高中圆锥曲线的几个常规题型和应对策略
圆锥曲线之点差法-讲义(教师版)
圆锥曲线之点差法一、课堂目标1、熟练掌握点差法的应用步骤；2、理解点差法相对于联立法有哪些优势。
【备注】在联立法的基础上再学习点差法，是为了让学生在面对一些特殊题型时，能简化步骤和运算量，同时训练学生一题多解的能力。
二、方法说明联立法作为圆锥曲线题型的通法，方法固定，思路简单是它最大的优点，但同时，运算量偏大也是联立法自始至终存在的问题，在应对跟弦的斜率和中点有关的题型时，我们找到了一种比联立法更为优化的特殊武器，尤其是减少了运算量，可以帮我们在考试中节省更多时间，这种方法就是点差法。
【备注】1、在方法类讲义用，用方法说明替代了高考链接，因为对于一个方法的使用是灵活的，方法类的讲义在各版本试卷中是通用的，指向某套考卷意义不大，在这里重点为学生讲解这种方法用在什么类型题中，在后续的类型题讲义中，我们会重点解释该类型题的高考链接。
2、点差法主要应用于中点弦问题。
三、知识讲解1. 知识回顾【备注】提问环节，对圆锥曲线基础知识点选择性提问，如果学生对于这部分基础掌握有问题，老师自行带学生回顾，本讲义难度有所提升，只做方法应用讲解，不单独做基础梳理。
2. 方法提升方法引入1.已知椭圆，过点作直线，设与椭圆交于、两点，若为线段的中点，求直线的方程．【答案】．【解析】方法一：方法二：易知点在椭圆内，不妨设，，设直线的斜率为，由，作差得，又∵，即，，∴的斜率，的方程为，即．不妨设，，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，代入中，得，【备注】以基础类型题引入方法，这是一个常规的中点弦问题，解析中分别给出了联立法和点差法两种方法，要结合对比着讲给学生听，重点让学生理解点差法在中点弦问题中的优势是简化运算。
∴，判别式，则，∵的中点为，∴，则，∴直线的方程为，即．【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；中点弦问题步骤归纳点差法常规步骤（以椭圆为例，双曲线和抛物线同理）：1、设直线与圆锥曲线交点，,，A和B的中点坐标为.2、将交点坐标带入椭圆方程3、两式做差得(显然前提是,)4、灵活运用等式注意：根据步骤三可知，使用点差法的前提是直线斜率存在，且斜率不为零，对于斜率不存在或者为零的情况，我们需要分类讨论。
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《圆锥曲线压轴小题突破练》课件ppt
|PF1|＋|PF2|＝2a1， |PF1|－|PF2|＝2a2，
得||PPFF12||＝ ＝aa11＋ －aa22， ，
设|F1F2|＝2c， 因为∠F1PF2＝π3，
由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，
即 4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos π3， 整理得 a21＋3a22＝4c2， 故e121＋e322＝4. 又 4＝e121＋e322≥2 e121×e322＝2e1e32， 即 2≥e1e32，所以 e1e2≥ 23，
即 p2 ＝ 42
32·94p⇒p＝2，∴|AB|＝92.
3
题型三 圆锥曲线与其他知识的综合
例4 (多选)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这 一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开 后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄 底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的 阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则
唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作 的典范.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C： ax22－by22 ＝1(a>0，b>0) 的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一
周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为
3
2
√C.0，12
B.
23，1
D.12，1
连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时， 设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α， ∵存在M，N使得∠MPN＝120°， ∴∠APB≥120°，即α≥60°， 又α<90°， ∴sin α≥sin 60°， 连接 OA，则 sin α＝||OOPA||＝|ObP|≥ 23， ∴|OP|≤ 2b3.
圆锥曲线定值,定点
过圆锥曲线上定点和斜率和积为定值直线，则直线过定点（一）一般性推论：过圆锥曲线上一定点产生的两条直线斜率和积为定，则另外两点的连线过定点。
数学表达：若点定一上线曲锥圆为点定过线直值定者或值定⎩⎨⇒⎧∙=+=P k k k k PA PB PA PB AB点定一上线曲锥圆为值定者或值定点定过线直⎩⎨⇒∙=+=⎧P k k k k PA PB PA PB AB 其次法的使用要点：“齐次”即次数相等的意思，例如=++x cy f ax bxy 22)(称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f x )(中每一项都是关于x 、y 的二次项。
当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积的问题，可以先平移图形，将公共点平移到原点，注意平移口诀是“左加右减，上减下加”，注意此处因为是在y 同侧进行加减，故为“上减下加”，而我们以往记的“上加下减”都是在y 的异侧。
例如要证明直线AP 与AQ 的斜率之和或者斜率之积为定值，可将公共点A 平移到原点，设平移后的直线为+=mx ny 1（为什么这样设？因为这样齐次化能更加方便解题），与圆锥曲线方程联立，一次项乘以+mx ny ，常数项乘以+mx ny 2)(，构造++=ay bxy cx 022，然后等式两边同时除以x 2（前面注明x 不等于0），得到⎝⎭⎪++=⎛⎫x x a b c y y 02，化简为++=ak bk c 02，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，即可得出答案，如果是过定点题目，还需要还原直线，之前如何平移，现在就如何反平移回去。
解题的方法步骤为： （1）平移直线； （2）联立方程并齐次化； （3）同除x 2：（4）利用韦达定理证明，如果过定点，还需要还原直线。
优点；大大减小了计算量，提高准确率，缺点：+=mx ny 1不能表示过原点的直线。
一． 构造法解整式问题在抛物线中的应用引题：证明：已知直线l 与抛物线 ２ｐ （ｐ＞０，ｐ为常数）交于点A ，B 两点，若OA ⊥OB,则直线l 恒过定点（2p,0）设,B(x ,y )）x ,y （A 1122，⊥⇒∙=∙=-x x OA OB k k y y OA OB 11212设AB 直线方程为+=mx ny 1（截距式的变形式可以表示任意直线，该种设法可以利用１的妙用，快速制作齐次式）联立⎩=⎨⎧+=y pxmx ny 212第一步：构造齐次式-∙+=⇒--=y px ny pnxy pmx 2(mx )0y 220222易知A ，B 两点不与O 点重合，所以ｘ ０令则==y p 0,x 2，所以直线过定点(2p,0) 常规证明方法（略）例1：（2017•新课标Ⅰ文）设A ，B 为曲线C ：y ＝上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．第一步：平移抛物线，将抛物线沿→M O 方向平移，及左移２个单位，下移１个单位，及抛物线方程变为=+-y 4(x 2)112化简得+-x x 42联立方程=0⎩⎧+=-⎨-y y mx m x x 4142第二步：构造齐次式--∙-=⇒+-+=x mxy my 4(x y)m(x y)0(14m)x 840222，第四步平移回去：右２，上１，=-++=+y x x 28171．（2020春•江西月考）过抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（1，﹣2）作直线交抛物线E于另一点N．（Ⅰ）若直线MN的斜率为1，求线段|MN|的长；（Ⅱ）不过点M的动直线l交抛物线E于A，B两点，且以AB为直径的圆经过点M，问动直线l是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．题型拓展：２．（2021•齐齐哈尔一模）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F是椭圆C2：x2+2y2＝1的一个顶点．（1）求抛物线C1的方程；（2）若点P（1，2），M，N为抛物线C1上的不同两点，且PM⊥PN．求证：直线MN过定点．斜率和积为定值，直线过定点问题在椭圆中的数学模型建立k k PA PB ⋅=定值或者k k PA PB +=定值，直线过定点，P 点坐标之间的转化证明 将椭圆C 按向量--x y ,00)(平移得椭圆C x x ay y b'+++=2222:001)()(又点P x y ,00)(在椭圆xa yb+=22221上，所以x a y b +=2222001，代入上式得+++=a b a b x y x y x y 022********①。
用点差法巧解圆锥曲线问题
用“点差法”巧解圆锥曲线问题江苏省高淳中等专业学校 喻国忠解析几何是高考的重点内容，而圆锥曲线又是解析几何的重点、难点知识。
这里面，直线与圆锥曲线的位置关系问题综合性强，涉及知识面较多，运算量大，题型灵活多变，常常是打击学生们学习兴趣的罪魁祸首。
直线与圆锥曲线相交形成的弦中点、对称问题等，我们称之为圆锥曲线的“中点弦”问题。
解这类中点弦问题的常规做法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助根的判别式及韦达定理中根与系数的关系、中点坐标公式求解，但运算过程复杂，计算量偏大，解题效率低，尤其是对于基础较差、计算能力较弱的学生来说，很容易算错。
而使用“点差法”来进行求解中点弦问题，往往可以使解题过程化繁为简，优化解题过程，出奇制胜。
所谓“点差法”，就是在求解 “中点弦”问题时用到的一种“代点作差”的解题方法，其特点是代点作差后可巧代直线斜率和中点坐标，进而通过“设而不求”以达到减少计算量的目的。
使用“点差法”时，一般分三个步骤进行：设点、作差、检验。
下面试举几例，感受“点差法”在解题过程中的妙用。
例1．求以椭圆22185x y +=内的一点A(2,-1)为中点的弦所在的直线方程。
解法一：当直线斜率不存在时，A 点不可能为弦的中点，故可设直线方程为1(2)y k x +=-，它与椭圆的交点分别为11(,)M x y ，22(,)N x y ，则221(2)185y k x x y +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：222(85)16(21)8[(21)5]0k x k k x k +-+++-=12216(21)85k k x x k +∴+=+ ，A 2-1又（，）MN 为弦的中点，124x x ∴+=，即216(21)=485k k k ++，54k ∴=，从而直线方程为54140x y --=。
解法二：当直线斜率不存在时，A 点不可能为弦的中点，故可设直线方程为1(2)y k x +=-，它与椭圆的交点分别为11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2211222258405840x y x y ⎧+=⎨+=⎩ (1)(2)，(2)(1)-得222221215()8()0x x y y -+-=， A 2-1又（，）MN 为弦的中点，124x x ∴+=，122y y +=-，2121205=164y y x x -∴=-，即54k =，从而直线方程为54140x y --=。
圆锥曲线的综合应用
圆锥曲线的综合应用1、【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（ ）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=2、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ）A BC ．2D 3、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ）A ．32 B ．52 C ．72D ．924、【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足2AP PB =u u u r u u u r ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．5、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点； （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．6、【2019年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．7、【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知|2||OA OB =（O 为原点）.（1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.8、【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．9、【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．题型一 圆锥曲线中的直线问题解决解析几何中的直线或线段问题主要有两种方法：．一般的，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用的好，解题过程往往会显得很简捷．对于这道题，这两种解法差别不是很大，但对于有些题目，方法选择的不同，差别会很大，因此要注意从此题的解法中体会设点法和设线法的不同．例1、(2019苏州期初调查）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，点P ⎝⎛⎭⎫1，32为椭圆上一点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，记直线AM 的斜率为k 1，直线BN 的斜率为k 2，若k 1＝2k 2，求直线l 斜率的值．例2、（2016南通一调）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点A (2,1)，离心率为32. (1) 求椭圆的方程；(2) 若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于B ，C 两点(异于点A )，线段BC 被y 轴平分，且AB ⊥AC ，求直线l 的方程．题型二 圆锥曲线中的定点问题探索圆锥曲线的定点问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊直线或者曲线方程确定点，再证明直线或曲线过改点；②根据直线或者曲线方程直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点·例3、(2019苏北三市期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且右焦点到右准线l 的距离为1.过x 轴上一点M(m ，0)(m 为常数，且m ∈(0，2))的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，与l 交于点P ，D 是弦AB 的中点，直线OD 与l 交于点Q.(1) 求椭圆C 的标准方程．(2) 试判断以PQ 为直径的圆是否经过定点．若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．例4、(2016泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D (－65，0).设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.(1) 求k 1k 2的值；(2) 记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；(3) 求证：直线AC 必过点Q .题型三 圆锥曲线中的定值问题探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．定值问题，要恰当去转化，能很好的降低计算量，用向量的坐标来计算，结构对称、优美，代入根与系数关系可以很容易得出结果例5、(2019镇江期末）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A 为椭圆C的左顶点，直线l 过点D(1，0)，且与椭圆C 相交于E ，F 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若△AEF 的面积为10，求直线l 的方程；(3) 已知直线AE ，AF 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ，设直线l 和QD 的斜率分别为k(k ≠0)，k ′，求证：k·k′为定值．例6、(2016南京学情调研）如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，一条准线方程为x ＝2.过椭圆的上顶点A 作一条与x 轴，y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q .(1) 求椭圆的方程；(2) 若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．题型四 圆锥曲线中最值问题问题圆锥曲线中的最值问题关键就是建立目标函数，把所求的最值问题转化为求函数的最值问，对于目标函数可以通过求导或者运用基本不等式来求解。
高考专题：解析几何常规题型及方法
高考专题：解析几何常规题型及方法一、高考风向分析：高考解析几何试题一般共有3--4题(1--2个选择题, 0--1个填空题, 1个解答题), 共计20多分, 考察的知识点约为20个左右，其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考察。
选择题和填空题考察直线, 圆, 圆锥曲线中的根底知识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计算；而解答题重点考察圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题，解决问题。
二、本章节处理方法建议：纵观历年全国各省市文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一 半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要表达在以下几个方面：〔1〕解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向 量等知识，形成了轨迹、最值、对称、围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合 能力要求最高的容之一〔2〕解析几何的计算量相对偏大〔3〕在大家的"拿可拿之分〞 的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比拟为难的第21题或22题〔有 时20题〕就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比拟普遍。
鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几容弹性很 大。
有容易题，有中难题。
因此在复习中基调为狠抓根底。
不能因为高考中的解几解答题 较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻 下，将时间用在稳固根底、对付"跳一跳便可够得到〞的常规题上，这样复习，高考时就 能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几 分算几分。
三、高考核心考点1、准确理解根本概念〔如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等〕2、熟练掌握根本公式〔如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等〕3、熟练掌握求直线方程的方法〔如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等〕4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用6、熟悉圆锥曲线中根本量的计算7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法〔如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等〕8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题四、常规题型及解题的技巧方法A:常规题型方面〔1〕中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
圆锥曲线的面积问题(含解析)
圆锥曲线的面积问题一、单选题1．已知12,F F 是椭圆2212449x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且12:4:3PF PF =，则12PF F △的面积等于（ ）A ．24B ．26C ．D ．2．已知抛物线28x y =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且6PF =，点Q 为抛物线准线与其对称轴的交点，则PFQ ∆的面积为( )A ．B ．C ．D ．二、解答题3．已知动点P 与平面上两定点()A 、)B 连线的斜率的积为定值12-.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若()11,0F -，21,0F 过1F 的直线l 交轨迹C 于M 、N 两点，且直线l 倾斜角为45︒，求2MF N 的面积.4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点1)P -是椭圆C 上一点，离心率为2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l ：y x m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且在y 轴上有一点(0,2)M m ，当ABM 面积最大时，求m 的值.5．已知椭圆E ：22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点为()F ，过F 的直线交E 于A 、C 两点，AC 的中点坐标为⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆E 的方程；（2）过原点O 的直线BD 和AC 相交且交E 于B 、D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值.6．已知椭圆()2222:10x yE a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为22，且122F F =．（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆的下顶点为B ，过右焦点2F 作与直线2BF 关于x 轴对称的直线l ，且直线l 与椭圆分别交于点M ，N ，O 为坐标原点，求OMN 的面积．7．已知椭圆22:143x y C +=左，右焦点分别为1F ，2F ，S 为椭圆上任意一点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（1）当22AF F B =时，求SA SB ⋅的最大值；（2）点M 在线段AB 上，且2AM MB =，点B 关于原点对称的点为点P ，求BPM △面积的取值范围.8．已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，6过点2F 且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当点1F 到直线l 的距离取最大值时，256AF =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若222BF F A =，求1F AB 的面积．9．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，其长轴为43P 作圆222:O x y b +=的两条切线，切点分别为A B 、，直线AB 与,x y 轴的交点分别为,E Q .（1）求椭圆的方程；（2）求EOQ △面积的最小值.10．已知定点()1,0M -，圆()22:116N x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点M 与N 作平行直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点A 、B 和点D 、E ，求四边形ABDE 面积的最大值.11．已知抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为F ，若过F 且倾斜角为4π的直线交Γ于M ，N 两点，满足||4MN =.（1）求抛物线Γ的方程；（2）若P 为Γ上动点，B ，C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ，求PBC面积的最小值.12．已知离心率为22的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点)2,1M．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0作斜率为2直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求||AB 的长； （3）过点()1,0的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求OAB 的面积的最大值．13．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为()11,0F -，左顶点为A ，上、下顶点分别为B ，C .（1）若直线1BF 经过AC 中点M ，求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1BF 的斜率为1，1BF 与椭圆的另一交点为D ，椭圆的右焦点为2F ，求三角形2BDF 的面积.14．已知1F ，2F 是椭圆22:142x y C +=的左、右焦点．（1）求椭圆C 的焦点坐标和离心率；（2）过椭圆C 的左顶点A 作斜率为1的直线l ，l 与椭圆的另一个交点为B ，求12F F B △的面积．15．已知抛物线2:2C y x =．（Ⅰ）写出抛物线C 的准线方程，并求抛物线C 的焦点到准线的距离；（Ⅱ）过点()2,0且斜率存在的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点M ． （i ）求点M 的坐标；（ⅱ）求OAM △与OAB 面积之和的最小值．16．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆的离心率M是椭圆上的一个点，且12MF MF +=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()02,P y 是椭圆C 上位于第一象限内一点，直线l 平行于OP （O 为原点）交椭圆C 于A 、B 两点，点D 是线段AB 上（异于端点）的一点，延长PD 至点Q ，使得3PD DQ =，求四边形PAQB 面积的最大值.17．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，两个焦点分别为1F 和2F ，椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12．圆1C ：()2224210x y kx y k R ++--=∈的圆心为点k A ．（1）求椭圆G 的方程． （2）求12k A F F 的面积18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右两个焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点为圆心，过1F ，2F的圆的内接正三角形的面积为2F 为焦点的抛物线()2:20M y px p =>的准线与椭圆C 的一个公共点为P，且2PF =（1）求椭圆C 和抛物线M 的方程；（2）过2F 作相互垂直的两条直线，其中一条交椭圆C 于A ，B 两点，另一条交抛物线M 于G ，H 两点，求四边形AGBH 面积的最小值.19．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且经过点2P ⎭. （1）求椭圆的方程； （2）直线l 的斜率为12，且与椭圆相交于A ，B 两点（异于点P ），过P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q .（i ）证明：直线PQ 与坐标轴平行；（ii ）当AP BP ⊥时，求四边形APBQ 的面积20．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，离心率为12，长轴长为4.（1）求椭圆方程；（2）若直线l 过椭圆左焦点且倾斜角为4π，交椭圆与A ，B 两点，O 为坐标原点，求AOB的面积.一、单选题1．已知12,F F 是椭圆2212449x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且12:4:3PF PF =，则12PF F △的面积等于（ ） A ．24 B ．26C．D．【答案】A 【分析】由椭圆的定义可得18PF =，26PF =，1210F F =，由勾股定理可得12PF PF ⊥，即可得解. 【详解】由题意，椭圆249a =，所以7a =，所以12214PF PF a +==， 又12:4:3PF PF =，所以128,6PF PF ==，因为1210F F ==，所以2221212PF PF F F +=，所以12PF PF ⊥， 故12PF F △的面积1211862422S PF PF =⋅=⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查了椭圆定义的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.2．已知抛物线28x y =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且6PF =，点Q 为抛物线准线与其对称轴的交点，则PFQ ∆的面积为( ) A．B．C．D．【答案】D 【分析】先由抛物线的方程得到焦点坐标和准线方程，进而求出点Q 的坐标，再由定义求出点P 坐标，结合三角形面积公式可得出结果. 【详解】因为28x y =，所以其焦点()02F ，，准线为y 2=-,所以()0,2Q -设().P m n ,由6PF =得26n +=，所以4n =，所以m =±则11S 422PFQ FQ m ∆=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，属于基础题型.二、解答题3．已知动点P 与平面上两定点()A 、)B 连线的斜率的积为定值12-.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若()11,0F -，21,0F 过1F 的直线l 交轨迹C 于M 、N 两点，且直线l 倾斜角为45︒，求2MF N 的面积.【答案】（1）(2212x y x +=≠；（2）43. 【分析】（1）设点(),P x y 12=-，化简可得所求轨迹方程；（2）由题意可得直线l 的方程为：1y x =+，再与椭圆方程联立方程求出交点坐标，从而可求出2MF N 的面积为121212F F y y ⋅-. 【详解】（1）设点(),P x y 12=-，整理得2212x y +=，由于x ≠所以所求动点P 的轨迹C 的方程为：(2212x y x +=≠.（2）直线l 的斜率tan 451k =︒=， 故直线l 的方程为：1y x =+，与椭圆方程联立，消去x 得：23210y y --=，∴1y =或13y =-. ∴2MF N 的面积为12121423F F y y ⋅-=. 【点睛】此题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点1)P -是椭圆C 上一点，离心率为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l ：y x m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且在y 轴上有一点(0,2)M m ，当ABM 面积最大时，求m 的值.【答案】（1）22184x y +=；（2）. 【分析】（1）根据点1)P -是椭圆C 上一点，，由c e a ==，且22611a b +=求解.（2 ）先求得(0,2)m 到直线l 的方程为y x m =+的距离，再将直线y x m =+代入椭圆方程，结合韦达定理，利用弦长公式求得||AB ，再利用1||2ABM S AB d =⋅△求解. 【详解】（1）由题意可得2c e a ==，且22611a b +=，222a c b -=，解得a =2b c ==，则椭圆的方程为22184x y +=；（2）由直线l 的方程为y x m =+，则(0,2)m 到直线l的距离d =， 将直线y x m =+代入椭圆方程可得2234280x mx m ++-=， 由判别式()22Δ1612280m m =-->，解得m -< 设()11A x y ，，()22B x y ，，则1243m x x +=-，212283m x x -=，由弦长公式可得||AB ===1||2ABM S AB d =⋅△，||3m =，=22122m m -+≤=，当且仅当m =时取得等号.即当ABM 面积最大时，m 的值为. 【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题． 2、设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长公式为AB ===(k 为直线斜率)． 注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．5．已知椭圆E ：22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点为()F ，过F 的直线交E 于A 、C 两点，AC 的中点坐标为33⎛- ⎝⎭. （1）求椭圆E 的方程；（2）过原点O 的直线BD 和AC 相交且交E 于B 、D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】（1）32163x y +=；（2）【分析】（1）设()11,A x y ，()22,C x y ，分别代入椭圆方程作差，结合平方差公式和直线的斜率公式、中点坐标公式，可得a ，b 的关系，再由a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到所求椭圆方程；（2）求得直线AC 的方程，联立椭圆方程，可得A ，C 的坐标.设()33,B x y ，()44,D x y ，且直线BD 的斜率存在，设方程为y kx =(14OC k k <=)，联立椭圆方程，可得B ，D 的横坐标，则()1212ABCD ABCACDS SSAC d d =+=⋅+，(1d ，2d 分别表示B ，D 到直线AC 的距离)，运用点到直线的距离公式和换元法､基本不等式可得所求最大值. 【详解】解：（1）设()11,A x y ，()22,C x y ，可得2211221x y a b +=，2222222x y a b +=，两式相减得2221222212y yb x x a -=--，将12x x +=12y y +=代入上式， 即2212AC b k a ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，222a b ∴=，又c =2223a b c -==，226,3a b ∴==，则椭圆E 的方程为32163x y +=；（2）直线AC的方程为0x y -+=，联立220163x y xy⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， AC ∴=设()33,B x y ，()44,D x y ，且直线BD 的斜率存在，设方程为y kx =(44OC k k <=)，联立2226y kx x y =⎧⎨+=⎩，得()22126k x +=，则||x =， 设1d ，2d 分别表示B ，D 到直线AC 的距离， 所以()1212ABCD ABCACDS SSAC d d =+=⋅+343k x x k x =-⋅-=-⋅===令140t k =->，则1(1)4k t =-，故4ABCD S =≤= 当且仅当9t t =，即3t =，12k =-时，四边形ABCD 的面积取得最大值【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中四边形面积的最值问题，属于较难题.6．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且122F F =．（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆的下顶点为B ，过右焦点2F 作与直线2BF 关于x 轴对称的直线l ，且直线l 与椭圆分别交于点M ，N ，O 为坐标原点，求OMN 的面积．【答案】（1）2212x y +=；（2）23.【分析】（1）依题意得到方程，即可求出a 、c ，再根据222a c b -=，即可求出b ，从而得解； （2）由题可知，直线l 与直线2BF 关于x 轴对称，所以20B l F k k +=，即可求出直线l 的方程，联立直线与椭圆方程，设()11,M x y ，()22,N x y ，即可求出M 、N 的坐标，从而求出MN ，再利用点到直线的距离公式求出原点O 到直线l 的距离d ，最后根据12△=⨯⨯OMN S MN d 计算可得；【详解】解：（1）由题得，222c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩21a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，因为222a c b -=，所以1b =，所以椭圆E 的方程为2212x y +=．（2）由题可知，直线l 与直线2BF 关于x 轴对称，所以20B l F k k +=．由（1）知，椭圆E 的方程为2212x y +=，所以()21,0F ，()0,1B -，所以210101BF k --==-，从而1l k =-，所以直线l 的方程为()011y x -=-⨯-，即10x y +-=．联立方程2221034012x y x x x y +-=⎧⎪⇒-=⎨+=⎪⎩，解得0x =或43x =．设()11,M x y ，()22,N x y ，不妨取10x =，243x =，所以当10x =，11y =；当243x =，213y =-，所以()0,1M ，41,33N ⎛⎫- ⎪⎝⎭．2241420133MN ⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 设原点O 到直线l 的距离为d ，则2d =，所以1142222332OMN S MN d =⨯⨯=⨯⨯=△．【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.7．已知椭圆22:143x y C +=左，右焦点分别为1F ，2F ，S 为椭圆上任意一点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（1）当22AF F B =时，求SA SB ⋅的最大值；（2）点M 在线段AB 上，且2AM MB =，点B 关于原点对称的点为点P ，求BPM △面积的取值范围. 【答案】（1）274；（2）(]0,1. 【分析】（1）由22AF F B =时，2F 为线段AB 的中点，根据椭圆的对称性，可知AB x ⊥轴，所以AB 是通径，长度为223b a=，利用()()2222SA SB SF F A SF F B ⋅=+⋅+计算可得最大值．（2）首先设:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,P x y --，利用面积比得212121221133323BPM ABP AOB S S S OF y y y y ===⨯⋅-=-△△△，直线方程代入椭圆方程整理应用韦达定理得1212,y y y y +，面积S 表示为m的函数S =，设t =后变形再利用函数的单调性得取值范围．【详解】（1）当22AF F B =时，2F 为线段AB 的中点，根据椭圆的对称性，可知AB x ⊥轴，所以22632b AB a ===，所以()()2222222222327324SA SB SF F A SF F B SF F A ⎛⎫⋅=+⋅+=--=⎪≤⎝⎭，当点S 在椭圆的左顶点时，等号成立，故SA SB ⋅的最大值为274. （2）由题可知()21,0F ，设:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,P x y --， 由题意可知，212121221133323BPM ABP AOB S S S OF y y y y ===⨯⋅-=-△△△， 联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234690m y my ++-=，由根与系数的关系得122643my y m -+=+，122943y y m-=+， 所12y y -==243m ==+， 令)1t t =≥，则24413133BPMt S t t ===++△，因为()13f t t t=+在[)1,+∞上是增函数，所以()()14f t f ≥=， 所以BPM △面积的取值范围为(]0,1. 【点睛】本题考查直线与椭圆相交，考查椭圆中的面积问题，平面向量的数量积，解题方法是“设而不求”的思想方法．直线方程（设出）与椭圆方程联立消元后应用韦达定理，再代入其他条件求解．8．已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当点1F 到直线l的距离取最大值时，2AF =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若222BF F A =，求1F AB 的面积．【答案】（1）22165x y +=；（2. 【分析】（1）由题意可得226b AF a ==，再由2222221c b e a a ==-=⎝⎭，求出26a =，25b =，即可求解.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1x my =+，将直线与椭圆方程联立消去x ，求出12,y y ，再由222BF F A =可得212y y =-求出m ，由121212S F F y y =⋅-即可求解. 【详解】解：（1）设椭圆C 的半焦距为c ，当点1F 到直线l 的距离取最大值时，l x ⊥轴，此时22b AF a ==又椭圆C 的离心率e =，所以22222216c b e a a ⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得26a =，25b =，所以椭圆C 的标准方程为22165x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1x my =+． 代入椭圆C 的方程消去x ，得()225610250m y my ++-=，>0∆，解得m ∈R ，由韦达定理得1221056my y m -+=+，①1222556y y m -=+，②若222BF F A =，则()()22111,21,x y x y --=-， 所以212y y =-， 代入①②得121056m y m =+，21225256y m =+， 消去1y ，得222102525656m m m ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，解得m =，所以121335268y y y -==⨯=⨯+，所以1F AB 的面积为121211222S F F y y =⋅-=⨯=． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，此题要求有较高的计算能力，属于难题.9．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，其长轴为4，离心率为2，过椭圆上一点P 作圆222:O x y b +=的两条切线，切点分别为A B 、，直线AB 与,x y 轴的交点分别为,E Q .（1）求椭圆的方程； （2）求EOQ △面积的最小值.【答案】（1）2214x y +=；（2）12. 【分析】（1）利用已知条件求出,a b ，即可得到结果；（2）设点椭圆上点P 坐标为00(,)x y ，切点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，利用0,0OA AP OB BP ⋅=⋅=，得到,A B 所在的直线方程，求出点,E Q 的坐标，即可得出EOQ △面积，最后利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）依题意，24,a =得2,a =1.2c e c b a ==∴== ∴椭圆方程为2214x y +=； （2）设点椭圆上点P 坐标为00(,)x y ，切点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ， 直线,AP BP 为圆O 的两切线， 圆O 方程为：221x y +=.∴0OA AP ⋅=，010111(,),(,)AP x x y y OA x y =--=，∴101101()()0OA AP x x x y y y ⋅=-+-=，得到：221010111x x y y x y ⋅+⋅=+=，即10101x x y y ⋅+⋅=， 同理可得20201x x y y ⋅+⋅=，所以点1122(,),(,)A x y B x y 同时满足直线方程001x x y y ⋅+⋅=，即直线AB 方程为：001x x y y ⋅+⋅=. 令0,x =得Q 点坐标为01(0,)y ， 令0,y =得E 点坐标为01(,0)x ， 所以00112EOQ S x y =⋅△，因为P 在椭圆上，有022014x y +=，所以0220001,4x y x y =+≥⋅得001 1.x y ≥⋅ 即EOQ S △最小值为12，当00|2|||x y ==. 所以EOQ △面积的最小值为12. 【点睛】关键点点睛：把平面解析几何中的垂直问题转换为向量问题求解，进而求出直线的方程，得到交点坐标，利用面积公式以及基本不等式求解最值.属于中档题.10．已知定点()1,0M -，圆()22:116N x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点M 与N 作平行直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点A 、B 和点D 、E ，求四边形ABDE 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）6. 【分析】（1）由中垂线的性质得PM PQ =，可得出4MP NP MN +=>，符合椭圆的定义，可知曲线C 是以M 、N 为焦点的椭圆，由此可得出曲线C 的方程；（2）设直线2l 的方程为1x ty =+，设点()11,D x y 、()22,E x y ，将直线2l 的方程与曲线C 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出DE ，同理得出AB ，并计算出两平行直线1l 、2l 的距离，可得出四边形ABDE 的面积关于t 的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出四边形ABDE 面积的最大值. 【详解】（1）由中垂线的性质得PM PQ =，42MP NP PQ NP MN ∴+=+=>=， 所以，动点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长为4的椭圆，设曲线C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，则2a =，b =，因此，曲线C 的方程为:22143x y +=；（2）由题意，可设2l 的方程为1x ty =+，联立方程得()2222134690431x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩， 设()11,D x y 、()22,E x y ，则由根与系数关系有122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，所以()2212134t DE t +===+， 同理()2212134t AB t +=+，1l 与2l 的距离为d =，所以，四边形ABDE 的面积为22434S t =⨯+，u =，则1u ≥，得224241313u S u u u ==++，由双勾函数的单调性可知，函数13y u u=+在[)1,+∞上为增函数，所以，函数2413S u u=+在[)1,+∞上为减函数， 当且仅当1u =，即0t =时，四边形ABDE 的面积取最大值为6. 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及椭圆的定义，同时也考查了直线与椭圆中四边形面积最值的计算，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，考查计算能力，属于中等题.11．已知抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为F ，若过F 且倾斜角为4π的直线交Γ于M ，N 两点，满足||4MN =.（1）求抛物线Γ的方程；（2）若P 为Γ上动点，B ，C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ，求PBC面积的最小值.【答案】（1）22y x =（2）8 【分析】（1）求出抛物线的焦点，设出直线MN 的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得2a =，进而得到抛物线方程；（2）设()00,P x y ，()0,B b ，()0,C c ，不妨设b c >，直线PB 的方程为00y by b x x --=，由直线与圆相切的条件：d r =，化简整理，结合韦达定理以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为,04a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则过点F 且斜率为1的直线方程为4ay x =-， 联立抛物线方程2y ax =，消去y 得：2230216a ax x -+=，设()()1122,,,M x y N x y ，则1232a x x +=， 由抛物线的定义可得12||242aMN x x a =++==，解得2a =，所以抛物线的方程为2:2y x Γ=（2）设()00,P x y ，()0,B b ，()0,C c ， 不妨设b c >，00:PB y bl y b x x --=化简得：()0000y b x x y x b --+=， 圆心()1,0到直线PB 的距离为1，1=，即()()()222220000002y b x y b x b y b x b -+=-+-+，不难发现02x >，上式又可化为()2000220x b y b x -+-=，同理有()2000220x c y c x -+-=，所以,b c 可以看做关于t 的一元二次方程()2000220x t y t x -+-=的两个实数根，0022y b c x -⇒+=-，()()220002020042()22x y x x bc b c x x +--=⇒-=--， 由条件：2002y x =()2220042()22x x b c b c x x ⇒-=⇒-=-- ()()20000014()248222PBCx S b c x x x x ∆=-==-++≥--， 当且仅当04x =时取等号. ∴PBC 面积的最小值为8. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，直线和圆相切的条件：d r =，以及基本不等式的运用，属于中档题.12．已知离心率为2的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点)M．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0作斜率为2直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求||AB 的长； （3）过点()1,0的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求OAB 的面积的最大值．【答案】（1）22142x y +=；（2；（3）2【分析】（1）由题意，可列出方程组得22222211c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，即可求出椭圆方程；（2）直线:22l y x =-，联立222422x y y x ⎧+=⎨=-⎩，整理得291640x x -+=，写出韦达定理，最后利用椭圆弦长公式能求出||AB 的长；（3）当直线l 的斜率不存在时，直线l x ⊥轴，分别求出A ，B 的坐标，根据12112S y y =-⨯求出OAB 的面积；当直线l 的斜率存在，且不为0时，可得直线l 的方程为：1x my =+，与椭圆的方程联立，得()222230m y my ++-=，写出韦达定理12y y +和12y y ，再根据12112S y y =-⨯=OAB 的面积，最后根据双勾函数的性质求出面积的取值范围，综合即可得出OAB 的面积的最大值. 【详解】解：（1）由题可知，椭圆C，且椭圆过点)M ，则222222211c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：24a =，222c b ==， 故椭圆C 的方程为22142x y +=；（2）过点(1,0)作斜率为2直线l ，∴直线:22l y x =-，联立2214222x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得：291640x x -+=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12169x x +=，1249x x =， 2221212216164||()4535999AB x x x x ∴=+-=-=；（3）由于直线l 过点()1,0直线l ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 当直线l 的斜率不存在时，直线l x ⊥轴，此时将1x =代入22142x y +=，解得：2y =±， 即A ，B的坐标分别为,1,⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭， 则OAB的面积为：1211122S y y =-⨯==当直线l 的斜率存在，且不为0时，可设直线l 的方程为：1x my =+，联立221421x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得：()222230m y my ++-=， 则12122223,11m y y y y m m --+==++， 而OAB 的面积为：12112S y y =-⨯=即S ==221222m m ==⨯=++令t =>2246t m =+，得 2264t m -=，所以(224426224t t S t t t t t ====>-+++， 由于t >23t t +>=，则(422S t t t=<=>+ 所以综上得：2S ≤，所以OAB 的面积最大值为2【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求法，解题关键是根据离心率和椭圆的简单几何性质，找到关于,,a b c 的等量关系，考查椭圆弦长的求法以及根据直线与椭圆的位置关系和应用韦达定理求出12y y +和12y y ，从而解决椭圆中三角形面积的最值问题，考查分析解题能力和函数与方程的思想，属于难题.13．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为()11,0F -，左顶点为A ，上、下顶点分别为B ，C .（1）若直线1BF 经过AC 中点M ，求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1BF 的斜率为1，1BF 与椭圆的另一交点为D ，椭圆的右焦点为2F ，求三角形2BDF 的面积. 【答案】（1）22198x y ；（2）43. 【分析】（1）由题意，(),0A a -，()0,B b ，()0,C b -，由左焦点为()11,0F -，得1c =，从而可得直线1BF ：y bx b =+，然后将点,22a b M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的坐标代入直线方程可求出3a =，再由22221a b c b =+=+可求出b 的值，从而可得椭圆方程；（2）由题意可得椭圆方程为2212x y +=，直线1BF ：1y x =+，两方程联立方程组可求得点41,33D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，从而可求得三角形2BDF 的面积为1212B D S F F y y =⋅-【详解】解：（1）由题意，(),0A a -，()0,B b ，()0,C b -，又()11,0F -，所以1c =，直线1BF ：y bx b =+. M 为AC 的中点，所以,22a b M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 代入直线1BF ：y bx b =+，则3a =，由22221a b c b =+=+，所以28b =，29a =， 所以椭圆E 的标准方程是22198x y .（2）因为直线1BF 的斜率为1，则1b c ==，a =M ：2212x y +=，又直线1BF ：1y x =+，由22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得0x =（舍），或43x =-，所以41,33D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 因为()11,0F -，21,0F ，()0,1B ， 所以三角形2BDF 的面积为121114212233B D S F F y y ⎛⎫=⋅-=⨯⨯--= ⎪⎝⎭. 【点睛】此题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题14．已知1F ，2F 是椭圆22:142x y C +=的左、右焦点．（1）求椭圆C 的焦点坐标和离心率；（2）过椭圆C 的左顶点A 作斜率为1的直线l ，l 与椭圆的另一个交点为B ，求12F F B △的面积．【答案】（1）12(F F，e =（2【分析】（1）根据椭圆的方程求出2,a c ==C 的焦点坐标和离心率；； （2）先写出直线l 的方程，再与椭圆联立求出点B 的坐标，进而求出△12F F B 的面积． 【详解】（1）因为椭圆方程为22142x y +=，所以，2,a c =焦点坐标分别为12(F F ，离心率2c e a ==． （2）椭圆C 的左顶点为(2,0)A -，直线l 的方程为2y x =+，由222142y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理可得：23840x x ++=，解得1222,3x x =-=-，所以点B 坐标为24(,)33-，所以12121414||23233F F BSF F =⨯⨯=⨯=． 【点睛】本题考查求椭圆的标准形式及直线与椭圆的综合，以及三角形的面积公式的应用，属于基础题．15．已知抛物线2:2C y x =．（Ⅰ）写出抛物线C 的准线方程，并求抛物线C 的焦点到准线的距离；（Ⅱ）过点()2,0且斜率存在的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点M ． （i ）求点M 的坐标；（ⅱ）求OAM △与OAB 面积之和的最小值．【答案】（Ⅰ）准线方程是12x =-，抛物线的焦点到准线的距离为1．（Ⅱ）（i ）(2,0)M -．（ii）【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义直接得出结论；（Ⅱ）（i ）设1122(,),(,)A x y B x y ，设AB l ：2x my =+，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得1212,y y y y +，写出直线AD 方程，求出它与x 轴的交点坐标即得；（ii ）由（i ）的结论计算三角形面积和OAM OAB S S +△△，结合基本不等式可得． 【详解】（Ⅰ）由题意22p =，1p =，所以准线方程是12x =-，抛物线的焦点到准线的距离（Ⅱ）（i ）令1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)D x y -，且令10y >， 令AB l ：2x my =+，由222x my y x=+⎧⎨=⎩，得2240y my --=， 所以122y y m +=，124y y =-， 则直线AD 的方程为21212111112121221()()()()2y y y y y y x x x x x y x x m y y y y ++-=-=-=----，当0y =时，21211()()2y y y x y --=-，所以122y y x =，又124y y =-，所以2x =-，即(2,0)M -． （ii ）1122OAM S y =⨯⋅△，12112222OAB S y y =⨯⋅+⨯⋅△， 则1121142OAM OAB S S y y y y y -+=++=+△△1142y y =+≥=当且仅当1142y y =，即1y =所以面积之和的最小值为． 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，考查了学生运算求解能力，属于中档题．16．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆的离心率M是椭圆上的一个点，且12MF MF +=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()02,P y 是椭圆C 上位于第一象限内一点，直线l 平行于OP （O 为原点）交椭圆C 于A 、B 两点，点D 是线段AB 上（异于端点）的一点，延长PD 至点Q ，使得3PD DQ =，求四边形PAQB 面积的最大值.【答案】（1）22182x y +=；（2）最大值为8.（1）利用椭圆的定义可求得a 的值，结合离心率可求得c 的值，根据a 、b 、c 的关系可求得b 的值，进而可求得椭圆C 的标准方程；（2）计算出点P 的坐标为()2,1，可得出直线OP 的斜率为12，可设点()11,A x y ，()22,B x y ，设直线l 的方程()102y x t t =+≠，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理并求得AB ，求出点P 到直线l 的距离d ，由已知条件得出4PAB PAQB S S =△四边形，然后利用基本不等式可求得四边形PAQB 面积的最大值.【详解】（1）由椭圆的定义及1242MF MF +=，得242a =，即22a =. 设椭圆半焦距为c ，因为3c a =，所以36c a ==，则2222b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=；（2）将点P 的坐标代入椭圆C 的方程得2202182y +=，00y >，可得01y =，即点()2,1P ，所以12OP k =， 设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线l 的方程()102y x t t =+≠，联立2212182y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 整理可得222240x tx t ++-=， 由()()2224424440t t t∆=-⋅-=->，又0t ≠，则204t<<，且122x x t +=-，21224x x t =-，所以弦长()()221212114544AB x x x x t =++-=-P 到直线AB 的距离为d，则d ==设Q 到直线AB 的距离为d '，由3PD DQ =得3PD DQ =，所以3d d '=， 所以113322QAB PAB S d AB d AB S '==⋅=△△，所以422PAB QAB PAB PAQB S S S S d AB ===+=△△△四边形224482t t +-=≤⨯=，当且仅当22t =时，等号成立， 因此，四边形PAQB 面积的最大值为8. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中四边形面积最值的求解，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于难题.17．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为2，两个焦点分别为1F 和2F ，椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12．圆1C ：()2224210x y kx y k R ++--=∈的圆心为点k A ．（1）求椭圆G 的方程． （2）求12k A F F 的面积【答案】（1）221369x y +=；（2）12k A F F S =△． 【分析】（1）根据离心率以及椭圆定义求解出,a c 的值，即可求解出2b 的值，则椭圆G 方程可求；（2）将圆的一般方程化简为标准方程，即可求解出圆心k A 的坐标，根据121212k K A F F A S F F y ⨯⨯=△即可求解出12k A F F 的面积.【详解】（1）设椭圆G 的方程为：()222210x y a b a b+=>>，设半焦距为c，则212a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得6a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴22236279b a c =-=-=，所求椭圆G 的方程为：221369x y +=；（2）圆1C ：()2224210x y kx y k R ++--=∈，即()()222225x k y k ++-=+，则点k A 的坐标为(),2k -，则1212112222k A F F S F F ⨯⨯=⨯==△ 【点睛】本题考查椭圆方程的求解以及由圆的方程确定圆心，主要考查学生的基本计算能力，难度一般.18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右两个焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点为圆心，过1F ，2F的圆的内接正三角形的面积为2F 为焦点的抛物线()2:20M y px p =>的准线与椭圆C 的一个公共点为P，且2PF =（1）求椭圆C 和抛物线M 的方程；（2）过2F 作相互垂直的两条直线，其中一条交椭圆C 于A ，B 两点，另一条交抛物线M 于G ，H 两点，求四边形AGBH 面积的最小值.【答案】（1）22:184x y C +=；2:8M y x =；（2）()minAGBHS =四边形.【分析】（1）根据三角形的面积求解出c 的值，从而抛物线方程可求，再求解出1PF 的长度，并根据椭圆的定义求解出a 的值，从而椭圆的方程可求；（2）分直线的斜率0k =和0k ≠讨论：当0k =时直接计算；当0k ≠时分别联立直线与椭圆、抛物线，利用弦长公式表示出,AB GH ，根据12AGBH S AB GH =四边形求解出四边形AGBH 面积的最小值. 【详解】（1）圆O 半径为c，故内接正三角形的面积为2324c c =⇒= ∴22p=，即2:8M y x =又2PF =124F F =，故1PF =∴122a PF PF a =+==2224b a c =-=∴椭圆22:184x y C +=. （2）由已知得直线AB 的斜率存在，记为k（i ）当0k =时，AB =8GH =，故AGBH S =四边形（ii ）当0k ≠时，设():2AB y k x =-，代入2228x y +=，得：()2222128880k xk x k +-+-=∴22112k AB k +==+.此时，()1:2GH y x k=--，代入28y x =得：()228440x k x -++=∴()281GH k ==+.∴()2242211121212AGBHk k SAB GH k k +⎫===+>⎪++⎭四边形综上，()minAGBH S =四边形.【点睛】本题考查圆锥曲线的综合应用，其中涉及到椭圆和抛物线的方程求解、直线与圆锥曲线交点围成面积的最值，对学生的计算能力要求较高，难度一般.19．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且经过点P ⎭. （1）求椭圆的方程； （2）直线l 的斜率为12，且与椭圆相交于A ，B 两点（异于点P ），过P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q .（i ）证明：直线PQ 与坐标轴平行；（ii ）当AP BP ⊥时，求四边形APBQ 的面积【答案】（1）2214x y +=；（2）（i ）见解析，（ii ）85 【分析】（1）根据题意2a =，将点P ⎭代入椭圆方程即可求解.（2）（i ）利用分析法，只需证直线PQ的方程为x =或y =，只需证PA ，PB 斜率都存在，且满足0PA PB k k +=即可，设直线l ：12y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线与椭圆联立，消y ，利用韦达定理求出0PA PB k k +=即可证出；（ii ）可知直线AP和BP 的倾斜角应该分别为45︒，135︒，即斜率分别为1和-1，不妨令1PA k =，1PB k =-，求出直线PA 的方程，将直线方程与椭圆方程联立，求出点A 的坐标，同理求出点B ，再利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）解：2a =，将2P ⎭代入椭圆方程，得222214b ⎛ ⎝⎭+=， 解得1b =，故椭圆的方程为2214x y +=.（2）（i ）证明：∵PQ 平分APB ∠，欲证PQ 与坐标轴平行， 即证明直线PQ的方程为x2y =， 只需证PA ，PB 斜率都存在，且满足0PA PB k k +=即可. 当PA 或PB 斜率不存在时，即点A 或点B为2-⎭， 经检验，此时直线l 与椭圆相切，不满足题意，故PA ，PB 斜率都存在. 设直线l ：12y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立222214222012x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩， 2480m ∆=-+>，∴22m <，由韦达定理得122x x m +=-，21222x x m =-，12PA PBy y k k --+=((1221y x y x ⎛⎛+ =，((1221y x y x ⎛⎛+-⎝⎭⎝⎭))121212212x x y y x y x y =++++)121212************x x x m x m x x m x x m ⎫⎛⎫⎛⎫=-++++++++⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭(()12122m x x x x =-+++(()222220m m m =-+-+-=，得证.（ii ）解：若AP BP ⊥，即90APB ∠=︒，则可知直线AP 和BP 的倾斜角应该分别为45︒，135︒， 即斜率分别为1和-1，不妨就令1PA k =，1PB k =-， 则PA l：y x -=y x =，22214520x y x y x ⎧+=⎪⎪⇒--=⎨⎪=⎪⎩，已知x =125=-，∴15x =-，∴510A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，同理，可得,510B ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，AB == 因为A P B x x x <<，故PQ 的方程只能是x .设直线l 的倾斜角为α，与PQ 所成角为θ，故90αθ+=︒， 而1tan 2α=，故tan2θ=，∴sin 5θ=，又PQ =1sin 2APBQ S AB PQ θ=⋅182555=⨯=. 【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的面积问题，考查了运算求解能力，属于难题.20．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，离心率为12，长轴长为4.（1）求椭圆方程；（2）若直线l 过椭圆左焦点且倾斜角为4π，交椭圆与A ，B 两点，O 为坐标原点，求AOB的面积.【答案】（1）22143x y +=；（2）7. 【分析】（1）根据题意，列出关于,,a b c 的方程组，求解从而求得椭圆的方程；（2）结合（1），写出椭圆的左焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，联立方程组，利用弦长公式求得247AB =，利用点到直线的距离求得2h =，利用三角形面积公式求得结果. 【详解】（1）由题，2221224c a a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.∴椭圆方程为22143x y +=.（2）由（1）知椭圆左焦点1(1,0)F -， 直线l 的斜率tan14πk ==，∴直线l 的方程为10x y -+=. 设()11,A x y ､()22,B x y ，联立椭圆和直线方程2214310x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩。
点差法巧解圆锥曲线
点差法巧解圆锥曲线高中部 周钢点差法是指在求解圆锥曲线时，题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标，利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程并作差，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程的一种特殊方法。
点差法在解决特定问题时，可以减少很多的运算，因此对于这种方法，我们应该予以重视。
例1：过点()1,4P 作抛物线x y 82=的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 所在直线的方程.解：法一、设AB 所在直线的方程为()()014≠+-=k x k y ，由()⎩⎨⎧=+-=xy x k y 8142，消去x 并整理，得083282=+--k y ky .设()11,y x A ，()22,y x B ，由根与系数的关系，得ky y 821=+， 又P 是AB 的中点，所以1221=+y y . 所以428=⇒=k k， 所以直线AB 的方程为()441-=-x y ，即0154=--y x .法二、设()11,y x A ，()22,y x B ，则有1218x y =，2228x y =，两式相减，得()()()2121218x x y y y y -=+-， 又221=+y y ，则48211212=+=--=y y x x y y k ，所以直线AB 的方程为()441-=-x y ，即0154=--y x .通过例1可以看出：法一为传统解法，在联立求解过程中，可能出现计算失误导致最终结果的偏差；法二为点差法，利用中点直接解出直线斜率，计算简便。
例1比较简单，传统方法亦可解决，但已经能够看出点差法在计算方面的优势。
例2：已知椭圆C 的两个焦点分别为()0,11-F ，()0,12F ，M 是此椭圆上的一点，且21MF MF ⊥8=.（1）求椭圆C 的方程；（2）点B 是椭圆C 短轴的一个端点，且其纵坐标大于零，M 、N 是椭圆C 上不同于点B的两点.若MBN ∆的重心是椭圆C 的右焦点，求直线MN 的方程.解：（1）解答过程略，椭圆C 的方程为14522=+y x （2）设()11,y x M ，()22,y x N ，由（1）知()2,0B ，因为()0,12F 是MBN ∆的重心，故各点坐标满足⎩⎨⎧-=+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++230321321212121y y x x y y x x ，故M 、N 中点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,23， M 、N 在椭圆上应满足1452121=+y x ，1452222=+y x ，两式相减得 ()()()()04521212121=-++-+y y y y x x x x ⇒()()565421212121=++-=--=y y x x x x y y k ，所以直线MN 的方程为()⎪⎭⎫⎝⎛-=--23561x y ，即01456=--y x . 例2第二问的重点在于对重心的理解以及重心坐标公式的应用，利用重心求出弦MN 的中点坐标，再利用点差法即可求出直线方程，简化了大量的计算。
有关高考数学圆锥曲线复习几点建议
有关高考数学圆锥曲线复习的几点建议摘要：圆锥曲线是数学高考的重点内容，分数占到20%~30%，虽然难易程度中有简单、一般和复杂三种，但相对于其他的内容，圆锥曲线整体偏难，是学生十分的重灾区，本文立足与高考，对圆锥曲线的复习提出几点可行的建议。
关键词：高考，数学，圆锥曲线引言高考的目的主要是检查学生对高中所学知识理解的准确性和深刻性，要求学生对知识能够灵活运用。
每年的高考，知识点的考查方式总是不断变化，巧妙的组合，整体看来试题是新而不偏，活而不难，如果学生彻底理解知识点的含义，绝大多数题目都会得心应手，高考这种试题考核方式能够很好的区分学生的知识掌握状况，那么我们如何确保学生深刻掌握，每一个知识点呢？立足教材，学会教材，弄清每一个重要知识点和定义，相互衔接，将会全面提高数学解题能力。
本文学者高考数学复习中最难的知识点圆锥曲线作为探讨对象，对复习提出几点建议。
圆锥曲线虽然复杂，但是做过高考题得都会发现其考察的内容较少：圆锥曲线的概念和性质、与直线的位置关系是主要考察内容，但是形式确实变化多端，对学生综合利用知识的能力要求比较高，但并不是无突破口，纵观往年的高考的试题，从以下几点把握将会起到事半功倍的效果：掌握定义，这点是最重要的，许多题型都可以根据定义和标准方程简单解答；深化了解几何特性，圆锥曲线都有其相应的几何特点，掌握其规律们也会对解题有帮助；再就是学习与其他知识的相互联系。
教师在教学中，若能够运用多媒体，以flash的形式多像学生展示相关知识，会更好的加深记忆。
1.强化对圆锥曲线的定义以及标准方程的掌握定义是最基础的知识，在解题过程中，定义却是潜在的必不可少的条件，标准程与定义相结合，有利于促进学生在解题过程中熟练应用潜在条件。
双曲线都有第一定义和第二定义。
第一定义强调曲线上的点到焦点的距离的关系，这里很好的可以区分椭圆，双曲线和抛物线的各自含义；第二定义强调了曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离的关系，导入离心率的概念。
巧用齐次化联立方法解答圆锥曲线中的定值、定点问题
张茜郑轩宇圆锥曲线是数学高考中的重要内容,而定值、定点问题常以压轴题的形式出现.这两类问题较为复杂，运算量较大，且综合性较强，是很多同学感到困难的问题.对这两类问题，大部分同学只会采用常规方法：联立曲线的方程，然后根据韦达定理求解.而这种方法对同学们的运算能力要求很高,很多同学往往在得出关键方程后无法继续解下去.用齐次化联立解答圆锥曲线定值定点问题,可以有效提高运算的效率.齐次化联立主要用于处理以下问题:过圆锥曲线C 上的一点P 作两条直线l 1,l 2,两条直线的斜率k 1,k 2存在某种等量关系（和或积为定值）,两条直线又分别与C 有另外两个交点A ,B ,则直线AB 的斜率为定值或过定点.运用齐次化联立方法解答此类问题的基本思路是，将两条直线合起来写成一个二次方程，并将这个二次方程与圆锥曲线方程联立，再通过消项将所得到的方程变为一次方程.只要在消项过程中没有消去A 点或B 点对应的解，那么所得到的一次方程也就仍然满足A 、B 的坐标.由“两点确定一条直线”知所得一次方程即为直线AB 的方程.最后消去方程中的参数，得到过定点的直线系方程即可求出定点或者定值.下面结合实例来分析一下如何用这种方法解题.例1.记G æèöø1,32,M ,N 是椭圆C :x 24+y 23=1上的两个动点,若k GM +k GN =0,证明:直线MN 的斜率为定值.证法1:设直线GM 的方程为y -32=k (x -1),则直线GN 的方程为y -32=-k (x -1).由ìíîïïy -32=k (x -1)3x 2+4y 2=12得(3+4k 2)x 2+4k (3-2k )x +4(32-k )2-12=0.则x G x M =x M =4(32-k )2-123+4k 2,所以ìíîïïïïx M =(3-2k )2-123+4k 2，y M =k (x M -1)+32，同理可得ìíîïïïïx N =(3+2k )2-123+4k 2，y N =-k (x M -1）+32，所以k MN =y M -y N x M -x N =k [18+8k 2-2(3+4k 2)]24k=12为定值.证法1是一种常规的解法,先联立直线和椭圆方程得到关键方程,在分别求出两点的坐标后,代入有关斜率的关系式求得参数k 的值.该解法对同学们的计算能力要求较高，尤其在求两点的坐标时运算量较大.证法2:将题目中的直角坐标系向上平移1个单位,再向右平移32个单位,即使G 为新直角坐标系的原点.也就是说,点G ,M ,N 所对应的坐标分别为G '()0,0,M '()x 1,y 1,N '()x 2,y 2.此时椭圆C 在新坐标系中的方程为C ':()x +124+æèöøy +3223=1.由于直线M 'N '不经过原点,可设其直线方程为mx +ny =1,与C '联立可得3x 2+4y 2+6x ()mx +ny +12y ()mx +ny =0.两边同时除以x 2可得()12n +4æèçöø÷y x 2+()6n +12m æèçöø÷y x +()6m +3=0.由k GM +k GN =0知y 1x 1+y 2x 2=0,故-6n +12m 12n +4=0,即n =-2m .又m ,n 不同时为0,则M 'N '的斜率k =-m n =12.综上所述,直线MN 的斜率为定值,其值为12.值得注意的是,无论我们怎样平移直角坐标系,题目中所有直线的斜率都没有发生变化,也就是说,原直角坐标系中所涉及斜率的已知条件,也可以在新直角坐标系中直接使用.证法2以k GM +k GN =0为突破口,通过平移直角坐标系得到关于x ,y 的齐次化方程,将问题转化为关于yx（斜率）的一元二次方程，利用方程的根与系数之间的关系进行求解,巧妙地避开了复杂的运算.解答类似题目，此方法值得推广.例2.记H ()0,3,M ,N 是椭圆C :x 24+y 23=1上的两个动点,若k HM ∙k HN =4,证明:直线MN 过定点.证明:将题目中的坐标系向上平移3个单位,点H ,M ,N 对应的坐标分别为H '()0,0,M '()x 1,y 1,N '()x 2,y 2,即以点H 为坐标原点建立新的直角坐标系.此时,椭圆C 在新直角坐标系中的方程为C ':x 24+()y +323=1.47由于直线M 'N '不经过原点，所以设其直线方程为mx +ny =1,与C '联立可得3x 2+83mxy +()83n +4y 2=0.两边同时除以x 2可得()83n +4æèçöø÷y x 2+83m æèçöø÷y x +3=0.由k HM ∙k HN =4知y 1x 1∙y 2x 2=4,故383n +4=4,即n =.因此M 'N '恒过定点æèçø0,,将定点平移回原直角坐标系中,可知直线MN 过定点æèçø0,.在运用齐次化联立解答定点问题时,应注意平移前后直角坐标系中点的对应关系,得到的定点需要平移回去才是原坐标系中的定点.例3.已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A ,B 两点（A ,B 不是椭圆的左、右顶点）,且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点,求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.解:（1）C :x 24+y 23=1.（过程略）（2）设椭圆的右顶点为D ()2,0,将题目中的坐标系向右平移2个单位,则点D ,A ,B 对应的坐标分别为D '()0,0,A '()x 1,y 1,B '()x 2,y 2.此时椭圆C 在新坐标系中的方程为C ':(x +2)24+y 23=1.由于直线M 'N '不经过原点,设其直线方程为mx +ny =1,与C '联立可得4y 2+12nxy +()12m +3x 2=0.两边同时除以x 2可得4æèçöø÷y x 2+12n æèçöø÷y x +()12m +3=0.因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D ()2,0,所以k AD ∙k BD =-1.由k AD ∙k BD =-1知y 1x 1∙y 2x 2=-1,故12m +34=-1,即m =-712.因此A 'B '恒过定点æèöø-127,0,将定点平移回原直角坐标系中,则直线AB 过定点æèöø27,0.此类题目主要有两个特征:①涉及两条直线的斜率和或斜率积；②两条直线过同一个定点.在遇到此类问题时，要设法将两条直线的斜率表示成一元二次方程的两个根,即使用齐次化联立进行求解.可见，运用齐次化联立的方法解题，可以降低运算的难度.一般地,过圆锥曲线C :f ()x ,y =0上一点P ()x 0,y 0引两弦PA ,PB ,则利用齐次化联立证明直线AB 斜率为定值或直线AB 过定点的一般步骤为:（1）平移坐标轴,建立以P ()x 0,y 0为坐标原点的新直角坐标系；（2）求出曲线C 在新直角坐标系下的方程C ':f ()x +x 0,y +y 0；（3）设直线A 'B '的方程为:mx +ny =1,与C '联立得关键方程；（4）对关键方程进行齐次化处理,处理的原则是将关于x ,y 的一次式乘以()mx +ny ,常数项乘以()mx +ny 2,从而将关键方程转化成关于x ,y 的二次式；（5）将齐次化后的方程除以x 2,得到关于yx（斜率）的一元二次方程,并将题目条件转化为该方程的根与系数之间的关系.在解题时，我们不应停留在对特殊题型的求解上,还应该对题目、解法展开深入的探究,挖掘更具一般性的结论.结论1.已知定点P ()x 0,y 0为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1上的定点，A ,B 为椭圆C 上的两个动点，则有（1）若k AP +k BP =0,那么直线AB 的斜率为定值b 2x 0a 2y 0.（2）若k AP +k BP =λ()λ≠0,那么直线恒过定点æèçöø÷-2y 0λ+x 0,-2b 2x 0λa 2-y 0.（3）若k AP ∙k BP =λ,那么直线恒过定点æèçöø÷2b 2x 0λa 2-b 2+x 0,-2λa 2y 0λa 2-b 2+y 0.证明:将题目中的直角坐标系向上或向下平移x 0个单位,再向左或向右平移y 0个单位,即使P 为新直角坐标系的原点.也就是说,点P ,A ,B 对应的坐标分别为P '()0,0,A '()x 1,y 1,B '()x 2,y 2.由于直线A 'B '不经过原点,可设其直线方程为mx +ny =1,与椭圆在新直角坐标系中的方程C '联立得ìíîïï()x +x 02a 2+()y +y 02b 2=1mx +ny =1,,整理可得()a 2+2a 2y 0n y 2+()2b 2x 0n +2a 2y 0m xy +()b2+2b 2x 0m x 2=0,将两边同时除以x 2可得()a 2+2a 2y 0n æèçöø÷y x 2+(2b 2x 0n+2a 2y 0m )æèçöø÷y x+(b 2+2b 2x 0m )=0.48。
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圆锥曲线的解题技巧
一、高考考点
1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）
2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分
点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）
3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存
在的各种情况、截距是否为0等等）
4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算
5、了解线性规划的意义及简单应用
6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算
7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参
数法、交轨法、几何法、待定系数法等）
8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关
系解决一些常见问题
A:常规题型方面
（1）中点弦问题
具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)xy11，
(,)xy
22
，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
典型例题 给定双曲线xy2221。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1 及P2，
求线段P1P2的中点P的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭
桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆xayb22221上任一点，Fc10(,)，Fc20(,)为焦点，
PFF12，PFF
21
。
（1）求证离心率sinsin)sin(e；
（2）求|||PFPF1323的最值。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判
别式，应特别注意数形结合的办法
典型例题
抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。ypxpxytx210()()
（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点
（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。
（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题
圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。
<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函
数，三角函数，均值不等式）求最值。
（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不
等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首
先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思
想”。
典型例题
已知抛物线y2=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，
|AB|≤2p
（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。
（5）求曲线的方程问题
1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
典型例题
已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和
点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程
典型例题
已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1, 动
点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（>0）,
求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
（6） 存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，
求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来
解决）
典型例题 已知椭圆C的方程xy22431，试确定m的取值范围，使得对于直线
yxm4
，椭圆C上有不同两点关于直线对称
（7）两线段垂直问题
圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用kkyyxx1212121···来处理或用向量的坐标
运算来处理。
典型例题 已知直线l的斜率为k，且过点P(,)20，抛物线Cyx:()241，直线l与
抛物线C有两个不同的交点（如图）。
（1）求k的取值范围；
（2）直线l的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。
B:解题的技巧方面
在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用
M
N
Q O
几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。
下面举例说明：
（1）充分利用几何图形
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代
数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。
典型例题 设直线340xym与圆xyxy2220相交于P、Q两点，O为
坐标原点，若OPOQ，求m的值。
二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中
点等问题中常常用到。
典型例题 已知中心在原点O，焦点在y轴上的椭圆与直线yx1相交于P、Q两点，
且OPOQ，||PQ102，求此椭圆方程。
三. 充分利用曲线系方程
利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。
典型例题 求经过两已知圆Cxyxy122420：和Cxyy22224：0的
交点，且圆心在直线l：2410xy上的圆的方程。
四、充分利用椭圆的参数方程
椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这
也是我们常说的三角代换法。
典型例题 P为椭圆22221xyab上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四
边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。
五、线段长的几种简便计算方法
① 充分利用现成结果，减少运算过程
一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程ykxb代入圆锥
曲线方程中，得到型如axbxc20的方程，方程的两根设为xA，xB，判别式为△，
则||||ABkxxAB12·||12ak△·，若直接用结论，能减少配方、开方等运算
过程。
例 求直线xy10被椭圆xy22416所截得的线段AB的长。
② 结合图形的特殊位置关系，减少运算
在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线
的定义，可回避复杂运算。
例 F1、F2是椭圆xy222591的两个焦点，AB是经过F1的弦，若||AB8，求值
||||22BFAF
③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离
例 点A（3，2）为定点，点F是抛物线yx24的焦点，点P在抛物线y24x上
移动，若||||PAPF取得最小值，求点P的坐标。