价？②售价定为多少时，每天能获得最大利润？最大利润是多少？【分析】（1）由表格可得日销售量随售价的增加而减小，猜测是一次函数关系，设日销售量y（盒）与售价x（元/盒）之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），把表格中的两组数据代入可得k和b的值，即可求得函数解析式，把表格中的其他数据代入也符合，所以所得函数关系式正确；（2）①设利润为w元，每天的利润＝每盒粽子的利润×日销售量，取y＝198，求得相应的定价即可；②由①中的函数关系可得二次函数的开口方向向下，所以当x＝﹣时，w最大，把所得的x的值代入函数关系式可得最大利润．【解答】解：（1）日销售量随售价的增加而减小，猜测是一次函数关系．设日销售量y（盒）与售价x（元/盒）之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0）．∴．解得：．∴y＝﹣2x+70．把表格中的任意一组数值，代入后符合函数关系式；（2）①设利润为w元．w＝（x﹣15）（﹣2x+70）＝﹣2x2+100x﹣1050．当w＝198时，198＝﹣2x2+100x﹣1050．x2﹣50x+624＝0．（x﹣24）（x﹣26）＝0．解得：x1＝24，x2＝26．答：要想每天获得198元的利润，应定价为24元/盒或26元/盒；②∵﹣2＜0，∴当x＝﹣＝25时，利润最大，最大利润为（25﹣15）×（﹣50+70）＝10×20＝200（元）．答：售价定为25元/盒时，每天能获得最大利润，最大利润是200元．20．某农户在30天内采用线下店面和抖音平台带货两种方式销售一批农产品．其中一部分农产品在抖音平台带货销售，已知抖音平台带货销售日销售量y1（件）与时间x（天）关系如图所示．另一部分农产品在线下店铺销售，农产品的日销售量y2（件）与时间x（天）之间满足函数关系，其中部分对应值如表所示．1（2）试确定线下店铺日销售量y2与x的函数关系式并求出线下店铺日销售量y2的最大值；（3）已知该农户线下销售该农产品每件利润为20元，在抖音平台销售该农产品每件利润为30元，设该农户销售农产品的日销售总利润为w，写出w与时间x的函数关系式，并判断第几天日销售总利润w最大，并求出此时最大值．【分析】（1）根据图象分段求函数解析式即可求解；（2）根据表格数据，待定系数法求解析式即可求解．（3）根据日销售总利润，w＝30y1+20y2得出函数关系，根据二次函数的性质求得最大值即可求解．。
专题22 二次函数中的增长率问题(原卷版)数学二轮专题复习之函数与实际问题真题满分过(全国通用)
专题22 二次函数中的增长率问题【真题讲解】例．（2017·山西九年级专题练习）某市在城中村改造中，需要种植A、B两种不同的树苗共3000棵，经招标，承包商以15万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，A、B两种树苗的成本价及成活率如表：设种植A种树苗x棵，承包商获得的利润为y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）政府要求栽植这批树苗的成活率不低于93%，承包商应如何选种树苗才能获得最大利润？最大利润是多少？（3）在达到（2）中政府的要求并获得最大利润的前提下，承包商用绿化队的40人种植这两种树苗，已知每人每天可种植A种树苗6棵或B种树苗3棵，如何分配人数才能使种植A、B两种树苗同时完工．【答案】(1)y=150000﹣28x﹣40（3000﹣x）=12x+30000（0≤x≤3000）．(2)购买A种树苗1200棵，B种树苗1800棵时，承包商应的利润最大，最大利润为44400元．(3)安排10人种植A种树苗，30人种植B种树苗，恰好同时完工．【解析】试题分析：（1）由购买A种树苗x棵，可得出购买B种树苗（3000﹣x）棵，根据“总利润=报价﹣购买A种树苗钱数﹣购买B种树苗钱数”即可得出y关于x的函数关系式；（2）根据政府要求栽植这批树苗的成活率不低于93%，即可列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可解决最值问题；（3）设安排m人种植A种树苗，则有（40﹣m）人种植B种树苗，根据每人每天可种植A 种树苗6棵或B种树苗3棵且同时完工，可列出关于m的分式方程，解分式方程求出m的值，检验后即可得出结论．试题解析：（1）根据题意，得：购买B种树苗（3000﹣x）棵，∴y与x之间的函数关系式为y=150000﹣28x﹣40（3000﹣x）=12x+30000（0≤x≤3000）．（2）根据题意，得：90%x+95%（3000﹣x）≥93%×3000，解得：x≤1200，∴y=12x+30000中k=12＞0，∴当x=1200，3000﹣1200=1800时，y取最大值，最大值为44400．答：购买A种树苗1200棵，B种树苗1800棵时，承包商应的利润最大，最大利润为44400元．（3）设安排m人种植A种树苗，则有（40﹣m）人种植B种树苗，根据题意，得：12006m=18003(40)m，解得：m=10．经检验，m=10是分式方程的解，且符合实际，此时40﹣10=30（人）．答：安排10人种植A种树苗，30人种植B种树苗，恰好同时完工．【考点】一次函数的应用．【真题演练】一、单选题1．（2021·山东德州市·九年级期末）今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增．某药店一月份销售量是5000枚，二、三两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x的函数关系式是（）A．y＝5000（1+x）B．y＝5000（1+x）2C．y＝5000（1+x2）D．y＝5000（1+2x）2．（2021·安徽六安市·）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，若第二个月的增长率是x，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么y与x的函数关系是（）A ．()()112y a x x =++B ．()21y a x =+ C ．()221y a x =+D ．22y x a =+ 二、填空题 3．（2014·安徽中考真题）某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为y=________．4．（2020·浙江杭州市·九年级期末）某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为(0)x x >，则该工厂第一季度的产值y 关于x 的函数解析式为_________． 5．（2020·全国九年级专题练习）农机厂第一个月水泵的产量为50（台），第三个月的产量y （台）与月平均增长率x 之间的关系表示为___________．三、解答题6．（2013·湖北武汉市·中考真题）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）： 温度/℃ 植物每天高度增长量/mm 这些数据说明：植物每天高度增长量关于温度的函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．（1）你认为是哪一种函数，并求出它的函数关系式；（2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm ，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．7．（2020·全国九年级课时练习）某公司的生产利润原来是(0)a a >万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长率都是x，写出利润y与增长的百分率x之间的函数解析式，它是什么函数？8．（2019·山东东营市·九年级一模）为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？9．（2020·全国九年级课时练习）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋)与销售单价x （元)之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5．另外每天还需支付其他各项费用80元．（1）请求出y与x之间的函数关系式；（2）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？10．（2019·全国九年级课时练习）某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元．（1）求y关于x的函数关系式．（2）当x=20%时，今年的总产值为多少？（3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？11．（2017·江苏盐城市·九年级期末）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：温度/℃植物每天高度增长量/mm这些数据说明：植物每天高度增长量关于温度的函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．（1）你认为是哪一种函数，并求出它的函数关系式；（2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．12．（2017·江苏盐城市·九年级二模）某公司销售某一种新型通讯产品，已知每件产品的进价为4万元，每月销售该种产品的总开支(不含进价)总计11万元.在销售过程中发现，月销售量y(件)与销售单价x (万元)之间存在着如图所示的一次函数关系(1)求y关于x的函数关系式(直接写出结果)(2)试写出该公司销售该种产品的月获利z(万元)关于销售单价x(万元)的函数关系式、当销售单价x为何值时，月获利最大?并求这个最大值(月获利一月销售额一月销售产品总进价一月总开支，)(3)若公司希望该产品一个月的销售获利不低于5万元，借助(2)中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少万元。
3.2 探索型问题与开放型问题(课时练习)-2016届九年级数学二轮复习(原卷版)
初中数学中考二轮复习3.2 探索型问题与开放型问题（练）一．选择题1．（2015年山东济南）在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐标是（）A．（0，0） B．（0，2） C．（2，﹣4） D．（﹣4，2）2.（2015年福建福州）如图，在3x3的正方形网格中有四个格点A, B, C, D，,以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点3．（2015年福建福州）已知一个函数图像经过（1． -4）（2． -2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A．正比例函数 B．一次函数 c．反比例函数 D．二次函数4．（2015年福建南平）如图，从一块半径是1m的圆形铁皮（⊙O）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A，B，C在⊙O上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A mB mC m D．1m5．（2015年福建莆田）数学兴趣小组开展以下折纸活动：（1）对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．观察，探究可以得到∠ABM的度数是（）A．25° B．30° C．36° D．45°二．填空题6.（2015年山东聊城）如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成3个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3，把△ABC分成7个互不重叠的小三角形；…△ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3、…、P n，把△ABC分成个互不重叠的小三角形．7．（2015年山东青岛）如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B的坐标分别为（1,1）、（-1,1），把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得到正方形A′B′C′D′则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分形成的正八边形的边长为_______________．8.（2015年湖北黄冈）在△ABC 中，AB=13cm，AC=20cm，BC 边上的高为12cm，则△ABC 的面积为cm．__________29．（2015年广东珠海）如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为．10．（2015年辽宁本溪）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG各边中点，得到菱形I1；连接矩形FMCH对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ各边中点，得到菱形I2；…如此操作下去，得到菱形I n，则I n的面积是．三．解答题11．（2015年山东临沂）如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE．（1）请判断：AF与BE的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明；（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断．12．（2015年山东德州）（1）问题如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP．（2）探究如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5，点P 以每秒1个单位长度的速度，由点A 出了，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A，设点P 的运动时间为t （秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与AB 相切时，求t 的值．13．（2015年福建龙岩）如图，已知点D 在双曲线20y x=（0x >）的图象上，以D 为圆心的⊙D 与y 轴相切于点C （0，4），与x 轴交于A ，B 两点，抛物线2y ax bx c =++经过A ，B ，C 三点，点P 是抛物线上的动点，且线段AP 与BC 所在直线有交点Q ．（1）写出点D 的坐标并求出抛物线的解析式；（2）证明∠ACO=∠OBC ；（3）探究是否存在点P ，使点Q 为线段AP 的四等分点？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
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初中数学中考二轮复习
第一章 专题整合
第八节 二次函数的应用一（解决实际问题）（练） 一、选择题
1．（2015金华）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线16)80(400
12+--=x y ，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC ⊥x 轴，若OA =10米，则桥面离水面的高度AC 为（ ）
A ．40916米
B ．417米
C ．40716米
D ．4
15米 2．烟花厂为扬州三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度(m)h 与飞行时间(s)t 的关系式是252012h t t =-
++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A ．3s
B ．4s
C ．5s
D ．6s 3．二次函数213222
y x x =-++的图象如图所示，当﹣1≤x ≤0时，该函数的最大值是（ ）
A ．3.125
B ．4
C ．2
D ．0
4．某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线21100
y x =的形状．今在一个坡度为1：5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱（如图），这种情况下在
竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为（ ）
A ．12.75米
B ．13.75米
C ．14.75米
D ．17.75米
5．喜羊羊每个月有100元零用钱，一块巧克力3元，一张魔力卡2元．喜羊羊的幸福值可以用下面这个公式来表示：幸福值=巧克力块数×魔力卡片数，则喜羊羊一个月可达到的幸福值最高为（ ）
A ．300
B ．405
C ．416
D ．450
6．某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果获利润最大的产品是第k 档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么k 等于（ ）
A ．5
B ．7
C ．9
D ．10
二、填空题
7．如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB=1.6m ，涵洞顶点O 到水面的距离CO 为2.4m ，在图中直角坐标系内，涵洞截面所在抛物线的解析式是 ．
8．某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长的都是x ，则该厂今年第三月新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为y= ．
9．（2015营口）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
10．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55
y x =-
+的一部分，如图所示，若球命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 m ．
三、解答题
11．（2015襄阳）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
12．（2015锦州）开学初，小明到文具批发部一次性购买某种笔记本，该文具批发部规定：这种笔记本售价y（元/本）与购买数量x（本）之间的函数关系如图所示．
（1）图中线段AB所表示的实际意义是；
（2）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（3）已知该文具批发部这种笔记本的进价是3元/本，若小明购买此种笔记本超过10本但不超过20本，那么小明购买多少本时，该文具批发部在这次买卖中所获的利润W（元）最大？最大利润是多少？。