新教材高中数学人教版必修一 精品指数函数的图像和性质 教学设计
《4.2.2 指数函数的图象和性质》教学设计
（一）教学内容
画出具体指数函数的图象；根据指数函数的图象总结指数函数的性质；利用指数函数的性质并解决简单问题.
（二）教材分析
1. 教材来源
本节课选自人民教育出版社2019版必修第一册第四章第二节第二课时。
2. 地位与作用
前面幂函数的学习为指数函数的研究提供了方法和依据，也为后续对数的学习奠定基础，在知识系统中起了承上启下的作用。同时在实际生活中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材.
（三）学情分析
1.认知基础：
学生对函数和图象的认识有了一定的认知结构，初步掌握了函数的基本性质和简单的指数运算技能，掌握了用描点法描绘函数的图象，且幂函数的学习提供了按“背景-概念-图象和性质-应用”的顺序研究函数。
2.认知障碍：
思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有待于提高。
（四）教学目标
1. 知识目标：
画出具体指数函数的图象；根据指数函数的图象说明指数函数的性质；掌握指数函数的性质.
2.能力目标：
体会从一般到特殊研究问题的方法，能通过数形结合，解决定点、单调性等问题.
3.素养目标：
发展学生的直观想象和数学抽象，逻辑推理.
（五）教学重难点：
1. 重点：指数函数的图象和性质
2.难点：指数函数性质的归纳、概括及其实际应用.
（六）教学思路与方法
本节课主要采用五个问题为载体的任务驱动式教学方法，启发引导学生归纳总结。通过作图识图，培养学生从函数图象中归纳函数性质。通过自主探究与合作探究，通过独立思考，动手操作，培养实践能力；通过小组讨论，培养学生的交流、协作能力。
（七）课前准备
PPT，几何画板
教学内容
回顾幂函数的研究过程
问题2：你能说出之前我们是怎样研究幂函数的吗？
预设答案：先学习的幂函数定义，然后采用列表描点连线的方法画出幂函数简图，通过图像研究幂函数的性质。
追问：对于指数函数，我们该怎样作出它的图象呢？
预设答案：同样是列表描点和连线的方法进行。
下面我们先画出指数函数2x
y=的图像问题3：请同学们完成x,y的对应值表4.2-2，并用描点法画出函数2x
y=的图像（图4.2-4）.
（引导过程见PPT）
预设答案：
追问：请根据同样的方法画出函数
1 () 2x
y=的图象，并与函数2x
y=的图象进行比较，它们有什么关系?
预设答案：（引导参见PPT）
因
1
()
2
x
y==2x-，点（x，y）与点
（-x ，y ）关于y 轴对称，所以函数2
x
y =图象上任意一点P （x ，y ）关于y 轴的对称点P 1（-x ，y ）都在函数1
()2
x y =的图象上，反之亦然.
由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称。根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象，比如利用函数
2x y =的图象，画出1
()2
x y =的图象
（图4.2-5）.
问题4：在同一直角坐标系中利用“对称性”在同一坐标系中，作
13,3x x y y ⎛⎫== ⎪⎝⎭与144x
x y y ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
与
图象.
问题5：观察这些图象的位置、公共
点和变化趋势，它们有哪些共性?由此你能概括出指数函数
01)(,x
a a a >≠且y=的值域和性质吗?
【1】指数函数既不是奇函数也不是偶函数
g x () =
12
()
x
f x () = 2x
-1
3
21
-4-3-2-13
21O
y
x
21
1
23
2
2
4O
y
x
【2】指数函数在y轴右侧的图像，底数越大图像越高.（底大图高）
【3】①当a>1且x>0时，y>1
①当a>1且x>0时，y>1
②当a>1且x<0时，0 ③当0 ④当0 【4】指数函数图像下端与x轴无限接近，但永不相交. 列表如下： 预设答案： 教学环节：例题解析 0.3 > 1.7 1.7 ） 3.10 又 < 0.90.9 3.10.3 < 0.9 1.7 2：如图4.2-7.某城市人口呈指数增长1）根据图象， 番所需的时间（倍增期）； 2）该城市人口从 年会增长到多少万人 作业：1习题4.2 3，6，9，10 2 练习册 《指数函数及其性质》 教材分析 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想（指数幂运算律的推广）、类比的思想、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂）、数形结合的思想（用指数函数的图像研究指数函数的性质）等，同时，编写时充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值． 根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支持． 教学目标 1．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，掌握指数函数的性质． 2．采用具体到一般、数形结合的思想方法，体会研究具体函数的性质． 3．使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实其他学科的联系；感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感． 教学重难点 【教学重点】 掌握指数函数的概念和性质． 【教学难点】 用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 课前准备 引导学生通过实际问题了解指数函数的实际背景，通过本节课导学案的使用和预习，初步理解指数函数的概念和意义，根据图像理解指数函数的性质，带着问题学习． 教学过程 （一）创设情景，揭示课题 1．对任意实数x，3x的值存在吗？（-3）x的值存在吗？1x的值存在吗？ 2．y=3x是函数吗？若是，这是什么类型的函数？ 3．（备选引例） （1）思考1：用清水漂洗含1个质量单位污垢的衣服，若每次能洗去残留污垢的，则漂洗x次后，衣服上的残留污垢y与x的函数关系是什么？ （2）（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1．3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长． ○1按照上述材料中的1．3%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？ ○2到2050年我国的人口将达到多少？ ○3你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？ （3）上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1．073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？ （4）一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？ 提出问题：上面的几个函数有什么共同特征？ （二）研探新知 1．指数函数的概念 指数函数及其性质教案 一、教学目的 1、使学生掌握指数函数的概念、图象和性质；能初步简单应用。 2、使学生理解数形结合的基本数学思想方法，培养学生观察、联想、类 比、猜测、归纳的能力。 3、使学生体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相 互转化，培养学生用联系的观点看问题。 4、通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、 概括、分析、综合的能力。 二、教学重点、难点 教学重点：指数函数的定义、图象、性质. 教学难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数性质的归纳、概括。 三、教具、学具准备： 多媒体课件：使用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率与质量。 四、教学方法 遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。依据本节为概念学习的特点，探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。 五、学法指导 1.再现原有认知结构。在引入两个实例后，请学生回忆有关指数的概 念，帮助学生再现原有认知结构，为理解指数函数的概念做好准备。 2.领会常见数学思想方法。在借助图象研究指数函数的性质时会遇到 分类讨论、数形结合等基本数学思想方法，这些方法将会贯穿整个高中的数学学习。 3.在互相交流和自主探究中获得发展。在实例的课堂导入、指数函数 的性质研究、例题与训练、课内小结等教学环节中都安排了学生的讨论、分组、交流等活动，让学生变被动的接受和记忆知识为在合作学习的乐趣中主动地建构新知识的框架和体系，从而完成知识的内化过程。 4.注意学习过程的循序渐进。在概念、图象、性质、应用的过程中按 照先易后难的顺序层层递进，让学生感到有挑战、有收获，跳一跳，够得着，不同难度的题目设计将尽可能照顾到课堂学生的个体差异。 六、教学过程 1、复习回顾，以旧悟新 函数的三要素是什么？函数的单调性反映了函数哪方面的特征？ 答：函数的三要素包括：定义域、值域、对应法则。函数的单调性反映了函数值随自变量变化而发生变化的一种趋势，例如：某个函数当自变量取值增大时对应的函数值也增大则表明此函数为增函数，图象上反应出来越往右图象 《4.2.2 指数函数的图象和性质》教学设计 （一）教学内容 画出具体指数函数的图象；根据指数函数的图象总结指数函数的性质；利用指数函数的性质并解决简单问题. （二）教材分析 1. 教材来源 本节课选自人民教育出版社2019版必修第一册第四章第二节第二课时。 2. 地位与作用 前面幂函数的学习为指数函数的研究提供了方法和依据，也为后续对数的学习奠定基础，在知识系统中起了承上启下的作用。同时在实际生活中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材. （三）学情分析 1.认知基础： 学生对函数和图象的认识有了一定的认知结构，初步掌握了函数的基本性质和简单的指数运算技能，掌握了用描点法描绘函数的图象，且幂函数的学习提供了按“背景-概念-图象和性质-应用”的顺序研究函数。 2.认知障碍： 思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有待于提高。 （四）教学目标 1. 知识目标： 画出具体指数函数的图象；根据指数函数的图象说明指数函数的性质；掌握指数函数的性质. 2.能力目标： 体会从一般到特殊研究问题的方法，能通过数形结合，解决定点、单调性等问题. 3.素养目标： 发展学生的直观想象和数学抽象，逻辑推理. （五）教学重难点： 1. 重点：指数函数的图象和性质 2.难点：指数函数性质的归纳、概括及其实际应用. （六）教学思路与方法 本节课主要采用五个问题为载体的任务驱动式教学方法，启发引导学生归纳总结。通过作图识图，培养学生从函数图象中归纳函数性质。通过自主探究与合作探究，通过独立思考，动手操作，培养实践能力；通过小组讨论，培养学生的交流、协作能力。 （七）课前准备 PPT，几何画板 2.3指数函数 【知识要点】 1. 指数函数：一般地，函数y=x a （a>0,且a ≠1）叫做指数函数。 2. 指数函数y=x a （a>0,且a ≠1）的图像与性质 3.指数函数的运算性质 （1）m n a a ∙= m n a +（a>0，m,n ∈R ） （2）()m n mn a a = （a>0，m,n ∈R ） （3）()n n n ab a b = （a>0，m,n ∈R ） （4）m n m n a a a -÷= （a>0，m,n ∈R ） （5） ()n n n a a b b = （a>0,b>0,n ∈R ） 4. 指数函数图像的平移规律 若已知y=x a 的图像，则把y=x a 的图像向左平移b(b>0)个单位，则得到y=x b a +的图像； 把y=x a 的图像向右平移 b （b>0）个单位，则得到y=x b a -；把y=x a 的图像向上平移b(b>0) 个单位，则得到y=x a + b 的图像；把y=x a 的图像向下平移b(b>0)个单位，则得到y=x a -b 的图像。 5. 指数函数的实际运用 在实际生活中经常遇到的与指数函数有关的函数模型：（1）指数增长模型，在 (1)x y N p =+型函数中N 为原产值，p 为平均增长率，y 为总产值，x 为时间。（2）复 利计算公式(1)x y a r =+（a 为本金，r 为每期利率，x 为期数，y 为本利和），我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计算。 【知识应用】 1. 方法：判断一个函数是否为指数函数，通过知道指数函数y=x a （a>0,且a ≠1）解析 式的结构特征：（1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：自变量x ；（3）系数：1. （特别提醒：指数函数的结构的三个特征是判断函数是否为指数函数的三个标准，缺一不可） 【J 】例1 指出下列函数中哪些是指数函数： （1）y= 4x （2）y= 4x （3）y=-4x （4）y= (4)x - （5）x y π= 【L 】例2已知函数2(33)x a a a -+是指数函数，则a=_________ 【C 】例3 指出下列函数哪些是指数函数： （1）y=2 4x （2）y=x x (3)y= (21)x a -(a> 12 ,且a ≠1) （4）31x y =+ 2. .方法：利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的的方法，记忆指数函数性质时可以联想函数的图像。在做题时只需画出相应的函数图像即可方便快捷的解决问题。（特别提醒：当指数函数底数大于1时，图像上升，且底数越大时图像向左越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图像下降，底数越小，图像向右越靠近于x 轴）在底数为a 时，解答时，一般应分为a>1和0 课题：指数函数及其性质 2.1.2 指数函数及其性质 一、教学目标： 1.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质. 2.通过教学，掌握研究函数性质的思路方法，如类比、从特殊到一般等，增强学生识图用图的能力. 3.在指数函数的学习过程中，培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会分类讨论思想、数形结合等数学思想. 二、教学重点、难点： 教学重点：指数函数的定义、图象和性质. 教学难点：指数函数定义、图象和性质的发现总结。 三、教学过程： 1.创设情境 引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……以此类推，1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系式是什么？ 生: y 与 x 之间的关系式，可以表示为y ＝2x ，* x N . 引例2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”则截取x 次后，木棰剩余量y 与x 的函数关系式是什么？ 生: y 与 x 之间的关系式，可以表示为1()2 x y = ，* x N ∈. 问题1: 观察函数12()2 x x y y ==与的解析式，这两个函数是不是我们以前学习的一次、二次、反比例函数？这两个函数的解析式有何共同特征？ 生：不是以前学习的一次、二次、反比例函数，他们的共同特征都是x y a =的形式. 问题2: 你能模仿以前学习的一次、二次、反比例函数的定义，给出这一新型函数的定义吗？ 学生回答x y a =，若回答不出，教师因势利导，然后板书课题：指数函数及其性质. 2. 指数函数的定义 一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . （归纳指数函数的定义，学生可能归纳不全，如想不到限制条件0a >且1a ≠，师直接说即可.） 问题3: 在指数函数的定义中，为什么规定底数0a >且1a ≠呢？ 生：(1)若0a =，则当0x >时，0x a =；当0x ≤时，x a 无意义； (2)若a <0，则对x 的某些值，可使x a 无意义，如12,2 a x =-= ； (3)若1a =，则无论x 取何值，它总是1，没有研究的价值. 师：以上同学解释得都有一定道理但不够，底数a 范围的确定，是为了保证a 在这个范围内取值时，这一类函数的定义域永远是相同的. 师：请大家来看下面一组练习：判断下列函数是不是指数函数？(学生回答) 1(1)3x y += (2)3x y = (3)3x y =- 3(4)y x =(5)x y x = (6)x y π= (7)(3)x y =- ()()821x y a =-1 (2 a > 且1)a ≠ 规律总结： 指数函数的特征：（1）幂的系数为1；（2）底数是一个正的不等于1常数；（3）指数为自变量x . 3. 指数函数的图象 师：问题4:要研究一种新函数，如何研究？ 高中数学人教版必修一第二章-2.1.2指数函数及其性质教学设 计 高中数学人教版必修一第二章第一节指数函数---指数函数及其 性质（第二课时）教学设计 一、教材分析 本节内容是高中数学人教版必修一第二章第一节指数函数的内容，共六课时，本节是指数函数图像及其性质的第二课时.在指数函数图像及其性质的第一课时中，通过图形、实例进行具体分析、观察、归纳，由具体到抽象，得出指数函数的图像和性质，并能进行最基本的应用.本节课，在第一节的基础上，学生继续学习函数图像和性质，并能进行简单的应用. 指数函数是函数中的一个重要基本初等函数，为后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的学习做好了知识的准备.同时指数函数的图像和性质也是学习指数函数的重要内容.通过这部分知识的学习，使学生进一步深化对函数概念的理解与认识；通过这部分的学习，向学生渗透数形结合、分类讨论等重要的数学思想方法，这些数学思想方法对于进一步探究对数函数、三角函数等函数的图像和性质有很强的引领作用. 二、学情分析 高一学生在初中阶段已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数，对于这些函数的图像和性质有了一定的认识，具备了初步的观察、发现、分析的能力，为指数函数的图像和性质的学习，有了一定的理论基础.但对底数a的变化如何影响其性质以及应用性质进行简单的应用，解决一些实际问题，对于学生来说还是有一些困难的.而且大部分学生不具备数形结合的思想，分类讨论的意识比较淡薄，在解决问题中经常出现解不全面的错误. 三、教学目标 1.理解指数函数的概念和意义，根据图像理解和掌握指数函数的 性质. 2.会进行指数函数性质的简单应用. 3.通过对指数函数的图像和性质的探究与应用，渗透数形结合的思想方法. 4.通过应用指数函数图像和性质解决一些简单问题，领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力. 5.通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法. 6.让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. 四、教学重点和难点 1.重点：指数函数的性质和图像. 2.难点：理解、掌握指数函数中底数a的变化对于函数值的影响. 五、教学过程 （一）引导回忆，复习新知 1.复习指数函数的形式是 2.根据指数函数的概念，并指出下列函数那些是指数函数？ 4x y = 4x y =- 4 y x = 4x y -= 1 4 x y += 32 x y = 设计意图:为了让学生明确指数函数的定义是以解析式的形式来定义的，加强对概念的理解. 图象 4．2.2指数函数的图象和性质 内 容 标 准 学 科 素 养 1.通过具体的指数函数，总结指数函数的性质、单调性及特殊点． 数学抽象 逻辑推理、数学运算 2.会利用指数函数的性质解决指数函数问题. 授课提示：对应学生用书第54页 [教材提炼] 知识点指数函数的图象和性质 预习教材，思考问题 y ＝2x 与y ＝(1 2)x 的单调性有什么不同？ 知识梳理 0＜a ＜1 a ＞1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性 质 过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1 减函数 增函数 无奇偶性 1．若3x ＋ 1<1，则x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(0,1)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1) 解析：3x ＋1<1＝30，∵y ＝3x 是增函数， ∴x ＋1<0，∴x <－1. 答案：D 2．下列判断正确的是( ) A ．1.51.5＞1.52 B ．0.52＜0.53 C．e2＜2e D．0.90.2＞0.90.5 答案：D 3．y＝3x2＋1的值域是________． 解析：设t＝x2＋1，则t≥1，∵y＝3t是增函数，∴y＝3t≥31＝3. 答案：[3，＋∞) 4．对任意实数m、n，当m＞n时，恒有a m＜a n，则a的取值范围为________． 答案：(0,1) 授课提示：对应学生用书第54页探究一利用指数函数单调性比较大小 [例1]比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.50.3和0.81.2. [解析](1)函数y＝1.5x在R上是增函数， ∵2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2. (2)函数y＝0.6x在R上是减函数， ∵－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0.6－1.5. (3)由指数函数的性质知 1．50.3＞1.50＝1， 而0.81.2＜0.80＝1， ∴1.50.3＞0.81.2. 三类指数式的大小比较问题 (1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决． (2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可． (3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量1，其中一个大于1，另一个小 高一数学必修1 《指数函数及其性质》说课稿（人教版） "说课"是教学改革中涌现出来的新生事物，是进行教学研究、教学交流和教学探讨的一种新的教学研究形式，也是集体备课的进一步发展，而说课稿则是为进行说课准备的文稿。下面是店铺为大家整理的高一数学必修1 《指数函数及其性质》说课稿，欢迎参考! 高一数学必修1 《指数函数及其性质》说课稿 一、指数函数及其性质教学设计说明 新课标指出：学生是教学的主体，教师的教应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。我将以此为基础对教学设计加以说明。 数学本质： 探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决，转而由“形”——图象突破，体会数形结合的思想。通过分类讨论，通过研究两个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现指数函数的图象规律，从而归纳指数函数的一般性质，经历一个由特殊到一般的探究过程。引导学生探究出指数函数的一般性质，从而对指数函数进行较为系统的研究。 二、教材的地位和作用： 本节课是全日制普通高中标准实验教课书《数学必修1》第二章2.1 .2节的内容，研究指数函数的定义，图像及性质。是在学生已经较系统地学习了函数的概念，将指数扩充到实数范围之后学习的一个重要的基本初等函数。它既是对函数的概念进一步深化，又是今后学习对数函数与幂函数的基础。因此，在教材中占有极其重要的地位，起着承上启下的作用。 此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。 三、教学目标分析： 根据本节课的内容特点以及学生对抽象的指数函数及其图象缺乏 教学设计 1、抛出生活中的实例，需要建立一个关于指数函数的数学模型，为学生提出问题；提高学生学习新知识的积极性以及体会数学与生活密切相关。 2、用简单易懂的实例引入指数函数概念，体会由特殊到一般的思想。 3、探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决，转而由“形”——图象突破，体会数形结合的思想。通过研究几个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现指数函数的图象规律，从而归纳指数函数的一般性质，经历一个由特殊到一般的探究过程。让学生在研究出指数函数的一般性质后进行总结归纳函数的其他性质，从而对函数进行较为系统的研究。 4、进行一些巩固练习从而能对函数进行较为基本的应用。 学情分析 指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 效果分析 在整个的教学过程中，始终体现以学生为本的教育理念。在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，强调学生的品德、思维和心理等方面的发展。重视讨论、交流和合作，重视探究问题的习惯的培养和养成。同时，考虑不同学生的个性差异和发展层次，使不同的学生都有发展，体现因材施教的原则。在教学的过程中，考虑到学生的实际，有意地设计了一些铺垫和引导，既巩固旧有知识，又为新知识提供了附着点，充分体现学生的主体地位 教材分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第二章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其性质》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。本课时主要学习指数函数的概念，通过图像的研究归纳其性质。“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，此外还可类比学习后面的其它函数。 指数函数的图像及性质 3.1 《指数函数的图像和性质》教学设计 一、教学指导思想与理论依据 通过学习新课标和新的教育理念，我深深感受到：在中学数学的教学过程中，不仅要重视让学生掌握知识，更应重视让学生经历数学知识的形成与应用过程；重视学习过程中的情感体验；重视培养学生自主探究，合作交流，勇于创新的意识和能力。以往那种教师说的多，强调的多，学生未必会记住；教师讲得精彩，学生未必能理解；学生做题多，未必正确率高。同时教学中应采用多种教学形式，多种教学手段进行，在适当的时候，合理的运用多媒体，能有益的辅助教学，提高课堂效率，丰富教学内容。 新课标的教育宗旨是：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。这就要求在课程的设计中，要联系生活实际，联系学生已有的知识经验，学习内容要有层次。 二、教材分析： 本节课是北师大版高中《数学》必修1第三章第三节《指数函数》的内容。我将从以下两个方面对教材进行分析。 （一）教学内容的地位和作用分析: 《指数函数》是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。而指数函数的图像和性质是学习指数函数的重要内容。通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，特别是通过这部分的学习，对于学生进行数形结合、几何直观等重要的数学思想方法的渗透，有很大的促进作用，这些数学思想方法对于进一步探究对数函数、三角函数等有很强的引领作用。 （二）教材分析和教材处理： 教材在安排这一节内容时，共安排了三个课时，《指数函数的概念及指数函数x y 2=与 x y ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=21的图象和性质》 、《指数函数的图像和性质（1）》、《指数函数的图像和性质（2）》第一课时侧重指数函数概念的理解以及两个具体的指数函数图像的认识，第二课时在第一课时基础上探究指数函数的性质及性质，第三课时侧重性质的应用。 我对教材内容进行了重新的整合与处理，这部分内容的重点在于学生根据图像研究指数函数的性质，难点在于性质的运用。性质的研究必须以具体的指数函数图像为载体，而列表描点画图对于学生而言是已经熟练掌握的数学技能，不需要在第一第二课时里重复训练。综上，我在本节课之前，我将画图作为预习任务布置给学生，即能有效的利用课堂时间，又 人教A 版高中数学必修一指数函数及其性质教案 一、教材分析 本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.1.2指数函数及其性质的内容 二、三维目标 1．知识与技能 （1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系； （2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点； （3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等． 2．过程与方法 通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n 次方根的概念，进而学习根式的性质. 3．情感、态度与价值观 （1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； （2）培养学生认识、接受新事物的能力 三、教学重点 教学重点：指数函数的的概念和性质． 四、教学难点 教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质 五、教学策略 发现教学法 经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律. 六、教学准备 回顾初中时的整数指数幂及运算性质， 0,1(0) n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠ 七、教学环节 引入课题 1． （合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关 注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球 范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育． 我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策． ○ 1 按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x 年后我国的人口将达到2000年的多少倍？ ○ 2 到2050年我国的人口将达到多少？ ○ 3 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？ 2． 上一节中GDP 问题中时间x 与GDP 值y 的对应关系y=1.073x （x ∈N *，x≤20）能 否构成函数？ 3． 一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以 时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？ 4． 上面的几个函数有什么共同特征？ 新课教学 （一）指数函数的概念 一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自 变量，函数的定义域为R ． 注意：○ 1 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析； ○ 2 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1． 巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材P 68例2、3） （二）指数函数的图象和性质 问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究： 第四章指数函数与对数函数 4.2.2 指数函数的图像和性质 本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.2.2节《指数函数的图像和性质》。从内容上看它是学生学习了一次函数、二次函数、反比例函数，以及函数性质基础上，通过实际问题的探究，建立的第四个函数模型。其研究和学习过程，与先前的研究过程类似。先由实际问题探究，建立指数函数的模型和概念，再画函数图像，然后借助函数图像讨论函数的性质，最后应用建立的指数函数模型解决问题。体现了研究函数的一般方法，让学生充分感受，数学建模、直观想象、及由特殊到一般的思想方法。 课程目标素养 1、能画出具体指数函数的图象； 2、在观察指数函数图像基础上，归纳出指数 函数的性质，能应用解决简单的问题； 3、在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象 和解析式这两种不同角度研究函数性质的数 学方法，加深对指数函数的认识，让学生在 数学活动中感受数学思想方法之美、体会数 学思想方法之重要； a.数学抽象：指数函数的性质； b.逻辑推理：类比法学习指数函数性质； c.数学运算：运用指数函数性质解决问题； d.直观想象：指数函数图像； e.数学建模：在实际问题中建立指数函数模型； 教学重点：指数函数的图象和性质。 教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质及其应用。 1 1 多媒体 教学过程 设计意图 核心教学素养目 标 （一）、创设问题情境 你能说说研究函数的一般步骤和方法吗？ （二）、探索新知 问题１ 用描点法作函数 x x y =2y =3.和的图象 1.列表 2.描点 3.连线. 用描点法作函数⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x 11y =y =.23和的图象 观察这四个图像有何特点？ 问题1：图象分别在哪几个象限？ 问题2：图象的上升、下降与底数a 有联系吗？ 问题3：图象有哪些特殊的点？ 问题4：图象定义域和值域范围？ 开门见山，通过 对函数研究的一般方法回顾，提 出研究方法。培 养和发展逻辑推 理和数学建模的核心素养。 探究问题： 问题1.通过对特殊的指数函数图像观察，归纳出指数函数的性 质；发展学生数 学抽象、数学建 模和逻辑推理等 “指数函数的图象与性质”教学设计 一、教材内容分析： 教学内容：本节教学内容见《普通高中教科书人民教育出版社A版必修1第一册第四章第二节第二课（4.2.2）《指数函数图象与性质》》的第二节即指数函数及其性质的第二课时，所需要进行教学的内容为：指数函数的图象、性质及简单应用。 内容分析：指数函数的底数取值情况为1 a且，a为底数，底数对于 0≠ >a 指数函数来说至关重要，其影响指数函数的图象和性质。本节课程需要学生并能够绘制指数函数图象，了解底数a对于图象如何影响，通过对图象观察、对比、分析得到指数函数的性质，从而提高学生的观察能力，通过性质的产生过程，学生逐步掌握“分类讨论”与“数型结合”的数学核心素养。 二、学生学情分析 学生学习基础：在初中时期，学生已经接触到一些函数即一次函数、二次函数以及反比例函数，不仅熟悉这些函数的图象和性质，而且对于函数的研究有了一些了解与认识，其中包括描点法绘制函数图象，这一系列的函数基础，能够初步使用数形结合的思想来考虑抽象问题。 学生学习阻碍：学生的思维方式依旧以直观思维方式为主，因此尽管具备了基础的函数学习的技能，但在本节课程中要想清晰的理解底数a在对指数函数的图象和性质的影响中起到何种作用依旧存在困难。 三、教学目标分析 （一）课程目标： 在学生的画图过程中，发现底数a的变化是如何影响指数函数的图形及其性质，并且得到指数函数的图象，通过对图象的观察、分析，掌握指数函数的性质。 （二）课时目标及目标解析： 【课时目标】 1、通过分组画指数函数y=2x与y=(1/2)x，y=3x与y=(1/3)x的图象，感悟底数a的变化对指数函数的图象的影响。 2、观察指数函数图象，对图象进行细致的分析与研究，进而获得指数函数的性质，在这一学习过程中，学生的观察学习水平以及数形结合的思想均能够得 教学设计 一、教学目标 1．知识与技能 掌握指数函数的图像、性质及其简单应用． 2．过程与方法 通过学生自主探究，让学生总结指数函数的图像与性质. 3．情感、态度、价值观 通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问、善于探索的思维品质． 二、教学重难点 教学重点：指数函数的图像与性质 教学难点：用数形结合的方法，从具体到一般的探索、概括指数函数的性质. 三、教学方法：自主探究式 四、教学手段：多媒体教学 五、教学过程： （一）创设情境 1、复习：指数函数的定义； 2、导入：从折纸导入，x y 2=、x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21函数的图像与性质紧密联系，图像可反映函数的性质,所以我们今天学习指数函数的图像与性质。 （二）自主探究 1． 画一画：用列表、描点、连线的作图步骤，画出指数函数x y 2=、 x y ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=21的图像 2．说一说：通过图像，分析x y 2=、x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21的性质； 3.比一比：x y 2=与y ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=21的图像有哪些相同点，哪些不同点？ 4．想一想：在平面直角坐标系中画出函数3x y=、1 3x y ⎛⎫ = ⎪ ⎝⎭ 的图像，试 分析性质。 5．议一议：通过以上四个函数的图像和性质，归纳指数函数x a y=（1 ,0≠ >a a且）的图像和性质如下： （三）典例精讲 类型一两个数比较大小 例1、比较下列各题中两个值的大小 （1）5.27.1，37.1；（2）1.0-8.0，2.0-8.0；（3）3.07.1，1.39.0 类型二应用题 例2. 某城市人口呈指数增长。 （1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需时间（倍增期）。（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ 《指数函数及其性质》教学设计 一、教学目标 课程标准对本节课的要求是：理解并掌握指数函数的概念；能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 从认知层次的三个维度对课标进行了分解，具体如下： 由此确定的学习目标为： 1.通过具体实例，经过合作交流活动得到指数函数的概念，由学生自主归纳总结并对指数函数的概念进行分析； 2.借助图形计算器画出具体指数函数的图象，探索、归纳、猜想指数函数的单调性与特殊点； 3.学生在数学活动中感受数学思想之美、体会数学方法之重要，培养学生主动学习、合作交流的集体意识. 二、教学重点与难点 教学重点：指数函数的概念的产生过程； 教学难点：用数形结合的方法，从具体到一般地探索概括指数函数性质. 三、教学过程 本节课我采取“目标、评价、教学一致性”的教学设计，同时采用“点拨式自主学习与合作探究”的教学方法，将学生分成六人小组，每组由一名组长负责，借助五个环节实现本节课的学习目标. 具体内容如下： 板书设计 板书设计分为教师板书和学生板书两块内容，教师板书，我侧重将本节的三个主要内容展示在黑板上，便于学生理解和记忆.学生板书，我将留给学生展示作图成果，便于对学生掌握的情况进行总结和评价. 学生实际情况分析 指数函数是在学生系统学习了函数概念，掌握了函数的性质的基础上第一次对一个函数进行全面、系统的研究，因此在初期会给学生带来一定的学习困难，但指数函数的总体难度不大，随着数学思想的建立和对函数知识系统的学习，大部分学生均可熟练掌握. 效果分析 本节课从整体上创设了一个完整的情境，通过展示实例，让学生通过观察、分析、猜想、归纳等逻辑思维活动，对比已经学过的简单函数，发现指数函数概念，激发学生取得成功的动机。然后围绕“指数函数图象及性质”这一课题展开讨论，教师只是一个情境的创设者、知识的引导者、活动的组织者，而参与、体验、主动获得知识的是学生自己，真正体现了“学生是学习的主体”这一指导思想。 突出新课教学，多层次、多角度展开对概念的剖析，由此加深对指数函数概念的研究。比如在指数函数的定义给出之后接着给出这样一个问题：为什么规定且呢？从注意教师的“教”，转向关注学生的“学”。因此在平时的数学教学中，要注意调动学生的积极性，挖掘潜力，培养能力，从而使学生以极大的学习兴趣和热情全身心地投入到数学学习中去。 但是课堂上在小组讨论时指导得不够到位，小组内同学合作得不够理想。而且在作图教学时应该更大激发学生的热情，给他们更多的自主权。在今后的教学中，要在学生合作等方面加强指导，注意平时的培养与提高。（3）教学机智：课堂教学中，对学生回答问题或板演，我总是想方设法使之不出一点差错，即使是一些容易产生典型错误的稍难问题，我也有“高招”使学生按我设计的正确方法去解决。这样就掩盖了错误的暴露以及纠错过程。在今后教学同一内容时中，会通过一两个典型的例题，让学生暴露错解，师生共同分析出错误的 指数函数 一、教材分析： 本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图象与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。 二、教学目标 : (1) 认知目标 : 理解指数函数的定义 , 掌握指数函数的图象、性质及其简单应用 ; (2) 能力目标 : 通过指数函数的图象和性质的教学 , 培养学生观察、分析、 归纳等思维能力和数形结合的数学思想 (3) 情感目标 : 认识事物的普遍联系与相互转化 , 激发学生学习数学的兴趣 ,努力 培养学生的创新意识 ; 三、教学重难点 : 重点是指数函数的图像、性质及简单应用; 难点是指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图像与底的关系。 四、教学方法与手段 : 采用引导—发现式 , 合作--讨论式教学方法，配合多媒体、投影等辅助教学。 五、课前准备 : 上节课后学生完成补充思考题《指数》思考题 1 ．若R n∈时 ,n a总有意义 , 求a的范围 ? 六、教学过程 (一)创设情境、形成概念 (二) 发现问题、探究新知 （三）深入探究，加深理解 （四）当堂训练，共同提高 例 1：比较下列各题中两个值的大小 : (l)1.72.5,173; (2)0.8-01,0.8-02; (3)(0.3)-0.3,(0.2)-0.3 (4)1.70.3,0.93.1 解 :(1) 考察指数函数 y=1.7x , 由于底数 1.7〉1, 所以指数函数 y=1.7X 在 R 上是增函数 因为 2.5〈 3 , 所以 1.72.5〈1.73 (2) 考察指数函数 y =x 8.0 , 由于底数0〈0.8〈 l, 所以指数函数y =x 8.0在 R 上是减函数。 因为 -0.1 〉-0.2, 所以 0.8-0.1〈 0.8-0.2 同底数幂比大小时 , 可构造指数函数，利用单调性比大小 . (3) 观察图像可得，（0.3）3.0-〈（ 0.2）3.0-不同底数幂在比大小时 , 可利用多个指数函数图象比大小 (4) 由指数函数的性质知 1.703 〉 1.7 0 =1, 093.1〈 0.90 =l 即 1.70.3 〉0.93.1〈 1, 所以 1.70.3 〉0.93.1 不同底数幂比大小时 , 可利用图象法或利用中间变量 ( 多选0，1) 例2：已知下列不等式 , 比较m 和n 的大小 : (l )m 2〈n 2 (2)m 2.0〉n 2.0 (3)m a 《指数函数的图象和性质》教学设计 一、学习目标 1.能画出具体指数函数的图象； 2.观察指数函数图象，归纳出指数函数的性质，培养解决问题的能力 3.通过观察图象、归纳总结指数函数性质的活动，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要。 二、数学学科素养 1.数学抽象：指数函数的图像与性质； 2.逻辑推理：图像平移问题； 3.数学运算：求函数的定义域与值域； 4.数据分析：利用指数函数的性质比较两个函数值的大小： 5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质. 三、教学重难点 教学重点：指数函数的概念和性质. 教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 四、教法与学法 教学策略：小组合作讨论策略;讲练有效结合策略;自主探究式学习策略 教学手段：多媒体化课件；几何画板 3、借助几何画板画出x x x x x x y y y y y y ） （）（4 1,31,)21(,4,3,2====== 的图象，通过图象不同的变化趋势， 可以将底数分为哪两类？ 底数分为a>1和0 《指数函数的图象及其性质》的教学设计 一．教学内容和解析 内容：指数函数的概念，图象及性质。 本课时是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修1》（人教A 版）第二章2.1.2指数函数的图象及其性质的第一课时。 指数函数是学生在高中阶段系统学习的第一个基本初等函数。通过本节的学习，既可以对指数幂和函数概念及性质巩固和深化，又可以为研究对数函数、幂函数的打下概念和图象坚实基础，也为学习函数与方程，三角函数和导函数等完整的函数知识提供了思想和方法，初步运用函数的意识，为今后打下良好的学习基础，所以指数函数不仅是本章的重点内容，也是高中数学主要研究的内容之一，指数函数在教材中起到了承上启下的关键作用。同时，指数函数与我们日常的生产，生活和科学研究紧密联系，具有了广泛的现实意义，体现非常高的实用价值。 函数是高中数学学习的重点和难点，函数思想贯穿于整个高中数学之中。通过对三个具体的对应关系，使学生除了感受到不同于初中学习过的函数，还了解了指数函数的丰富背景，认识到数学与现实生活及其他学科的联系。在掌握函数概念的基础上，学生尝试为新的对应关系定义，并理解指数函数的概念 和意义。学生在学案上画出指数函数x y 2= 、x y 3=、x y )21(=和x y )3 1(=的图象，教师指导学生观察对比，寻找规律，大胆猜测指数函数)1,(≠>=a o a a y x 的图象的特征，并按照我们前面函数性质的顺序依次通过图象的特征抽象出函数性质，在整节课的学习过程中渗透了多种数学思想。用数形结合的方法从具体到一般探索，概括指数函数的性质（特别是单调性和特殊点），在对比中，寻找图象变化的规律，按照底数不同的取值范围，分类讨论，更深刻去理解性质。 理解指数函数的概念和意义，探究并理解指数函数的图像及其性质就是本课时研究的重点内容。 在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如从具体到一般过程，数形结合，分类讨论的方法。将思想和方法迁移到后面学习研究对数函数，幂函数，甚至椭圆，双曲线，抛物线的性质的探究。本课时是一个学生高中数学人教A版(2019)必修第一册第四章4.2《指数函数 》教 案
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