2016-2017学年高中数学苏教版必修5学业分层测评：第二

学业分层测评(九)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于________． 【解析】 ∵S 5＝5a 3＝25，∴a 3＝5，∵a 2＝3， ∴d ＝a 3－a 2＝2， ∴a 7＝3＋5×2＝13. 【答案】 13
2．已知等差数列{a n }中，a 2
3＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10＝________. 【解析】 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，得(a 3＋a 8)2＝9，
∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3， ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2
＝
10×(－3)
2
＝－15. 【答案】 －15
3．(2016·南京高二检测)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝________.
【解析】 由等差数列前n 项和公式知S 8＝8(a 1＋a 8)2＝4(a 1＋a 8)＝4(a 7＋a 2)，
又S 8＝4a 3，∴4(a 7＋a 2)＝4a 3，
∴－2＋a 2＝a 3，∴公差d ＝－2，∴a 9＝a 7＋2d ＝－6. 【答案】 －6
4．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为________.
【导学号：91730033】
【解析】 ∵S 奇＝6a 1＋6×5
2×2d ＝30，∴a 1＋5d ＝5， S 偶＝5a 2＋5×4
2×2d ＝5(a 1＋5d )＝25， ∴a 中＝S 奇－S 偶＝5.
5．首项为正数的等差数列的前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝________时，S n 取到最大值．
【解析】 ∵S 3＝S 8，∴S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝0，∴a 6＝0，∵a 1>0，∴a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6＝0，a 7<0.
故当n ＝5或6时，S n 最大． 【答案】 5或6
6．(2015·安徽高考)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋1
2(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．
【解析】 由a 1＝1，a n ＝a n －1＋1
2(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为1
2的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×(9－1)2
×12＝9＋18＝27. 【答案】 27
7．已知等差数列{a n }的前4项和为25，后4项和为63，前n 项和为286，则项数n 为________．
【解析】 ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝25，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝63， 而a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3， ∴4(a 1＋a n )＝88，∴a 1＋a n ＝22. ∴S n ＝n (a 1＋a n )
2＝11n ＝286，∴n ＝26.
【答案】 26
8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝________. 【解析】 ∵a n ＝⎩⎨⎧
S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，
∴a n ＝2n －10. 由5<2k －10<8， 得7.5<k <9，∴k ＝8.
二、解答题
9．已知{a n }为等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，S 7＝7，S 15＝75.
(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
S n n 是等差数列；
(2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 的前
n 项和T n .
【解】 (1)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎨⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1
＋105d ＝75，解得⎩⎨⎧
a 1＝－2，d ＝1， 则S n ＝－2n ＋n (n －1)
2×1， ∴S n n ＝－2＋1
2(n －1)． ∵
S n ＋1n ＋1－S n n ＝1
2
， ∴数列⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 是等差数列． (2)由(1)知数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 是以－2
为首项，1
2为公差的等差数列．
∴T n ＝－2n ＋n (n －1)2×12＝14n 2－9
4n .
10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的取值范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由． 【解】 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12>0，S 13<0，
∴⎩⎨⎧ 12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎨⎧
24＋7d >0，3＋d <0， ∴－24
7<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0，
∴⎩⎨⎧
a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0， ∴⎩⎨⎧
a 6＋a 7>0，a 7<0， ∴a 6>0. 又由(1)知d <0，
∴数列前6项为正，从第7项起为负， ∴数列前6项和最大．
能力提升]
1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________.
【解析】 由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m
＋1
－S m ＝3，所以等差数列的公差为d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1， 由⎩⎪⎨⎪⎧
a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2，S m ＝a 1m ＋1
2m (m －1)d ＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋m －1＝2，a 1m ＋12m (m －1)＝0，
解得⎩⎨⎧
a 1＝－2，m ＝5.
【答案】 5
2．(2016·如东高二检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＝1，且对
任意正整数n 都有a 2n a n
＝4n －1
2n －1，则S n ＝________.
【导学号：91730034】
【解析】 由等差数列的通项公式可得，a 2n ＝1＋(2n －1)d ，a n ＝1＋(n －1)d . ∵a 2n a n ＝4n －1
2n －1，对任意n 都成立，
∴
1＋(2n －1)d 1＋(n －1)d ＝4n －1
2n －1
对任意n 都成立，
当n ＝1时，有1＋d
1＝3，解得d ＝2， ∴S n ＝n ×1＋n (n －1)
2×2＝n 2. 【答案】 n 2
3．若数列{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 003＋a 2 004>0，a 2 003·a 2 004<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n ＝________.
【解析】 由条件可知数列单调递减， 故知a 2 003>0，a 2 004<0， 故S 4 006＝4 006(a 1＋a 4 006)2
＝2 003(a 2 003＋a 2 004)>0，
S 4 007＝4 007(a 1＋a 4 007)
2＝4 007×a 2 004<0，
故使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是4 006. 【答案】 4 006
4．(2016·无锡高二检测)在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22，求数列{|a n |}的前n 项和．
【解】 由已知得
⎩⎨⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎨⎧
a 1＝50，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53. ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0； 当n ≥18，n ∈N *时，a n <0. ∴当n ≤17，n ∈N *时，
|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n ； 当n ≥18，n ∈N *时
|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝32n 2－103
2n ＋884.
∴当n≤17，n∈N*时，{|a n|}的前n项和为－3
2n
2＋
103
2n，
当n≥18，n∈N*时，{|a n|}的前n项和为3
2n
2－
103
2n＋884.。