锁 具 装 箱-论文点评2

1 锁 具 装 箱2 （94—CMCM—B）

某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从1，2，3，4，5，6这六个数中任取一数（单位略）。由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度还有两个限制：至少有3个不同的数；相邻两槽的高度之差不能为5。满足以上条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批。 从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中“一把钥匙开一把锁”。但是在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有以下试验结果：若两者相对应的5个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差为1，则可能互开；在其它情形下，不可能互开。 原来，销售部门在一批锁具中随意地取60个装一箱出售。团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们抱怨购得的锁具会出现互开的情形。现聘你为顾问，回答并解决以下的问题： 1）每一批锁具有多少个，装多少箱。 2）为销售部门提出一种方案，包括如何装箱（仍是60个锁具一箱），如何给箱子以标志，出售时如何利用这些标志，使团体顾客不再或减少抱怨。 3）采取你提出的方案，团体顾客的购买量不超过多少箱，就可以保证一定不会出现互开的情形。 4）按照原来的装箱办法，如何定量的衡量团体顾客抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。

论文一（电子科大） 一、问题的重述与分析 每个锁具的钥匙有5个槽，令ih为第i个槽的高度（)5,4,3,2,1i.用

),,,,(54321hhhhh记一个锁具，则一批锁具应满足如下条件： 条件1 6,5,4,3,2,1ih 条件2 54321,,,,hhhhh中至少有三个数不相同 条件3 5,4,3,2,41ihhii 2

满足以下条件的两个锁具),,,,(54321hhhhh与)',',',','(54321hhhhh可以互开，并把这两个锁具称为一个互开对： 1)'(251iiihh （*） 原销售方案为：从一批锁具中随机地取60个装一箱。 我们所关心的问题是：每一批锁具共有多少个，如何衡量随机装箱造成的团体顾客的抱怨程度以及采取何种方案装箱来尽量避免团体顾客的抱怨。

二、模型假设 1、钥匙的每个槽的高度在生产过程中能够严格控制。 2、满足条件（*）的两个锁具一定能够互开。

三、模型建立与求解 1、确定一批锁具的总数

(1) 所有可能排列为 777665 种 (2) 受条件2和条件3的约束，要排除一部分排列方式，称为除去集D. (3) 令 54321543211),,,,(hhhhhhhhhhD 由两个不同数组成54321543212,,,,),,,,(hhhhhhhhhhD

相邻与由三个不同数组成，且61,,,,),,,,(54321543213hhhhhhhhhhD

相邻与由四个不同数组成，且61,,,,),,,,(54321543214hhhhhhhhhhD

相邻与由五个不同数组成，且61,,,,),,,,(54321543215hhhhhhhhhhD

显然， iDD， 且 )(jiDDji 可以计算得出：192792456450654321DDDDD 所以，一批锁具的总数为 7776-（6+450+456+792+192）=5880 个 装箱总数为 5880/60=98 箱 例如

4562)9()9()2()22()22(450)22(14141325`41325142325142514351435262CCCCCCCCCCCCCCCDCD 3

2、装箱方案 设槽高之和为H，则),,,,(54321hhhhh与)',',',','(54321hhhhh是互开对

1'HH 设),,,,(54321hhhhh是一个锁具，则)7,7,7,7,7(54321hhhhh也是一个锁具，并且ih与)7(ih奇偶性恰好相反，称为对偶锁具，故所有锁具分为两部分：奇类与偶类，且数量相等，各占一半。 分奇、偶类分别装箱，一批锁具中奇偶各装49箱，作上标记，则只要团体顾客购买不超过49箱，就可以保证不会出现互开现象。

3、方案最优性的证明 用计算机对互开对数进行穷举计算得到在一批锁具中互开对总数为22778对。

用顶点表示锁具，用边表示两个锁具为互开对，得到图),(0EVG，其中

227785880EV，记 1V=奇类锁具，2V=偶类锁具，则0G是一个二分图，

记作),,(210EVVG. 要证明49箱是最优结果，等价于证明图0G的最大点无关集含2990点，或等价于证明图0G存在完美匹配。 引理1 二分图),,(21EVVG含有覆盖1V的每个顶点的匹配的充要条件是对任意10VV有 00)(VVNG （1） 定理 二分图),,(210EVVG的21,VV是它的两个最大点无关集。 [证] 由奇类锁具与偶类锁具的对称性可知),,(210EVVG满足（1），即0G中含有覆盖1V中每个顶点的匹配M，显然M也覆盖了2V中的每个顶点，于是M是完美匹配，亦即0G的最大点无关集包含点数不可能超过2980，所以我们的销售方案是最优的。

[评注] 证明有误，例如右图： 结论是正确的，已有计算机搜索结果证明，但尚未见到 理论证明。 4

4、定量分析顾客抱怨互开的程度 （1）对于随机装箱的方案 互开对总数为22778m对，平均每个锁具与其它锁具能组成的互开对数为

75.72940mE对。

随机装箱时，某一个指定的锁具与箱中的其余59个组成互开对的平均数为 078.05879591EE（个）

一箱中平均互开对数为

33.2260)(11EmE（对） 同理可知：k箱锁具中，能与某一个指定锁具互开的锁具个数平均为 EkEk5879

160（个）

平均含有的互开对数为

)160(98587922778260)(kkEkmEkk

显然，kE或)(kmE越大，顾客抱怨程度越大。 k 1 2 49 )(kmE kE 2.33 9.41 5693.5

0.078 0.157 3.87

（2）对于奇偶分类装箱的方案 当购买量不超过49箱时，不会抱怨。 当购买量超过49箱时，先从奇类中取出49箱，再从偶类中任取出49k箱出售，平均互开对数为

494922778)49(60294022778)('kkmEk（对）

故奇偶分类装箱后团体顾客的抱怨程度减少了。 [注] 模型评价： 1、分析出色，结构完整、严谨，较圆满地解决问题。 2、最优性证明有误，但问题转化为图论问题已构成亮点。 3、销售方案普通，不大符合实际。 4、抱怨程度的分析不够深入。 5

论文二（兰州铁道学院） 较实际的一种销售方案：序贯销售。 装箱分奇偶两类，按槽高H的大小排序，则有下图

为提高团体顾客最大可购买箱数，再考虑按槽高H的大小及字典序从小到大装箱。 8H： （11123）（11132）（11213）（11231）（11321）（12113）…… 9H： （11124）（11142）（11214）（11223）…… 计算两个可互开锁具之间的最小距离，结论是：最近的两个可互开锁具须满

足： 1)(1)(1jihh （2） 可以根据（2）用计算机搜索各个锁具的最小距离，再对所有最小距离求极小值，得到计算结果为：2562. 2563/60=42.7 故序贯销售时团体顾客最大购买量为42箱时不会出现互开现象。

论文三（合肥工大） 顾客的抱怨程度一方面取决于购买的总数量，另一方面取决于检验的结果，并且从心理学的角度考虑，顾客更偏重于检验结果。 检验方法：从购买的T箱中取出t箱，再从这t箱中每箱各取m把，对取出的tm把锁具作完全互开试验。 定义抱怨函数为：

nKneTKTC21),(

其中，1K： 表示购买箱数在整个抱怨程度中所占的比重； 6

2K： 表示检验结果在整个抱怨程度中所占的比重； n： 顾客检验到有n次互开的比率

%1002mtnCn 对购买一箱，10m的情形进行具体分析， %100210Cnn 用计算机进行1000次模拟检验，结果为 互开次数n 0 1 2 3 4 5 6 7

概率nP（%） 13.7 26.9 28.6 17.9 8.7 2.9 0.9 0

为确定参数21,KK，认为： ① 如果212TT， )2()1(nn， 则 (1)(2)122(,)(,)nnCTCT ② 当互开率达到2156210C时，抱怨达到极值，设为100. 由①11K， 由②100ln2152K 所以， 100ln2151),(neTTCn 购买一、二箱的平均互开率为（每箱抽样10把）： 04.0611nnnP 01.0612nnnP 故购买一、二箱的平均抱怨程度分别为： 98.3),1(1C 71.0),1(2C 即购买一箱的团体顾客抱怨程度更大。

论文4（中国科大） 抱怨程度与互开的锁具对数x，能够被其它锁具打开的锁具个数y以及必须