大学物理 波动方程 试题(附答案)

x
x
x
点处质点的振动速度 v 与时间 t 的关系曲线为： [ A ] v
ωA
Y
v
t (s )
1
u
P
0 0 .5
2
0
− ωA
1
2
A
0
t (s )
x
0
− ωA
v
0 .5
(A )
ωA
1
t (s )
2
(B)
v
0
1
(C )
(D )
π⎞ π⎞ ⎛ 2π ⎛ y P = Acos⎜ t − ⎟ = A cos⎜ π t − ⎟ 2⎠ 2⎠ ⎝ T ⎝
(SI)
φ O
2A / 2
A
y
又 λ = 200 m ，波动方程为
(2) 将 x ＝100m 代入上式，得该处的振动方程
5 ⎞ ⎛ y100 = A cos ⎜ 500πt + π ⎟ 4 ⎠ ⎝
ww
w. z
hi
na
nc
dy100 5 ⎞ ⎛ = −500πA sin⎜ 500πt + π ⎟ (SI) dt 4 ⎠ ⎝ 3 ⎞ ⎛ 将 x＝-100m 代入上式， 得该处的振动方程 y −100 = A cos⎜ 500π t − π ⎟ 4 ⎠ ⎝ dy −100 3 ⎞ ⎛ = −500π A sin⎜ 500π t − π ⎟ (SI) 振动速度表达式为 v −100 = dt 4 ⎠ ⎝
《大学物理》AII 作业
No.2 波动方程
解：拉力恒定，则波速 u =
u T 恒定， λ = 。 ν 越大， λ 越小; 反之 ν 越小， λ 越大。 µ ν
na
3. 一简谐横波沿 Ox 轴传播。若 Ox 轴上 P 1 和 P 2 两点相距 λ /8 (其中 λ 为该波的波长 )， ω 则在波的传播过程中，这两点振动速度的 � [ C ] (A)方向总是相同; (B)方向总是相反; A1 (C)方向有时相同，有时相反; (D)大小总是不相等。 � t
x 处质点的振动位移。
om
2
t (s )
x
。在波的传播
4. 一简谐波沿 BP 方向传播，它在 B 点引起的振动方程为 y1 = A1 cos 2π t 。另一简谐波沿
CP 方向传播， 它在 C 点引起的振动方程为 y 2 = A2 cos(2π t + π ) 。 P 点与 B 点相距 0.40m，与 C 点相距 0.5m(如图)。波速均为 u＝
A2
5. 一简谐波沿 Ox 轴正方向传播，t＝0 时刻波形曲线如左下图所示，其周期为 2s。则 P
om
O
� A2
一、选择题 1. 把一根十分长的绳子拉成水平，用手握其一端。维持拉力恒定，使绳端在垂直于绳子 的方向上作简谐振动，则 [ B ] (A) 振动频率越高，波长越长。 (B) 振动频率越低，波长越长。 (C) 振动频率越高，波速越大。 (D) 振动频率越低，波速越大。
w. z
4. 图示为一沿 x 轴正向传播的平面简谐波在 t＝0 时刻的波形。若振动以余弦函数表示， 且此题各点振动初相取 − π 到 π 之间的值，则 y [ A ] (A) 1 点的初位相为 ϕ1 = 0 。
hi
∆x λ 8 π 解：P1 和 P 2 两点位相差， ∆ϕ = 2π = 2π = λ λ 4 这两点的振动速度方向有时相同，有时相反。
nc
⎝
dy ) a < 0 ；此时 x ＝20cm 处的 b 质点振动状态 dt
⎡ ⎛ x⎞ ⎤ y = 0.1 cos⎢ 7π ⎜ t − ⎟ + ϕ ⎥ ⎣ ⎝ u⎠ ⎦
ww
⎡ ⎛ ⎤ dy x⎞ = −0.7 sin ⎢7π ⎜ t − ⎟ + ϕ ⎥ dt ⎣ ⎝ u⎠ ⎦
由 y a = 0,
三、计算题
hi
1. 一平面简谐波沿 x 轴正向传播，振幅 A =10cm，圆频率 ω = 7π rad ⋅ s −1 ，当 t＝1.0 s 时，
x＝10cm 处的 a 质点振动状态为 y a = 0, (
w. z
为 yb = 5.0cm, (
dy )b > 0 。设该波波长 λ > 10cm ，求波的表达式。 dt
om
t(s )
1 2 3 4
t(s )
y (m )
u
10 5 15
20 25
x(m )
解：(1)由于 P 点向下运动，可以判定波向 (－x)传播。根据旋转矢量图可知 O 点振动初相
ϕ=
π π⎞ ⎛ ，所以 O 点的振动方程为 y0 = A cos⎜ 500πt + ⎟ 4 4⎠ ⎝
⎡ ⎛ x ⎞ π⎤ y = A cos⎢ 2π ⎜ 250t + ⎟+ ⎥ 200 ⎝ ⎠ 4⎦ ⎣
振动速度表达式为 v100 =
he .c
om
(SI) (SI)
he .c
A2
1
t2 � A1
u
1 (B) 0 点的初位相为 ϕ 0 = − π 。 2 (C) 2 点的初位相为 ϕ 2 = 0 。
1
2
3 4
ww
(D) 3 点的初位相为 ϕ 3 = 0 。
� A0
� A3 O �
解：t＝0 时，各点旋转矢量位置如图所示，可见
� A1
π π ϕ 1 = 0, ϕ 0 = , ϕ 2 = − , ϕ 3 = π 2 2
(
)
，代入(1)式，得 ϕ
，所以波的
(SI)
y (cm ) 2. 一列平面简谐波在介质中以波速 u = 5m⋅ s-1 沿 x 轴正向 2 传播，原点 O 处质元的振动曲线如图所示。 (1) 画出 x ＝25m 处质元的振动曲线。 0 2 (2) 画出 t＝3s 时的波形曲线。
解： (1)O 点振动方程为
dy dt
a
π ⎛ 0.1 ⎞ < 0 ，得 7π ⎜1 − ⎟+ϕ = u ⎠ 2 ⎝
om
x
则
ν
y = 0. 05, 由 b
(1)、(2)两式相减，得 表达式为
dy dt
> 0 ，得 7π ⎜1 −
b
⎛ ⎝
π 0.2 ⎞ ⎟ +ϕ = − u ⎠ 3
=− 17 π 3
…… (2)
u = 0.84 m ⋅ s −1
的 表 达 式 为
解
：
由
波
na
L1 + L2 +ϕ)。 λ 2π (L1 + x ) 与 P1 点状态相同的 x 点满足 2πvt + ϕ = 2πvt − + ϕ + 2kπ λ ∴ x = kλ − L1 , k = ±1,±2,⋯。
代入 r = L1 + L2 得 y 2 = Acos( 2πνt − 2π
hi
⎛π ⎞ y = 2 × 10 −2 cos⎜ t − 3π ⎟ ⎝2 ⎠
(SI) (2
2 ×10
−2
ww
w. z
曲线如图(1)所示。 (2)将 t＝3s 代入波动方程，得波形方程
0
πx ⎞ ⎛ y = 2 × 10 −2 cos⎜ π − ⎟ ，波形曲线如图(2)所示。 10 ⎠ ⎝
3. 如图所示为一平面简谐波在 t＝0 时刻的波形图，设此简谐波的频率为 250Hz，且此时 质点 P 的运动方向向下，求 y(m ) (1) 该波的波动方程； 2A/ 2 P (2) 在距原点 O 为 100m 处质点的振动方程与 O 振动速度表达式。 x(m ) 100m −A
0.20m⋅s -1。则两波在 P 的相位差为 0 。
C
. .
r2
.
P
r1
解：由振动方程可知ν = 1 ，所以 λ = u = 0.2 (m ) ，两波在 P 点
B
引起的位相差为 ∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 − 2π
r2 − r1 0. 5 − 0. 4 = π − 2π =0 λ 0. 2
5. 如图所示，一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播，波长为 λ ，若 P 1 点处质点的振动方程 为 y1 = A cos (2π vt + ϕ ) ，则 P2 点处质 点的振动方 程为
nc
0
2. 在下面几种说法中，正确的说法是： [ C ] (A) 波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的。 (B) 波源振动的速度与波速相同。 (C) 在波传播方向上的任一质点振动相位总是比波源的相位滞后。 (D) 在波传播方向上的任一点的振动相位总是比波源的相位超前。 解：波动的周期在数值上等于波源振动的周期；波源振动的速度与波速完全不同；在波 传播的方向上，质点振动的位相依次落后，所以任一点的振动相位都落后于波源的相位。
nc
he .c
4
x ⎞ ⎛ 17 ⎞ ⎤ πx π ⎞ ⎡ ⎛ ⎛ y = 0.1cos ⎢ 7π ⎜ t − + ⎟ ⎟ + ⎜ − π ⎟ ⎥ = 0.1cos ⎜ 7π t − 0 . 84 3 0 . 12 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎣ ⎦
将 x＝25m 代入上式，得该处振动方程
0
− 2 ×10 − 2
P 点的振动速度
t＝0 时， v = ω A = π A ，可见为曲线(A) 。
曲线(虚线)，由图可见，A 点将向下运动，B 点和 C 点将向上运动。
hi
二、填空题 1. 一个余弦横波以速度 u 沿 x 轴正向传播， t 时刻波形曲线如图所示。 试分别指出图中 A 、 B、 C 各质点在该时刻的运动方向。 A 向下 ； y B 向上 ；C 向上 。 u A B 解： 由波传播的方向可以画出下一时刻 t + dt 的波形