相似三角形培优学案(动点问题)(学)

相似三角形培优导学案

精典例题

1.已知如图，正方形ABCD 的边长为1，P 是CD 边的中点，点Q 在线段BC 上，设BQ ＝k ，

是否存在这样的实数k ，使得Q 、C 、P 为顶点的三角形与△ADP 相似，若存在，求出k 的值；

若不存在，请说明理由。

2.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．

（1）当MN AB ∥时，求t 的值；

（2）试探究：t 为何值时，MNC △为直角三角形．

变式练习1：如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当3

1=∆∆ABC BCQ

S S ，求ABC BPQ S S ∆∆的值；（3）ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，求出AP 的长；若不能，请说明理由。 由S △BCQ ：S △ABC=1：3得知：QC=(1/3)AC=10,且S △

BCQ=(1/3)S △ABC

所以：Q,P 的运动时间为10/3

由（1）题知，此时PQ 与BC 恰好平行。

所以：△ABC

∽△APQ

所以：S △APQ/S △ABC=(20/30)^2=4/9

即：S △APQ=(4/9)S △ABC

所以：S △PBQ=S △ABC-S △APQ-S △BQC=S △ABC-(4/9)S △ABC-(1/3)S △ABC=(2/9)S △ABC

所以：S △BPQ ：S △ABC=2：9

（3）能。

当△APQ ∽△CQB 时，有AP/CQ=AQ/BC=4/3

由于：BC=20,

所以：可求得AQ=80/3

所以：QC=30-(80/3)=10/3

所以：P,Q 两点运动的时间为(10/3)/3=10/9

所以：此时AP=4*(10/9)=40/9

即AP 的长是40/9厘米

问题二图 P C

变式练习2：如图，已知直线l 的函数表达式为

483y x =-+，且l 与x 轴，y 轴分别交于A B ，两点，动点Q 从B 点开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，同时动点P 从A 点开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，设点Q P ，移动的时间为t 秒．

（1）求出点A B ，的坐标；

（2）当t 为何值时，APQ △与AOB △相似？ （3）求出（2）中当APQ △与AOB △相似时，线段PQ 所在直线的函数表达式．

3.如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存

在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的

点P 的坐标；若不

存在，请说明理由；

【答案】解：（1）该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为2

2y ax bx =+-． 将(40)A ，

，(10)B ，代入， 得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252

a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 此抛物线的解析式为215222y x x =-

+-． （2）存在．

如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222

m m -+-，当14m <<时， 4AM m =-，215222

PM m m =-+-．又90COA PMA ∠=∠=°， O P A Q B

y x

∴①当21AM AO PM OC ==时，APM ACO △∽△，即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭

． 解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，．

②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222

m m m -=-+-． 解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）∴当14m <<时，(21)P ，．

类似地可求出当4m >时，(52)P -，．当1m <时，(314)P --，．

综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，．

3.如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：

（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；

（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；

（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？

【答案】 解：(1)△BPQ 是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为

∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形.

(2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t ·sin600

=3t,由AP=t,得PB=6-t, 所以S △BPQ=21×BP ×QE=2

1(6-t)×3t=－23t 2+33t ； (3)因为Q R ∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600,

所以△QRC 是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ ·cos600=2

1×2t=t, 所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP ∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形,

所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900

.因为△APR ～△PRQ, 所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=PR QR ,即3326=-t

t ,所以t=56, 所以当t=5

6时, △APR ～△PRQ