24.2.4切线长定理(用)

1 l· r 2
D
F O
·
C
B 1 1 1 ＝ 2 AB· OD＋ 2 BC· OE＋ 2 AC· OF
＝
E
设△ABC的三边为a、b、c，面积为S， 2S 则△ABC的内切圆的半径 r＝ a＋ b＋ c
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝3,AC＝4, ⊙O为 Rt△ABC的内切圆. （1）求Rt△ABC的内切圆的半径 . （2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、 BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围。
D C O F
变式
x＋r＝4 y＋r＝3 x＋ y ＝ 5
·
B
解得 r＝1
E
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝ a,AC＝b, AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求： Rt△ABC的内切圆的半径 r. 解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F， 连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。 A ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD 设AD= x , BE= y ,CE＝ r 则有
设AD= x , BE= y ,CE＝ r x＋r＝4 则有 y＋r＝3 解得 r＝1 ∴ Rt△ABC的内切圆的 半径为1。 x＋ y＝ 5
（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、 AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC A 为正方形。
∴OB＝BC＝3 ∴半径r的取值范围为0＜r≤3
P
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又 能得出什么新的结论?并给出证明.
CA=CB
B
C
。
P
O
A 证明：∵OP垂直平分AB，点C在OP上 ∴AC=BC
B
小
结：
E
1.切线长定理 从 圆外一点引圆的两 条切线，它们的切 线长相等，圆心和 这一点的连线平分 两条切线的夹角。
O
。
C D
P
A ∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB OP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等，角 相等，弧相等，垂直关系提供了理论 依据。必须掌握并能灵活应用。
D O ·
几何问题代数化是 解决几何问题的一 种重要方法。
C
B
基础题：
1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是正方形 ______. 2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm, 22cm 则此三角形的周长是_______. 3.⊙O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切⊙O 2cm 于P点，交AB、BC于E、F，则△BEF的周长是_____.
从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分 A 两条切线的夹角。
1
切线长定理
O 几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
2
P
B PA = PB ∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提供新的方法
探究：PA、PB是⊙O的两条切
线，A、B为切点，直线OP交于 E ⊙O于点D、E，交AB于C。 （1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有相等的线段 O
B
想一想
A
反思：在解决有关圆的 切线长问题时，往往需 要我们构建基本图形。
O
。
P B
（1）分别连结圆心和切点
（2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点
试一试
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得 B 出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分ABO NhomakorabeaM
P
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB 又∵OA=OB ∴OP垂直平分AB
D
O
B
F
E
C
思考
三角形的内切圆的有关计算
如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l, 求△ABC的面积S. A
解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连结OA、OB、OC、OD、OE、OF， 则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC
CE=9(cm).
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝ 3,AC＝4, AB＝5,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求： Rt△ABC的内切圆的半径 r. 解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F， 连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。 A ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD 设AD= x , BE= y ,CE＝ r 则有
新课学习
切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切 点的半径
几何应用:
.
O
∵L是⊙O的切线 ， ∴OA⊥L
L A
切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线. 1.经过半径的外端； 2.与半径垂直． OA是⊙O的半径 几何应用: OA⊥l于A
.
O
L
A
l是⊙O的切线.
过圆外一点可以引圆的几条切线？
证一证
请证明你所发现的结论。 PA = PB
∠OPA=∠OPB
O B P
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
解：（1）设Rt△ABC的内切圆与三边相
切于D、E、F，连结OD、OE、OF则 OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。 在Rt△ABC中，BC＝3,AC＝4, ∴AB＝5 ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
A
F D O
·
B
C E 由已知可得四边形ODCE为正方形，∴CD＝CE＝OD
例1、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点， ∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长．
A
O B
P
试一试：已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB 为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。∠C＝ 50， ①求∠APB的度数 ②求证：AC∥OP。 A C O B
A D
1
P
E
2 3 4
·O
C
B
思考：当切点F在弧AB上运动时，问△PED的周 长、∠DOE的度数是否发生变化，请说明理由。
A F
D
O
P E
B
思考：如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
C E D F · O D A O B
C
E
A
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
例题1
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是 A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交 PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的 周长。 易证EQ=EA, FQ=FB, PA=PB
E Q P
A O B F
∴ PE+EQ=PA=12cm
A
O。
P
B
尺规作图：
过⊙O外一点作⊙O的切线
A
O O ·
P
B
比一比
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线 段的长叫做这点到圆的切线长。
A M
O
· B P
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联 系呢？ 切线:直线。切线长：线段。
A
1 2
O B
P
思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B 为切点，把圆沿着直线OP对折,你能 发现什么?
点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长.
解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD
设AF=x(cm), BD=y(cm),CE＝z(cm) 则有 x＋ y＝ 9 y＋z＝14 x＋z＝13 x＝ 4 解得 y＝5 z＝9
∴ AF=4(cm), BD=5(cm),
D O F
变式
x＋r＝b y＋r＝a x＋ y ＝ c
·
B
解得 r＝
a＋ b－ c C
2
E
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的
内切圆的半径 r＝
a＋ b－ c
2
或r＝ a＋b＋c
ab
练习.如图，△ABC中,∠C =90º,它的 内切圆O分别与边AB、BC、CA相切 于点D、E、F，且BD=12，AD=8， 求⊙O的半径r. A
G E
F H
下课了!
例2、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和 圆⊙O分别相切于点L、M、N、P， C 求证： AD+BC=AB+CD N 证明：由切线长定理得 ∴AL=AP，LB=MB,NC=MCD ， M DN=DP O ∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP P 即 AB+CD=AD+BC B A L
PF+FQ=PB=PA=12cm
∴周长为24cm
例2、如图，过半径为6cm的⊙O外一点P作圆的 切线PA、PB，连结PO交⊙O于F，过F作⊙O切 线分别交PA、PB于D、E，如果PO＝10cm， 求 △PED的周长。 A
F E D P
O
B
变式：如图所示PA、PB分别切 圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于 C、D，已知PA=7cm， (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数