27.2.3切线长定理
切线及切线长定理(解析版)
切线及切线长定理（解析版）【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1.切线的定义：直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.此时直线与圆的位置关系称为相切.2．直线和圆的三种位置关系：(1)相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．这条直线叫做圆的割线.(2)相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．(3)相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．3．直线与圆的位置关系的判定和性质．一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线l 的距离为 d，那么，（1）d＜r直线l 与⊙O相交；直线l 与⊙O相切；直线l 与⊙O相离.要点二、切线的性质和判定定理1．切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.要点诠释：切线的性质中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直.2．切线判定：过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：（1）切线的判定中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.（2）切线证明的两种基本类型：①有交点，连半径，证垂直；②无交点，做垂直，证半径。
要点三、切线长定理1．切线长：经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.【同步训练】类型一、切线的判定与性质1如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交 BC 于D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D．求证：AC 是⊙D 的切线．【答案与解析】证明：过点 D 作DF⊥AC 于 F．∵∠B＝90°，∴ DB⊥AB．∵ AD 平分∠BAC，∴ DF＝BD．∴ AC 与⊙D 相切．2如图，△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径的⊙O 交AB 于D，E 为BC 中点. 求证：DE 是⊙O 切线.【答案与解析】证明：连结 OD、CD，则: OA=OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∵ AC 是圆 O 的直径，∴ ∠ADC=90°.∴ △CDB 是直角三角形.∵ E 是 BC 的中点，∴ DE=EB=EC，∴ ∠ECD=∠EDC。
切线长定理教案
观察与猜想：
1、图中⊙O的切线有几条？
线段PA、PB的长叫做切线长。
2、PA＝PB吗？
3、∠APO＝∠BPO吗？
3、发现规律
在以上基础上进行理论证明：
已知：如图PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B
求证：PA=PB，∠APO＝∠BPO
解题步骤：分析题意，注意引导学生作辅助线（连结OA、OB，证明全等）。
设计说明：
引起认知冲突,激发学生的求知欲，同时对前面学习相关内容回忆梳理.
在活动中培养学生参与数学活动，从而激发学习兴趣
根据实例由特特殊到一般，运用动态的变换方法，通过合情推理发现图形的性质，通过演绎推理证明这一性质
培养学生归纳总结知识的能力
对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中的关键，它是灵活应用知识的基础．
27.2.3切线（二）
切线长定理
湖南省衡阳市衡山县实验中学刘玉兰
教学目标：
知识与技能
1、掌握切线长定理的概念和性质。
2、会运用切线长定理解决简单的实际问题。
过程与方法:
1、在教学中，学生通过自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结.
2、在教学中，以“观察——猜想——证明——分析——应用——归纳”为主线，以学生为主体，展开活动式教学．在活动中促进学生对知识的学习,在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。
这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。
三、运用提高．
想一想：根据下面图形，你还可以得到什么结论？
(1)写出图中所有的垂直关系；
(2)写出图中所有的全等三角形；
(3)写出图中所有的相似三角形；
27.2.3 第2课时 切线长定理及三角形的内切圆(课件)2024-2025九年数学下(华东师大版)
推理验证
已知：如图，PA、PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点.
求证：PA = PB，∠APO =∠BPO.
证明：∵ PA、PB 是☉O 的两条切线， A
∴ OA⊥PA，OB⊥PB.
O.
∵ OA = OB，OP = OP，
∴ Rt△OAP≌Rt△OBP(HL).
∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.
∴∠
DOE= ∠
AOB= ×130°=65°.
1-1. (易错题) 如图，直线AB，AD 分别与⊙ O 相切于点B，
D，C 为⊙ O 上一点， 且∠ BCD=130°，则∠ A的度
数是(
A. 70°
B. 85°
C. 80°
D. 100°
)
1-2. 如图，PA，PB切⊙ O 于A，B 两点，CD 切⊙ O 于点
(2)若∠ P=50°，求∠ DOE 的度数.
解：如图27.2-22，连结OA，OC，OB.
∵ PA，PB，DE 是⊙ O 的切线，
∴ OA ⊥ PA，OB ⊥ PB，OC ⊥ DE.
∴∠ DAO= ∠ EBO=90°.∴∠ P+ ∠ AOB=180°.
∴∠ AOB=180°－50°=130°.
易知∠ AOD= ∠ DOC，∠ COE= ∠ BOE，
圆心 I 应满足什么条件？
(2) 在△ABC 的内部，如何找到满足条件的圆心 I 呢？
三角形角平分线的这个
圆心 I 为什么呢？
到三角形三边的距离相等，都等于 r.
性质，你还记得吗？
圆心 I 应是三角形的
三角形三条角平分线交
三条角平分线的交点.
于一点，这一点到三角
华东师大九年级下第27章 切线长定理教学课件(20PPT)
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月下午12时22分21.8.2612:22August 26, 2021
16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年8月26日星期四12时22分46秒12:22:4626 August 2021
O
D
P
（2）写出图中与∠OAC相等的角
B
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP （4）写出图中所有的等腰三角形
△ABP，△AOB
例3：设△ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆
⊙I和BC,AC,AB分别相切于点D,E,F.
27.2.4切线长定理
情境引入
1.切线的判定定理和性质定理是什么？ 2.大家知道，过圆上一点可以作圆的切线有且只有一 条．借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线. 那么，过圆外一点P能作圆的几条切线呢？
A
O
P
B
切线长概念
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫
做这点到圆的切线长.
A
O
·
A
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，B是切点，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.
∴OP垂直平分AB.
2、若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出
什么新的结论?并给出证明. B
CA=CB
.
P
C
O
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. 又∵ PC=PC. ∴△PCA≌△PCB ，∴BC=AC.
初中数学 什么是切线长定理
初中数学什么是切线长定理
初中数学中，切线长定理是与圆相关的一个重要概念。
下面我将详细介绍切线长定理的定义、性质和相关概念。
1. 切线长定理的定义：
-切线长定理：在一个圆上，一个角的顶点在切点上，另外两个顶点在圆上，这个角的两条边分别与切线相交，那么这两条切线的长度相等。
2. 切线长定理的性质：
-定理性质1：切线长度相等。
如果一个圆上的两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，那么这两条切线的长度相等。
3. 切线长定理的相关概念：
-切点：切线与圆相交的点称为切点。
-切线长度：切线的长度即为从切点到圆心的距离。
切线长定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与切线和圆相关的问题。
在应用切线长定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。
例如，如果我们需要判断两条切线的长度是否相等，我们可以先找到这两条切线与同一个角相交，并且角的顶点在切点上。
然后根据切线长定理的性质，我们可以得出这两条切线的长度相等。
希望以上内容能够满足你对切线长定理的了解。
切线长定理课件
切线长定理的再一个推论
总结词
切线长定理的再一个推论是，若两圆在 同一直线上相切，则它们的切线互相平 行。
VS
详细描述
这个推论是切线长定理的进一步应用。当 两圆在同一直线上相切时，它们的切线不 仅长度相等，而且平行。这个推论在解决 涉及直线和圆的问题时非常有用，特别是 在几何证明和解析几何中。通过掌握这个 推论，学生可以更好地理解几何图形的性 质和关系，提高解决几何问题的能力。
切线长定理的另一个推论
总结词
切线长定理的另一个推论是，若两圆相切于同一点，则该点的切线与两圆心的连线垂直 。
详细描述
这个推论说明了当两圆在同一点相切时，该点的切线与两圆心的连线之间此，该点的切
线与两圆心的连线互相垂直。这个推论在证明几何定理和解决几何问题时非常有用。
切线长定理在数学、物理、工程等领 域有着广泛的应用，通过学习和掌握 这个定理，我们可以更好地理解和应 用相关领域的知识。
通过本次课件的学习，我们深入了解 了切线长定理的证明过程和实际应用 ，掌握了利用切线长定理解决实际问 题的技巧和方法。
展望
随着数学和其他学科的发展，切线长定理的应用范围将会更加广泛，我 们可以通过不断学习和探索，深入了解这个定理的更多应用和推广。
切线长定理的证明方法二
利用三角形的全等定理进行证明。首先，作辅助线连接圆心和切点，将切线分为两段。然后，根据三角形的全等定理，证明三 角形全等，从而得到切线长的平方等于半径的平方和。
切线长定理的证明方法三
利用向量进行证明。首先，根据向量的数量积公式，向量的数 量积等于两向量的模长乘以其夹角的余弦值。然后，利用切线 的性质，切线和半径垂直，从而夹角为90度。结合数量积公式 ，可以证明切线长的平方等于半径的平方和。
27.2 3. 第2课时 切线长定理及三角形的内切圆
27.2 3. 第2课时切线长定理及三角形的内切圆A．68° B．52° C．76°D．38°4．如图K－19－4，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，︵上不与点A，C重合的一个动点，连结AD，D是ABCCD.若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是链接听课例2归纳总结( )图K－19－4A．15° B．20° C．25°D．30°5．如图K－19－5，在△MBC中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，MB＝2 3，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为( )图K－19－5A. 2B. 3 C．2 D．36．如图K－19－6所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(0，4)，则Rt△ABO的内心的坐标是( )图K－19－6A．(32，2) B．(1，2)C．(1，1) D．无法确定7．如图K－19－7，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则( )图K－19－7A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BFC．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF二、填空题8．如图K－19－8，△ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于点D，E，F，如果AF＝2 cm，BD＝6 cm，CE＝4 cm，那么BC＝________cm，AC＝________cm，AB＝________cm.图K－19－89．如图K－19－9，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D.若PA＝5，则△PCD的周长为________.图K－19－910．2019·湖州如图K－19－10，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是________．图K－19－1011．如图K－19－11，在△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是它的内切圆，∠BOC＝105°，AB＝12，则BC的长为________．图K－19－11三、解答题12．如图K－19－12，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，AB交OP于点C.求证：OP⊥AB且AC＝BC.图K－19－1213．如图K－19－13，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D.求证：(1)△BFD∽△ABD；(2)DE＝DB.图K－19－1314．2019·绵阳如图K－19－14，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上(点D不与点A，B重合)．直线AD 交过点B的切线于点C，过点D作⊙O的切线DE 交BC于点E.(1)求证：BE＝CE；(2)若DE∥AB，求sin∠ACO的值．图K－19－14素养提升思维拓展能力提升分类思想如图K－19－15，在四边形ABCD中，AD ∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm，AB为⊙O的直径．动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3 cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t s，当t为何值时，直线PQ与⊙O相切、相离、相交？图K－19－15教师详解详析[课堂达标]1．[答案] B2．[答案] B3．[解析] C∵⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F都为切点，∴ID⊥AB，IF⊥AC，∴∠IDA＝∠IFA＝90°，∴∠A＋∠DIF＝180°.∵∠DIF＝2∠DEF＝2×52°＝104°，∴∠A＝180°－104°＝76°.4．[解析] C因为PA，PB是⊙O的两条切线，由切线长定理得∠APO＝∠OPB＝12∠APB＝40°. 连结OA，则∠OAP＝90°，所以∠AOP ＝90°－40°＝50°，所以∠ADC ＝12∠AOP＝25°.故选C.5．[解析] C在Rt△MBC中，∵∠C＝60°，MB＝2 3，∴BC＝2.∵AB为⊙O的直径，且AB⊥BC，∴BC为⊙O的切线．又∵CD也为⊙O 的切线，∴CD＝BC＝2.6．[答案] C7．[解析] C如图所示，连结OA，OB，则AO，BO分别是∠CAB与∠CBA的平分线，则∠EAO ＝∠OAB.又因为EF∥AB，所以∠EOA＝∠OAB＝∠EAO，所以AE＝OE，同理可求出OF＝BF，则EF＝AE＋BF.8．[答案] 10689．[答案] 10[解析] ∵PA，PB为⊙O的两条相交切线，∴PA＝PB.同理可得CA＝CE，DE＝DB.∵△PCD的周长＝PC＋CE＋DE＋PD，∴△PCD的周长＝PC＋CA＋BD＋PD＝PA＋PB＝2PA，∴△PCD的周长＝10.10．[答案] 70°[解析] ∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，∴OB平分∠ABC，∠ODB＝90°.∵∠ABC ＝40°，∴∠OBD＝20°，∴∠BOD＝70°.故填70°.11．[答案] 612．证明：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO(切线长定理)，∴OP⊥AB，AC＝BC(等腰三角形“三线合一”)．13．证明：(1)如图．∵E是△ABC的内心，∴∠1＝∠2.又∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3.又∵∠D为△BFD与△ABD的公共角，∴△BFD∽△ABD.(2)连结BE，如图．∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠EBF.又∵∠BED＝∠1＋∠ABE，∠DBE＝∠EBF＋∠3，由(1)得∠1＝∠3，∴∠BED＝∠DBE，∴DE＝DB.14．[解析] (1)连结OD，利用切线长定理得到BE ＝DE，利用切线的性质得OD⊥DE，AB⊥CB，再根据等角的余角相等得到∠CDE＝∠ACB，则CE＝DE，从而得到BE＝CE；(2)过点O作OH⊥AD于点H，如图．设⊙O的半径为r，先证明四边形OBED为正方形得DE ＝CE＝r，再利用△AOD和△CDE都为等腰直角三角形得到OH＝DH＝22r，CD＝2r，接着根据勾股定理计算出OC＝5r，然后根据正弦的定义求解．解：(1)证明：连结OD，如图．∵BE，DE为⊙O的切线，∴BE＝DE，OD⊥DE，AB⊥BC，∴∠ADO＋∠CDE＝90°，∠A＋∠ACB＝90°.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠CDE＝∠ACB，∴CE＝DE，∴BE＝CE.(2)过点O作OH⊥AD于点H，如图．设⊙O的半径为r.∵DE∥AB，∴∠DOB＝∠DEB＝90°，∴四边形OBED为矩形．又∵＝OD，∴四边形OBED为正方形，∴DE＝BE＝r.易得△AOD和△CDE都为等腰直角三角形，∴OH＝DH＝22r，CD＝2r.在Rt△OCB中，OC＝（2r）2＋r2＝5r.在Rt△OCH中，sin∠OCH＝OHOC＝22r5r＝1010，即sin ∠ACO 的值为1010. [素养提升]解：设运动t s 时，直线PQ 与⊙O 相切于点G ，过P 作PH ⊥BC 于点H ，则PH ＝AB ＝8，BH ＝AP ＝t ，可得HQ ＝|26－3t －t|＝|26－4t|，由切线长定理，得AP ＝PG ，QG ＝BQ ，则PQ ＝PG ＋QG ＝AP ＋BQ ＝t ＋26－3t ＝26－2t.由勾股定理，得PQ 2＝PH 2＋HQ 2，即(26－2t)2＝82＋(26－4t)2，化简，得3t 2－26t ＋16＝0，解得t 1＝23，t 2＝8， 所以当t ＝23或t ＝8时，直线PQ 与⊙O 相切． 因为t ＝0时，直线PQ 与⊙O 相交，当t ＝263时，点Q 运动到点B ，点P 尚未运动到点D ，但也停止运动，直线PQ 也与⊙O 相交， 所以可得以下结论：当t ＝23或t ＝8时，直线PQ 与⊙O 相切； 当0≤t ＜23或8＜t ≤263时，直线PQ 与⊙O 相交； 当23＜t ＜8时，直线PQ 与⊙O 相离．。
切线长定理内容
切线长定理内容
切线长定理是几何学中的一个定理,它描述的是当两个物体相对运动时,如果物体A的切线速度与物体B的速度方向相反,那么物体A 的切线长度一定比物体B的长度长。
切线长定理的公式为:
L_A / L_B = (v_A^2 / c^2) - (v_B^2 / c^2)
其中,L_A表示物体A的切线长度,L_B表示物体B的切线长
度,v_A表示物体A的相对速度,v_B表示物体B的相对速度,c表示光速。
切线长定理说明了一个物体的切线长度与其相对速度有关,而与物体的质量、形状等因素无关。
这个定理在物体运动分析、机械力学、相对论等领域都有广泛的应用。
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可能大家都会想到
A
这样一个圆，它与
三角形的三条边都
相切，那么这样的
圆存在吗？如果存
在，我们又如何把
它画出来呢？
B
C
问题：如图△ABC，要求画△ABC的 内切圆，如何画？
已知：△ABC
求作：和△ABC的各边都相切的圆
作法：1、作∠B、∠C的平分线BM、 CN，交点为I
A
2、过点I作ID⊥BC，垂足为D N 3、以I为圆心，ID为半径作⊙I ⊙I就是所求的圆
M I
B
D
C
与三角形各边都相切的圆 叫做这个三角形的内切圆
三角形内切圆的圆心叫做这个三 角形的内心
这个三角形叫做圆的外切三角形
A
三角形的内心就是三角形的
D
三个内角角平分线的交点
F
三角形的内心到三角形的三边的
I
距离相等
B
┐ E
C
三角形的外接圆： 三角形的内切圆：
A A
O
B
C
B
I C
D
练习1：已知,△ABC 中,BC=14cm,AC=9cm,AB=13cm, 它的内切圆分别和BC、AC、AB切 于点D、E、F,求AF、BD和CE的长。
应用新知
1、判断
（1）过一点可以做圆的两条切线。（×）
（2）切线长就是切线的长。（×）
2、已知PA、PB与⊙O相切
于点A、B，⊙O的半径为2
A
（1）若四边形OAPB的周
长为10，则Байду номын сангаасA= 3 。
（2）若∠APB=60°，
2 30
4° 2
则PA= 2 3。 ∠AOB=
B
思考
已知：PA、PB分别与⊙O切于点AB，连接AB交OP
27.2.3直线与圆的位置关系
切线长定理
复习
1、切线的判定定理
经过半径的外端且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。
O
2、切线的性质归纳
AB
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那 么它一定满足第三个条件。这三个条件是：
(1)过圆心； (2)过切点； (3)垂直于切线。
知二求一
O AB
切线长概念
∴DA=DE （切线长定理）
同理可证 CE=CB，PA=PB
又∵C△PCD=PD+PC+CD =PD+PC+DE+CE
D
A
=PA+PB P =7+7
·O E
=14 cm
C B
练习：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和
圆⊙O分别相切于点L、M、N、P
求证： AD+BC=AB+CD 证明：∵四边形ABCD的边AB、
P
B
∠APO=∠ BPO
利用图形轴对称性解释
推理论证
已知：从⊙O外的一点P引两条切线PA， PB，切点分别是A、B. 求证： AP=BP， ∠OPA=∠OPB
证明：连接OA，OB
A
∵PA，PB与⊙O相切，
点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB
即 ∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP
A
在解决有关圆的切线长
问题时，往往需要我们 O M
P
构建基本图形。
B
（1）分别连接圆心和切点
（2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
练习：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，
直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系
A
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（2）写出图中所有的全等三角形 E O C D
P
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
B
（3）写出图中所有的等腰三角形
△ABP △AOB （4）写成图中所有和∠OAB相等的角
∠OBA ∠APO ∠BPO
例题
例：如图，PA、PB分别切⊙ O于A、B，
CD与⊙O切于点E，分别交PA，PB于C、
D，已知PA=7cm，求△PCD的周长． 解： ∵PA、DC为⊙O的切线
我们把圆的切线上某一点与切点之间的线 段的长叫做这点到圆的切线长。
A
如右图，线段PA， PB叫做点P到⊙O的 切线长，对吗？
B
想一想：切线和切线长是什么关系？
活动 二
如图，纸上有一⊙O ，PA为⊙O的一条切线，
沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为
B。
A
3、PA、PB有何关系？
PA=PB
O
4、∠APO和∠ BPO有何关系？
N
C
BC、CD、DA和圆⊙O
D
分别相切于点L、M、N、P
∴AL=AP，LB=MB,
P
OM
NC=MC，DN=DP
A
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
L
B
即 AB+CD=AD+BC
补充结论：圆的外切四边形的两组对边之和相等．
思考:
如图是一张三角形的铁皮，如何在 它上面截取一个面积最大的圆形铁皮？
3、切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等， 垂直关系提供了理论依据。
4、圆的外切四边形的两组对边的和相等．
A
F E
B
D
C
练习2、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B 为切点，∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长．
A
O
P
B
总结
课堂小结
1、切线长概念 我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的 长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
B
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它 们的切线长相等，这一点和圆心的连线平 分两条切线的夹角。
A 符号语言:
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
B
归纳：切线长定理为证明线段相等、 角相等提供新的方法
于点M，那么OP除了平分∠APB以外，还有什么作用？
请说明理由。
A
(1)OP垂直平分AB
即 OP⊥AB，AM=BM
OM
P
(2)OP平分
⌒ AB
B
即
⌒⌒ AM = BM
切线长定理为证明线段相
(3)OP平分∠AOB 即 ∠AOP=∠BOP
等，角相等，弧相等，垂 直关系提供了理论依据。
归纳：作辅助线方法