高考数学二轮复习 专题十四 九章算术与高考数学全国卷 理
《九章算术》与高考数学
专题十四 《九章算术》与高考数学
《九章算术》与高考真题案例展示
1．(2015·高考全国卷Ⅰ，5分)《九章算
术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处
堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长
展与应用．
专题十四 《九章算术》与高考数学
为更好的传承这一举世无双的经典之魁．宏扬中华传统文化
和中华文明，近年来在全国高考数学试题中，从《九章算术》
中选取与当今高中数学教学相映的题材背景，经命题专家精
细加工，再渗透现代数学思想和方法．编制出精妙绝伦的当
今数学高考试题．体现出《九章算术》与现代高考的优美结
专题十四 《九章算术》与高考数学
《九章算术》与现代高考典例展示
高考数学试题由《九章算术》中，典型的数学问题结合现代
数学教育命制而成．然而《九章算术》中，精典的数学问题
十分丰富，现以《九章算术》中部分精典的问题与现代数学
相结合，编制如下几道高考数学试题模型．
专题十四 《九章算术》与高考数学
[选择型]
1．《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问
③法一：
设C在平面A1BC1上的射影为D(事实上D∈BC1)．在A1B上的射影为E.
连接DE，易知A1B⊥ED.
∴∠CED即为二面角C-A1BC1的平面角．
2
由②知CD＝d＝33.
专题十四 《九章算术》与高考数学
由直角三角形A1BC得
CE＝A1C·BC
A1B
A1A2＋AC2·BC
6· 2
6
＝
新高考数学二轮专题复习高频考点强化训练14(附解析)
强化训练14立体几何——大题备考第二次作业1．[2022·广东深圳二模]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面P AD是正三角形，M是侧棱PD的中点，且AM⊥平面PC D.(1)求证：平面P AD⊥平面ABCD；(2)求AM与平面PBC所成角的正弦值．2．[2022·河北唐山二模]如图，△ABC是边长为43的等边三角形，E，F分别为AB，AC的中点，G是△ABC的中心，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置，且PG⊥平面AB C.(1)证明：PB⊥AC；(2)求平面PEF与平面PBF所成二面角的正弦值．3.[2022·山东淄博三模]已知如图，在多面体ABCEF 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°，D 为AB 的中点，EF ∥CD ，EF ＝1，BF ⊥平面AEF .(1)证明：四边形EFDC 为矩形； (2)当三棱锥A - BEF 体积最大时，求平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值．4．[2022·山东德州二模]《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．在《九章算术·商功》篇中提到“阳马”这一几何体，是指底面为矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，现有“阳马”P - ABCD ，底面为边长为2的正方形，侧棱P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，E 、F 为边BC 、CD 上的点，CE → ＝λCB → ，CF → ＝λCD →，点M 为AD 的中点．(1)若λ＝12，证明：平面PBM ⊥平面P AF ；(2)是否存在实数λ，使二面角P - EF - A 的大小为45°？如果不存在，请说明理由；如果存在，求此时直线BM 与平面PEF 所成角的正弦值．强化训练15 统计、统计案例与概率——小题备考一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2022·山东潍坊三模]某省新高考改革方案推行“3＋1＋2”模式，要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门．某学生各门功课均比较优异，因此决定按方案要求任意选择，则该生选考物理、生物和政治这3门科目的概率为( )A ．12B ．13C ．16D ．1122．[2022·山东威海三模]甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站A 查到共有840人参与评价，其中好评率为95%，乙在网站B 查到共有1 260人参与评价，其中好评率为85%.综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为( )A ．88%B ．89%C ．91%D ．92% 3．[2022·辽宁葫芦岛一模]有一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，由这组数据得到新样本数据，y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝x i ＋c (i ＝1，2，…，n )c 为非零常数，则( )A ．两组样本数据的样本方差相同B ．两组样本数据的样本众数相同C ．两组样本数据的样本平均数相同D ．两组样本数据的样本中位数相同 4．[2022·辽宁辽阳二模]为了解某地高三学生的期末语文考试成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，已知不低于90分为及格，则这100名学生期末语文成绩的及格率为( )A ．40%B ．50%C ．60%D ．65% 5．[2022·河北保定二模]某研究机构为了了解初中生语文成绩的平均分y (单位：分)与每周课外阅读时间x (单位：分钟)是否存在线性关系，搜集了100组数据(∑i ＝1100x i ＝3 000，∑i ＝1100y i ＝7 900)，并据此求得y 关于x 的回归直线方程为y ＝0.3x ＋a.若一位初中生的每周课外阅读时间为2个小时，则可估计她的语文成绩的平均分为()A ．70.6B ．100C ．106D ．110 6．[2022·山东青岛一模]甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为( )A ．0.36B ．0.352C ．0.288D ．0.648 7．[2022·湖北武汉模拟]通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：已知χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），则以下结论正确的是(A .根据小概率值α＝0.001的独立性检验，爱好跳绳与性别无关B .根据小概率值α＝0.001的独立性检验，爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001C .根据小概率值α＝0.01的独立性检验，有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别无关”D .根据小概率值α＝0.01的独立性检验，在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好跳绳与性别无关”8．[2022·湖南长沙模拟]第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行．某特许产品100件，其中一等品98件，二等品2件，从中不放回的依次抽取10件产品(每次抽取1件).甲表示事件“第一次取出的是一等品”，乙表示事件“第二次取出的是二等品”，记取出的二等品件数为X ，则下列结论正确的是( )A .甲与乙相互独立B ．甲与乙互斥C .X ～B(10，0.02)D ．E(X)＝0.2二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2022·辽宁大连二模]为评估一种农作物的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量(单位：kg )互不相等，且从小到大分别为x 1，x 2，…，x 10，则下列说法正确的有( )A .x 1，x 2，…，x 10的平均数可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度B .x 1，x 2，…，x 10的标准差可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度C .x 10－x 1可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度D .x 1，x 2，…，x 10的中位数为x 5 10．[2022·山东枣庄三模]下列结论正确的有( ) A .若随机变量ξ，η满足η＝2ξ＋1，则D(η)＝2D(ξ)＋1B .若随机变量ξ～N(3，σ2)，且P(ξ<6)＝0.84，则P(3<ξ<6)＝0.34C .若样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，3，…，n)线性相关，则用最小二乘估计得到的回归直线经过该组数据的中心点(x － ，y －)D .根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到χ2＝4.712.依据α＝0.05的独立性检验(x 0.05＝3.841)，可判断X 与Y 有关且犯错误的概率不超过0.0511．[2022·福建福州三模]某质量指标的测量结果服从正态分布N(80，σ2)，则在一次测量中( )A .该质量指标大于80的概率为0.5B .σ越大，该质量指标落在(70，90)的概率越大C .该质量指标小于60与大于100的概率相等D .该质量指标落在(75，90)与落在(80，95)的概率相等 12．[2022·山东淄博三模]甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是( )A .事件B 与事件A i (i ＝1，2，3)相互独立B .P(A 1B)＝522C .P(B)＝25D .P(A 2|B)＝845三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．[2022·河北石家庄二模]某中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1 200、1 000、800，为迎接春季运动会的到来，根据要求，按照年级人数进行分层抽样，抽选出30名志愿者，则高一年级应抽选的人数为________．14．[2022·全国乙卷]从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．15．[2022·山东济南二模]2022年4月24日是第七个“中国航天日”，今年的主题是“航天点亮梦想”．某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m ，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数强化训练14 立体几何1．解析：（1）证明：因为AM ⊥平面PCD ， 所以AM ⊥CD ，又底面ABCD 为正方形，所以AD ⊥CD ，又AD∩AM ＝A ，所以CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面ABCD ， 所以平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）取AD 的中点O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ， 则以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系：设AB ＝2，则A （1，0，0），B （1，2，0），C （－1，2，0），P （0，0，3 ），D （－1，0，0），M （－12) ，0，32 ），所以AM→ ＝（－32 ，0，32 ），PB → ＝（1，2，－ 3 ），PC → ＝（－1，2，－3 ），设平面PBC 的一个法向量为n ＝（x ，y ，z ），则⎩⎪⎨⎪⎧PB →·n ＝0PC →·n ＝0 ，即⎩⎨⎧x ＋2y －3z ＝0－x ＋2y －3z ＝0 ，令z ＝ 3 ，则y ＝32 ，x ＝0，则n ＝（0，32 ，3 ）， 设AM 与平面PBC 所成角为θ，所以sin θ＝|cos 〈AM →，n 〉|＝|AM →·n||AM →|·|n| ＝323·212＝77 .2．解析：（1）证明：连接BF ，由△ABC 为等边三角形，F 为AC 的中点，所以BF ⊥AC ，由PG ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以PG ⊥AC ，又PG∩BF ＝G ，PG ，BF ⊂平面PBF ，所以AC ⊥平面PBF ， 又PB ⊂平面PBF ，所以PB ⊥AC ；（2）依题意PF ＝2 3 ，GF ＝2，在Rt △PFG 中，PG ＝22 ， 以F 为坐标原点，以FB→ 为x 轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，则A （0，－2 3 ，0），C （0，2 3 ，0），B （6，0，0），E （3，－ 3 ，0），P （2，0，2 2 ）FP→ ＝（2，0，2 2 ），FE → ＝（3，－ 3 ，0），由（1）可知，AC → ＝（0，4 3 ，0）是平面PBF 的一个法向量，设平面PEF 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则⎩⎪⎨⎪⎧n·FP →＝2x ＋22z ＝0n·FE →＝3x －3y ＝0 ，令x ＝2 ，则n ＝（ 2 ， 6 ，－1），所以cos 〈AC → ，n 〉＝AC →·n |AC →|·|n | ＝63 ，所以sin 〈AC→ ，n 〉＝1－cos2〈AC→，n 〉 ＝33，所以平面PEF 与平面PBF 所成二面角的正弦值为33 .3．解析：（1）证明：因为∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝2，D 为AB 的中点， 所以CD ⊥AB ，且CD ＝BC sin30°＝1，又因为EF ＝1，所以CD ＝EF ，因为EF ∥CD ， 所以四边形EFDC 为平行四边形，因为BF ⊥平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以BF ⊥EF ，所以CD ⊥BF ，因为BF∩AB ＝B ，BF ，AB ⊂平面ABF ，所以CD ⊥平面ABF, DF ⊂平面ABF ， 所以CD ⊥DF ，所以四边形EFDC 为矩形．（2）由（1）可知，EF ⊥平面ABF ，BF ⊥平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以BF ⊥AF ，AB ＝2BC2 - CD2 ＝2 3 ，所以三棱锥A - BEF 的体积V ＝13 S △ABF·EF ＝16 AF·BF≤112 （AF2＋BF2）＝112 AB2＝1， 当且仅当AF ＝BF 时等号成立，此时FD ⊥AB ，据（1），以D 为坐标原点，分别以DA ，CD ，DF 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D - xyz 如图所示.由已知可得下列点的坐标：A （ 3 ，0，0），B （－ 3 ，0，0），F （0，0，3 ），E （0，－1， 3 ），所以AB→ ＝（－2 3 ，0，0），AE → ＝（－ 3 ，－1， 3 ）， 设平面ABE 的法向量为m ＝（x ，y ，z ），则⎩⎪⎨⎪⎧m·AE →＝0m·AB →＝0 ，即⎩⎨⎧－3x －y ＋3z ＝0－23x ＝0，取y ＝ 3 ，则x ＝0，z ＝1， 所以平面ABE 的一个法向量为m ＝（0， 3 ，1）， 因为BF→ ＝（ 3 ，0， 3 ）是平面AEF 的法向量， 设平面AEF 与平面ABE 夹角为θ，则cos θ＝|m·BF →||m|·|BF →| ＝32·6 ＝24 ，故平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值为24 .4．解析：（1）证明：λ＝12 时，点E 、F 为BC 及CD 的中点． 连接AF 与BM 交于点G ，在△ABM 和△DAF 中，AB ＝AD ，AM ＝DF ，∠BAM ＝∠ADF ＝90°， 所以△ABM ≌△DAF ，于是∠ABM ＝∠FAD. 而∠FAD ＋∠BAF ＝90°， 所以∠ABM ＋∠BAF ＝90°，故∠AGB ＝90°，即BM ⊥AF.又PA ⊥平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥BM.因为BM ⊥PA ，BM ⊥AF ，PA ⊂平面PAF ，AF ⊂平面PAF ，PA∩AF ＝A ， 所以BM ⊥平面PAF.又因为BM ⊂平面PBM ，所以平面PBM ⊥平面PAF.（2）连接AC ，交EF 于点Q ，连接PQ ，记BD 与AC 交于点O ，如图：因为CE→ ＝λCB → ，CF → ＝λCD → ， 所以EF ∥BD ， 因为AC ⊥BD ，所以AC ⊥EF ，从而PQ ⊥EF ， 所以∠AQP 为二面角P - EF - A 的一个平面角．由题意，∠AQP ＝45°，从而AQ ＝PA ＝2， 所以CQ ＝2 2 －2，于是λ＝CE CB ＝CQ CO ＝22－22 ＝2－ 2 ，所以CF ＝CE ＝4－2 2 ，BE ＝DF ＝2 2 －2.如图，以AB 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，AP 方向为z 轴建立空间直角坐标系，于是P （0，0，2），E （2，2 2 －2，0），F （2 2 －2，2，0），B （2，0，0），M （0，1，0）BM → ＝（－2，1，0），PE → ＝（ 2 ，2 2 －2，－2），PF →＝（2 2 －2，2，－2），设平面PEF 的一个法向量是n ＝（x ，y ，z ），由⎩⎪⎨⎪⎧n·PE →＝2x ＋（22－2）y －2z ＝0n·PF →＝（22－2）x ＋2y －2z ＝0 ，得：⎩⎨⎧x ＝y z ＝2x ，取x ＝1，则y ＝1，z ＝ 2 ，则n ＝（1，1， 2 ）. 所以直线BM 与平面PEF 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，BM → 〉|＝|n·BM →||n|·|BM →| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2＋14×5 ＝510 .。
专题15《九章算术》-数列(以《九章算术》为背景的高中数学考题题组训练)原卷版
【高中数学数学文化鉴赏与学习】专题15《九章算术》数列（以《九章算术》为背景的高中数学考题题组训练）一、单选题1．我国古代数学名著《九章算术》中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇.这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为20尺，则两鼠打穿需要（）（结果取整数）A．3天B．4天C．5天D．6天2．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤”意思是：“现有一根金杖，长5尺，头部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若该金杖从头到尾每一尺重量构成等差数列，其中重量为W，则W 的值为（）A．4B．12C．15D．183．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为（）A．16钱B．13钱C．23钱D．13钱4．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少你的答案是()A．531B．1C．52D．80315．《九章算术》“竹九节”问题中指出，若有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上5节的容积为4升，下4节的容积为5升，问第五节的容积是多少升？（）A．0.8B．0.9C．1D．1.16．在我国古代著作《九章算术》中，有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人与下三人等，问各得几何？”意思是有五个人分五钱，这五人分得的钱数从多到少成等差数列，且得钱最多的两个人的钱数之和与另外三个人的钱数之和相等，问每个人分别分得多少钱．则这个等差数列的公差d＝（）A．－16B．－15C．－14D．－137．《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”．若齐国到长安的路程为2000里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行．良马第一天行155里，之后每天比前一天多行12里，驽马第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，若良马和驽马第n天相遇，则n的最小整数值为（）A．5B．6C．7D．88．中国古代张苍、耿寿昌所撰写的《九章算术》总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱？”则中间三人所得钱数比第1与第5人所得钱数之和多（）A．13钱B．16钱C．23钱D．1钱9．南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23，则该数列的第31项为（）A．336B．467C．483D．601 10．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”，则第5人得钱数为（）A．23钱B．56钱C．1钱D．76钱11．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次渐多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（）A．14B．16C．18D．2012．我国古代的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：二马相逢时驽马所走的路程为（）A．855里B．1062里C．1188里D．1395里13．中国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛､马､羊吃了别人的禾苗.禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛､马､羊的主人应分别偿还a升､b升､c 升粟，1斗为10升，则（）A．a，b，c依次成公比为2的等比数列B．a，b，c依次成公差为2的等差数列C．507a=D．507c=14．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，全书收集了246个数学问题，其中一个问题为“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变细.该问题中由上往下数的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（）A．176升B．72升C．11366升D．10933升15．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢，各穿几何？意思是：今有土墙厚5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？此时，各打洞多少？两鼠相逢需要的天数最小为（）A．2B．3C．4D．516．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里：良马先至齐，复还迎鸳马，二马相逢.问相逢时驽马行（）日？A．8B．9C．10D．1117．南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23，则该数列的第31项为（）A．636B．601C．483D．467二、多选题18．我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.”其大意为今有良马和驽马从长安出发到齐国，良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走0.5里.良马先到齐国，再返回迎接驽马，9天后两马相遇.下列结论正确的是（）A．长安与齐国两地相距1530里B．3天后，两马之间的距离为328.5里C．良马从第6天开始返回迎接驽马D．8天后，两马之间的距离为377.5里三、填空题19．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，其质量从大到小构成等差数列．若将该金杖截成长度相等的20段，则中间两段的质量和为______斤．20．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种质量单位），在这个问题中，甲比戊多得______钱．21．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是_________．22．古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天织布多？”根据上述的已知条件，可求得该女子第5天所织布的尺数为______．23．我国古代数学家典籍《九章算术》地第七章“盈不足”中有一“两鼠穿墙”问题：有墙厚5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，则两鼠在第______天相遇．24．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”题意是：“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半……”，则前6天两只老鼠一共穿城墙________尺．25．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更，簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五只鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现在有从高到低依次为大夫，不更，簪裹，上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次商低分（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），向各得多少鹿？”已知上造分得23只鹿，则不更所得的鹿数为_______只．26．我国古代数学著作《九章算术》中记载有如下问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢，各穿几何？意思是：今有土墙厚5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？此时，各打洞多少？两鼠相逢需要的天数最小为______．27．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为_________钱．28．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），第3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人第10月营收贯数为__________.四、双空题29．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”题意是：“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半……”则小老鼠第三天穿城墙________尺；若城墙厚20尺，则至少在第________天相遇．30．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”题意是：“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半……”则小老鼠第三天穿城墙______尺；若城墙厚40尺，则至少在第________天相遇．。
高考数学二轮复习专题十四九章算术与高考数学预测卷Ⅱ理
高考原创预测卷Ⅱ——2015·高考全国卷Ⅱ真题改编(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{－1，0，1，2，3}，B ＝{x|－1＜x ＜2}，则A∩B＝( ) A ．{0，1，2} B ．{0，1} C ．{1，2} D ．{－1，0，1}解析：选B .A ∩B ＝{－1，0，1，2，3}∩{x|－1＜x ＜2}＝{0，1}．选B .2．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若2＋a i1＋i ＝3＋b i ，则a －b 为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选A.由2＋a i1＋i ＝3＋b i 得，2＋a i ＝(1＋i)(3＋b i)＝3－b ＋(3＋b )i ， ∵a ，b ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝3－b a ＝3＋b ，即a ＝4，b ＝1，∴a －b ＝3(或者由a ＝3＋b 直接得出a －b ＝3)，选A. 3．两个随机变量x ，y若x ，y 具有线性相关关系，且y ^＝bx ＋2.6，则下列四个结论错误的是( ) A ．x 与y 是正相关B ．当y 的估计值为8.3时，x ＝6C ．随机误差e 的均值为0D ．样本点(3，4.8)的残差为0.65解析：选D.由数据表知A 是正确的，其样本中心为(2，4.5)，代入y ^＝bx ＋2.6得b ＝0.95，即y ^＝0.95x ＋2.6，当y ^＝8.3时，则有8.3＝0.95x ＋2.6，∴x ＝6，∴B 正确．根据性质，随机误差e 的均值为0，∴C 正确．样本点(3，4.8)的残差e ^＝4.8－(0.95×3＋2.6)＝－0.65，∴D 错误，故选D.4．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是( ) A ．S 18＝72 B ．S 19＝76 C ．S 20＝80 D ．S 21＝84 解析：选B.∵3a 8－2a 7＝4，∴3(a 1＋7d )－2(a 1＋6d )＝4，即a 1＋9d ＝4，S 18＝18a 1＋18×17d 2＝18(a 1＋172d )不恒为常数．S 19＝19a 1＋19×18d2＝19(a 1＋9d )＝76， 同理S 20，S 21均不恒为常数，故选B.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（a －x ），x ＜12x ，x ≥1若f (－6)＋f (log 26)＝9，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C.由题意得log 2(a ＋6)＋2log 26＝9. 即log 2(a ＋6)＝3，∴a ＋6＝23＝8，∴a ＝2，选C.6．某几何体的三视图如下(其中三视图中两条虚线互相垂直)则该几何体的体积为( )A.83 B ．4 C.163D ．203解析：选D.根据三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个以正方体的中心为顶点，上底面为底面的正四棱锥后剩下的几何体如图，其体积V ＝23－13×2×2×1＝203，选D.7．圆心在直线2x ＋y ＝0上，且经过点(－1，－1)与(2，2)的圆，与x 轴交于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．4 2B ．4 5C ．2 2D ．2 5解析：选D.设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0（－1－a ）2＋（－1－b ）2＝r 2（2－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，解之得a ＝－1，b ＝2，r ＝3，∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，令y ＝0得，x ＝－1±5，∴|MN |＝|(－1＋5)－(－1－5)|＝25，选D.8. 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a ＝6 102，b ＝2 016时，输出的a ＝ ( )A ．6B ．9C ．12D ．18解析：选D.法一：6 102＝2 016×3＋54，2 016＝54×37＋18，54＝18×3，18是54和18的最大公约数，∴输出的a ＝18，选D.法二：a ＝6 102，b ＝2 016，r ＝54， a ＝2 016，b ＝54，r ＝18， a ＝54，b ＝18，r ＝0， ∴输出a ＝18，选D.9．底面为矩形的四棱锥P ABCD 的顶点都在球O 的表面上，且O 在底面ABCD 内，PO ⊥平面ABCD ，当四棱锥P ABCD 的体积的最大值为18时，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．48πC ．60πD ．72π解析：选A.设球O 的半径为R ，矩形ABCD 的长，宽分别为a ，b ，则有a 2＋b 2＝4R 2≥2ab ，∴ab ≤2R 2，又V 四棱锥P －ABCD ＝13S 矩形ABCD ·PO＝13abR ≤23R 3. ∴23R 3＝18，则R ＝3， ∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝36π，选A.10. 如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选B.取AP 的中点M ，则PA ＝2AM ＝2OA sin ∠AOM ＝2sin x2，PB ＝2OM ＝2OA ·cos ∠AOM ＝2cos x2，∴y ＝f (x )＝PA ＋PB ＝2sin x 2＋2cos x 2＝22sin(x 2＋π4)，x ∈[0，π]，根据解析式可知，只有B 选项符合要求，故选B.11．已知F 1，F 2为双曲线E 的左右焦点，P 是E 上一点，若△PF 1F 2是顶角为120°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A. 2 B ． 3 C.3＋12D ．2＋12解析：选C.设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，设P 是E 右支上一点，且△PF 1F 2是顶角为120°的等腰三角形，∴|PF 1|≠|PF 2|，|F 2F 1|＝|F 2P |，(如图)．则P 点的横坐标为c ＋2c cos 60°＝2c ，纵坐标为±2c sin 60°＝±3c ，∴4c 2a 2－3c2b2＝1，化简得b 2＝32a 2，∴e 2＝c 2a2＝a 2＋32a 2a2＝2＋32＝（3＋1）24.∴e ＝3＋12，选C.12. 已知函数f (x )在R 上可导，导函数为f ′(x )，若(x －1)·(f ′(x )－f (x ))＞0，则下列不等式一定成立的是( )A ．e f (－1)＜f (0)B ．e f (0)＜f (2)C ．e f (2)＜f (3)D ．e 1－af (a )≤f (1)(a ∈R )解析：选C.由(x －1)(f ′(x )－f (x ))＞0得(x －1)[e －x f ′(x )－e －xf (x )]＞0，即(x －1)[e －xf (x )]′＞0.∴当x ＞1时，[e －xf (x )]′＞0，当x ＜1时，[e －xf (x )]′＜0，∴函数F (x )＝e －xf (x )在(－∞，1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增，∴F (－1)＞F (0)，即e f (－1)＞f (0)． F (2)＜F (3)，即e －2f (2)＜e －3f (3)， ∴e f (2)＜f (3)，e f (0)与f (2)不能比较大小． F (x )min ＝F (1)＝e －1f (1)． ∴F (a )≥F (1)，即e －a f (a )≥e －1f (1)，即e 1－af (a )≥f (1)，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．设向量a ＝(1，－1)，b ＝(0，t )．(t ≠0)若λa ＋b 与a ＋2b 共线，则λ＝________． 解析：λa ＋b ＝(λ，－λ)＋(0，t )＝(λ，－λ＋t )， a ＋2b ＝(1，－1)＋(0，2t )＝(1，－1＋2t )， ∵λa ＋b 与a ＋2b 共线，则λ(－1＋2t )－1·(－λ＋t )＝0. 即(2λ－1)t ＝0.∵t ≠0，∴2λ－1＝0，即λ＝12.答案：1214．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤02x －y －1≥0x －2y ＋1≤0，若z ＝ax ＋by (0＜a ＜12，b ＞0)的最小值为3，则1a ＋1b的最小值为________．解析：约束条件表示的区域如图，当直线l ：z ＝ax ＋by (0＜a ＜12，b ＞0)经过直线2x －y －1＝0与x －2y ＋1＝0的交点A (1，1)时z min ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝3， ∴(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋ 2b a ·ab＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝32时，取等号．∴1a ＋1b ≥43. ∴1a ＋1b 的最小值为43. 答案：4315．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝k 1＋k 2·2n(k 1，k 2为常数)，且a 2，a 3，a 4－2成等差数列，则a n ＝________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝k 1＋2k 2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(k 1＋k 2·2n )－(k 1＋k 2·2n－1)＝k 2·2n －1，∴k 1＋2k 2＝k 2·20，即k 1＋k 2＝0，① 又a 2，a 3，a 4－2成等差数列．∴2a 3＝a 2＋a 4－2，即8k 2＝2k 2＋8k 2－2.② 由①②联解得k 1＝－1，k 2＝1，∴a n ＝2n －1.答案：2n －116．函数y ＝f (x )＝(x ＋a )(x ＋b )4表示的曲线在x ＝0处的切线的斜率为13，且a ，b ∈N *，将函数y ＝f (x )的右边展开成关于x 的多项式，则x 的偶次幂的系数之和为________．解析：由f (x )＝(x ＋a )(x ＋b )4得 f ′(x )＝(x ＋b )4＋4(x ＋a )(x ＋b )3， 由题意得f ′(0)＝13.即b 4＋4ab 3＝13，∴b 3(b ＋4a )＝1×13.因为a ，b ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 3＝1b ＋4a ＝13，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4a ＝1b 3＝13，解之得b ＝1，a ＝3，∴f (x )＝(x ＋3)(x ＋1)4.法一：f (x )＝(x ＋3)(x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1) ＝x 5＋7x 4＋18x 3＋22x 2＋13x ＋3. x 偶次幂的系数和为7＋22＋3＝32.法二：(x ＋1)4的通项公式为T r ＋1＝C r 4x 4－r(r ＝0，1，2，3，4)．∴x 的偶次幂系数和为3C 44＋C 34＋3C 24＋C 14＋3C 04＝3×1＋4＋3×6＋4＋3＝32.法三：设f (x )＝(x ＋3)(x ＋1)4＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0， f (－1)＝0＝－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0， f (1)＝64＝a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0， ∴f (－1)＋f (1)＝64＝2(a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 4＋a 2＋a 0＝32，即x 的偶次幂系数和为32. 答案：32三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演出步骤)17．(本小题满分12分)△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 是BC 边上的中线．(1)求证：AD ＝122b 2＋2c 2－a 2；(2)若A ＝120°，AD ＝192，sin B sin C ＝35，求△ABC 的面积． 解：(1)证明：∵D 是BC 的中点， ∴BD ＝DC ＝a2.法一：在△ABD 与△ACD 中分别由余弦定理得c 2＝AD 2＋a 24－2AD ·a2cos ∠ADB ，①b 2＝AD 2＋a 24－2AD ·a2·cos ∠ADC ，②①＋②得c 2＋b 2＝2AD 2＋a 22，即4AD 2＝2b 2＋2c 2－a 2， ∴AD ＝122b 2＋2c 2－a 2.法二：在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝c 2＋a 24－2c ·a2cos B＝c 2＋a 24－ac ·a 2＋c 2－b 22ac＝2b 2＋2c 2－a 24，∴AD ＝122b 2＋2c 2－a 2.(2)∵A ＝120°，AD ＝1219，sin B sin C ＝35，由余弦定理和正弦定理与(1)可得a 2＝b 2＋c 2＋bc ，① 2b 2＋2c 2－a 2＝19，②b c ＝35，③ 联立①②③解得b ＝3，c ＝5，a ＝7，∴△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×3×5×sin 120°＝1534.即△ABC 的面积为1543.18．(本小题满分12分)某校为了解高一新生对文理科的选择，对1 000名高一新生发放文理科选择调查表，统计知，有600名学生选择理科，400名学生选择文科。
2021高考数学(理)二轮专题复习【统考版】课件：3.4 解题有道——四大数学思想
1 x
＋ln
x的单调性巧妙地求出实数k的取
值范围．此法也叫主元法.
[对点训练]
1．对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px>4x＋p－3 成立的x的取值范围是________．
解析：设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则当x＝1时，f(p)＝0. 所以x≠1. 函数f(p)在[0,4]上恒为正，等价于ff04>>00， ， 即xx2－ －31>0x，－1>0， 解得x>3或x<－1. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
∴f′(1)＝0，即a－3＋a＋1＝0，∴a＝1. (2)由题设，知ax2－3x＋a＋1>x2－x－a＋1对任意a∈(0，＋∞) 都成立， 即(x2＋2)a－x2－2x>0对任意a∈(0，＋∞)都成立． 设g(a)＝(x2＋2)a－x2－2x(a∈R)， 则对任意x∈R，g(a)为单调递增函数(a∈R)， ∴对任意a∈(0，＋∞)，g(a)>0恒成立的充要条件是g(0)≥0， 即－x2－2x≥0，∴－2≤x≤0. 于是x的取值范围是[－2,0]．
[例3] [2020·全国卷Ⅱ]若2x－2y<3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0
D．ln|x－y|<0
解析：因为2x－2y<3－x－3－y，所以2x－3－x<2y－3－y.设f(x)＝2x －3－x，则f′(x)＝2xln 2－3－x×ln 3×(－1)＝2xln 2＋3－xln 3，易知 f′(x)>0，所以f(x)在R上为增函数．由2x－3－x<2y－3－y得x<y，所以 y－x＋1>1，所以ln(y－x＋1)>0，故选A.
2020年高考理科数学二轮复习：第二部分 传统文化训练二
第 1 页 共 8 页 2020年高考理科数学二轮复习：第二部分 传统文化训练二
一、选择题
1．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为( )
A.176升
B.72升
C.11366升
D.10933
升 解析：自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有⎩⎨⎧
a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4
，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.选A.
答案：A
2．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ≡n (mod m )，例如11≡2(mod 3)．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于(
)
A ．21
B ．22
C ．23
D ．24
解析：当n ＝21时，21被3整除，执行否．
当n ＝22时，22除以3余1，执行否；。
九章算术(教师版)
九章算术与高考数学创新题1．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．1.【解析】 设自上第一节竹子容量为a1，则第九节容量为a9，且数列{an}为等差数列．a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，即4a5－10d ＝3， ①3a5＋9d ＝4， ② 联立①②解得a5＝6766. 2.《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513)A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸2. [解析] 连接OA 、OB ，OD ，设⊙Ο的半径为R ，则(R －1)2＋52＝R2，∴R ＝13.sin ∠AOD ＝AD AO ＝513. ∴∠AOD ＝22.5°，即 ∠AOB ＝45°.∴S 弓形ACB ＝S 扇形OACB －S △OAB ＝45π×132360－12×10×12≈6.33平方寸．∴该木材镶嵌在墙中的体积为V ＝S 弓形ACB×100≈633立方寸．选D.3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石3.【解析】依题意，这批米内夹谷约为169153425428=⨯石，选B ． 考点：用样本估计总体．4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n .①第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an.则a1a2＋a2a3＋…＋an －1an 等于( )A ．n2B ．(n －1)2C ．n(n －1)D ．n(n ＋1)4.【解析】 a1a2＋a2a3＋…＋an －1an ＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·n n ＝n2[11·2＋12·3＋…＋1（n －1）n] ＝n2[1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ]＝n2·n －1n ＝n(n －1)．5．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为________．5. [解析] 由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成：(5.4－x)×3×1＋π·(12)2x ＝12.6，解得x ＝1.6. 6．中国古代数学名著《九章算术》中的“引葭赴岸” 是一道名题，其内容为：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与齐．问水深葭长各几何”意为：今有边长为1丈的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分为1尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接，问水深芦苇的长度各是多少？将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面图为ABCD ，芦苇根部O 为AB 的中点，顶端为P(注芦苇与水面垂直)．在牵引顶端P 向水岸边中点D 的过程中，当芦苇经过DF 的中点E 时，芦苇的顶端离水面的距离约为________尺．(注：1丈＝10尺，601≈24.5)6. [解析] 设水深为x ，则x2＋52＝(x ＋1)2，解得：x ＝12.∴水深12尺，芦苇长13尺，以AB 所在的直线为x 轴，芦苇所在的直线为y 轴，建立直角坐标系，在牵引过程中，P 的轨迹是以O 为圆心，半径为13的圆，其方程为x2＋y2＝169，(－5≤x≤5，12≤y≤13)，①E 点的坐标为(－52，12)，∴OE 所在的直线方程为y ＝－245x ，②由①②联解得y ＝169×576601≈13×2424.5＝62449.则此时芦苇的顶端到水面的距离为62449－12＝3649.7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体．如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，AC ⊥BC.(1)求证：四棱锥B-A1ACC1为阳马，并判断四面体A1CBC1是否为鳖臑，若是写出各个面的直角(只写出结论)．(2)若A1A ＝AB ＝2，当阳马B-A1ACC1体积最大时．①求堑堵ABC-A1B1C1的体积；②求C 到平面A1BC1的距离．7. [解] (1)证明：由堑堵ABC-A1B1C1的性质知：四边形A1ACC1为矩形．∵A1A ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥A1A ，又BC ⊥AC ，A1A∩AC ＝A. A1A ，AC ⊂平面A1ACC1.∴BC ⊥平面A1ACC1，∴四棱锥B-A1ACC1为阳马，且四面体A1CBC1为鳖臑，四个面的直角分别是∠A1CB ，∠A1C1C ，∠BCC1，∠A1C1B.(2)∵A1A ＝AB ＝2.由(1)知阳马B-A1ACC1的体积V ＝13S 矩形A1ACC1·BC ＝13×A1A×AC×BC ＝23AC×BC≤13(AC2＋BC2)＝13×AB2＝43.当且仅当AC ＝BC ＝2时， Vmax ＝43，此时 ①堑堵ABC-A1B1C1的体积V′＝S △ABC·AA1＝12×2×2×2＝2. ②由题意与题图知， V 三棱锥B-A1AC ＝V 三棱锥B-A1C1C ＝12V 阳马B-A1ACC1＝23.又A1C1＝2，BC1＝BC2＋C1C2＝6，设C 到平面A1BC1的距离为d. 则13S △A1BC1·d ＝23.即13·122×6·d ＝23， ∴d ＝42×6＝23 3.8．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式3169d V ≈. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159判断,下列近似公式中最精确的一个是 （ ） A ．3169d V ≈ B ．32d V ≈ C ．3300157d V ≈ D ．32111d V ≈ 8.【解析】根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为a ：b ，表示出π，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可．由3346()32d V V d ππ=∴= 设选项中的常数为a b，则可知6b a π=，选项A 代入得69 3.37516π⨯==，选项B 代入得π=62=3，选项C 代入可知6157 3.14300π⨯==，选项D 代入可知611 3.14285721π⨯==，故D 的值接近真实的值，故选D.9．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图2，在鳖臑PABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且AP=AC=1，过A 点分别作AE ⊥ PB 于E 、 AF ⊥PC 于F ，连接EF 当△AEF 的面积最大时，tan ∠BPC 的值是A ．2B ．2C ．3D ．3 （ ） 9.【解】显然BC PAB ⊥平面，则BC AE ⊥，又PB AE ⊥，则AE PBC ⊥平面，故AE EF ⊥，AE PC ⊥且，结合条件AF PC ⊥得PC AEF ⊥平面，所以AEF △、PEF △均为直角三角形，由已知得22AF =，而2221111()()2448AEF S AE EF AE EF AF =+==△≤，当且仅当AE EF =时，取“=”，所以，当12AE EF ==时，AEF △的面积最大，此时122tan 2EF BPC PF ∠===，故选B ．10．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布．A ．12B ．815C ．1631D ．162910.【解析】由题可知每天的织布量构成首项是5，公差为d 的等差数列，且前30项和为390．根据等差数列前n 项和公式，有d 22930530390⨯+⨯=，解得2916=d ，故选D ．11．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10,…，记其前n 项和为Sn ，则S19等于 （ ）A ．129B ．172C ．228D ．28311.【解】选D ．杨辉三角形的生成过程，n 为偶数时，42n n a +=， n 为奇数时，a1=1．a3=3，an+2=an+an-1=an+32n +， ∴a3-a2=2， a5-a3=3，…an -an-2=12n +，an=2438n n ++， ∴S19=a1+a3+…+a19+（a2+a4+…a18）=（1+3+6+…55）+（3+4+5+…+11）=220+63=283. ，12．公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（D ）的立方成正比”，此即3V kD =，欧几里得未给出k 的值．17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式3V kD =中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式3V kD =求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为a ）、等边圆柱（底面圆的直径为a ）、正方体（棱长为a ）的“玉积率”分别为1k 、2k 、3k ，那么123::k k k （ ）A ．111::46πB ．::264ππC ．2:3:2πD ．::164ππ 12.【解析】选D ．333114433266a V R a k ππππ⎛⎫===∴= ⎪⎝⎭ 22321244a V R a a a k ππππ⎛⎫===∴= ⎪⎝⎭， 3331V a k =∴= 123::::164k k k ππ=。
人教版高中数学《九章算术与数学高考》
[解析 ]
设从最下节往上的容量构成等差 数列{an}， 公差为 d.则 a1＋a2＋a3＝4 3a1＋3d＝4 ，即 ， a9＋a8＋a7＋a6＝3 4a1＋26d＝3 95 7 解得 a1＝ ，d＝－ . 66 66 95 7 中间为第五节， 即 a5＝a1＋4d＝ ＋4×(－ ) 66 66 67 ＝ . 故选C 66
3． 《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早 巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有 “米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来 1 534 石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约( B ) A．134 石 B．169 石 C．268 石 D．338 石
π (2)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 ， 3 DC 求BC 的值． 此题背景源于《九章算术》卷第五《商功》之[一五]．今 有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何；之[一六] 今有鳖臑， 下广五尺， 无袤； 上袤四尺， 无广， 高七尺． 问 积几何．考题将“阳马”， “鳖臑”相结合，以《选修 2 －1》 P109 例 4 为源进行有机整合． 巧妙嫁接， 精典设问， 和谐优美的考题呼之即出．让数学教育者与高考学子为 之赞叹！
本节课主要通过四个高考真题案例展示，师生共 同分析案例，找到优秀的算法，培养学生分析问 题、解决问题的能力。同时体验传统的数学文化， 激发学生的学习热情。为使学生更好地服务于社 会、实现人生价值奠定良好的基础。
《九章算术》与高考真题案例展示
1．(2015· 高考全国卷Ⅰ，5 分)《九 章算术》 是我国古代内容极为丰富 的数学名著，书中有如下问题： “今有委米依垣内角，下周八尺， 高五尺．问：积及为米几何？”其 意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆 锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出 堆放的米约有( )
高考数学压轴专题人教版备战高考《算法与框图》基础测试题及答案解析
【高中数学】《算法与框图》知识点一、选择题1．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学．“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框、分别为96、36，则输出的i为( )图，若输入的a bA．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】解：由程序框图可知：当a=96，b=36时，满足a＞b，则a=96-36=60，i=1由a＞b，则a=60-36=24，i=2由a＜b，则b=36-24=12，i=3由a>b，则b=24-12=12，i=4由a=b=12，输出i=4．故选A．2．我国古代“伏羲八卦图”中的八卦与二进制、十进制的互化关系如表，依据表中规律，A，B处应分别填写八卦二进制000001010011A十进制0123BA．110、6 B．110、12 C．101、5 D．101、10【答案】A【解析】【分析】根据八卦图的规律求得处所填，然后通过二进制转化为十进制的公式，计算出处所填.【详解】根据八卦图的规律得到处填，处应填写6． 故选A ． 【点睛】本小题主要考查二进制和十进制的相互转化，考查中国古代数学文化，属于基础题.3．下列各数中，最小的是( ) A ．101 010(2) B ．111(5)C ．32(8)D ．54(6)【答案】C 【解析】()543221010101202120242=⨯+⨯+⨯+⨯= ()210511115151531=⨯+⨯+⨯= ()10832382826=⨯+⨯= ()10654564634=⨯+⨯=故最小的是()832 故答案选C4．某程序框图如图所示，其中()1g n n n=++，若输出的20201S =-，则判断框内应填入的条件为（ ）A ．2020?n <B ．2020?n ≤C ．2020?n >D ．2020?n ≥【答案】A 【解析】 【分析】运行该程序，当n 的值为2019时，满足判断框内的条件；当n 的值为2020时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值，结合选项可选出答案. 【详解】 由题意，()11g n n n n n==+++，运行该程序，输入0,1S n ==，判断框成立；则()0121S g =+=-，2n =，判断框成立； 则()21231S g =-+=-，3n =，判断框成立； 则()31341S g =-+=-，4n =，判断框成立； … 则20191S =-，2019n =，判断框成立；则20201S =-，2020n =，判断框不成立，输出20201S =-.故判断框内应填入的条件为2020?n <. 故选：A 【点睛】本题考查程序框图，考查学生的推理能力，属于中档题.5．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）A ．20i <，1S S i=-，2i i = B ．20i ≤，1S S i=-，2i i = C ．20i <，2SS =，1i i =+ D ．20i ≤，2SS =，1i i =+ 【答案】D 【解析】 【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 【详解】根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i=-，故排除AB ，由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤. 故选D. 【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.6．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000 0 震 001 1 坎 010 2 兑0113依此类推，则六十四卦中的“井”卦，符号“”表示的十进制数是（ ） A ．11 B ．18C ．22D ．26【答案】C 【解析】 【分析】根据题意井卦表示二进制数的010110，计算得到答案. 【详解】 六十四卦中符号“”表示二进制数的010110， 转化为十进制数的计算为01234502121202120222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：C . 【点睛】本题考查了二进制，意在考查学生的计算能力和理解能力.7．执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框内可填入的条件是 （ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】本程序框图的主要功能是计算数列的前项和；由于可知，数列的前项和为，由于输出的值为0.99，所以，因此判断框内可填入的条件是，故选A.8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.【详解】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，，退出循环，输出，故选B.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9．“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“—”和“——”，其中“—”在二进制中记作“1”，“——”在二进制中记作“0”，例如二进制数(2)1011化为十进制的计算如下：321(2)(10)10111202121211=⨯+⨯+⨯+⨯=.若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为（ ） A ．0 B ．12C ．13D ．14【答案】D 【解析】 【分析】分类计算得到从两类符号中任取2个符号排列，则组成不同的十进制数为0，1，2，3，计算得到概率. 【详解】根据题意，不同符号可分为三类：第一类：由两个“—”组成，其二进制为(2)(10)113=； 第二类：由两个“——”组成，其二进制为(2)(10)000=；第三类：由一个“—”和一个“——”组成，其二进制为(2)(10)102=，(2)(10)011=， 所以从两类符号中任取2个符号排列，则组成不同的十进制数为0，1，2，3， 则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率14P =， 故选：D. 【点睛】本题考查古典概型及进制转化的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.10．执行如图所示的程序框图，若输人的[]1,1x ∈-，则输出的y 的取值范围为（ ）A ．(][),01,e -∞UB ．(]1,0,1e ⎡-∞⎤⎢⎥⎣⎦U C ．[)11,0,e⎡⎤⎢-⎥⎦∞⎣-+UD ．[][),10,e --+∞U【答案】B 【解析】 【分析】由程序框图，确定函数()f x 的解析式，然后可求得值域． 【详解】由程序框图可知，,10,ln ,01x e x y x x ⎧-≤≤=⎨<≤⎩，函数xy e =在区间[]1,0-上单调递增，值域为1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；函数ln y x =在区间(]0,1上也单调递增，值域为(],0-∞，所以当[]1,1x ∈-时，y 的取值范围为(]1,0,1e ⎡-∞⎤⎢⎥⎣⎦U .故选：B ． 【点睛】本题考查程序框图及分段函数的值域. 本题可以画出分段函数,10,ln ,01x e x y x x ⎧-≤≤=⎨<≤⎩的图象，借助函数的图象求分段函数的值域.函数的值域为函数图象上所有点的纵坐标组成的集合.分段函数的值域为各段上函数值域的并集.11．执行如图的程序框图，那么输出S 的值是( )A．-1 B．12C．2 D．1【答案】C【解析】判断2014<2017,执行1120141201512S k==-=+=-，；判断2015<2017,执行11201512016112S k，（）===+=--；判断2016<2017,执行12201612017112S k===+=-，；判断2017<2017,执行输出S,S=2；故选C点睛：本题考查的是算法与流程图，侧重于对流程图循环结构的考查.解决问题要先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.12．阅读下边程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】根据程序框图知，表示求和2122...221n n S +=+++=-，解得答案. 【详解】程序框图表示求和2122...221n n S +=+++=-，取13121n S +==-，解得4n =. 故① 处应填的数字为5. 故选：C . 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.13．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出n 的值为 （ ）A ．20B ．25C ．30D ．35【答案】B 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的n 的值. 【详解】输出20,80,100n m s ==≠；21,79,100n m s ==≠； 22,78,100n m s ==≠； 23,77,100n m s ==≠；24,76,100n m s ==≠；25,75,100n m s ===，退出循环，输出25n =，故选B. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.14．执行下边的程序框图，如果输人的10N =,那么输出的S =（ ）A ．1111 (2310)++++ B ．1111......2!3!10!++++ C ．1111......2311++++ D ．1111......2!3!11!++++ 【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环，得1,1,2T S k ===；第二次循环，得11,1,32121T S k ==+=⨯⨯；第三次循环，得111,1,432121321T S k ==++=⨯⨯⨯⨯⨯；第四次循环，得111,1432121321T S ==++⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋14321⨯⨯⨯，5k =；…，由此可推出当11k =时退出，输出11121321S =++⨯⨯⨯＋14321⨯⨯⨯＋…＋110321⨯⨯⨯⨯L ，即输出11112!3!10!+++⋯⋯+，故选B ． 考点：程序框图．15．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A 3B 3C ．0D ．3-【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：第一次循环：133a S ==,第二次循环：233a S ==环：30,3a S =,第四次循环：433a S ==第五次循环：530a S ==,第六次循环：60,0a S ==,第七次循环：73322a S ==,第八次循环：8332a S ==第九次循环：90,3a S ==98i =>，结束循环，输出3S = A.考点：循环结构流程图16．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+ D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅- 【答案】B 【解析】 【分析】执行给定的程序框图，输入10n =，逐次循环，找到计算的规律，即可求解. 【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入10n =，可得： 第1次循环：1,2S i ==； 第2次循环：11,33S i =-=； 第3次循环：111,435S i =-+=； L L第10次循环：11111,1135719S i =-+-+-=L ， 此时满足判定条件，输出结果111144(1)35719P S ==-+-+⋅⋅⋅-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.17．执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内应填入的条件是( )A ．4k >B ．5k >C ．6k >D ．7k >【答案】B 【解析】 【分析】分析程序中两个变量和流程图可知，该算法为先计算后判断的直到型循环，模拟执行程序，即可得到答案. 【详解】 程序执行如下k2S S k =+终止条件判断 0否 1011+=否 2 2224⨯+=否 324311⨯+=否 4 211426⨯+= 否 5 226557⨯+=否6 2576120⨯+= 是故当6k =时120S =，程序终止，所以判断框内应填入的条件应为5k >. 故选：B. 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键18．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的的值等于（）A．30 B．31 C．62 D．63【答案】B【解析】【分析】首先确定流程图的功能，然后计算其输出的结果即可.【详解】由流程图可知该算法的功能为计算的值，即输出值为：.故选：B.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．19．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的S的值是A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】本题首先可以通过程序框图明确输入的数值以及程序框图中所包含的关系式，然后按照程序框图所包含的关系式进行循环运算，即可得出结果．【详解】由程序框图可知，输入，，，第一次运算：，；第二次运算：，；第三次运算：，；第四次运算：，；第五次运算：，；第六次运算：，；第七次运算：，；第八次运算：，；第九次运算：，；第十次运算：，，综上所述，输出的结果为，故选B．【点睛】本题考查程序框图的相关性质，主要考查程序框图的循环结构以及裂项相消法的使用，考查推理能力，提高了学生从题目中获取信息的能力，体现了综合性，提升了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．20．执行下面程序框图，若输入的的值分别为0和44，则输出的值为（）A．4 B．7 C．10 D．13【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.【详解】第一次循环：，，；第二次循环：，，；第三次循环：，，；第四次循环：，，刚好满足条件，结束循环，此时输出.故选.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.。
高考数学(文)二轮复习(14)不等式及推理作业专练(2)及答案
衡水万卷作业卷十四文数 推理及不等式作业专练姓名：__________班级：__________考号：__________一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[5,3]--B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]--2.如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ）(A) 11a b < (B) 2ab b < (C) 2ab a -<- (D) 11a b-<-3.若关于x 的不等式m m x x 29222+<++有实数解，则实数m 的取值范围是( )A.),2()4,(+∞⋃--∞B.(][)+∞⋃-∞-,24,C.)2,4(-D.(][)+∞⋃-∞-,42,4.函数31-=+x ay )1,0(≠>a a 过定点A ，若点A 在直线2-=+ny mx ()0,0>>n m 上，则nm 11+的最小值为 ( ) A ．3 B ．22 C ．3223+ D ．3223- 5.设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为( ) (A)0 (B)(C)2 (D) 6.已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且()20f =，则不等式(1)(1)0x f x -->的解集为（ ）A ．()3,1--B ．()3,1(2,)-+∞ C ．()3,0(3,)-+∞ D ．()1,1(1,3)-7.设a ，bR ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b=,,a a b b aba ∨b=,,,b a b a ab若正数a.b.c.d 满足ab ≥4,c+d ≤4,则( )A.a ∧b ≥2,c ∧d ≤2B.a ∧b ≥2,c ∨d ≥2C.a ∨b ≥2,c ∧d ≤2D.a ∨b ≥2,c ∨d ≥2 8.若点(),x y 在曲线y x =-与2y =-所围成的封闭区域内（包括边界），则2x y -的最大值为（ ） A ．－6 B ．4 C ．6 D ．8 9.（广东高考真题）若集合，，用表示集合中的元素个数，则（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知{}(,)1,1x y x y Ω=≤≤，A 是由直线y x =与曲线围成的封闭区域，用随机模拟的方法求A 的面积时，先产生上的两组均匀随机数，和，由此得N 个点，据统计满足的点数是，由此可得区域A 的面积的近似值是( )A.1N N B. 12N N C. 14N ND. 18N N 11.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n(n>l ，n∈N *)个点，相应的A ．20122013 B ．20132012C ．20102011D ．2011201212.（湖南高考真题）某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利z y x ,,04322=-+-z y xy x zxy2x y z +-98943y x =[]0,112,,...,N x x x 12,,...,N y y y (),(1,2,3,...)i i x y i N =3(1,2,3,...)i i i x y x i N ≤≤=1N用率=新工件的体积/原工件的体积）( )A 、B 、 C二 、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.设实数x ，y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数z abx y =+（0,0a b >>）的最大值为8，则a b +的最小值为 .14.当点(x ,y )在直线32x y +=上移动时,3273x y z =++的最小值是 .15.（浙江高考真题）已知实数，满足，则的最大值是 ． 16.（•泰州一模）已知实数a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，c≠0，则的取值范围为 ．三 、解答题（本大题共2小题，共24分）17. 已知函数()222[(1)(1)]xf x ax a x a a e =+-+--（其中a R ∈）（1）若0x =为()f x 的极值点，求a 的值；（2）在（1）的条件下，解不等式()21(1)(1)2f x x x x >-++18.某人上午7时乘摩托艇以匀速v km/h (420)v ≤≤从A 港出发前往50km 处的B 港，然后乘汽车以匀速w km/h (30100)w ≤≤自B 港向300km 处的C 市驶去，在同一天的16时至21时到达C ，设成摩托艇.汽车所用的时间分别是x h.y h ，若所需经费003(5)2(8)p y x =+-+-1元，那么当v .w 分别为多少时，所需经飞最少？并求出这时所花的经费.89π827πx y 221x y +≤2463x y x y +-+--衡水万卷作业卷十四文数答案解析一 、选择题 1.C 2.D 3.A 4.C 5.C6.【答案】D 解析：原不等式为：（1）()11131012012x x x f x x x >>⎧⎧⎪⇒⇒<<⎨⎨->-<-<-<⎪⎩⎩或（2）1111(1)021012x x x f x x x <<⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<-<-<->⎩⎩或 综上得不等式(1)(1)0x f x -->的解集为()1,1(1,3)-，故选D.【思路点拨】根据已知，画出函数f(x)的描述性图形，结合图形将原不等式转化为两个不等式组求解.7.C 【考点定位】此题是信息类的题目，考查学生的自学能力和逻辑推理能力；a b ∧的意思是取两个量中的较小的，a b ∨的意思是取两个量中的较大的，采用特殊值法 8.C 9.D解析 试题分析：当s=4时，p ，q ，r 都是取0,1,2,3中的一个，有44464⨯⨯=种，当s=3时，p ，q ，r 都是取0,1,2中的一个，有33327⨯⨯=种，当s=2时，p ，q ，r 都是取0,1中的一个，有2228⨯⨯=种，当s=1时，p ，q ，r 都取0，有1种，所以card （E ）=64+27+S+1=100，当t=0时，u 取1,2,3,4,中的一个，有4种，当t=1时，u 取2,3,4中的一个，有3种，当t=2时，u 取3,4中的一个，有2种，当t=3时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有1+2+3+4=10种，同理，v 、w 的取值也有10种，所以card （F ）=10*10=100，所以card （E ）+card （F ）=100+100=200，故选D 考点：推理与证明． 10.B11.【答案】A 解析：每个边有n 个点，把每个边的点数相加得3n ，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n 个图形的点数为3n ﹣3，即a n =3n ﹣3，令S n =+++…+=++…+=1+…+﹣=，∴+++…+=．故选C ．【思路点拨】根据图象的规律可得出通项公式a n ，根据数列{}的特点可用列项法求其前n 项和的公式，而则+++…+=是前项的和，代入前n 项和公式即可得到答案． 12.A试题分析：由题可得，问题等价于圆锥的内接长方体的体积，如图所示，则有212x h-=，∴h=x ，所以长方体的体积为x ²h=（2x ）²（x ）=4x ·x ·（x ）322324327x x x ++-⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当x=x ，即x=23时，等号成立，故利用率为232162719123ππ=，故选A 考点：三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体二 、填空题 13.414.解：9； 15.15【解析】试题分析：22,2224631034,22x y y xz x y x y x y y x +-≥-⎧=+-+--=⎨--<-⎩由图可知当时，满足的是如图的劣弧，则在点处取得最大值5；当时，满足的是如图的优弧，则与该优弧相切时取得最大值，故，所以，故该目标函数的最大值为. 考点：1.简单的线性规划； 16.【考点】： 基本不等式．【专题】： 不等式的解法及应用．【分析】： 实数a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，c≠0，化为=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．可得k===，表示点P （2，0）与圆x 2+y 2=1上的点连线的在的斜率．利用直线与圆的位置关系即可得出．【解析】： 解：∵实数a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，c≠0， ∴=1，令=cosθ，=sinθ，θ∈[0，2π）．∴k===，表示点P （2，0）与圆x 2+y 2=1上的点连线的直线的斜率．设直线l ：y=k （x ﹣2）， 则，化为，解得．∴的取值范围为．故答案为：．【点评】： 本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三 、解答题17. 【答案】（1）a=0；（2）不等式的解集为{x|x<0或x>1}.解析：(1)因为()22[(1)(1)]xf x ax a x a a e =+-+--，所以()22222(1)(1)(1)x x f x ax a e ax a x a a e '⎡⎤⎡⎤=+-++-+--⎣⎦⎣⎦22(1)xax a x a e ⎡⎤=+++⎣⎦因为x=0 为f(x)的极值点，所以由()000f ae '==得a=0检验，当a=0时，()xf x xe '=，有x<0时，()0f x '<；x>0时，()0f x '>. 所以x=0为f(x)的极值点，故a=0.------------4分（2）当a=0时，不等式()2211()11(1)(1)122x f x x x x x e x x x ⎛⎫⎛⎫>-++⇔->-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++>⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即 2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩-----6分 令21()(1),()()(1),()12x x x g x e x x h x g x e x h x e ''=-++==-+=-当x>0时，()h x ' 10x e =->；当x<0时()h x '10x e =-<，所以h(x)在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增，所以()(0)0h x h ≥=，即()0g x '≥ 所以g(x)在R 上单调递增，而g(0)=0，故211002xe x x x ⎛⎫-++>⇔>⎪⎝⎭； 211002x e x x x ⎛⎫-++<⇔< ⎪⎝⎭，所以原不等式的解集为{x|x<0或x>1}.----12分【思路点拨】(1) 由x=0 为f(x)的极值点得，()00f '=，解得a=0，再检验a=0时，x=0是否是函数f(x)的极值点即可；（2）当a=0时，不等式()2211()11(1)(1)122x f x x x x x e x x x ⎛⎫⎛⎫>-++⇔->-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用导数分析函数21()(1)2x g x e x x =-++的单调性，得函数g(x)在R 上单调递增，而g(0)=0，故211002xe x x x ⎛⎫-++>⇔>⎪⎝⎭； 211002x e x x x ⎛⎫-++<⇔< ⎪⎝⎭，由此得原不等式的解集.22y x ≥-AB 22z x y =+-(1,0)A 22y x <-AB 1034z x y =--1015z d -==15z =1518.【解析】依题意50420300301009140,0xyx yx y⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪+⎪>>⎩≤≤≤≤≤≤，考查23z x y=+的最大值，作出可行域，平行直线230x y+=，当直线经过点(4,10)时，z取得最大值38.故当12.5v=.30w=时所经费最少，此时所花的经费为93元。
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2015年普通高等学校招生全国统一考试全 国 卷 Ⅰ(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z 满足1＋z1－z＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．22．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32B ．32C ．－12D ．123．设命题p ：∃n ∈N ，n 2＞2n，则p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2＞2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.3125．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，2336．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛7．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →8．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z第8题图9．执行如图的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )第9题图A ．5B ．6C ．7D ．810．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( )A ．10B ．20C ．30D ．6011．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．812．设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．14．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．15．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．16．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．18．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．19．(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝18i ＝18w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x .(1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；(2)用min {m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min {f (x )，g (x )}(x ＞0)，讨论h (x )零点的个数．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E . (1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小．23．(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．24．(本小题满分10分)选修45：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a ＞0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．2015年普通高等学校招生全国统一考试全 国 卷 Ⅱ(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，则A ∩B ＝( ) A ．{－1，0} B ．{0，1} C ．{－1，0，1} D ．{0，1，2}2．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．23．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．845．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．126.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B．17C.16D．157．过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( ) A．2 6 B．8C．4 6 D．108．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝( )A．0 B．2C．4 D．149．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥OABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A．36πB．64πC．144πD．256π10．如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )A. 5 B．2C. 3 D． 212．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．14．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．15．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________．16．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________． 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求 sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 18．(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．19．(本小题满分12分)如图，长方体ABCD A1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m )，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围． 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点．(1)证明：EF ∥BC ； (2)若AG 等于⊙O 的半径，且AE ＝MN ＝23，求四边形EBCF 的面积．23．(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．24．(本小题满分10分)选修45：不等式选讲 设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．。