高三数学选择填空题8
高三数学基础训练题集1-10套(含答案)
图2俯视图侧视图正视图4图1乙甲7518736247954368534321高三数学基础训练一一．选择题：1．复数i1i,321-=+=zz，则21zzz⋅=在复平面内的对应点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在等比数列｛an｝中，已知,11=a84=a，则=5aA．16 B．16或－16 C．32 D．32或－323．已知向量a =（x，1），b =（3，6），a⊥b ，则实数x的值为( )A．12B．2-C．2D．21-4．经过圆:C22(1)(2)4x y++-=的圆心且斜率为1的直线方程为( )A．30x y-+=B．30x y--=C．10x y+-=D．30x y++=5．已知函数()f x是定义在R上的奇函数，当0>x时，()2xf x=，则(2)f-=( )A．14B．4-C．41- D．46．图1是某赛季甲．乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲．乙两人这几场比赛得分的中位数之和是A．62 B．63 C．64 D．657．下列函数中最小正周期不为π的是A．xxxf cossin)(⋅= B．g（x）=tan（2π+x）C．xxxf22cossin)(-=D．xxx cossin)(+=ϕ8．命题“,11a b a b>->-若则”的否命题是A．,11a b a b>-≤-若则B．若ba≥，则11-<-baC．,11a b a b≤-≤-若则D．,11a b a b<-<-若则9．图2为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为A ．6B ．24C ．123D ．3210．已知抛物线C 的方程为212x y =，过点A ()1,0-和点()3,t B 的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是 A ．()()+∞-∞-,11,B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, C ．()()+∞-∞-,,2222D ．()()+∞-∞-,,22二．填空题:11．函数22()log (1)f x x =-的定义域为 ．12．如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 ．13．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的最大值为_______．14．已知c x x x x f +--=221)(23，若]2,1[-∈x 时，2)(c x f <恒成立，则实数c 的取值范围______ 三．解答题:已知()sin f x x x =+∈x (R )． （1）求函数)(x f 的最小正周期;（2）求函数)(x f 的最大值，并指出此时x 的值．高三数学基础训练二一．选择题：1．在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和S9等于 ( )A ．18B ．27C ．36D ．92．函数()()sin cos sin f x x x x =-的最小正周期为 ( )A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 3．已知命题p: {}4A x x a=-,命题q :()(){}230B x x x =--,且⌝p 是⌝q 的充分条件，则实数 a 的取值范围是： ( )A ．(-1,6)B ．[-1,6]C ．(,1)(6,)-∞-⋃+∞D ．(,1][6,)-∞-⋃+∞ 4．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1~160编号，按编号顺序平均分成20组（1~8号，9~16号，。
黑龙江省龙东联盟2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学 PDF版含解析
高三年级10月考数学参考答案一、单项选择题 二、多项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C D A A DA 三、填空题12．0 13．π 14． 4+四、解答题15.（本小题满分13分）解：（1）由223n S n n =+得当1n =时，115a S ==，当2n ≥时，22123[2(1)3(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+所以41n a n =+由34log 141n n a b n =+=+，所以3nn b =（2）由（1）知(41)3n n n a b n =+125393(41)3nn T n =⨯+⨯+++ ①23135393(43)3(41)3n n n T n n +=⨯+⨯++-++ ② ①-②得212154343(41)3n n n T n +-=+⨯++⨯-+⨯ 119(132154(41)313n n n T n -+--=+-+⨯-），所以131(2322n n T n +=--⨯.16.（本小题满分15分）解：（1）由正弦定理得222sin C sin sin sinA B A B =+222a b c ⇒+-=， 由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==，因为(0)C π∈，，所以4C π=， 因为sin B C =所以sin B =，因为(02B π∈，，所以3B π=（2）512A B C ππ=--=，sin sin()A B C =+=由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得a==，b =由21sin 12ABC S ab C ===+△， 得2c =. 17. （本小题满分15分） 解：（1）因为()ln f x x x =-，所以()()ln a a g x f x x x x x =-=--，0x >，，2221()1a x x a g x x x x -++'=-+=，令2211()(24m x x x a x a =-++=--++ ①当14a -≤时，()0g x '≤恒成立，此时()g x 在(0)+∞，上单调递减； ②当104a -<<时，()0m x >x<<所以()g x 在(0上单调递减，在上单调递增，在)+∞上单调递减； ③当0a >时，()0m x >0x<<< 所以()g x 在(0上单调递增，在)+∞上单调递减； 9 10 11AD ABD BC综上所述： 当14a -≤时，()g x 的单调递减区间为(0)+∞，，无单调递增区间； 当104a -<<时， ()g x的单调递减区间为(0和)+∞单调递增区间为；当0a >时，()g x的单调递增区间为(0，单调递减区间为)+∞；（2）由()ln f x x x =-，1()xf x x -'=，由()0f x '>得01x <<，()0f x '<得1x >所以()f x 在(01)，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减，所以max ()(1)1f x f ==-，所以min |()|1f x =，设ln 1()2x g x x =+，则21ln ()xg x x -'=由()0g x '>得0e x <<，由()0g x '<得e x >，所以()g x 在(0e)，上单调递增， 在(e )+∞，上单调递减，所以max ()g x =(e)g 111e 2=+<所以max min ()|()|g x f x <，所以ln 1|()|2x f x x >+对任意的(0)+∞，恒成立.18. （本小题满分17分）解：（1）(0)1()e (0)1x g g x g ''==-=，所以()g x 在(0(0))g ，处的切线方程为：(11y x =+(1)1h b c =+-，2()1(1)1bh x h b x ''=-=-，，所以()h x 在(1(1))h ，处切线方程为：(1)2y b x b c =-+-所以2111b c b -=-=-，即1(1)c a =-≥； 所以c 的最小值为1（2）()e x g x =，则()e x g x '= 所以ln (02a x ∈，时ln ()0()2a g x x '<∈+∞，，时()0g x '> 所以()g x 在ln (02a ，上单调递减，在ln ()2a +∞，上单调递增，故min ln ln ()(22a a g x g ==- ()b h x x c x =+-，则()h x在(0上单调递减，在)+∞上单调递增 令()0h x =，即20x cx b -+=，24c b ∆=- 1.0∆>即c >(0+∞，）上()h x 的两个零点为12x x ，，同时它们恰好为()g x 的零点. 12()0()0ln 102g x g x a ⎧⎪=⎪∴=⎨⎪⎪-<⎩即12122e e e x x a ⎧=⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩又1212x x c x x b +==，，则2e 1e c ab a ⎧=>⎪⎨>⎪⎩，此时 1ln ln e e e a a a b a a a b a -++--=>，令1ln y a a a =-+，则21110y a a '=--<，y ∴递减且a →+∞时y →-∞，则2212e e e (0e )y -+∈，，故2212e e e e a b a -+->. 2.0∆≤即0c <≤在(0)+∞，上()0h x ≥，此时只需min ()0g x ≥即21e a ≤≤即可. 此时，e e e b a b a a a -⋅=，令()e a a k a =，则10e a a k -'=≤，即k 在2[1e ]，递减，22e 1[e e k -∴∈，而e 1b >，故22e e e a b a -->. 综上所述，e a b a -的取值范围为22e (e )-+∞， 19．（本小题满分17分） （1）设{}n a 的公差为d ，32318S a ==所以26a =，323a a d -==，3n a n =； 由214b b q ==，313(1)141bq T q -==-，所以22520q q -+=，2q =或12q =（舍）所以2n n b =. 1132a b ==，所以1223c c ==，；2264a b ==，所以3446c c ==，3398a b ==，所以5689c c ==，；441216a b ==，所以7812c c =，16=.3574812c c c +=+==，所以1k =.（2）221233(363)(222)222nn n n n n n M S T n ++=+=+++++++=+- 231nn M b =-，即2133223212n n n n +++-=⋅-所以233222n n n +=⋅+，当1n =时符合，令233222n n r n n =+-⋅-1234081826r r r r ====，，，，524r =，64r =-16622n n n r r n +-=+-⋅当4n ≥时，10n n r r +-<所以123456r r r r r r <<<>>> 所以有且只有1n =符合.（3）由2122122(36)(1)n n n n n n n n a b d c c c c -+++=-得 1(96)2(1)(3)2(33)2n nn n n n d n n ++=-+111(1)(32(33)2n n n n n +=-++ 22221111()(32(313)2(313)2(323)2n n E +=-+++⨯⨯+⨯+⨯+） 22111()3(2)23(21)2n n n n +-+++ 21116(63)2n n +=-++16>-. .试题参考答案一．单选题1.【解析】选B.{|2}{|12}U A x x A B x x ==< ≤，≤ð，故选B.2. 【解析】选C.0a <且0b <⇒0a b +<且0ab >，反之也成立，故选C.3. 【解析】选C.12(43i)(i)=(4-3)+(4+3)i z z a a a ⋅=++为实数，所以430a +=所以43a =-，故选C. 4. 【解析】选D.因为|||2|-=+ab a b 平方得，21||2⋅=-a b b ，a 在b 方向上的投影向量为1||||2⋅⋅=-a b b b b b ，故选D. 5. 【解析】选A.53357S a a =⇒=，453623a a a a +=+=，所以616a =，所以63363a a d -==-，故选A.6. 【解析】选A.由2sin cos αα+=两边平方得2254sin 4sin cos cos 2αααα++=，所以4sin cos αα233cos 2α-=-所以2332sin 2(2cos 1)cos 222ααα=-=所以3tan 24α=.故选A. 7. 【解析】选D.因为ln()ln ln ln ln 3333xy x y x y +==⋅故选D.8. 【解析】选A.设零点为(01]t ∈，，则ln 0at b t ++=，()a b ，在直线ln 0xt y t ++=上， 22a b +的几何意义为点()a b ，到原点距离的平方，其最小值为原点到直线ln 0xt y t ++=的距离d 的平方，222ln 1t d t =+， 设22ln ()1t g t t =+，22222ln (12ln )()0(1)t t t t g t t t +-'=<+所以()g t 在(01]，单调递减，所以min ()(1)0g t g ==.故选A.二．多选题9.【解析】选AD.|||2i ||2|z z y y -==知A 对C 错，222222i z x xy y x y =+-≠+，故B 错，||||||z x y =+成立，故选AD.10. 【解析】选ABD.由21((0)22n d d S n a n d =+-≠及二次函数的性质知A B ，为真，对D 知100a d <<，从而{}n S 是递减数列，对C ：1258--- ，，，，满足{}n S 是递减数列，但0n S <不恒成立，故选ABD .11. 【解析】选BC.对A ：(0)1()1(0)2f f f π===，A 错，对B ，令sin x t =，21()sin sin 1f x x x =-++，210t t -++=则sin [02]t x x π==∈，，，有两个实根.B 对.对C ：232()sin cos f x x x =+，22()2sin cos 3cos sin f x x x x x '=-，令2()0f x '=即2cos sin 203x x ==，，2cos 3x =的两个根为123(0)(2)22x x πππ∈∈，，，，sin 20x =的根为30222ππππ，，，，，所以2()f x 的极小值点为12x x π，，，C 对.对D ：22(2)()f x f x π+=，所以2()f x 为周期函数，但232()sin cos f x x x =+，232()sin cos f x x x π+=-，22()()f x f x π≠+，D 错.三.填空题12.【解析】0.()()f x f x -=特值()()f a f a -=即cos cos |2|a a a =-所以0a =.13.【解析】π.21cos 2cos 2x x +=与cos(2)4x π-的最小正周期相同，14.【解析】4+解1：设|+a b |x =，||-a b y θ=<，，a b >=，254cos [13]x x θ=+∈，，，254cos [13]y y θ=-∈，，且2210x y +=，设x y ϕϕ==，，其中sin ϕ，则)4x y πϕ+=+，当4πϕ=，x y ==时x y +取得最大值当cos sin ϕϕ==即3x =，1y =时x y +取得最小值4,所以最大值与最小值之和为4+.解2：换元后，利用平行直线系和圆弧的位置关系四.解答题15.解：（1）由223n S n n =+得当1n =时，115a S ==，…………………………… …1分当2n ≥时，22123[2(1)3(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+……3分所以41n a n =+…………………………………………………………… ……4分由34log 141n n a b n =+=+，所以3n n b =………………………………6分（2）由（1）知(41)3n n n a b n =+ …………………………………………………7分125393(41)3n n T n =⨯+⨯+++ ①23135393(43)3(41)3n n n T n n +=⨯+⨯++-++ ② ……………9分 ①-②得212154343(41)3n n n T n +-=+⨯++⨯-+⨯ ……………………10分 119(132154(41)313n n n T n -+--=+-+⨯-）， 所以131(2322n n T n +=--⨯. …………………………………………13分16.解：（1）因为222sin C sin sin sin A B A B =+222a b c ⇒+-=，…2分由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==， (0)C π∈，，所以4C π=， …4分因为sin B C =所以sin B =， ………………………………………6分 因为(0)2B π∈，，所以3B π= …………………………………………………7分（2）512A B C ππ=--= ……………………………………………………………8分sin sin()A B C =+=…………………………………………………10分sin sin sin a b c A B C ==得a ==，b = ………12分由21sin 12ABC S ab C ===+△， …………………………14分得2c =. ……………………………………………………………………15分 （17） 解：（1）因为()ln f x x x =-，所以()()ln a a g x f x x x x x=-=--，0x >，2221()1a x x a g x x x x -++'=-+=， ………………………………………………………2分 令2211()(24m x x x a x a =-++=--++①当14a -≤时，()0g x '≤恒成立，此时()g x 在(0)+∞，上单调递减；②当104a -<<时，()0m x >x <<所以()g x 在(0上单调递减，在上单调递增，在)+∞上单调递减；③当0a >时，()0m x >0x <<<所以()g x 在(0上单调递增，在)+∞上单调递减；……5分 综上所述： 当14a -≤时，()g x 的单调递减区间为(0)+∞，，无单调递增区间；当104a -<<时， ()g x 的单调递减区间为(0和)+∞单调递增区间为；当0a >时，()g x 的单调递增区间为(0，单调递减区间为)+∞；……………………………………………………………………7分 （2）由()ln f x x x =-，1()x f x x-'=，由()0f x '>得01x <<，()0f x '<得1x > 所以()f x 在(01)，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减， 所以max ()(1)1f x f ==-，所以min |()|1f x =，………………………………………10分 设ln 1()2x g x x =+，则21ln ()x g x x-'= 由()0g x '>得0e x <<，由()0g x '<得e x >，所以()g x 在(0e)，上单调递增， 在(e )+∞，上单调递减，所以max ()g x =(e)g 111e 2=+< 所以max min ()|()|g x f x <，…………………………………………………………………14分 所以ln 1|()|2x f x x >+对任意的(0)+∞，恒成立. ……………………………………15分18. 解：（1）(0)1()e (0)1x g g x g ''==-=-，所以()g x 在(0(0))g ，处的切线方程为：(11y x =+………………………………………………………………2分(1)1h b c =+-，2()1(1)1b h x h b x ''=-=-，，所以()h x 在(1(1))h ，处切线方程为：(1)2y b x b c =-+-所以21b c -=，11b -=6分即1(1)c a =-≥所以c 的最小值为1. …………………………………………7分（2）()e x g x =-，则()e x g x '=- 当ln (0)2a x ∈，时ln ()0()2a g x x '<∈+∞，，时()0g x '> 所以()g x 在ln (0)2a ，上单调递减，在ln ()2a +∞，上单调递增，故min ln ln ()(22a a g x g ==- ………………………………………………………9分()b h x x c x =+-，则()h x 在(0上单调递减，在)+∞上单调递增 令()0h x =，即20x cx b -+=，24c b ∆=-1.0∆>即c >(0+∞，）上()h x 的两个零点为12x x ，，同时它们恰好为()g x 的零点.12()0()0ln 102g x g x a ⎧⎪=⎪∴=⎨⎪⎪-<⎩即12122e e e x x a ⎧=⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩又1212x x c x x b +==，，则2e 1e c ab a ⎧=>⎪⎨>⎪⎩，此时 …11分 1ln ln e e e a a a b a a a b a-++--=>，令1ln y a a a =-+，则21110y a a'=--<，y ∴递减且a →+∞时y →-∞，则2212e e e (0e )y -+∈，，故2212e e e e a b a -+->.…………………………………14分2.0∆≤即0c <≤时，在(0)+∞，上()0h x ≥，此时只需min ()0g x ≥即21e a ≤≤即可. 此时，e e e b a ba aa -⋅=，令()e a a k a =，则10e a a k -'=≤，即k 在2[1e ]，递减，22e 1[e]e k -∴∈，而e 1b >，故22e e e a b a-->.……………………………………………………………………16分 综上所述，e a b a-的取值范围为22e (e )-+∞，………………………………………………17分（19）解：（1）设{}n a 的公差为d ，32318S a ==所以26a =，323a a d -==，3n a n =； ……………………………2分由214b b q ==，313(1)141b q T q-==-，所以22520q q -+=，2q =或12q =（舍）所以2nn b =. ……………………………………………………………………4分 1132a b ==，所以1223c c ==，；2264a b ==，所以3446c c ==， 3398a b ==，所以5689c c ==，；441216a b ==，所以7812c c =，16=. 3574812c c c +=+==，所以1k =. ………………………………………5分（2）221233(363)(222)222n n nn n n n M S T n ++=+=+++++++=+- …7分231n n M b =-，即2133223212n n n n +++-=⋅-所以233222n n n +=⋅+，当1n =时符合， …………………………………………………8分 令233222nn r n n =+-⋅- 1234081826r r r r ====，，，，524r =，64r =-16622n n n r r n +-=+-⋅当4n ≥，10n n r r +-<所以123456r r r r r r <<<>>>所以有且只有1n =符合. …………………………………………………………11分（3）由2122122(36)(1)n n n n n n n n a b d c c c c -+++=-得 1(96)2(1)(3)2(33)2n nn n n n d n n ++=-+111(1)(32(33)2n n n n n +=-++ ………………13分 22231111((32(313)2(313)2(323)2n E =-+++⨯⨯+⨯+⨯+） 22111()3(2)23(21)2n n n n +-+++ ……………………………………15分 21116(63)2n n +=-++16>-.………………………………………………17分。
浙江省嘉兴市2022-2023学年高三上学期9月基础测试数学试题含答案
嘉兴市2022-2023学年高三上学期9月基础测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合41A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}2B x x =>，则A B = （）A ．{}04x x <<B ．{}2x x >C ．{}24x x <<D ．{}x x >2．若复数3i1iz +=-（i 为虚数单位），则z =（）A ．5B C ．3D 3．在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且2BE EC = ，3CF FD =，记AB a = ，AD b = ，则EF = （）A ．3143a b -+B ．3143a b +C ．3143a b -D ．1143a b-+ 4．从圆内接正八边形的8个顶点中任取3个顶点构成三角形，则所得的三角形是直角三角形的概率是（）A ．114B ．314C ．720D ．375．已知直线:210l x y +-=及圆()()22:124C x y +++=，过直线l 上任意一点P 作圆C 的一条切线P A ，A 为切点，则PA 的最小值是（）A ．5B ．5C ．5D ．56．已知函数()()π5π2sin sin 011212f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()g x 的一个单调递增区间是（）A ．3ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]π,π-C ．π3π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,2π7．已知实数a 满足()()2ln 11ln 21ln 2e a +-<<+，则（）A ．1e aa>B ．1e aa<C ．1e 1e a a -->D ．1e 1e a a --<8．为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠．如图，四个半径都是1cm 的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（）A ．(25πc m3+B ．(345πc m 3+C ．(325πcm+D ．(385πc m 3+二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()32f x x ax bx c =+++在R 上单调递增，()f x '为其导函数，则下列结论正确的是（）A ．()10f '≥B ．()10f ≥C ．230a b -≤D ．230a b -≥10．如图，在正四面体ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，则（）A ．直线EF 与AB 所成的角为π2B ．直线EF 与AD 所成的角为π4C ．直线EF 与平面BCD 所成的角的正弦值为3D ．直线EF 与平面ABD 所成的角的正弦值为2211．如图，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C 交于M ，N 两点，过点M ，N 分别作准线l 的垂线，垂足分别为1M ，1N ，准线l 与x 轴的交点为1F ，则（）A ．直线1F N 与抛物线C 必相切B ．1π2MF N ∠≤C ．111F M F N F F MN⋅=⋅D ．11111FM FN FF F M N ⋅=⋅12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()13f x g x +-=，()()33g x f x +-=．若()y g x =的图象关于点（1，0）对称，则（）A ．()()f x f x -=-B ．()()g x g x -=C ．()202216066k f k ==∑D ．()20201k g k ==∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设函数()()222,0lg 1,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩若()0f a ≥，则实数a 的取值范围是___________．14．()()6x y x y +-的展开式中34x y 的系数是___________．（用数字作答）15．树人中学进行篮球定点投篮测试，规则为：每人投篮三次，先在A 处投一次三分球，投进得3分，末投进得0分，然后在B 处投两次两分球，每投进一次得2分，末投进得0分，测试者累计得分高于3分即通过测试．甲同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每轮在A 处和B 处各投10次，根据统计该同学各轮三分球和两分球的投进次数如下图表：若以五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率，则该同学通过测试的概率是___________．16．已知点()5,0M -，点P 在曲线()2210916x y x -=>上运动，点Q 在曲线()2251x y -+=上运动，则2PM PQ的最小值是___________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4331S a =+，525S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，若1124AB A B ==，13BB =，11CC DD ==（1）证明：平面11DCC D ⊥平面ABCD ；（2）求二面角1A CC D --的余弦值．19．（12分）记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知点D 为AB 的中点，点E 满足2AE EC = ，且()()cos cos cos πsin a A a B C A C +-=-．（1）求A ；（2）若BC =，DE =，求ABC △的面积．20．（12分）某市决定利用两年时间完成全国文明城市创建的准备工作，其中“礼让行人”是交警部门主扲的重点工作之一．“礼让行人”即当机动车行经人行横道时应当减速慢行，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．如表是该市某一主干路口电子监控设备抓拍的今年1-6月份机动车驾驶员不“礼让行人”行为的人数统计数据．月份123456不“礼让行人”333640394553（1）请利用所给的数据求不“礼让行人”人数y 与月份x 之间的经验回归方程()112,y b x a x x '''=+≤≤∈N ，并预测该路口今年11月份不“礼让行人”的机动车驾驶员人数（精确到整数）；（2）交警部门为调查机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年的关系，从这6个月内通过该路口的机动车驾驶员中随机抽查了100人，如表所示：不“礼让行人”礼让行人驾龄不超过3年1842驾龄3年以上436依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否据此判断机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年有关?并说明理由．附：参考公式：()()()121niii ni i x x y y b x x ==--'=-∑∑，()()()()()22n ad bc a c b d a b c d χ-=++++，其中n a b c d =+++．独立性检验临界值表：α0.100.050.0100.0050.001x α2.7063.841 6.6357.87910.82821．（12分）已知椭圆()222:1024x y C b b +=<<，直线1:l y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且AB 的最大值为463．（1）求椭圆C 的方程；（2）当463AB =时，斜率为2-的直线2l 交椭圆C 于P ，Q 两点（P ，Q 两点在直线1l 的异侧），若四边形APBQ 的面积为1669，求直线2l 的方程．22．（12分）已知函数()ln f x ax x =和()(()0g x b x b =>有相同的最小值．（1）求1a b+的最小值；（2）设()()()h x f x g x =+，方程()h x m =有两个不相等的实根1x ，2x ，求证：12122x x <+<．2022年高三基础测试数学参考答案（2022．9）一、选择题：本题共8小题，每小愿5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-8：CBAD ABDB7．答案D 【解折】由()()2ln e 11ln 21ln 2a +-<<+得111e e 2e a ⎛⎫<+<< ⎪⎝⎭，对于选项A 与B ，令函数()1e xg x x =-在()0,+∞上单调递物，则存在012,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，即00e 1x x =，又2112e e e 1a <<+且0212e ,e e 1x ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，所以1e a a >，1e a a <均有可能，即1e a与a 大小不确定．故A 与B 都不正确．对于选项C 与D ，令函数()()ln 11xf x x x =>-得()()211ln 1x x f x x --'=-，令()()11ln 1g x x x x =--≥得()221110xg x x x x-'=-=≤，所以()g x 在[)1,+∞上单调递减所以当1x >时，()()10g x g <=，所以()()()201g x f x x '=<-，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，又111e e 2e a ⎛⎫<+<< ⎪⎝⎭，所以()()e f a f >，所以ln ln e 1e 1a a >--，即1e 1e a a --<，故D 正确．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．AC10．ABC11．BD12．BD12．答案BD 【解析】因为()y g x =的图象关于点（1，0）对称，所以()()110g x g x -++=，()g x 的定义域均为R ，故()10g =，由()()13f x g x +-=，得()()13f x g x -++=，所以()()6f x f x +-=，故A 错误；令0x =得，()03f =，因为()()33g x f x +-=，所以()()123g x f x ++-=与()()13f x g x +-=联立得，()()26f x f x +-=，则()()246f x f x -+-=，所以()()4f x f x =-，即()f x 的其中一个周期为4，因为()()33x f x g +-=，所以()()413x f g x +++=．即()()4g x g x +=，所以()g x 的其中一个周期也为4，由()()33g x f x +-=，得()()143g x f x -+-=，与()()13f x g x +-=联立，得()()11g x g x -=-，即()()g x g x =-．所以B 正确；由()()26f x f x +-=，得()()136f f +=，但()1f 与()3f 的值不确定，又()03f =，()23f =，所以()()()()()()2022112505123k f k f f f f f ==++++⎡⎣∑()()460631f f +=+⎤⎦，故C 错误；由()()33g x f x +-=，得()()303g f +=，所以()30g =，又()()123f g -+=，()()143f g +=，两式相加得，()()240g g +=，所以()()()()()20201050512340k g k g g g g ===+++=⎡⎤⎣⎦∑，故D 正确，故选BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(][),20,a ∈-∞-+∞ 14．5-15．16125化成小数即为0.50416．20四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）【解析】（1）由4331S a =+，得()114343212a d a d ⨯+=++，即11a =；由525S =，得151025a d +=，则2d =，所以()1121n a a n d n =+-=-．（2）由（1）知214222nna n nb -===，则数列{}n b 是以2为首项，4为公比的等比数列，所以()()()11212142411143n n n n n b q T b b b q---=+++===-- ．18．（12分）【解析】（1）方法一：将四棱台1111ABCD A B C D -补形成四棱锥P ABCD -，取CD 中点E ，连结PE ，BE ，则由题意知PC PD =，且1A ，1B ，1C ，1D 分别是棱PA ，PB ，PC ，PD 的中点，所以PE CD ⊥，又126PB BB ==，BE =，4PE =，所以222PB PE BE =+，所以PE BE ⊥又BE CD E = ，BE ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，又PE ⊂平面11DCC D ，所以平面11DCC D ⊥平面ABCD ．方法二：在梯形11BCC B 中过1B 作1B M BC ⊥于M ，过1C 作1C N BC ⊥于N ，设BM x =，则2CN x =-，由11B M C N =，得()22952x x -=--，即2x =，所以0CN =，即1BC CC ⊥，又因为CB CD ⊥，1CC CD C = ，所以CB ⊥平面11DCC D ，又因为CB ⊂平面ABCD ，所以平面11DCC D ⊥平面ABCD ．方法三：过1C 作1C E CD ⊥于E ，连结BE ，1BC ，则在梯形11CDD C 中，1CE =，12C E ==，在正方形ABCD 中，BE ==，在梯形11BCC B中，4BC =，112B C =，1CC =，13BB =，则梯形11BCC B 为直角梯形，其中1BC CC ⊥，1BC ==，所以22211BE EC BC +=，故1C E BE ⊥，又因为1C E CD ⊥，CD BE E = ，所以1C E ⊥平面ABCD ，又因为1C E ⊂平面11DCC D ，所以平面11DCC D ⊥平面ABCD．方法四：以C 为原点，CD ，CB 所在直线为x ，y 轴如图建系．则()0,0,0C ，D （4，0，0），B （0，4，0），设()1,,C x y z ，由方法二、三知1CC =，1C D =，1C B =，则()()2222222225,413,421,x y z x y z x y z ⎧++=⎪⎪-++=⎨⎪+-+=⎪⎩解得1,0,2,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()11,0,2C ，故10CB CC ⋅= ，即1CB CC ⊥，又因为CB CD ⊥，1CC CD C = ，所以CB ⊥平面11DCC D ，又因为CB ⊂平面ABCD ，所以平面11DCC D ⊥平面ABCD．（2）方法一：由第（1）问知AD ⊥平面11DCC D ，过D 作1DG CC ⊥于G ，连结AG ，则可证1AG CC ⊥，因此∠AGD 为二面角1A CC D --的一个平面角，在直角△ADG 中，4AD =，DG ==AG ==，所以2cos 3DG AGD AG ∠==，即二面角1A CC D --的平面角的余弦值为23．方法二：由第（1）问方法四知，()0,1,0m = 为平面11DCC D 的一个法向量：()11,0,2CC =，()4,4,0CA = ，设(),,n x y z = 为平面1ACC 的一个法向量，则1,,n CC n CA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 即20,440,x z x y +=⎧⎨+=⎩取1z =，则2x =-，2y =，则()2,2,1n =-，设二面角1A CC D --的平面角的大小为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cos cos ,3m n m n m n θ⋅=== ，所以二面角1A CC D --的平面角的余弦值为23．19．（12分）【解析】（1）由()()cos cos cos πsin a A a B C A C +-=-，得()()cos cos cos sin a B C a B C A C-++-=-，即2sin sin cos sin a B C A C=-由正弦定理得sin sin sin cos sin A B C B A C =，因为在△ABC 中sin 0B >，sin 0C >，所以sin A A =，得tan A =，因为()0,πA ∈，所以2π3A =．（2）在△ABC 中由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2219b c bc ++=，在△ADE 中由余弦定理得2247943b c bc ++=，所以()22224794319b c bc b c bc ++=++，化简得225224810b bc c --=，即()()2326270b c b c -+=，所以32b c =，代入2219b c bc ++=，计算得3b =，2c =，则△ABC的面积1233sin 3sin 232ABC S bc A π===△．20．（12分）【解析】（1）由表中数据可知：123456762x +++++==，333640394553416y +++++==，所以()()()611622116ˆ6n iii ii i ni ii i x x y y x y x ybx x xx ====---==--∑∑∑∑，即616221692486118ˆ14759162iii ii x yxybxx ==--===--∑∑，所以187142ˆˆ41525ay bx =-=-⨯=，所求得经验回归方程为18142ˆ55y x =+．当11x =时，ˆ68y=，所以预测该路口11月份的不“礼让行人”违章驾驶员人数为68人．（2）零假设为0H ：“礼让行人”与驾龄满3年无关，由题意知22⨯列联表为不礼让行人礼让行人合计驾龄不超过3年184260驾龄3年以上43640合计2278100由表中数据可得()()()()()()22210018364428005.594 3.84122786040143n ad bc a c b d a b c d χ-⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯根据小概率值0.05α=的独立性检验，我们推新0H 不成立，即认为“礼让行人”与驾龄满3年有关，且推断犯错误的概率不超过0.05，21．【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线1l 与椭圆方程得22214x y b y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()()22224840b x mx m b+++-=，又1x ，2x 是这个方程的两个实根，所以()()()222212222122641640,8444m b m b m x x b m b x x b ⎧⎪∆=-+->⎪⎪-+=⎨+⎪⎪-⎪=+⎩由弦长公式得12244AB xb=-=⋅+，所以当0m=时，AB取到最大值，即maxAB==，解得b=．所以椭圆C的方程为22142x y+=．（2）设直线2l方程为2y x n=-+，()33,P x y，()44,Q x y，联立直线2l与椭圆方程221422x yy x n⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩消去y得2298240x nx n-+-=，所以()2234234(8)4924089249n nnx xnx x⎧∆=-+⨯⨯->⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪-=⎪⎩且(n∈-，记点P，Q到直线1l的距离分别为1d，2d，又1d=，2d=且()()3344x y x y--<，所以12d d+=+====所以()121146||223APBQS AB d d=+=⋅=因为APBQS=，9=，，整理得22n=，所以n=件，综上所述直线的方程为2:2l y x=-±，即为2:20l x y+=．22．（12分）【解析】（1）因为()(21124g x b x b⎡⎤⎫==--⎢⎥⎪⎭⎢⎥⎣⎦，所以()min144bg x g⎛⎫==-⎪⎝⎭；()lnf x ax x=定义域()0,x∈+∞，()()ln1f x a x'=+，令()0f x'=得，1ex=，当0a>时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单递增；当0a <时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；当0a =时，()0f x =，要使()f x 与()g x 有相同的最小值，则0a >，()min 1e e 4ab f x f ⎛⎫===- ⎪-⎝⎭，所以e 4b a =，所以1e 14b a b b +=+≥=，当且仅当b =时，取等号．（2）由已知得()()()(eln 4h x f x g x bx x b x =+=+，()()12e1ln 1142h x b x b x -⎛⎫'=++- ⎪⎝⎭，令()()12e 1ln 1142H x b x b x -⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，则()32e 11044H x b b x x -'=⋅+⋅>恒成立，则()H x 在()0,+∞上单调递增，即()h x '在()0,+∞单调递增，因为()()2e e 3e e 21110424h b b b -⎛⎫⎛⎫'=-++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()10h '>，存在()20e ,1x -∈使得()00h x '=，()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又因为()10h =，当01x <<时，()0h x <，因此若方程()h x m =有两个不相等的实根1x ，2x （不防设12x x <），则必有1201x x <<<，因此122x x +<；下证1212x x +>，由()()12h x h x m ==，得((111222e eln ln 44bx x b x bx x b x m +-=+-=，则((1211mx x b ⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，令())01m x x =<<，令()0,1t =，则()2ln 1t t m t t =-，则()()()()()()222ln 112ln 21ln 11t t t t t t m t t t +----'==--，令()()1ln 01n t t t t =--<<，则()110n t t '=-<成立，所以()n t 在（0，1）上单调递减，()()10n t n >=，即当01t <<时，()0m t '>成立，所以()m t 在（0，1）上单调递增，即()m x 在（0，1）上单调递增，故()()120m x m x <<，由于20x x ，因此((1211x x ⎫⎛⎫=-⎪⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭(21x ⎫<-⎪⎪⎭，得12x x <->，得1>，所以212122x x +>=⎝⎭，综上12122x x <+<．。
河南省信阳市2023-2024学年高三上学期第二次教学质量检测试题 数学含答案
2023-2024学年普通高中高三第二次教学质量检测数学（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．．．．．．．．．。
考试结束后．．．．．，将本试卷和答题卡一并交回．．．．．．．．．．．．。
注意事项：1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B 铅笔将准考证号填涂在相应位置。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{13}A x x =-<∣ ，{}24B x Z x =∈<∣，则A B 等于A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}1,0,1,2-D ．{}2,1,0,1,2--2．若2iz i =+，则复数z 在复平面内对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4512a a =，则94S S 等于A ．15B ．1C ．1-D ．9-4．已知向量a ，b 的夹角为3π且2a = ，()1,1b = ，则a 在b 上投影向量的坐标为A．B ．11,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．22,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．()1,15．“1x >”是“()12log 10x +<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．过直线y x =上的一点P 作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线1l ，2l ，切点分别为A ，B ，当直线1l ，2l 关于y x =对称时，线段PA 的长为A ．4B．CD ．27．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点P 是C 上一点，且5PF =，以PF 为直径的圆截x 轴所得的弦长为1，则p 等于A ．2B ．2或4C ．4D ．4或68．随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为13，13，13，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为14，15，16，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是A ．1237B ．1537C ．35D ．47二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象如图所示，M ，N 是直线1y =-与曲线()y f x =的两个交点，且29MN π=，则下列选项正确的是A ．ω的值为3B ．ω的值为2C ．ϕ的值可以为43πD ．ϕ的值可以为3π10．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22C ”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度（单位：C ）的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，总体方差为10.8，则肯定进入夏季的地区有A ．一个都没有B ．甲地C ．乙地D ．丙地11．定义在R 上的函数()f x 满足()()40f x f x ++=，()22f x +是偶函数，()11f =，则A ．()f x 是奇函数B ．()20231f =-C ．()f x 的图象关于直线1x =对称D ．1001(21)100k k f k =-=-∑12．如图，双曲线222:C x y a -=的左右顶点为A ，B ，P 为C 右支上一点（不包含顶点），PAB α∠=，PBA β∠=，APB γ∠=，直线l 与双曲线C 的渐近线交于F 、G ，M 为线段FG 的中点，则A ．双曲线C的离心率为e =B ．P 到两条渐近线的距离之积为2a C ．tan tan 2tan 0αβγ++=D ．若直线l 与OM 的斜率分别为1k ，2k ，则121k k =第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．13．若5a x ⎫⎪⎭的展开式中x 的系数为15，则a =_________．14．已知直线210x y -+=的倾斜角为α，则tan2α的值是_________．15．已知函数()22,0,,0,x x x f x e x ⎧=⎨>⎩ 若方程()2[]f x a =恰有两个不同的实数根1x ，2x ，则12x x +的最大值是_________．16．已知数列{}n a 通项公式为n a n t =+，数列{}n b 为公比小于1的等比数列，且满足148b b ⋅=，236b b +=，设22n nn n n a b a b c -+=+，在数列{}n c 中，若()*4n c c n N ∈ ，则实数t 的取值范围为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2024届河北省保定市高三上学期期末数学试题和答案
2023—2024学年度第一学期高三期末调研考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔2B 把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用格皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}260A x x x =+-=，{}2,3B =，则A B = （）A.∅B.{}2C.{}3 D.{}2,32.已知i 为虚数单位，且1i zi =+，则z z ⋅=（ ）A.1D.23.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）A.//αβ，//m α，则//m βB.m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβC.m n ⊥，m α⊥，//n β，则αβ⊥D.m α⊥，//m n ，//αβ，则n β⊥4.若()2,01,0x m x f x nx x +<⎧=⎨+>⎩是奇函数，则（ ）A.1m =-，2n =B.1m =，2n =-C.1m =，2n = D.1m =-，2n =-5.已知锐角α的顶点在原点，始边在x 轴非负半轴，现将角α的终边绕原点逆时针转3π后，交以原点为圆心的单位圆于点4,5P y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ）6.已知向量34,55a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，b为单位向量，且满足2a b b a +=- ，则向量b 在向量a 方向的投影向量为（）A.11,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.34,55⎛⎫⎪⎝⎭C.32,105⎛⎫⎪⎝⎭D.68,55⎛⎫⎪⎝⎭7.保定的府河发源于保定市西郊，止于白洋淀藻杂淀，全长26公里.府河作为保定城区主要的河网水系，是城区内主要的排沥河道.府河桥其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，是我市的标志性建筑之一，悬链线函数形式为2x x a a a y e e -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当其中参数1a =时，该函数就是双曲余弦函数cosh 2x xe ex -+=，类似地有双曲正弦函数sinh 2x xe e x --=.若设函数()sinh coshf x x x =⋅，若实数x 满足不等式()()2340f x f x -+<，则x的取值范围为（）A.()4,1-B.()1,4-C.()4,1--D.()1,48.在椭圆22221x y a b +=（0a b >>）中，1F ，2F 分别是左，右焦点，P 为椭圆上一点（非顶点），I 为12PF F △内切圆圆心，若121213IF F PF F S S =△△，则椭圆的离心率e 为（ ）A.13B.12二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.从50个个体中随机抽取一个容量为20的样本，则每个个体被抽到的概率为0.4B.数据11，19，15，16，19众数是19，中位数是15C.数据0，1，5，6，7，11，12，这组数据的第70百分位数为7D.对于随机事件A 与B ，若()0.3P B =，()0.7P B A =，则事件A 与B独立10.先将函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，再把图象向右平移12π个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数()g x 的图象，则关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A.最小正周期为πB.在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()2g x ⎤∈⎥⎦D.其图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称11.已知曲线C ：()2211mx m y +-=，则以下说法正确的是（ ）A.若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则102m <<B.若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则其短轴长取值范围是(2,C.曲线C 为椭圆时，离心率为D.若曲线C 为双曲线，则浙近线方程为y =12.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在四面体S ABC -中，ABC △是直角三角形，B ∠为直角，点E ，F 分别是SB ，BC 的中点，且AE SC ⊥，2SA AB ==，SC =4BC =，则（ ）A.BC ⊥平面SABB.四面体S ABC -是鳖臑C.E 是四面体S ABC -外接球球心D.过A 、E 、F 三点的平面截四面体S ABC -的外接球，则截面的面积是143π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆O ：224x y +=，过(M 作圆O 的切线l ，则直线l 的倾斜角为______.14.保定某中学举行歌咏比赛，每班抽签选唱5首歌曲中的1首（歌曲可重复被抽取），则高三1班和高三2班抽到不同歌曲的概率为______.15.等差数列{}n a 前13项和为91，正项等比数列{}n b 满足77b a =，则7172713log log log b b b ++⋅⋅⋅+=______.16.已知不等式132aeax b -≥+对任意的实数x 恒成立，则ba的最大值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，csin A a C +=.（1）求角C 的大小；（2）若ACB ∠的角平分线交AB 于点D ，4CD =，2AD DB =，求a .18.（12分）在菱形ABCD中，AB =60BCD ∠=︒，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，将菱形ABCD 沿BD 折起，使AC AB =，M 为线段BD 中点.（1）求EMF ∠大小；（2）求直线AC 与平面EFM 所成角的大小.19.（12分）在正项数列{}n a 中，13a =，且1212n n n a a a a +⋅⋅⋅=.（1）求证：数列lg n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若()()111n n n n a b a a +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：31164n S ≤<.20.（12分）已知抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点为F ，准线交y 轴于点E ，点,2p H p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若EFH △的面积为1，过点H 作拋物线C 的两条切线切点分别为M ，N .（1）求p 的值及直线MN 的方程；（2）点B 是抛物线弧MN 上一动点，点B 处的切线与HM ，HN 分别交于点C ，D ，证明：MC HD CHDN=.21.（12分）杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素.本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情.某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束.规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物.假设平地记为第0步台阶.记队员到达第n 步台阶的概率为n P （08n ≤≤），记01P =.（1）投掷4次后，队员站在的台阶数为第X 阶，求X 的分布列；（2）（ⅰ）求证：数列{}1n n P P --（17n ≤≤）是等比数列；（ⅱ）求队员赢得吉祥物的概率.22.（12分）已知函数()212x f x e ax =-.（1）若()f x 在()0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 有两个极值点分别为1x ，2x （12x x <），当1λ>时，证明：121x x λλ+>+.高三期末调研数学试题参考答案一、选择题12345678BDDADCAB二、选择题9101112ACDABABDABD三、填空题13.56π（或写为150°） 14.45 15.13 16.3ln32-四、解答题17.【解】（1cos sin A a C +=及正弦定理，cos sin sinC A A C B +=.因为()sin sin sin cos cos sin B A C A CA C =+=+，所以sin sin cos A C A C =.又sin 0A >，所以sin C C =，则tan C =，又()0,C π∈，所以C 3π=.（2）∵CD 为ACB ∠的平分线，2AD DB =，设点D 到BC 和AC 的距离为d ，则1212BCD ACDBC dS BD S AD AC d ⋅==⋅△△，即BC BDAC AD=，∴2b a =，又∵ACD BCD ABC S S S +=△△△，∴1114sin 4sin sin 262623b a ab πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，则有23a =，∴a =或0a =（舍去），所以a =.（2）方法2：∵CD 为ACB ∠的平分线，2AD DB =，由内角平分线性质定理，2b a =，又∵3C π=由余弦定理2AB =，∴2B π=，又∵2AD DB =，∴BD =，又∵4CD =，∴在Rt CBD △中，22163a a +=，∴a =.18.【解】（1）方法1：由已知得三棱锥A BCD -为正四面体，棱长为又∵E ，M ，F 分别为AB ，BD ，CD 中点∴EM MF ==又∵3AF BF ==，∴EF =∵222EM MF EF +=，∴EM MF ⊥，∴90EMF ∠=︒方法2：取BC 中点N ，连接DN∵AN BC ⊥，DN BC ⊥，AN DN N = ∴BC ⊥平面AND ，∴BC AD ⊥又∵//EM AD ，//MF BC ∴EM MF ⊥，∴90EMF ∠=︒方法3：∵M 为BD 中点，∴BD ，CM BD ⊥，∴BD ⊥平面AMC ，∴平面AMC ⊥平面BCD ，平面AMC 平面BCD CM =，∴过A 作AO CM ⊥，则AO ⊥平面BCD ，以O 为坐标原点，OM 所在直线为x 轴，过O 作CD 垂线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.()1,B ，()D ，()2,0,0C -，(0,0,A (111,22EM AD ==- ，()1122MF BC ==- ()13304EM MF ⋅=-+= ，∴EM MF ⊥，∴90EMF ∠=︒（2）∵M 为BD 中点，∴AM BD ⊥，CM BD ⊥，∴BD ⊥平面AMC ，∴平面AMC ⊥平面BCD ，平面AMC 平面BCD CM =，∴过A 作AO CM ⊥，则AO ⊥平面BCD ，以O 为坐标原点，OM 所在直线为x 轴，过O 作CD 垂线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.()1,B，()D ，()2,0,0C -，(0,0,A (111,22EM AD ==-，()1122MF BC ==- 设平面EMF 法向量为(),,n x y z =00n EM n MF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得030x x ⎧⎪⎨⎪+--+=⎩=令1x =，则y =，z =，∴(n =(2,0,AC =--，∴sin cos ,n θ= ∴AC 与平面EMF 所成角为45°19.【解】（1）方法1：221211n n n n a a a a a +++⋅⋅⋅=，1212n n na a a a+⋅⋅⋅=，相除得21n a+=11n n n na a ++=所以11lg lg n n n n a a ++=，即()1lg 1lg n n n a n a +=+，所以1lg lg 1n n a a n n +=+，所以21lg lg lg 321a a ==结合1lg lg 1n n a a n n +=+，所以lg lg3n a n ==，即数列lg n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列所以lg lg 3lg 3n n a n ==，所以3n n a =（1）方法2：∵1212n n na a a a+⋅=⋅⋅，两边取对数得，1231lg lg lg lg lg 2n n n a a a a a ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=①∴12311lg lg lg lg lg 2n n na a a a a --+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=②①－②得.11lg lg lg 22n n n n n a a a -+=-，即11lg lg 22n n n n a a --=，∴1lg lg 1n n a a n n -=-.所以1lg lg lg 31n a a n ==，即数列lg n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，所以lg lg 3lg 3n n a n ==，所以3nn a =（2）()()()()111311111231313131n n n n n n n n n a b a a +++⎛⎫===- ⎪------⎝⎭122311111111.2313131313131n n n S +⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪------⎝⎭111111231314n n S +⎛⎫=-<⎪--⎝⎭又因为11114231n n S +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭単调递增，所以1316n S S ≥=，即31164n S ≤<20.【解】（1）111222EFH H pS EF x p ==⋅=△，所以2p =即拋物线方程为C ：24x y =，()1,2H -方法1：C ：24x y =，2xy '=，设切点200,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，切线斜率为02x 切线方程为()2000142x y x x x -=-，此切线过()1,2H -解得02x =-，或04x =，得两切点坐标()2,1M -，()4,4N .所以直线MN 方程为240x y -+=方法2：设()11,M x y ，()22,N x y ，在拋物线上，所以2114x y =，2224x y =，切线方程分别为：()()()()1111122222122212y y x x x xx y y xx y y y y x x x ⎧-=-⎪⎧=+⎪⎪⇒⎨⎨=+⎪⎩⎪-=-⎪⎩又因为两切线相交于()1,2H -()()11222222x y x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，即()11,M x y ，()22,N x y 均在直线()22x y =-上，即240x y -+=.（2）方法1：设切点(),B B B x y ，（24B x -<<）可得过B 点切线为：()2142B B B x y x x x -=-化简得2124B B x y x x =-由第一问方法知()2,1M -，()1,2H -点，可得直线HM 方程为1y x =--联立解得C 点横坐标112C B x x =-同理由N ，H 坐标可得直线HN 方程24y x =-，可得D 点横坐标122D B x x =+11221122B C C B x MC x CH x x ++==--，D 11121422B D B x HD x DN x x +-==--结论得证方法2：()()112222xx y y xx y y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩相减：122H x x x +=()33,B x y ，过B 的切线()33312y y x x x -=-，交HM ()11112y y x x x -=-得132C x x x +=，同理232D x x x +=，131113131223222C H C x x x MC x x x x x x x x CH x x x x +---===++---，所以MC HD CHDN=21.【解】（1）解：由题意得每轮游戏爬一步台阶的概率为23，爬两步台阶的概率为13所以随机变量X 可能取值为4，5，6，7，8可得()42164381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()314123253381P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭()2224122463381P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33412873381P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭()4118381P X ⎛⎫===⎪⎝⎭所以X 的分布列：X45678P 168132812481881181（2）解：（ⅰ）证明：1n =，即爬一步台阶，是第1次掷骰子，向上点数不是3的倍数概率123p =，则1013p p -=-到达第n 步台阶有两种情况：①前一轮爬到第2n -步台阶，又掷骰子是3的倍数得爬两步台阶，其概率为213n p -②前一轮爬到第1n -步台阶，又掷骰子不是3的倍数爬一步台阶，其概率为123n p -所以211233n n n p p p --=+（2,3,,7n =⋅⋅⋅）所以()11213n n n n p p p p ----=--（2,3,,7n =⋅⋅⋅）所以数列{}1n n p p --（1,2,,7n =⋅⋅⋅）是首项为13-，公比为13-的等比数列.（此题也可用概率知识分别求出1p ，2p ，……，7p 具体值，再一一验证也可.）（ⅱ）因为数列{}1n n p p --是首项为13-，公比为13-的等比数列，所以113n n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1013p p -=-，22113p p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， (113)n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭各式相加，得：011143n n p p ⎡⎤⎫-=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以311443n n p ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（1,2,,7n =⋅⋅⋅）所以活动参与者得到纪念品的概率为678611311111547334434432187p p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯-=+⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.22.【解】()0f x '≥得e 0xax -≥（0x >），即e xa x ≤（0x >）设()e xh x x =（0x >），则()()21e xx h x x -='，当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增所以()()1e h x h ≥=，所以e a ≤，此时()0f x '≥，()f x 在()0,+∞上单调递增故a 的取值范围是(],e -∞.（2）因为()f x 有两个极值点1x ，2x ，即方程e xa x=有两个不同的实数根1x ，2x 则11e x ax =，22e x ax =，12x x <令21x x t -=（0t >），即21x x t =+()11e x t a x t +=+联立11e x ax =得1e 1t t x =+解得1e 1t t x =-，2e 1t t x t =+-要证121x x λλ+>+即证1e 1e 1t t t t t λλ⎛⎫++>+ ⎪--⎝⎭即()1e 10t t t λλλ--+++>即()1e 11t t t λλλ-->-++（*）令()()1e 1t t g t t λλλ--=++，0t >求导化简可得()()()()222211e e 11t t t t t g t t t λλλλλλλ'⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥+-⎝⎭⎣⎦='=++++由1λ>，可知10λλ->，即()0g t '>，所以函数()g t 在()0,+∞上递增.得到()()01g t g >=-，即（*）式成立，所以原不等式成立.。
湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试卷(含答案)
湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考高三数学试卷考试时间：2024年11月11日下午14:00-16:00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.已知为虚数单位，若，则（ ）A. B. C. D.3.已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）A. B. C. D.4.已知角，满足，，则（ ）A.B. C.D.5.已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.6.将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（）A.55B.77C.91D.1137.已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（ ）A. B. C. D.8.已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，201x A xx -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭{}220Bx Nx x =∈+-≤∣AB = (]1,1-{}0,1,2{}0,1{}1,0,1-i ()()1122z i i ++=-+z =1i-+1i --1i +1i-a b ()3,4a = ()2,1b =- b a68,2525⎛⎫⎪⎝⎭(6,8)68,55⎛⎫⎪⎝⎭(4,2)αβtan 2α=()sin 2cos sin βαβα=-tan β=2323-4343-()26ln 1f x x x ax =++-(1,2)a 8,⎡--⎣(8,--7,⎡--⎣(8,7)--(2π+(1π+(3π+()f x ()g x R ()1f x +()()114f x g x -++=，则下列结论正确的是（ ）A.为奇函数B.为奇函数C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正实数，满足，则的可能取值为（ ）A.8B.9C.10D.1110.已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与双曲线的右支交于，两点.的内心为，的内心为，则下列说法正确的有（ ）A.双曲线的离心率为2B.直线的斜率的取值范围为C.的取值范围为D.11.在正三棱锥中，，三棱锥的内切球球心为，顶点在底面的射影为，且中点为，则下列说法正确的是（ ）A.三棱锥的体积为3B.二面角C.球的表面积为D.若在此三棱锥中再放入一个球，使其与三个侧面及内切球均相切，则球三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，直线与准线相交于点，则线段的长度为_____.()()24f x g x +-=()f x ()g x ()()9136k f k g k =⎡⎤-=⎣⎦∑()()9136k f k g k =⎡⎤+=⎣⎦∑x y 2x y +=2291x y x y+++22:13y C x -=1F 2F 2F l C A B 12AF F △1I 12BF F △2I AB (),-∞+∞12I I ⎡⎢⎣2112tan3tan22AF F AF F ∠∠=P ABC -AB =PA =P ABC -O P ABC Q PQ M P ABC -M AB P --O 43π1O O 1O (),4A a 24y x =F AF B FB13.已知直线与曲线相切，则实数的值为_____.14.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知数列为等比数列，数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求.16.（15分）如图，在中，角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，，将沿折成直二面角，求直线与平面所成角的正弦值.17.（15分）为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的2台玩具车和2个玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换.（1）两人进行一次交换后，求小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率；（2）两人进行两次交换后，记为“小明手中玩偶的个数”，求随机变量的分布列和数学期望.18.（17分）已知椭圆，不过原点的直线与椭圆相交于不同的，两点，与直线交于点，且，y ax=()x ef xx=a1323{}na{}n b()()*21nnnb n N=+-∈()1,0n n na b b Rλλλ+=-∈>{}na{}nc2n nc n a={}n c n n T9TABC△A B C a b csin sin sin sinA B B Cc a b++=-A3,0BC BD AB AD=⋅=2AD=ABC△AD B AD C'--AB'B CD'X X()2222:10x yC a ba b+=>>()2,1P O l C A B OP Q2AB QB=直线与轴，轴分别交于点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）当的面积取最大值时，求的面积.19.（17分）2022年7月，在重庆巴蜀中学读高一的瞿霄宇，夺得第63届国际数学奥林匹克（IMO ）满分金牌.同年9月26日，入选2022年阿里巴巴全球数学竞赛获奖名单，同时成为了本届获奖者中年龄最小的选手.次年9月16日，他再接再厉，在2023阿里巴巴全球数学竞赛中获金奖.他的事迹激励着广大数学爱好者勇攀数学高峰，挖掘数学新质生产力.翔宇中学高二学生小刚结合自己“强基计划”的升学规划，自学了高等数学的罗尔中值定理：如果上的函数满足条件：①在闭区间上连续；②在开区间可导；③.则至少存在一个，使得.据此定理，请你尝试解决以下问题：（1）证明方程：在内至少有一个实根，其中，，，；（2）已知函数在区间内有零点，求的取值范围.l x y M N C APB △MON △R ()f x [],a b (,)a b ()()f a f b =(),c a b ∈()0f c '=()43254320ax bx cx dx a b c d +++-+++=(0,1)a b c d R ∈()()()2222222xf x emx e m x m R =-----∈(0,1)m湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考数学试卷参考答案及评分标准选择题：1234567891011CAADBCADCDABDACD填空题：12. 13. 14.解答题：15.（13分）解：（1）因为为等比数列，所以，即，化简得.因为，得.因此，易知为等比数列；（2）由（1）知，.，16.（15分）解：（1），，化简得.由余弦定理得，，故；（2）设，，在中，由得，解得.①在中，.②由①、②得.，，从而.二面角为直二面角，，平面平面，平面，10324e 2881{}n a 2213a a a =()()()2755177λλλ-=--()()210λλ-+=0λ>2λ=()()()11122122131n n nn n n n n a b b +++⎡⎤=-=+--+-=--⎣⎦{}n a ()231nn c n=--22222291293123489135T c c c ⎡⎤=++⋯+=-⨯-+-+-+-=⎣⎦ sin sin sin sin A B B C c a b ++=-a b b c c a b++∴=-222b c a bc +-=-2221cos 22b c a A bc +-==-23A π=BD x =2CD x =ACD △sin sin CD AD DAC C ∠=22sin30sin x C=1sin 2C x=ABD △2sin sin 3AD B C BD x π⎛⎫===- ⎪⎝⎭sin B x ==BD ∴=CD =AB = B AD C '--AB AD '⊥AB D ' ACD AD =AB '⊂AB D '平面建立如图所示的空间直角坐标系，易知，，，，，，.设平面的法向量，则有，即令，解得.故直线与平面.17.（15分）解：（1）若两人交换的是玩具车，则概率为，若两人交换的是玩偶，则概率也为，故两人进行一次交换后，小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率为.（5分）（2）可取的值为0、1、2、3、4，一次交换后，小明有1个玩偶和3台玩具车的概率为，有3个玩偶和1台玩具车的概率也为，经过两次交换后，，AB ∴'⊥ACD()0,0,0A ()D ()C (B '(AB ∴='(B C =' (B D '=B CD '(),,n x y z = 00n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩'x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩1y =()4n =cos ,n AB n AB n AB ⋅∴=''='AB 'B CD '111224⨯=111224⨯=111442+=X 111224⨯=111224⨯=()1111044464P X ==⨯⨯=()1131331117144444422232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()13313311111117244444422222232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()1131311117344444422232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故随机变量的分布列为：01234.18.（17分）解：（1）设椭圆左顶点为，则坐标为.由，解得.因为椭圆的离心率为，得.所以椭圆的标准方程为：；（2）设坐标为，坐标为，由于和为椭圆上两点，两式相减，得，整理得.（*）设坐标为，由得为线段的中点，，.由在线段所在直线上，且坐标为，则有，即.由（*）得，故.设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，得，整理得.()1111444464P X ==⨯⨯=X X P1647321732732164()1717710123426432323264E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=C D D (,0)a -PD ==2a =C c e a ==c =1b =C 2214x y +=A (),A A x y B (),B B x y A B C 22221414A AB Bx y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩()222204A B A B x x y y -+-=222214A B A B y y x x -=--Q (),Q Q x y 2AB QB =Q AB 2A B Q x x x +∴=2A BQ y y y +=Q OP P (2,1)12OQ OP k k ==12Q A B OQ QA B y y y k x x x +===+222214A B A B A B A B A B A B y y y y y y x x x x x x -+-=⨯=--+-12A B AB A B y y k x x -==--l 1,02y x m m =-+≠l C 221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩()222210x mx m -+-=由，得且.因为直线与椭圆相交于和两点，所以，.点到直线的距离为且.记，.由，及得即当时，取最大值.此时直线方程为，与坐标轴交点为，19.（17分）证明：（1）设，，则，在上连续，在上可导.又，由罗尔中值定理知：至少存在一个，使得成立，.故方程在内至少有一个实根.（2），在区间内有零点，不妨设该零点为，则，.0>△m <<0m ≠l C A B 2A B x x m +=()221A B x x m =-B AB x ∴=-==P l d 122APB S AB d ∴==-=△m <<0m ≠()()()2222f m mm =--()()()2421f m m m m =---'()0f m '=m <<0m ≠m =m =APB S △l 12y x =-()1M -N ⎛ ⎝12MON S OM ON ∴== △()()5432F x ax bx cx dx a b c d x =+++-+++[]0,1x ∈()()4325432F x ax bx cx dx a b c d '=+++-+++()F x ∴[]0,1(0,1)()()010F F ==()00,1x ∈()00F x '=()432000054320ax bx cx dx a b c d ∴+++-+++=()43254320ax bx cx dx a b c d +++-+++=(0,1)()()2222222xf x emx e m x =----- m R ∈(0,1)1x ()10f x =()10,1x ∈由于，易知在和上连续，且在和上可导.又，由罗尔中值定理可得，至少存在一个，使；至少存在一个，使得.方程在上至少有两个不等实根和.设，，则.，.当，即时，，故在上单调递增；方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去当，即时，，故在上单调递减.方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去当时，由得，时，有单调递减；时，有单调递增.在上的最小值.注意到，则有.方程在上至少有两个不等实根，，解得.结合，且，，()()224222xf x e mx e m '=----()f x '[]10,x []1,1x ()10,x ()1,1x ()()()1010f f x f ===()210,x x ∈()20f x '=()31,1x x ∈()30f x '=∴()()2242220x f x e mx e m '=----=(0,1)2x 3x ()()()224222xg x f x emx e m ==--'--()0,1x ∈()282x g x e m =-'()0,1x ∈ ()2288,8x e e ∴∈1 28m ≤4m ≤()()0820g x g m >=-'≥'()g x (0,1)()0g x =(0,1)2 228m e ≥24m e ≥()()21820g x g e m <=-'≤'()g x (0,1)()0g x =(0,1)3 244m e <<()0g x '=()1ln 0,124mx =∈10,ln 24m x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()()0,g x g x '<1ln ,124m x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0,g x g x '>()g x ∴(0,1)()min 1ln 24m g x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭()221422525202g e e e e e e ⎛⎫=+-<-=-<⎪⎝⎭()min 11ln 0242m g x g g ⎛⎫⎛⎫=≤< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0g x =(0,1)()()2206201220g m e g e m ⎧=+->⎪∴⎨=-+>⎪⎩222622e m e -<<+244m e <<22262 2.564e ->⨯->222222224e e e e +<+=故的取值范围为.m ()2226,22e e -+。
2020年最新高考数学--以圆或隐圆为背景的选择填空题(解析版)
专题一 压轴选择填空题第4关 以圆或隐圆为背景的选择填空题【名师综述】直线与圆是高中数学的C 级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现．近年来，高考对直线与圆的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式或轨迹相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显直线与圆的交汇价值．【典例解剖】类型一 以动点轨迹为圆考查直线与圆、圆与圆位置关系典例1．（2020上海控江中学高三月考）设三角形ABC 是位于平面直角坐标系xOy 的第一象限中的一个不等边三角形，该平面上的动点P 满足：222222||||||||||||PA PB PC OA OB OC ++=++，已知动点P 的轨迹是一个圆，则该圆的圆心位于三角形ABC 的（ ） A ．内心 B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】C 【解析】【分析】可设(,)P x y ，()11,A x y ()22,B x y ，()33,C x y ，由222222||||||||||||PA PB PC OA OB OC ++=++列出关系式，由P 的轨迹为圆，求出圆心坐标即可【详解】设(,)P x y ，()11,A x y ()22,B x y ，()33,C x y ，由222222||||||||||||PA PB PC OA OB OC ++=++得：222222222222112233112233()()()()()()x x y y x x y y x x y y x y x y x y -+-+-+-+-+-=+++++ 展开整理，得22123123332()2()0x y x x x x y y y y +-++-++=．∴2222123123123123111[()][()][()()]339x x x x y y y y x x x y y y -+++-++=+++++． ∴圆的圆心坐标为1231(()3x x x ++，1231())3y y y ++，为三角形ABC 的重心，故选C ．【名师点睛】本题考查直线与圆的综合应用，圆的轨迹方程的求法，重心坐标公式的应用，计算量偏大，化简时需进行整体代换，简化运算难度，属于中档题． 【举一反三】（2020上海洋泾中学高三月考）已知定圆C ：()2245x y -+=，其圆心为()4,0C ，点A 为圆C 所在平面内一定点，点P 为圆C 上一个动点，若线段PA 的中垂线与直线PC 交于点Q ，则动点Q 的轨迹可能为______．（写出所有正确的序号）（1）椭圆；（2）双曲线；（3）抛物线；（4）圆；（5）直线；（6）一个点． 【答案】（1）（2）（4）（6） 【解析】（1）若点A 在圆C 外部，=QA QC PC AC ->Q 点的轨迹是以,A C 为焦点的双曲线；（2）若点A 在圆上，则C Q ，点重合，如图，点Q 点的轨迹为点C ；（3）若点A 在圆内部且不为圆心，则QA QC PC +==AC <Q 点的轨迹是以,A C 为焦点的椭圆；（4）若点A 在圆内部且为圆心，,A C 重合时，Q 为半径PA 的中点，所以点Q 是以C 为半径的圆．综上所述，Q 点的轨迹可能是（1）（2）（4）（6）四种情况 答案为：（1）（2）（4）（6）类型二 以圆中直角三角形建立函数关系式或方程或不等式典例2．（2020上海师大附中期中）已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【解析】由题意，AC 为直径，所以24437PA PB PC PO PB PB ++=+≤+≤+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，当且仅当点B 为（-1，0）时，PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r取得最大值7，故选B ．考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质 【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键． 【举一反三】1．（2020上海七宝中学高三月考）已知a b v v 、是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量c v 在满足()()340a c b c +-=v v v v，均能使c b k -≤v v 成立，则k 的最小值是_________．【答案】52【解析】【分析】根据题意，()()()1,0,0,1,,a b c x y v v v===，利用()()340a c b c +⋅-=r r r r ，求得,x y 的关系，利用圆的几何性质，再求出c b -vv 的最大值，从而求出k 的最小值．【详解】因为a b v v 、是平面内两个互相垂直的单位向量，所以可设 ()()()1,0,0,1,,a b c x y v v v ===， ()33,a c x y ∴+=+r r ，()4,4b c x y -=--r r，又()()340a c b c +⋅-=r r r r ，()()340x x y y ∴-++-=，即()22325224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， 它表示的圆心在3,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为52的圆，c b -v v 表示圆上的点到(0,1)B 的距离，圆心M 到点(0,1)B 的距离为d =c b ∴-r r 的最大值为52=，要使c b k -≤r r 恒成立，52k ≥，即k 的最小值是52，故答案为52．【名师点睛】本题主要考查向量模的几何意义、轨迹方程的应用以及圆的几何意义，考查了转化思想的应用，属于难题．转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将不等式恒成立问题转化为圆上动点到定点距离的最值问题是解题的关键． 类型三 利用数形结合揭示与刻画直线与圆、圆与圆位置关系典例3．（2020上海青浦中学月考）在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】【分析】P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +． 【详解】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ， 所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C ． 【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化． 【举一反三】（2020上海徐汇区一模）若圆221:1C x y +=和圆222:680C x y x y k +---=没有公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(9,11)-B ．(25,9)--C ．(,9)(11,)-∞-+∞UD ．(25,9)(11,)--+∞U【答案】D【解析】化圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y ﹣k ＝0为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝25+k ，则k ＞﹣25，圆心坐标为（3，4）， 圆C 1：x 2+y 2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1．要使圆C 1：x 2+y 2＝1和圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y ﹣k ＝0没有公共点，则|C 1C 2|1或|C 1C 2|1，即51或51，解得﹣25＜k ＜﹣9或k ＞11． ∴实数k 的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞），故选D ．【精选名校模拟】1．（2020上海七宝中学月考）已知实数x 、y 满足：22(2)1x y +-=，ω=的取值范围是（ ）A ．B ．[1,2]C ．(0,2]D ．2【答案】B 【解析】【分析】构造直线0x +=，过圆上一点P 作直线的垂线PM 2sin POM =∠，求出sin POM ∠的范围即可得出．【详解】设(,)P x y 为圆22(2)1x y +-=上的任意一点，则P 到直线0x +=的距离PM =P 到原点的距离OP =22sin PMPOM OP==∠． 设圆22(2)1x y +-=与直线y kx =1=，解得k =，POM ∴∠的最小值为30︒，最大值为90︒，1sin 12POM ∴∠剟，12sin 2POM ∴∠剟，故选B ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，距离公式的应用，解题关键是数形结合思想的应用，能阅读出ω=2．（2020上海南模中学高三月考）设1x 、2x 是关于x 的方程220x mx m m ++-=的两个不相等的实数根，那么过两点211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与圆()2211x y -+=的位置关系是（ ）A ．相离．B ．相切．C ．相交．D ．随m 的变化而变化．【答案】D 【解析】22212121,ABx x k x x x x -==+∴-Q 直线AB 的方程为21121()()y x x x x x -=+-． 即1212()y x x x x x =+-，所以直线AB的方程为22,y mx m m d =-+-===因为2240,4()0,03m m m m ∆>∴-->∴<<， 所以221999225,(),(,),()()161616256t g t t t t g t g m =>∴=+∈+∞>=令，所以1615d =<=，所以直线AB 与圆可能相交，也可能相切，也可能相离． 3．（2020上海一模冲刺练）若对于任意角θ，都有cos (2)sin 1x y θθ+-=，则直线:cos (2)sin 1l x y θθ+-=围成的正多边形的最小面积是（ ）A．B ．4C．D ．不确定【答案】D 【解析】【分析】先根据点()02P ，到直线cos (2)sin 1x y θθ+-=的距离为1，确定直线为以()02，为圆心，1为半径的圆的切线，再取特殊直线运算否定ABC 即得选项． 【详解】由对于任意角θ，都有cos (2)sin 1x y θθ+-=，则点()02P ，到直线cos (2)sin 1x y θθ+-=1=，即此直线为以()02，为圆心，1为半径的圆的切线， 当三条切线如图所示时，则正三角形ABC 的面积11233S =⨯⨯=， 即存在直线:cos (2)sin 1l x y θθ+-=，即选项A ，B ，C 错误，故选D ．4．（2020上海交大附中月考）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．②C ．①②D ．①②③【答案】C 【解析】【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围．【详解】由221x y x y +=+得，221y x y x -=-，2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔， 所以x 可为的整数有0，-1，1，从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0，1)，(0，-1)，(1，0)，(1，1)，(-1，0)，(-1，1)六个整点，结论①正确．由221x y x y +=+得，222212x y x y +++…，解得222x y +≤，所以曲线C 上任意一点到原点的距离都．结论②正确．如图所示，易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -， 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=，很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误，故选C ．5．（2020上海浦东复旦附中高三月考）在平面直角坐标系中，A ，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 240x y +-= 相切，则圆 C 面积的最小值为___ ． 【答案】45π【解析】由题意，圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，则d =r =，45S π=． 6．（2020上海二中高三期中考试）若定义域均为D 的三个函数f （x ），g （x ），h （x ）满足条件：对任意x ∈D ，点（x ，g （x ）与点（x ，h （x ）都关于点（x ，f （x ）对称，则称h （x ）是g （x ）关于f （x ）的“对称函数”．已知g （x ）f （x ）=2x+b ，h （x ）是g （x ）关于f （x ）的“对称函数”，且h （x ）≥g （x ）恒成立，则实数b 的取值范围是_____．【答案】)+∞ 【解析】【分析】根据对称函数的定义，结合h （x ）≥g （x ）恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可【详解】∵x ∈D ，点（x ，g （x ）） 与点（x ，h （x ））都关于点（x ，f （x ））对称，∴g （x ）+h （x ）=2f （x ）， ∵h （x ）≥g （x ）恒成立，∴2f （x ）=g （x ）+h （x ）≥g （x ）+g （x ）=2g （x ），即f （x ）≥g （x ）恒成立， 作出g （x ）和f （x ）的图象，则g （x ）在直线f （x ）的下方或重合， 则直线f （x ）的截距b ＞0，且原点到直线y=2x+b 的距离d≥1，1=≥⇒b ≤，即实数b 的取值范围是+∞），故答案为：)+∞．7．（2020上海育才中学高三月考）已知平面直角坐标系中两点12(,)A a a 、12(,)B b b ，O 为原点，有122112AOB S a b a b ∆=-．设11(,)M x y 、22(,)N x y 、33(,)P x y 是平面曲线2224x y x y +=-上任意三点，则12212332T x y x y x y x y =-+-的最大值为________【答案】20． 【解析】【分析】将圆的方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径长，由题意得12212332T x y x y x y x y =-+-12212332222OMN OPN OMNP x y x y x y x y S S S ∆∆≤-+-=+=四边形，转化为圆内接四边形中正方形的面积最大，即可得出T 的最大值．【详解】将圆的方程化为标准方程得()()22125x y -++=，圆心坐标为()1,2-122123321221233222OMN OPN T x y x y x y x y x y x y x y x y S S ∆∆∴=-+-≤-+-=+2OMNP S =四边形，由于圆内接四边形中，正方形的面积最大，所以当四边形OMNP 为正方形时，T =所以2220T ≤⨯=，故答案为：20．8．（2020上海浦东新区高三期末）若函数2y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】 【解析】【分析】将函数2y ax a =+()()2,()f x a x g x =+=像，观察图像得出实数a 的取值范围．【详解】设()()2,()f x a x g x =+=2y ax a =+存在零点等价于()()2,()f x a x g x =+=函数()()2f x a x =+的图像恒过点(2,0)-，当其和函数()g x =a ==，所以()()2,()f x a x g x =+=03a ≤≤，故答案为：．9．（2020永安三中高三期中考试）若曲线y =y x b =+始终有交点，则b 的取值范围是_______．【答案】[-【解析】由题设可知x b +=b x =有解，令借cos ,[0,]x θθπ=∈，则sin θ=，所以sin cos )4b πθθθ=-=-，由于0θπ≤≤，故3444πππθ-≤-≤，结合正弦函数的图像可知sin()124πθ-≤-≤，则)[4b πθ=-∈-，应填答案[-． 【名师点睛】解答本题的思路是依据题设条件将其转化为方程x b +=进而分离参数b x ，然后通过三角换元将其转化为求函数sin cos )4b πθθθ=-=-的值域问题，最后借助正弦函数的图像求出其值域使得问题获解．10．（2020上海四中高三期中考试）若点()1,1P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为________． 【答案】210x y --=【解析】因为(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，所以圆心坐标为()3,0，31201MN k -=-=-，MN 所在直线方程为()121y x -=-，化简为210x y --=，故答案为210x y --=． 11．（2020上海华师大二附中高三月考）设1234,,,a a a a R ∈，且14231a a a a -=，则代数式222212341324a a a a a a a a +++++的最小值为______．【解析】【分析】由222212341324a a a a a a a a +++++结构特征，构造向量12(,)OA a a a ==u u u r r ，34(,)OB b a a ==u u u r r，设,a b r r 的夹角为θ，14231,,a a a a a b -=r r 不共线，0θπ<<，222212341324a a a a a a a a +++++=22||||2||||a b a b a b a b ++⋅≥+⋅r r r r r r r r ，转化为求2||||a b a b +⋅r r r r的最小值，由14231a a a a -=，可得1||||,sin a b θ=r r cos sin a b θθ⋅=r r ，转化求2cos cos 2sin sin sin θθθθθ++=的最小值，即为(sin ,cos )M θθ与点(0,2)P -连线的斜率最小值，即可得结果．【详解】设12(,)OA a a a ==u u u r r ，34(,)OB b a a ==u u u r r，设,a b r r的夹角为θ，14231,,a a a a a b -=r r 不共线，0θπ<<，222212341324a a a a a a a a +++++=22||||2||||a b a b a b a b ++⋅≥+⋅r r r r r r r r，sin θ===1||||||||a b a b ==r r ， 1cos ||||,sin sin a b a b θθθ=⋅=r r r r ，2||||a b a b +⋅r r r r 2cos cos 2sin sin sin θθθθθ+=+= ① 设(sin ,cos )M θθ，（0θπ<<），(0,2)P -，①式表示点(0,2)P -与单位圆（y 轴右侧）的点M 连线斜率，当PM12．（2020上海建平中学高三期中）已知a v 、b v 、2c v是平面内三个单位向量，若a b ⊥v v ，则4232a c a b c +++-v v v v v的最小值是________【答案】【解析】【分析】设2(,)c e x y ==r r ，(1,0)a =r ，(0,1)b =r ，将问题转化为求|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值，再证明|2||2|a e a e +=+r r r r ，从而将原问题转化为求|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值． 【详解】令2c e =r r，设(1,0)a =r ，(0,1)b =r ，e r 对应的点C 在单位圆上，所以问题转化为求|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值．因为2222(2)(2)330a e a e e a +-+=-=r r r r r r ，所以|2||2|a e a e +=+r r r r ，所以|64||2|a e a b e ++-=+r r r rr ，表示C 点到点(2,0)-和(6,4)的距离之和，过点(2,0)-和(6,4)的直线为220x y -+=，原点到直线220x y -+=1=<，所以与单位圆相交，所以|2||64|a e a b e +++-r r r r r的最小值为：点(2,0)-和(6,4)之间的距离，即13．（2020上海高三模拟考试）已知关于t 的一元二次方程2(2)2()0(,)t i t xy x y i x y R ++++-=∈，当方程有实数根时，则实数t 的取值范围________． 【答案】[4,0]- 【解析】【分析】根据方程有实数根，再结合复数相等，建立条件关系可得点的轨迹为以()1,1-为半径的圆，再结合直线t y x =-与圆的位置关系即可得解．【详解】因为关于t 的一元二次方程2(2)2()0(,)t i t xy x y i x y R ++++-=∈有实数根，得222()0t t xy t x y i +++++=，由复数相等的充要条件可得：2220t t xy t x y ⎧++=⎨+-=⎩，消t 得22(1)(1)2x y -++=，则所求点的轨迹为以()1,1-为半径的圆，直线t y x =-≤，解得40t -≤≤，故答案为[4,0]-．14．（2020上海南模中学高三期中）在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为________．【答案】【解析】 【分析】由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，得曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，再根据勾股定理以及圆的性质可得弦长的最小值． 【详解】 由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，∴曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆， 又直线20x ty -+=恒过点D ()2,0-，且此点在圆内部 故当CD AB ⊥时|AB |最短，∴|AB |＝=故答案为：15．（2020上海青浦中学高三月考）已知AC 、BD 为圆()()22:1216O x y -+-=的两条相互垂直的弦，垂足为121,2M n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭则四边形ABCD 的面积n S 的极限值为___________．【答案】32 【解析】 【分析】由题意可得四边形ABCD 的面积n S 的表达式：2n AC BDS ⨯=，由于点121,2M nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的极限位置是圆心，且此时四边形面积取到极限值，此时几何图形形状可求得面积的极限 【详解】由题可知，AC 、BD 为圆()()22:1216O x y -+-=的两条相互垂直的弦，垂足为121,2M n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由2n AC BDS ⨯=，由点121,2M nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的极限位置是圆心()1,2，此时AC 、BD 都是直径，故n S 的极限值为22r ，4r =，n S 的极限值为32，圆内接四边形恰好为正方形 故答案为：32．16．（2020上海建平中学高三月考）在ABC ∆中，2BC =，45A ∠=︒，B Ð为锐角，点O 是ABC ∆外接圆的圆心，则OA BC ⋅u u u v u u u v的取值范围是______．【答案】(2,- 【解析】【分析】建立适当的直角坐标系，写出各点的坐标，进一步利用向量的数量积，将问题转化成求三角函数的值域问题，从而得到OA BC ⋅u u u r u u u r的取值范围．【详解】如图所示：||2BC =，90BOC ∠=°，45CAB ∠=︒，由于B Ð为锐角，则点A 只能在左半圆上，设AOB θ∠=，则)A θθ3()22ππθ<<，B ，C ，所以OA θ=u u u r )θ，(BC =u u u r ，2cos 2sin )4OA BC πθθθ⋅=-+=-u u u r u u u r ，因为322ππθ<<，所以5444πππθ<-<，则sin()124πθ-<-≤，所以2)4πθ-<-≤故答案为：(2,-．17．（2020上海松江区一模）若实数,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，则实数c 的最小值为________【答案】- 【解析】【分析】先由题意，根据基本不等式，得到12≤ab ，得出112-≤-ab ，再由221a b +=，得到()212+-=a b ab ，根据abc a b c =++得()()()()22233+==+-+-+a b c a b a b a b ，令=+t a b ，根据题意得到(=+∈t a b ，由函数单调性，得到3=-y t t的最值，进而可求出结果． 【详解】因为,0a b >，221a b +=，所以2212a b ab +=≥，即12≤ab ，当且仅当a b =时，取等号；因此111122-≤-=-ab ， 又221a b +=，所以22212++=+a b ab ab ，即()212+-=a b ab ，由abc a b c =++得1+=-a b c ab ，所以()()()()22233+==+-+-+a b c a b a b a b ，令=+t a b，因为+===a b ，当且仅当a b =时取等号．所以(=+∈t a b ， 又易知函数3=-y tt在(t ∈上单调递增，因此32=-≤=-y tt，因此()()2233==≥=-+--+ca b ta b t即实数c的最小值为-，故答案为：-18．（2020江苏盐城中学月考）在平面直角坐标系xOy中，已知点()2,2A，E、F为圆()()22:114C x y-+-=上的两动点，且EF=，若圆C上存在点P，使得,0AE AF mCP m+=>u u u r u u u r u u u r，则m的取值范围为________．【答案】1⎤-⎦【解析】取EF中点为M，连接AM，则2+=u u u r u u u r u u u u rAE AF AM，又圆()()22:114C x y-+-=上存在点P，使得,0AE AF mCP m+=>u u u r u u u r u u u r，所以2=u u u u r u u u rAM mCP，因此22==u u u u r u u u rAM m CP m，即=u u u u rm AM；因为E、F为圆()()22:114C x y-+-=上的两动点，且EF=1==CM，设(,)M x y1=，即()()22111x y-+-=即为动点M的轨迹；所以AMu u u u r表示圆()()22111x y-+-=上的点与定点()2,2A之间的距离，因此11-≤≤+u u u urAC AM AC，11≤≤u uu u rAM11≤≤m，故答案为：1⎤⎦．。
广东省大湾区(步升联考)2025届高三年级新高考适应性测试数学试题(含答案)
★启用前注意保密大湾区（步升联考）2025届高三年级新高考适应性测试数学本试卷共4页，20小题，满分150分。
考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知34i z =-，则||z =A B C ．5D ．72．若2()(2)2f x x ax =-+为偶函数，则a =A ．4-B ．2-C ．0D ．23．设集合{|22}S x x =-<<，{|}A x x S =∈，2{|}B x x S =∈，则A B =A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{|02}x x <≤4．已知向量a ，b 不平行，()()λ+-∥a b a b ，则λ=A ．2-B ．1-C ．1D ．25．已知ππsin(cos()136αβ++=，则tan()αβ-=A B ．1C ．0D ．6．已知命题:0p xy >，:||||||q x y x y +=+，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设AB 为圆锥SO 底面的一条直径，P 为底面圆周上异于A ，B 的一点，Q 为SO 中点，且二面角S PA B --与二面角Q PB A --相等．若三棱锥S ABP -的体积为V ，则圆锥的体积为A ．5π3V B ．5π4V C ．23π3V D ．32π4V 8．已知点(0,0)O ，(0,1)A ，(1,1)B ，(1,0)C ，平面上仅在线段OA ，AB ，BC 所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量(1,)m =s (0)m >的方向从线段OC 上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在BC ，AB ，OA 各反射一次后从线段OC 上某点射出，则m 的取值范围是A ．1(,2)3B ．13(,22C ．2(,2)3D ．23(,)32二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。
2025届湖北省部分高中高三上学期11月期中联考数学试题(含答案)
2024年秋季普通高中11月份高三年级阶段性联考数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知，则的值为（ ）A.B. C.D.3.已知，且，则与的夹角为（ ）A.B. C. D.4.已知曲线在点处的切线在轴上的截距为，则的值为（ ）A.1B.0C.D.5.暑假期间某校5名学生计划去黄冈旅游，体验黄冈的风俗与文化.现有黄梅东山问梅村､罗田天堂寨､黄州的东坡赤壁三个景区可供选择若每名学生只去一个景区，且恰有2人前往黄梅东山问梅村，则不同的游览方案种数为（ ）A.40B.90C.80D.16011i+π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭1313-(),2a b == ()2a a b ⊥+ a bπ32π33π45π6ln ay x x=+()1,a y 3-a 1-2-6.已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值为（ ）A.B. C. D.7英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（）A.B. C. D.8.是定义在上的函数，为的导函数，若方程在上至少有3个不同的解，则称为上的“波浪函数”.已知定义在上的函数为“波浪函数”，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.9.下列结论中正确的有（ ）A.已知，若，则；B.某学生8次考试的数学成绩分别为：101､108､109､120､132､135､141､141，则这8次数学成绩的第75百分位数为135；C.已知的平均值为8，则的平均值为7；D.已知为两个随机事件，若，则.()()cos 0f x x x ωωω=->π()f x ϕ()g x ()g x ϕπ12π6π32π3881168124813281()f x [],a b ()f x '()f x ()()f x f x ='[],a b ()f x [],a b []4,3-()3228f x x x mx =+++m 5675m -<- (56)45m -<- (56)45m -< (74)m -<-…()24,X N σ~()50.1P X =…()340.4P X =……128,,,,11,13x x x 128,,,x x x A B ､()()()0.4,0.3,0.2P A P B P AB ===∣()0.15P B A =∣10.已知正实数满足，下列结论中正确的是（）A.的最大值是B.的最小值是C.的最小值是3D.的最小值为11.高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数（表示不超过的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有（ ）A.B.C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.13.已知的角的对边分别为，且，若，则__________.14.已知函数在区间上存在零点，则的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）已知，函数.（1）求的单调递减区间；（2）在中，若，求和长.16.（本题满分15分）已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列，数列满足：，且.,a b 23a b ab +=ab 982a b +832a b +1b a-3-()[]f x x =[]x x {}n a n n S 112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21n n n b S S +=+()*n a n n =∈N)*n S n =∈N []12636b b b +++= 1210011118S S S ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦ ()()2222ln f x x f x x -'=+()2f '=ABC A B C ､､a b c ､､sin a C =π6A =22b c bc+=()()()()13e 0xf x a x b a =-++≠[]1,3-3b a+()π,cos ,cos ,sin 2m x x n x x ⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎭()32f x m n =-⋅()f x ABC ()0,ABC f A BC S ===AC AB {}n a 421a =125,,a a a {}n b 143n n b b +=-1121b a =-（1）求和的通项公式；（2）若为数列的前项和，求.17.（本题满分15分）东风学校有甲乙两个食堂，学校后勤服务中心为了调查学生对两个食堂的满意度，随机调査300名学生.设表示事件“学生喜欢去甲食堂”，表示事件“调査的学生是男生”.若.调查的是男生调查的是女生合计喜欢去甲食堂喜欢去乙食堂合计（1）完成上列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断学生喜欢去哪个食堂与性别是否有关？（2）为了答谢参与调查的学生，学校后勤服务中心从参与调查的300名学生中按性別分层抽样的方法选15名幸运学生参与抽奖活动，并为他们准备了15张奖券，其中一等奖奖券有3张，二等奖奖券有5张，三等奖奖券有7张，每人抽取一张.设15名幸运学生中男生抽中一等奖的人数为，写出的分布列，并计算.附0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.（本题满分17分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3.19.（本题满分17分）马尔科夫链是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅{}n a{}n b n T1n n a b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭n n T M N ()()()457|,|,7815P M N P N M P N ===22⨯0.001α=X X ()E X ()()()()22():ad bc na b c d a c b d χ-⋅=++++αax ()1ln f x x a x x=--()f x 1x …()0f x …a ()ln 1n ++>+与前一时刻的状态有关.为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏.他给小明和小美各一个不透明的箱子，每个箱子中都有个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过次操作之后小明箱子里的白球个数为随机变量，且.（1）求的值；（2）求；（3）证明：为定值.x n n X ()1518P X ==x ()1n P X =()n E X2024年秋季普通高中11月份阶段性联考高三数学试卷参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.D2.B3.B4.C5.C6.B7.A8.D8.【解析】，显然不满足上式，所以，令，则，在，且，画出的图像，可知：.二､选择题（多选）【有错选得0分，全对得6分，部分对得部分分.两解题，每答对一个得3分，三解题，每答对一个得2分】9.ACD 10.BCD11.BCD10.解析：（1）（当时取等号）；（2）（当时取等号）；()()()32481f x f x x x x m x '=⇒--+=-1x =32481,1x x x x m x--+≠=-()32481x x x g x x --+=-()()()22221(1)x x g x x '-+=--()g x ∴[)(4,1,1,2,2,3⎤⎤⎡-↑↑↓⎦⎣⎦()()()564,24,375g g g -=-=-=-[)7,4m ∈--8329ab a b ab =+≥⇒≥⇒≥24,33a b ==8233a b ab +=≥24,33a b ==（3）（当时取等号）；（4）（当时取等号）.11.解析：（1）当时，，又A 错，B 对；（2），.故C 对；（3），当时，，，；故D对；三､填空题：12.13.14.14.【解析】，令，在，在，()()212122233,3225923a b a b ab a b a b a b b a b a b a ⎛⎫+=⇒+=∴+=++=++≥⇒+≥ ⎪⎝⎭1a b ==132233b b b b a b b --=-=+-≥-b =11,2n n nS a a ⎛⎫=+∴ ⎪⎝⎭2n ≥2211112,1n n n n n n n S S S S S S S ---=-+⇒-=-11111,02n S a a a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭211;n n n a S n S a ⇒=∴=⇒==∴()1263211176,722n n n b b b b S S +===-∴+++=+-∈+ []12636b b b ∴+++= 12n S =>=]1210011122118;S S S ⎡⎤∴+++>+++=->⎣⎦2n ≥12n S =<=-]121001111212119S S S ⎡⎤∴+++<++++=+-=⎣⎦1210011118S S S ⎡⎤∴+++=⎢⎥⎣⎦ 3-21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()()03e 1;x f x b a x =⇔+=-310,e x b x a a +-≠∴= ()()12,e ex x x x g x g x --=='()g x ∴()1,2-↓()2,3↑作出的图像，可知：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）解：（1）由减区间为（2），或.16.（本题满分15分）解：（1）设的公差为，又（2），两式相减，得：17.（本题满分15分）()g x 2132e e b a+-≤≤()23π3cos cos sin sin 222f x x x x x x x ⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭()311π1cos21cos2sin 21,2226x x x x x ⎫⎛⎫=--=--=--+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭πππππ2π22πππ,26263k x k k x k -+≤-≤+⇒-+≤≤+()f x ∴()*πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦N ()ππ0sin 21,,63f A A A ⎛⎫=⇒-== ⎪⎝⎭6,ABC S AB AC =⇒⋅= 227,BC AB AC AB AC =⇒+-⋅=2,3AB AC ∴==3,2,AB AC ==⋅{}n a ()()()221520,,21321(212)6d d a a a d d d d ≠=∴-+=-⇒= ()14133,16 3.n a a d a a n d n ∴=-==+-=-()1143141,n n n n b b b b ++=-⇒-=-111215,14,b a b =-=-=()*1441n n n n b b n ∴-=⇒=+∈N 6314n nn a n b -=-2323411633915631391563;;4444444444nn n n n n k n n n T T +=---==++++∴=++++∑2341336666635165;4444444334n n n n n n n T T +-+=+++++-⇒=-⋅解：（1）被调查的学生中男生有140人，女生有160人.男生中喜欢去乙食堂的有80人，喜欢去甲食堂的有60人..被调查的学生中喜欢去甲食堂的有160人.调查的是男生调查的是女生合计喜欢去甲食堂60100160喜欢去乙食堂8060140合计140160300零假设：假设学生喜欢去哪个食堂与性别无关.，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生喜欢去哪个食堂与性别有关.此推断犯错误的概率不大0.001.（2）根据男女生人数之比可知，被抽取的15人中男生7人，女生8人.，，X 的分布列为：X 0123p，18.（本题满分17分）解（1）定义域为；..当时，恒成立，；()77,300140,1515P N =⨯=∴44(),14080,77P M N =⨯=∴∣533()(),60160,888P N M P N M =⇒=÷=∴∣∣0H 220.001(606010080)30011.5810.828160140160140χχ⨯-⨯⨯=≈>=⨯⨯⨯0.001α=0H 0,1,2,3X =()()()()615243712312312312777715151515C C C C C C C 8282450,1,2,3C 65C 65C 65C 65P X P X P X P X ============86528652465113()82824570123656565655E X =⨯+⨯+⨯+⨯=()0,∞+()()22211,Δ4,f x x ax a x=-+=-⋅'0122a -≤≤2Δ0,10x ax ≤-+≥()()0,f x f x ≥↑'.当时，有两根，但两根均为负数，当时，.当时，有两正根，当时，；当时，；当时；综上所述：.当时，增区间为；.当时，增区间为和；减区间为.（2），令，则在，若，则，与题意相符；若，则，所以必存在，使得当时，，从而使得当时，，与题意相矛盾；综上：.（3）证明：由（2）知，当时，（仅当时取等号），，令；，得证.19.（本题满分17分）解：（1）（2）022a<-2Δ0,10x ax >-+=()0,x ∞∈+()()0,;f x f x '≥↑32a >2Δ0,10x ax>-+=1x =2x =()10,x x ∈()()0,f x f x >↑'()12,x x x ∈()()0,f x f x <↓'()2,x x ∞∈+()(),0,f x f x >'↑012a ≤()f x ()0,∞+022a >()f x ⎛ ⎝∞⎫+⎪⎪⎭()11f x x a x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭'()1g x x a x =+-()()()22110,g x x g x x =-≥∴'[)()1,,12g a ∞+↑=-2a ≤()()()()()()10,0,,10g x g f x f x f x f ≥≥≥↑≥='2a >()120g a =-<01x >()01,x x ∈()()()0,0,g x f x f x <'<↓()01,x x ∈()()10f x f <=2a ≤1x ≥()12ln 0f x x x x=--≥1x =12ln x x x∴-≥x =11ln ln n n n n ++>=⇒>()2341ln ln ln ln ln 1123n n n +>+++=+ ()111513;11118x x P x x x x x x ==⋅+⋅=⇒=++++()()()()()()()11111010111212n n n n n n n n n n P x P x P x x P x P x x P x P x x ++++===⋅==+=⋅==+=⋅==∣∣∣，又，.（3），令，则而，..得证.()()()()()()11331111510120122244442282n n n n n n P x P x P x P x P x P x ⎛⎫==⋅+=⋅⨯+⨯+=⋅==+=+= ⎪⎝⎭()()()0121n n n P x P x P x =+=+==()()()()()()11151141411111,11,2882787n n n n n n P x P x P x P x P x P x ++⎡⎤⎡⎤∴==-=+===+⇒=-==-⎣⎦⎢⎥⎣⎦()()()114543431314311,11;78756756878778n n nn n P x P x P x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=∴=-=⨯=⨯⇒==+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()()()1112020121n n n n n n n P x P x P x x P x P x x +++===⋅==+=⋅==∣∣()()1222n n n P x P x x ++=⋅==∣()()()1311913122162214828n n n n P x P x P x +⎛⎫==+===++ ⎪⎝⎭()()()()111131391339228248214214148141414n n n n n n n P x P x P x P x ++++⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⇒=-==-+⇒=-=⨯=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦()38214n n n a P x ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦1193344,141414n n n n a a a a ++⎛⎫=+⇒+=+ ⎪⎝⎭()113333338280141414161414a P x ⎡⎤⎡⎤+==-+=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()3333310820214141414148n n n n n a P x P x ⎡⎤∴+=⇒=-+=⇒==-⨯⎢⎥⎣⎦()()()()43133100112212177814148n n n n n n E X P x P x P x ⎡⎤⎡⎤=⨯=+⨯=+⨯==⨯+⨯+⨯-⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
2024届湖南省新高考教学教研联盟高三第一次联考数学试题及答案
2024届新高考教学教研联盟高三第一次联考数学试卷注意专项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如简改动，用橡皮擦干静后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设复数1i z =+，则复数1z z+（其中z 表示z 的共轭复数）表示的点在（ ）上A ．x 轴B ．y 轴C ．y x=-D ．y x=2．已知角α和β，则“αβ=”是“tan tan αβ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3，侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的体积为（ ）A ．12πB ．9πC ．3πD 4．已知双曲线()222106x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（）A B ．2C D ．5．一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩不相邻的站法种数是（ ）A ．6B ．12C ．18D ．366．已知递增的等比数列{}n a ，10a >，公比为q ，且1a ，3a ，4a 成等差数列，则q 的值为（）A B C D7．已知平面内的三个单位向量a ，b ，c ，且12a b ⋅= ，a c ⋅= ，则b c ⋅= （）A ．0B ．12CD08．设方程22log 1xx ⋅=的两根为1x ，()212x x x <，则（ ）A ．101x <<，22x >B ．121x x >C ．1201x x <<D ．123x x +>二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．下列说法正确的是（）A ．若事件A 和事件B 互斥，()()()P AB P A P B =B ．数据4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位数为8C ．若随机变量ξ服从()217,N σ，()17180.4P ξ<≤=，则()180.1P ξ>=D ．已知y 关于x 的回归直线方程为0.307ˆ.yx =-，则样本点()2,3-的残差为 1.9-10．设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（）A ．()()f x g x 是奇函数B ．()()f x g x 是偶函数C ．若()()321g x f x x x -=++，则()()111f g +=D ．若函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减且()11f =-，则满足()121f x -≤-≤的x 的取值范围是[]1,311．已知体积为2的四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是菱形，2AB =，3PA =，则下列说法正确的是（）A ．若PA ⊥平面ABCD ，则BAD ∠为π6B ．过点P 作PO ⊥平面ABCD ，若AO BD ⊥，则BD PC⊥C ．PA 与底面ABCD 所成角的最小值为6πD ．若点P 仅在平面ABCD 的一侧，且AB AD ⊥，则P 点轨迹长度为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．已知关于x 的不等式10ax ->的解集为M ，2M ∈且1M ∉，则实数a 的取值范围是______．13．已知抛物线22y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，则弦AB 的最大值为______．14．已知()1cos 3αβ+=-，cos cos 1αβ+=，则coscos 22αβαβ-+=______，()sin sin sin αβαβ+=+______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）在如图所示的ABC △sin 0B -=．（1）求B ∠的大小；（2）直线BC 绕点C 顺时针旋转π6与AB 的延长线交于点D ，若ABC △为锐角三角形，2AB =，求CD 长度的取值范围．16．（本小题满分15分）已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的右顶点为A ，左焦点为F ，椭圆W 上的点到F 的最大距离是短半轴长倍，且椭圆W 过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭．记坐标原点为O ，圆E 过O 、A 两点且与直线6x =相交于两个不同的点P ，Q （P ，Q 在第一象限，且P 在Q 的上方），PQ OA =，直线QA 与椭圆W 相交于另一个点B ．（1）求椭圆W 的方程；（2）求QOB △的面积．17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，4AB =，2CD =，2BC =，3PC PD ==，平面PCD ⊥平面ABCD ，PD BC ⊥．（1）证明：BC ⊥平面PCD ；（2）若点Q 是线段PC 的中点，M 是直线AQ 上的一点，N 是直线PD 上的一点，是否存在点M ，N 使得MN =请说明理由．18．（本小题满分17分）已知函数()ln f x x x =的导数为()f x '．（1）若()1f x kx ≥-恒成立，求实数k 的取值范围；（2）函数()f x 的图象上是否存在三个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y （其中123x x x <<且1x ，2x ，3x 成等比数列），使直线AC 的斜率等于()2f x '?请说明理由．19．（本小题满分17分）2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍．相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit ）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的．现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立．现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有p 的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X ．（1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且13p =，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；（2）若一条信息有()*1,n n n >∈N种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为1p ，2p ，…，n p ，则称()()()12n H f p f p f p =++⋅⋅⋅+（其中()2log f x x x =-）为这条信息的信息熵．试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X 的信息熵H ；（3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y （1Y =，2，3，⋯，n ，⋯）．证明：当n 无限增大时，Y 的数学期望趋近于一个常数．参考公式：01q <<时，lim 0nn q →+∞=，lim 0nn nq →+∞=．2024届新高考教学教研联盟高三第一次联考数学参考答案题号1234567891011答案CDCABADCBCDACDBCD一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1．C 【解析】11331i i 1i 22z z +=+-=-+，所以对应的点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线y x =-上．2．D 【解析】当2παβ==时，tan α，tan β没有意义，所以由αβ=推不出tan tan αβ=，当tan tan αβ=时，()πk k αβ=+∈Z ，所以由tantan αβ=推不出αβ=，故“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件．3．C 【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线为l，由于圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则2ππr l =，所以2l r =，所以圆锥的高h ==，圆锥的体积为2211ππ3π33V r h ==⨯⨯⨯=．4．A 【解析】因为双曲线()222106x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π6，πtan 6=，所以该渐近线的方程为y =，所以226b=，解得b =或（舍去），所以c =，此双曲线的右焦点坐标为()，30y -=．5．B 【解析】3232A A 12=．6．A 【解析】由题意知1432a a a +=，即321112a a q a q +=，又数列{}n a 递增，10a >，所以1q >，且3212q q +=，解得q =．7．D 【解析】如图，a OA = ，c OC = ，b OB = （或b OD =），由a c ⋅= 得cos COA ∠=，又[]0,πCOA ∠∈，所以π6COA ∠=，由12a b ⋅= 得1cos 2BOA ∠=，又[]0,πBOA ∠∈，所以π3BOA ∠=，（或1cos 2DOA ∠=，又[]0,πDOA ∠∈，所以π3DOA ∠=）所以b ，c 夹角为π6或π2，所以b c ⋅= 0．8．C 【解析】由题意得，120x x <<，由22log 1xx ⋅=得21log 02xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，令()()21log 02xf x x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则()1102f =-<，()1321044f =-=>，1102f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，由()1102f f ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，()()120f f ⋅<得11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21,2x ∈，故A 错；由21222111log log 022xxx x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得21222111log log 22xxx x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21,2x ∈得21222111log log 022x xx x ⎛⎫⎛⎫+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1201x x <<，故C 对，B 错，由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21,2x ∈，所以123x x +<，D 错误．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）9．BCD 【解析】对于A ，若事件A 和事件B 互斥，()0P AB =，未必有()()()P AB P A P B =，A 错；对于B ，对数据从小到大重新排序，即：2，4，5，6，7，8，10，12，共8个数字，由870% 5.6⨯=，得这组数据的第70百分位数为第6个数8，B 正确；对于C ，因为变量ξ服从()217,N σ，且()17180.4P ξ<≤=，则()()()181717180.50.40.1P P P ξξξ>=>-<≤=-=，故C 正确；对于D ，由0.307ˆ.yx =-，得样本点()2,3-的残差为()30.30.72 1.9---⨯=-，故D 正确；故选BCD ．10．ACD 【解析】令()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()f x f x -=-，()()g x g x -=，所以()()()()F x f x g x F x -=-=-，所以()()()F x f x g x =是奇函数，A 正确；同样，令()()()F x f x g x =，则()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=--=-=-，所以()F x 是奇函数，B 错误；令1x =-代入()()321g x f x x x -=++，则()()()()32111111g f ---=-+-+=，又()()11g g -=，()()11f f -=-，所以()()111g f +=，C 正确；因为()f x 为奇函数，又()11f =-，所以()11f -=，由于()f x 在(),-∞+∞上单调递减，要使()121f x -≤-≤成立，则121x -≤-≤，所以13x ≤≤，D 正确．11．BCD 【解析】114sin sin 2333P ABCD NBCD V S h AB AD BAD h h BAD -=⋅=⋅∠⋅=∠=，则当PA ⊥平面ABCD 时，3h PA ==，则1sin 2BAD ∠=，即BAD ∠为π6或5π6，A 错误；如图1，若PO ⊥平面ABCD ，则PO BD ⊥，又AO BD ⊥，则BD ⊥平面PAO ，有BD PA ⊥，又BD AC ⊥，所以BD ⊥平面PAC ，BD PC ⊥，B 正确；设PA 与底面ABCD 所成角为θ，又11sin 233P ABCD ABCD ABCD V S h S PA θ-===，则2sin ABCDS θ=，因为4sin 4ABCD S BAD =∠≤，则1sin 2θ≥，则PA 与底面ABCD 所成角的最小值为π6，C 正确；如图2，当AB AD ⊥，根据123P ABCD ABCD V S h -==，得32h =，即P 点到底面ABCD 的距离为32，过A点作底面ABCD 的垂线为l ，过点P 作PO l ⊥交l 于点O ，则PO ===，点P 的轨迹是以O 为半径的圆，轨迹长度为，D 正确．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．1,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2M ∈且1M ∈，所以210,10,a a ->⎧⎨-≤⎩所以112a <≤．13．5 【解析】方法一：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为2x =，代入22y x =得2y =或2y =-，所以4AB =；当直线AB 的斜率存在时，显然不为零，设直线AB 的方程为y kx b =+，代入22y x =消y 并整理得()222220k x kb x b +-+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，判别式480kb ∆=->时有122212222,,kb x x k b x x k -⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为弦AB 的中点的横坐标为2，所以2224kb k--=，所以212kb k =-，1AB x =-==，所以2211145AB k k ⎛⎫⎛⎫=≤++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当221114k k+=-即223k =时取到等号，故弦AB 的最大值为5．方法二：设抛物线的焦点为F ，则AB AF BF ≤+，又121211122AF BF x x x x +=+++=++，当弦AB 的中点的横坐标为2时，有124x x +=，所以5AB ≤，当直线过焦点F 时取到等号，故弦AB 的最大值为5．14．1223（任意填对一空给3分）【解析】由()1cos 3αβ+=-得212cos123αβ+-=-，则21cos 23αβ+=，由cos cos 1αβ+=得2coscos 122αβαβ-+=，则1cos cos 222αβαβ-+=，所以3cos cos 222αβαβ-+=，()2sin cos cos sin 2222sin sin 32sin cos cos 222αβαβαβαβαβαβαβαβ++++===+--+．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．【解析】（1sin 0B -=sin B =，两边同时平方可得：2cos 1sin 2B B +=，由22sin cos 1B B +=整理得22cos cos 10B B +-=，解得1cos 2B =或cos 1B =-，又()0,πB ∈，则π3B =．sin 0B -=2sin cos 022B B=，得cos02B=或1sin 22B =，又()0,πB ∈，则π26B =，π3B =．（2）由（1）得π3ABC ∠=，则2π3CBD ∠=，由题可知π6BCD ∠=，则π6D ∠=，设BC a =，则BD BC a ==，由余弦定理有2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠，所以CD =，由正弦定理有sin sin BC ABA ACB=∠，所以2sin 2sin 31sin sin ACB A a ACB ACB π⎛⎫+∠ ⎪⎝⎭====+∠∠，因为ABC △为锐角三角形，则π0,2π0,2ACB A ⎧<∠<⎪⎪⎨⎪<∠<⎪⎩得ππ62ACB <∠<，所以tan ACB ⎫∠∈+∞⎪⎭，则(1tan ACB ∈∠，所以3tan CD ACB==∠，即CD的取值范围为．16．【解析】（1）依题有a c +=，又222a b c =+，所以2,a cb =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆W 的方程为2222143x y c c+=，又点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆W 上，所以221191434c c +⨯=，解得1c =，所以椭圆W 的方程为22143x y +=．（2）设()6,P P y ，()6,Q Q y ，0P Q y y >>，()0,0O ，()2,0A ，因为PQ OA =，所以2P Q y y -=，①圆E 过点O 与A 且与直线6x =相交于两个不同的点P ，Q ，则圆心E 的坐标为1,2P Q y y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，又EO EP =，所以=解得24P Q y y =，②（另法一：设直线6x =与x 轴交于点G ，则有GA GO GQ GP =，又4GA =，6GO =，所以24P Q y y =，②另法二：由OA PQ =知，612P Qy y +=-，10P Q y y +=，②）由①②解得6P y =，4Q y =，所以()6,4Q ，40162M k -==-，所以直线QA 的方程为2y x =-，与椭圆方程联立消去y 得271640x x -+=，解得B 点的横坐标27B x =，所以267B QB x =-=⨯-=，又O 到直线QA 的距离d ==所以QOB △的面积1140227S QB d =⋅==．17．【解析】（1）如图，取CD 的中点O ，因为3PC PD ==，则PO CD ⊥，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PO ⊂平面PCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以PO BC ⊥，又BC PD ⊥，PO ⊂平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，PD PO P = ，所以BC ⊥平面PCD ．（2）因为3PC PD ==，O 为CD 的中点，1OC =，所以PO ==，过点O 作OE BC ∥交AB 于点E ，则由BC ⊥平面PCD 可得BC CD ⊥，则以O 为原点，OE ，OC ，OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0O ，()2,3,0A -，10,2Q ⎛⎝，()0,1,0D -，(P ，所以72,2AQ ⎛=- ⎝，(DP = ，()2,2,0AD =- ，设与AQ ，DP 都重直的向量为(),,n x y z =，则720,20,n AQ x y n DP y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩得3,2,x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令4y =，则(6,4,n = ，设直线AQ 与直线DP 的距离为d，则cos,AD nd AD AD nn⋅=⋅===>，则不存在点M和N使得MN=18．【解析】（1）()1f x kx≥-恒成立即ln1x x kx≥-恒成立，又0x>，所以1ln x kx+≥恒成立，今()()1ln0g x x xx=+>，所以()22111xg xx x x='-=-，当01x<<时，()0g x'<，函数()g x单调递减，当1x>时，()0g x'>，函数()g x单调递增，所以当1x=时，()g x取到极小值也是最小值，且()11g=，所以1k≤，故实数k的取值范围为(],1-∞．（2）1x，2x，3x成等比数列且123x x x<<，设公比为()1q q>，则21x qx=，231x q x=，()lnf x x x=求导得()1lnf x x='+，所以()2211ln1ln lnf x x q x=+=++'，直线AC的斜率为()21131231ln2ln ln1q x q xy yx x q+--==--，若存在不同的三点A，B，C，使直线AC的斜率等于()2f x'，则有()21112ln2ln ln1ln ln1q x q xq xq+-=++-，整理成221ln01qqq--=+．令()()221ln11xh x x xx-=->+，则()()()()22222211411xxh xx x x x-=-=+'≥+，所以()221ln1xh x xx-=-+在1x>时单调递增，而()10h=，故方程221ln01qqq--=+在1q>时无实数解，所以不存在不同的三点A ，B ，C ，使直线AC 的斜率等于()2f x '．19．【解析】（1）设i A =“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为i 个”，0i =，1，2，B =“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2个”，则()()2021124P A P A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()221211C 22P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()019P B A =∣，()129P B A =∣，()249P B A =∣，则()()()2011121414929494i i i P B P A P BA ===⨯+⨯+⨯=∑∣，故()()()()()()222214449194P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====∣∣．（2）由题知0X =，1，2，由（1）知()()()2211112114244P X p p p p ==+-+-=，同理可得()()()()21212211111C 11C 14242P X p p p p p p ⎡⎤==-++-+-=⎣⎦，则()()()101124P X P X P X ==-=-==，故X 的信息熵22111111132log log 42444222H f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭．（3）由题知()()11n P Y n p p -==-，其中1n =，2，3，…，则()()()01111211n EY p p p p n p p -=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-+⋅⋅⋅，又()()111111n n i i i i i p p p i p --==⋅-=⋅-∑∑，则()()()()10111111211n i n i i p p p n p --=⋅-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-∑，①()()()()()11211111211n i n i p i p p p n p -=-⋅⋅-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-∑，②-①②得：()()()()()1011111111n i n ni p i p p p p n p --=⋅-=-+-+⋅⋅⋅+---∑()()()()111111n n n n p p n p n p p p p---=--=---，由题知，当n 无限增大时，()1n p -趋近于零，()1n n p -趋近于零，则EY 趋近于1p ．所以当n 无限增大时，Y 的数学期望䞨近于一个常数．。
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知识改变命运
高三数学选择填空题8
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．ziz则,215=
（ ）
A．i31035 B．i31035 C．1－2i D．1+2i
2．函数)4(sin)4(cos22xxy
（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期2的奇函数 D．周期为2的偶函数
3．设)2tan(,21)tan(),2(53sin则的值等于
（ ）
A．－724 B．－247 C．724 D．247
4．正方形ABCD，沿对角线BD折成直二面角后不会成立的结论是
（ ）
A．AC⊥BD B．△ADC为等边三角形
C．AB、CD所成角为60° D．AB与平面BCD所成角为60°
5．已知向量)()53(,2||,3||,60,bambababa若夹角为，则m的值为
（ ）
A．2332 B．4223 C．4229 D．2942
6．函数)1(11)(xxxf的最大值是
（ ）
A．54 B．45 C．43 D．34
7．关于直线a,b,c以及平面M，N，给出下面命题：
①若a//M，b//M, 则a//b ②若a//M, b⊥M，则b⊥a ③若aM，bM,且c⊥a，
c⊥b,则c⊥M ④若a⊥M, a//N，则M⊥N，其中正确命题的个数为
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．用四种不同颜色给正方体ABCD—A1B1C1D1的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同颜色，
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知识改变命运
则共有涂色方法
（ ）
A．24种 B．72种 C．96种 D．48种
9． 已知a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8 各项都大于零的数列，命题①a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8不
是等比数列；命题②：a1+a8
A．充分且必要条件 B．充分但不必要条件
C．必要但不充分条件 D．既不充分也不必要条件
10．袋中有编号为1，2，3，4，5的五只小球，从中任取3只球，以ξ表示取出的球的最大
号码，则E（ξ）的值是
（ ）
A．5 B．4.75 C．4.5 D．4
11．点P的曲线323xxy上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ）
A．]2,0[ B．
),43[)2,0[
C．),43[ D．]43,2(
12．直线3x+4y－12=0与椭圆C：191622yx相交于A、B两点，C上点P，使得△PAB
的面积等于3，这样的点P共有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
13．若不等式|ax+2|<6的解集为（－1，2），则实数a等于
14．把直线133xy绕点（1，1）顺时针旋转，使它与圆x2+y2－2x=0相切，则直
线转动的最小正角是
15．已知9)222(x的展开式的第7项为421，
)(lim32nnxxxx
则
的值为
16．对于定义在R上的函数f(x)，有下述命题：
①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A（1，0）对称
②若对x∈R，有f(x+1)= f(x－1)，则f(x)的图象关于直线x=1对称
③若函数f(x－1)的图象关于直线x=1对称，则f(x)为偶函数
④函数f(1+x)与函数f(1－x)的图象关于直线x=1对称
其中正确命题的序号为
1．D 2．A 3．D 4．D 5．C 6．D 7．C 8．C 9．B 10．C 11．B 12．B
13．－4 14．3 15．41 16．①③