圆的切线长定理(优秀)
合集下载
3.7北九数学下第三章圆第七节切线长定理
B
A D
O
F
例题1图
E
C
2015.01
• 变式1：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA,AB分 别相切于点 D，E，F，且AB=9cm,BC=14cm, CA=13cm,求AF,BD,CE的长。(知识技能2)
A F O E
B
D 第 2题
C
2015.01
随堂练习
已知O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm，过P 作O的两条切线，求这两条切线的长。
2015.01
2、由（6）得出定理：
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 .
A
O B
P
2015.01
证明：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 已知：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点。 求证：PA=PB，PO平分∠APB 证明：连接OA、OB ∵PA、PB是⊙O的切线 ∴∠PAO=∠PBO=90° 在Rt△POA和Rt△POB中 ∵OA=OB，OP=OP ∴Rt△POA ≌Rt△POB ∴PA=PB ,PO平分∠APB A
∴AB= AB BC 10 24 26
2 2 2 2
∵⊙O分别与AB，BC，CA相切于D,E,F ∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC， BE=BD， AF=AD，CE=CF 又∵∠C=90°∴四边形OECF为正方形 ∴EC=FC=r∴BE=24-r,AF=10-r ∴AB=BD+AD=BE+AF=34-2r=26 ∴r=4 即⊙O半径为4
切线是到圆心距离等于圆的半径的直线，
而切线长是线段的长度，指过圆外一点做圆的切 线，该点到切点的距离。
A D
O
F
例题1图
E
C
2015.01
• 变式1：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA,AB分 别相切于点 D，E，F，且AB=9cm,BC=14cm, CA=13cm,求AF,BD,CE的长。(知识技能2)
A F O E
B
D 第 2题
C
2015.01
随堂练习
已知O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm，过P 作O的两条切线，求这两条切线的长。
2015.01
2、由（6）得出定理：
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 .
A
O B
P
2015.01
证明：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 已知：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点。 求证：PA=PB，PO平分∠APB 证明：连接OA、OB ∵PA、PB是⊙O的切线 ∴∠PAO=∠PBO=90° 在Rt△POA和Rt△POB中 ∵OA=OB，OP=OP ∴Rt△POA ≌Rt△POB ∴PA=PB ,PO平分∠APB A
∴AB= AB BC 10 24 26
2 2 2 2
∵⊙O分别与AB，BC，CA相切于D,E,F ∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC， BE=BD， AF=AD，CE=CF 又∵∠C=90°∴四边形OECF为正方形 ∴EC=FC=r∴BE=24-r,AF=10-r ∴AB=BD+AD=BE+AF=34-2r=26 ∴r=4 即⊙O半径为4
切线是到圆心距离等于圆的半径的直线，
而切线长是线段的长度，指过圆外一点做圆的切 线，该点到切点的距离。
切线长定理
A
·
B
p
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
A ∵ PA、PB是⊙O的切线， A、B为切点 ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO
·
B
C D
p
如图，若连接AB，则OP与AB有什么关系？
∵ PA、PB是⊙O的切线， A、B为切点 ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO ∴OP⊥AB，且OP平分AB
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置 关系 公 共 点 个 数 公 共 点 名 称 直 称 线 名 相交 相切 相离
2
1 切点 切线
0
交点
割线
图
形
圆心到直线距离 d与半径r的关系
d<r
d=r
d>r
切线的判定定理、性质定理
切线的性质定理： 文字语言：圆的切 线垂直于经过切点 的半径.
O
A
B
符号语言： ∵ AB切⊙O于点A ∴ AB ⊥ OA
例1 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长.
解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD
设AF=x(cm), BD=y(cm),CE＝z(cm) 思考：如果 x＝4 x＋y＝9 △ABC的周长 解得 y＝5 为m,面积为s， 则有 y＋z＝14 z＝9 x＋z＝13 那么内切圆的 半径r是多少？ ∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).
常作的辅助线: 遇切点,连半径,有垂直
切线的判定定理： 文字语言：经过半径
24.4.3圆的切线长定理QQQ
切线长定理为证明线 段相等，角相等，弧相 等，垂直关系提供了理 论依据。必须掌握并能 灵活应用。
四边形与圆的位置关系
• 如果四边形的四条边都与一个圆相 切,这圆叫做四边形的内切圆.这个 四边形叫做圆的外切四边形.
B A D
●
O C
1、四边形ABCD外切于⊙O （1）若AB：BC：CD：DA=2：3：n：4 则n=____ B · O D B A
∴OA⊥AP，OB⊥BP
A
∴∠OAP=∠OBP=90° ∵OA=OB，OP=OP
O
·
1 2
∴Rt△AOP≌Rt△BOP
P
∴PA=PB ∠ 1 =∠ 2
B
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线， 它们的切线长相等，
A
这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
O ·
P
B
① PA=PB ② PO平分∠APB
反思：圆外切等腰梯形的腰长 等于中位线长
（2）若圆外切等腰梯形，两腰之比为9：11 差为6cm，则中位线为____ 若S梯=150cm，则内切圆的直径为____
典型例题
例、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线， A、B为切点，BC是直径。 A 求证：AC∥OP C O
D
P
B
经过圆外一点做圆的切线，这一点和切点之间的 线段的长，叫做这点到圆的切线长
A
O ·
P
思考： 切线和切线长这两个概念有何区别？
观察与思考: PA、PB有怎样的数量关系？ PO与∠APB又有怎样的关系？
A
O
·
P
B
① PA=PB ② PO平分∠APB
连结OA、OB、 ∵PA、PB与⊙O相切，点A、 B是切点
24.2.2.4 切线长定理(第4课时)(优秀经典公开课比赛课件)
切线 切线长
联系
（三）探究切线长定理：
如图，已知 PA、PB 是⊙O 的两条切线，试指出图中相等的量，并证明.
A
O
P
切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等. 该定理用数学符号语言叙述为：
∵ ∴
三、课堂练习
1. 如图，⊙O 与△ ABC 的边 BC 相切，切点为点 D，与 AB、AC 的延长线相切，切点分 别为店 E、F，则图中相等的线段有_________________________________.
2.如图，PA，PB 分别为⊙O 的切线，AC 为直径，切点分别为 A、B，∠ P=70°，则∠ C=
.
3.如图，PA、PB 分别切圆 O 于 A、B，并与圆 O 的切线，分别相交于 C、D，•已知 PA=7cm，
则△ PCD 的周长为_______.
A P
O
B C 第5题
DA
P
O
CB
4.如图：已知 AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD. 求证：DC 是⊙O 的切线.
是
，内切圆的圆心叫做三
角形的
.会利用基本作图完成：作三角形的内切圆.
（一）探究切线长的定义： 如下图，过⊙O 外一点 P，画出⊙ O 的所有切线.
•
·O
P
定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
（二） 探究切线与切线长的区别和联系： 区别
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24．2.2 切线长定理 (第4课时)
一、预习检测
1.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的
联系
（三）探究切线长定理：
如图，已知 PA、PB 是⊙O 的两条切线，试指出图中相等的量，并证明.
A
O
P
切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等. 该定理用数学符号语言叙述为：
∵ ∴
三、课堂练习
1. 如图，⊙O 与△ ABC 的边 BC 相切，切点为点 D，与 AB、AC 的延长线相切，切点分 别为店 E、F，则图中相等的线段有_________________________________.
2.如图，PA，PB 分别为⊙O 的切线，AC 为直径，切点分别为 A、B，∠ P=70°，则∠ C=
.
3.如图，PA、PB 分别切圆 O 于 A、B，并与圆 O 的切线，分别相交于 C、D，•已知 PA=7cm，
则△ PCD 的周长为_______.
A P
O
B C 第5题
DA
P
O
CB
4.如图：已知 AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD. 求证：DC 是⊙O 的切线.
是
，内切圆的圆心叫做三
角形的
.会利用基本作图完成：作三角形的内切圆.
（一）探究切线长的定义： 如下图，过⊙O 外一点 P，画出⊙ O 的所有切线.
•
·O
P
定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
（二） 探究切线与切线长的区别和联系： 区别
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24．2.2 切线长定理 (第4课时)
一、预习检测
1.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的
切线长定理-刘超华
探究：PA、PB是⊙O的两条切
线，A、B为切点，直线OP交于 E ⊙O于点D、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有的全等三角形
A O
C D B
P
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
O
M
P
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB
注意：在解决有关圆的切线长问题时，往往 需要我们添加附助线构建基本图形。
A
。
O
P B
（1）分别连结圆心和切点
（2）连结圆心和圆外一点 （3）连结两切点
D
F O
B
E
C
如图：从⊙O外的定点P作⊙O的两 条切线，分别切⊙O于点A和B，在 弧AB上任取一点C，过点C作⊙O的 切线，分别交PA、PB于点D、E.且 ∠P=40°, PA=6.
D
求:⑴ 求△PDE的周长.
(2)求∠DOE的度数.
C
E
O
小结
１这节课我们学习了什么？
２、我们补充什么知识？
（１）
P
B
切线长定理（二）
三角形的内切圆
问题：如图为一张三角形铁皮,如何在它 上面截一个面积最大的圆形铁皮? 与三角形各边都相切的圆叫 做三角形的内切圆. 三角形的内切圆的圆心叫做 这个三角形的内心. 三角形的内心是三角形三条内 角平分线的交点.这个三角形 叫做这个圆的外切三角形.
B
九年级数学1_切线长定理优秀课件
=
1
2（180
－ ∠A ）= 90 °－ 12∠A
∴ ∠BOC =180 °－〔 ∠OBC＋ ∠OCB )
= 180 －（ 90 － 1∠A ）= 90 + 1∠A
2
2
⊿ABC 中,AB= 50,BC=40,AC=30,
求三角形内切圆的半径
设O是△ABC的内心， ⊙O的半径为r米，
连结AO、BO、CO，
8
68
变式：梯形各边都与⊙O相切，圆的直径 为6cm，梯形的两腰分别为8cm,12cm.那么 梯形的面积为__6_0_c_m_2_cm2
判断题： 1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等× 2、三角形的外心到三角形各边的距离相等 〔× 〕
3、等边三角形的内心和外心重合； 〔 √ 〕 4、三角形的内心一定在三角形的内部〔 √ 〕 5、菱形一定有内切圆〔 √ 〕
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
〔3〕写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP, △AOC≌ △BOC, △ACP≌ △BCP
〔4〕写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB
如图：从⊙O外的定点P作⊙O的 两条切线，分别切⊙O于点A和B， D A
P
在弧AB上任取一点C，过点C 作⊙O的切线，分别交PA、 PB于点D、E。
两条切线的夹角。
A
E
O CD
Байду номын сангаас
P
B
交流与探究：
由证明过程,你还能发现那些新的结论?
切线长定理的根本图形的研究
PA、PB是⊙O的两条切线，
A
A、B为切点，直线OP交于 ⊙O于点D、E，交AB于C。
E
O CD
切线长定理的证明及其运用
周长。
易证EQ=EA, FQ=FB,
A
E
O
PA=PB ∴ PE+EQ=PA=12cm
PF+FQ=PB=PA=12cm
Q
∴周长为24cm
P
B
F
结论拓展1、
已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条 切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、 C、D为切点。 求证：AC=BD
A C
O·
P
D B
结论拓展2、
P· ·O
A
P·
·O
问题2、经过圆外一点P，作已知⊙O的 切线可以作几条？
A
O
P
B
过圆外一点作圆的切线，这点 和切点之间的线段的长，叫做这点 到圆的切线长。
A
1
O
M2
⌒
P
B
关键是作辅助 线~
根据图形判断：猜想图中PA是否等于 PB？∠1与∠2又有什么关系？
已知：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为 切点； 证明 ：PA=PB, ∠APO=∠BPO A
（3 ）经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线.（判定定理）
证明一条直线是圆的切线的常见的 两种方法：
1、“有交点、连半径，证垂直”
2、“无交点、作垂直，证半径”
切线的性质定理:圆的切线垂直于 过切点的半径。
探究 问题1：经过平面上一个已知点，作已 知圆的切线会有怎样的情形？
P ·O
(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
A
(2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB △ACP≌△BCP.
E
O
D
C
P
(3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm)
圆的切线、切线长、线切角
圆的切线、切线长定理与弦切角定理一、圆的切线：1切线的判定：________________________________________________________2 .切线的性质： _________________________________【运用举例】、切线长定理1、切线长:我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的 切线长2、切线长定理：符号语言：：PA PB 是0O 的切线，A 、B 是切点，二，PA=PB 【运用举例】例 1.在厶 ABC 中, AB=5cm BC=7cm AC=8cr ® O 与 BC ACAB 分别相切于 D 、E 、F ,则 AF= ________ , BD= _______ 、CF=____________________________例2.如图，已知CB 是。
O 的切线，C 是切点，0B 交。
O 于点D ，/ B = 30，BD = 6 cm,求BC例3、如图，PA 、PB 切。
0于点A 、B ,点C 是。
0上一点，且/ ACB=65°，求/ P 的度数.例2、如图，PA PB 是。
0的切线，切点分别是A 、B ,直线EF 也是。
0的切线，切点为Q,交PA PB 为E 、F 点，已知PA=12cm ，求△ PEF 的周长.例4、已知：如图AB 是。
0的直径，P 是AB 上的一点（与A 、B 不重合），QP 丄AB ，垂足为P ， 直线QA 交。
0于点C 点，过C 点作。
0的切线交直线QP 于点D ，求证：△ CDQ 是等腰当P 点在AB 的延长线上时，其他条件不变，这个结论还成立吗？试说明 例3、已知：如图，P 为。
0外一点，PA PB 为。
0的切线，A 和B 是切点，BC 是直径.求证：AC// 0P例4.如图，AB 、CD 分别与半圆0切于点A 、D , BC 切。
0于点E ,若AB = 4, CD = 9,求O O的半径。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
A
D. .F
B
CB
.
E
C
.
问题：如图△ABC，要求画△ABC的内 切圆，如何画？
已知：△ABC
求作：和△ABC的各边都相切的圆
作法：1、作∠B、∠C的平分线BM、
CN，交点为I
2、过点I作ID⊥BC，垂足为D
N
3、以I为圆心，ID为半径作⊙I
⊙I就是所求的圆
A
M I
.
B
D
C
与三角形各边都相切的圆 叫做三角形的内切圆
.
三角形的外接圆：
A
三角形的内圆：
A
O
B
C
B
I C
D
.
.
圆外切平行四边形是_______
3、
圆内接梯形为等腰梯形
4、（1）已知圆外切等腰梯形的中位线长 为3cm，则腰长为____
反思：圆外切等腰梯形的腰长 等于中位线长
A E B
（2）若圆外切等腰梯形，两腰之比为9：11 差为6cm，则中位线为____ 若S梯=150cm，则内切圆的直径为____
.
A
.
符号表示
A
O ·
1 2
B
PA、PB分别切⊙O于A、B
.
PA = PB ∠1=∠2
切线长定理的基本图形的研究
A
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切
点，直线OP交于⊙O于点D、E，交 E AB于C。
O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
.
B
切线长定理为证明线 段相等，角相等，弧相 等，垂直关系提供了理 论依据。必须掌握并能 灵活应用。
典型例题
例、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，
A、B为切点，BC是直径。
求证：AC∥OP
C
A
OD
P
B
.
思考:
如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面
截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽
可能大呢？
（2）猜想四边形的两组对边怎样的关系
反思：圆的外切四边形的两组对边的和相等 .
1、四边形ABCD外切于⊙O
（1）若AB：BC：CD：DA=2：3：n：4
BA
则n=____ （2）若AB：BC：CD=5：4：7，周长为48 C
O·
则最长的边为_____
D
2、
A
B
A
C
O·
B
D
C
O· D
圆内接平行四边形是矩形
(180 k)
若∠P=k,∠DOE=______2_____ 度 。
A D
P
C
O
E B.
已知：△ABC中,∠ABC=50º,∠ACB=70º,点 O是内心，求∠BOC的度数。
A
O
B
C
.
例2、圆的外切四边形ABCD，四边与圆的切点分别为E、F、G、H
G
D
C
H
F
O·
A
B
E
（1）图中有哪些相等的线段
E B
D F C
D F C
练习一、已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是
小圆的两条切线，A、B、C、D为切点。
求证：AC=BD
A
C
O·
P
.
D
B
想 一 想
如图：用两根带有刻度的木条做一个夹角为60°的 工具尺，你能用它量出一个圆的半径吗？ 若量出角的顶点到切点的距离为10cm，试求这个圆 半径的近似值。
连结OA、OB、 ∵PA、PB与⊙O相切，点A、 B是切点
∴OA⊥AP，OB⊥BP
A O
·
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵OA=OB，OP=OP
1 ∴Rt△AOP≌Rt△BOP 2 P ∴PA=PB
∠1 =∠2
B
.
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线， 它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线 的夹角。
三角形内切圆的圆心叫做三角形的 内心
这个三角形叫做圆的外切三角形
A
D
三角形的内心就是三角形的三个内角角 F 平分线的交点
I
三角形的内心到三角形的三边的距离
相等
┐
B
E
C
.
例2、已知,△ABC 中,BC=14cm,AC=9cm,AB=13cm,它的 内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、 E、F,求AF、BD和CE的长。
A
F E
.B
D
C
练习 如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线，分别 切⊙O于A 、B，在AB上任取一点C作⊙O的切线分别 交PA 、PB于D 、E
（1）若PA=2，则△PDE的周长为_4___；若PA=a，则 △PDE的周长为__2_a__。
（2）连结OD 、OE，若∠P=40 °，则∠DOE=_7_0__°_;
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中相等的圆弧
（5）写出图中所有的等腰三角形 △ABP， △AOB
（6）若PA=4、PD=2，. 求半径OA
反思：在解决有关圆
A
的切线长的问题时，
往往需要我们构建基
本图形。
。
O
P
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点
东莞厚街圣贤学校：罗坤
班级：初三（2）班 2007年11月29日
.
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的 线段的长叫做这点到圆的切线长
A
O·
P
思考： 切线和切线长这两个概念有何区别？
.
观察与思考: PA、PB有怎样的数量关系？ PO与∠APB又有怎样的关系？
A
O
·
P
B
.
① PA=PB ② PO平分∠APB