2005年上海市中考数学试题及详细答案

2005年上海高考数学试题及答案(理科)

2005年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学(理工农医类)、填空题(本大题满分48分)1•函数f (x)1log 4(x 1)的反函数f (x)= .2. 方程4x2x2 0的解是___________ .3. 直角坐标平面xoy中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足O P?O A 4，则点P的轨迹方程是___________________ 4•在(x a)10的展开式中，x7的系数是15,则实数a= _______________ .5•若双曲线的渐近线方程为y 3x，它的一个焦点是<10,0，则双曲线的方程是__________________ .x 1 2 cos6.将参数方程(为参数)化为普通方程，所得方程是_________________ .y 2si n7.计算：lim 3n 寫3 2&某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是 _______________________ .(结果用分数表示)9.在ABC 中，若A 120 , AB=5 , BC=7，贝y ABC 的面积S= ______________ .10.函数f(x) sinx 2 | sinx|,x 0,2 的图象与直线y k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是 __________ .211.有两个相同的直三棱柱，高为一，底面三角形的三边长分别为a3a,4a,5a(a 0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是 ___________12•用n个不同的实数a1,a2, ,a n可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵•对第i行a i1 , a i2 , , a in，记b an 2a i2 3a i3 (1)n na in , i 1,2,3, ,n!•例如：用1, 2, 3可得数阵1 2 31 3 22 1 32 3 123 13 2 1么，在用1, 2, 3, 4, 5形成的数阵中，b2 b i20 =如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以，b1 b2b612 2 12 3 12 24，那二、选择题（本大题满分16分）113.若函数f （x ）-，则该函数在2x 1A .单调递减无最小值 C .单调递增无最大值三、解答题（本大题满分86分）17.（本题满分12分）已知直四棱柱 ABCD AB 1CQ 1中，AA 1 2 ,底面ABCD 是直角梯形，/ A 是直角,AB||CD , AB=4 , AD=2 , DC=1，求异面直线 B 。

2002年-2012年上海市中考数学试题分类解析汇编专题1：实数

2002年-2012年上海市中考数学试题分类解析汇编专题1：实数一、选择题1.（上海市2002年3分）在下列各数中，是无理数的是【】（A ）π；（B ）722；（C ）9；（D ）34．【答案】A ，D 。

[来源:学科网ZXXK]【考点】无理数。

【分析】根据无限不循环小数为无理数的定义即可判定选择项：A 、π是无理数，故选项正确；B 、722是有理数，故选项错误； C 、9=3，是有理数，故选项错误；D 、34是无理数，故选项正确。

故选A ，D 。

2.（上海市2003年3分）下列命题中正确的是【】（A ）有限小数是有理数（B ）无限小数是无理数（C ）数轴上的点与有理数一一对应（D ）数轴上的点与实数一一对应【答案】A ，D 。

【考点】实数与数轴。

【分析】A 、根据有理数的定义，有限小数是有理数，故选项正确；B 、无限不循环小数是无理数，有限小数是有理数，故选项错误；C 、根据数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应，故选项错误；D 、数轴上的点与实数一一对应，故选项正确。

故选A ，D 。

3.（上海市2005年3分）在下列实数中，是无理数的为【】A 、0B 、－3.5C 、2D 、9【答案】C 。

【考点】无理数【分析】由于无理数就是无限不循环小数．有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数。

根据无理数的定义，初中常见的无理数有三类：①π类；②开方开不尽的数，如2；③有规律但无限不循环的数，如0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0）。

由此即可判定选择项：A 、0是有理数，故选项错误；B 、-3.5是有理数，故选项错误；C 、2是无理数，故选项正确；D 、9=3，是有理数，故选项错误．故选C 。

4.（上海市2010年4分）下列实数中，是无理数的为【】[来源:]A. 3.14B. 13C. 3D. 9 【答案】C 。

【考点】无理数。

[来源:Z*xx*]【分析】无理数即为无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，A 、B 、D 中3.14，13 ，9 =3是有理数，C 中 3 是无理数。

2005年高考上海卷(理科数学)

2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（上海卷）一、填空题:本题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．函数4()log (1)f x x =+的反函数1()f x -= ． 2．方程4220x x +-=的解是．3．直角坐标平面xoy 中，若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA ⋅=，则点P 的轨迹方程是．4．在10()x a +的展开式中，x 的系数是15，则实数a = .5．若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点是，则双曲线的方程是．6．将参数方程12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程，所得方程是．7．计箅:∞→n lim 112323+++-n n nn = ．8．某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程．从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的慨率是．(结果用分数表示) 9．在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S = ． 10．函数()sin 2sin f x x x =+,[0,2]x π∈的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是．11．有两个相同的直三棱柱，高为a 2，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a（0a >）.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是．12．用n 个不同的实数1a ,2a ,，n a 可得!n 个不同的排列,每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行1i a ,2i a ,,in a ,记12323(1)n i i i i in b a a a a =-+-++-,1,2,3,,!i n =.例如用1,2,3可得数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以，1261221231224b b b +++=-+⨯-⨯=-那么，在用1,2,3,4,5形成的数阵中，12120b b b +++= ．二、选择题:本题共4小题,每小题4分,共16分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.13．若函数1()21x f x =+，则该函数在(,)-∞+∞上是A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值 14．已知集合{12,}M x x x R =-≤∈,P={x│5{1,}1P xx Z x =≥∈+,则M P 等于A.{03,}x x x Z <≤∈B.{03,}x x x Z ≤≤∈C.{10,}x x x Z -≤≤∈D.{10,}x x x Z -≤<∈15．过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在16．设定义域为R 的函数lg 11()01x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩,则关于x 的方程2()()f x bf x c ++0=有7个不同实数解的充要条件是A.0b <且0c >B.0b >且0c <C.0b >且0c =D.0b ≥且0c = 三、解答题：本大题共有6题，满分86分，解答下列各题必须写出必要步骤. 17．（本题满分12分）已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，A ∠为直角，AB ∥CD ，4AB =，2AD =，1DC =.求异面直线1BC 与DC 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)18．（本题满分12分）在复数范围内解方程iii z z z +-=++23)(2(i 为虚数单位) 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图,点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴的上方，PA PF ⊥. （Ⅰ）求点P 的坐标；（Ⅱ）设M 椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（Ⅰ）该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?（Ⅱ）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? 21．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 对定义域分别是f D 、g D 的函数()y f x =、()y g x =,规定：函数()()()()()f gf g f g f x g x x D x D h x f x x D x D g x x D x D ⎧⋅∈∈⎪=∈∉⎨⎪∉∈⎩当且当且当且, （Ⅰ）若函数1()1f x x =-，2()g x x =，写出函数()h x 的解析式；（Ⅱ）求问题（Ⅰ）中函数()h x 的值域;（Ⅲ）若()()g x f x α=+，其中α是常数,且[0,]απ∈,请设计一个定义域为R 的函数()y f x =，及一个α的值,使得()cos 4h x x =,并予以证明. 22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.在直角坐标平面中,已知点1(1,2)P ，22(2,2)P，，(,2)n N P n ，其中n 是正整数.对平面上任一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点, ,n A 为1n A -关于点n P 的对称点. （Ⅰ）求向量02A A 的坐标;（Ⅱ）当点0A 在曲线C 上移动时, 点2A 的轨迹是函数()y f x =的图象,其中()f x 是以3为周期的周期函数,且当(0,3]x ∈时,()lg f x x =.求以曲线C 为图象的函数在(1,4]上的解析式;（Ⅲ）对任意偶数n ,用n 表示向量0n A A 的坐标.上海数学(理工农医类)参考答案一.1. 1. 4x-1 2. x=0 3. x+2y-4=0 4. -21 5. 1922=-y x 6. (x-1)2+y 2=47. 3 8. 739. 4315 10. 1<k<3 11. 0<a<315 12.-1080二.13. A 14. B 15. B 16.C 三.17. [解]由题意AB∥CD,∴∠C 1BA 是异面直线BC 1与DC 所成的角.连结AC 1与AC,在Rt△ADC 中,可得AC=5. 又在Rt△ACC 1中,可得AC 1=3.在梯形ABCD 中,过C 作CH∥AD 交AB 于H, 得∠CHB=90°,CH=2,HB=3, ∴CB=13. 又在Rt△C BC 1中,可得BC 1=17, 在△ABC 1中,cos∠C 1BA=17173,∴∠C 1BA=arccos 17173 异面直线BC 1与DC 所成角的大小为arccos17173 另解:如图,以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立直角坐标系.则C 1(0,1,2),B(2,4,0), ∴1BC =(-2,-3,2),CD =(0,-1,0),设1BC 与CD 所成的角为θ,则cos θ=17173,θ= arccos 17173. 异面直线BC 1与DC 所成角的大小为arccos 17173 18. [解] 原方程化简为i i z z z -=++1)(2,设z=x+yi(x 、y∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2xi=1-i,∴x 2+y 2=1且2x=-1,解得x=-21且y=±23,∴原方程的解是z=-21±23i.19. [解]（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)设点P(x,y),则={x+6,y},={x －4,y},由已知可得1203622=+y x (x+6)(x －4)+y 2=0则2x 2+9x －18=0,x=23或x=－6.由于y>0,只能x=23,于是y=235.∴点P 的坐标是(23,235) (2) 直线AP 的方程是x －3y+6=0. 设点M(m,0),则M 到直线AP 的距离是26+m .于是26+m =6+m ,又－6≤m≤6,解得m=2.椭圆上的点(x,y)到点M 的距离d 有d 2=(x －2)2+y 2=x －4x 2+4+20－95x 2=94(x －29)2+15,由于－6≤m≤6, ∴当x=29时,d 取得最小值1520. [解] (1)设中低价房面积形成数列{a n },由题意可知{a n }是等差数列,其中a 1=250,d=50,则S n =250n+502)1(⨯-n n =25n 2+225n,令25n 2+225n≥4750,即n 2+9n-190≥0,而n 是正整数, ∴n≥10.到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列{b n },由题意可知{b n }是等比数列,其中b 1=400,q=1.08,则b n =400·(1.08)n-1·0.85.由题意可知a n >0.85 b n ,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.21. [解] (1)h(x)= 12-x x x∈(-∞,1)∪(1,+∞)1 x=1(2) 当x≠1时, h(x)= 12-x x =x-1+11-x +2,若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立 ∴函数h(x)的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞)(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=4π则g(x)=f(x+α)= sin2(x+4π)+cos2(x+4π)=cos2x-sin2x,于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x. 另解令f(x)=1+2sin2x, α=2π,g(x)=f(x+α)= 1+2sin2(x+π)=1-2sin2x,于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+2sin2x)( 1-2sin2x)=cos4x. 22.. [解](1)设点A 0(x,y), A 0为P 1关于点的对称点A 0的坐标为(2-x,4-y), A 1为P 2关于点的对称点A 2的坐标为(2+x,4+y), ∴20A A ={2,4}. (2) ∵20A A ={2,4},∴f(x)的图象由曲线C 向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到. 因此, 曲线C 是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4. 另解设点A 0(x,y), A 2(x 2,y 2),于是x 2-x=2,y 2-y=4, 若3< x 2≤6,则0< x 2-3≤3,于是f(x 2)=f(x 2-3)=lg(x 2-3). 当1< x≤4时, 则3< x 2≤6,y+4=lg(x -1). ∴当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.(3)n A A 0 =n n A A A A A A 24220-+++ , 由于k k k k P P A A 2122222--=,得n A A 0 =2(n n P P P P P P 14321-+++ ) =2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n-1})=2{2n ,3)12(2-n }={n,3)12(4-n }。

初三数学上学期第三章证明(三)试题

1－3】（2004、重庆北碚，10分）如图1－已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=DC，AD PB=PC．求证：PA=PD．．已知：如图 l －3－6，E 是□MABCD 的对角线上的两点，A E ＝CF ．求证：（1）△ABE ≌△CDF ；（2）BE ∥DF ．．如图1－3－8，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥为梯形内一点，且 EA=ED ，求证：EB=EC．在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F、G、BC、CD、DA边上的中点，当梯形___________条件时，四边形EWIH是菱形．－3－13，边长为3的正方形ABCD．已知：如图1－3－l5，在矩形ABCD中，点边上，且BE=CF，AF、DE交于点AM=DM。

年新课标中考题一网打尽★★★）在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图⑵试用刻度尺在图1－3－17⑴⑵中量得AQ的长度，估计AQ、B Q间的关系，并填入下表．由上表可猜测AQ、BQ间的关系是______________.2）上述问）中的猜测AQ，BQ间的关系成立吗？3】（2005、温州，8分）如图1－3－ABCD是平行四边形，对角线AC、BD过点O画直线EF，分别交AD、BC于点OE=OF．【回顾4】（2005、南充，3分）如图1－3－21是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点绕正方形ABCDFC＝HB：EC，顺次连结四边形ABCD各要使四边形EFGH为矩形，90°D、33【备考7】如图l－3－28，在□ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点O．若SΔDOE= 9，则SΔAOB等于（）A．18 B．27 C．36 D．45【备考10】如图l－3－30，在□ABCD中，AB=10AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是（）A．5 B．8．2 C．6．4 D．1．8【备考14】（动手操作题）在给定的锐角三角形中，求作一个正方形DEFG，使D、E落在F、G分别落在AC、AB边上，作法如下：第一步：画一个有三个顶点落在△ABC15】（探究题）如图l－3－35，矩形ABCDAC与BD的交点，过O点的直线EF与的延长线分别交于E、F．（l）求证：△BOE≌△）当EF与AC满足什么条件时，四边形。

2005年中考数学

2005年中考数学
2005年的中考数学，是湖南省学生迈出中考数学之路的起点。

这门课程标志着学生开始他们的中学生活，也是学生们打开数学之门的第一步。

2005年的中考数学考试内容虽然只有九个单元，但是其考察范围非常广泛，包括几何、代数、数论、概率论等课程。

这就要求考生具备较强的知识结构和较高的数学素养。

在考前准备时，复习时要认真复习最近学习的相关知识，并将其联系到考试中容易出现的问题中，熟练掌握各类知识点，提高整体解题能力。

考试前，考生还要把重点突出的知识点在考试前多加练习，多加记忆，特别是在解决数学问题的方法上，要多注意实践。

此外，在准备中考数学考试时，考生还要注意多积累数学知识点，以及新的算法知识。

要熟悉计算机的操作方法，将计算机的知识灵活运用于中考数学习题中。

在参加2005年的中考数学考试时，考生需要注意时间安排，每一题都要仔细审题，争取更多的时间进行完整地思考，阅读和解题。

同时，要结合具体情况调整解题策略，设计有效的解题方案，更好地把握考试的大局。

2005年的中考数学，开启了许多学生数学之路，让他们开始步入一番更加精彩的数学世界。

经过这场考试，学生们对数学有了更深层次的认识，也更加努力地学习数学，走上了一条成功的路。

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2005年高考文科数学(上海卷)试题及答案

2005上海卷试题及答案一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1.函数)1(log )(4+=x x f 的反函数)(1x f-=__________2.方程0224=-+xx的解是__________3.若y x ,满足条件⎩⎨⎧≤≤+xy y x 23，则y x z 43+=的最大值是__________4.直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=•OA OP ，则点P 的轨迹方程是__________5.函数x x x y cos sin 2cos +=的最小正周期T=__________6.若71cos =α，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+3cos πα=__________7.若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是__________8.某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________（结果用分数表示）9.直线x y 21=关于直线1=x 对称的直线方程是__________ 10.在ABC ∆中，若︒=120A ，AB=5，BC=7，则AC=__________11.函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________12.有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a 成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________13.若函数121)(+=xx f ，则该函数在()+∞∞-,上是（）A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值14.已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|，则P M 等于（）A ．{}Z x x x ∈≤<,30|B ．{}Z x x x ∈≤≤,30|C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01|D ．{}Z x x x ∈<≤-,01|15.条件甲：“”是条件乙：“”的（）A ．既不充分也不必要条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件16.用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，,,3,2,1n i =例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ 等于（）A ．—3600B ．1800C ．—1080D ．—720三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤17.（本题满分12分）已知长方体1111D C B A ABCD -1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，D B 1与平面ABCD 所成角的大小为︒60，求异面直线D B 1与MN 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）18.（本题满分12分）在复数范围内解方程iii z z z +-=++23)(||2（i 为虚数单位） 19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数b kx x f +=)(的图象与y x ,ji AB 22+=（j i ,分别是与y x ,轴正半轴同方向的单位向量），函数)(2--=x x x g（1）求b k ,的值；（2）当x 满足)()(x g x f >时，求函数)(1)(x f x g +的最小值 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房预计在123132213231312321⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭1A C今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？21.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4.且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M（1）求抛物线方程；（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分对定义域是f D .g D 的函数)(x f y =.)(x g y =，规定：函数⎪⎩⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈=g f g f g f Dx D x x g D x D x x f D x D x x g x f x h 且当且当且当),(),(),()()(（1）若函数()23f x x =-+ 1x ≥，()2g x x =-，写出函数)(x h 的解析式；（2）求问题（1）中函数)(x h 的值域；（3）若)()(α+=x f x g ，其中α是常数，且[]πα,0∈，请设计一个定义域为R 的函数)(x f y =，及一个α的值，使得()cos 2h x x =，并予以证明2005上海卷试题及答案参考答案1. 4x-1 2. x=0 3. 11 4. x+2y-4=0 5. π 6. -14117.1208022=+y x 8.739. x+2y-2=0 10. 3 11. 1<k<3 12. 0<a<315 解析：①拼成一个三棱柱时，只有一种一种情况，就是将上下底面对接，其全面积为②拼成一个四棱柱，有三种情况，就是分别让边长为3,4,5a a a 所在的侧面重合，其上下底面积之和都是2134242a a a ⨯⨯⨯⨯=22，但侧面积分别为：2222(45)36,2(35)32,2(34)28a a a a a a a a a+⨯=+⨯=+⨯=，显然，三个是四棱柱中全面积最小的值为：由题意，得解得03a <<二. 三.17. [解]联结B 1C,由M.N 分别是BB 1和BC 的中点,得B 1C ∥MN, ∴∠DB 1C 就是异面直线B 1D 与MN 所成的角.联结BD,在Rt △ABD 中,可得BD=25,又BB 1⊥平面ABCD, ∠B 1DB 是B 1D 与平面ABCD 所成的角, ∴∠B 1DB=60°.在Rt △B 1BD 中, B 1B=BDtan60°=215, 又DC ⊥平面BB 1C 1C, ∴DC ⊥B 1C, 在Rt △DB 1C 中, tan ∠DB 1C=212121=+=BB BC DCCB DC, ∴∠DB 1C=arctan21. 即异面直线B 1D 与MN 所成角的大小为arctan 21.18. [解]原方程化简为i i z z z -=++1)(2,设z=x+yi(x.y ∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2xi=1-i, ∴x 2+y 2=1且2x=-1,解得x=-21且y=±23,∴原方程的解是z=-21±23i.19. [解](1)由已知得A(kb-,0),B(0,b),则AB ={k b ,b},于是k b =2,b=2. ∴k=1,b=2.(2)由f(x)> g(x),得x+2>x 2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4,)(1)(x f x g +=252+--x x x =x+2+21+x -51A C A由于x+2>0,则)(1)(x f x g +≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立 ∴)(1)(x f x g +的最小值是-3. 20. [解](1)设中低价房面积形成数列{a n },由题意可知{a n }是等差数列, 其中a 1=250,d=50, 则S n =250n+502)1(⨯-n n =25n 2+225n, 令25n 2+225n ≥4750,即n 2+9n-190≥0,而n 是正整数, ∴n ≥10.∴到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{b n },由题意可知{b n }是等比数列, 其中b 1则b n =400·n-1.由题意可知a nn ,有250+(n-1)·50>400·n-1· 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 21. [解](1) 抛物线y 2=2px 的准线为x=-2p ,于是4+2p=5, ∴p=2. ∴抛物线方程为y 2=4x.(2)∵点A 是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2), 又∵F(1,0), ∴k FA =34;MN ⊥FA, ∴k MN =-43, 则FA 的方程为y=34(x-1),MN 的方程为y-2=-43x,解方程组得x=58,y=54, ∴N 的坐标(58,54). (1) 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,当m=4时, 直线AK 的方程为x=4,此时,直线AK 与圆M 相离. 当m ≠4时, 直线AK 的方程为y=m-44(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0, 圆心M(0,2)到直线AK 的距离d=2)4(1682-++m m ,令d>2,解得m>1∴当m>1时, AK 与圆M 相离; 当m=1时, AK 与圆M 相切; 当m<1时, AK 与圆M 相交.22. [解](1) (23)(2),[1,)()2(,1)x x x h x x x -+-∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩(2) 当x ≥1时, h(x)= (-2x+3)(x-2)=-2x 2+7x-6=-2(x-47)2+81∴h(x)≤81; 当x<1时, h(x)<-1,∴当x=47时, h(x)取得最大值是81 (3)令 f(x)=sinx+cosx,α=2π则g(x)=f(x+α)= sin(x+2π)+cos(x+2π)=cosx-sinx,于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sinx+cosx)( cosx-sinx)=cos2x. 另解令f(x)=1+2sinx, α=π,g(x)=f(x+α)= 1+2sin(x+π)=1-2sinx,于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+2sinx)( 1-2sinx)=cos2x.。

2005年高考.上海卷.文科数学试题精析详解

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（上海文史类）试题精析详解一、填空题（4分⨯12=48分）1、函数)1(log )(4+=x x f 的反函数)(1x f -=__________.【思路点拨】本题考查了互为反函数的概念，只要根据求反函数的三步曲即可.【正确解答】4log (1)y x =+，41y x =+，得41yx =-（1x >-）.所求反函数为：1()41x f x -=-（x R ∈）.【解后反思】要会求一个函数的反函数，并注意定义域.2、方程4220x x+-=的解是__________.【思路点拨】本题考查了指数方程的求法，通过换元法求解.【正确解答】令2(0)x t t =>，原方程化为：220t t +-=，得1t =或2t =-（舍）.由此可得0x =.解法2：0120)22)(12(0224=⇒=⇒=+-⇒=-+x x x x x x【解后反思】用换元的方法时，注意定义域的变化，求出解后要进行验证，以免出错.3、若y x ,满足条件⎩⎨⎧≤≤+x y y x 23，则y x z 43+=的最大值是__________. 【思路点拨】本题考查线性规划的基础知识，画出可行域，寻求目标函数的最大值.【正确解答】求y x z 43+=的最大值，即求y 轴上的截距最大值，由图可知，过点（1，2）时有最大值，为11【解后反思】线性规划是直线方程的应用，是新增的教学内容.要了解线性不等式表示的平面区域，了解线性规划的定义，会求在线性约束条件下的目标函数的最优解.4、直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙，则点P 的轨迹方程是__________.【思路点拨】本题考查了数量积的坐标表示，可根据其定义来解.【正确解答】设(,)P x y ，由数量积公式及4=∙OA OP 知04242=-+⇒=+y x y x 为所求轨迹方程.【解后反思】一般地11(,)A x y ，22(,)B x y 则2121(,)AB x x y y =--，11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ∙==+.5、函数x x x y cos sin 2cos +=的最小正周期T=__________.【思路点拨】本题考查二倍角公式等基础知识和变换能力，角的差异（由异角化同角）在同角的条件下，利用三角恒等式化成正弦函数，就可求出最小正周期.【正确解答】1cos 2sin cos cos 2sin 2)2y x x x x x x ϕ=+=+=+，得最小正周期为π【解后反思】三角函数的变换要注意变换的方向，消除差异，达到转化.6、若71cos =α，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+3cos πα=__________. 【思路点拨本题考查两个角和的余弦的求法.熟记公式结构，根据条件求出运用公式必需值，再考虑三角函数的符号.【正确解答】⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，∴sin 7α==， 11cos cos cos sin sin 33314πππααα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭. 【解后反思】在三角函数的公式运用过程中取决于满足运用公式的条件，已知三角函数值求同角的其它三角函数值时必须注意符号，否则就无所谓解决三角函数问题.7、若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是__________.【思路点拨】本题考查椭圆的基础知识，数形的等价转换是解决此类型的关键.【正确解答】由题意可知，2ab =，c =，又222a b c =+，解得2280,20a b ==，所求椭圆的标准方程为2218020x y +=. 【解后反思】在求椭圆方程和研究性质时，要深刻理解确定椭圆的形状及大小的主要特征数，如a 、b 、c 、p 、e 的几何意义及它们的关系式，熟练运用这些公式解决有关问题..8、某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）【思路点拨】本题考查了等可能事件的概率的求法.可直接根据定义，找到基本事件数代入公式便得. 【正确解答】11153525037C C P C == 解法2：734915503549355015=⨯+⨯ 【解后反思】要了解等可能事件概率的定义，会用排列、组合的基本公式计算的一些等可能事件的概率.9、直线x y 21=关于直线1=x 对称的直线方程是__________. 【思路点拨】本题考查一条直线关于已知直线对称的直线方程，可取两个特殊点求出关于直线的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程即可. 【正确解答】直线x y 21=上的点（0，0）关于1=x 对称的点是（2，0），且所求方程的斜率为－12，因此，直线x y 21=关于直线1=x 对称的直线方程是： 1(2)2y x =--，整理后得220x y +-=. 解法2设所求直线上任意点(,)P x y '''关于直线x=1对称点为(,)P x y 则22x x x x y y y y''+==-⎧⎧⇒⎨⎨''==⎩⎩∵12y x ''=∴1(2)2y x =-即x+2y-2=0 【解后反思】解法2是通法，要会求某一点关于一已知点成中心对称的坐标，和已知直线成轴对称的坐标.如点(,)P x y 关于点(,)M a b 对称的坐标为(2,2)P a x b y '--；，由点的可推广到曲线关于某一点的对称.如曲线(,)0f x y =关于点(,)M a b 对称的曲线为(2,2)0f a x b y --=，类似地，点(,)P x y 关于直线x m =对称的点的坐标为(2,)P a x y '-，曲线(,)0f x y =关于直线x m =对称的曲线为(2,)0f m x y -=.更一般地，利用定义可解决有关对称问题.10、在ABC ∆中，若︒=120A ，AB=5，BC=7，则AC=__________.【思路点拨】本题主要考查解斜三角形的相关知识和运算能力.可画出草图，设法求出AC.【正确解答】由余弦定理︒⨯⨯-+=120cos 2222AC BC AC BC AB解得8AC =-（舍）或AC=3，因此ABC ∆的面积4315120sin 21S =︒⨯⨯⨯=AC AB 【解后反思】要注意正、余弦定理的灵活运用.本题可视为关于AC 的方程，求出AC 的目的，在于求ABC ∆的面积，若利用正弦定理求AC 就较繁了.最优解总是我们追求的目标.11、函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________.【思路点拨】本题考查区间上的三角函数的图象和性质，考查数形结合的能力.可通过[]0,2π正弦值的符号写出分段函数，再通过数形结分析出k 的取值范围.【正确解答】3sin [0,]()sin 2|sin |sin (,2]x x f x x x x x πππ∈⎧=+=⎨-∈⎩，从图象可以看出于直线k y =有且仅有两个不同的交点时, 31<<k【解后反思】要熟悉含有绝对值的函数图象的作法.即由函数()y f x =的图象作出(),()y f x y f x ==的图象.12、有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a .用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________.【思路点拨】借助棱柱的拼接的可能性考查学生的分析问题和解决问题的能力，而拼接中底面积不变是关键，只要考虑侧面积的可能情形中最小的一种图形即可.【正确解答】显然，直三棱柱底面为直角三角形，面积为26a ，每个侧面的面积分别为6，8，10，拼接后每个三棱柱或四棱柱底面积是相同的，只需要比较侧面积.拼接为三棱柱的可能的总侧面积为32或36，拼接为四棱柱后可能的总侧面积为28解法2：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为a 5的边重合在一起，表面积为242a +28三棱柱有两种，边长为a 4的边重合在一起，表面积为242a +32边长为a 3的边重合在一起，表面积为242a +36两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况表面积为122a +48最小的是一个四棱柱，这说明 201248122824222<⇒+<+a a a 3150<<⇒a 【解后反思】本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力和动手能力的实验题，具有开放性，不确定性等特点，是培养创新能力的好题，也是研究性学习成果的展示题.二、选择题（4分⨯4=16分）13、若函数121)(+=x x f ，则该函数在()+∞∞-,上是（） A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值【思路点拨】本题是考查复合函数性质，只要理清构成复合的各个函数的性质就不难解决.【正确解答】21x y =+为增函数，1y x =在(1,)+∞上是减函数，因此121)(+=x x f 是减函数，没有最大值和最小值，选A.【解后反思】函数的图象和性质是高考的一个重点，通过复合可考多个知识点，达到考一查多的功能，要注意复合函数的定义域的变化，教材中的练习题要理解，把握基础，发展能力.14、已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|，则P M 等于（）A ．{}Z x x x ∈≤<,30|B ．{}Z x x x ∈≤≤,30|C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01|D ．{}Z x x x ∈<≤-,01|【思路点拨】本题是考查具有绝对值不等式的解法和集合的运算.【正确解答】{}R x x x M ∈≤≤-=,31|， {}Z x x x P ∈≤≤=,40| P M ={}Z x x x ∈≤≤,30|，选B【解后反思】可采用直接法化简各个集合并注意10x +>的隐含条件.在计算P 时，注意10x +>的提示作用.，如果去分母时忽视了10x +>，就会造成错误，而求交集时可用数轴标或文氏图求解.15、条件甲：“1a >”是条件乙：“a >”的（）A ．既不充分也不必要条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件【思路点拨】本题考查了充要条件的定义及其判定只要判断甲⇒乙和乙⇒甲的真假性，利用充要条件将条件乙进行化简是解决这类问题的关键.【正确解答】解法1：甲⇒乙：11a a >>⇒，乙⇒甲：1)0101a a >>><⇒>因此是充要条件，选B解法2：∵201a a a aa >⎧>⇔⇔>⎨>⎩，∴选B【解后反思】对命题的充要条件、必要条件可以从三个方面理解：①定义法，②等价法，即利用A B ⇒与B A ⌝⌝⇒，B A ⇒与A B ⌝⌝⇒的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题一般采用等价法，③利用集合间的包含关系判断：若A B ⊆则A 是B 的充分条件或B 是A 必要条件；若A B =则A 是B 的充要条件，另外，对于确定条件的不充分性或不必要性往往用构造反例的方法来说明.16、用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i =.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ 等于（）A ．—3600B ．1800C ．—1080D ．—720【思路点拨】本题借助数阵考查学生的观察能力和运算能力，要抓住逐项特征：第一行的和相等，探索其规律，符号因子()1n -的处理是一难点.【正确解答】由题意可知，每一行的和为相等的12312312312312312312!11121312122232!1!2!3!1121!11222!212!1121!1(23(1))(23(1))(23(1))()2()(1)()(123(1))()n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b b b a a a na a a a na a a a na a a a a a a n a a a n a a a +++=-+-++-+-+-++-++-+-++-=-+++++++++-+++=-+-++-+++=1111(1)(221(1)()()22n n n n n n n A n n n n n A n ----+⎧⨯⨯⎪⎪⎨-+⎪-⨯⨯⎪⎩为偶数）为奇数 5n =时，412120456310802b b b A ⨯+++=-⨯⨯=-. 解法2：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，1080360536043603360236012021-=⨯-⨯+⨯-⨯+-=+++b b b【解后反思】数学学习中的数感很重要，变化中不变的探索与发现是当今高考的一个方向，它是培养创新人才的一个重要载体，在学习中要留心，遇到此类问题时要细心品味.三、解答题（本大题满分86分）17、（本题满分12分）已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，D B 1与平面ABCD 所成角的大小为︒60，求异面直线D B 1与MN 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）【思路点拨】本题考查直四棱柱的性质和异面直线所成角的求法，考查空间想象能力和运算能力，可根据定义找出异面直线所成角，转化到平面图形解决，而本题的图形结构，具有空间向量处理的特点，故还可利用空间向量的数量积来解决.【正确解答】联结B 1C,由M 、N 分别是BB 1和BC 的中点,得B 1C ∥MN,∴∠DB 1C 就是异面直线B 1D 与MN 所成的角.联结BD,在Rt △ABD 中,可得BD=25,又BB 1⊥平面ABCD,∠B 1DB 是B 1D 与平面ABCD 所成的角, ∴∠B 1DB=60°.在Rt △B 1BD 中, B 1B=BDtan60°=215,又DC ⊥平面BB 1C 1C, ∴DC ⊥B 1C,在Rt △DB 1C 中, tan ∠DB 1C=212121=+=BB BC DC C B DC ,∴∠DB 1C=arctan 21. 即异面直线B 1D 与MN 所成角的大小为arctan21. 【解后反思】求异面直线所成角的一般步骤是：①利用定义构造问题，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某一特殊的位置，顶点选在特殊的位置上，②证明所作出的角（或补角）即为所的求角，③利用解三角形求角.异面范围是(0,]2π.若能建立空间直角坐标系，利用向量求异面直线所成的角的大小是十分快捷方便的.18、（本题满分12分）在复数范围内解方程ii i z z z +-=++23)(||2（i 为虚数单位）. 【思路点拨】本题考查共轭复数的模的概念和运算能力，可根据复数的代数形式进行处理. 【正确解答】原方程化简为i i z z z -=++1)(2,设z=x+yi(x 、y ∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2xi=1-i,∴x 2+y 2=1且2x=-1,解得x=-21且y=±23, ∴原方程的解是z=-21±23i. 【解后反思】近几年看，高考中常见与复数相关问题难度有下降的趋势，仅以中档题为主，侧重于复数的代数运算，而复数问题实数化的最佳形式是它的代数形式表示.19、（本题满分14分）已知函数b kx x f +=)(的图象与y x ,轴分别相交于点A 、B ，22+=（,分别是与y x ,轴正半轴同方向的单位向量），函数6)(2--=x x x g . （1）求b k ,的值；（2）当x 满足)()(x g x f >时，求函数)(1)(x f x g +的最小值. 【思路点拨】本题是以向量为背景，解析法为手段，考查解析思想的运用和处理函数性质的方法，考查运算能力和运用数学模型的能力.【正确解答】 (1)由已知得A(kb -,0),B(0,b),则={k b ,b},于是k b =2,b=2. ∴k=1,b=2.(2)由f(x)> g(x),得x+2>x 2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4, )(1)(x f x g +=252+--x x x =x+2+21+x -5 由于x+2>0,则)(1)(x f x g +≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立 ∴)(1)(x f x g +的最小值是-3. 【解后反思】要熟悉在其函数的定义域内，常见模型函数求最值的常规方法.如1(0)y x x x=+≠型. 20、（本题满分14分）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4780万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？【正确解答】[解] (1)设中低价房面积形成数列{a n },由题意可知{a n }是等差数列,其中a 1=250,d=50,则S n =250n+502)1(⨯-n n =25n 2+225n, 令25n 2+225n≥4750,即n 2+9n-190≥0,而n 是正整数, ∴n≥10.到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列{b n },由题意可知{b n }是等比数列,其中b 1=400,q=1.08,则b n =400·(1.08)n-1·0.85.由题意可知a n >0.85 b n ,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.【解后反思】数学应用问题是近几年高考的热点之一，似乎是每年的必考题，平时要注意数学应用意识的培养，碰到这类问题时不要被繁琐的数据和冗长的文字说明所惧，应“取其精华”读通读懂题目，即解题的归宿应该在回答实际问题上.21、（本题满分16分）已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.（1）求抛物线方程；（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.【思路点拨】本题考查直线与抛物线、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运用解析几何的方法分析问和解决问题的能力.第（1）（2）问是定量分析，难度不大，而解决（3）的常规方法之一就是利用点M 到直线AK 的距离d 与圆的半径比较为宜.【正确解答】 (1) 抛物线y 2=2px 的准线为x=-2p ,于是4+2p =5, ∴p=2. ∴抛物线方程为y 2=4x.(2)∵点A 是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2), 又∵F(1,0), ∴k FA =34;MN ⊥FA, ∴k MN =-43, 则FA 的方程为y=34(x-1),MN 的方程为y-2=-43x,解方程组得x=58,y=54, ∴N 的坐标(58,54). (1) 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,当m=4时, 直线AK 的方程为x=4,此时,直线AK 与圆M 相离.当m ≠4时, 直线AK 的方程为y=m-44(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0, 圆心M(0,2)到直线AK 的距离d=2)4(1682-++m m ,令d>2,解得m>1∴当m>1时, AK 与圆M 相离;当m=1时, AK 与圆M 相切;当m<1时, AK 与圆M 相交.【解后反思】解答圆锥这部分试题需准确地把握数与形的语言转换能力，推理能力，本题计算量并不大，但步步等价转换的意识要准确无误.22、（本题满分18分）对定义域是f D 、g D 的函数)(x f y =、)(x g y =，规定：函普通高等学校招生考试数学试题精析详解北大附中广州实验学校王生QQ ：84024795 E-mail: wangsheng@ 第11页（共11页）数⎪⎩⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈=g f g f g f D x D x x g D x D x x f D x D x x g x f x h 且当且当且当),(),(),()()(.（1）若函数11)(-=x x f ，2)(x x g =，写出函数)(x h 的解析式；（2）求问题（1）中函数)(x h 的值域；（3）若)()(α+=x f x g ，其中α是常数，且[]πα,0∈，请设计一个定义域为R 的函数)(x f y =，及一个α的值，使得x x h 4cos )(=，并予以证明.【思路点拨】本题通过自定义函数考查学生如何理解函数，如何在给出具体函数下处理相关函数性质的能力，只要遵循其规则，借助给定函数的性质即可解决.【正确解答】（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+∞⋃-∞∈-=11),1()1,(1)(2x x x x x h（2）当.21111)(,12+-+-=-=≠x x x x x h x 时若,4)(,1≥>x h x 则其中等号当x =2时成立，若,4)(,1≤<x h x 则其中等号当x =0时成立，∴函数),4[}1{]0,()(+∞⋃⋃-∞的值域x h（3）[解法一]令,4,2cos 2sin )(πα=+=x x x f 则,2sin 2cos )4(2cos )4(2sin )()(x x x x x f x g -=+++=+=ππα于是.4cos )2sin 2)(cos 2cos 2(sin )()()(x x x x x x f x f x h =-+=+⋅=α[解法二]令2,2sin 21)(πα=+=x x f ，则,2sin 21)2(2sin 21)()(x x x f x g -=++=+=πα 于是.4cos 2sin 21)2sin 21)(2sin 21()()()(2x x x x x f x f x h =-=-+=+⋅=α【解后反思】自定义函数是近年高考常见题型，必须深刻理解其定义的含义就不难解决.。

2005年上海高考数学试题及答案(理科)

2005年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理工农医类）一、填空题（本大题满分48分）1．函数)1(log )(4+=x x f 的反函数)(1x f-=__________. 2．方程0224=-+x x 的解是__________.3．直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙，则点P 的轨迹方程是__________.4．在10)(a x -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =__________.5．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.6．将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是__________.7．计算：112323lim ++∞→+-n n nn n =__________. 8．某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）9．在ABC ∆中，若︒=120A ，AB=5，BC=7，则ABC ∆的面积S=__________.10．函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________.11．有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为 )0(5,4,3>a a a a .用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________. 12．用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-= ，!,,3,2,1n i =.例如：用1，2，3可得数阵123123123123123123么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ =__________.二、选择题（本大题满分16分）13．若函数121)(+=x x f ，则该函数在()+∞∞-,上是（）A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值14．已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|，则P M 等于（） A ．{}Z x x x ∈≤<,30|B ．{}Z x x x ∈≤≤,30|C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01|D ．{}Z x x x ∈<≤-,01|15．过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条 D ．不存在16．设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（） A ．0<b 且0>cB ．0>b 且0<cC ．0<b 且0=cD ．0≥b 且0=c 三、解答题（本大题满分86分）17．（本题满分12分）已知直四棱柱1111D C B A ABCD -中，21=AA ，底面ABCD 是直角梯形，∠A 是直角，AB||CD ，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线1BC 与DC 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18．（本题满分12分）证明：在复数范围内，方程ii z i z i z +-=+--+255)1()1(||2（i 为虚数单位）无解.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥.（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？21．（本题满分16分）（4+6+6=16分）对定义域是f D 、g D 的函数)(x f y =、)(x g y =，规定：函数⎪⎩⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈=g f g f g f D x D x x g D x D x x f D x D x x g x f x h 且当且当且当),(),(),()()(. （1）若函数11)(-=x x f ，2)(x x g =，写出函数)(x h 的解析式；（2）求问题（1）中函数)(x h 的值域；（3）若)()(α+=x f x g ，其中α是常数，且[]πα,0∈，请设计一个定义域为R 的函数)(x f y =，及一个α的值，使得x x h 4cos )(=，并予以证明.22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.在直角坐标平面中，已知点()()()()n n n P P P P 2,,,2,3,2,2,2,133221 ，其中n 是正整数，对平面上任一点0A ，记A 为A 关于点P 的对称点，A 为A 关于点P 的对称点，．．．，A 为A 关于点P 的对称点.（1）求向量20A A 的坐标；（2）当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数)(x f y =的图象，其中)(x f 是以3为周期的周期函数，且当(]3,0∈x 时，x x f lg )(=.求以曲线C 为图象的函数在(]4,1上的解析式；（3）对任意偶数n ，用n 表示向量n A A 0的坐标.数学（理）参考答案一、（第1题至第12题）1．14-x2．x =0 3．x +2y －4=0 4．21- 5．1922=-y x 6．4)1(22=+-y x 7．3 8．73 9．3415 10．31<<k 11．3150<<a 12．－1080 二、（第13题至16题）13.A 14.B 15.B 16.C三、（第17题至第22题）17．[解法一]由题意AB//CD ，BA C 1∠∴是异面直线BC 1与DC 所成的角.连结AC 1与AC ，在Rt △ADC 中，可得5=AC ，又在Rt △ACC 1中，可得AC 1=3.在梯形ABCD 中，过C 作CH//AD 交AB 于H ，得13,3,2,90=∴==︒=∠CB HB CH CHB又在1CBC Rt ∆中，可得171=BC ，在.17173arccos ,171732cos ,112121211=∠∴=⋅-+=∠∆ABC BC AB AC BC AB ABC ABC 中 ∴异而直线BC 1与DC 所成角的大小为.17173arccos [解法二]如图，以D 为坐标原点，分别以AD 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立直角坐标系.则C 1（0，1，2），B （2，4，0） ),2,3,2(1--=∴BCBC 与设1),0,1,0(-=所成的角为θ，则,17173arccos .17173cos 11===θθ ∴异面直线BC 1与DC 所成角的大小为.17173arccos 18．[证明]原方程化简为.31)1()1(||2i z i z i z -=+--+设yi x z += x (、)R y ∈，代入上述方程得.312222i yi xi y x -=--+⎩⎨⎧=+=+∴)2(322)1(122y x y x 将（2）代入（1），整理得.051282=+-x x)(,016x f 方程∴<-=∆ 无实数解，∴原方程在复数范围内无解.19．[解]（1）由已知可得点A （－6，0），F （4，0）设点P 的坐标是},4{},,6{),,(y x y x y x -=+=则，由已知得.623,018920)4)(6(120362222-===-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+x x x x y x x y x 或则由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能P y x y ∴==> （2）直线AP 的方程是.063=+-y x设点M 的坐标是（m ，0），则M 到直线AP 的距离是2|6|+m ，于是,2,66|,6|2|6|=≤≤--=+m m m m 解得又椭圆上的点),(y x 到点M 的距离d 有,15)29(94952044)2(222222+-=-++-=+-=x x x x y x d 由于.15,29,66取得最小值时当d x x =∴≤≤- 20．解：（1）设中低价房面积形成数列{}n a ，由题意可知{}n a 是等差数列，其中a 1=250，d=50，则 ,22525502)1(2502n n n n n S n +=⨯-+= 令,4750225252≥+n n 即.10,,019092≥∴≥-+n n n n 是正整数而∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1=400，q=1.08，则b n =400·(1.08)n －1由题意可知n n b a 85.0>有250+(n －1)50>400 · (1.08)n －1 · 0.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 21．解（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+∞⋃-∞∈-=11),1()1,(1)(2x x x x x h（2）当.21111)(,12+-+-=-=≠x x x x x h x 时若,4)(,1≥>x h x 则其中等号当x =2时成立，若,0)(,1≤<x h x 则其中等号当x =0时成立，∴函数),4[}1{]0,()(+∞⋃⋃-∞的值域x h（3）[解法一]令,4,2cos 2sin )(πα=+=x x x f 则,2sin 2cos )4(2cos )4(2sin )()(x x x x x f x g -=+++=+=ππα于是.4cos )2sin 2)(cos 2cos 2(sin )()()(x x x x x x f x f x h =-+=+⋅=α[解法二]令2,2sin 21)(πα=+=x x f ，则,2sin 21)2(2sin 21)()(x x x f x g -=++=+=πα 于是.4cos 2sin 21)2sin 21)(2sin 21()()()(2x x x x x f x f x h =-=-+=+⋅=α22．[解]（1）设点),(0y x A ，A 0关于点P 1的对称点A 1的坐标为),4,2(1y x A --A 1关于点P 2的对称点A 2的坐标为)4,2(2y x A ++，所以，}.4,2{20=A A（2）[解法一])(},4,2{20x f A A ∴= 的图象由曲线C 向右平移2个单位，再向上平移 4个单位得到.因此，曲线C 是函数)(x g y =的图象，其中)(x g 是以3为周期的周期函数，且当 .4)1lg()(,]4,1(,,4)2lg()(,]1,2(--=∈-+=-∈x x g x x x g x 时当于是时[解法二]设⎩⎨⎧=-=-42),,(),,(222220y y x x y x A y x A 于是若).3lg()3()(,330,6322222-=-=≤-<≤<x x f x f x x 于是则当),1lg(4.63,412-=+≤<≤<x y x x 则时 .4)1l g ()(,]4,1{--=∈∴x x g x 时当（3）n n n A A A A A A A A 242200-+++= 由于)(2,2143210212222n n n k k k k P P P P P P A A P P A A ---+++== 得，}.3)12(4,{}3)12(2,2{2)]2,1()2,1()2,1[(213-=-=+++=-n n n n n。

2005年高考上海卷(理科)

2005年全国高等学校招生统一考试数学（上海·理）试题考生注意： 1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚． 2．本试卷共有22道试题，满分 150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．函数f(x)=log4(x+1)的反函数f1(x)= ． 2．方程4x+2x－2=0的解是． 3．直角坐标平面xoy中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OAOP=4。则点P的轨迹方程是． 4．在(x－a)的展开式中,x的系数是15,则实数a= ．

5．若双曲线的渐近线方程为y=±3x, 它的一个焦点是(10,0), 则双曲线的方程是． 6．将参数方程 x=1+2cosθ y=2sinθ (θ为参数)化为普通方程,所得方程是．

7．计箅:nlim112323nnnn= ． 8．某班有50名学生，其中 15人选修A课程，另外35人选修B课程．从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的慨率是．(结果用分数表示) 9．在△ABC中，若∠A＝120°，AB=5，BC＝7，则△ABC的面积S＝．

10．函数f(x)=sinx+2xsin,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是． 11．有两个相同的直三棱柱,高为a2,底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a(a>0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是． 12．用n个不同的实数a1,a2,┄an可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3 一个n!行的数阵.对第i行ai1,ai2,┄,ain,记bi=－ ai1+2ai2－3 ai3+┄+(－1)nnain, 1 3 2 i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3 是12,所以,b1+b2+┄+b6=－12+212－312=－24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1 的数阵中, b1+b2+┄+b120= ． 3 1 2 3 2 1

2005年高考.上海卷.文科数学试题精析详解

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（上海文史类）试题精析详解一、填空题（4分⨯12=48分）1、函数)1(log )(4+=x x f 的反函数)(1x f -=__________.【思路点拨】本题考查了互为反函数的概念，只要根据求反函数的三步曲即可.【正确解答】4log (1)y x =+，41y x =+，得41yx =-（1x >-）.所求反函数为：1()41x f x -=-（x R ∈）.【解后反思】要会求一个函数的反函数，并注意定义域.2、方程4220x x+-=的解是__________.【思路点拨】本题考查了指数方程的求法，通过换元法求解.【正确解答】令2(0)x t t =>，原方程化为：220t t +-=，得1t =或2t =-（舍）.由此可得0x =.解法2：0120)22)(12(0224=⇒=⇒=+-⇒=-+x x x x x x【解后反思】用换元的方法时，注意定义域的变化，求出解后要进行验证，以免出错.3、若y x ,满足条件⎩⎨⎧≤≤+x y y x 23，则y x z 43+=的最大值是__________. 【思路点拨】本题考查线性规划的基础知识，画出可行域，寻求目标函数的最大值.【正确解答】求y x z 43+=的最大值，即求y 轴上的截距最大值，由图可知，过点（1，2）时有最大值，为11【解后反思】线性规划是直线方程的应用，是新增的教学内容.要了解线性不等式表示的平面区域，了解线性规划的定义，会求在线性约束条件下的目标函数的最优解.4、直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙，则点P 的轨迹方程是__________.【思路点拨】本题考查了数量积的坐标表示，可根据其定义来解.【正确解答】设(,)P x y ，由数量积公式及4=∙OA OP 知04242=-+⇒=+y x y x 为所求轨迹方程.【解后反思】一般地11(,)A x y ，22(,)B x y 则2121(,)AB x x y y =--，11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ∙==+.5、函数x x x y cos sin 2cos +=的最小正周期T=__________.【思路点拨】本题考查二倍角公式等基础知识和变换能力，角的差异（由异角化同角）在同角的条件下，利用三角恒等式化成正弦函数，就可求出最小正周期.【正确解答】1cos 2sin cos cos 2sin 2)2y x x x x x x ϕ=+=+=+，得最小正周期为π【解后反思】三角函数的变换要注意变换的方向，消除差异，达到转化.6、若71cos =α，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+3cos πα=__________. 【思路点拨本题考查两个角和的余弦的求法.熟记公式结构，根据条件求出运用公式必需值，再考虑三角函数的符号.【正确解答】⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，∴sin 7α==， 11cos cos cos sin sin 33314πππααα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭. 【解后反思】在三角函数的公式运用过程中取决于满足运用公式的条件，已知三角函数值求同角的其它三角函数值时必须注意符号，否则就无所谓解决三角函数问题.7、若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是__________.【思路点拨】本题考查椭圆的基础知识，数形的等价转换是解决此类型的关键.【正确解答】由题意可知，2ab =，c =，又222a b c =+，解得2280,20a b ==，所求椭圆的标准方程为2218020x y +=. 【解后反思】在求椭圆方程和研究性质时，要深刻理解确定椭圆的形状及大小的主要特征数，如a 、b 、c 、p 、e 的几何意义及它们的关系式，熟练运用这些公式解决有关问题..8、某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）【思路点拨】本题考查了等可能事件的概率的求法.可直接根据定义，找到基本事件数代入公式便得. 【正确解答】11153525037C C P C == 解法2：734915503549355015=⨯+⨯ 【解后反思】要了解等可能事件概率的定义，会用排列、组合的基本公式计算的一些等可能事件的概率.9、直线x y 21=关于直线1=x 对称的直线方程是__________. 【思路点拨】本题考查一条直线关于已知直线对称的直线方程，可取两个特殊点求出关于直线的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程即可. 【正确解答】直线x y 21=上的点（0，0）关于1=x 对称的点是（2，0），且所求方程的斜率为－12，因此，直线x y 21=关于直线1=x 对称的直线方程是： 1(2)2y x =--，整理后得220x y +-=. 解法2设所求直线上任意点(,)P x y '''关于直线x=1对称点为(,)P x y 则22x x x x y y y y''+==-⎧⎧⇒⎨⎨''==⎩⎩∵12y x ''=∴1(2)2y x =-即x+2y-2=0 【解后反思】解法2是通法，要会求某一点关于一已知点成中心对称的坐标，和已知直线成轴对称的坐标.如点(,)P x y 关于点(,)M a b 对称的坐标为(2,2)P a x b y '--；，由点的可推广到曲线关于某一点的对称.如曲线(,)0f x y =关于点(,)M a b 对称的曲线为(2,2)0f a x b y --=，类似地，点(,)P x y 关于直线x m =对称的点的坐标为(2,)P a x y '-，曲线(,)0f x y =关于直线x m =对称的曲线为(2,)0f m x y -=.更一般地，利用定义可解决有关对称问题.10、在ABC ∆中，若︒=120A ，AB=5，BC=7，则AC=__________.【思路点拨】本题主要考查解斜三角形的相关知识和运算能力.可画出草图，设法求出AC.【正确解答】由余弦定理︒⨯⨯-+=120cos 2222AC BC AC BC AB解得8AC =-（舍）或AC=3，因此ABC ∆的面积4315120sin 21S =︒⨯⨯⨯=AC AB 【解后反思】要注意正、余弦定理的灵活运用.本题可视为关于AC 的方程，求出AC 的目的，在于求ABC ∆的面积，若利用正弦定理求AC 就较繁了.最优解总是我们追求的目标.11、函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________.【思路点拨】本题考查区间上的三角函数的图象和性质，考查数形结合的能力.可通过[]0,2π正弦值的符号写出分段函数，再通过数形结分析出k 的取值范围.【正确解答】3sin [0,]()sin 2|sin |sin (,2]x x f x x x x x πππ∈⎧=+=⎨-∈⎩，从图象可以看出于直线k y =有且仅有两个不同的交点时, 31<<k【解后反思】要熟悉含有绝对值的函数图象的作法.即由函数()y f x =的图象作出(),()y f x y f x ==的图象.12、有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a .用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________.【思路点拨】借助棱柱的拼接的可能性考查学生的分析问题和解决问题的能力，而拼接中底面积不变是关键，只要考虑侧面积的可能情形中最小的一种图形即可.【正确解答】显然，直三棱柱底面为直角三角形，面积为26a ，每个侧面的面积分别为6，8，10，拼接后每个三棱柱或四棱柱底面积是相同的，只需要比较侧面积.拼接为三棱柱的可能的总侧面积为32或36，拼接为四棱柱后可能的总侧面积为28解法2：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为a 5的边重合在一起，表面积为242a +28三棱柱有两种，边长为a 4的边重合在一起，表面积为242a +32边长为a 3的边重合在一起，表面积为242a +36两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况表面积为122a +48最小的是一个四棱柱，这说明 201248122824222<⇒+<+a a a 3150<<⇒a 【解后反思】本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力和动手能力的实验题，具有开放性，不确定性等特点，是培养创新能力的好题，也是研究性学习成果的展示题.二、选择题（4分⨯4=16分）13、若函数121)(+=x x f ，则该函数在()+∞∞-,上是（） A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值【思路点拨】本题是考查复合函数性质，只要理清构成复合的各个函数的性质就不难解决.【正确解答】21x y =+为增函数，1y x =在(1,)+∞上是减函数，因此121)(+=x x f 是减函数，没有最大值和最小值，选A.【解后反思】函数的图象和性质是高考的一个重点，通过复合可考多个知识点，达到考一查多的功能，要注意复合函数的定义域的变化，教材中的练习题要理解，把握基础，发展能力.14、已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|，则P M 等于（）A ．{}Z x x x ∈≤<,30|B ．{}Z x x x ∈≤≤,30|C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01|D ．{}Z x x x ∈<≤-,01|【思路点拨】本题是考查具有绝对值不等式的解法和集合的运算.【正确解答】{}R x x x M ∈≤≤-=,31|， {}Z x x x P ∈≤≤=,40| P M ={}Z x x x ∈≤≤,30|，选B【解后反思】可采用直接法化简各个集合并注意10x +>的隐含条件.在计算P 时，注意10x +>的提示作用.，如果去分母时忽视了10x +>，就会造成错误，而求交集时可用数轴标或文氏图求解.15、条件甲：“1a >”是条件乙：“a >”的（）A ．既不充分也不必要条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件【思路点拨】本题考查了充要条件的定义及其判定只要判断甲⇒乙和乙⇒甲的真假性，利用充要条件将条件乙进行化简是解决这类问题的关键.【正确解答】解法1：甲⇒乙：11a a >>⇒，乙⇒甲：1)0101a a >>><⇒>因此是充要条件，选B解法2：∵201a a a aa >⎧>⇔⇔>⎨>⎩，∴选B【解后反思】对命题的充要条件、必要条件可以从三个方面理解：①定义法，②等价法，即利用A B ⇒与B A ⌝⌝⇒，B A ⇒与A B ⌝⌝⇒的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题一般采用等价法，③利用集合间的包含关系判断：若A B ⊆则A 是B 的充分条件或B 是A 必要条件；若A B =则A 是B 的充要条件，另外，对于确定条件的不充分性或不必要性往往用构造反例的方法来说明.16、用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i =.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ 等于（）A ．—3600B ．1800C ．—1080D ．—720【思路点拨】本题借助数阵考查学生的观察能力和运算能力，要抓住逐项特征：第一行的和相等，探索其规律，符号因子()1n -的处理是一难点.【正确解答】由题意可知，每一行的和为相等的12312312312312312312!11121312122232!1!2!3!1121!11222!212!1121!1(23(1))(23(1))(23(1))()2()(1)()(123(1))()n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b b b a a a na a a a na a a a na a a a a a a n a a a n a a a +++=-+-++-+-+-++-++-+-++-=-+++++++++-+++=-+-++-+++=1111(1)(221(1)()()22n n n n n n n A n n n n n A n ----+⎧⨯⨯⎪⎪⎨-+⎪-⨯⨯⎪⎩为偶数）为奇数 5n =时，412120456310802b b b A ⨯+++=-⨯⨯=-. 解法2：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，1080360536043603360236012021-=⨯-⨯+⨯-⨯+-=+++b b b【解后反思】数学学习中的数感很重要，变化中不变的探索与发现是当今高考的一个方向，它是培养创新人才的一个重要载体，在学习中要留心，遇到此类问题时要细心品味.三、解答题（本大题满分86分）17、（本题满分12分）已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，D B 1与平面ABCD 所成角的大小为︒60，求异面直线D B 1与MN 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）【思路点拨】本题考查直四棱柱的性质和异面直线所成角的求法，考查空间想象能力和运算能力，可根据定义找出异面直线所成角，转化到平面图形解决，而本题的图形结构，具有空间向量处理的特点，故还可利用空间向量的数量积来解决.【正确解答】联结B 1C,由M 、N 分别是BB 1和BC 的中点,得B 1C ∥MN,∴∠DB 1C 就是异面直线B 1D 与MN 所成的角.联结BD,在Rt △ABD 中,可得BD=25,又BB 1⊥平面ABCD,∠B 1DB 是B 1D 与平面ABCD 所成的角, ∴∠B 1DB=60°.在Rt △B 1BD 中, B 1B=BDtan60°=215,又DC ⊥平面BB 1C 1C, ∴DC ⊥B 1C,在Rt △DB 1C 中, tan ∠DB 1C=212121=+=BB BC DC C B DC ,∴∠DB 1C=arctan 21. 即异面直线B 1D 与MN 所成角的大小为arctan21. 【解后反思】求异面直线所成角的一般步骤是：①利用定义构造问题，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某一特殊的位置，顶点选在特殊的位置上，②证明所作出的角（或补角）即为所的求角，③利用解三角形求角.异面范围是(0,]2π.若能建立空间直角坐标系，利用向量求异面直线所成的角的大小是十分快捷方便的.18、（本题满分12分）在复数范围内解方程ii i z z z +-=++23)(||2（i 为虚数单位）. 【思路点拨】本题考查共轭复数的模的概念和运算能力，可根据复数的代数形式进行处理. 【正确解答】原方程化简为i i z z z -=++1)(2,设z=x+yi(x 、y ∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2xi=1-i,∴x 2+y 2=1且2x=-1,解得x=-21且y=±23, ∴原方程的解是z=-21±23i. 【解后反思】近几年看，高考中常见与复数相关问题难度有下降的趋势，仅以中档题为主，侧重于复数的代数运算，而复数问题实数化的最佳形式是它的代数形式表示.19、（本题满分14分）已知函数b kx x f +=)(的图象与y x ,轴分别相交于点A 、B ，22+=（,分别是与y x ,轴正半轴同方向的单位向量），函数6)(2--=x x x g . （1）求b k ,的值；（2）当x 满足)()(x g x f >时，求函数)(1)(x f x g +的最小值. 【思路点拨】本题是以向量为背景，解析法为手段，考查解析思想的运用和处理函数性质的方法，考查运算能力和运用数学模型的能力.【正确解答】 (1)由已知得A(kb -,0),B(0,b),则={k b ,b},于是k b =2,b=2. ∴k=1,b=2.(2)由f(x)> g(x),得x+2>x 2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4, )(1)(x f x g +=252+--x x x =x+2+21+x -5 由于x+2>0,则)(1)(x f x g +≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立 ∴)(1)(x f x g +的最小值是-3. 【解后反思】要熟悉在其函数的定义域内，常见模型函数求最值的常规方法.如1(0)y x x x=+≠型. 20、（本题满分14分）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4780万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？【正确解答】[解] (1)设中低价房面积形成数列{a n },由题意可知{a n }是等差数列,其中a 1=250,d=50,则S n =250n+502)1(⨯-n n =25n 2+225n, 令25n 2+225n≥4750,即n 2+9n-190≥0,而n 是正整数, ∴n≥10.到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列{b n },由题意可知{b n }是等比数列,其中b 1=400,q=1.08,则b n =400·(1.08)n-1·0.85.由题意可知a n >0.85 b n ,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.【解后反思】数学应用问题是近几年高考的热点之一，似乎是每年的必考题，平时要注意数学应用意识的培养，碰到这类问题时不要被繁琐的数据和冗长的文字说明所惧，应“取其精华”读通读懂题目，即解题的归宿应该在回答实际问题上.21、（本题满分16分）已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.（1）求抛物线方程；（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.【思路点拨】本题考查直线与抛物线、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运用解析几何的方法分析问和解决问题的能力.第（1）（2）问是定量分析，难度不大，而解决（3）的常规方法之一就是利用点M 到直线AK 的距离d 与圆的半径比较为宜.【正确解答】 (1) 抛物线y 2=2px 的准线为x=-2p ,于是4+2p =5, ∴p=2. ∴抛物线方程为y 2=4x.(2)∵点A 是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2), 又∵F(1,0), ∴k FA =34;MN ⊥FA, ∴k MN =-43, 则FA 的方程为y=34(x-1),MN 的方程为y-2=-43x,解方程组得x=58,y=54, ∴N 的坐标(58,54). (1) 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,当m=4时, 直线AK 的方程为x=4,此时,直线AK 与圆M 相离.当m ≠4时, 直线AK 的方程为y=m-44(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0, 圆心M(0,2)到直线AK 的距离d=2)4(1682-++m m ,令d>2,解得m>1∴当m>1时, AK 与圆M 相离;当m=1时, AK 与圆M 相切;当m<1时, AK 与圆M 相交.【解后反思】解答圆锥这部分试题需准确地把握数与形的语言转换能力，推理能力，本题计算量并不大，但步步等价转换的意识要准确无误.22、（本题满分18分）对定义域是f D 、g D 的函数)(x f y =、)(x g y =，规定：函普通高等学校招生考试数学试题精析详解北大附中广州实验学校王生QQ ：84024795 E-mail: wangsheng@ 第11页（共11页）数⎪⎩⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈=g f g f g f D x D x x g D x D x x f D x D x x g x f x h 且当且当且当),(),(),()()(.（1）若函数11)(-=x x f ，2)(x x g =，写出函数)(x h 的解析式；（2）求问题（1）中函数)(x h 的值域；（3）若)()(α+=x f x g ，其中α是常数，且[]πα,0∈，请设计一个定义域为R 的函数)(x f y =，及一个α的值，使得x x h 4cos )(=，并予以证明.【思路点拨】本题通过自定义函数考查学生如何理解函数，如何在给出具体函数下处理相关函数性质的能力，只要遵循其规则，借助给定函数的性质即可解决.【正确解答】（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+∞⋃-∞∈-=11),1()1,(1)(2x x x x x h（2）当.21111)(,12+-+-=-=≠x x x x x h x 时若,4)(,1≥>x h x 则其中等号当x =2时成立，若,4)(,1≤<x h x 则其中等号当x =0时成立，∴函数),4[}1{]0,()(+∞⋃⋃-∞的值域x h（3）[解法一]令,4,2cos 2sin )(πα=+=x x x f 则,2sin 2cos )4(2cos )4(2sin )()(x x x x x f x g -=+++=+=ππα于是.4cos )2sin 2)(cos 2cos 2(sin )()()(x x x x x x f x f x h =-+=+⋅=α[解法二]令2,2sin 21)(πα=+=x x f ，则,2sin 21)2(2sin 21)()(x x x f x g -=++=+=πα 于是.4cos 2sin 21)2sin 21)(2sin 21()()()(2x x x x x f x f x h =-=-+=+⋅=α【解后反思】自定义函数是近年高考常见题型，必须深刻理解其定义的含义就不难解决.。