2021高考数学一轮复习第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试37直接证明与间接证明课件苏教版

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专题11 不等式、推理与证明、算法初步、复数——2021年高考真题和模拟题理科数学分项汇编(原卷版)

专题11 不等式、推理与证明、算法初步、复数1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若z =1+i ，则|z 2–2z |= A ．0 B ．1CD ．22．【2020年高考全国III 卷理数】复数113i-的虚部是 A ．310- B ．110-C ．110 D ．3103．【2020年新高考全国Ⅰ】2i12i-=+ A ．1 B ．−1 C ．iD ．−i4．【2020年高考北京】在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅= A ．1i 2+B ．2i -+C ．12i -D ．2i --5．【2020年新高考全国Ⅰ】已知a >0，b >0，且a +b =1，则 A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥-D 6．【2020年高考浙江】若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．(,4]-∞B ．[4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(,)-∞+∞7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为ABC．14D．128．【2020年高考浙江】设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y ∈S ，若x ≠y ，则xy ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ．下列命题正确的是 A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素 B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素 C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素 D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素9．【2020年高考全国II 卷理数】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列12na a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0-1序列12na a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是A ．11010B ．11011C ．10001D ．1100110．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为 . 11．【2020年高考全国III 卷理数】若x ，y 满足约束条件0201x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，，则32z x y =+的最大值为__________．12．【2020年高考全国II 卷理数】设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z，12i z z +=，则12||z z -=__________．13．【2020年高考江苏】已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 ▲ ． 14．【2020年高考江苏】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ． 15．【2020年高考江苏】如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.16．【2020年高考天津】i 是虚数单位，复数8i2i-=+_________． 17．【2020年高考天津】已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．1．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考】设z =，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．【辽宁省锦州市黑山县黑山中学2020届高三6月模拟考试数学】复数()311i iz =--（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．2i -+B ．2i --C ．23i -+D ．2i +3．【山东省日照五莲县丶潍坊安丘市、潍坊诸城市、临沂兰山区2020届高三6月模拟数学试题】若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数12z z = A ．1-B ．1C ．3455i -+ D ．3455-i4．【河北省正定中学2019-2020学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】在复平面内，若复数342i 2iz =++所对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第四象限D ．虚轴5．【广东省深圳市高级中学2020届高三下学期5月适应性考试数学】设i 为虚数单位，复数2(i 1)8i 1z -+=+的实部为 A ．5B ．5-C ．3-D ．36．【河北省衡水中学2020届高三下学期（5月)第三次联合考试数学】已知复数2i (2)z =+，则z 的虚部为A ．3B ．3iC ．4D ．4i7．【广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷】设i 是虚数单位，若复数z 满足()i i 11z -=+，则其共轭复数z = A ．iB ．i -C ．1i -+D ．1i --8．【河北省衡水中学2020届高三下学期第九次调研数学】已知复数2(1i)i(1i)z +=-，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为iB ．2z =C ．z 的共轭复数1i z =-+D ．2z 为纯虚数9．【广西来宾市2019-2020学年高三5月教学质量诊断性联合考试数学】已知复数1023i iz =-+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是 A ．33i --B ．33i +C ．1513i 44-- D ．1513i 44+ 10．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学】已知复数z 满足i 4zi=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为 A ．4iB ．4C ．1D ．1-11．【2020届四川省成都市石室中学高三下学期5月月考数学】复数23i32iz -=+，则z z ⋅= A ．iB ．i -C ．1D ．1-12．【河南省名校联盟2020届高三5月质量检测数学】已知复数z 2ia=+-1(i 为虚数单位，a ∈R )为纯虚数，则实数a =A ．52B ．52-C ．0D ．213．【广东省深圳外国语学校2020届高三下学期4月综合能力测试数学】已知集合{}2230A x x x =--≥，202x B x x ⎧⎫+=∈≤⎨⎬-⎩⎭Z ，则A B =A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．{}2,1--D ．{}1,2-14．【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学】若1,01a c b ><<<，则下列不等式不正确的是A ．20192019log log a b >B ．log log c b a a >C ．()()cbc b a c b a ->-D ．()()cba c a a c a ->-15．【辽宁省葫芦岛市2020届高三5月联合考试数学】某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是 A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁16．【2020届河南省商丘周口市部分学校联考高三5月质量检测数学】宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a 为松长、b 为竹长，则矩形框与菱形框处应依次填A ．2a a a =+；a b <B ．2aa a =+；a b <C ．2a a a =+；a b ≥D ．2aa a =+；a b > 17．【河北省正定中学2019-2020学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】圆224610x y x y ++-+=关于直线()800,0ax by a b -+=>>对称，则32a b+的最小值是 A．B ．3C ．154D18．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考（三诊)数学】2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行，这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异，去年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵，他们是由军事科学院，国防大学，国防科技大学联合组建，若已知甲，乙，丙三人来自上述三所学校，学位分别有学士、硕士、博士学位，现知道：①甲不是军事科学院的，②来自军事科学院的均不是博士，③乙不是军事科学院的，④乙不是博士学位，⑤来自国防科技大学的是硕士，则甲是来自哪个院校的，学位是什么 A ．国防大学，博士 B ．国防科技大学，硕士 C ．国防大学，学士D ．军事科学院，学士19．【广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷】运行如图所示的程序算法，则输出的结果为A ．2B ．12C ．13D ．13220．【广西来宾市2019-2020学年高三5月教学质量诊断性联合考试数学】设实数,x y 满足不等式组4,2,4,x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪⎩则11y z x +=+的最小值为 A ．13B ．15C ．13-D ．12-21．【河北省衡水中学2020届高三下学期第二次调研数学】执行如图所示的程序框图，输出的结果是A ．5B ．6C ．7D ．822．【广东省深圳市2020届高三下学期第二次调研数学】执行如图的程序框图，如果输入的k ＝0.4，则输出的n ＝A ．5B ．4C ．3D ．223．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学】下列程序框图的算法思想源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入16a =，10b =，则程序中需要做减法的次数为A ．6B ．5C ．4D ．324．【甘肃省西北师大附中2020届高三5月模拟试卷】“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图．当输入2020m =，303n =时，则输出的m 是A ．2B ．6C ．101D ．20225．【重庆市第一中学2019-2020学年高三下学期期中数学】冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞(4，2，1)，最终都会归入“4-2-1”的模式.该结论至今既没被证明，也没被证伪. 下边程序框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的i =A ．4B ．5C ．6D ．726．【重庆市南开中学2019-2020学年高三下学期线上期中数学】若某程序框图如图所示，则输出的S 的值是A ．31B ．63C ．127D ．25527．【重庆市南开中学2019-2020学年高三下学期第六次教学质量检测数学】数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的一种拉丁方阵，是一种运用纸、笔进行演算的数学逻辑游戏.如图就是一个迷你数独，玩家需要根据66⨯盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（32⨯）内的数字均含16-，每一行，每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现，则图中的a b c d +++=A ．11B ．13C ．15D ．1728．【河北省衡水中学2020届高三下学期（5月)第三次联合考试数学】要使得满足约束条件42y x y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩，的变量,x y 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为 A ．4x y +≤B ．4x y +C ．6x y +D ．6x y +29．【2020届华大新高考联盟高三4月教学质量测评数学】执行如图所示的程序框图，设输出数据构成集合A ，从集合A 中任取一个元素m ，则事件“函数()2f x x mx =+在[)0,+∞上是增函数”的概率为A ．14B ．12C ．34D ．3530．【江西省景德镇市2019-2020学年高三第三次质检数学】科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画…条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是（）（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A ．16B ．17C ．24D ．25。

2021年高考数学一轮总复习基础回扣练推理证明、算法、复数理苏教版

2021年高考数学一轮总复习基础回扣练推理证明、算法、复数理苏教版一、填空题1．(xx·北京卷改编)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于第________象限．解析因为i(2－i)＝1＋2i ，所以对应的点的坐标为(1,2)，该点在第一象限．答案一2．(xx·辽宁卷改编)复数z ＝1i －1的模为________．解析 z ＝1i －1＝－1－i －1＋i －1－i＝－12－12i ，∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22.答案223．(xx·韶关调研)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋52－i，则a ＋b ＝________. 解析由已知得a i ＋i 2＝b ＋(2＋i)，即－1＋a i ＝(b ＋2)＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2＝－1，a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，∴a ＋b ＝1－3＝－2. 答案－24．(xx·佛山二模)已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是________．解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知a ＝1， ∴1＋b 2＝4，∴b 2＝3，∴b ＝± 3. 答案 ± 35．(xx·青岛一模)某流程图如图所示，若a ＝3，则该程序运行后，输出的x 值为________．解析第一次循环：x＝2×3＋1＝7，n＝2；第二次循环：x＝2×7＋1＝15，n＝3；第三次循环：x＝2×15＋1＝31，n＝4.此时不满足条件，输出x＝31.答案316．(xx·徐州一模)执行如图所示的流程图，则输出n的值为________．解析第一次循环，n＝1，S＝1＋2＝3；第二次循环，n＝2，S＝2×3＋2＝8；第三次循环，n＝3，S＝3×8＋2＝26；第四次循环，n＝4，S＝4×26＋2＝106，此时满足条件，输出n＝4.答案 47. (xx·绍兴模拟)已知某流程图如图所示，当输入的x的值为5时，输出的y的值恰好是1，则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是________．3①y ＝x 3；②y ＝x 13；③y ＝3x ；④y ＝3－x.解析由流程图可知，当输入的x 的值为5时，第一次运行，x ＝5－2＝3；第二次运行，x ＝3－2＝1；第三次运行，x ＝1－2＝－1，此时x ≤0，退出循环，要使输出的y 的值为13，只有③中的函数y ＝3x符合要求．答案 ③8. (xx·咸阳模拟)某算法的流程图如图所示，如果输出的结果为5,57，则判断框内应为________．①k ≤6；②k ＞4；③k ＞5；④k ≤5.解析当k ＝1时，S ＝2×0＋1＝1；当k ＝2时，S ＝2×1＋2＝4；当k ＝3时，S ＝2×4＋3＝11；当k ＝4时，S ＝2×11＋4＝26；当k ＝5时，S ＝2×26＋5＝57，由题意知此时退出循环．答案 ②9．(xx·福州质检)将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是第________列．解析正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．答案四10．(xx·长沙模拟)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a ，b ，c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则a 2＋b 2＝c 2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O －ABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝90°，S 为顶点O 所对面的面积，S 1，S 2，S 3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则S ，S 1，S 2，S 3满足的关系式为________．①S 2＝S 21＋S 22＋S 23；②S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23；③S ＝S 1＋S 2＋S 3；④S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3.解析如图，作OD ⊥BC 于点D ，连接AD ，由立体几何知识知，AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋14BC 2·OD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12OC ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·OD 2＝S 21＋S 22＋S 23.答案 ①11．(xx·湛江二模)已知i 是虚数单位，则21＋i ＝________.解析21＋i＝1－i. 答案 1－i12．(xx·无锡一模)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a ＝________.解析1＋a i 2－i ＝1＋a i2＋i2－i2＋i＝2－a 5＋2a ＋15i ，由题意知：2－a5＝0，∴a ＝2.答案 213．(xx·浙江卷)若某流程图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________．解析第一步：S ＝1＋12＝32，k ＝2；第二步：S ＝32＋12×3＝53，k ＝3；第三步：S ＝53＋13×4＝74，k ＝4；第四步：S ＝74＋14×5＝95，k ＝5，结束循环．输出S ＝95.答案9514．(xx·泰安一模)若流程图如图所示，则该程序运行后输出k 的值为________．解析第一次：n ＝3×5＋1＝16，k ＝1；第二次：n ＝162＝8，k ＝2；第三次：n ＝82＝4，k ＝3；第四次：n ＝42＝2，k ＝4；第五次：n ＝22＝1，k ＝5，此时满足条件，输出k ＝5. 答案 515．(xx·陕西卷)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________．解析观察规律可知，第n 个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋12.答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n n ＋1216．(xx·兰州质检)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体A －BCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.解析平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与球的半径的立方成正比，所以V 1V 2＝127.答案127二、解答题17．在单调递增数列{a n }中，a 1＝2，不等式(n ＋1)a n ≥na 2n 对任意n ∈N *都成立． (1)求a 2的取值范围；(2)判断数列{a n }能否为等比数列，并说明理由．解 (1)因为{a n }是单调递增数列，所以a 2＞a 1，即a 2＞2.又(n ＋1)a n ≥na 2n ，令n ＝1，则有2a 1≥a 2，即a 2≤4，所以a 2∈(2,4]． (2)数列{a n }不能为等比数列．用反证法证明：假设数列{a n }是公比为q 的等比数列，由a 1＝2＞0，得a n ＝2q n －1.因为数列{a n }单调递增，所以q ＞1. 因为(n ＋1)a n ≥na 2n 对任意n ∈N *都成立，所以对任意n ∈N *，都有1＋1n≥q n .①因为q ＞1，所以存在n 0∈N *，使得当n ≥n 0时，q n＞2. 因为1＋1n≤2(n ∈N *)．所以存在n 0∈N *，使得当n ≥n 0时，q n＞1＋1n，与①矛盾，故假设不成立．18．(xx·常德模拟)设a ＞0，f (x )＝ax a ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．解(1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝a1＋a ；a3＝f(a2)＝a2＋a；a4＝f(a3)＝a3＋a.猜想a n＝an－1＋a(n∈N*)．(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．②假设n＝k时猜想正确，即a k＝ak－1＋a，则a k＋1＝f(a k)＝a·a ka＋a k＝a·ak－1＋aa＋ak－1＋a＝ak－1＋a＋1＝a[k＋1－1]＋a.这说明，n＝k＋1时猜想正确．由①②知，对于任何n∈N*，都有a n＝an－1＋a.20834 5162 兢27532 6B8C 殌30657 77C1 矁22535 5807 堇 b)/•R m36908 902C逬U39056 9890 颐。

2021届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试37合情推理

考点测试37 合情推理与演绎推理高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用2．了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理3．了解合情推理和演绎推理的联系和差异一、基础小题1．对于大于或等于2的正整数幂运算有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…根据以上规律，若m，p均为正整数且m2＝1＋3＋5＋…＋11，p3的分解式中的最小正整数为21，则m＋p＝( )A．9 B．10C．11 D．12答案 C解析∵m2＝1＋3＋5＋…＋11＝1＋112×6＝36，∴m＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29.∵p3的分解式中最小的正整数是21，∴p3＝53，p＝5，∴m＋p＝6＋5＝11，故选C.2．将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，…，则第2019层正方体的个数为( )A．2018 B．4028C．2037171 D．2039190答案 D解析设第n层正方体的个数为a n，则a1＝1，a n－a n－1＝n(n≥2)，所以a n－a1＝2＋3＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12(n ≥2)，故a 2019＝1010×2019＝2039190，故选D.3．某演绎推理的“三段论”分解如下：①函数f (x )＝13x 是减函数；②指数函数y ＝a x (0<a <1)是减函数；③函数f (x )＝13x 是指数函数．则按照演绎推理的“三段论”模式，排序正确的是( )A ．①→②→③B ．③→②→①C ．②→①→③D ．②→③→①答案 D解析易知大前提是②，小前提是③，结论是①.故排列的次序应为②→③→①.故选D. 4．甲、乙、丙、丁四名同学参加某次过关考试，甲、乙、丙三个人分别去老师处询问成绩，老师给每个人只提供了其他三人的成绩．然后，甲说：我们四人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；丙说：甲、乙、丁恰好有一人过关．假设他们说的都是真的，则下列结论一定正确的是( )A ．甲没过关B ．乙过关C ．丙过关D ．丁过关答案 C解析基于他们说的都是真的情况下，因为，甲说：我们四人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；所以，可以推出，他们四人中一定只有两人过关，再由丙说：甲、乙、丁恰好有一人过关．所以得到，丙一定过关，故选C.5．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下．依次类推，已知六十四卦中的“屯”卦的符号为“”，则其表示的十进制数是( )卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤 000 0 艮 001 1 坎 010 2 巽011 3C ．36D ．35答案 B解析由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.6．已知P 是圆x 2＋y 2＝R 2上的一个动点，过点P 作曲线C 的两条互相垂直的切线，切点分别为M ，N ，MN 的中点为E .若曲线C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，且R 2＝a 2＋b 2，则点E 的轨迹方程为x 2a 2＋y 2b 2＝x 2＋y 2a 2＋b2.若曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，且R 2＝a 2－b 2，则点E 的轨迹方程是( ) A.x 2a 2－y 2b 2＝x 2＋y 2a 2＋b 2 B ．x 2a 2－y 2b 2＝x 2＋y 2a 2－b 2 C.x 2a 2＋y 2b 2＝x 2＋y 2a 2＋b2 D ．x 2a 2＋y 2b 2＝x 2＋y 2a 2－b2 答案 B解析由于椭圆与双曲线定义中的运算互为逆运算，所以猜想与双曲线对应的点E 的轨迹方程为x 2a 2－y 2b 2＝x 2＋y 2a 2－b2. 7．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n答案 D解析若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ，所以b n ＝a 1＋n －12d ＝d2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·qn n －12，所以d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列．故选D. 8．在△ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆的半径r ＝a 2＋b 22，把上面的结论推广到空间，则类似的结论为__________________．答案取空间中有三条侧棱两两垂直的三棱锥A －BCD ，且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，三棱锥的外接球的半径r ＝a 2＋b 2＋c 22解析取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A －BCD ，且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，可以将四面体补成一个长方体，则体对角线即为外接球的直径，即2r ＝a 2＋b 2＋c 2，所以r ＝a 2＋b 2＋c 22.则此三棱锥的外接球的半径r ＝a 2＋b 2＋c 22.9．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可推出“黄金双曲线”的离心率e 等于________．答案5＋12解析类比“黄金椭圆”，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)，所以FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．易知FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝b 2－ac ＝0，所以c 2－a 2－ac ＝0，即e 2－e －1＝0，又e ＞1，所以e ＝5＋12. 10．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．答案 1∶8解析由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的底面积之比为1∶4，对应高之比为1∶2，所以体积比为1∶8.11．在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有cos 2α＋cos 2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则________．答案 cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2解析设长方体的长，宽，高分别为a ，b ，c ，如图所示，所以AC 1与下底面所成角为∠C 1AC ，记为α，AC 1与平面A 1D 1DA 所成的角记为β，AC 1与平面A 1B 1BA 所成的角记为γ，所以cos 2α＝AC 2AC 21＝a 2＋b 2a 2＋b 2＋c 2，同理cos 2β＝a 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2，cos 2γ＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c2，所以cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2.12．若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f 2f 1＋f 4f 3＋f 6f 5＋…＋f 2020f 2019＝________.答案 2020解析因为f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，令b ＝1，则f a ＋1f a ＝f (1)＝2，所以f 2f 1＝f 4f 3＝…＝f 2020f 2019＝2.所以原式＝2＋2＋…＋21010个＝2020. 二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙答案 A解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与已知矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A.14．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩答案 D解析由题意可知，“甲看乙、丙的成绩后，不知道自己的成绩”，说明乙、丙两人中一个优秀一个良好，则乙看了丙的成绩，可以知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩．故选D.15．(2016·北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案 B解析解法一：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A 错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D 错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C 错误．故选B.解法二：设袋中共有2n 个球，最终放入甲盒中k 个红球，放入乙盒中s 个红球．依题意知，甲盒中有(n －k )个黑球，乙盒中共有k 个球，其中红球有s 个，黑球有(k －s )个，丙盒中共有(n －k )个球，其中红球有(n －k －s )个，黑球有(n －k )－(n －k －s )＝s 个．所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．故选B.16．(2017·北京高考)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i ＝1,2,3.(1)记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是________； (2)记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是________．答案 (1)Q 1 (2)p 2解析设线段A i B i 的中点为C i (x i ，y i )．(1)由题意知Q i ＝2y i ，i ＝1,2,3，由题图知y 1最大，所以Q 1，Q 2，Q 3中最大的是Q 1. (2)由题意知p i ＝2y i 2x i ＝y ix i，i ＝1,2,3.y ix i的几何意义为点C i (x i ，y i )与原点O 连线的斜率．比较OC 1，OC 2，OC 3的斜率，由题图可知OC 2的斜率最大，即p 2最大．17．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是________．答案 1和3解析由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则乙的卡片上的数字是2和3，甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则乙的卡片上的数字是2和3，此时，甲的卡片上的数字只能是1和2，不满足题意．故甲的卡片上的数字是1和3.18．(2015·福建高考)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1,2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0，0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．答案 5解析因为x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝0⊕0⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的前3位码元都是对的；因为x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝1⊕0⊕1＝1⊕1＝0，所以二元码1101101的第6、7位码元也是对的；因为x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1⊕1⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的第5位码元是错的，所以k ＝5.三、模拟小题19．(2019·深圳二模)已知“正三角形的内切圆与三边相切，切点是各边的中点”，利用类比的方法可以猜想：正四面体的内切球与各面相切，切点是( )A ．各面内某边的中点B ．各面内某条中线的中点C ．各面内某条高的三等分点D ．各面内某条角平分线的四等分点答案 C解析平面上关于正三角形的内切圆的性质可类比为空间中关于正四面体的内切球的性质，可以推断，在空间几何中有“正四面体的内切球与各面相切，切点是各面的中心”，即各面内某条高的三等分点．故选C.20．(2019·桂林一模)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n(n >2，n ∈N )，经计算可得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，观察上述结果，可得出的一般结论是( )A ．f (2n )>2n ＋12(n ≥2，n ∈N )B ．f (n 2)≥n ＋22(n ≥2，n ∈N )C ．f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N ) D ．f (2n )≥n ＋22(n ≥2，n ∈N )答案 C解析不等式f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，可化为f (22)>2＋22，f (23)>3＋22，f (24)>4＋22，f (25)>5＋22，…，由此归纳，可得f (2n)>n ＋22，故选C. 21．(2019·濮阳联考)有一个由奇数组成的数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：第1组含有一个数{1}，第2组含有两个数{3,5}，第3组含有三个数{7,9,11}，…，则第n 组各数之和为( )A ．n 2B ．n 3C ．n 4D ．n (n ＋1)答案 B解析第一组各数之和为1＝13，第2组各数之和为8＝23，第3组各数之和为27＝33，…，观察规律，归纳可得，第n 组各数之和为n 3.故选B.22．(2019·武汉高三调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案 B解析由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说的是假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．23．(2019·南宁模拟)如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……，根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作( )A．31次B．32次C．33次D．34次答案 C解析由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个，……，由此可得第n次操作后，三角形共有4＋3(n－1)＝3n＋1个．当3n＋1＝100时，解得n＝33.故共需要操作33次．24．(2019·武汉一模)某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》《茶馆》《天籁》《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是( )A．《雷雨》只能在周二上演B．《茶馆》可能在周二或周四上演C．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D．四部话剧都有可能在周二上演答案 C解析由题目可知，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》，故选C.25．(2019·山西吕梁一模)在某次语文考试中，A，B，C三名同学中只有一名同学优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，C说：“A没有得优秀”；B说：“我得了优秀”；A说：“C 说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是________．答案 C解析假如A 说的是假话，则C 说的也是假话，不成立；假如B 说的是假话，即B 没有得优秀，又A 没有得优秀，故C 得优秀；假如C 说的是假话，即A 得优秀，则B 说的也是假话，不成立；故得优秀的同学为C .26．(2019·株洲二模)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术，得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…，则按照以上规律，若88n＝88n具有“穿墙术”，则n ＝________.答案 63 解析因为223＝223＝221×2＋1，338＝338＝332×3＋2，4415＝4415＝443×4＋3，5524＝5524＝554×5＋4，则88n＝88n＝887×8＋7＝8863.即n ＝63.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2019·山西太原模拟)设f (x )＝a x ＋a －x2，g (x )＝a x －a －x2(其中a ＞0，且a ≠1)．(1)请你由5＝2＋3推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示； (2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．解 (1)由于f (3)g (2)＋g (3)f (2) ＝a 3＋a －32·a 2－a －22＋a 3－a －32·a 2＋a －22＝a 5－a －52，又g (5)＝a 5－a －52，因此g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)．(2)由g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)，得g (2＋3)＝f (3)·g (2)＋g (3)f (2)，于是推测g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )．证明：因为f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x 2，所以g (x ＋y )＝a x ＋y －a －x ＋y 2，g (y )＝a y －a －y 2，f (y )＝a y ＋a －y 2，所以f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＋a x －a －x 2·a y ＋a －y 2＝a x ＋y －a －x ＋y2＝g (x ＋y )．2．(2019·三明期末)已知i 为虚数单位，观察下列各等式：(cos1＋isin1)(cos2＋isin2)＝cos3＋isin3；(cos3＋isin3)(cos4＋isin4)＝cos7＋isin7；(cos5＋isin5)(cos6＋isin6)＝cos11＋isin11；(cos7＋isin7)(cos8＋isin8)＝cos15＋isin15.记f (α)＝cos α＋isin α，α∈R .(1)根据以上规律，试猜想f (α)，f (β)，f (α＋β)成立的等式，并加以证明；(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i 6. 解 (1)猜想f (α)f (β)＝f (α＋β)，证明：f (α)f (β)＝(cos α＋isin α)(cos β＋isin β)＝(cos αcos β－sin αsin β)＋(sin αcos β＋cos αsin β)i＝cos(α＋β)＋isin(α＋β)＝f (α＋β)．(2)因为f (α)f (β)＝f (α＋β)，所以f n(α)＝f (α)·f (α)·…·f (α)＝f (nα)＝cos nα＋isin nα，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π66 ＝cosπ＋isinπ＝－1.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

高考数学考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数40算法初步课件理

)
A．0.5 C．2
B．1 D．4
解析当 x＝－4 时，|－4|>3，所以 x＝|－4－3|＝7. 又|7|>3，所以 x＝|7－3|＝4. 又|4|>3，所以 x＝|4－3|＝1. 又|1|<3，所以输出 y＝21＝2. 故选 C.
10．如图，程序框图中的算法输出的结果为(
)
1
2
A.2
B.3
3
4
C.4
D.5
解析分别计算 i 与相应的 m，n 取值依次为 i＝2，m＝
1，n＝12；i＝3，m＝2，n＝23；i＝4, m＝3，n＝34，此时由判
断框可知程序结束，故输出 n＝34，故选 C.
11．为了求满足 1＋2＋3＋…＋n<2013 的最大的自然数
n，程序框图如图所示，则输出框中应填输出(
)
A．i－2
B．i－1
C．i
D．i＋1
解析依次执行程序框图：
S＝0＋1，i＝2；
S＝0＋1＋2，i＝3；
S＝0＋1＋2＋3，i＝4；
……
由此可得
S＝1＋2＋3＋…＋n 时，i＝n＋1；
经检验知当 S＝1＋2＋3＋…＋62＝1953 时，i＝63，满足条件进入循环；
S＝1＋2＋3＋…＋62＋63＝2016 时，i＝64，不满足条件，退出循环．
角 θ＝(
)
π A.6
B．－π6
π C.3
D．－π3
解析由输出 y＝－ 3<0，排除 A，C，又当 θ＝－π3时，
输出 y＝－ 3，故选 D.
3．已知一个算法：
①m＝a；
②如果 b<m，则 m＝b，输出 m，结束算法；否则执行

2021年高考数学二轮复习专题六不等式、推理与证明、算法框图与复数限时检测(文、理)

年高考数学二轮复习专题六不等式、推理与证明、算法框图与复数限时检测（文、理）一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a 1、a 2∈(1，＋∞)，设P ＝1a 1＋1a 2，Q ＝1a 1a 2＋1，则P 与Q 的大小关系为( )A ．P >QB ．P <QC ．P ＝QD ．不确定[答案] B[解析] ∵a 1>1，a 2>1，∴P －Q ＝(1a 1＋1a 2)－(1a 1a 2＋1)＝a 1＋a 2－1－a 1a 2a 1a 2＝－a 1－1a 2－1a 1a 2<0，∴P <Q ，故选B.2．(文)复数z ＝2＋m i 1＋i (m ∈k )是纯虚数，则m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] A[解析] 由于z ＝2＋m i1＋i＝2＋m i1－i2＝2＋m ＋m －2i2，根据纯虚数的概念可得2＋m2＝0，解得m ＝－2.(理)(xx·新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1、z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m 、λ、θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－916，1]C ．[－916，7]D. [916，1][答案] C[解析] ∵z 1＝z 2，∴m ＋(4－m 2)i ＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i ，∴⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ.∴λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4(sin θ－38)2－916，当sin θ＝38时，λ取最小值－916，当sin θ＝－1时，λ取最大值7，故选C. 3．(文)(xx·保定市一模)已知x 、y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≤x x ＋y ≥2x ≤2，则z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的比值为( )A.12B.43C.32 D ．2[答案] D[解析] 作出可行域如图，作直线l 0：2x ＋y ＝0，平移l 0当经过点A 时，z min ＝3，当经过点C 时，z max ＝6，∴所求比值为2.(理)(xx·西城区月考)设实数x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，则y －4x 的最大值是( )A ．－4B ．－12C ．4D ．7[答案] C[解析] 作出可行域如图，令y －4x ＝z ，则当直线y ＝4x ＋z 经过点A (－1,0)时，z max＝4.4．(文)(xx·西城区月考)执行如图所示的程序框图．若输出y ＝－3，则输入角θ＝( )A.π6 B ．－π6C.π3D ．－π3[答案] D[解析] 由输出y ＝－3得， ⎩⎪⎨⎪⎧|θ|<π4，sin θ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧π4≤|θ|<π2，tan θ＝－ 3.∴θ＝－π3.(理)(xx·大兴区模拟)执行如图所示的程序框图，若n ＝4，则输出s 的值是( )A ．－42B ．－21C ．11D ．43[答案] C[解析] 程序运行过程依次为：n ＝4→S ＝1，i ＝1，i ≤n 成立→S ＝1＋(－2)1＝－1，i ＝1＋1＝2，i ≤n 仍成立→S ＝－1＋(－2)2＝3，i ＝2＋1＝3，i ≤n 仍成立→S ＝3＋(－2)3＝－5，i ＝3＋1＝4，i ≤n 仍成立→S ＝－5＋(－2)4＝11，i ＝4＋1＝5，i ≤n 不成立→输出S 的值11后结束．5．已知a 、b 分别为直线y ＝x ＋1的斜率与纵截距，复数z ＝a －ib ＋ii在复平面上对应的点到原点的距离为( )A ．1B ．2C ．4 D. 2[答案] B[解析] 由已知得，a ＝1，b ＝1，z ＝1－i1＋ii＝1＋i －i ＋1i ＝2i＝－2i ，故复数z 在复平面上对应的点的坐标为(0，－2)，所求距离为2，选B.6．(文)(xx·吉林一中二模)“a 2＋b 2ab≤－2”是“a >0且b <0”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 若a >0且b <0，则a 2＋b 2≥2|ab |＝－2ab ，a 2＋b 2ab ≤－2；若a 2＋b 2ab≤－2，则ab <0，a >0且b <0不一定成立，故选A.(理)已知点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)的图象上，则a 2＋a 10与2a 6的大小关系为( )A ．a 2＋a 10>2a 6B ．a 2＋a 10<2a 6C ．a 2＋a 10＝2a 6D ．a 2＋a 10与2a 6的大小与a 有关 [答案] D[解析] 由条件知a n ＝log a n ， ∴a 2＋a 10＝log a 2＋log a 10＝log a 20， 2a 6＝2log a 6＝log a 36，若a >1，y ＝log a x 为增函数，则log a 20<log a 36，∴a 2＋a 10<2a 6，若0<a <1，同理得a 2＋a 10>2a 6，故选D.7．(文)(xx·和平区模拟)在如图所示的计算1＋3＋5＋…＋xx 的程序框图中，判断框内应填入( )A ．i ≤1007B ．i ≤2011C ．i <xxD ．i ≤xx[答案] D[解析] 由框图知，S ＝1＋3＋5＋…＋xx ，i 初值为1，步长为2，S 中加上的最后一项为xx ，故判断框中的条件应为i ≤xx.(理)(xx·郑州市质检)阅读下边的程序框图，则输出的S 为( )A ．6B ．10C ．14D ．30[答案] D[解析] 执行一次，S ＝1，i ＝2；执行二次，S ＝1＋4＝5，i ＝3；执行三次，S ＝5＋32＝14，i ＝4；执行四次，S ＝14＋42＝30，i ＝5，此时满足条件i >4，故输出的S 为30.8．(文)(xx·耀华中学月考)设A 1、A 2、A 3、A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )且1λ＋1μ＝2，则称A 3、A 4调和分割A 1A 2.已知点C (c,0)、D (d,0)(c 、d ∈R )调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上 [答案] D[解析] 由A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )知：四点A 1、A 2、A 3、A 4在同一条直线上，因为C 、D 调和分割点A 、B ，所以A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，且1c ＋1d＝2，故选D.(理)△ABC 满足AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，设M 是△ABC 内的一点(不在边界上)，定义f (M )＝(x ，y ，z )，其中x 、y 、z 分别表示△MBC 、△MCA 、△MAB 的面积，若f (M )＝(x ，y ，12)，则1x ＋4y的最小值为( ) A ．9 B ．8 C ．18D ．16[答案] C[解析] ∵AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°， ∴|AB →|·|AC →|＝4，∴S △ABC ＝12AB ·AC sin30°＝12|AB →|·|AC →|·sin30°＝1，∵f (M )＝(x ，y ，12)，∴x ＋y ＋12＝S △MBC ＋S △MCA ＋S △MAB ＝S △ABC ＝1，∴x ＋y ＝12，∴1x ＋4y ＝(1x ＋4y )·2(x ＋y )＝2(5＋4x y ＋yx)≥2(5＋24x y ·y x )＝18，等号在4x y ＝y x，即x ＝16，y ＝13时成立．二、填空题(本大题共2小题，每小题6分，共12分，将答案填写在题中横线上．) 9．若不等式－1<ax 2＋bx ＋c <1的解集为(－1,3)，则实数a 的取值范围是________． [答案] (－12，12)[解析] 当a ＝0时，存在b ＝12，c ＝－12，使得相应的不等式－1<ax 2＋bx ＋c <1的解集是(－1,3)，因此a ＝0适合题意；当a >0时，依题意得，－1与3是方程ax 2＋bx ＋c ＝1的两根，且ax 2＋bx ＋c >－1恒成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－b a＝－1＋3，c －1a ＝－1×3，b 2－4a c ＋1<0.解得0<a <12；当a <0时，依题意得，－1与3是方程ax 2＋bx ＋c ＝－1的两根，且ax 2＋bx ＋c <1恒成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－b a＝－1＋3，c ＋1a ＝－1×3，b 2－4a c －1<0.解得－12<a <0.综上所述，满足题意的实数a 的取值范围是(－12，12)．10．(文)已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e.试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题________．[答案] 在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >n >0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率是e ，则|sin A －sin C |sin B ＝1e. [解析] 由已知命题，根据类比推理可得出答案． (理)(xx·福建理，15)当x ∈R ，|x |<1时，有如下表达式： 1＋x ＋x 2＋…＋x n＋…＝11－x，两边同时积分得：∫1201d x ＋∫120x d x ＋∫120x 2d x ＋…＋∫120x n d x ＋…＝∫12011－x d x ，从而得到如下等式：1×12＋12×(12)2＋13×(12)3＋…＋1n ＋1×(12)n ＋1＋…＝ln2，请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：C 0n ×12＋12C 1n ×(12)2＋13C 2n ×(12)3＋…＋1n ＋1C n n ×(12)n ＋1＝________.[答案]1n ＋1[(32)n ＋1－1] [解析] 令f (x )＝C 0n x ＋12C 1n x 2＋13C 2n x 3＋…＋1n ＋1C n n x n ＋1，则f ′(x )＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n，由C 0n x 0＋C 1n x ＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n两边积分得，∫120C 0n x 0d x ＋∫120C 1n x d x ＋…＋∫120C n n x n d x ＝∫120(1＋x )nd x ，即C 0n 12＋12C 1n ×(12)2＋13C 2n ×(12)3＋…＋1n ＋1C n n (12)n ＋1＝1n ＋1(1＋x )n ＋1|120＝1n ＋1[(32)n ＋1－1]．三、解答题(本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11．(本小题满分13分)设[x ]表示取x 的整数部分，如[5]＝5，[2.7]＝2，下面程序框图运行后输出结果为S 、T ，设z 1＝S －Ti ，z 2＝1＋i ，z ＝z 1·z 2，求z 在复平面内对应点所在的象限，并求|z |.[解析] 由题意知，程序框图运行后跳出循环时，S 为等差数列{a n }，a n ＝2n ＋1的前5项的和，T 为等比数列{b n }，b n ＝2n的前5项的和，∴S ＝35，T ＝62，故输出的S ＝[355]＝7，T ＝[625]＝12，∴z 1＝7－12i ，z 2＝1＋i ，∴z ＝z 1z 2＝(7－12i )(1＋i )＝19－5i ，∴z 在复平面内对应点(19，－5)在第四象限，|z |＝192＋－52＝386.12．(本小题满分13分)(文)(xx·霍邱二中模拟)解关于x 的不等式：log a (x 2－x －2)>1＋log a (x －2a)(a >0，a ≠1)．[解析] 原不等式等价于log a (x 2－x －2)>log a (ax －2)①当a >1时，①式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，ax －2>0，x 2－x －2>ax －2.即⎩⎪⎨⎪⎧ax －2>0，x 2－x －2>ax －2，亦即⎩⎪⎨⎪⎧x >2a，x <0或x >a ＋1.∴x >a ＋1.②当0<a <1时，①式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，ax －2>0，x 2－x －2<ax －2.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2<ax －2，亦即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >2，0<x <a ＋1.此不等式组的解集为∅.综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >a ＋1}；当0<a <1时，原不等式的解集为∅.(理)(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .(2)1≤a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .[证明] (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得 (y ＋x ＋(xy )2)－(xy (x ＋y )＋1) ＝((xy )2－1)－(xy (x ＋y )－(x ＋y )) ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．由于x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ，其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立． 13．(本小题满分14分)观察下表： 1， 2,3 4,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15， ……问：(1)此表第n 行的最后一个数是多少？ (2)此表第n 行的各个数之和是多少？ (3)xx 是第几行的第几个数？(4)是否存在n ∈N *，使得第n 行起的连续10行的所有数之和为227－213－120？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵第n ＋1行的第1个数是2n， ∴第n 行的最后一个数是2n－1. (2)2n －1＋(2n －1＋1)＋(2n －1＋2)＋…＋(2n－1)＝2n －1＋2n －1·2n －12＝3·22n －3－2n －2.(3)∵210＝1024,211＝2048,1024<xx<2048，∴xx 在第11行，该行第1个数是210＝1024，由xx －1024＋1＝989，知xx 是第11行的第989个数．(4)设第n 行的所有数之和为a n ，第n 行起连续10行的所有数之和为S n . 则a n ＝3·22n －3－2n －2，a n ＋1＝3·22n －1－2n －1，a n ＋2＝3·22n ＋1－2n ，…，a n ＋9＝3·22n ＋15－2n ＋7，∴S n ＝3(22n －3＋22n －1＋…＋22n ＋15)－(2n －2＋2n －1＋…＋2n ＋7)＝3·22n －3410－14－1－2n －2210－12－1＝22n ＋17－22n －3－2n ＋8＋2n －2，n ＝5时，S 5＝227－128－213＋8＝227－213－120.∴存在n ＝5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227－213－120.一、选择题1．(文)(xx·福建理，1)已知复数z 的共轭复数z －＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] ∵z －＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，对应点为(1，－2)在第二象限．点评：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应复平面内的点z (a ，b )． (理)已知复数z ＝2ii －1，则复数z 的共轭复数为( )A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i [答案] A[解析] 由已知得z ＝2i i －1＝2i－i －12＝1－i ，故其共轭复数z －＝1＋i.2．(xx·浙江理，5)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则( )A ．a ＝4B ．a ＝5C ．a ＝6D ．a ＝7[答案] A[解析] 由框图的变化规律可知k 1 2 3 4 S32537495故a 应取4.3．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．－1[答案] B[解析] ∵(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0a ≠1，∴a ＝2.故选B.4．(xx·泗县双语中学模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1[答案] D[解析] 由于不等式组表示面积为1的直角三角形区域，∴直线y ＝kx 与直线x ＝1垂直或与直线x ＋y －4＝0垂直，再由围成面积为1的直角三角形区域知k ＝1.5．(xx·山东理，9)已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．2[答案] B[解析] 本题考查线性规划与点到直线的距离．如图所示由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴A 点坐标为(2,1)，z ＝ax ＋by 在A 点处取得最小值25，即2a ＋b ＝2 5.a 2＋b 2可看作两点(0,0)(a ，b )的距离的平方，原点到直线2a ＋b ＝25的距离的平方是(255)2＝4.6．(文)(xx·安徽理，3)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A ．34B ．55C ．78D ．89[答案] B[解析] 程序运行过程依次为：x ＝1，y ＝1，z ＝1＋1＝2，z ≤50成立→x ＝1，y ＝2，z ＝1＋2＝3，z ≤50成立→x ＝2，y ＝3，z ＝2＋3＝5，z ≤50成立，…依次进行下去得到z的值依次为2,3,5,8,13,21,34,55，当z ＝34时，循环最后一次得到z ＝55，此时不满足z ≤50，输出z ＝55后结束．(理)(xx·新课标Ⅱ文，8)执行下面的程序框图，如果输入的x 、t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] D[解析] 程序运行过程依次为：x ＝2，t ＝2，M ＝1，S ＝3，k ＝1→M ＝11×2＝2，S ＝2＋3＝5，k ＝2→M ＝22×2＝2，S ＝2＋5＝7，k ＝3，∵3>2，不满足k ≤t ，输出S ＝7后结束．7．(文)(xx·内江市模拟)已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是( )A ．4B ．8C ．16D ．64[答案] D[解析] 初值S ＝1，n ＝0；第一次运行后，S ＝1×20＝1，n ＝0＋1＝1；第二次运行后，S ＝1×21＝2，n ＝1＋1＝2；第三次运行后，S ＝2×22＝8，n ＝2＋1＝3；第四次运行后，S＝8×23＝64，n ＝3＋1＝4，此时n >3成立，输出S 值为64.(理)(xx·江西八校联考)一个算法的程序框图如下，则其输出结果是( )A ．0 B.22C.22＋1 D.2＋1[答案] B[解析] 依程序框图可知，S ＝sin π4＋sin 2π4＋sin 3π4＋…＋sin 2014π4＝251×(sinπ4＋sin2π4＋…＋sin 8π4)＋(sin π4＋sin 2π4＋…＋sin 6π4)＝251×0＋(22＋1＋22＋0－22－1)＝22，故选B. 8．(文)(xx·求知中学月考)已知x 、y ∈R ，且满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －2y ＋3≥0y ≥x，则x 2＋y 2－6x的最小值等于( )A ．－92B ．－4C ．0D ．－1[答案] A[解析] 作出可行域如图，x 2＋y 2－6x ＝(x －3)2＋y 2－9表示平面区域ABC 内的点到点P (3,0)距离的平方减去9，由于|PA |＝5，P 到直线y ＝x 的距离d ＝322，∴x 2＋y 2－6x ≥－92，故选A.(理)定义max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≥b b a <b，已知实数x 、y 满足|x |≤1，|y |≤1，设z ＝max{x ＋y,2x －y }，则z 的取值范围是( )A ．[－32，2]B ．[32，2]C ．[32，3]D ．[－32，3][答案] D[解析] 由x ＋y ≥2x －y 得x ≤2y ，∴z ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y x ≤2y 2x －yx >2y，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ |x |≤1|y |≤1x ≤2y及⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤1|y |≤1x ≥2y表示的平面区域分别为正方形BCEF ，被直线AD ：x ＝2y 分开所成的两部分，作直线l 1：x ＋y ＝0和直线l 2：2x －y ＝0，平移l 1可知在平面区域ADEF 内z ＝x ＋y 在A (－1，－12)处取最小值，在E (1,1)处取最大值，∴－32≤z ≤2；平移l 2可知在平面区域ABCD 内的点A (－1，－12)处z ＝2x －y 取最小值，在点C (1，－1)处z ＝2x －y 取最大值，∴－32≤z ≤3，综上知，z 的取值范围是－32≤z ≤3，故选D.[点评] 作为选择题可在正方形BCEF 内取点检验，例如取点C (1，－1)，则x ＋y ＝0,2x －y ＝3，∴z ＝3，排除A 、B ；取B (－1，－1)，则x ＋y ＝－2,2x －y ＝－1，∴z ＝－1，排除C ，故选D. 二、填空题9．(文)(xx·北京东城区模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y ≤0，x ＋y ≥0表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为________，z ＝x ＋y 的最大值为________．[答案] 2 2[解析] 作出区域D 如图，其面积S ＝12×2×2＝2，当直线z ＝x ＋y 过点A (2,0)时，z max＝2.(理)如果直线ax －by ＋5＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝mx ＋1＋1(m >0，m ≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b ＋12)2＝854的内部或圆上，那么ab 2a ＋b 的取值范围是________．[答案] [37，59][解析] 根据指数函数的性质，可知函数f (x )＝mx ＋1＋1(m >0，m ≠1)恒过定点(－1,2)，将点(－1,2)代入ax －by ＋5＝0，可以得到a ＋2b ＝5.对ab2a ＋b作如下变形：ab 2a ＋b ＝11a ＋2b ＝5a ＋2b ·1a ＋2b＝55＋2b a ＋a b.由于(－1,2)始终落在所给圆的内部或圆上，所以a 2＋(b ＋52)2≤854.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝5，a 2＋b ＋522＝854，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，这说明点(a ，b )在以A (1,2)和B (3,1)为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是[13，2]，从而b a ＋a b 的取值范围是[2，103]，进一步可以推得ab 2a ＋b 的取值范围是[37，59]．[点评] 对于指数函数恒过定点的问题，就是让幂指数为零，则函数值必然为 1.同时对于点在圆内和圆上的文字语言，只有准确翻译为符号语言，才能得到a ，b 的关系式，进一步求解后面的问题．另外，我们得到a ，b 表达式后，能否利用b a ，来表示b a ＋a b的范围，即为所求的结果，这个是难点，体现了数学中的转化思想的运用．10．(文)(xx·武汉市模拟)设M 1(0,0)、M 2(1,0)，以M 1为圆心，|M 1M 2|为半径作圆交x 轴于点M 3(不同于M 2)，记作⊙M 1；以M 2为圆心，|M 2M 3|为半径作圆交x 轴于点M 4(不同于M 3)，记作⊙M 2；…；以M n 为圆心，|M n M n ＋1|为半径作圆交x 轴于点M n ＋2(不同于M n ＋1)，记作⊙M n ；…当n ∈N *时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙M n 交于A n ，B n .考察下列论断：当n ＝1时，|A 1B 1|＝2；当n ＝2时，|A 2B 2|＝15；当n ＝3时，|A 3B 3|＝35×42＋23－13；当n ＝4时，|A 4B 4|＝35×43－24－13；……由以上论断推测一个一般的结论：对于n ∈N *，|A n B n |＝________. [答案]35×4n －1＋－1n －1×2n－13[解析] 当n ＝4时，圆心为M 4(3,0)，又点M 5(－5,0)，所以半径为|M 4M 5|＝8.故圆心M4(3,0)到直线y ＝33x的距离为d＝|3－0|1＋13＝32，故|A4B4|＝282－322＝22474＝247＝35×43－24－13.因为|A1B1|＝35×41－1＋－11－1×21－13，|A2B2|＝35×42－1＋－12－1×22－13，|A3B3|＝35×43－1＋－13－1×23－13，|A4B4|＝35×44－1＋－14－1×24－13，由归纳推理得|A n B n|＝35×4n－1＋－1n－1×2n－13.(理)(xx·合肥市质检)先阅读第(1)题的解法，再解决第(2)题：(1)已知a＝(3,4)，b＝(x，y)，a·b＝1，求x2＋y2的最小值．解：|a·b|≤|a|·|b|⇒1≤5x2＋y2⇒x2＋y2≥125，故x2＋y2的最小值为125.(2)已知实数x、y、z满足：2x＋3y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为________．[答案]1 14[解析] 设a＝(2,3,1)，b＝(x，y，z)，则a·b＝1，因为|a·b|≤|a||b|，所以1≤x2＋y2＋z2·4＋9＋1，所以x2＋y2＋z2≥114.三、解答题11．(文)如图所示，在复平面内有三点P1、P2、P3对应的复数分别为1＋a、1＋2a、1＋3a，且OA＝1，|a|＝2，O为原点，若S△P1OP2＋S△P2OP3＝2，求对应的复数a.[解析] 由向量加法的运算法则知，OA →＋AP i →＝OP i →，i ＝1,2,3. ∵P 1、P 2、P 3对应的复数分别为1＋a 、1＋2a 、1＋3a ， ∴AP 1→、AP 2→、AP 3→对应的复数为a 、2a 、3a ， ∴AP 1→＝12AP 2→＝13AP 3→，即A 、P 1、P 2、P 3共线，设AP 3→与x 轴正方向夹角为θ.∵|a |＝2，∴S △AOP 3＝12|OA →|·|AP 3→|sin θ＝12×1×|3a |·sin θ＝3sin θ.∴S △AOP 1＝12|OA →|·|AP 1→|sin θ＝12×1×|a |·sin θ＝sin θ.显然S △P 1OP 2＋S △P 2OP 3＝S △OAP 3－S △OAP 1＝2sin θ. 从而2sin θ＝2，sin θ＝1，∵θ∈(0，π)，∴θ＝π2，因此a ＝2i.(理)对于任意的复数z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，定义运算P (z )＝x 2[cos(y π)＋isin(y π)]． (1)集合A ＝{ω|ω＝P (z )，|z |≤1，x 、y 均为整数}，试用列举法写出集合A ； (2)若z ＝2＋y i(y ∈R )，P (z )为纯虚数，求|z |的最小值；(3)直线l ：y ＝x －9上是否存在整点(x ，y )(坐标x 、y 均为整数的点)，使复数z ＝x ＋y i 经运算P 后，P (z )对应的点也在直线l 上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧ z ＝x ＋y i ，|z |≤1⇒x 2＋y 2≤1，由于x 、y ∈Z ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±1，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝±1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0.∴P (±1)＝1，P (±i)＝0，P (0)＝0，∴A ＝{0,1}．(2)若z ＝2＋y i(y ∈R )，则P (z )＝4[cos(y π)＋isin(y π)]．若P (z )为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧cos y π＝0，sin y π≠0，∴y ＝k ＋12，k ∈Z ，∴|z |＝22＋y 2＝k ＋122＋4，k ∈Z ，当k ＝0或－1时，|z |min ＝172. (3)P (z )对应点坐标为(x 2cos(y π)，x 2sin(y π))，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －9，x 2sin y π＝x 2cos y π－9，x 、y ∈Z ，∴x 2sin(x π－9π)＝x 2cos(x π－9π)－9， ∴x 2sin x π＝x 2cos x π＋9. ∵x ∈Z ，∴①当x ＝2k ，k ∈Z 时，得x 2＋9＝0不成立； ②当x ＝2k ＋1，k ∈Z 时，得x 2－9＝0， ∴x ＝±3成立．此时⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－12，即z ＝3－6i 或z ＝－3－12i.12．(文)看下面一段发现数学公式的过程，指出各自运用了哪种推理方式．公式：S 2(n )＝12＋22＋32＋…＋n 2(n ∈N *)． (1)首先列表计算观察：n 1 2 3 4 5 6 7 8 … S 2(n )1514305591140204…(2)从上表中的数据没有明显的发现，于是联想到正整数之和的公式S 1(n )＝1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)，二者能否有关系呢？此处思维过程运用了什么推理？(3)再列表计算、比对：n 1 2 3 4 5 6 7 8 … S 1(n ) 1 3 6 10 15 21 28 36 … S 2(n )1514305591140204…(4)从上表中数据没有看出明显的规律，再进一步列表计算：n 1 2 3 4 5 6 7 8 … S 1(n ) 1 3 6 10 15 21 28 36 … S 2(n ) 1 5 14 30 55 91 140 204 … S 2nS 1n33537393113133153173…此处思维过程运用了什么推理？ (5)从上表发现了规律：S 2n S 1n ＝2n ＋13，于是猜想：S 2(n )＝16n (n ＋1)(2n ＋1)．此处思维过程运用了什么推理？[解析] (1)通过直接计算得到对应的数字，用的是演绎推理． (2)通过比较，用的是类比推理．(3)通过直接计算得到对应的数字，用的也是演绎推理． (4)通过直接计算得到对应的数字，用的还是演绎推理． (5)通过分析规律，加以总结，用的是归纳推理． (理)先阅读下列框图，再解答有关问题： (1)当输入的n 分别为1,2,3时，a 各是多少？(2)当输入已知量n 时，①输出a 的结果是什么？试证明之； ②输出S 的结果是什么？写出求S 的过程．[解析] (1)当n ＝1时，a ＝13；当n ＝2时，a ＝115；当n ＝3时，a ＝135.(2)(方法一)当输入n 时，①中输出结果为a n ，②中输出结果为S n ，则a 1＝13，a n ＝2n －32n ＋1a n －1(n ≥2)，所以a n a n －1＝2n －32n ＋1(n ≥2) 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a 2a 1·a 1＝2n －32n ＋1·2n －52n －1·2n －72n －3…15·13＝12n ＋1·12n －1＝14n 2－1. (方法二)由a 1＝13＝14×12－1，a 2＝115＝14×22－1，a 3＝135＝14×32－1，猜想a n ＝14n 2－1. 证明：(1)当n ＝1时，结论成立，(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即a k ＝14k 2－1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2k ＋1－32k ＋1＋1a k ＝2k －12k ＋3·14k 2－1＝12k ＋32k ＋1＝14k ＋12－1. 所以当n ＝k ＋1时，结论成立，故对n ∈N *，都有a n ＝14n 2－1成立．因为a n ＝14n 2－1＝12n ＋12n －1＝12(12n －1－12n ＋1)，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝12(1－13)＋12(13－15)＋…＋12(12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1. 13．(文)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象(如图)与x 轴有两个不同的公共点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)试比较1a与c 的大小；(2)证明：－2<b <－1.[解析] (1)由已知，f (x )的图象与x 轴有两个不同的公共点，所以f (x )＝0有两个不同的实数根x 1、x 2.因为f (c )＝0，且x 1·x 2＝c a，所以f (x )＝0的两个根就是c 和1a.如果1a<c ，因为a >0，故1a >0，即0<1a <c ，而当0<x <c 时，f (x )>0，所以有f (1a )>0.这与1a是f (x )＝0的根矛盾，所以1a>c .(2)证明：因为f (c )＝0，所以ac 2＋bc ＋c ＝0.又c >0，故ac ＋b ＋1＝0. 因为a >0，c >0，所以ac >0.于是b ＋1<0.故b <－1.又f (x )的图象的对称轴为x ＝－b 2a ，且f (x )＝0的两根为c 和1a ，且c <1a ，所以－b 2a <1a ⇒b >－2.故－2<b <－1.(理)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求证：12＋13＋14＋…＋12n －1<b n －1(n ∈N *，n ≥2)．[解析] (1)证明：b n ＋1－b n ＝12a n ＋1－1－12a n －1＝121－14a n－1－12a n －1＝12－12a n－1－12a n －1＝1， ∴数列{b n }为等差数列． (2)因为b 1＝12a 1－1＝1，所以b n ＝1＋(n －1)＝n ，b n －1＝n －1(n ≥2)，原不等式即为证明12＋13＋14＋…＋12n －1<n －1(n ∈N *，n ≥2)，即1＋12＋13＋14＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n ≥2)成立．用数学归纳法证明如下：当n ＝2时，1＋12＋13<2成立，所以n ＝2时，原不等式成立；假设当n ＝k 时，1＋12＋13＋…＋12k －1<k 成立；当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋14＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1 <k ＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋2k－1 <k ＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k ＋2k2k ＝k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立，所以n ∈N *，n ≥2，总有12＋13＋14＋…＋12n －1<b n －1成立．。

2021高考数学一轮复习第一部分考点通关练第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试39复数苏教版

考点测试39 复数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，低难度考纲研读1.理解复数的基本概念 2．理解复数相等的充要条件3．了解复数的代数表示法及其几何意义 4．会进行复数代数形式的四则运算5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义一、基础小题1．(－1＋i)(2i ＋1)＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－3－i D ．－3＋i答案 C解析由题意，得(－1＋i)(2i ＋1)＝－2i －1－2＋i ＝－3－i ，故选C. 2．已知m 为实数，i 为虚数单位，若m ＋(m 2－4)i>0，则m ＋2i2－2i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1答案 A解析因为m ＋(m 2－4)i>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－4＝0，可得m ＝2，故m ＋2i 2－2i ＝21＋i21－i＝i.故选A.3．已知复数z ＝1－i3＋4i (其中i 为虚数单位)，则|z |的值为( )A.225B ．225C ．25D ．25答案 D解析解法一：因为z ＝1－i3＋4i ＝1－i 3－4i 3＋4i 3－4i＝－1－7i25，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－7252＝25.故选D. 解法二：因为z ＝1－i 3＋4i ，所以|z |＝|1－i 3＋4i |＝|1－i||3＋4i|＝25.故选D.4．已知复数z ＝(1＋a i)(1－2i)(a ∈R )为纯虚数，则实数a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－12答案 D解析 z ＝(1＋2a )＋(a －2)i ，由已知得1＋2a ＝0且a －2≠0，解得a ＝－12，故选D.5．下列各式的运算结果为实数的是( ) A ．－i(1＋i) B ．i(1－i) C ．(1＋i)－(1－i) D ．(1＋i)(1－i) 答案 D解析对于A ，－i(1＋i)＝1－i ；对于B ，i(1－i)＝1＋i ；对于C ，(1＋i)－(1－i)＝2i ；对于D ，(1＋i)(1－i)＝2.故选D.6．已知复数z ＝31－2i (i 是虚数单位)，则z 的实部为( )A ．－35B ．35 C ．－15D ．15 答案 B解析 ∵z ＝31－2i＝31＋2i 1－2i 1＋2i ＝35＋65i ，∴z 的实部为35.故选B.7．若复数z ＝i 1＋i (i 为虚数单位)，则z ·z －＝( )A.12i B ．－14C ．14D ．12答案 D解析解法一：∵z ＝i 1＋i＝i1－i 2＝1＋i 2＝12＋12i ，∴z －＝12－12i ，∴z ·z －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12i⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12i ＝12，故选D. 解法二：∵z ＝i 1＋i ，∴|z |＝1|1＋i|＝22，∴z ·z －＝|z |2＝12，故选D.8．复数z ＝21＋i (i 为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(－1，－1)答案 B解析 z ＝21＋i ＝21－i 1＋i 1－i ＝1－i ，故复数z ＝21＋i 在复平面内对应的点的坐标是(1，－1)，故选B.9．已知复数z ＝i ＋i 2020，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A 解析 ∵i ＋i 2020＝1＋i ，∴i ＋i2020在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，所以该点在第一象限．故选A.10．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z 1＝3＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．10 B ．－10 C ．－9＋i D ．－9－i答案 B解析因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z 1＝3＋i ，所以z 2＝－3＋i ，所以z 1z 2＝(3＋i)·(－3＋i)＝－9－1＝－10，故选B.11．在复平面内表示复数im －i(m ∈R ，i 为虚数单位)的点位于第二象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)答案 C 解析由题意，得i m －i ＝i m ＋i m 2＋1＝－1m 2＋1＋mm 2＋1i ，因为在复平面内该复数对应的点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1m 2＋1<0，mm 2＋1>0，解得m >0，即m ∈(0，＋∞)，故选C.12．下面四个命题中，正确的是( ) A ．若复数z 1＝z －2，则z 1·z 2∈RB ．若复数z 1，z 2满足z 1－z 2∈R ，则z 1∈R ，z 2∈RC ．若复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2或z 1＝－z 2D ．若复数z 1，z 2满足z 1＋z 2∈R ，则z 1∈R ，z 2∈R 答案 A解析若复数z 1＝z －2，则z 1·z 2＝z －2·z 2＝|z 2|2∈R ，故A 中命题正确；取z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i ，则z 1－z 2＝－1∈R ，而z 1∉R ，z 2∉R ，故B 中命题错误；取z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，满足|z 1|＝|z 2|，不满足z 1＝z 2或z 1＝－z 2，故C 中命题错误；取复数z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，满足z 1＋z 2∈R ，不满足z 1∈R ，z 2∈R ，故D 中命题错误．故选A.二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1答案 C解析由已知条件，可得z ＝x ＋y i.∵|z －i|＝1，∴|x ＋y i －i|＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C.14．(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝－3＋2i ，则在复平面内 z －对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 z －＝－3－2i ，故z －对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选C. 15．(2019·全国卷Ⅲ)若z (1＋i)＝2i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i答案 D解析由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i 1－i 1＋i 1－i ＝2i1－i2＝i(1－i)＝1＋i.故选D.16．(2019·北京高考)已知复数z ＝2＋i ，则z ·z －＝( ) A. 3 B ． 5 C ．3 D ．5答案 D解析 ∵z ＝2＋i ，∴z －＝2－i.∴z ·z －＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D. 17．(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A ．0B ．12C ．1D ． 2答案 C解析因为z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝1－i 21＋i 1－i ＋2i ＝－2i 2＋2i ＝i ，所以|z |＝0＋12＝1，故选C.18．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i1－2i ＝( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i答案 D 解析 ∵1＋2i1－2i＝1＋2i 25＝－3＋4i 5，∴选D.19．(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－i D ．3＋i答案 D解析 (1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i ，故选D. 20．(2018·浙江高考)复数21－i(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i答案 B 解析 ∵21－i＝21＋i 1－i 1＋i ＝1＋i ，∴21－i的共轭复数为1－i.21．(2018·北京高考)在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 ∵11－i ＝1＋i 1－i 1＋i ＝12＋12i ，∴其共轭复数为12－12i ，又12－12i 在复平面内对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12在第四象限，故选D.22．(2017·北京高考)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)答案 B解析 ∵复数(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i 在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，∴a ＜－1.故选B.23．(2017·山东高考)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z －＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B ．7或－7 C ．－ 3 D ． 3答案 A解析 ∵z ＝a ＋3i ，∴z －＝a －3i.又∵z ·z －＝4，∴(a ＋3i)(a －3i)＝4，∴a 2＋3＝4，∴a 2＝1，∴a ＝±1.故选A.24．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2； p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R .其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4答案 B解析对于命题p 1，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由1z ＝1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，得b ＝0，则z ∈R成立，故正确；对于命题p 2，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 2＝(a 2－b 2)＋2ab i ∈R ，得a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0，复数z 为实数或纯虚数，故错误；对于命题p 3，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，由z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ∈R ，得ad ＋bc ＝0，不一定有z 1＝z －2，故错误；对于命题p 4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ∈R ，得b ＝0，所以z －＝a ∈R 成立，故正确．故选B.25．(2019·天津高考)i 是虚数单位，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i 的值为________．答案13解析 ∵5－i1＋i＝5－i 1－i 1＋i1－i ＝2－3i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i ＝|2－3i|＝13.26．(2019·浙江高考)复数z ＝11＋i (i 为虚数单位)，则|z |＝________.答案22解析 z ＝11＋i ＝1－i 1＋i 1－i ＝1－i 1－i 2＝12－12i ，易得|z |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22.27．(2019·江苏高考)已知复数(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是________．答案 2解析 (a ＋2i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i ，因为其实部为0，故a ＝2. 28．(2018·天津高考)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i ＝________.答案 4－i 解析6＋7i 1＋2i ＝6＋7i1－2i 1＋2i1－2i ＝20－5i5＝4－i.29．(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.答案 5 2解析解法一：∵(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，a ，b ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a 2＝3，ab ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＝2.∴a 2＋b 2＝2a 2－3＝5，ab ＝2. 解法二：由解法一知ab ＝2，又|(a ＋b i)2|＝|3＋4i|＝5，∴a 2＋b 2＝5.30．(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________．答案 2解析由(1＋i)(1－b i)＝a ，得1＋b ＋(1－b )i ＝a ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝a ，1－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以a b＝2.三、模拟小题31．(2019·新乡一模)若复数z 满足z (2－i)＝18＋11i ，则z 的实部为( ) A ．－5 B ．5 C ．－8 D ．8答案 B解析因为z ＝18＋11i2－i＝5＋8i ，所以z 的实部为5.32．(2019·湖南湘潭一模)若复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则复数z －的虚部为( ) A ．－i B ．1 C ．－1 D ．i 答案 C解析由题意可知，z ＝2i 1＋i＝1＋i ，故z －＝1－i ，所以其虚部为－1. 33．(2019·山西吕梁一模)已知复数z ＝3＋4i 1＋2i ，则|z －|＝( )A. 5 B ．10 C ．2 5 D ．5答案 A解析解法一：因为z ＝3＋4i1＋2i ＝3＋4i1－2i 1＋2i1－2i ＝11－2i 5，所以z －＝11＋2i 5，|z －|＝|11＋2i 5|＝15112＋22＝ 5.解法二：|z －|＝|z |＝|3＋4i||1＋2i|＝55＝ 5.故选A.34．(2019·开封一模)已知复数z 满足(1＋3i)z ＝1＋i ，则复平面内与复数z 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D 解析由(1＋3i)z ＝1＋i ，得z ＝1＋i 1＋3i＝1＋i 1－3i 1＋3i1－3i＝1＋3＋1－3i1＋3＝1＋34＋1－34i ，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋34，1－34，在第四象限．故选D.35．(2019·吉林市调研)欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，ie π4i 表示的复数对应的点位于复平面内( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A 解析 ∵eπ4i ＝cos π4＋isin π4＝22＋22i ，∴i e π4i ＝i 22＋22i ＝i ⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22i ＝22＋22i ，此复数在复平面内对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22位于第一象限，故选A.本考点在近三年高考中未涉及此题型．。

2021新高考版大一轮复习用书数学第五章 5.4

→→→ ∵OC＝xOA＋yOB，
∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)， ∴Error!解得Error!故 x＋y＝5.
1．(2019·葫芦岛模拟)设 i 是虚数单位，若复数 z＝1＋2i，则复数 z 的模为( )
A．1 B．2 2 C. 3 D. 5
答案 D
解析依题意，|z|＝ 12＋22＝ 5，故选 D.
z2 z1 1－i 1＋i 2 2 思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
跟踪训练 1 (1)已知 a∈R，i 是虚数单位，若 z＝ 3＋ai，z·z＝4，则 a 为( )
A．1 或－1
B．1
C．－1
D．不存在的实数
－2i
解析 ∵z＝＋2i＝
＋2i＝＋2i＝i，
1＋i
1＋i1－i
2
∴|z|＝1.故选 C.
i
2
4．已知复数 z＝，则 z＋在复平面内对应的点位于( )
1－i
2
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案 A
i
i1＋i
11
解析 ∵ z＝＝
＝－＋ i，
1－i 1－i1＋i 2 2
2 2－1 1 ∴ z＋＝＋ i，
10
2
思维升华复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数、模等，在解题过程中
要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解．
复数的运算
命题点 1 复数的乘法运算
例 1 (1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于( )
A．－3－i B．－3＋i C．3－i D．3＋i

2021高考数学一轮复习第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试32不等关系与不等式课件苏教版

a＋b 0< ab <1，又
a>0，b<0，∴ab<0，∴ab<a＋b<0.
故选 B.
解析答案
15．(2018·北京高考)设集合 A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，
则( )
A．对任意实数 a，(2,1)∈A
B．对任意实数 a，(2,1)∉A
C．当且仅当 a<0 时，(2,1)∉A
9．若 6<a<10，a2≤b≤2a，c＝a＋b，则 c 的取值范围是(
)
A．[9,18]
B．(15,30)
C．[9,30]
D．(9,30)
解析 ∵a2≤b≤2a，∴32a≤a＋b≤3a，即32a≤c≤3a.∵6<a<10，∴9<c<30.
故选 D.
解析答案
10．设 a，b∈R，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a⊗b＝ab，，aa≤ >bb，， a
＝0<－a 成立；当 b>0 时，|b|＝b<|a|＝－a，|b|<－a 成立；当 b<0 时，－b<
－a，则|b|<－a 成立．综上，|b|<－a.
解法二：因为 a<b<|a|，令 a＝－2，b＝0，代入各选项验证，可排除 B，
C，D，故选 A.
解析答案
7．已知 a<b<c 且 a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )
且 a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )
A．ax＋by＋cz
B．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cx
D．ay＋bx＋cz
答案

高考数学考点通关练第五章不等式、推理与证明、算

＝2－a＋52a＋1i为纯虚数，所以 2－a＝0，a＝2.
解法二：令12＋－aii＝mi(m≠0)， ∴1＋ai＝(2－i)mi＝m＋2mi. ∴ma＝＝21m，， ∴a＝2.
8．在复平面内，向量A→B对应的复数是 2＋i，向量C→B对
应的复数是－1－3i，则向量C→A对应的复数为(
C．4
D．5
解析由题意知 x＋yi＝3＋i 4i＝4－3i，所以|x＋yi|＝|4
－3i|＝ 42＋－32＝5.
4．若复数 z 满足1＋z 2i＝i(i 为虚数单位)，则 z 的虚部为
(
)
A．－2
B．2
C．1
D．－1
解析由1＋z 2i＝i，可得 z＝1＋i 2i＝i＋i22i2＝－－2＋ 1 i＝2－ i，所以 z 的虚部为－1，故选 D.
解析设 z＝a＋bi(a、b∈R)，则 2z＋ z ＝2(a＋bi)＋a －bi＝3a＋bi＝3－2i，∴a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i，故选
B.
17．[2016·四川高考]设 i 为虚数单位，则(x＋i)6 的展开
式中含 x4 的项为(
)
A．－15x4
B．15x4
D.12＋12i
解析
i2＋ i3＋ 1－i
i4＝－1＋ 1－－i i＋1＝1－－ii
＝1－－ii1＋ 1＋ii＝1－ 2 i＝12－12i.
7．设 i 是虚数单位，复数12＋－aii为纯虚数，则实数 a 为
(
)
A．2
B．－2
C．－12
1 D.2
解析解法一：因为12＋－aii＝12＋－aii22＋＋ii
第一部分考点通关练第五章不等式、推理与证明、

2021届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试新人教B版

考点测试36 基本不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读1.了解基本不等式的证明过程2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题一、基础小题1．下列说法正确的是( ) A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2 B ．若x <0，则x ＋4x≥－2x ·4x＝－4 C ．若ab ≠0，则b 2a ＋a 2b≥a ＋bD ．若x <0，则2x＋2－x>2 答案 D解析对于A ，当ab <0时不成立；对于B ，若x <0，则x ＋4x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋4－x ≤－2－x ·4－x＝－4，当且仅当x ＝－2时，等号成立，因此B 项不成立；对于C ，取a ＝－1，b ＝－2，b 2a ＋a 2b ＝－92<a ＋b ＝－3，所以C 项不成立；对于D ，若x <0，则2x ＋2－x>2成立．故选D. 2．不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,0) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(－2,1) D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)答案 C解析根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a min，因为a b ＋b a ≥2a b ·b a＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2,1)．3．已知m >0，n >0,2m ＋n ＝1，则14m ＋2n 的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．92D ．16答案 C解析由于m >0，n >0,2m ＋n ＝1，则14m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫14m ＋2n ＝52＋n 4m ＋4m n ≥52＋2n 4m ·4m n＝92，当且仅当n ＝23，m ＝16时取等号．故选C. 4．设x ＞0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B ．12 C ．1 D ．32 答案 A解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 5．已知x ＞0，y ＞0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12 D ．16答案 B解析由4x ＋y ＝xy ，得4y ＋1x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.6．若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y的最小值为( ) A ．4 B ．4 2 C ．2 D ．2 2答案 A解析 ∵3x ＋2y ＝2，∴8x＋4y＝23x＋22y≥223x·22y＝223x ＋2y＝4，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立，∴8x ＋4y 的最小值为4.故选A.7．已知向量a ＝(1，x －1)，b ＝(y,2)，其中x >0，y >0.若a ⊥b ，则xy 的最大值为( )A.14 B ．12 C ．1 D ．2答案 B解析因为a ＝(1，x －1)，b ＝(y,2)，a ⊥b ，所以a ·b ＝y ＋2(x －1)＝0，即2x ＋y ＝2.又因为x >0，y >0，所以2x ＋y ≥22xy ，当且仅当x ＝12，y ＝1时等号成立，即22xy ≤2，所以xy ≤12，所以当且仅当x ＝12，y ＝1时，xy 取到最大值，最大值为12.故选B.8．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y 的最大值为( )A.14 B ．15 C ．19 D ．112 答案 C 解析 2x ＋yxy＝2y ＋1x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋1x (x ＋2y )＝5＋2y x ＋2xy≥5＋22y x ·2xy＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝2x y ，x ＋2y ＝1，即x ＝y ＝13时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫xy 2x ＋y max ＝19.9．已知函数f (x )＝cosπx (0<x <2)，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则1a ＋4b的最小值为( )A.92 B ．9 C ．18 D ．36答案 A解析函数f (x )＝cosπx (0<x <2)的图象的对称轴为直线x ＝1.因为a ≠b ，且f (a )＝f (b )，所以a ＋b ＝2，所以1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )×12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b ≥12×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝92，当且仅当a ＝23，b ＝43时取等号，故1a ＋4b 的最小值为92.故选A.10．若正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，则x ＋2y 的最小值为________．答案 4解析 ∵正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，∴x ＋2y ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－8≥0.设x ＋2y ＝t＞0，∴t ＋14t 2－8≥0，∴t 2＋4t －32≥0，即(t ＋8)(t －4)≥0，∴t ≥4，即x ＋2y ≥4，当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号，故x ＋2y 的最小值为4.11．正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝2a 1，且a 6＝a 5＋2a 4，则1m ＋9n的最小值是________．答案 4解析由于数列{a n }是正项等比数列，由a 6＝a 5＋2a 4得q 2＝q ＋2，解得q ＝2(负根舍去)．由a m ·a n ＝2a 1，得2m ＋n －2＝22，m ＋n ＝4.故1m ＋9n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋9n ·(m ＋n )＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋9＋n m ＋9m n ≥14⎝⎛⎭⎪⎫10＋2n m ·9m n ＝14×(10＋6)＝4，当且仅当m ＝1，n ＝3时等号成立，所以1m ＋9n 的最小值为4.12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c sin B ＋bsin C ＝2a ，则△ABC 是________三角形．答案等腰直角解析 ∵c sin B ＋b sin C ＝2a ，∴sin C sin B ＋sin B sin C ＝2sin A ，又sin C sin B ＋sin Bsin C ≥2sin C sin B ·sin Bsin C＝2，当且仅当sin C sin B ＝sin B sin C 时，等号成立，∴sin A ≥1，又sin A ≤1，∴sin A ＝1，故A ＝π2，b ＝c ，∴△ABC 是等腰直角三角形．二、高考小题13．(2019·天津高考)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy的最小值为________．答案 4 3解析 ∵x >0，y >0，∴xy >0.∵x ＋2y ＝5，∴x ＋12y ＋1xy＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy＝2xy ＋6xy ＝2xy ＋6xy ≥212＝4 3.当且仅当2xy ＝6xy ，且x ＋2y ＝5，即x ＝2，y ＝32或x＝3，y ＝1时取等号．∴x ＋12y ＋1xy的最小值为4 3.14．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．答案 14解析由已知，得2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b ＝22－6＝14，当且仅当2a ＝2－3b时等号成立，由a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0，得a ＝－3，b ＝1，故当a ＝－3，b ＝1时，2a＋18b 取得最小值14.15．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案 30解析设总费用为y 万元，则y ＝600x×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋900x ≥240，当且仅当x ＝900x，即x＝30时，等号成立．16．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．答案 4解析 ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)，∴a 4＋4b 4＋1ab≥4a 2b 2＋1ab＝4ab ＋1ab，由于ab ＞0，∴4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立，故当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab 时，a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4.17．(2015·重庆高考)设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．答案 3 2解析令t ＝a ＋1＋b ＋3，则t 2＝(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋1＋b ＋3＋2a ＋1·b ＋3≤9＋a ＋1＋b ＋3＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时，即a ＝72，b ＝32时，等号成立，所以t 的最大值为3 2.三、模拟小题18．(2019·山东日照模拟)若实数x ，y 满足xy >0，则xx ＋y ＋2yx ＋2y的最大值为( )A ．2－ 2B ．2＋ 2C ．4＋2 2D ．4－2 2答案 D 解析x x ＋y ＋2y x ＋2y ＝x x ＋y ＋x ＋2y －x x ＋2y ＝1＋x x ＋y －xx ＋2y＝1＋xy x ＋yx ＋2y＝1＋xyx 2＋3xy ＋2y 2＝1＋13＋x y＋2y x，因为xy >0，所以x y >0，y x >0.由基本不等式可知x y ＋2yx≥22，当且仅当x ＝2y 时等号成立，所以1＋13＋x y ＋2y x≤1＋13＋22＝4－2 2.故选D.19．(2019·重庆模拟)设a ＝x 2－xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ，若对任意的正实数x ，y ，都存在以a ，b ，c 为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2]C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 答案 A解析对任意的正实数x ，y ，由于a ＝x 2－xy ＋y 2≥2xy －xy ＝xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立，且三角形的任意两边之和大于第三边，所以xy ＋2xy >p xy ，且p xy ＋xy >2xy ，且p xy ＋2xy >xy ，解得1<p <3，故实数p 的取值范围是(1,3)，故选A.20．(2019·重庆梁平区调研)已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n的最小值为( )A ．3－2 2B ．5C ．3＋2 2D ．3＋ 2答案 C解析令x ＋3＝1，得x ＝－2，故A (－2，－1)．又点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，所以－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，则1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (2m ＋n )＝3＋n m ＋2mn≥3＋2n m ·2mn＝3＋2 2.当且仅当m ＝1－22，n ＝2－1时等号成立，所以1m ＋1n的最小值为3＋22，故选C. 21．(2019·惠州市高三第三次调研)在△ABC 中，点D 是AC 上一点，且AC →＝4AD →，P 为BD 上一点，向量AP →＝λAB →＋μAC →(λ>0，μ>0)，则4λ＋1μ的最小值为( )A ．16B ．8C ．4D ．2答案 A解析由题意可知AP →＝λAB →＋4μAD →，其中B ，P ，D 三点共线，由三点共线的充分必要条件可得，λ＋4μ＝1，则4λ＋1μ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4λ＋1μ(λ＋4μ)＝8＋16μλ＋λμ≥8＋216μλ·λμ＝16，当且仅当λ＝12，μ＝18时等号成立，即4λ＋1μ的最小值为16.故选A.22．(2019·衡阳市高三第一次联考)设正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2019＝6057，则1a 2＋4a 2018的最小值为( )A ．1B ．23C ．136D ．32答案 D 解析依题意，20192(a 1＋a 2019)＝6057⇒a 1＋a 2019＝a 2＋a 2018＝6，1a 2＋4a 2018＝16(a 2＋a 2018)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋4a 2018＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4a 2a 2018＋a 2018a 2≥32.当且仅当a 2＝2，a 2018＝4时取等号．所以1a 2＋4a 2018的最小值为32.23．(2019·浙江省名校联考)已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，则1abc ＋1d的最小值是( )A ．10B ．9C ．4 2D ．3 3答案 B解析 ∵a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，∴1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．则1abc ＋1d≥4·1c ＋1d＝(c ＋d )⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋1d ＝5＋4d c ＋c d≥5＋24dc ·cd ＝9，故当且仅当a ＝b ＝12且c ＝23，d ＝13时，1abc ＋1d的最小值为9.故选B.24．(2019·山东省济宁市期末)已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝(n ＋1)cosn π2(n ≥2，n ∈N *)，S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2021＋m ＝1012，且a 1·m >0，则1a 1＋1m的最小值为( )A ．2B ． 2C ．2 2D ．2＋ 2答案 A解析由a n ＋1＋a n ＝(n ＋1)cosn π2(n ≥2，n ∈N *)得，a 3＋a 2＝－3，a 4＋a 3＝0，a 5＋a 4＝5，a 6＋a 5＝0，a 7＋a 6＝－7，a 8＋a 7＝0，a 9＋a 8＝9，a 10＋a 9＝0，…，∴a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝…＝a 2018＋a 2019＋a 2020＋a 2021＝2，∴S 2021＝505(a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＋a 1＝1010＋a 1，又S 2021＋m ＝1012，∴a 1＋m ＝2，∴1a 1＋1m ＝12(a 1＋m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1m ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a 1m ＋m a 1≥2，当且仅当a 1＝m ＝1时，取等号．∴1a 1＋1m的最小值为2.一、高考大题1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1. 证明：(1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33a ＋b3b ＋c3c ＋a3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥3×(2ab )×(2bc )×(2ca )＝24. 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24. 二、模拟大题2．(2019·湖北宜昌一中7月起点检测)设a >0，b >0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，求证：a ＋2b ≥ 3＋12.证明设2a ＋b ＝x ，b ＋1＝y ，则x >0，y >1，1x ＋1y ＝1，则a ＝x －y ＋12，b ＝y －1，所以a ＋2b ＝x －y ＋12＋2y －2＝x 2＋3y 2－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y －32＝3y 2x ＋x 2y ＋12≥23y 2x ·x 2y ＋12＝3＋12，当且仅当3y 2x ＝x 2y ，即a ＝12＋33，b ＝33时等号成立．故a ＋2b ≥3＋12. 3．(2019·河北唐山模拟)已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y . (1)求1x ＋1y的最小值；(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．解 (1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xy xy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x ＋1y的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )．又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2. 从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1＋y ＋122≤4，因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.4.(2019·攀枝花模拟)如图，将宽和长都分别为x ，y (x ＜y )的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为5.(注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形)(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)当x ，y 取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出其最小值．解 (1)由题意可得，2xy －x 2＝5，则y ＝x 2＋52x，∵y ＞x ，∴x 2＋52x＞x ，解得0＜x ＜45.∴y 关于x 的函数解析式为y ＝x 2＋52x(0＜x ＜45)．(2)设正十字形的外接圆的直径为d ，由图可知，d 2＝x 2＋y 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋52x2＝5x24＋54x 2＋52≥52＋52，当且仅当x ＝1，y ＝5＋12时，正十字形的外接圆的直径d 最小，最小值为 5＋52＝10＋252，则半径的最小值为10＋254，所以正十字形的外接圆面积的最小值为π×⎝⎛⎭⎪⎫10＋2542＝5＋58π. 5．(2019·河南驻马店检测)某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x 2＋x )万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？解 (1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x－1.所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x ) ＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫240x －1＋240x(x 2＋x )＝96000x＋240x －160.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x ≤240. 故y 与x 的函数关系是y ＝96000x＋240x －160(0<x ≤240)．(2)y ＝96000x＋240x －160≥296000x·240x －160＝2×4800－160＝9440，当且仅当96000x＝240x ，即x ＝20时等号成立，此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9440万元．。

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D．a 能被 5 整除
答案
解析由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立从而进行推证．命题“a，b∈N，若 ab 可被 5 整除，那么 a，b 中至少有一个能被 5 整除”的否定是“a，b∈N，若 ab 可被 5 整除，那么 a，b 都不能被 5 整除”，故选 B.
是( )
A．a>b
B．a<b
C．a＝b
D．a，b 大小不定
解析
因为 a＝
m＋1 －
m＝
1 m＋1＋
，b＝ m
m－
m－1 ＝
1
，而
m＋ m－1
m＋1＋ m> m＋
m－1>0(m>1)，所以
1 m＋1＋ m
<
1 m＋
m－1，即
a<b.故选
B.
解析答案
3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设 a>b>c，且 a＋b＋c
解析
二、高考小题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
三、模拟小题
7．(2020·天津月考)用反证法证明命题“a，b∈N，若 ab 可被 5 整除，
那么 a，b 中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应该是( )
A．a，b 都能被 5 整除
B．a，b 都不能被 5 整除
C．a，b 不都能被 5 整除
第一部分考点通关练
第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数
考点测试37 直接证明与间接证明
高考概览高考在本考点的常考题型为解答题，分值 12 分，中、高等难度 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分
考纲研读析法和综合法的思考过程和特点 2．了解反证法的思考过程和特点
第1步狂刷小题 ·基础练
(3)给定不小于 2 的 n，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素 α，β，M(α，β)＝0.写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由．
解 (1)因为 α＝(1,1,0)，β＝(0,1,1)，所以 M(α，α)＝12×[(1＋1－|1－1|)＋(1＋1－|1－1|)＋(0＋0－|0－0|)]＝ 2， M(α，β)＝12×[(1＋0－|1－0|)＋(1＋1－|1－1|)＋(0＋1－|0－1|)]＝1.
＝0，求证： b2－ac< 3a”索的因应是( )
A．a－b>0
B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0
D．(a－b)(a－c)<0
解析要证 b2－ac< 3a，只需证 b2－ac<3a2，即证(a＋c)2－ac<3a2，
即证 2a2－ac－c2>0，即证(2a＋c)(a－c)>0，即证[2a－(a＋b)](a－c)>0，即
解析
第2步精做大题 ·能力练
一、高考大题 1．(2018·北京高考)设 n 为正整数，集合 A＝{α|α＝(t1，t2，…，tn)，tk ∈{0,1}，k＝1,2，…，n}．对于集合 A 中的任意元素 α＝(x1，x2，…，xn) 和 β＝(y1，y2，…，yn)，记 M(α，β)＝12[(x1＋y1－|x1－y1|)＋(x2＋y2－|x2－y2|) ＋…＋(xn＋yn－|xn－yn|)]． (1)当 n＝3 时，若 α＝(1,1,0)，β＝(0,1,1)，求 M(α，α)和 M(α，β)的值； (2)当 n＝4 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素 α，β，当 α，β 相同时，M(α，β)是奇数；当 α，β 不同时，M(α，β)是偶数．求集合 B 中元素个数的最大值；
解析
故
q＝1，故
bn＋1＝
2 a1 bn.
下证 a1＝ 2，若 a1≠ 2，则 a12>1，于是 b1<b2<b3，由 a1＝ aa1＋21＋bbn2n得 bn＝a1±aa2121－21－a21，所以 b1，b2，b3 中至少有两项相同，
矛盾．
所以 a1＝ 2，所以 bn＝ 2，所以正确的序号是①③④.
解析
8．(2019·焦作模拟)用分析法证明不等式(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)时，
最后得到的一个显然成立的不等式是( )
A．(ac＋bd)2≥0
B．a2＋b2≥0
C．(ad－bc)2≥0
D．c2＋d2≥0
解析要证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，只要证 a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2
解
2．(2018·江苏高考)记 f′(x)，g′(x)分别为函数 f(x)，g(x)的导函数，若存在 x0∈R，满足 f(x0)＝g(x0)且 f′(x0)＝g′(x0)，则称 x0 为函数 f(x)与 g(x) 的一个“S 点”．
(1)证明：函数 f(x)＝x 与 g(x)＝x2＋2x－2 不存在“S 点”； (2)若函数 f(x)＝ax2－1 与 g(x)＝ln x 存在“S 点”，求实数 a 的值； (3)已知函数 f(x)＝－x2＋a，g(x)＝bxex，对任意 a>0，判断是否存在 b>0，使函数 f(x)与 g(x)在区间(0，＋∞)内存在“S 点”，并说明理由．
解析
11．(2019·黄冈、华师一附中等八校第一次联考)已知各项均为正数的两个无穷数列{an}和{bn}满足：an＋1＝ aan＋2n＋bbn2n，bn＋1＝ 2·bann，n∈N*，且{an} 是等比数列，给定以下四个结论：①数列{an}的所有项都不大于 2；②数列{bn}的所有项都大于 2；③数列{an}的公比等于 1；④数列{bn}一定是等比数列．其中正确结论的序号是________．
＋a2d2＋b2c2＋b2d2，即证 2abcd≤a2d2＋b2c2，即证(ad－bc)2≥0，该式显然
成立．故选 C.
解析答案
9．(2019·武汉模拟)已知 a，b，c∈R，若ba·ac＞1 且ba＋ca≥－2，则下列结论成立的是( )
A．a，b，c 同号 B．b，c 同号，a 与它们异号 C．a，c 同号，b 与它们异号 D．b，c 同号，a 与 b，c 的符号关系不确定
答案 ①③④
答案
解析因为an＋2 bn2≤a2n＋b2n＜(an＋bn)2，
所以 1<an＋1≤ 2.①
下证等比数列{an}的公比 q＝1.
若 q>1，则 a1<a2≤ 与①矛盾；
2，则当 n>logq a12时，a1qn> 2，此时 an＋1> 2，
若 0<q<1，则 a1>a2>1，则当 n>logqa11时，a1qn<1，此时 an＋1<1，与①矛盾．
解
对于 Sk(k＝1,2，…，n－1)中的不同元素 α，β，经验证，M(α，β)≥1. 所以 Sk(k＝1,2，…，n－1)中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素．所以 B 中元素的个数不超过 n＋1. 取 ek＝(x1，x2，…，xn)∈Sk 且 xk＋1＝…＝xn＝0(k＝1,2，…，n－1)．令 B＝{e1，e2，…，en－1}∪Sn∪Sn＋1，则集合 B 的元素个数为 n＋1，且满足条件．故 B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．
一、基础小题
1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法
是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有
() A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
解析由综合法，分析法，反证法的定义知①②③④⑤都正确．
解析答案
2．已知 m>1，a＝ m＋1－ m，b＝ m－ m－1，则以下结论正确的
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确，②的假设错误
D．①的假设错误，②的假设正确
解析用反证法证明时，其假设应否定命题的结论．证明①：“已知
p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2”时，可假设“p＋q>2”；证明②：“若 x2＝4，
则 x＝－2 或 x＝2”时，可假设“x≠－2 且 x≠2”．故选 C.
解析答案
证(a－b)(a－c)>0，故索的因应是(a－b)(a－c)>0.
解析答案
4．用反证法证明命题①：“已知 p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2”时，可
假设“p＋q>2”；命题②：“若 x2＝4，则 x＝－2 或 x＝2”时，可假设“x≠
－2 或 x≠2”．以下结论正确的是( )
A．①与②的假设都错误
5．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时，f(x)单调递减，若 x1 ＋x2>0，则 f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值
B．恒等于零
C．恒为正值
D．无法确定正负
解析由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时，f(x)单调递减，可
知 f(x)是 R 上的单调递减函数，由 x1＋x2>0，可知 x1>－x2，所以 f(x1)<f(－ x2)＝－f(x2)，所以 f(x1)＋f(x2)<0.
解
所以每组中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素．所以集合 B 中元素的个数不超过 4. 又集合{(1,0,0,0)，(0,1,0,0)，(0,0,1,0)，(0,0,0,1)}满足条件，所以集合 B 中元素个数的最大值为 4. (3)设 Sk＝{(x1，x2，…，xn)|(x1，x2，…，xn)∈A， xk＝1，x1＝x2＝…＝xk－1＝0}(k＝1,2，…，n)， Sn＋1＝{(x1，x2，…，xn)|x1＝x2＝…＝xn＝0}，所以 A＝S1∪S2∪…∪Sn＋1.
解
(2)设 α＝(x1，x2，x3，x4)∈B，则 M(α，α)＝x1＋x2＋x3＋x4. 由题意知 x1，x2，x3，x4∈{0,1}，且 M(α，α)为奇数，所以 x1，x2，x3，x4 中 1 的个数为 1 或 3. 所以 B⊆{(1,0,0,0)，(0,1,0,0)，(0,0,1,0)，(0,0,0,1)，(0,1,1,1)，(1,0,1,1)， (1,1,0,1)，(1,1,1,0)}．将上述集合中的元素分成如下四组： (1,0,0,0)，(1,1,1,0)；(0,1,0,0)，(1,1,0,1)；(0,0,1,0)，(1,0,1,1)；(0,0,0,1)， (0,1,1,1)．经验证，对于每组中两个元素 α，β 均有 M(α，β)＝1.