优高等数学第7章 微分方程
高等数学同济第七版第七章学习指导
而 分别是方程
的特解,那么 就是方程（7-18）的特解.
以上定理可以推广到n阶线性微分方程.
5. 二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为
（7-19）
其中 是常数.
方程 叫做微分方程（7-19）的特征方程.
解法①写出微分方程（7-19）的特征方程，并求出特征根.
②解此高阶微分方程，求出满足该方程的未知函数.
③把已求得的函数代入原方程组，求出其余的未知函数.
二、典型题精讲
题型1.一阶微分方程
【方法与技巧】
（1）一阶微分方程的解题步骤：①判断方程类型.一般地判断顺序为：可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程；②根据方程类型，确定解题方法（见知识梳理3）；③求方程的解；④如果通过作变量替换后得出方程的解，最后一定要还原.
叫做伯努利方程.
解法①化伯努利方程为一阶线性微分方程
将方程(7-11)两端同除以 ,化为
, (7-12)
在方程（7-12）中，令 ,化为一阶线性微分方程
. (7-13)
②求解方程（7-13），在通解中以 代 得原方程得通解.
3. 可降阶的高阶微分方程
(1) 型的方程.
解法连续积分 次即可求得通解（注意每积分一次出现一个任意常数）.
(2) 型的方程.
解法①化为一阶微分方程
令 ,则 ,原方程化为一阶微分方程
(7-14)
②解一阶微分方程
解方程(7-14),设其通解为 ,代入 .再解方程 得原方程的通解为
.
(3) 型的方程.
解法①化为一阶微分方程
令 ,则 ，原方程化为
(7-15)
②解一阶微分方程
解方程（7-15）,设其通解 ，代入 .再解方程 得原方程的通解为
高等数学课件7第二节 可分离变量的微分方程ppt
思考与练习
1. 求下列方程的通解 :
提示:
(1)
分离变量
y
x
1 y2 dy 1 x2 dx
(2) 方程变形为 y 2cos x sin y
ln tan y 2sin x C 2
4
y5,
dx
是可分离变量的微分方程．
4
y 5dy
Байду номын сангаас
2 x 2dx,
若 dy f ( x, y) dx
dy dx
f1(x) f2( y) ；
或由 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
M1( x)M2( y)dx N1( x)N2( y)dy 0 .
则均为可分离变量的微分方程．
二、分离变量法
( Q( x, y) 0 )
将它看成以 y 为自变量、x 为未知函数的方程
dx Q( x, y) dy P( x, y)
( P(x, y) 0 )
引例1. 求一阶微分方程 dy 2x 的通解． dx
解: 两端积分得通解 y x2 C ．
引例2. 求一阶微分方程 dy 2xy2 的通解． dx
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
令 C eC1
( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
例2. 求下列微分方程的通解:
解: 原方程化为
dy ex e y dx
分离变量
e ydy exdx
两边积分
通解： e y e x C
(2)
反之，
当 g( y) 0 时，
由(2)式所确定的隐函数y ( x)是(1)式的解;
第七章微分方程详解
( c为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
三、齐次方程
一阶常微分方程
dy
dx
f
y x
(1)
称为齐次方程. 这里 f 是一元函数.
齐 次 方 程 的 求 解:
设 u y( x) u( x) x
则 y u x
dy dx
u
x
du dx
代 入(1) 式 得 :
u
x
du dx
y2x
2xy
c 可取任意实数,
包括负数和零.
例2 y y ln y x
解
dy dx
y ln y x
dy y ln y
dx x
积 分 得:
lnln y ln x lnc
ln y c x
y e cx . ( 通解)
结论 : 如果一个一阶常微分方程能化成
g( y) dy f (x) dx
(隐 式 通 解)
四、一阶线性微分方程
dy P( x) y Q( x)
(1)
dx
(1) 叫做一阶线性常微分方程;
dy P( x) y 0
(2)
dx
(2) 叫做齐次线性方程;
dy dx
P(x)
y
Q( x)
Q( x)/ 0
(3)
(3) 叫做非齐次线性方程;
(2) 叫做对应于(3) 的齐次线性方程.
的通解. 例如:
y x2 c 为 y 2x 的 通 解. y 4.9x2 c1 x c2 为 y 9.8 的 通 解.
y 4.9x2 c1 c2 不 是 y 9.8 的 通 解.
5. 用 来 确 定 任 意 常 数 的件条称 为 定 解 条 件.
高数(第七版)第7章讲稿
y Q(x)e P(x)dxdx C1 e P(x)dx e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx C1e P(x)dx
这表明:一阶非齐次线性方程的通解等于对应于它 的齐次方程的通解加上该非齐次方程的一个特解.
例1.(P316,例1)求方程 dy 2 y (x 1)5/2的通解. dx x 1
从而 dy u x du ,方程 1变为u x du (u)
dx
dx
dx
即 du (u) u ,这是可分离变量方程,求出它的
dx
x
通解,再将u y 代入得1的通解.
x
例1P310?解方程 y2 x2 dy xy dy .
dx dx
解:先化为标准形式
(xy x2 ) dy y2 dx
解法 : 作换元,令 y p, y dp dx
原方程变为 dp f (x, p) 一阶方程 dx
设其通解为: p (x,C1),C1是任意常数 即 y (x,C1)
y (x,C1)dx C2 , (C1, C2是任意常数)
只表示一个原函数
例2.(P323,例3)求(1 x2) y 2xy的通解,并求满足初始
y C(x)(x 1)2 2C(x)(x 1)
代入原方程,得
C(x)(x 1)2 2C(x)(x 1) 2 C(x)(x 1)2 x 1
(x 1)5/2
C(x)(x 1)2 (x 1)5/2
C(x) (x 1)1/2
C(x)
(x
1)1/2 dx
2 3
(x
1)3/ 2
C1
y C(x)(x 1)2
过点(x0 , y0 )的那条积分曲线.
初值问题 3的几何意义:求微分方程 y f (x, y, y)
第七章-微分方程1
（ 复 习 ）
Y 为对应齐次方程的通解
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高 等 数 学 （ 下 ）
例11 解
求 y '' 5 y' 6 y xe 2 x 通解
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下一张
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高 等 数 学 （ 下 ）
二、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0, 上面方程称为齐次的.
（ 复 习 ）
当Q( x ) 0, 上面方程称为非齐次的.
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*
1 b0 , b1 1 2
2x
（ 复 习 ）
y xe
原方程的通解为
1 ( x 1) 2
3x
y c1e
2x
c2 e
xe
2x
1 ( x 1) 2
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高 等 数 学 （ 下 ）
例12 解
求y '' 3 y' 2 y 3 xe x 通解
高 等 数 学 （ 下 ）
一、可分离变量的微分方程
g ( y )dy f ( x )dx
可分离变量的微分方程.
4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 d y 2 x 2d x , dx 解法 设函数 g( y ) 和 f ( x ) 是连续的,
第七章 微分方程总结
第七章 微分方程 总结一、基本概念1．微分方程的定义： ．2．微分方程的阶的定义： ．3．微分方程的解的定义： ．4．微分方程的通解的定义： ．5．微分方程的初始条件： ． 一阶微分方程的初始条件形式为 ； 二阶微分方程的初始条件形式为 ．6．微分方程的特解： ．7．积分曲线： ．8．积分曲线族： ．9．两个函数)(1x y 与)(2x y 线性相关的定义： ． 两个函数)(1x y 与)(2x y 线性无关的定义： ．二、性质与结论1．二阶齐次线性微分方程的通解结构： ．2．二阶非齐次线性微分方程的通解结构： ．3．二阶非齐次线性微分方程特解的叠加性： ．三、类型与解法1．一阶微分方程的计算（1）可分离变量的微分方程的形式： ，求解方法： ．（2）齐次型微分方程的形式： ， 求解方法： ．（3）一阶线性微分方程的形式： ， 当 时，上式称为一阶线性齐次微分方程，否则称为一阶线性非齐次微分方程， 求解方法：（1）先求一阶线性齐次微分方程的通解为 ；（2）再使用常数变易法求就可求得一阶线性非齐次微分方程通解，其通解公式为： ．2．可降阶的高阶微分方程的计算（1）()()n y f x =型微分方程的解法是 ．（2）(,)y f x y '''=型微分方程的解法是 ．（3）),(y y f y '=''型微分方程的解法 ．3．二阶线性微分方程的计算（1）二阶常系数齐次线性微分方程的形式： ． 其通解： （1） ；（2） ；（3） ．（2）二阶常系数非齐次线性微分方程的形式： ． 当()e ()x m f x P x λ=时，其特解可设*y = ．①若λ不是02=++q pr r 的根，则k = ； ②若λ是02=++q pr r 的一个单根，则k = ； ③若λ是r pr q 20++=的二重根，则k = ． 当()e x f x λ=[)()1(x P l x ωcos +]sin )()2(x x P n ω时，其特解可设*y = ．①当ωλi +不是特征根时，k = ； ②当ωλi +是特征根时，k = ． 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为： ．。
同济版大一高数下第七章第四节一阶线性微分方程
1 1 = [ ∫ sin xd x + C ] = [C − cos x] x x
7
例3： 求微分方程 ( x − sin y )d y + tan yd x = 0
6 解： 上式不是一阶线性方程的形式， 若将 x 看成 y 的 dx 函数，方程可写为： + cot y ⋅ x = cos y dy 此方程为一阶线性微分方程。 用通解公式有：
即
f ′( t ) − 8π tf ( t ) = 8π te
8π ∫ tdt
4πt 2
4π t 2 −8π ∫ tdt
从而求得通解 f (t ) = e
(8π ∫ te
e
dt + c)
13
=e
4πt 2
( 4π t + c )
2
又 f (0 ) = 1 + 0 故
4πt 2
c=1
所以
f (t ) = e
代入原方程整理得：
′ + x 3 = 2 cos y 3x x
2
dz + z = 2cos y, dy
z = e −∫ d y [2 ∫ cos ye ∫ d y d y + c]
18
原方程的通解： x 3 = sin y + cos y + ce − y
例4 用适当的变量代换解下列微分方程:
1. 2 yy′ + 2 xy = xe
z = y1− n , 令
化为线性方程求解. ( n −1) ∫ P ( x ) d x (1− n ) ∫ P ( x ) d x 1− n y =e dx + C ] [ (1 − n) ∫ Q( x) e 21
高等数学第七章4节一阶微分线性方程
一阶齐次线性微分方程 一阶非齐次线性微分方程
2
设
dy P x y Qx dx
（1）
dy 为一阶非齐次线性微分方程， 则方程 Px y 0 dx
称为对应于（1）的齐次线性微分方程.
2. 一阶齐次线
dy P x y 0, dx dy 得 P x dx , y dy P x dx , y
u x Q x e P x dx dx C .
求得() 的通解为：
y [ Q x e P x dx dx C ]e P x dx .
7
或
y Ce P x dx e P x dx Q x e P x dx dx
第四节
一阶线性微分方程
dy P x y Qx dx
一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程
dy P x y Q x y n dx
n 0 ,1
1
一、一阶线性微分方程
1.定义 形如
dy 称为一阶线性微分 P x y Q x 的方程， dx
将 y u x e
P x dx
代入() ， 得
u x e
即 积分得
P x dx
u x e
P x dx
P x
P x u x e
P x dx
Q x
P x dx u x Q x e
齐次线性微分方程的通解
非齐次线性微分方程的特解
即 非齐次线性微分方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解 与非齐次线性方程的一个特解之和.
8
5 dy 2y x 1 2 的通解 . 例1 求方程 dx x 1
高等数学第七章习题册答案
高等数学第七章习题册答案高等数学第七章习题册答案高等数学是大学数学的一门重要课程，其中第七章涉及到的内容主要是微分方程和级数。
习题册是学生们用来巩固和提高自己数学水平的重要工具。
在这篇文章中，我将为大家提供高等数学第七章习题册的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一章的知识。
1. 题目：求微分方程$\frac{dy}{dx}=2x+3$的通解。
解答：首先将微分方程化为标准形式$\frac{dy}{dx}-2x=3$，然后求出其齐次方程$\frac{dy}{dx}-2x=0$的通解$y_c=Ce^{2x}$，其中$C$为常数。
接下来，我们需要求出非齐次方程$\frac{dy}{dx}-2x=3$的一个特解$y_p$。
根据常数变易法，我们可以猜测特解的形式为$y_p=Ax+B$，其中$A$和$B$为待定常数。
将$y_p$代入非齐次方程，得到$\frac{d(Ax+B)}{dx}-2x=3$，整理后可得$A=2$和$B=-3$，即特解$y_p=2x-3$。
最后，将齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加，即可得到原微分方程的通解$y=y_c+y_p=Ce^{2x}+2x-3$。
2. 题目：求微分方程$\frac{d^2y}{dx^2}-4\frac{dy}{dx}+4y=0$的通解。
解答：首先将微分方程化为特征方程$r^2-4r+4=0$，解得$r=2$，因此特征根为重根$r_1=r_2=2$。
根据特征根的重根性质，我们可以得到齐次方程的通解$y_c=(C_1+C_2x)e^{2x}$，其中$C_1$和$C_2$为常数。
接下来，我们需要求出非齐次方程的一个特解$y_p$。
根据待定系数法，我们可以猜测特解的形式为$y_p=Ae^{2x}$，其中$A$为待定常数。
将$y_p$代入非齐次方程，得到$4Ae^{2x}-4\cdot2Ae^{2x}+4Ae^{2x}=0$，整理后可得$A=0$，即特解$y_p=0$。
高等数学第7章(第8节)
y C 1 e x C 2 e x x e x
x e
k x
i x i x
第四步 分析 y 的特点
y y1 y1 k x
x e
因
~ Rm cos x Rm sin x
y1 y1
y
y1 y1
y1 y1
y*
~ 所以 y 本质上为实函数 , 因此 Rm , Rm 均为 m 次实
因此特解为 y* x ( 1 x 1) e 2 x . 2
所求通解为
1 ( 2
x 2 x ) e2 x .
y 3 y 2 y 1 例3. 求解初值问题 y (0) y (0) y (0) 0
解: 本题 0 , 特征方程为
y* e x [ Q ( x) Q ( x) ] y* e x [ 2 Q ( x) 2 Q ( x) Q ( x) ]
代入原方程 , 得
(1) 若 不是特征方程的根, 则取 x e为[ m 次待定系数多项式 ( x) (2 p q ) Q ( x) ] Q ( x) ( 2 p ) Q Q (x) 从而得到特解
x
i 为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为
y* x e
k x
~ [ Rm ( x) cos x Rm ( x) sin x]
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
y* x (a x b) cos x (cx d )sin x
y p y q y Pm ( x) e( i ) x
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第七章微分方程 非线性非齐次一阶变系数
不可分离变量
齐次 常系数线性可分离变量
微分方程
高阶线性非齐非线性变次常系数 齐次系数
客观事物的规律用数字表示那就是函数 所以利用函数可以掌握客观事物的规律 因此要寻求函数关系, |在许多问题中,不能直接找出函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式, 这样的关系式就是所谓微分方程, |微分方程建立以后, 对它进行研究,找出未知函数来, 这就是解微分方程, |本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的解法,
第一节 微分方程的基本概念 下面我们通过几何、力学及物理学中的几个具体例题来说明微分方程的基本概念,
引例 例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程, 解 设所求曲线的方程为yφ(x). 根据导数的几何意义, 可知未知函数yφ(x)应满足关系式dy2x.
dx(1)
此外,未知函数yφ(x)还应满足下列条件:x=1时,y=2(2)
把(1)式两端积分,得y2xdx即2yxC,(3) 其中C是任意常数, 把条件“x=1时,y=2”代入(3)式,得221C 由此定出C=1. 把C=1代入(3)式, 即得所求曲线方程2yx1.(4)
例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度20.4m/s. 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程？
解 设列车在开始制动后ts时行驶了sm. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s=s(t)
应满足关系式:t0时,s=0,dsv20.
dt(6)
和满足关系式:22ds
0.4
dt(5)
把(5)式两端积分一次,得1;
dsv0.4tC
dt(7)
再积分一次,得212s0.2tCtC,(8) 这里12C,C都是任意常数, 把条件“t=0时,v=20”代入(7)式,得120C. 把条件“t=0时,s=0” 代入(8)式,得20C. 把12C,C的值代入(7)及(8)式,得v=-0.4t+20,(9) s=2-0.2t20t.(10)
在(9)式中令v=0,得到列车从开始制动到完全伶住所需的时间20t50(s).
0.4
再把t=50代入(10)式, 得到列车在制动阶段行驶的路程2s0.2502050500(m).
上述两个例子中的关系式dy2x
dx和22ds0.4dt都含有未知函数的导数, 它们都是微分方程, 定义 微分方程 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫做微分方程,简称方程,
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫做微分方程的阶, 例如, dy2x
dx 是一阶微分方程;
22ds
0.4
dt是二阶微分方程,
322xyxy4xy3x
是三阶微分方程;
(4)y4y10y12y5ysin2x
是四阶微分方程,
一般的,n阶微分方程的形式是(n)F(x,y,y,,y)0.(11) 这里必须指出,在方程(11)中, (n)y
必须出现,
而(n1)x,y,y,y
等变量可以不出现,
例如n阶微分方程(n)y10中, 除(n)y外,其他变量都没有出现,
如果能从方程(11)中解出最高阶导数, 那么可得微分方程(n)(n1)yf(x,y,y,,y).
(12)
以后我们讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程,
由前面的例子我们看到, 在研究某些实际问题时, 首先建立微分方程, 然后找出微分方程的解 |就是说,找出这样的函数, 把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式, 这个函数就叫做该微分方程的解, |确切地说, 设函数yφ(x)在区间I上有n阶连续导数, 如果在区间I上,(n)F[x,φ(x),φ(x),φ(x)]0, 那么函数yφ(x)就叫做微分方程(11)在区间I上的解,
例如, 函数(3)2yxC和(4)2yx1都是微分方程(1)dy2x
dx的解;
函数(8)212s0.2tCtC和(10)s=2-0.2t20t都是微分方程(5)22ds
0.4
dt的解,
定义 微分方程的通解 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同①, 这样的解叫做微分方程的通解, 例如,
函数(3)2yxC是方程(1)dy2x
dx的解,
它含有一个任意常数,而方程(1)是一阶的, 所以函数(3)是方程(1)的通解, 又如,
函数(8)212s0.2tCtC是方程(5)22ds
0.4
dt的解,
它含有两个任意常数,而方程(5)是二阶的, 所以函数(8)是方程(5)的通解,
微分方程的特解 由于通解中含有任意常数, 所以它不能完全确定地反映具体客观事物的规律性, 要完全确定地反映具体客观事物的规律性, 必须确定这些常数的值, |为此,要根据问题的实际情况, 提出确定这些常数的条件, 例如,例1中的条件(2) x=1 时,y=2
例2中的条件(6)t0时,s=0,dsv20
dt
设微分方程中的未知函数为yφ(x), |如果微分方程是一阶的, 通常用来确定任意常数的条件是0xx时0yy, 其中00x,y都是给定的值; |如果微分方程是二阶的,
①这里所说的任意常数是相互独立的, 就是说,它们不能合并而使得任意常数的个数减少 (参看本章第六节关于函数组的线性相关性) 通常用来确定任意常数的条件是0xx时,y00y,yy, 其中00x,y和0y都是给定的值, ||上述这种条件叫做初始条件,
定义 微分方程的特解 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解,
例如(4)式2yx1 是方程(1)dy2x
dx 满足条件(2)x=1 时,y=2的特解:
(10)式s=2-0.2t20t是方程(5)22ds
0.4
dt满足条件(6)t0时,s=0的特解,
定义 初值问题, 求微分方程yf(x,y)满足初始条件0xx时0yy的特解 这类问题, 叫做一阶微分方程的初值问题,
记作00yf(x,y)当x=x时,y=y(13)
定义 微分方程的解的几何意义 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线, |初值问题(13)的几何意义, 就是求微分方程的通过点00(x,y)的那条积分曲线,
|二阶微分方程的初值问题000yf(x,y,y),当x=x,yy,yy的几何意义, 是求微分方程的通过点00(x,y)且在该点处的切线斜率为0y的那条积分曲线,
例3 验证:函数12xCcosktCsinkt(14) 是微分方程22
2
dxkx0
dt(15)的解,
解 求出所给函数(14)的导数12
dxkCsinktkCcoskt,
dt(16)
22dx
dt2
12k(CcosktCsinkt)
把22dxdt及x的表达式代入方程(15), 得221211k(CcosktCsinkt)k(CcosktCsinkt)0.
因为函数(14)及其导数代入方程(15)后成为一个恒等式, 所以函数(14)是微分方程(15)的解,
例4 已知函数(14)12xCcosktCsinkt 当k0时是微分方程(15)22
2
dxkx0
dt的通解
求满足初始条件r0t=0
dxx|A,|0
dt
的特解,
解 将条件”t=0时,x=A” 代入(14)式得1CA.
将条件”t=0时,dx0dt”代入(16)式,得2C0.
12C,C的值代入(14)式,就得所求的特解为x=Acoskt,
第二节 可分离变量的微分方程 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 本节至第四节, 我们讨论一阶微分方程dyf(x,y)
dx(1)的一些解法,
一阶微分方程有时也写成如下的对称形式:P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0(2) 在方程(2)中,变量x与y对称,
它可以看作是以x为自变量,y为因变量的方程dyP(x,y)dxQ(x,y)(这时Q(x,y)0),
也可以看作是以y为自变量,x为因变量的方程Q(x,y)dx
dyP(x,y)(这时 P(x,y)0)
在第一节的例1中, 一阶微分方程dy2x,
dx或dy=2xdx.
把上式两端直接积分就得到这个方程的通解2yxC. |但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解,
例如,对于一阶微分方程2
dy2xy
dx(3)
就不能直接对两端积分,求出它的通解, 这是为什么呢？